《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学苏教版必修4【备课资源】第2章2.4.向量的数量积(一)

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2.4（一）
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1．已知|a|＝8，|b|＝4， 〈a，b〉＝120° ，则向量 b 在 a 方向上 的投影为________． －2 解析 b 在 a 方向上的投影为|b|cos〈a，b〉＝4×cos 120° ＝－2.
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已知 a· b＝－9，a 在 b 方向上的投影为－3，b 在 a 方 3 向上的投影为－ ，求 a 与 b 的夹角 θ. 2 b a· |a|cos θ＝－3 |b| ＝－3 解 ∵ ， 3 ，∴ b |b|cos θ＝－2 a·＝－3 2 |a| －9 ＝－3 |a|＝6 |b| 即 ，∴ |b|＝3， 3 －9 |a| ＝－2 －9 a· b 1 ∴cos θ＝|a||b|＝ ＝－2. 6×3
填一填·知识要点、记下疑难点
2.4（一）
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1．两个向量的夹角 → → (1)已知两个非零向量 a，b，作OA＝a，OB＝b， 则 ∠AOB 称作向量 a 和向量 b 的夹角，记 〈a， ≤π . b〉 作〈a，b〉 ，并规定它的范围是 0≤ 在这个规定下， 两个向量的夹角被唯一确定了， 并且有 〈a， b〉 ＝ 〈b，a〉． π 〈a，b〉＝2 时，我们说向量 a 和向量 b 互相垂直，记作 (2)当 a⊥b .
探究点三 平面向量数量积的性质
2.4（一）
根据向量数量积的定义，补充完整数量积的性质． 设 a 与 b 都是非零向量，θ 为 a 与 b 的夹角． (1)当〈a，b〉＝0 时，a· |a||b| ； b＝ 当〈a，b〉＝π 时，a· －|a||b| ； b＝ π 当〈a，b〉＝ 时，a· 0 ； b＝ 2 |a|2 或|a|＝ a· (2)a· a＝ a＝ a2；
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跟踪训练 1 已知|a|＝4，|b|＝3，当(1)a∥b；(2)a⊥b； (3)a 与 b 的夹角为 60° 时，分别求 a 与 b 的数量积．
解 (1)当 a∥b 时，若 a 与 b 同向，
则 a 与 b 的夹角 θ＝0° ，
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2.4（一）
∴a· b＝|a||b|cos θ＝4×3×cos 0° ＝12. 若 a 与 b 反向，则 a 与 b 的夹角为 θ＝180° ， ∴a· b＝|a||b|cos 180° ＝4×3×(－1)＝－12. (2)当 a⊥b 时，向量 a 与 b 的夹角为 90° ， ∴a· b＝|a||b|cos 90° ＝4×3×0＝0. (3)当 a 与 b 的夹角为 60° 时， 1 ∴a· b＝|a||b|cos 60° ＝4×3× ＝6. 2
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例2
2.4（一）
π 已知|a|＝|b|＝5，向量 a 与 b 的夹角为 ，求|a＋b|， 3
1 25 a· b＝|a||b|cos θ＝5×5×2＝ 2 .
|a－b|.
解
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|a＋b|＝ a＋b2＝ |a|2＋2a· b＋|b|2
＝ 25 25＋2× 2 ＋25＝5 3.
2.4（一）
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1 1 → · ＝|BC||AC|cos 60° → → → ∴BC AC ＝1×1× ＝ . 2 2
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2.4（一）
1．两向量 a 与 b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值
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可以为正(当 a≠0，b≠0,0° ≤θ<90° 时)，也可以为负(当 a≠0，b≠0,90° <θ≤180° 时)，还可以为 0(当 a＝0 或 b＝0 或 θ＝90° 时)． 2．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘 实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定 要把它们严格区分开来，绝不可混淆． 3．a· b＝|a||b|cos θ 中，|b|cos θ 和|a|cos θ 分别叫做 b 在 a 方向 上的投影和 a 在 b 方向上的投影，要结合图形严格区分．
(1)a∥b， a 与 b 同向， θ＝0° a· 若 则 ， b＝|a|· cos 0° |b|· ＝4×5
夹角为 30° 时，分别求 a 与 b 的数量积．
＝20；若 a 与 b 反向，则 θ＝180° ， ∴a· b＝|a|· |b|cos 180° ＝4×5×(－1)＝－20.
(2)当 a⊥b 时，θ＝90° ，∴a· b＝|a|· |b|cos 90° ＝0. (3)当 a 与 b 的夹角为 30° 时，a· b＝|a|· |b|cos 30° 3 ＝4×5× ＝10 3. 2 小结 求平面向量数量积的步骤是：(1)求 a 与 b 的夹角 θ， θ∈[0° ，180°；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即 a· ] b＝ |a|· cos θ，要特别注意书写时 a 与 b 之间用实心圆点“· |b|· ” 连结，而不能用“×”连结，也不能省去．
|a－b|＝ a－b2＝ |a|2－2a· b＋|b|2 ＝ 25 25－2× 2 ＋25＝5. 此类求解向量的模问题一般转化为求模平方，与
小结
向量数量积联系，要灵活应用 a2＝|a|2，勿忘记开方．
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跟踪训练 2 的夹角 θ.
解
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2.4（一）
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2.4（一）
探究点二 投影 问题 1 我们把|a|cos θ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影， |b|cosθ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影，其中 θ 为向量 a 与 b 的夹
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角．由数量积的定义 a· b＝|a||b|cos θ 可得： a· b a· b |a|cos θ＝ |b| ；|b|cos θ＝ |a| . 例如，|a|＝2，|b|＝1，a 与 b 的夹角 θ＝120° ，则 a 在 b 方 1 － 向上的投影为 －1 ，b 在 a 方向上的投影为 2 .
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4．已知正三角形 ABC 的边长为 1，求： → AC → → BC → (1)AB· ；(2)AB· ； → AC → (3)BC· . → → 解 (1)∵AB与AC的夹角为 60° .
1 1 → · ＝|AB||AC|cos 60° → → → ∴AB AC ＝1×1× ＝ . 2 2 → → (2)∵AB与BC的夹角为 120° . 1 1 → · ＝|AB||BC|cos 120° → → → － ＝－ . ∴AB BC ＝1×1× 2 2 → → (3)∵BC与AC的夹角为 60° ，
∵0≤θ≤π，∴θ＝120° .
小结
(1)理清“谁在谁上”的投影，再列方程，将条件转化解决．
(2)注意数量积公式的变形式的灵活应用．
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2.4（一）
跟踪训练 3 已知|a|＝1，|b|＝1，a，b 的夹角为 120° ，计算 向量 2a－b 在向量 a＋b 方向上的投影．
解
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2．平面向量的数量积
2.4（一）
(1)定义：已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量 |a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积),记作 a· 即 a· |a||b|cos θ, b， b＝
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其中 θ 是 a 与 b 的夹角． (2)规定：零向量与任一向量的数量积为 0 . (3)投影：设两个非零向量 a、b 的夹角为 θ，则向量 a 在 b 方向的投影是 |a|cos θ,向量 b 在 a 方向上的投影是 |b|cos θ . 3．数量积的几何意义 a· 的几何意义是数量积 a· 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方 b b 向上的投影 |b|cos θ 的乘积．
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2.4（一）
问题 2 向量 b 在 a 方向上的投影不是向量，而是数量，它 的符号取决于夹角 θ 的范围. θ 范围
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θ 是锐角
θ 是直角
θ 是钝角
图形
符号
|b|cos θ > 0 |b|cos θ＝0 |b|cos θ < 0
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【学法指导】 1．向量的数量积是一种新的乘法，和向量的线性运算有着显著
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的区别， 两个向量的数量积， 其结果是数量， 而不是向量． 学 习时必须透彻理解数量积概念的内涵． 2．向量的数量积与实数的乘积既有区别又有联系，概念内涵 更丰富，计算更复杂，实数乘法中的一些运算律在向量的数 量积中已经不再成立，不宜作简单类比，照搬照抄．书写格 式也要严格区分，a· 中的“· b ”不能省略.
-25 是________． → → → 解析 易知|AB|2＝|BC|2＋|CA|2，
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C＝90° . 5 cos B＝ ， 13 → → ∴cos〈AB，BC〉＝cos(180° －B) 5 ＝－cos B＝－ . 13 5 → → → → ∴AB· ＝|AB|· |cos(180° BC |BC －B)＝13×5×－13＝－25.
已知|a|＝8，|b|＝6，|a＋b|＝10，求向量 a 与 b
∵|a|＝பைடு நூலகம்，|b|＝6.
∴|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a· b ＝82＋62＋2a· b＝100， ∴a· b＝0， a· b π ∴cos θ＝|a||b|＝0，∴θ＝2.
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例3
2.4（一）
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2.4（一）
探究点一 平面向量数量积的含义
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已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a· b，即 a· b＝|a||b|cos θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角，θ∈[0，π ]．规定：零向量与任一向量的 数量积为 0. 问题 1 如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s， 那么力 F s 所做的功 W＝ |F||s|cos θ ＝ F· .
a· b (3)cos θ＝ |a||b|
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；
(4)|a· ≤ |a||b|. b|
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并证明第(4)条性质．
证明 |a· b|≤|a||b|.
设 a 与 b 的夹角为 θ，则 a· b＝|a||b|cos θ.
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2.4（一）
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(2a－b)· (a＋b)
＝2a2＋2a· b－a· 2＝2a2＋a· 2 b－b b－b 1 ＝2×12＋1×1×cos 120° 2＝ . －1 2 |a＋b|＝ a＋b2＝ a2＋2a· 2 b＋b
2a－b· a＋b 1 ＝ 1＋2×1×1×cos 120° ＋1＝1.∴ ＝ . 2 |a＋b|
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2.4（一）
【学习要求】 1．了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力 F 的作用
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下产生位移 s 所做的功． 2．掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义． 3． 会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向 量是否垂直．
2.4（一）
两边取绝对值得：|a· b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|. 当且仅当|cos θ|＝1， 即 cos θ＝± 1，θ＝0 或 π 时，取“＝”． 所以|a· b|≤|a||b|.
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[典型例题] 例1
解
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2.4（一）
已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a 与 b 的
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2.4（一）
问题 2 向量的数量积是一个数量，而不再是向量． 对于两个非零向量 a 与 b. π 0， 当 θ∈ 2 时，a· b>0； π θ＝ 2 时，a· 当 b＝0，即 a⊥b； π ，π 当 θ∈ 2 时，a· b<0.
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2.4（一）
2．若向量 a，b 满足|a|＝|b|＝1，a 与 b 的夹角为 120° ，则 a· a＋
1 2 a· b＝________.
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1 解析 a· a＋a· b＝1 ＋1×1×cos 120° . ＝ 2
2
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.4（一）
1 → → → → 3．在△ABC 中，|AB|＝13，|BC|＝5，|CA|＝12，则 · 的值 BC 2