13252ja_1.1.2导数的概念教案
教学设计6：1.1.2 导数的概念
1.1.2 导数的概念教材分析一般地，学习导数概念的起点是极限，但就高中学生的认知水平而言，学生很难理解极限的形式化定义，因此也影响了对导数本质的理解．本节课，教材将学习导数的概念分为两个阶段：第一阶段是通过大量实例，利用逼近思想直观理解瞬时速度的含义；第二阶段则是将瞬时速度一般化，即通过对瞬时速度的理解来引出导数的概念．整个过程蕴涵了逼近的思想和用已知探求未知的思想方法．课时分配1课时．教学目标1．知识与技能目标利用学生对瞬时速度的理解，逐步达到对导数概念和基本方法的直观、准确的理解．2．过程与方法目标用形象直观的“逼近”方法定义导数，学习和掌握用已知探究未知的思想方法．3．情感、态度与价值观通过本节课的学习，培养学生运动变化的观点和辩证统一的思想．在对实际问题的分析过程中，体会、感受数学的创造美．重点难点重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；难点：准确理解导数的概念．教学过程引入新课问题1：物体作自由落体运动的方程是s (t )＝12g t 2，求1 s 到2 s 的平均速度． 问题2：物体作自由落体运动的方程是s (t )＝12g t 2，如何求t ＝3 s 这一时刻的速度呢？ 活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流． 学情预测：经过简单运算，学生能够回答出第一个问题．对于第二个问题，可能在理解“瞬时速度”上有难度，感觉无从下手．教师提问：这两个问题在解法上有什么区别和联系？能否从它们的联系上寻找第二个问题的解法？你对“t ＝3 s 这一时刻”怎么理解？学情预测：学生能够利用物理知识解决速度问题，但对某一时刻的速度，未必能从“平均速度”和“瞬时速度”的关系上说清楚．教师提示：我们可以取t ＝3 s 临近时间间隔内的平均速度去“逼近”t ＝3 s 时刻的“瞬时速度”，如在[3,3＋Δt ]内或在[3－Δt ,3]内，不过时间间隔Δt 要尽可能小．学情预测：经过提示和讨论后，学生应该能从尽可能缩小时间间隔的角度进行感性认识和猜测了．活动成果：师生共同得出如下结论：取一小段时间：[3,3＋Δt ]，Δs ＝12g(3＋Δt )2－92g ，Δv ＝Δs Δt ＝g 2(6＋Δt )． 当Δt →0时，Δv →3g.设计意图从学生学过并且熟悉的物理问题切入，以平均速度和瞬时速度作对比设计两个问题，使学生有一个思考的台阶，在教师的引导提示下，感性地认识瞬时速度的概念．探究新知在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的．我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．运动员的平均速度不一定能反映他在某一时刻的瞬时速度．那么，如何求运动员的瞬时速度呢？提出问题：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与跳后的时间t (单位：s)存在函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，试探求运动员在t ＝2 s 时的瞬时速度是多少？活动设计：以小组为单位，列好表格，准备好计算器，分别计算时间间隔Δt ＝－0.01，－0.001，－0.000 1，－0.000 01，－0.000 001，…在区间[2＋Δt ,2]内的平均速度和Δt ＝0.01，0.001,0.000 1,0.000 01,0.000 001，…时，在区间[2,2＋Δt ]内的平均速度．并观察当|Δt |逐渐变小时，平均速度v 的取值变化情况．活动成果：当Δt <0时，在[2＋Δt ,2]这段时间内 v ＝h (2)－h (2＋Δt )2－(2＋Δt )＝4.9Δt 2＋13.1Δt －Δt＝－4.9Δt －13.1. 当Δt ＝－0.01时，v ＝－13.051；当Δt ＝－0.001时，v ＝－13.095 1；当Δt ＝－0.000 1时，v ＝－13.099 51；当Δt ＝－0.000 01时，v ＝－13.099 951；当Δt ＝－0.000 001时，v ＝－13.099 995 1；……当Δt >0时，在[2,2＋Δt ]这段时间内v ＝h (2＋Δt )－h (2)(2＋Δt )－2＝－4.9Δt 2－13.1Δt Δt ＝－4.9Δt －13.1.当Δt ＝0.01时，v ＝－13.149；当Δt ＝0.001时，v ＝－13.104 9；当Δt ＝0.000 1时，v ＝－13.100 49；当Δt ＝0.000 01时，v ＝－13.100 049；当Δt ＝0.000 001时，v ＝－13.100 004 9；……可以看出，当|Δt |逐渐变小时，平均速度v 的取值逐渐趋近于一个稳定的值－13.1，从物理的角度看，时间间隔|Δt |无限变小时，平均速度v 就无限趋近于t ＝2 s 时的瞬时速度．所以说，运动员在t ＝2 s 时的瞬时速度是－13.1 m/s.为了表述方便，我们用0lim t ∆→ h (2＋Δt )－h (2)Δt＝－13.1 来表示“当Δt →0时，v →－13.1”．提出问题：仍以高台跳水为例，运动员在某一时刻t 0的瞬时速度怎样表示？能用它来表示函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率吗？活动设计：学生独立思考，两名学生板演，其他学生在练习本上试着写出结果，然后教师点评．活动成果：根据上面对瞬时速度概念的探究，可知：运动员在某一时刻t 0的瞬时速度为0lim t ∆→ h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt. 类似地，函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率可以表示为0lim x ∆→ f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim x ∆→ Δf Δx.我们称它为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)＝0lim x ∆→ f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim x ∆→ Δf Δx . 理解新知例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h 时，原油的温度(单位：℃)为f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)，计算第2 h 时和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．学情预测：根据上面所学知识，学生能够求出第2 h 时和第6 h 时原油温度的瞬时变化率，但是在说明它们的意义时可能有困难，或表述不准确．活动设计：学生先独立思考，一名学生板演，其他学生在练习本上试着写出过程和结果．教师适时点评．活动结果：在第2 h 时和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率就是f ′(2)和f ′(6)．根据导数的定义，Δf Δx ＝f (2＋Δx )－f (x 0)Δx＝(2＋Δx )2－7(2＋Δx )＋15－(22－7×2＋15)Δx＝Δx －3， 所以，f ′(2)＝0lim x ∆→ Δf Δx ＝0lim x ∆→ (Δx －3)＝－3.同理可得：f ′(6)＝5. 在第2 h 时和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为－3和5.说明在2 h 附近，原油温度大约以3 ℃/h 的速率下降；在第6 h 附近，原油温度大约以5 ℃/h 的速率上升．点评：(1)函数f (x )在x ＝x 0处的导数即为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率；(2)瞬时变化率是平均变化率的极限；(3)Δx ＝x －x 0，当Δx →0时，x →x 0，所以f ′(x 0)＝0lim x x → f (x )－f (x 0)x －x 0； (4)由定义知，求f (x )在x 0处的导数的步骤为：求增量Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )算比值Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx 求极限y ′＝0lim x ∆→ Δy Δx. 由导数的定义，我们知道，高度h 关于时间t 的导数就是运动员的瞬时速度；气球半径r 关于体积V 的导数就是气球的瞬时膨胀率．实际上，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，如效率、国内生产总值的增长率等等．设计本例的主要目的还是让学生在实际问题背景中体会导数的产生、导数的意义等．设计意图运用新知例2 (1)求函数f (x )＝－x 2＋x 在x ＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．(2)求函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数．思路分析：求函数f (x )在任意点处的导数都应先求平均变化率，再求f ′(x 0)．解：(1)因为Δf Δx ＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )＋2Δx ＝3－Δx ， 所以f ′(－1)＝0lim x ∆→ Δy Δx ＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )＋2Δx ＝0lim x ∆→ (3－Δx )＝3. (2)因为Δf ＝Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝6Δx ＋3(Δx )2，所以Δf Δx ＝6＋3Δx ，0lim x ∆→ Δf Δx＝6. 点评：体会求函数f (x )在任一点处的导数的一般步骤，进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对于Δy 与Δx 的比值，感受和认识在Δx 逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常数A 这一现象．例3 函数f (x )满足f ′(1)＝1，则当x 无限趋近于0时，(1) 0lim x → f (1＋x )－f (1)2x＝__________， (2) lim x→0 f (1＋2x )－f (1)x＝____________. 思路分析：因为f (x )在x ＝1处存在导数，所以当x 无限趋近于0时，2x 也无限趋近于0，故lim x →0 f (1＋x )－f (1)x ＝1， lim 2x→0 f (1＋2x )－f (1)2x＝1. 【解析】(1)lim x →0f (1＋x )－f (1)2x ＝lim x→0 12f (1＋x )－f (1)x ＝12， (2)lim x →0 f (1＋2x )－f (1)x ＝2lim 2x →0f (1＋2x )－f (1)2x＝2. 【答案】(1)12(2)2 点评：理解导数的意义，关键在理解当Δx →0时，Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx的变化趋势． 巩固练习1．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( )A ．0.41B ．3C ．4D ．4.12．设函数f (x )可导，则0lim x ∆→ f (1＋Δx )－f (1)3Δx等于( ) A ．f ′(1) B ．不存在C. 13f ′(1) D ．以上都不对 3．设f (x )＝1x ，则lim x a→ f (x )－f (a )x －a 等于( ) A ．－1a B. 2a C ．－1a 2 D. 1a 2 【答案】1.D 2.C 3.C变练演编变式(1)设f (x )在x ＝x 0处可导，若f (x 0＋4Δx )－f (x 0)Δx无限趋近于1，则f ′(x 0)＝__________. 变式(2)设f (x )在x ＝x 0处可导，若f (x 0－4Δx )－f (x 0)Δx无限趋近于1，则f ′(x 0)＝__________. 变式(3)设f (x )在x ＝x 0处可导，当Δx 无限趋近于0时，f (x 0＋2Δx )－f (x 0－2Δx )Δx所对应的常数与f ′(x 0)的关系．活动设计：学生独立完成，教师将所有发现的结果一一列举，再由学生相互之间交流、评价，最后教师给出正确答案．【答案】变式(1)：14变式(2)：－14变式(3)：当Δx 无限趋近于0时，f (x 0＋2Δx )－f (x 0－2Δx )Δx＝4f ′(x 0) 设计意图对于函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim t ∆→ f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim t ∆→ Δf Δx，Δx 表示的意义是一个尽可能小的改变量，是一个广义的概念．通过变练(就是变式训练)演编(就是让学生试着自己编题)，让全班同学通过交流合作的形式，在辨析中加深对导数概念的理解．达标检测1．当自变量x 由x 0增加到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数……( )A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率B ．在x 0处的变化率C ．在x 1处的变化率D ．在区间[x 0，x 1]上的导数2．下列各式中正确的是( )A ．f ′(x 0)＝0lim t ∆→ f (x 0－Δx )－f (x 0)2ΔxB ．f ′(x 0)＝0lim t ∆→ f (x 0－Δx )－f (Δx )ΔxC ．f ′(x 0)＝0lim t ∆→ f (x 0＋Δx )＋f (x 0)－ΔxD ．f ′(x 0)＝0lim t ∆→ f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx 3．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 的值为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－34．y ＝x 3－1，当x ＝2时，0lim t ∆→ Δy Δx＝______. 【答案】1.A 2.D 3.A 4.12课堂小结本节课通过大量的实例，引出了瞬时速度、瞬时变化率的概念，进而形成了导数的概念．其中探究从平均速度到瞬时速度的过程和方法，从特殊推向一般的思想和方法，以及利用所学知识解决实际问题的思想和方法都具有非常重要的作用．布置作业课本习题1.1A2、A3、B1.补充练习1．若f (x )＝x 3，f ′(x 0)＝3，则x 0的值是( )A ．1B ．－1C ．±1D ．33【答案】C2．设函数f (x )＝mx 3＋2，若f ′(－1)＝3，则m ＝__________.【答案】13．设一物体在t 秒内所经过的路程为s 米，并且s ＝4t 2＋2t －3，试求物体分别在运动开始及第5秒末的速度．解：开始的速度为2米/秒，第5秒末的速度为42米/秒．设计说明本节课从变化率入手，通过大量的实验和学生的广泛参与，用形象直观的逼近思想来理解瞬时速度和瞬时变化率，在此基础上再给出导数定义．这样做可以避免学生因未学习极限的概念而影响对导数的认识，可以使学生更直观形象地理解导数概念，同时还能使学生对逼近思想有一定的了解．教学过程中，从形成导数定义到理解导数内涵都使用了瞬时速度这个具体的物理模型，教学的关键放在了让学生充分经历从平均速度探究到瞬时速度上．整个过程采用的方法都是遵循循序渐进的原则，尊重学生的认知水平和认知规律．另外，本节还选配了一些其他方面的变化率问题，形式丰富的实例有利于学生辨别出它们具有的共同特征，认识到导数可以描述任何事物的瞬时变化率，从而加深对导数概念的理解．。
《导数的概念》教案
《导数的概念》教案教案：导数的概念1.教学目标：1.1.知识目标：学生能够了解导数的概念及其基本性质。
1.2.能力目标：学生能够应用导数的概念解决实际问题。
1.3.情感目标：通过对导数的学习，培养学生的分析和解决问题的能力，并培养学生的兴趣和热爱数学的情感。
2.教学重点：2.1.导数的定义和概念。
2.2.导数的基本性质。
3.教学难点：3.1.导数的基本性质的理解和应用。
3.2.导数的计算和应用。
4.教学过程：4.1.导入（10分钟）：引入导数的概念，通过一个简单的例子说明导数的作用和意义。
4.2.导数的定义（20分钟）：4.2.1.简单介绍导数的定义和符号表示。
4.2.2.讲解导数的物理意义和几何意义。
4.2.3.通过实例和图像说明导数的计算。
4.3.导数的基本性质（30分钟）：4.3.1.导数的定义区间和存在性。
4.3.2.导数的唯一性和连续性。
4.3.3.导数的运算法则。
4.4.导数的应用（30分钟）：4.4.1.导数在函数图像的研究中的应用。
4.4.2.导数在最值问题中的应用。
4.4.3.导数在速度和加速度中的应用。
4.5.小结（10分钟）：对导数的概念及其应用进行总结，并布置相应的作业。
5.教学手段：5.1.板书与讲解相结合的教学方法。
5.2.生动形象的实例和图像辅助讲解。
5.3.教师提问和学生互动的教学方式。
6.教学资源：教材、黑板、彩色粉笔、投影仪等。
7.教学评价：7.1.反馈评价：学生在课堂上积极参与，课堂气氛活跃。
7.2.笔试评价：设计一套综合性的习题，考查学生对导数概念理解和应用的能力。
7.3.直观评价：观察学生在计算和解决实际问题时运用导数的能力和方法。
8.教学延伸：8.1.导数的计算和应用在微积分的后续学习中具有重要的作用，学生还需继续加深对导数概念和应用的理解。
8.2.练习不同类型的导数计算题目，提高运算能力和分析解决问题的能力。
8.3.进一步了解导数的发展与应用，拓宽数学知识的广度。
高中数学《1.1.2导数的概念》教案 新人教a版选修22
§1.1.2导数的概念教学目标：1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念．教学过程：一．创设情景（一）平均变化率 （二）探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． 二．新课讲授1．瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况：思考：当t ∆趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？结论：当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-． 从物理的角度看，时间t ∆间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s - 为了表述方便，我们用0(2)(2)lim 13.1t h t h t∆→+∆-=-∆ 表示“当2t =，t ∆趋近于0时，平均速度v 趋近于定值13.1-”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
2 导数的概念从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:0000()()lim lim x x f x x f x f x x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即 0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率（2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以0000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=- 三．典例分析例1．（1）求函数y =3x 2在x =1处的导数.分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１)=6Δx +(Δx )2再求6f x x∆=+∆∆再求0lim 6x f x ∆→∆=∆ 解：法一（略）法二：222211113313(1)|lim lim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- （2）求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 解：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim(3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆ 例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义，0(2)()f x f x f x x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆ 所以00(2)lim lim (3)3x x f f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)5f '=在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和5，说明在2h 附近，原油温度大约以3/C h 的速率下降，在第6h 附近，原油温度大约以5/C h的速率上升． 注：一般地，'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况．四．课堂练习1．质点运动规律为32+=t s ，求质点在3t =的瞬时速度为． 2．求曲线y =f (x )=x 3在1x =时的导数．3．例2中，计算第3h 时和第5h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．五．回顾总结1．瞬时速度、瞬时变化率的概念2．导数的概念六．布置作业。
高中数学 1.1.2导数的概念教案 新人教版选修2-2
§1.1.2导数的概念教学目标1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念．教学过程：一．创设情景 （一）平均变化率（二）探究：计算运动员在49650≤≤t这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． 二．新课讲授1．瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况：ht o思考：当t ∆趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？ 结论：当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-．从物理的角度看，时间t ∆间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s -为了表述方便，我们用0(2)(2)lim 13.1t h t h t∆→+∆-=-∆ 表示“当2t =，t ∆趋近于0时，平均速度v 趋近于定值13.1-”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
2 导数的概念从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:0000()()lim lim x x f x x f x f x x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率 （2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以0000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=- 三．典例分析例1．（1）求函数y =3x 2在x =1处的导数.分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１)=6Δx +(Δx )2再求6f x x ∆=+∆∆再求0lim 6x f x∆→∆=∆ 解：法一（略）法二：222211113313(1)|lim lim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- （2）求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 解：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim (3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义，0(2)()f x f x f x x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆ 所以00(2)lim lim(3)3x x f f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)5f '=在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和5，说明在2h 附近，原油温度大约以3/C h 的速率下降，在第6h 附近，原油温度大约以5/C h 的速率上升．注：一般地，'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况．四．课堂练习1．质点运动规律为32+=t s ，求质点在3t =的瞬时速度为．2．求曲线y =f (x )=x 3在1x =时的导数．3．例2中，计算第3h 时和第5h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．五．回顾总结1．瞬时速度、瞬时变化率的概念2．导数的概念六．布置作业。
《导数的概念教案》
教案名称：导数的概念教案课时安排：2课时教学目标：1. 理解导数的定义和意义；2. 掌握导数的计算方法；3. 能够应用导数解决实际问题。
教学方法：1. 采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学；2. 引导学生通过观察、思考、讨论，发现导数的本质；3. 利用多媒体课件辅助教学，提高学生的学习兴趣。
教学内容：第一课时一、导入（5分钟）1. 复习相关概念：函数、极限的概念；2. 提问：函数在某一点的极限有什么意义？二、新课讲解（15分钟）1. 引入导数的定义：导数是函数在某一点的瞬时变化率；2. 解释导数的物理意义：描述物体在某一时刻的瞬时速度；3. 示例讲解：利用极限的概念推导函数的导数；4. 强调导数的计算方法：求导数的关键是找到函数的导数公式。
三、课堂练习（10分钟）1. 请学生独立完成练习题，巩固导数的定义和计算方法；2. 教师选取部分学生的作业进行讲解和评价。
第二课时四、新课讲解（15分钟）1. 介绍导数的运算法则：加法、减法、乘法、除法的导数法则；2. 示例讲解：利用导数法则计算复合函数的导数；3. 强调导数在实际问题中的应用：优化问题、物理问题等。
五、课堂练习（10分钟）1. 请学生独立完成练习题，巩固导数的运算法则和应用；2. 教师选取部分学生的作业进行讲解和评价。
教学评价：1. 课后作业：检查学生对导数的定义、计算方法和应用的掌握程度；2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思考能力和合作意识。
教学反思：本节课通过讲解、示例和练习，使学生初步掌握了导数的定义、计算方法和应用。
在教学过程中，要注意引导学生积极参与，提高学生的思考能力和合作意识。
加强对学生的个别辅导，提高学生的学习效果。
教案名称：导数的概念教案课时安排：2课时教学目标：1. 理解导数的定义和意义；2. 掌握导数的计算方法；3. 能够应用导数解决实际问题。
教学方法：1. 采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学；2. 引导学生通过观察、思考、讨论，发现导数的本质；3. 利用多媒体课件辅助教学，提高学生的学习兴趣。
选修2-2第一章1.1.2导数的概念-教案
第1页共3页1.1 导数1.1.2 导数的概念【提出问题】质点M 的运动方程为2()s t t =，求1t =时的瞬时速度。
解：因为22(1)(1)(1)1(2)s s t s t t t ∆=+∆-=+∆-=+∆∆ 所以2s t t∆=+∆∆ 当t ∆趋近于0时，s t ∆∆趋近于2 所以1t =时的瞬时速度为2那么，对于一般函数()f x 的瞬时变化率怎么定义呢？【抽象概括】设函数y ＝f (x )在x 0附近有定义，当自变量在x ＝x 0附近改变量为Δx 时，函数值相应的改变量为Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，如果当Δx 趋近于0时，平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx趋近于一个常数l ， 那么常数l 称为函数f (x )在点x 0处的瞬时变化率．事实上，运动的瞬时速度就是路程函数y ＝s (t )的瞬时变化率．“当Δx 趋近于0时，平均变化率f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx趋近于一个常数l ”可以用符号“→”记作“当Δx →0时， f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx→l ” 通常也记作000()()lim x f x x f x l x∆→+∆-=∆ 【获得新知】函数()f x 在x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x 0处的导数，通常记作f ′(x 0)，第2页共3页即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则称f (x )在区间(a ，b )可导，这样，对开区间(a ，b )内每个值x ，都对应一个确定的导数f ′(x )．于是，在区间(a ，b )内，f ′(x )构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f (x )的导函数，记为f ′(x )或y ′(或y ′x )．导函数通常简称为导数．【概念领悟】1．对导数概念的理解(1)Δx →0是指Δx 可以从0的左右两侧趋向于0，可以任意小的间隔，但始终不会为0.(2)如果lim Δx →0Δy Δx存在，则称f (x )在x ＝x 0处可导． (3)令x ＝x 0＋Δx ，得Δx ＝x －x 0，于是f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x )－f (x 0)x －x 0，与概念中的f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx意义相同． （4）这里研究的是两个变量,y x ∆∆比值变化的性质与状态，尽管,y x ∆∆在变化过程中都趋近于0，但是它们的比值却趋近于一个确定的常数。
《 导数 的概念》教学设计
《导数的概念》教学设计一、学习内容分析:1.本节内容:导数的概念是高中新教材人教版选修1-1第一章第一节1.1.2的内容，是在学生学习了物理的平均速度和瞬时速度的背景下，以及前节课所学的平均变化率的基础上，阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系，从实例出发得到导数的概念。
新教材从平均变化率入手，用形象直观的"逼近"方法定义导数。
2.在课程标准、高考考纲中的地位与作用:"导数的概念"是全章核心.不仅在于它自身具有非常严谨的结构，更重要的是，导数运算是一种高明的数学思维，用导数的运算去处理函数的性质更具一般性。
3.与前后章节的联系:在前节课所学的平均变化率的基础上学习平均变化率，进而得到导数的概念，为下一节研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础。
二、学生分析:1.学生的情感特点和认知特点:学生思维较活跃，对数学新内容的学习，有相当的兴趣和积极性，这为本课的学习奠定了基础2.已具备的与本节课相联系的知识、生活经验:学生已较好地在物理中学过平均速度、瞬时速度，并学习了一些的关于函数变化率的知识，为本节课学习瞬时变化率、导数做好铺垫。
3.学习本课存在的困难:导数概念建立在极限基础之上，极限是文科学生没有学习过的新知，超乎学生的直观经验，抽象度高;再者，本课内容思维量大，对类比归纳，抽象概括，联系与转化的思维能力有较高的要求，学生学习起来有一定难度.三、学习环境分析:导数的方法是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具，在其它学科中同样具有十分重要的作用.在物理学，经济学等其它学科和生产、生活的各个领域都有广泛的应用.导数的出现推动了人类事业向前发展.四、学习目标:(1)知识与技能目标:①通过实例分析，经历由平均变化率过度到瞬时变化率的过程，体会导数概念的实际背景。
②会用定义求导数。
(2)过程与方法目标:通过导数概念的形成过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法;领悟"逼近"思想和函数思想;提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力.(3)情感、态度与价值观目标:通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度。
高中数学新人教版A版精品教案《1.1.2 导数的概念》
人民教育出版社高中数学选修2-2（A版）第一章（教案设计）导数的概念课型：新授课教学目的: ⑴通过对高台跳水案例的研究分析——从平均速度到瞬时速度，与学生共同体会抽象出：从函数的平均变化率到瞬时变化率。
体会导数概念的实际背景。
⑵领会瞬时变化率的实质，形成导数的概念，了解导数的内涵。
⑶通过导数概念的形成过程，学习归纳，类比的推理方式。
体验无限逼近，从特殊到一般，化归与转化的数学思想。
提高广泛联系，抽象概括能力。
培养学生正确认识量变到质变，运动与静止的统一（逼近的思想，运动的变化美），形成正确的数学观。
教学要求: ⑴通过查阅资料（数学史的发展），让学生了解导数产生的背景。
⑵通过跳水视频的观看，让学生求知的欲望和兴趣得到进一步释放。
让学生明白数学与生活的联系。
⑶借助运动员的运动状态的描述的要求的变化（平均速度→瞬时速度），能让学生体会到导数产生的过程以及内涵（平均变化率→瞬时变化率）。
⑷借助熟悉的生活例子，体会导数的实际意义。
⑸通过例题的研究与讲解，让学生能简单的掌握导数的求解方法以及对相应的数学符号的把握。
并能简单的应用导数的概念解释实际生活现象。
教学重点: 形成导数的概念，了解导数的内涵。
教学难点: 对导数概念的理解，对瞬时速度的求解（逼近思想的理解）。
教学手段:⑴借助“设问式”的处理，与学生一起探究出导数的概念。
⑵通过“特殊→一般”的认知模式，提升学生对导数概念的理解。
⑶借助“图表”，“框图”比较直观的体会和解决这节课的重点和难点。
⑷利用“电子黑板”，“一体机”，“投影仪”等工具更好的促进和服务于课堂教学。
课前任务: （●第1张PPT图片——课前任务）布置课本第61页实习作业《走进微积分》,阅读,学生上网查阅牛顿,莱布尼兹生平简介,以及他们创立微积分的起始问题是什么有何差异让学生将查阅的资料做成word文档并打印出来教学过程：引入◆同学们,课前任务落实的怎么样啊哪位同学能否把你的成果给我们展示一下找一个同学的成果,用投影仪投影出来;找一个同学阅读他们创立微积分的起始问题老师评价◆显然，微积分的创立，牛顿从运动学出发，莱布尼茨从几何学出发。
导数的概念教案及说明
导数的概念教案及说明一、教学目标1. 理解导数的定义及物理意义；2. 掌握导数的计算方法；3. 能够运用导数解决实际问题。
二、教学内容1. 导数的定义；2. 导数的计算；3. 导数在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 导数的定义及其几何意义；2. 导数的计算方法；3. 导数在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解导数的定义、计算方法及应用；2. 利用图形展示导数的几何意义；3. 通过例题演示导数的计算过程；4. 引导学生运用导数解决实际问题。
五、教学准备1. 教学课件；2. 练习题；3. 相关实际问题。
第一章：导数的定义1.1 引入导数的概念1.2 解释导数的几何意义1.3 导数的计算方法第二章：导数的计算2.1 基本导数公式2.2 导数的计算规则2.3 高阶导数第三章：导数在实际问题中的应用3.1 运动物体的瞬时速度和加速度3.2 函数的极值问题3.3 曲线的凹凸性和拐点第四章：导数的其他应用4.1 曲线的切线和法线4.2 函数的单调性4.3 函数的凸性第五章：练习与拓展5.1 导数计算的练习题5.2 实际问题的练习题5.3 拓展练习题六、教学过程6.1 导入：通过回顾函数图像，引导学生思考如何描述函数在某一点的瞬时变化率。
6.2 新课讲解：详细讲解导数的定义，通过图形和实例直观展示导数的几何意义。
6.3 例题演示：挑选典型例题，展示导数的计算过程，引导学生理解和掌握计算方法。
6.4 课堂练习：布置练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
七、导数的计算7.1 基本导数公式：讲解常见函数的导数公式，如幂函数、指数函数、对数函数等。
7.2 导数的计算规则：介绍导数的四则运算法则、复合函数的导数等。
7.3 高阶导数：讲解函数的二阶导数、三阶导数等高阶导数的概念及计算方法。
八、导数在实际问题中的应用8.1 运动物体的瞬时速度和加速度：结合物理知识，讲解导数在描述物体运动中的应用。
8.2 函数的极值问题：引导学生利用导数求解函数的极值，探讨极值在实际问题中的应用。
《1.1.2导数的概念》教学案3
《1.1.2导数的概念》教学案3教材分析导数的概念是高中新教材人教A 版选修2-2第一章1.1.2的内容, 是在学生学习了物理的平均速度和瞬时速度的背景下，以及前节课所学的平均变化率基础上，阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系，从实例出发得到导数的概念，为以后更好地研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础。
新教材在这个问题的处理上有很大变化，它与旧教材的区别是从平均变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数。
问题1 气球平均膨胀率--→瞬时膨胀率 问题2 高台跳水的平均速度--→瞬时速度--→根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平 ，制定如下教学目标和重、难点教学目标1、 知识与技能：通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。
2、 过程与方法：① 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力② 通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法函数的平均变化率fx ∆∆ 函数的瞬时变化率0limx fx∆→∆∆（即导数）3、情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.重点、难点➢重点：导数概念的形成，导数内涵的理解➢难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点学法与教法➢学法与教学用具学法：（1）合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题。
（如问题2的处理）（2）自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动。
（如问题3的处理）（3）探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。
（如例题的处理）教学用具：电脑、多媒体、计算器➢教法：整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出①动——师生互动、共同探索。
②导——教师指导、循序渐进（1）新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲（2）理解导数的内涵——数形结合，动手计算,组织学生自主探索,获得导数的定义（3）例题处理——始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识（4）变式练习——深化对导数内涵的理解，巩固新知二、教学设想（具体如下表）教学环节教学内容师生互动设计思路创设情景、引入新课幻灯片➢回顾上节课留下的思考题：在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）=－4.9t 2＋6.5t＋10.计算运动员在6549t≤≤这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？首先回顾上节课留下的思考题：在学生相互讨论，交流结果的基础上，提出：大家得到运动员在这段时间内的平均速度为“0”，但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。
《导数的概念》教学设计
《导数的概念》教学设计一、教材分析《导数的概念》是《普通高中课程标准实验教科书·数学选修2-2》（人教A版）第一章1.1.2的内容，是在学生学习了变化率的内容后，通过实例探究，从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，并抽象概括出导数的概念。
它为即将学习的导数的几何意义、导数的计算、导数的应用等知识的奠定了基础，更是我们研究函数单调性、极值、最值和解决生活中优化等问题的有力工具。
教学重点：了解导数概念的形成，理解导数有内涵。
教学难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵，可以通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点。
二、学习目标1.知识与技能目标①理解导数的概念.②掌握用定义求导数的方法.2.过程与方法目标3.情感、态度与价值观目标①通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度.②培养学生正确认识量变与质变、运动与静止等辩证唯物主义观点，形成正确的数学观.三、教学程序（一）创设情境，引入新课[课件投影]播放一段视频林跃在2022年北京奥运会10米跳台夺冠的视频，给出一个思考题：假如在比赛过程中，林跃相对水面的高度h（m）与起跳后的时间t（）存在这样一个函数关系：.计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：（1）林跃在这段时间里是静止的吗？（2）你認为用平均速度来描述他的运动状态有什么问题吗？[设计意图]林跃是和我们的学生年纪相仿的国家优秀运动员，他夺冠的经历无疑能让我们的学生感到振奋，这无形中激发了学生的爱国热情。
更重要的是，以此实例能激发学生求知的欲望，从而使学生从“要我学”变成了“我要学”。
通过数值与现实矛盾的产生，使学生意识到平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，为了能更精确地刻画物体运动，我们有必要研究某个时刻的速度即瞬时速度。
[设计意图]通过引导使学生进一步体会从平均速度出发，“以已知探求未知”的数学思想方法，培养学生的动手操作能力，通过亲自动手算、动脑思，让学生初步感受到逼近的趋势。
《导数的概念教案》
《导数的概念教案》word版第一章：导数的概念1.1 导入利用实际例子引入变化率的概念，如物体运动的速度、温度变化等。
引导学生思考如何描述函数在某一点的“变化率”。
1.2 导数的定义介绍导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。
解释导数的几何意义：函数图像在某一点的切线斜率。
强调导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
1.3 导数的计算介绍导数的计算方法：极限法、导数的基本公式、导数的运算法则。
强调导数计算中需要注意的问题，如函数的连续性、可导性等。
1.4 导数的应用介绍导数在实际问题中的应用，如最优化问题、物理运动问题等。
引导学生思考如何利用导数解决实际问题。
第二章：导数的性质与法则2.1 导数的性质介绍导数的性质，如单调性、连续性、可导性等。
通过实例引导学生理解导数性质的应用。
2.2 导数的运算法则介绍导数的运算法则，如四则运算法则、复合函数运算法则等。
利用导数的运算法则进行函数求导。
2.3 导数的应用利用导数研究函数的单调性、极值、拐点等。
引导学生思考如何利用导数解决实际问题。
第三章：函数的单调性与极值3.1 函数的单调性介绍函数单调性的概念，如何判断函数的单调性。
利用导数判断函数的单调性。
3.2 函数的极值介绍函数极值的概念，如何求解函数的极值。
利用导数求解函数的极值。
3.3 函数的拐点介绍函数拐点的概念，如何求解函数的拐点。
利用导数求解函数的拐点。
第四章：导数在实际问题中的应用4.1 运动物体的瞬时速度与加速度利用导数求解运动物体的瞬时速度与加速度。
解释瞬时速度与加速度的概念及物理意义。
4.2 函数的最值问题利用导数求解函数的最值问题。
解释最值问题的实际意义，如成本最小化、收益最大化等。
4.3 曲线的切线与法线利用导数求解曲线的切线与法线。
解释切线与法线的概念及几何意义。
第五章：高阶导数与隐函数求导5.1 高阶导数介绍高阶导数的概念，如何求解高阶导数。
强调高阶导数在实际问题中的应用，如加速度与瞬时加速度的关系。
《导数的概念教案》
《导数的概念教案》word版一、教学目标：1. 理解导数的定义及物理意义；2. 掌握导数的计算方法及应用；3. 培养学生的逻辑思维能力和创新能力。
二、教学内容：1. 导数的定义：函数在某一点的导数表示函数在该点的瞬时变化率；2. 导数的计算：基本导数公式、导数的四则运算、复合函数的导数；3. 导数的应用：求函数的极值、单调性、曲线的凹凸性等。
三、教学重点与难点：1. 重点：导数的定义、计算方法及应用；2. 难点：导数的计算规则、复合函数的导数、导数在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，系统地讲解导数的定义、计算方法和应用；2. 利用例题解析，让学生掌握导数的计算技巧；3. 开展小组讨论，引导学生将导数应用于实际问题。
五、教学过程：1. 导入：回顾函数的概念，引导学生思考函数在某一点的瞬时变化率；2. 讲解导数的定义，通过图形和实例使学生理解导数的物理意义；3. 讲解导数的计算方法，包括基本导数公式、导数的四则运算、复合函数的导数；4. 利用例题解析，让学生掌握导数的计算技巧；5. 开展小组讨论，引导学生将导数应用于实际问题；6. 总结本节课的主要内容，布置课后作业。
教案内容仅供参考，具体实施时可根据学生的实际情况进行调整。
六、教学评估：1. 课后作业：布置有关导数计算和应用的习题，巩固所学知识；2. 课堂练习：及时反馈学生的学习情况，针对性地进行讲解和辅导；3. 小组讨论：评估学生在讨论中的表现，了解学生的理解程度和团队合作能力。
七、教学拓展：1. 导数在实际应用中的例子：如优化问题、物理运动方程等；2. 导数与其他数学概念的联系：如微分方程、泰勒公式等；3. 导数在高等数学中的作用：如多元函数的导数、隐函数的导数等。
八、教学资源：1. 教材：选用合适的教材，如《高等数学》、《数学分析》等；2. 课件：制作精美的课件，辅助讲解和展示；3. 习题库：整理一份全面的习题库，便于学生课后练习。
学案1：1.1.2导数的概念导学案1
1.1.2导数的概念【学法指导】积极听讲，认真练习●为必背知识【学习目标】1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念．一．新课讲授1．瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为 。
运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度。
思考：当t ∆趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？结论：当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-．从物理的角度看，时间t ∆间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于瞬时速度，因此，运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s -，我们用0(2)(2)lim 13.1t h t h t∆→+∆-=-∆ 表示 。
小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
●2、导数的概念：一般地，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是 。
我们称它为函数()y f x =在0x x =处的 记作 。
即： 。
注意:导数即为函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率;●3、求函数()x f y =在0x x =处的导数步骤：“一差；二比；三极限”即（1）计算)()(00x f x x f y -∆+=∆； （2）计算xy ∆∆； （3）计算x y x ∆∆→∆0lim 。
三．典例分析例1求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．注：一般地，'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况． 四，展示题目。
1.1.2导数的概念教案
1.1.2导数的概念教案篇一：1.1.2导数的概念教案1.1.2导数的概念教案教学目标：1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念．教学过程：一．创设情景（一）平均变化率（二）探究：计算运动员在0?t?65这段时间里的平均速度，并思考以下问题：49⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，h(65)?h(0)，4965)?h(0)所以v?49?0(s/m)，65?04965虽然运动员在0?t?这段时间里的平均速度为0(s/m)，但实际情况是运动员仍然运49h(动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．二．新课讲授思考：当?t趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？结论：当?t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v都趋近于一个确定的值?13.1．从物理的角度看，时间?t间隔无限变小时，平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在t?2时的瞬时速度是?13.1m/s为了表述方便，我们用limh(2??t)?h(2)??13.1?t?0?t表示“当t?2，?t趋近于0时，平均速度v趋近于定值?13.1”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
2导数的概念从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:?x?0limf(x0??x)?f(x0)?f?lim?x?0?x?x''我们称它为函数y?f(x)在x?x0出的导数，记作f(x0)或y|x?x0，即f?(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0)?xf(x)?f(x0)x?x0说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率（2）?x?x?x0，当?x?0时，x?x0，所以f?(x0)?lim三．典例分析2例1．（1）求函数y=3x在x=1处的导数.2分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)再求?x?0?f?f?6??x再求lim?6?x?0?x?x解：法一（略）3x2?3?123(x2?12)法二：y?|x?1?lim?lim?lim3(x?1)?6x?1x?1x?1x?1x?1 （2）求函数f(x)=?x?x在x??1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．2?y?(?1??x)2?(?1??x)?2解：??3??x?x?x?y?(?1??x)2?(?1??x)?2f?(?1)?lim??lim(3??x)?3?x?0?x?x?0?x例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：c）为f(x)?x?7x?15(0?x?8)，计算第?22h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是f(2)和f(6)根据导数定义，''f(2??x)?f(x0)?f??x?x(2??x)2?7(2??x)?15?(22?7?2?15)???x?3?x所以f?(2)?lim?f?lim(?x?3)??3?x?0?x?x?0同理可得:f?(6)?5在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为?3和5，说明在2h附近，原油温度大约以3c/h的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5c/h的速率上升．注：一般地，f(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况．'??四．课堂练习1．质点运动规律为s?t?3，求质点在t?3的瞬时速度为．2．求曲线y=f(x)=x3在x?1时的导数．3．例2中，计算第3h时和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．五．回顾总结1．瞬时速度、瞬时变化率的概念2．导数的概念六．布置作业2篇二：1.1.2导数的概念(学、教案)1.1.2导数的概念课前预习学案预习目标：“导数的概念”了解瞬时速度的定义，能够区分平均速度和瞬时速度，理解导数(瞬时变化率)的概念预习内容：问题1我们把物体在某一时刻的速度称为________。
高中数学新人教版A版精品教案《1.1.2 导数的概念》
变化率与导数教学设计一、 内容与内容解析变化是自然界的普遍现象，丰富多彩的变化问题随处可见。
函数是描述运动变化规律的重要工具。
如何定量刻画千变万化的变化现象，是数学研究的重要课题。
17世纪创立的微积分就源于研究运动物体的变化规律，它是数学发展中的里程碑。
本节课的核心内容是平均变化率和瞬时变化率。
这是微积分中的两个核心概念，有着极其丰富的实际背景和广泛的应用。
对于宏观地描述一个简单的变化过程，可以利用平均变化率的这个指标，但是随着对变化问题研究的深入和细化，用平均变化率已经不足以刻画一个较复杂的变化问题，需要引进瞬时变化率的概念。
从平均变化率到瞬时变化率，是一个量变到质变的过程。
它蕴涵着的无限分割的微分的思想，无限逼近的极限的思想是两个极为重要的数学思想。
因此本节课的重点是理解瞬时变化率的概念，学会用瞬时变化率来“度量”变化过程。
二、 目标与目标解析抽象的数学往往都具有丰富的实践背景，变化率概念的形成和发展也不例外。
课堂教学需要再现数学概念的形成与发展过程，让学生体会数学的重要思想和丰富内涵，感受数学工具在解决实际问题的作用，使学生认识到数学概念的形成也是人的思想的自然合理、符合逻辑的发展过程。
因此确定本节课的教学目标为：1. 从具体案例中，发现平均变化率在刻画变化规律中的作用和局限性。
2. 通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解利用平均变化率的极限刻画瞬时变化率的思想。
3. 自然合理地形成微分、逼近、极限等数学观点，体会微积分的思想及其内涵，理解导数就是瞬时变化率。
三、 教学问题诊断分析函数是刻画运动变化的重要数学模型，函数的图象与性质是学生定性分析变化现象的重要认知基础。
或许学生能够从函数图象上感受函数变化的快与慢。
但学生往往缺乏从定量和抽象的层面去分析数学问题本质的习惯与能力。
本节课的第一个难点是从现实背景中抽象出函数平均变化率的概念，即2121)()(x x x f x f x y --=∆∆是表示函数)(x f y =在区间[1x ，2x ]或[2x ，1x ]上函数平均变化率。
配套学案：1.1.2导数的概念
1.1.2导数的概念【学习目标】1.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，并体会导数的思想及其内涵．2.理解导数的概念，将导数多方面的意义联系起来．如导数就是瞬时变化率，导数反映了函数在x 附近变化的快慢等．【新知自学】 知识回顾：1.=∆x___________叫做函数)(x f y =从21x x 到的平均变化率．（类似的则有函数)(x f y =在点0x x =附近的平均变化率为=∆∆x y _______________________）． 2.平均变化率的几何意义是________________________________________________________ ___________________________________________.新知梳理：1.函数)(x f y =在点0x x =处的瞬时变化率是=∆∆→∆xy x 0lim _____________． 2.函数)(x f y =在点0x x =处的导数是：_____________________，记作0|)(/0/x x y x f =或，即=)(0/x f =∆∆→∆xy x 0lim_____________________． 感悟： 函数的平均变化率和瞬时变化率的关系：平均变化率xx f x x f x ∆-∆+=∆∆)()(y 0，当x ∆趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x 0处的瞬时变化率.即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解.另外,它们都是刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化的越快.对点练习：1.已知函数y=f(x)，那么下列说法错误的是（ ）A.)()(00x f x x f y -∆+=∆叫做函数的增量B.()()xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆00叫做函数在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率 C.()()xx f x x f ∆-∆+00叫做函数()x f y =在0x 处的导数 D.()()00x x 0lim x x x f x f --→ 叫做函数()x f y =在0x 处的导数2.若函数f(x)在x=x 0处存在导数，则()()h h lim000h x f x f -+→（ ） A.与0x h 都有关B.仅与0x 有关，与h 无关C.仅与h 有关，与0x 无关D.与0x 、h 都无关3.()()=∆-∆+→∆xf x f x 33lim 0`______________. 4.函数12)(2-=x x f 当1=x 时的导数)1(f '= ____________ .【合作探究】 典例精析：例1. 已知()2x x f =，求)1(f '.变式练习：已知()2+=x x f ，则)2(f '.例2.求函数24xy =在某点的导数.变式练习：求函数3x y =在某点的的导数.规律总结利用导数定义求导数的三步曲：（1）求函数的增量=∆y )()(00x f x x f -∆+；（2）求平均变化率xx f x x f x ∆-∆+=∆∆)()(y 0； （3）取极限，得导数f '(x)=x y x ∆∆→∆0lim. 【课堂小结】【当堂达标】1.如果质点按规律23t s =运动，则在3秒时的瞬时速度为（ ）A.6B.18C.54D.812.如果某物体作运动方程为()212t s -=的直线运动（s 的单位为m ，t 的单位为s ），那么其在1.2s 末的瞬时速度为 （ ）A.s m /8.4-B.s m /88.0-C.s m /88.0D.s m /8.43.设函数()x f 可导，则()()x f x f x ∆-∆+→∆311lim0= （ ） A.()1/f B.3()1/fC.31()1/f D.()3/f 4.求曲线()3x x f = 在（2，8）处的瞬时变化率.【课时作业】1.已知(),102+-=x x f 则()x f 在23=x 处的瞬时变化率是（ ） A.3 B.-3 C.2 D.-22.设函数(),23+=ax x f 若(),31/=-f 则a=（ ）A.-1B.21 C.1 D.31 （保留可以删除）** 3.若2)(0='x f ，则 ()()xx x f x f x ∆∆+-→∆2lim 000= .曾子班学生可以处理4.求下列函数的导函数:建议少处理，留着公式法求解*（1）21)(+=x x f ；（2）x x x f -=3)(.5.设(),23+=ax x f 若3)1(=-'f ，求a 的值.6.已知f(x) =x 2，g(x)=x 3，求满足)(2)(x g x f '=+'的x 的值.不难可以前置处理。
高中数学2-2 第一章1.1.2《导数的概念》【教案】
§1。
1。
2 导数的概念
教学目标：
1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；
2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；
3．会求函数在某点的导数。
教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念．
(一）、情景引入，激发兴趣
【教师引入】：“生活中有一些现象值得我们去研究，比如，子弹离开枪管那一瞬间的速度，奥运会上百米赛跑运动员冲向终点那一时刻的速度。
科学上对瞬时速度的研究也是非常有必要的,比如在天宫一号与神州八号的成功对接,最关键的就是它们每个瞬间的速度都相等。
（二）、探究新知，揭示概念
教学环节内容师生活
动
设计意
图。
导数的概念教案(同名16870)
§1.1.2 《导数的概念》教案一、教学目标知识与技能：让学生了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数；培养学生观察、分析、比较和归纳能力．过程与方法：通过问题的探究让学生体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法．情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，帮助学生轻松掌握导数概念，激发学生学习数学的兴趣． 二、教学重难点重点：导数概念的形成，导数内涵的理解． 难点：对导数的概念形成过程的探究． 难点成因：极限思想的缺乏．三、教具：多媒体电子白板，计算器，课件．四、教法：以恰当的问题为纽带，给学生创设自主探究、合作交流的空间，引导学生通过类比探究形成导数概念． 五、教学过程：㈠复习设疑，引入新课活动方式：学生课前已完成导学案中“课前准备”部分的内容．复习：函数的平均变化率：yx∆∆，我们可以用平均变化率去刻画函数在某一阶段的变化情况．设疑：在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系105.69.4)(2++-=t t t h .计算运动员在65049t ≤≤这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数105.69.4)(2++-=t t t h 的图像，)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 所以运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ．实际情况是运动员仍然运动，并非静止．㈡初步探索，展示内涵根据学生的认知水平,导数概念的形成分为两个层次： ➢ 结合以上事件，明确瞬时速度的定义我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． 回到跳水事件： 问题一：请大家思考如何求运动员在某一时刻的瞬时速度，如t =2时刻的瞬时速度？hto观看物理中测即时速度（瞬时速度）的视频，并提问“实验中所测得结果真的是瞬时速度吗？”引导学生回答：“是平均速度”再问“怎样使平均速度更好的表示瞬时速度？”学生回答：“应该让时间间隔尽量小”．事实上真正的瞬时速度根本无法通过仪器测定，我们将平均速度作为瞬时速度的近似值；为了使平均速度更好的表示瞬时速度，应该让时间间隔尽量小．问题二：当Δt 取不同值时,尝试计算(2)(2)h t h t+∆-=∆v 的值？（学生在学案上分组通过计算器计算完成下表并上台板演）这段时间内时，在]2,2[0t t ∆+<∆这段时间内时，在]2,2[0t t ∆+>∆1.139.4)2(2)2()2(-∆-=∆+-∆+-=t t t h h v1.139.42)2()2()2(-∆-=-∆+-∆+=t t h t h v=∆t 当 =v =∆t 当 =v =∆t 当 =v =∆t 当 =v =∆t 当 =v=∆t 当 =v=∆t 当 =v =∆t 当 =v =∆t 当 =v =∆t 当 =v =∆t 当 =v=∆t 当 =v…… ……问题三：观察上表，分析当Δt 趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-．在t =2时刻,Δt 趋于0时，平均速度趋于一个确定的值-13.1，即瞬时速度，为了表述方便,数学中用简洁的符号来表示,即0(2)(2)lim 13.1t h t h t∆→+∆-=-∆学生的疑惑：学生发现t =2时1.139.4-∆-=t v ，瞬时速度是-13.1，那么瞬时速度不就是将化简后的平均速度中的Δt 取0的值吗？由此引发学生讨论：是否可以将化简后平均速度中的Δt 直接代为0得到瞬时速度？最后老师必须要向学生强调：我们研究的是平均速度趋近于t =2的变化过程，在此过程中Δt 越来越短，但不能为0．当Δt 趋于0时，1.139.4-∆-=t v 与-13.1无限接近，这是一种极限运算，必须使用极限符号表示逼近过程，而不能简单的将这里的Δt 代为0．问题四：运动员在某个时刻0t 的瞬时速度如何表示呢？（请同学上黑板写出结果）问题五：气球在体积v 0时的瞬时膨胀率如何表示呢？ 类比之前学习的瞬时速度问题，可得瞬时膨胀率的表示000()()lim v r v v r v v∆→+∆-∆问题六：函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率如何呢？函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000limlimx x x x∆→∆→=∆∆ 我们称它为函数 ()y f x =在0x x =处的导数,记作0()f x '或0x x ='y即 00000()()()limlimx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆ 问题七:任何事物的瞬时变化率都可用导数来表示吗？ 请学生阅读课本第5页倒数三个自然段． ㈢循序渐进、延伸拓展例1：已知函数2)(x x f =，利用导数概念求)5('f 的值．活动方式：学生先自己解答，教师再给出规范的解答过程，师生共同总结求导步骤． 求函数()y f x =在0x x =点处的导数的步骤： （1）求函数值的增量 00()()y f x x f x ∆=+∆- （2）求平均变化率yx∆∆ （3）求极限 00()limx y f x x∆→∆'=∆记为：“一差、二比、三极限”．例2：将原油精炼为汽油、柴油、塑料等不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x h 时候，原油温度（单位：c ︒）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤．计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．引导学生分析：解决问题的基本步骤： （1）实际问题转化为数学问题：在第2h 时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f （2）根据导数定义，求平均变化率并化简： 0(2)()f x f x y x x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆（3）取极限得到瞬时变化率：00(2)lim lim(3)3x x yf x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆（4）回到实际问题中来：在第2h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-，说明在2h 附近，原油温度大约以3/C h 的速率下降．同理可得:(6)5f '=在第6h 附近，原油温度大约以5/C h 的速率上升．变式：画出函数2()715(08)f x x x x =-+≤≤的图像．并求函数在0x x =)80(0<<x 时原油温度的瞬时变化率．总结一般地，'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况．课堂练习： 必做题：1、例1中，计算第3h 时和第5h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．2、质点运动规律为32+=t s ，求质点在3t =的瞬时速度为． 选做题：求曲线y =f (x )=x 3在1x =时的导数，并思考它的几何意义． ㈣归纳总结、内化知识 1、瞬时速度的概念．2、导数的概念 平均变化率y x ∆∆→瞬时变化率0lim x yx ∆→∆∆．3、求函数()y f x =在0x x =点处的导数的步骤． （1）求函数值的增量 00()()y f x x f x ∆=+∆- （2）求平均变化率yx∆∆ （3）求极限 00()limx y f x x∆→∆'=∆记为：一差、二比、三极限．4、思想方法：“以已知探求未知”、逼近、类比、从特殊到一般． ㈤作业布置、分层提高必做：第10页习题A 组第2、3、4 题． 选做：思考第11页习题B 组第1题． 拓展阅读：1、阅读微积分的发展《从割圆术走向无穷小》． 参考网页2、请在网络中搜索“数学的第二次危机”,看看会得 到怎样的结果，说说你的感想．附：板书设计1、由于计算工具所限，学生没能在课堂上多计算几组平均速度的数据，在以后的教学，可以尝试让学生自己动手操作几何画板来直观体会逼近思想，我想教学效果会更加理想．2、从作业的反馈来看，个别学生在数学符号书写上出现了错误．在以后的教学中对新符号规范书写应该多加强化．多媒体白板课堂小结：1、求导步骤：一差、二比、三极限2、思想方法：“以已知探求未知”、逼近、类比、从特殊到一般作业 1.1.2 导数的概念复习：函数的平均变化率 一、瞬时速度二、导数的概念导数即为函数y=f(x)在x=x 0处的瞬时变化率00000()()()lim lim x x f x x f x y f x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆ 导数可以描述任何事物的瞬时变化率例1。
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§1.1.2导数的概念
教学目标
1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；
2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； 3．会求函数在某点的导数
教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 教学难点：导数的概念． 教学过程： 一．创设情景 （一）平均变化率
（二）探究：计算运动员在49
650≤
≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知， )0()49
65(
h h =，
所以)/(00
49
65)
0()4965(m s h h v =--=
，
虽然运动员在49
650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际
情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． 二．新课讲授 1．瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t =时的瞬时速度是多少？
考察2t =附近的情况：
思考：当t ∆趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？
结论：当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-．
从物理的角度看，时间t ∆间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s - 为了表述方便，我们用0
(2)(2)
lim
13.1t h t h t
∆→+∆-=-∆
表示“当2t =，t ∆趋近于0时，平均速度v 趋近于定值13.1-”
小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
2 导数的概念
从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:
000
()()
lim
lim
x x f x x f x f x
x
∆→∆→+∆-∆=∆∆
我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'
0()f x 或0
'
|x x y =，即
0000
()()
()lim
x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆
说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率
（2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以000
()()
()lim x f x f x f x x x ∆→-'=-
三．典例分析
例1．（1）求函数y =3x 2在x =1处的导数.
分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１) =6Δx +(Δx )2
再求
6f x x
∆=+∆∆再求0
lim
6x f x
∆→∆=∆
解：法一（略）
法二：22
2
2
11
1
1
3313(1)|lim
lim
lim 3(1)61
1
x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=--
（2）求函数f (x )=x x +-2
在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
解：
x x x x x
y ∆-=∆-∆+-+∆+--=
∆∆32
)1()1(2
2
(1)(1)2
(1)lim
lim (3)3x x y x x f x x
x
∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-==
=-∆=∆∆
例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时
和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义，
0(2)()
f x f x f x
x
+∆-∆=
∆∆
2
2
(2)7(2)15(27215)
3x x x x
+∆-+∆+--⨯+=
=∆-∆
所以0
(2)lim
lim (3)3x x f
f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆
同理可得:(6)5f '=
在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和5，说明在2h 附近，原油温度大约以3/C h 的速率下降，在第6h 附近，原油温度大约以5/C h
的速率上升．
注：一般地，'
0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况．
四．课堂练习
1．质点运动规律为32
+=t s ，求质点在3t =的瞬时速度为．
2．求曲线y =f (x )=x 3在1x =时的导数．
3．例2中，计算第3h 时和第5h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义． 五．回顾总结
1．瞬时速度、瞬时变化率的概念
2．导数的概念六．布置作业。