函数的微分及其在近似计算中的应用.ppt

u v
vdu udv v2
v
0.
3. 复合函数的微分法则——微分公式的形式不变性。
设y f (u), u ( x)都可导,则复合函数y f [( x)]的微分为:
dy yxdx f (u) ( x)dx.
du '( x)dx
或写为：dy f (u)du或dy yudu 由此可见，无论是自变量还是中间变量的可微函数，微分形式
解 先求函数在任意点的微分
dy ( x 3 )x 3x 2x.
再求函数当x 2,x 0.02时的微分
dy x2 3x 2x x2 3 22 0.02 0.24.
x0.02
x0.02
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通常把自变量的增量称为自变量的微分.记作 dx.
即
dx x
则函数 y f ( x) 的微分又可记作： dy f ( x0 )dx.
dy f (u)du 保持不变 。这一性质叫做微分形式不变性。
解：正方形边长与面积的函数关系为
A x02
A x2 当 边 长 增 量 为x时 ， 面 积 增 量 为
A ( x0 x)2 x02 2x0x x2
函数的增量由两部分构成：
x 2 x x
x0
x
x0
1、等式右边第一项，x的线性式，是函数增量的主要部分。
2、第二项x2，当x 0时，是x的高阶无穷小.
x
x
于是, 当 x 0时, 由上式就得到
f x0
y lim x0 x
lim A ox
x0
x
A.
因此, 如果函数 f ( x) 在点 x0可微，则 f ( x)在点 x0也一定可导, 且
A f ( x0 ).
反之, 如果 y
f (x)在
x0可导, 即
lim y x0 x
f ( x0 )存在,
dy f ( x)x.
如函数 y cos x 的微分为
dy (cos x)'x sin xx
显然，函数的微分 dy f ( x)x 与 x 和 x 有关。
5
5、微分的几何意义 y
M0 y f(x)
T N
P dy y
Q
x
O
x0 x0 x x
几何意义 : y是曲线y f ( x)上点的纵坐标的增量时， dy就 是 曲 线 的 切 线 上 点 的纵 坐 标 的 相 应 增 量 。
微分的定义
微分的几何意义
函
数
基本初等函数
的
的微分公式与
基本初等函数的微分公式 和、差、积、商的微分法则
微
微分的运算法则
复合函数的微分法则
分
微分在近似计算中的应用
微分的近似计算 误差估计
1
第七节 函数的微分
一.微分的定义： 1.实例——函数增量的构成
x0
x0x
正方形金属薄片，因受热,边长由 x0变到x0 x ,此时面积改变了多少？
从 而 有 ：dy dx
f ( x0 ).
这表明, 函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数.
因此, 导数也叫“微商”.
导数（微商）即微分之商。
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二.基本初等函数的微分公式与微分运算法则
1. 基本初等函数的微分公式
导数公式
x x 1 ,
sin x cos x,
cos x sin x,
根据极限与无穷小的关系, 上式可写为
4
y x
f ( x0 ) ，（x
0,
0）
则 y f ( x0 )x x.
因x o（x）,且f ( x0 )不依赖于x, 故上式相当于(1)式,
则
f
(
x)
在点
x
可微。
0
4.函数可微的充要条件：
函数y f ( x)在x0处可微 f ( x)在x0处可导,且A f '( x0 ). 函数在任意点的微分,称为函数的微分,记作 dy或df ( x), 即
微分公式
d x x 1dx ,
dsin x cos xdx, dcos x sin xdx,
tan x sec2 x, cot x csc2 x, secx secx tan x, csc x csc x cot x,
a x a x ln a,
ex e x ,
d tan x sec2 xdx,
1 x2
2.函数的和、差、积、商的微分法则
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函数和、差、积、商的求导法则 函数和、差、积、商的微分法则
u v u v,
Cu CuC是常数，
du v du dv, dCu C百度文库uC是常数，
uv uv uv,
duv vdu udv ,
u v
uv uv v2
v
0.
d
2
2、微分的定义
定义 设函数y=f(x)在某区间内有定义， x 0及x0 x在这
区间内，如果函数的增量 y f ( x0 x) f ( x0 ) 可表示为
y Ax o(x)
（1）
其中 A 是不依赖于 x 的常数，而 o(x) 是比 x高阶无穷小， 那么称函数 y f ( x) 在点 x 0 是可微的，而 Ax叫做函数 y f ( x)在点x 0 相应于自变量增量x的微分，记作dy，即：
1 x2
arctan x 1 ,
1 x2
arc cot x 1 .
1 x2
d log a
x
1 x lna
dx,
dln x 1 dx,
x
darcsin x 1 dx,
1 x2
darccos x 1 dx,
1 x2
darctan x 1 dx,
1 x2
darc cot x 1 dx.
当 x 很小时，dy y.
6
例1 求函数 y x 2在x 1和x 3处的微分。
解 函数 y x 2在x 1处的微分为 dy ( x 2 ) | x1 x 2x;
在x 3处的微分为 dy ( x 2 ) |x3 x 6x
例2 求函数y x 3当x 2,x 0.02时的微分.
d cot x csc2 xdx,
dsec x sec x tan xdx,
dcsc x csc x cot xdx,
d a x a x ln adx,
d ex e x dx,
9
loga
x
1 x lna
,
ln 1 ,
x
arcsinx 1 ,
1 x2
arccos x 1 ,
dy Ax.
若y Ax (x), 则称dy Ax为函数的微分.
Ax： 称 为y的 线 性 主 部 ， 即dy。 x 很小时，y dy
3
3、问题：函数可微的条件是什么？ A ?
设函数 y f (x) 在点 x0 可微, 则有(1)成立，即 y Ax o(x)
等式两端除以 x,得
y A o(x) .