教学中对知识内容拓展与引申的一些思考

（１） 设函数 ｙ ＝ ｆ（ｘ） 的定义域为［０， ＋ ∞ ），若取
ｘ１ ＝ ０，且对于任意的 ｘ２ ＞ ０，都有 ｆ（ｘ２） ＞ ｆ（０），则 ｆ（ｘ） 在区间［０， ＋ ∞ ） 上是增函数；
（２） 下图是三个分段函数（定义域均为 Ｒ） 的图
象，它们都是 Ｒ 上的增函数；
（３） 反比例函数 ｙ
疑，才可能及时捕捉到其中的矛盾；只有对数学教育
心理学等有着科学的理解并内化为自己的数学教育
理念，才可能全面而深刻地剖析这些矛盾；只有遵循
了数学教学规律，立足实践性反思与反思性实践，才
可能创造性地处理好这些矛盾，不断地发现矛盾、分
析矛盾 与 解 决 矛 盾 的 过 程， 也 正 是 教 师 自 身 的
易混淆，不易记忆， 我 们 只 要 充 分 理 解 公 式 的 由 来，
就可以方便的解题．
再如，从等差数列的通项公式与求和公式的代
数形式上观察，我们不难归纳出公式的另外一种形 式，即 ａｎ ＝ Ａｎ ＋ Ｂ，Ｓｎ ＝ Ａｎ２ ＋ Ｂｎ．这种形式更加体现 了数列函数的属性，在解决相关问题时很实用．
５ 分阶段原则
＝
１ ｘ
的单调递减区间是（ －
∞ ，０） ∪ （０， ＋ ∞ ） ．
这是利用变式教学和构造反例帮助学生继续对
概念进行反思辨析、进一步理解概念的内涵和外延，
特别是如何才能否定一个函数的单调性尤为重要，
可以加深对“任意” 二字的理解，逐步实现对概念本
质意义的综合贯通．
结 语 当 前， ＭＰＣＫ （ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ Ｐｅｄａｇｏｇｉｃａｌ
Ｃｏｎｔｅｎｔ Ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ，即“ 数学教学内容知识” ） 是数学
教育研 究 的 一 个 热 点 问 题． 如 何 发 展 数 学 教 师 的
ＭＰＣＫ？ 途径 之 一 就 是 致 力 于 研 究 教 学 中 的 各 种
“ 矛盾” ． 一个数学教师，只有 主 动 地 对 教 学 内 容、 学
生特点等进行广泛而深入的独立思考，多反思、多质
小的遗憾．其实这两个问题的出现，编者的真实意图
是想让学生在大小关系的结论 中， 进 一 步 体 会 图 像
的凸性与大小的关系（ 尽管图像的凸性不是教材要
求内容） ，教师在引 导解完问题 后应 该及时揭示， 而
这个图像的凸性在图像中是非 常 直 观 的， 但 是 在 理
论上如何进一步的研究函数图 像 的 凸 性， 学 习 了 导
便多了．
再如，函数 ｙ ＝ ｘ ＋
ａ ｘ
是高中阶段经常讨论的，其
实在学习函数性质（单调性和奇偶性） 时，就完全可
以把这样的函数研究得比较透彻． 在学习基本不等
式的时候，可以进一步探讨，来印证原来研究所得的
结论．到了学习导数的时候，又有了更新的方法来研
究这样的函数． 通过这样几个不同的阶段来研究这
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ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ 中学数学杂志 ２０１４ 年第 １１ 期
样的函数，那么对这样的函数或者涉及这样函数的 问题，我们会把问题搞得十分清楚． ２ 类比性原则
数学中有很多结 论 可 以 通 过 类 比 猜 想 得 到， 当 然不是盲目的猜想，是需要证明的． 经常引导学生通 过观察类比，有助于培养和提高学生的思维品质．
再如，在圆锥曲线的一些综合问题中，时常会从 中发现、提炼出一些非常有趣的圆锥曲线具有普遍 意义的共同的性质，结论真是太漂亮了，学生对这样 的探究也颇感兴趣．经常做一些这样的工作，对培养 学生探究的热情、培养学生对数学的学习兴趣，是十 分有益的． ４ 实用性原则
我们对一些知识 作 适 当 的 拓 展 和 引 申， 其 很 重 要的一个因素是拓展和引申出来的东西有用吗？ 这
中学数学杂志 ２０１４ 年第 １１ 期 ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ
学者来说是正常的，也是必要的．
问题 ５ 请你尝试利用上述定义判断函数 ｙ ＝ ｘ
＋
１ ｘ
在［１，
＋ ∞ ） 内的单调性．
这是Байду номын сангаас前述“遗留问题” 的呼应，由学生尽量独
例如，在学习基本不等式时，可以考虑推广到 ｎ
元基本 不 等 式， 即 对 ｎ 个 正 数 ａ１，ａ２，…，ａｎ， 都 有
ａ１
＋
ａ２
＋ ｎ
…
＋
ａｎ
≥
ｎ ａ１ａ２…ａｎ （当且仅当 ａ１
＝ ａ２
＝
… ＝ ａｎ 时，取得等号），这对将来进一步学习数学，具 有重要意义．比如，有一类函数需要通过导数来研究
函数的最值问题，如果有了推广的基本不等式，就方
Ａ２ ＋ Ｂ２ ＋ Ｃ２ 用向量的方法来求点到平面的距 离 的 时 候， 有 相 当 一部分问题都可以用这个公式来进行． ３ 趣味性原则
有相当一部分学 生 对 数 学 的 内 容 之 多， 已 经 觉 得很累了，老师还要增加教材和考纲中没有的东西， 多无聊啊．所以我们应该拓展一些学生普遍都比较 感兴趣的内容，这样才能取得良好的效果．
例如，我们知道，如果点 Ｐ（ｘ０，ｙ０） 在 ☉Ｃ：ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ ｒ２ 上，则方程 ｘ０ｘ ＋ ｙ０ｙ ＝ ｒ２ 表示过点 Ｐ 的 ☉Ｃ 的 切线．其实这个结论完全可以类比到椭圆、双曲线和 抛物线这些圆锥曲 线中， 而 且 利 用 这 样 的 结 论 还 可 以得到圆锥曲线非常有趣的光学 性 质， 学 生 会 很 有 兴趣的．在实际和科学技术上也得到了广泛的应用．
例如，利用导数研究三次函数问题是常见问题， 资料上出现的频率 也很 高， 三 次 函 数 的 形 式 本 身 不 复杂，为什么很少有老师舍得花一点时间和学生一 起来探讨研究一下三次函数的图像与性质呢？ 如果 作一点研究后会发现： 其图像很规则， 性质很稳定， 尤其是图像关于拐点对称（ 这个性质可以解决一类 流行性竞赛题） ．
ＭＰＣＫ 得以持续提升的过程．
教学中对知识内容拓展与引申的一些思考
江苏省海门中学证大校区 ２２６３００ 黄冬娟
数学课堂中，对有关知识和能力作适当的拓展 和引申是数学教师应该思考的基本问题，处理得好 对学生的持续发展能够起到不可小视的作用． 对一 些知识加以适当的拓展与引申，不仅能使学生巩固 基础知识，提高分析问题和解决问题的能力，而且对 于沟通知识的联系、开拓思路、培养创新思维和对数 学探究的兴趣都十分有益．
充分发展为前提．
那么如何拓展和引申？ 拓展和引申到什么程 度？ 对这些问题的把握至关重要．以个人之见，我对 这样的问题提出如下几个原则，供同行们讨论． １ 低门槛原则
低门槛，就是在原来知识的基础上，作小步伐的 拓展和引申，又能得到实质性的提升． 这样做，常常 会在不费吹灰之力的情况下，能够得到很漂亮的结 论，而且结论很实用．
有些问题的拓展和引申，是循序渐进的，从学生
的认知水平和知识水平上来说， 都 不 能 一 下 子 到 达
一定的高度，这就需要在几个不同的阶段，对该问题
作不同程度的拓展和引申．
例如，在高中数学必修 １ 教材中有这样两个问题：
（１） 已知函数 ｆ（ ｘ） ＝ １０ｘ，ｘ ∈ Ｒ，对任意 ｘ１，ｘ２ ∈
ｆ（ Ｒ，试比较
立完成，教师可在“ 作差”、“ 变形” 等关键环节适时
予以指导，解决该问题后，师生共同概括出用定义证
明函数单调性的一般步骤．显然，由之前的“不能” 到
现在的“ 能”， 既加深了学生对定义的理解与掌握，
也体现了定义的应 用价 值， 学 生 从 中 可 以 获 取 成 功
的学习体验和心理上的满足感．
问题 ６ 判断下列说法是否正确，并说明理由．
ｘ
１
）
＋
ｆ（ ｘ２ ）
与 ｆ（ｘ１
＋
ｘ２ ）
的大小；
２
２
（２） 已知函数 ｆ（ｘ） ＝ ｌｇｘ，ｘ ∈ （０， ＋ ∞ ），对任意
ｘ１ ，ｘ２
∈
（０，
＋
∞ ），
试 比 较 ｆ（ｘ１） ＋ ｆ（ｘ２） ２
与
ｆ（ ｘ１
＋ ２
ｘ２ ）
的大小；
这两个问题，在基本不等式内容之前出现，似乎
着急了一点，但是在教师的引导下，可以克服这个小
再如，在平面直角坐标系中，直线可以用关于 ｘ， ｙ 的二元一次方程来表示，点 Ｐ（ｘ０，ｙ０） 到直线 ｌ：Ａｘ ＋ Ｂｙ ＋ Ｃ ＝ ０ 的距离为 ｄ ＝ Ａｘ０ ＋ Ｂｙ０ ＋ Ｃ ．类比到
Ａ２ ＋ Ｂ２ 空间直角坐标系中，平面可以用关于 ｘ，ｙ，ｚ 的三元一 次方程来表示，点 Ｐ（ｘ０，ｙ０，ｚ０） 到平面 α：Ａｘ ＋ Ｂｙ ＋ Ｃｚ ＋ Ｄ ＝ ０ 的距离为 ｄ ＝ Ａｘ０ ＋ Ｂｙ０ ＋ Ｃｚ０ ＋ Ｄ ．一般
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也会是学生经常会关注的问题． 这样的工作做得好，
会对数学教学起到很重要的作用． 学生对学到的东
西会觉得学以致用，有成就感．
例如，圆锥曲线问题中，常常出现圆锥曲线上的
点到焦点的线段（简称焦半径） 长度距离问题，利用
圆锥曲线的第二定义，可以轻松地得到焦半径公式，
使用十分便捷． 只是椭圆和双曲线的焦半径公式容
数就不难发现函数图像的凸性与函数的二阶导数的
符号有着密切的关系．
其实，在以上的一些例子中不难发现，有些例子
同时符合几个原则， 那 就 体 现 了 这 些 例 子 的 拓 展 和
引申更具有意义． 哪些知识在课堂中值得拓展和引
申、拓展和引申到什么程度？ 应该是教育长期探讨
研究的问题，总体应该符合以学生为本，以学生得到