函数的微分及其在近似计算中的应用.ppt
3.3 微分及其在近似计算中的应用
即 y 2x0 x f '( x0 ) x
x0
这个结论具有一般性
x
x
x0 x
x0 x
x0
y 设 y f ( x) 在点 x 处可导, lim 即 f ( x), x 0 x y f ( x) ( 是 x 0时的无穷小量), 因而 x y f ( x)x x ( lim 0),
例3. 用微分的不变性求下列函数的微分： x (2) y esin x (1) y ln(1 e ) ex dx (1)dy d ln(1 ex ) 1 x d(1 e x ) 解： x 1 e 1 e sin x (2)dy d(e ) esin x d(sin x) cos x esin xdx 例4 在等式左端的()中填入适当的函数,使等式成立
1 (2)d(ln(1 x) C ) 1 x 1 (4)d( dx x C ) 2 x (6)d(sin 2 x) ( 2sin x )dsin x
小结
微分的定义及其求法
作业
P25 6（3）（4）
P27 10、11
ln 0.99 ln[1 (0.01)] 0.01
练习 在下列括号内填入适当的函数,使等式成立
(1)d(
2x C ) 2dx
1 1 C ) 2 dx (3)d( x x e2 x (5)d( ) e 2 xdx C 2 1 (7) dx ( 1 )d(arctan2 x) 1 4 x 2 2
dx
(2 x tan x x sec x)dx
2 2
练 1、 求函数 y x 2 1在 x 1, x 0.1时的改变量与微分.
解： y f ( x0 x) f ( x0 ) f (1.1) f (1)
微分及其在近似计算中的应用
x0 x
x0
按微分的定义 , 知 f ( x)在x0处可微.
这表明:函数 f ( x) 在点 x0可导 , 则函数在点 x0必可微.
由此可见 ,函数 f ( x) 在点 x0处可导与可微是等价的.
由上面推导可以看出 A f ( x0 ) 所以函数 f ( x) 在 x0 处的微分 dy xx0 f ( x0 ) x ………………………… (1) 由 (1) 式可知，自变量微分 dx x x x 所以函数 f ( x) 在 x0 处微分 , 又可写成
当边长从x0变到x0 x时，面积A有相应的改变量 A （x0 x）2 x02 2x0x (x)2
这个 A 2x0x (x)2 由两部分组成 第一部分 : 2x0 x 是 x 的线性函数 第二部分 :(x)2是比 x 高阶的无穷小 (当x 0时)
NT MN tanq f ( x0 ) . x dy
即 dy NT
y
于是 , 函数 y f ( x) 在点 x0 处的
微分就是曲线 y f ( x)在点M ( x0 , y0 )
处的切线MT, 当横坐标由 x0 变到 x0 x时, 其对应的纵坐标
q
o
的改变量.
P
T
M N
x 0 x0
x
x
二、微分的运算法则
1. 基本初等函数的微分公式 dy f ( x)dx
d(C) 0
d( x ) x 1 dx
d(a x ) a x lna dx 1
d(log a x) x ln a dx d(sin x) cos x dx
d(tan x) sec2 x dx d(sec x) sec x tan x dx
微分 PPT课件
微分形式的不变性
设函数 y f ( x)有导数 f ( x),
(1) 若x是自变量时, dy f ( x)dx;
(2) 若x是中间变量时, 即另一变量t的可 微函数x g(t), 则 dy f (x)g(t)dt
证 (1) 必要性 f ( x)在点x0可微,
y A x o(x),
y A o(x) ,
x
x
则 lim y A lim o(x) A.
x0 x
x0 x
即函数 f ( x)在点 x0可导, 且A f ( x0 ).
(2) 充分性 函数f ( x)在点x0可导,
y lim
x0 x
微分 dy叫做函数增量y的线性主部.
y A x o(x) dy o(x)(其中A与x无关)
y与dy的关系 (1) y dy o(x);(dy为y的线性主部) (2) 当A 0时,y ~ dy; (3) 当x很小时,y dy .
3.可微的条件
性质3.7 函数f (x)在点x0可微 f (x)在点x0处可导, 且 A f (x0 ).
d(secx) _s_e_c_x_ta_n__x__dx d(cscx) _-c_s_c_x_c_o_t_x_dx
d(_a_x_) ax lnadx 1
d(loga x) _x__ln__a1dx
d(_e_x_) exdx
1
d(l_n_x_) 1 dx,
x
d(lnx1) _x___dx
x 0.02
x 0.02
4.微分的几何意义
大学微积分课件(PPT幻灯片版)pptx
高阶导数计算
高阶导数的计算一般采用归纳法 或莱布尼茨公式等方法进行求解。 需要注意的是，在计算过程中要 遵循求导法则和运算顺序。
应用举例
高阶导数在物理学、工程学等领 域有着广泛的应用。例如，在物 理学中，加速度是速度的一阶导 数，而速度是位移的一阶导数； 在工程学中，梁的挠度是荷载的 一阶导数等。
03 一元函数积分学
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点 $(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
求导法则与技巧总结
基本求导法则
包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导 数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
求导技巧
连续性与可微性关系
连续性
函数在某一点连续意味着函数在 该点有定义，且左右极限相等并 等于函数值。连续性是函数的基 本性质之一。
可微性
函数在某一点可微意味着函数在 该点的切线斜率存在，即函数在 该点有导数。可微性反映了函数 局部变化的快慢程度。
连续性与可微性关
系
连续不一定可微，但可微一定连 续。即函数的连续性是可微性的 必要条件，但不是充分条件。
历史发展
微积分起源于17世纪，由牛顿和莱布尼 茨独立发展。经过数百年的完善，已成 为现代数学的重要基础。
极限思想与运算规则
极限思想
极限是微积分的基本概念，表示函数在某一点或无穷远处的变 化趋势。通过极限思想，可以研究函数的局部和全局性质。
运算规则
极限的运算包括极限的四则运算、复合函数的极限、无穷小量 与无穷大量的比较等。这些规则为求解复杂函数的极限提供了 有效方法。
高等数学(微积分)ppt课件
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
06 第六节 函数的微分
第五节 函数的微分在理论研究和实际应用中，常常会遇到这样的问题：当自变量x 有微小变化时，求函数)(x f y =的微小改变量)()(x f x x f y -∆+=∆. 这个问题初看起来似乎只要做减法运算就可以了，然而，对于较复杂的函数)(x f ，差值)()(x f x x f -∆+却是一个更复杂的表达式，不易求出其值. 一个想法是：我们设法将y ∆表示成x ∆的线性函数，即线性化，从而把复杂问题化为简单问题. 微分就是实现这种线性化的一种数学模型.分布图示★ 引言★ 问题的提出 ★ 微分的定义 ★ 可微的条件 ★ 例1-2 ★ 基本微分公式 ★ 微分四则运算法则 ★ 例3★ 例4 ★ 微分的几何意义★ 复合函数的微分法★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8★ 例9★ 例10★ 微分近似计算公式 ★ 例11 ★ 例12★ 例13 ★ 例14★ 常用函数的近似计算公式★ 例15 ★ 例16★ 误差计算 ★ 例17 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 2- 6内容要点：一、 微分的定义：定义1 设函数)(x f y =在某区间内有定义, 0x 及x x ∆+0在这区间内, 如果函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆可表示为)(x o x A y ∆+∆⋅=∆ (5.1)其中A 是与x ∆无关的常数, 则称函数)(x f y =在点0x 可微, 并且称x A ∆⋅为函数)(x f y =在点0x 处相应于自变量改变量x ∆的微分, 记作dy , 即x A dy ∆⋅= (5.2)二、函数可微的条件dx x f dy )('= (5.8))(x f dxdy '= (5.9)即，函数的导数等于函数的微分与自变量的微分的商. 因此，导数又称为“微商”.三、 微分的几何意义四、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 五、 微分形式不变性：无论u 是自变量还是复合函数的中间变量, 函数)(u f y =的微分形式总是可以按微分定义的形式来写，即有du u f dy )('=这一性质称为微分形式的不变性. 利用这一特性，可以简化微分的有关运算. 六、利用微分进行近似计算： 近似值的计算 误差计算dy y ≈∆. (5.10)例题选讲：微分的定义例1（E01）求函数2x y =当x 由1改变到1.01的微分.解 因为,2xdx dy =由题设条件知 ,1=x 01.0101.1=-=∆=x dx 所以 .02.001.012=⨯⨯=dy例2（E02）求函数3x y =在2=x 处的微分. 解 函数3x y =在2=x 处的微分为 dx x dy x 2'3)(==.12dx =基本初等函数的微分公式与微分运算法则的应用例3（E03）求函数x e x y 23=的微分. 解 因为'23')(xex y =xxex ex 232223+=)23(22x ex x+=所以 dx x e x dx y dy x )23(22'+== 或利用微分形式不变性)()(2332xxed x x d edy +=dx ex dx x e xx232223⋅+⋅=.)23(22dx x ex x+=例4（E04）求函数xx y sin =的微分.解因为''sin ⎪⎭⎫⎝⎛=x x y 2sin cos x x x x -=所以 dx y dy '=.s i n c o s 2dx xxx x -=微分形式的不变性例5（E05）设),12sin(+=x y 求dy . 解 设,sin u y =,12+=x u 则)(sin u d dy =udu cos =)12()12cos(++=x d x dx x 2)12cos(⋅+=.)12cos(2dx x +=注: 与复合函数求导类似, 求复合函数的微分也可不写出中间变量, 这样更加直接和方便.例6 设),1ln(2x e y += 求.dy解 )1l n (2xe d dy +=)1(1122xxed e++=)(11222x d eexx+=x d x eexx2122+=.1222dx exe xx+=例7（E06）设,2sinxe y =求.dy解 应用微分形式不变性, 有 .2sin cos sin 2sin sin 2sin2222sin sinsin2sindx xexdxx ex xd ex d edy xxxx=⋅=⋅==例8（E07）已知,22xey x = 求dy .解 222222)()()(x x d eed x dy xx-=422222xxdxedx ex xx⋅-⋅=.)1(232dx xx ex-=例9（E08）在下列等式的括号中填入适当的函数, 使等式成立.(1) ;cos )(tdt d ω= (2) ).()()(sin 2x d x d = 解 ,cos )(sin tdt t d ωωω= ∴)(s i n 1c o s td t d t ωωω=);sin 1(t d ωω=一般地，有.cos sin 1tdt C t d ωωω=⎪⎭⎫⎝⎛+例10（E09）求由方程32y x e xy +=所确定的隐函数)(x f y =的微分dy . 利用微分进行近似计算解 对方程两边求微分, 得 ),2()(3y x d e d xy +=),()2()(3y d x d xy d exy+= ,32)(2dy y dx xdy ydx e xy +=+于是 .322dx yxeye dy xyxy --=例11(E09) 求x )x (f +=1在0=x 与3=x 处的线性化.解 首先不难求得xx f +='121)( ，则413(21)0(23(1)0(='='==），，），f f f f ，于是，根据上面线性化定义知)(x f 在0=x 处的线性化121)0)(0()0()(+=-'+=x x f f x L ，在3=x 处的线性化为4541)3)(3()3()(+=-'+=x x f f x L))(()()(000x x x f x f x L -'+=示意图见右,故x x 2111+≈+（在x=0处）， 45411+≈+x x （在x=3处）．例12(E11) 求)x ln()x (f +=1在0=x 的线性化． 解 首先求得)(x f 'x+=11，得1)0(='f ，又0)0(=f ，于是)(x f 在x=0处的线性化x x f f x L =-'+=)0)(0()0()(例13（E12）半径10厘米的金属圆片加热后, 半径伸长了0.05厘米, 问面积增大了多少?解 设,2r A π=10=r (厘米), 05.0=∆r (厘米).∴dA A ≈∆r r ∆⋅=π205.0102⨯⨯=ππ=（厘米2）.例14（E13）计算0360cos ' 的近似值.解 设x x f cos )(=⇒,sin )('x x f -=x (为弧度),取,30π=x 360π=∆x⇒,21)3(=πf .23)3('-=πf所以 ⎪⎭⎫⎝⎛+=3603cos 3060cos 'ππ 3603s i n 3c o s πππ⋅-=3602321π⋅-=.4924.0≈例15计算下列各数的近似值.(1) (E14)35.998的近似值. (2) .03.0-e解 (1)335.110005.998-=310005.111000⎪⎭⎫ ⎝⎛-=30015.0110-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=0015.031110.995.9=(2) 03.0103.0-≈-e .97.0=例16(E15) 最后我们来看一个线性近似在质能转换关系中的应用. 我们知道，牛顿的第二运动定律αm F =（α为加速度）中的质量m 是被假定为常数的，但严格说来这是不对的，因为物体的质量随其速度的增长而增长. 在爱因斯坦修正后的公式中，质量为2201c/v m m -=,当v 和c 相比很小时，22c /v 接近于零，从而有⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≈-=22002202201212111c v m m c v m c/v m m 即 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+≈2200121c v m m m , 注意到上式中K v m =2021是物体的动能，整理得)K (m v m v m c )m m (∆=-=≈-202020200212121,或 )K (c )m (∆∆≈2. （1）换言之，物体从速度0到速度v 的动能的变化)K (∆近似等于2c )m (∆. 因为8103⨯=c 米/秒，代入式（1）中，得≈)K (∆90 000 000 000 000 000m ∆焦耳,由此可知，小的质量变化可以创造出大的能量变化．例如，1克质量转换成的能量就相当于爆炸一颗2万吨级的原子弹释放的能量．例17 正方形边长为005.041.2±米, 求出它的面积, 并估计绝对误差与相对误差. 解 设正方形的边长为x ,面积为y ,则.2x y = 当41.2=x 时,).(8081.5)41.2(22m y ==.82.4241.241.2'====x x xy边长的绝对误差为,005.0=x δ ∴面积的绝对误差为).(0241.0005.082.42m x =⨯=δ ∴面积的相对误差为%.4.08081.50241.0≈=yy δ课堂练习1.求函数x x y -=的微分dy .2.因为一元函数)(x f y =在0x 的可微性与可导性是等价的, 所以有人说“微分就是导数, 导数就是微分”，判断这种说法对吗?3.设,0>A 且n A B <||, 证明1-+≈+n n n nAB A B A (A , B 为常数), 并计算101000的近似值.。
第五节 函数的微分与近似计算
例1 求函数 y x3 当 x 2, x 0.02时的微分.
解 dy ( x3 )x 3x2x.
dy x2 3 x 2x x2 0.24.
x 0.02
x 0.02
通 常 把 自 变 量 x的 增 量 x称 为 自 变 量 的 微 分,
记作dx, 即dx x.
dy f (x)dx
例6 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使 等式成立.
(1) d( ) cos tdt; (2) d(sin x2 ) ( )d( x).
解 (1)d(sin t) cos tdt,
cos tdt 1 d(sin t) d( 1 sin t);
d
(
1
sin
t
C
)
cos
tdt
.
(2) d(sin x 2 ) 2x cos x 2dx
微分 dy叫做函数增量 y的线性主部.
当 x 很小时, 有近似公式
由定义知:
(1) dy是自变量的改变量x的线性函数;
(2) y dy o(x)是比x高阶无穷小;
(3) 当A 0时, dy与y是等价无穷小;
y 1 o(x) 1 (x 0).
dy
A x
(4) A是与x无关的常数, 但与f ( x)和x0有关;
d(a x ) a x ln adx
d (e x ) e xdx
d (log a
x)
1 dx x ln a
d(arcsin x) 1 dx 1 x2
d(ln x) 1 dx x
d(arccos x) 1 dx 1 x2
d
(arctan
x
)
1
1 x
2
dx
2024版大学微积分课件(ppt版)
大学微积分课件(ppt 版)目录•微积分概述•极限与连续•导数与微分•积分学•微分方程•微积分在实际问题中的应用PART01微积分概述微积分的定义与发展微积分的定义微积分是研究函数的微分与积分的数学分支，微分研究函数在某一点的变化率，而积分则是研究函数在一定区间上的累积效应。
微积分的发展微积分起源于17世纪的物理学和几何学问题，经过牛顿、莱布尼兹等数学家的努力，逐渐发展成为一门独立的数学学科。
微积分的研究对象与意义研究对象微积分的研究对象是函数，包括一元函数和多元函数，主要研究函数的性质、图像、变化率以及函数间的相互关系等。
研究意义微积分在自然科学、工程技术、社会科学等领域有着广泛的应用，如求解物理问题、优化工程设计、分析经济数据等。
微积分的基本思想与方法基本思想微积分的基本思想是通过局部近似来研究函数的整体性质，即“以直代曲”、“以不变应万变”。
基本方法微积分的基本方法包括微分法和积分法。
微分法是通过求导数来研究函数的局部性质，如单调性、极值等；积分法则是通过求原函数来研究函数的整体性质，如面积、体积等。
PART02极限与连续极限的概念与性质01极限的定义：描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势。
02极限的性质：唯一性、局部有界性、保号性、四则运算法则。
03无穷小量与无穷大量：定义、性质及比较。
极限的运算法则与存在准则极限的四则运算法则加法、减法、乘法、除法。
极限存在准则夹逼准则、单调有界准则。
连续函数的概念与性质连续函数的定义函数在某一点连续的定义及性质。
间断点及其分类第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点）、第二类间断点。
连续函数的性质局部性质（局部有界性、局部保号性）、整体性质（有界性、最值定理、介值定理）。
连续函数的四则运算加法、减法、乘法、除法。
初等函数基本初等函数及其性质，初等函数的连续性。
复合函数的连续性复合函数连续性的判断及证明。
连续函数的运算与初等函数PART03导数与微分导数的概念与几何意义导数的定义导数的几何意义可导与连续的关系描述函数图像在某一点处的局部变化率。
函数的微分及其在近似计算中的应用
3、问题：函数可微的条件是什么？ A = ? 问题：函数可微的条件是什么？ 可微, 则有(1)成立 成立， 设函数 y = f (x) 在点 x0 可微 则有 成立，即
∆y = A∆x + o(∆x)
等式两端除以 ∆x , 得
o( ∆ x ) ∆y = A+ . ∆x ∆x
于是, 于是 当 ∆x → 0时, 由上式就得到 o(∆x ) ∆y = lim A + lim = A. f ′( x 0 ) = ∆ x → 0 ∆x →0 ∆x ∆x 可微， 因此, 因此 如果函数 f (x) 在点 x 0 可微，则 f (x)在点 x 0也一定可导 且 也一定可导,
函数在任意点的微分,称为函数的微分,记作 函数在任意点的微分 称为函数的微分 记作 dy 或 df ( x ), 即 称为函数的微分 dy = f ′( x ) ∆ x . 如函数 y = cos x 的微分为
dy = (cos x )' ∆ x = − sin x ∆ x 显然， 显然，函数的微分 dy = f ′( x )∆x 与 x 和 ∆x 有关。 有关。
′
1 d (log a x ) = dx, x ln a 1 d (ln x ) = dx , x 1 d (arcsinx) = dx, 2 1− x 1 d (arccosx) = − dx, 1 − x2 1 d (arctanx) = dx, 2 1+ x
1 (arccot x) = − 2 . 1+ x
dy = ( x 3 )′∆x = 3 x 2 ∆x.
再求函数当 x = 2 , ∆ x = 0 . 02 时的微分
dy
x =2 ∆x =0.02
函数的微分
微分与增量的关系
定理：当f ( x0 ) 0 时，微分是增量的线性 主部。
主部：设 ， 均为无穷小，若 o
则称 是 的主部，有 o 结论： 若 o ，则 ~ 。
。
证： 若 f ( x 0 ) 0 ，则 Δy f ( x 0 Δx ) f ( x 0 ) 0
得
当
3 x 2 d x 3 y 2 d y 3 cos 3 x d x 6 d y 0 1 由上式得 d y x 0 d x x 0 时 y 0, 2
返回
称为a 的相对误差
若 称为测量 A 的绝对误差限 称为测量 A 的相对误差限
误差传递公式 :
若直接测量某量得 x , 按公式 已知测量误差限为 计算 y 值时的误差
x ,
d y f ( x) x
故 y 的绝对误差限约为
y f ( x) x
y
f ( x) x y f ( x)
整理并移项即得： x (dy dx ) y (dy dx ) #
思考： 若 y＝e
sin x
dy ，怎样求 ？ d cos x
返回
三、 微分在近似计算中的应用
y f ( x0 )x o( x)
当
x
很小时,
得近似等式:
y f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x
y 2 2 例 3 推证等式 arctan ＝ln x ＋y 满足 x 关系式 x dy－dx ＝ y dy＋dx .
证：
利用微分的形式不变性 对等式两边求微分 1 xdy ydx 1 1 2 (2 xdx 2 ydy ) 2 2 2 2 x y x y 1 x
函数的微分
边长由 x0 变到 x0 x , 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A x 2 , 当 x 在 x0 取 得增量 x 时, 面积的增量为 2 x x ( x ) 0 x
关于△x 的线性 时为 主部 高阶无穷小
x 0
x0
2 A x0
所以
dy 2 1 0.01 0.02.
例 2 求函数 y x 3 在 x 2 处的微分; 解 函数 y x 3 在 x 2 处的微分为
dy ( x 3 )' x 2 dx 12dx.
基本初等函数的微分公式 (见 P60表)
完
二、 微分运算法则
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
即 d y f ( x0 ) x
可微的条件
定理 : 函数 在点
在点 x0 可微的充要条件是
处可导, 且 即
d y f ( x0 )x
证: “必要性” 已知 在点 可微 , 则
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x)
y o(x) lim lim ( A )A x 0 x x 0 x
3.004938
(1 x) 1 x
2. 求函数 y 解
x x 的微分 dy .
dy
1 d(x x) 2 x x
1 (dx d x ) 2 x x 1 (dx 1 dx ) 2 x 2 x x
ห้องสมุดไป่ตู้
2 x 1 1 . dx 2 x x 2 x 2 x 1 dx . 4 x x x
然而, 对于较复杂的函数 f ( x ), 差值
f ( x x ) f ( x )
函数的微分
一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本微分公式与微分运算法则 四、微分在近似计算中的应用
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一、微分的定义
引例 一块正方形金属片受热后其边长 x 由 x0 变到 x0+x, 考查此薄片的面积 A 的改变情况. 因为 A=x2, 所以金属片面积 的改变量为 A=(x0+x)2(x0)2 =2x0x+(x)2. 当x→0时, (x)2=o(x ); A的主要部分是x的线性函数 2x0x, 2x0x是A的近似值.
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增量与微分的关系 当f ′(x0)≠0时, 有 y y y lim = lim = 1 lim =1 . x→0 dy x→0 f ′( x0 )x f ′( x0 ) x→0 dx 根据等价无穷小的性质, y=dy+o(dy). 结论 在f ′(x0)≠0的条件下, 以微分dy=f ′(x0)x近似代替增 量y=f(x0+x)f(x0)时, 其误差为o(dy). 因此, 当|x|很小时, 有近似等式y≈dy.
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3.复合函数的微分法则 设y=f(u)及u=(x)可微, 则复合函数y=f[(x)]的微分为 dy=y′xdx=f ′(u)′(x)dx. 因为′(x)dx=du, 所以, 复合函数y=f[(x)]的微分公式 也可以写成 dy=f ′(u)du 或 dy=y′udu. 由此可见, 无论u是自变量还是另一个变量的可微函 数, 微分形式 dy=f ′(u)du保持不变. 这一性质称为微分形 式不变性.
函数的微分及其在近似计算中的应用
函数的微分及其在近似计算中的应用一、函数的微分1.导数的定义对于函数y=f(x)，如果函数在一些点x0处的导数存在，那么这个导数称为函数在这个点的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。
导数的几何意义可以理解为函数曲线在其中一点处的切线斜率。
2.导数的计算常见的函数导数的计算公式包括：常数函数的导数为0；幂函数的导数为幂次-1乘以系数；指数函数和对数函数的导数；三角函数和反三角函数的导数。
3.高阶导数对于函数的导数也可以再进行求导，得到的导数称为高阶导数。
高阶导数的理解可以理解为导数的导数，可以表示函数的更加详细的变化情况。
二、微分的应用1.近似计算微分在近似计算中有广泛的应用。
利用导数的定义，可以利用线性近似来计算函数在其中一点的近似值。
设函数在x0点处的导数为f'(x0)，那么在x0+h处的函数值可以表示为f(x0+h) = f(x0) + hf'(x0)，这种方法又被称为泰勒展开。
因此，我们可以利用导数来计算复杂函数在一些点的近似值，从而简化计算过程。
2.最优化问题在求解最优化问题时，微分也是一个重要的工具。
对于单变量函数，通过求导可以得到函数的极值点，进而求解最大值或最小值。
对于多变量函数，微分可以帮助我们找到最优解的方向，通过迭代方法逐步逼近最优解。
3.数值计算微分在数值计算中也有重要的应用。
在数值积分中，我们可以利用导数来进行数值积分，例如利用梯形法则或辛普森法则。
在数值解微分方程的过程中，也需要计算函数的导数来逼近微分方程的解。
4.概率论和统计学微分在概率论和统计学中也有广泛的应用。
通过对概率密度函数进行微分，可以得到概率密度函数的导数（即概率密度函数的变化率），从而求得随机变量的期望、方差等统计特征。
总结：函数的微分是微积分的基本概念，它描述了函数在其中一点的局部变化率。
微分的计算和应用在近似计算中有广泛的应用，包括数值计算、优化问题等。
通过近似计算、最优化问题、数值计算以及概率论和统计学等领域的应用，微分帮助我们简化计算过程、求解最优解、逼近函数的解以及分析概率分布等问题。
第二章第五节 函数的微分
高等数学
二、微分的几何意义
当x从x0变到x0+∆x时, ∆y是曲线上点的纵坐 标的增量; dy是过点(x0, f(x0))的切 线上点的纵坐标的增量. 当|∆x|很小时, |∆y−dy|比|∆x|小得多. 因此, 在点M的邻近, 我们可以用切线段来近似代 替曲线段. 记 自变量的微分, ∆y = ∆x = dx 称∆x为 自变量的微分 记作 dx dy = f ′(x) 导数也叫作微商 则有 dy = f ′(x) dx 从而 dx
高等数学
§2.5函数的微分 函数的微分
一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的运算法则 四、微分在近似计算中的应用
高等数学
一、微分的概念 引例: 引例 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其 边长由 x0 变到 x0 + ∆x , 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A= x2 , 当 x 在 x0 取 得增量 ∆x 时, 面积的增量为 (∆x)2 x0∆x ∆x 关于△x 的 ∆x →0时为 线性主部 高阶无穷小 故 称为函数在 x0 的微分
高等数学
2、 微分的四则运算法则 、 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
= du ± dv = vdu + udv
3. 复合函数的微分 分别可微 , 则复合函数 的微分为
(C 为常数)
= f ′(u) ϕ′(x) dx dy = f ′(u) du
du
微分形式不变
高等数学
若y=f(u), u=j(x), 则dy=f ′(u)du. 例3 y=sin(2x+1), 求dy. 解 把2x+1看成中间变量u, 则 dy=d(sin u) =cos udu =cos(2x+1)d(2x+1) =cos(2x+1)⋅2dx =2cos(2x+1)dx. 在求复合函数的导数时, 可以不写出中间变量. 例4. y =ln(1+ex2 ) , 求 dy. 解 dy =d ln(1+ex2 ) = 1 2 d(1+ex2 ) 1+ex 1 ⋅ex2d(x2) = 1 ⋅ex2 ⋅2xdx = 2xex2 dx = . x2 x2 x2 1+e 1+e 1+e
高数函数的微分
y o( x ) 1 ( x 0). 1 dy A x
(5) A是与x无关的常数 , 但与f ( x)和x0有关;
可微的充要条件： 满足什么条件的函数是可微的呢？
微分的系数A如何确定呢? 函数 f ( x )在点 x0可微的充要条件是函 定理 微分与导数有何关系呢 ? 数 f ( x )在点 x0处可导 , 且 A f ( x0 下面的定理回答了这些问题 . ). 证明： (1)
例8. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:
2 C (1) d( 1 ) xdx x 2
(C为任意常数 )
(2) d(
sin t
1
C ) cos t d t
说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. 注意: 数学中的反问题往往出现多值性.
三、 微分在近似计算中的应用
2 x 0 x ( x ) 2 .
(1) ( 2)
2 A x0
x 0 x
x0
(1) : x的线性函数, 且为A的主要部分 ; ( 2) : x的高阶无穷小 , 当 x 很小时可忽略 . 很小时 当 x ,
A 2 x0 x .
再例如, 设函数 y x 3在点 x0处的改变量
为x时, 求函数的改变量 y .
3 y ( x 0 x ) 3 x 0 2 3 x0 x 3 x 0 ( x ) 2 ( x ) 3 .
(1)
( 2)
当 x 很小时, ( 2)是x的高阶无穷小 o( x ),
2 y 3 x 0 x .
o
T N P
o( x )
y f ( x)
M
微分及其在近似计算中的应用课件
所以 dy x 1 2 ×1×0.1 0.2 x 0.1
下面给出微分的几何意义:
函数 y f ( x) 的图形是一曲线 , 当自变量 x 由 x0 变到 x0 x 时 , 曲线上的对应点 M ( x0 , y0 ) 变到 P( x0 x, y0 y) , 从图可知 MN x , NP y 过点 M 作切线 MT , 它的倾角为 q , 则
这个 A 2x0x (x)2 由两部分组成 第一部分 : 2x0 x 是 x 的线性函数 第二部分 :(x)2是比 x 高阶的无穷小 (当x 0时)
所以当 |x| 很小时 , 可以略去 (x)2 ,仅用第一部分
x的线性函数 2x0 x作为 A的近似值 ,
即 A 2x0x
x0
由此 , 我们引进微分概念
cot
x)
1
1 x2
dx
2. 函数和、差、积、商的微分法则
d(u v) du dv d(uv) vdu udv
d(Cu) Cdu
d u v
vdu udv v2
(v 0)
只对 d(uv) vdu udv 证明。 dy f ( x)dx
d(uv) (uv)dx (uv uv)dx
……公式（2）
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) , 注意：| x x0 | 很小.
若取 x0 0 则有
f ( x) f (0) f (0) x ……………公式（3）
注意：| x | 很小.
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x
dy xx0 f ( x0 )dx …………………………(2) 这是函数微分的常见写法.
微分及其在近似计算中的应用
微分及其在近似计算中的应用微分是微积分的重要概念之一，它描述了函数在其中一点上的变化率。
利用微分，我们可以研究函数的极值、函数的连续性、函数的图像等性质。
在实际应用中，微分也有着广泛的应用，尤其是在近似计算中。
一、微分的定义及性质微分的定义是通过极限的概念进行的。
对于函数f(x)，如果在其中一点a处存在极限：\[f'(a) = \lim_{{h\to 0}} \frac{{f(a+h)-f(a)}}{h}\]则称函数f(x)在点a处可微分，f'(a)称为函数f(x)在点a处的导数。
函数f(x)的导函数，或称为它的导数函数，表示了函数在每一点的变化率。
根据微分的定义，导数具有以下性质：1.一元函数的导数只与该点的函数值有关，与其他点无关；2.导数存在的充分必要条件是函数在该点可微；3.对于多项式函数、三角函数、指数函数、对数函数等常见函数，都有相应的导数公式，可以通过公式计算导函数。
二、微分的应用1.近似计算微分在近似计算中有着广泛的应用。
我们知道，在一个点附近，函数可以用它的切线近似代替。
这个近似的精度，就可以通过微分来度量。
对于函数f(x)在其中一点a的微分为f'(a)，可以近似地表示为：\[f(a+h) \approx f(a) + f'(a) \cdot h\]其中，h为f(x)在a点邻近的增量。
这个公式被称为“一阶微分公式”。
根据这个公式，我们可以使用函数的微分来近似计算函数在其中一点的函数值。
举例来说，考虑函数y=f(x)=x^2，在点x=3附近的近似计算。
我们可以先求出函数在点x=3处的导数：\[f'(3) = \lim_{{h\to 0}} \frac{{f(3+h)-f(3)}}{h} = 6\]然后，我们可以利用微分来近似计算f(x)在点x=3.1处的函数值：\[f(3.1) \approx f(3) + f'(3) \cdot (3.1-3) = 9 + 6 \cdot 0.1 = 9.6\]这个结果与实际的计算结果3.1^2=9.61非常接近。
微分在近似计算中的应用
1. 求f ( x)在点x x0附近的近似值
y f ( x x) f ( x )
0
0
f ( x0 ) x.
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x. ( x 很小时)
例3 计算sin30o30的近似值 .
解 设 f ( x) sin x, f ( x) cos x, ( x为弧度)
而绝对误差与a 的比值 A a 叫做 a 的相对误差 . a
问题:在实际工作中,绝对误差与相对误差如何求得?
办法:将误差确定在某一个范围内.
如果某个量的精确值是 A ,测得它的近似值
是 a,又知道它的误差不超过 ,即 A
Aa A,
那末 叫做测量 A的绝对误差限,而 A 叫做测量
A
a
A 的相对误差限.
f (0) 1, f (0) 1 . n
f
( x)
1
(1
1 1
x)n ,
n
f ( x) f (0) f (0)x 1 1 x.
n
例4 计算下列各数的近似值 :
(1) 3 998.5; (2) e0.03 .
解 (1) 3 998.5 3 1000 1.5
3 1000(1 1.5 ) 103 1 0.0015 1000
所以它就是球体体积
V
4 R3当
3
R自
R0 取得
增量 R 时的增量 ，我们求 V 对 R 的导数:
V
(4 R3 )
4R 2 ,
R R0
3
R R0
0
V 4R02 R.
将 R0 1,R 0.01 代入上式，得
V 4 3.14 12 0.01 0.13(cm3 ).
1第三节微分及其在近似计算中的应用31页PPT
∵b2x2a2y2 a2b2
∴切线方程为xx a2
yy b2
1
。
例8、 求 椭 圆x2y21在 点 P(1, 4 2)处 的 切 线 方 程 。
94
3
解：∵ 12
(4 2 )2 3
1，
9
4
∴点P(1, 4 2)在椭圆x2 y2 1上。
sgtt1(t)2 sg tts(t) t
2
二、微分的概念
y
y＝f（x）
M
y
P
Q
O
x
x x x O
y＝f（x）
M
T
P
f (x)x
Q
x
x x x
f(x x)f(x)(误差较大)
f( x x ) f( x ) f( x ) x(误差改善)
（1）定义 如果函数 y f (x) 在点 x 处的增量 y 可表示为
M (x , f (x )) 处的切线的纵坐标对应于 x 的增量。
例1、 计算函数 y＝ x 2 在点 x 1处的微分。
解： dy y dx 2dx 。 x1
例 2、求函数 y ln(1 2x) 在点 x 1处的微分。
解:
y 2 1 2x
y 2 x1 3
dyy dx2dx
x1
3
例 3、求函数 y cos(1 3x) ，求 dy 。
3 cx o 1 3 x d e s s x x i 1 3 x n d e e x 1 3 x ( 3 cx o sx ) i s d n
（3）
y x2 ln x
解：
d y ln x(x d ( 2) lx ) x n 2 2 d (lx )n 2 x ln x (d l x ) x n 2 2 x x 1d x x (2 (llx n x )n 2 1 )d
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如函数 y cos x 的微分为
dy (cos x)'x sin xx
显然，函数的微分 dy f ( x)x 与 x 和 x 有关。
5
5、微分的几何意义 y
M0 y f(x)
T N
P dy y
Q
x
O
x0 x0 x x
几何意义 : y是曲线y f ( x)上点的纵坐标的增量时， dy就 是 曲 线 的 切 线 上 点 的纵 坐 标 的 相 应 增 量 。
从 而 有 ：dy dx
f ( x0 ).
这表明, 函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数.
因此, 导数也叫“微商”.
导数（微商）即微分之商。
8
二.基本初等函数的微分公式与微分运算法则
1. 基本初等函数的微分公式
导数公式
x x 1 ,
sin x cos x,
cos x sin x,
1 x2
arctan x 1 ,
1 x2
arc cot x 1 .
1 x2
d log a
x
1 x lna
dx,
dlቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x 1 dx,
x
darcsin x 1 dx,
1 x2
darccos x 1 dx,
1 x2
darctan x 1 dx,
1 x2
darc cot x 1 dx.
解 先求函数在任意点的微分
dy ( x 3 )x 3x 2x.
再求函数当x 2,x 0.02时的微分
dy x2 3x 2x x2 3 22 0.02 0.24.
x0.02
x0.02
7
通常把自变量的增量称为自变量的微分.记作 dx.
即
dx x
则函数 y f ( x) 的微分又可记作： dy f ( x0 )dx.
d cot x csc2 xdx,
dsec x sec x tan xdx,
dcsc x csc x cot xdx,
d a x a x ln adx,
d ex e x dx,
9
loga
x
1 x lna
,
ln 1 ,
x
arcsinx 1 ,
1 x2
arccos x 1 ,
1 x2
2.函数的和、差、积、商的微分法则
10
函数和、差、积、商的求导法则 函数和、差、积、商的微分法则
u v u v,
Cu CuC是常数，
du v du dv, dCu CduC是常数，
uv uv uv,
duv vdu udv ,
u v
uv uv v2
v
0.
d
微分的定义
微分的几何意义
函
数
基本初等函数
的
的微分公式与
基本初等函数的微分公式 和、差、积、商的微分法则
微
微分的运算法则
复合函数的微分法则
分
微分在近似计算中的应用
微分的近似计算 误差估计
1
第七节 函数的微分
一.微分的定义： 1.实例——函数增量的构成
x0
x0x
正方形金属薄片，因受热,边长由 x0变到x0 x ,此时面积改变了多少？
微分公式
d x x 1dx ,
dsin x cos xdx, dcos x sin xdx,
tan x sec2 x, cot x csc2 x, secx secx tan x, csc x csc x cot x,
a x a x ln a,
ex e x ,
d tan x sec2 xdx,
当 x 很小时，dy y.
6
例1 求函数 y x 2在x 1和x 3处的微分。
解 函数 y x 2在x 1处的微分为 dy ( x 2 ) | x1 x 2x;
在x 3处的微分为 dy ( x 2 ) |x3 x 6x
例2 求函数y x 3当x 2,x 0.02时的微分.
x
x
于是, 当 x 0时, 由上式就得到
f x0
y lim x0 x
lim A ox
x0
x
A.
因此, 如果函数 f ( x) 在点 x0可微，则 f ( x)在点 x0也一定可导, 且
A f ( x0 ).
反之, 如果 y
f (x)在
x0可导, 即
lim y x0 x
f ( x0 )存在,
dy f (u)du 保持不变 。这一性质叫做微分形式不变性。
u v
vdu udv v2
v
0.
3. 复合函数的微分法则——微分公式的形式不变性。
设y f (u), u ( x)都可导,则复合函数y f [( x)]的微分为:
dy yxdx f (u) ( x)dx.
du '( x)dx
或写为：dy f (u)du或dy yudu 由此可见，无论是自变量还是中间变量的可微函数，微分形式
dy Ax.
若y Ax (x), 则称dy Ax为函数的微分.
Ax： 称 为y的 线 性 主 部 ， 即dy。 x 很小时，y dy
3
3、问题：函数可微的条件是什么？ A ?
设函数 y f (x) 在点 x0 可微, 则有(1)成立，即 y Ax o(x)
等式两端除以 x,得
y A o(x) .
解：正方形边长与面积的函数关系为
A x02
A x2 当 边 长 增 量 为x时 ， 面 积 增 量 为
A ( x0 x)2 x02 2x0x x2
函数的增量由两部分构成：
x 2 x x
x0
x
x0
1、等式右边第一项，x的线性式，是函数增量的主要部分。
2、第二项x2，当x 0时，是x的高阶无穷小.
根据极限与无穷小的关系, 上式可写为
4
y x
f ( x0 ) ，（x
0,
0）
则 y f ( x0 )x x.
因x o（x）,且f ( x0 )不依赖于x, 故上式相当于(1)式,
则
f
(
x)
在点
x
可微。
0
4.函数可微的充要条件：
函数y f ( x)在x0处可微 f ( x)在x0处可导,且A f '( x0 ). 函数在任意点的微分,称为函数的微分,记作 dy或df ( x), 即
2
2、微分的定义
定义 设函数y=f(x)在某区间内有定义， x 0及x0 x在这
区间内，如果函数的增量 y f ( x0 x) f ( x0 ) 可表示为
y Ax o(x)
（1）
其中 A 是不依赖于 x 的常数，而 o(x) 是比 x高阶无穷小， 那么称函数 y f ( x) 在点 x 0 是可微的，而 Ax叫做函数 y f ( x)在点x 0 相应于自变量增量x的微分，记作dy，即：