2015-2016学年天津市和平区高一(上)期末数学试卷

2015-2016学年天津市和平区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8题，每小题3，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的,.1．（3分）sin的值是（）A．B．﹣C．D．2．（3分）化简：+﹣=（）A．B．C．2D．﹣23．（3分）﹣456°角的终边相同的角的集合是（）A．{α|α=k•360°+456°，k∈Z}B．{α|α=k•360°+264°，k∈Z}C．{α|α=k•360°+96°，k∈Z}D．{α|α=k•360°﹣264°，k∈Z}4．（3分）把y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的倍（纵坐标不变），再把图象向左平移个单位长度，则所得函数图象的解析式为（）A．y=﹣sin2x B．y=sin（2x+）C．y=﹣cos2x D．y=cos2x5．（3分）已知不共线向量，，=t﹣（t∈R），=2+3，若A，B，C三点共线，则实数t=（）A．﹣ B．﹣C．D．﹣6．（3分）下列各式的大小关系正确的是（）A．sin11°＞sin168°B．sin194°＜cos160°C．cos（﹣）＞cos D．tan（﹣）＜tan（﹣）7．（3分）已知向量=（3，4），=（9，12），=（4，﹣3），若向量=2﹣，=+，则向量与的夹角为（）A．45°B．60°C．120°D．135°8．（3分）若sinx﹣cosx=4﹣m，则实数m的取值范围是（）A．2≤m≤6 B．﹣6≤m≤6 C．2＜m＜6 D．2≤m≤4二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案填在题中的横线上.9．（4分）已知扇形的周长为8cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为．10．（4分）已知向量=（﹣2，﹣1），•=10，|﹣|=，则||=．11．（4分）函数y=2sin（2x+），x∈[﹣，]的值域是．12．（4分）已知向量=（﹣2，﹣1）=（t，1），且与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是．13．（4分）化简：=．14．（4分）已知θ是第三象限角，且，那么sin2θ=．三、解答题：本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明，演算步骤.15．（8分）已知sinα=，且α是第一象限．（1）求tan（π+α）+的值；（2）求tan（α+）的值．16．（8分）如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，且||=2||．（Ⅰ）试用，表示；（Ⅱ）若=3，=2，且∠AOB=60°，求•的值．17．（9分）已知函数f（x）=Asin（3x+φ）（A＞0．x∈（﹣∞，+∞），0＜φ＜π）在x=时取得最大值4．．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的解析式；（3）若f（α+）=．求tan2α的值．18．（9分）已知cos（x﹣）=，x∈（，）．（1）求sinx的值；（2）求cos（2x﹣）的值．19．（9分）设0＜α＜π＜β＜2π，向量=（1，2），=（2cosα，sinα），=（sinβ，2cosβ），=（cosβ，﹣2sinβ）．（1）若⊥，求α；（2）若|+|=，求sinβ+cosβ的值；（3）若tanαtanβ=4，求证：∥．20．（9分）已知函数f（x）=sinx+cosx．（1）若f（x）=2f（﹣x），求的值；（2）求函数F（x）=f（x）•f（﹣x）+f2（x）的最大值和单调递增区间．2015-2016学年天津市和平区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8题，每小题3，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的,.1．（3分）（2015秋•和平区期末）sin的值是（）A．B．﹣C．D．【分析】直接利诱导公式以及特殊角的三角函数化简求解即可．【解答】解：sin=sin=．故选：C．【点评】本题考查诱导公式的化简求值，考查计算能力．2．（3分）（2015秋•和平区期末）化简：+﹣=（）A．B．C．2D．﹣2【分析】利用向量加法法则求解．【解答】解：+﹣===．故选：A．【点评】本题考查向量的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意向量加法法则的合理运用．3．（3分）（2015秋•和平区期末）﹣456°角的终边相同的角的集合是（）A．{α|α=k•360°+456°，k∈Z}B．{α|α=k•360°+264°，k∈Z}C．{α|α=k•360°+96°，k∈Z}D．{α|α=k•360°﹣264°，k∈Z}【分析】终边相同的角相差了360°的整数倍，又264°与﹣456°终边相同．【解答】解：终边相同的角相差了360°的整数倍，设与﹣456°角的终边相同的角是α，则α=﹣456°+k•360°，k∈Z，又264°与﹣456°终边相同，∴α=264°+k•360°，k∈Z，故选：B．【点评】本题考查终边相同的角的概念及终边相同的角的表示形式，属于基础题．4．（3分）（2015秋•和平区期末）把y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的倍（纵坐标不变），再把图象向左平移个单位长度，则所得函数图象的解析式为（）A．y=﹣sin2x B．y=sin（2x+）C．y=﹣cos2x D．y=cos2x【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象周期变换法则，我们可得到把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，对应图象的解析式，再根据函数图象的平移变换法则，可得到再把图象向左平移个单位，这时对应于这个图象的解析式．【解答】解：函数y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，可以得到函数y=sin2x的图象再把图象向左平移个单位，以得到函数y=sin2（x+）=cos2x的图象故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，其中熟练掌握函数y=Asin （ωx+φ）的图象的平移变换、周期变换、振幅变换法则是解答本题的关键．5．（3分）（2015秋•和平区期末）已知不共线向量，，=t﹣（t∈R），=2+3，若A，B，C三点共线，则实数t=（）A．﹣ B．﹣C．D．﹣【分析】根据向量，不共线，作为基底表示出、；利用共线定理列出方程，求出t 的值．【解答】解：向量，不共线，作为基底时，=t﹣=（t，﹣1），=2+3=（2，3）；又A，B，C三点共线，与共线，所以3t﹣2×（﹣1）=0，解得t=﹣．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与共线定理的应用问题，是基础题目．6．（3分）（2015秋•和平区期末）下列各式的大小关系正确的是（）A．sin11°＞sin168°B．sin194°＜cos160°C．cos（﹣）＞cos D．tan（﹣）＜tan（﹣）【分析】各项两式变形后，利用诱导公式化简，根据正弦与余弦函数的单调性即可做出判断．【解答】解：A，∵sin168°=sin（180°﹣12°）=sin12°，又∵y=sinx在x∈[0，]上是增函数，∴sin11°＜sin12°，即sin11°＜sin168°．故错误；B，∵sin194°=sin（180°+14°）=﹣sin14°，cos160°=cos（180°﹣20°）=﹣cos20°=﹣sin70，又∵y=sinx在x∈[0，]上是增函数，∴sin14°＜sin70°，即cos160°＜sin194°．故错误；C，∵cos（﹣）=﹣cos，cos=﹣cos，又∵y=cosx在x∈[0，π]上是减函数，∴﹣cos＜﹣cos，即cos（﹣）＞cos．故正确；D，∵tan（﹣）=﹣tan，tan（﹣）=﹣tan，又∵y=tanx在x∈[0，]上是增函数，∴tan＜tan，即tan（﹣）＞tan（﹣）．故错误；故选：C．【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式，先转化再利用单调性比较大小是解本题的关键，考查了计算能力，属于中档题，7．（3分）（2015秋•和平区期末）已知向量=（3，4），=（9，12），=（4，﹣3），若向量=2﹣，=+，则向量与的夹角为（）A．45°B．60°C．120°D．135°【分析】根据条件可以求出向量的坐标，从而可以求出的值，这样根据cos即可求出cos，从而得出向量与的夹角．【解答】解：，；∴，；∴；∴向量与的夹角为135°．故选：D．【点评】考查向量坐标的加法、减法，及数乘运算，以及根据向量坐标求向量长度，向量数量积的坐标运算，向量夹角余弦的计算公式．8．（3分）（2015秋•和平区期末）若sinx﹣cosx=4﹣m，则实数m的取值范围是（）A．2≤m≤6 B．﹣6≤m≤6 C．2＜m＜6 D．2≤m≤4【分析】利用辅助角公式化简已知的式子，再利用正弦函数的值域，可得﹣2≤4﹣m≤2，由此求得m的范围．【解答】解：若sinx﹣cosx=4﹣m，则2sin（x﹣）=4﹣m，∴﹣2≤4﹣m≤2，求得2≤m≤6，故选：A．【点评】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的值域，属于基础题．二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案填在题中的横线上.9．（4分）（2015秋•和平区期末）已知扇形的周长为8cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为4．【分析】设扇形的半径为r，弧长为l，根据扇形周长和弧长公式列式，解之得r=2，l=4，再由扇形面积公式可得扇形的面积S．【解答】解：设扇形的半径为r，弧长为l，则解得r=2，l=4由扇形面积公式可得扇形面积S=lr==4故答案为：4【点评】本题给出扇形的周长和圆心角的大小，求扇形的面积，着重考查了扇形的面积公式和弧长公式等知识，属于基础题．10．（4分）（2015秋•和平区期末）已知向量=（﹣2，﹣1），•=10，|﹣|=，则||=2．【分析】根据平面向量的坐标表示数量积运算，利用完全平方公式，分别求出的模长||与的模长||．【解答】解：∵向量=（﹣2，﹣1），∴||==；又•=10，|﹣|=，∴﹣2•+=5﹣2×10+=5，解得||=2．故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与数量积的应用问题，也考查了求向量模长的应用问题，是基础题目．11．（4分）（2015秋•和平区期末）函数y=2sin（2x+），x∈[﹣，]的值域是[﹣，2] ．【分析】求出2x+的范围，结合正弦函数的图象与性质得出范围．【解答】解：∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[0，]．∴当2x+=时，2sin（2x+）取得最大值2×1=2；当2x+=时，2sin（2x+）取得最小值2×（﹣）=﹣．故答案为[﹣，2]．【点评】本题考查了正弦函数的图象，属于基础题．12．（4分）（2015秋•和平区期末）已知向量=（﹣2，﹣1）=（t，1），且与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是．【分析】由向量的数量积定义公式，可知两个向量数量积大于﹣1小于0，即数量积小于0 且两向量不为反向向量．【解答】解：若与的夹角为钝角，则它们数量积小于0 且两向量不为反向向量．由=（﹣2，﹣1）•（t，1）=﹣2t﹣1＜0，得t＞，若为反向向量，则（λ＜0）∴解得∴t≠2．所以实数t的取值范围是t＞，且t≠2，即t∈故答案为：．【点评】本题考查了向量的夹角，用到的是向量的数量积定义公式，注意向量夹角为钝角的等价转化是数量积小于0 且两向量不为反向向量．13．（4分）（2015秋•和平区期末）化简：=2﹣．【分析】由条件利用两角和差的三角公式化简所给的式子，可得结果．【解答】解：===tan15°=tan（45°﹣30°）===2﹣，故答案为：2﹣．【点评】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，属于基础题．14．（4分）（2015秋•和平区期末）已知θ是第三象限角，且，那么sin2θ=．【分析】根据已知正弦和余弦的四次方和的值和要求的结论是sin2θ，所以把正弦和余弦的平方和等于1两边平方，又根据角是第三象限的角判断出要求结论的符号，得到结果．【解答】解：∵sin2θ+cos2θ=1，∴sin4θ+cos4θ+2sin2θcos2θ=1，∵∴∵角是第三象限角，∴sin2θ=，故答案为：．【点评】已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的其他三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解．三、解答题：本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明，演算步骤.15．（8分）（2015秋•和平区期末）已知sinα=，且α是第一象限．（1）求tan（π+α）+的值；（2）求tan（α+）的值．【分析】（1）利用诱导公式化简所求的表达式，通过同角三角函数基本关系式求解即可．（2）利用两角和的正切函数化简求解即可．【解答】解：（1）sinα=，且α是第一象限．∴cosα==，∴tanα=．tan（π+α）+=tanα+==．（2）由（1）可得tan，tan（α+）===3．【点评】本题考查诱导公式以及两角和与差的三角函数的化简求值，考查计算能力．16．（8分）（2015秋•和平区期末）如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，且||=2||．（Ⅰ）试用，表示；（Ⅱ）若=3，=2，且∠AOB=60°，求•的值．【分析】（I）由题意，根据向量的三角形法则由=2，变形为关于，，的方程，从中解出的表达式即可；（II）由（I），可将用数量积表示出来，再由=3，=2，且∠AOB=60°，计算出•的值【解答】解：（I）∵P是线段AB上的一点，且||=2||．∴=2．即有∴（II）由（I）知=（）•（）=﹣+=﹣×9﹣×3×2cos60°+×4=﹣【点评】本题考点是向量在几何中的应用，综合考查了向量三角形法则，向量的线性运算，向量的数量积的运算及数量积公式，熟练掌握向量的相关公式是解题的关键，本题是向量基本题，计算题17．（9分）（2015秋•和平区期末）已知函数f（x）=Asin（3x+φ）（A＞0．x∈（﹣∞，+∞），0＜φ＜π）在x=时取得最大值4．．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的解析式；（3）若f（α+）=．求tan2α的值．【分析】（1）根据题意，求出f（x）的最小正周期T=；（2）根据f（x）max=f（）求出A与φ的值即可；（3）根据f（α+）的值求出cos2α与sin2α的值，再求出tan2α的值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=Asin（3x+φ），∴f（x）的最小正周期为T==；（2）∵f（x）max=f（）=Asin（3×+φ）=4，∴A=4，且sin（+φ）=1，又∵0＜φ＜π，∴＜+φ＜，∴+φ=，解得φ=，∴f（x）=4sin（3x+）；（3）∵f（α+）=，∴4sin[3（α+）+]=，化简得sin（2α+）=，即cos2α=，∴sin2α=±=±，∴tan2α==±．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数求值的应用问题，考查了计算能力与逻辑思维能力，是基础题目．18．（9分）（2015秋•和平区期末）已知cos（x﹣）=，x∈（，）．（1）求sinx的值；（2）求cos（2x﹣）的值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式，二倍角公式，求得要求式子的值．【解答】解：（1）∵x∈（，），∴x﹣∈（，），∴sin（x﹣）==，∴sinx=sin[（x﹣）+]=sin（x﹣）cos+cos（x﹣）sin=+=．（2）∵x∈（，），sinx=，∴cosx=﹣=﹣，∴sin2x=2sinxcosx=﹣，cos2x=2cos2x﹣1=2•﹣1=﹣，∴cos（2x﹣）=cos2xcos+sin2xsin=﹣•﹣•=﹣．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式，二倍角公式的应用，属于中档题．19．（9分）（2015秋•和平区期末）设0＜α＜π＜β＜2π，向量=（1，2），=（2cosα，sinα），=（sinβ，2cosβ），=（cosβ，﹣2sinβ）．（1）若⊥，求α；（2）若|+|=，求sinβ+cosβ的值；（3）若tanαtanβ=4，求证：∥．【分析】（1）由便有2cosα+2sinα=0，从而得到tanα=﹣1，这样由α的范围便可求出α；（2）先求出的坐标，根据便可得到5﹣6sinβcosβ=3，从而求出，这说明sinβ，cosβ同号，再根据β的范围便可判断sinβ＜0，cosβ＜0，而可求得，这样即可求出sinβ+cosβ的值；（3）由tanαtanβ=4便可得到4cosαcosβ﹣sinαsinβ=0，这样由平行向量的坐标关系即可得出．【解答】解：（1）∵；∴；即2cosα+2sinα=0；∴tanα=﹣1；∵0＜α＜π；∴；（2）；；∴；∴（sinβ+cosβ）2+4（cosβ﹣sinβ）2=3；∴5﹣6sinβcosβ=3；∴sinβcosβ=，则sinβ，cosβ同号；∴（sinβ+cosβ）2=1+2sinβcosβ=；∵π＜β＜2π；又sinβ，cosβ同号；∴，即sinβ＜0，cosβ＜0；∴；（3）证明：由tanαtanβ=4得，；∴sinαsinβ=4cosαcosβ；∴4cosαcosβ﹣sinαsinβ=0；∴∥．【点评】考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，已知三角函数值求角，向量坐标的加法运算，根据向量坐标求向量长度，切化弦公式，以及平行向量的坐标关系．20．（9分）（2015秋•和平区期末）已知函数f（x）=sinx+cosx．（1）若f（x）=2f（﹣x），求的值；（2）求函数F（x）=f（x）•f（﹣x）+f2（x）的最大值和单调递增区间．【分析】（1）由题意可求f（﹣x）=cosx﹣sinx，又f（x）=2f（﹣x），化简可得tanx=，由倍角公式，同角三角函数基本关系式化简所求后即可计算得解．（2）利用倍角公式，两角和的正弦函数公式可求F（x）=sin（2x+）+1，利用正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】（本题满分为9分）解：（1）∵f（x）=sinx+cosx．∴f（﹣x）=cosx﹣sinx，又∵f（x）=2f（﹣x），∴sinx+cosx=2（cosx﹣sinx），且cosx≠0，∴3sinx=cosx，∴tanx=，∴====…4分（2）F（x）=f（x）•f（﹣x）+f2（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）+（sinx+cosx）2=2cos2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x+1=sin（2x+）+1，…6分∴当sin（2x+）=1时，F（x）min=，由2k≤2x+2k（k∈Z），可得：kπ﹣≤x≤kπ+（k∈Z），∴函数F（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）…9分【点评】本题主要考查了倍角公式，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；zlzhan；sxs123；w3239003；742048；wkl197822；caoqz；ywg2058；zhczcb；zwx097；xintrl（排名不分先后）菁优网2016年12月21日。