1.1.探究与发现：解三角形的进一步讨论

2 6 2 2 6 6 ( 5 ) =x +( ) -2x ( ). 3 3 6 2 即3x +4x 7 0.
2 2
A D E
7 x=1或x （舍） . 3
B
C
4 6 6 例2.在ABC中，已知：AB= ,cosB= ,AC边上的 3 6 中线BD= 5. 求sin A的值。
必须a>b,才能有且只有一解，否则无解。
C b a C b a
A
B
A
B
2.当A为锐角时， 如果a b,那么只有一解。
C b C a B2
a
A 如果a<b,那么可以分下面三种情况讨论： b
B
a B1
（1）若a>bsinA,则有两解。
A （2）若a=bsinA,则只有一解。 C b A a=bsinA B b
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三 角形时，只有当A为锐角且 b sin A a b 时，有两解； 其它情况时则只有一解或无解。
例1.在ABC中，已知a 80，b 100，A 45 ， 试判断此三角形解的情况。
0
b sin A 100sin 45 解： sinB= = 1 a 80 又a<b, B有两解。 三角形有两解。
2
cos(A+B)[cos(A B ) +cos(A B )] =0,
2cos A cos B cosC =0,
A、B、C中至少有一个为900 , ABC为Rt.
1.在ABC中， A :sin B :sinC 1:2:3，判断ABC的类型。 sin
钝角三角形
2.已知ABC满足a cos A b cos B，判断ABC的类型。
2 2 2
b2 c2 a2 cos A 2bc a2 c2 b2 cos B 2bc 2 2 2 a b c cos C 2ab
（3）正弦定理的应用范围：
b sin A ①已知两角和任一边，求其它两边及一角；a sin B
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。 （4）余弦定理的应用范围：
ABC为等腰或Rt .
例4.在ABC中，若acosA+bcosB=ccosC,试判断ABC的形状。
解:(边化角）由已知得sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC,
sin2A+sin2B=sin2C,
sin2C=sin2[ -(A+B)]=sin[2 2 (A+B)]=-sin2(A+B), 2sin（A+B)cos(A-B)=-2sin(A+B)cos(A+B), sin（A+B)[cos(A-B)+cos(A+B)]=0, 2sin（A+B)cosAcosB=0, 0 A+B< , sin(A+B) 0, cosA=0或cosB=0,
a2(b 2 c2 a 2 ) 2(a 2 c2 b 2 ) 2(a 2 b 2 c2 ) +b =c , 2a2b 2 a 4 b4 = c4 ,
2 2 2 2 2 2
(a 2 b2 )2 c4 =0,
(a b c )(a b c ) =0, b2 a 2 c 2或a 2 b2 c 2,
等腰三角形或直角三角形
3.利用正弦定理、余弦定理证明三角形中的恒等式
例1.在ABC中，求证:a sin2B+b sin2A=2absinC.
2 2
证明:（边化角）
左边=4R2sin2A 2sinBcosB+4R2sin2B 2sinAcosA
=8R sinAsinB(sinAcosB+cosAsinB) =8R 2sinAsinBsin(A+B)
0
1 0 例2.在ABC中，a 1，c ，C 40 , 2 则符合题意的b的值有 __________ 个。 两个
a sinC 又a c, 解： sinA= =2sin400 1 c A有两解。 三角形有两解,b的值有两个。
例3.在ABC中，a xcm，b 2cm，B 450， 如果用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。
A=900或B=900 ,
ABC是以角A或以角B为直角的Rt。
例4.在ABC中，若acosA+bcosB=ccosC,试判断ABC的形状。
解:(角化边)由已知得 b 2 c2 a 2 a 2 c2 b 2 a 2 b 2 c2 a +b =c , 2bc 2ac 2ab
=2(2RsinA)(2RsinB)sinC
2
=2absinC
即：a sin2B+b sin2A=2absinC.
ABC是以角A或以角B为直角的Rt。
例5.在ABC中，已知cos A+cos B+cos C=1, 试判断ABC的形状。
2 2 2
解：由cos2A+cos2B+cos2C=1, 1 cos2A 1 cos2B 1 cos2C + + =1, 2 2 2 cos2A+cos2B +cos2C =-1, 2cos(A+B)cos(A B ) +2cos C 1=-1, cos(A+B)cos(A B ) +cos2(A B ) =0,
2 2 2
b c a （1）已知三边求三个角； cos A 2bc （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
a sin A sin B b
c a b 2ab cos C
2 2 2
注意：利用正弦定理求角时，应先求较短边的对角 （一定是锐角）可避免讨论。
探究：在ABC中，已知a,b,A,讨论三角形解的情况。 b sin A 分析：由sinB= ,可求出角B， a a sin C 则C=1800 ( A B), 从而c= . sin A 1.当A为钝角或直角时，
C
a<bsinA B
（3）若a<bsinA,则无解。 A

若A为锐角时:
无解 a b sin A a b sin A 一解直角 b sin A a b 二解一锐、一钝 ab 一解锐角
若A为直角或钝角时:
a b 无解 a b 一解锐角
0
B
D
C
4 6 6 例2.在ABC中，已知：AB= ,cosB= ,AC边上的 3 6 中线BD= 5. 求sin A的值。 1 解：取BC中点E, 连DE， 则DE AB且DE= AB. 2 2 6 DE= . 3 2 2 2 设BE=x,在BDE中,BD =BE +DE -2BE DEcosBED.
B=C或B= -C(舍）.
ABC为等腰直角三角形。
例3.在ABC中，已知tanA:tanB=a2:b2,试判断ABC的形状。
解法一： (边化角）
tan A a 2 2, tan B b
sin A cos B sin A 2 , 2 cos A sin B cos B cos B sin A 即 , cos A sin B
2
例1.在ABC中，a 7，b 5，c 3,判断ABC的形状。 b2 c2 a2 解：由余弦定理cosA= 可知: 2bc b 2 c 2 a 2 52 32 72 0 A为钝角.
2.利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状
ABC为钝角三角形.
总结：
sinC=sinAcosB,
即sin(A B ) sin A cos B ,
化简得：cosAsinB=0.
B 0, sinB 0,
cosA=0, A=900 .
又由b=asinC,得sinB=sinAsinC
而A=900， sin A 1
sinB=sinC,
B=C或B= -C(舍）
x=1，即BC=2.
在ABC中,AC2 =AB2 +BC2 -2AB BCcosABC.
4 6 2 2 4 6 6 84 2 21 AC =( ) +2 -2 2 = . AC= 3 3 6 9 3 AC BC 6 30 = . 由cosB= , sinB= . sin B sin A A 6 6 30 2 D 70 6 sin A . 14 2 21 B C E 3
即sin 2A sin 2B ,
2A 2B或2A 2B .
2 ABC为等腰或Rt .
A B或A B

.
例3.在ABC中，已知tanA:tanB=a2:b2,试判断ABC的形状。
解法二： (角化边）
tan A a 2, tan B b
2
sin A cos B sin A 2 , 2 cos A sin B cos B
a k sin A, b k sin B, c k sin C.(k 0)
a b c sin A ,sin B ,sin C R为外接圆半径 2R 2R 2R
b2 c2 a2 cos A 2bc
1.利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1.在ABC中，已知：B=45 ,D是BC边上一点，AD=5, AC=7,DC=3,求AB的长。 AC 2 DC 2 AD2 72 32 52 11 解：在ADC中，cosC= 2AC DC 273 14 5 3 0<C< ,sinC= . 14 5 3 7 AC sin C 14 5 6 . 在ABC中，AB= sin B 2 2 A 2
ABC为等腰直角三角形。