7-3平面及其方程

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平面及其方程7-5

§7.5平面及其方程一、平面的点法式方程法线向量：如果一非零向量垂直于一平面 .这向量就叫做该平面的法线向量.容易知道 '平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直.唯一确定平面的条件：当平面口上一点M o (X 0 J0 Z0)和它的一个法线向量 n^A^B *C)为已知时、平面n 的位置就完全确定了 .平面方程的建立：设M(x.y.z)是平面□上的任一点.那么向量M ^M 必与平面n 的法线向量n 垂直、即它们的数量积等于零：由于Tn 球A*BC)* M 0M =(x —X 0, y —y 。

, Z —Z 0).所以A(XF 0)+B(y-y 0)弋(z-Z 0)=0 .n 上任一点M 的坐标心工所满足的方程.、如果M (x 、y .Z)不在平面r 上、那么向量M^M 与法线向量n 不垂直、从而…即不在平面□上的点M 的坐标X y .Z 不满足此方程. 由此可知、方程A(x-X 0)+B(y-y 0)P(z-Z 0)n 就是平面□的方程.而平面口就是平面方程的图形.由于方程A (X%)怕(y-y 0)4c (z-Z 0)=0是由平面L ［上的一点M 0(X 0、y 0、Z 0)及它的一个法线向量 n=(AB 、C)确定的、所以此方程叫做平面的点法式方程.例1求过点(2Q)且以 ^(K-2. 3)为法线向量的平面的方程.解根据平面的点法式方程 '得所求平面的方程为(x-2)-2(yt3)t3z=0 * x-2y+3z£n .M 1(2 H ⑷、M 2(—1 \3 L 2)和M 3(0 ,2①的平面的方程.T因为 M 1M 2 =(—3,4, -6)、M 1M 3=(-2,3, —1)、所以T T in= M 1M^M 1M^ -3-2这就是平面反过来T n M 0M =0即例2求过三点解我们可以用 T TM i M 2X M 1M 3作为平面的法线向量k-6 =14 + 9j-k . -1根据平面的点法式方程、得所求平面的方程为14(x-2)H(y+1)-(z -4H0 . 14x49y_ z_15』. 二、平面的一般方程由于平面的点法式方程是 x.y 的一次方程.而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定 '所以任一平面都可以用三元一次方程来表示.反过来、设有三元一次方程Ax +By 4Cz 4D =0.我们任取满足该方程的一组数 x o .y o .z ^即Ax o +By o 4Cz o +D =0 .把上述两等式相减 '得A(x£o )+B(y-y o )兀(z-z o )=O 、这正是通过点 M o (x o.y oQ )且以nNA 、BQ 为法线向量的平面方程 .由于方程Ax +By 4Cz *DO与方程A(x 必)+B(y-y o )七(Z-z o ) =o同解*所以任一三元一次方程Ax 也y P z +O n 的图形总是一个平面.方程Ax 4By M z +D =o 称为平面的一般方程，其中心z 的系数就是该平面的一个法线向量n 的坐标‘即nNA'B .0).例如 '方程3x -4y +z -9=0表示一个平面小=(3\*訂)是这平面的一个法线向量 .讨论：考察下列特殊的平面方程 .指出法线向量与坐标面、坐标轴的关系 '平面通过的特殊点或线.Ax +By f z ^o ；By 七Z 也 n^Ax ^z P^o r Ax +By +D P ； Cz +D P 'Ax PO By +D P . 提示：平面过原点.n =(o *B Q).法线向量垂直于 n =(A 、o rC).法线向量垂直于 n =(A *B *o ).法线向量垂直于 n=(o *o *C)、法线向量垂直于 n=(A .o ,o b 法线向量垂直于 n=(o 占,o b 法线向量垂直于例3求通过x 轴和点(4L 1)的平面的方程.解平面通过x 轴、一方面表明它的法线向量垂直于点、即DP .因此可设这平面的方程为By 弋z^o .x 轴*平面平行于 y 轴、平面平行于 z 轴、平面平行于x 轴和y 轴，平面平行于 y 轴和z 轴r 平面平行于 x 轴和z 轴r 平面平行于 xOy 平面.yOz 平面. zOx 平面.X 轴、即AR ；另一方面表明它必通过原又因为这平面通过点(4 *-3 *7) *所以有—BB-Cn 、或 C 」B .将其代入所设方程并除以B （B 如）、便得所求的平面方程为y ；z=0.例4设一平面与X 、y 、z 轴的交点依次为 P （a *0 * 0）、Q （0、b *0）、R （0 , 0、c ）三点、求这平面的方程（其中乂&?€）.解 j a ^D =0, f bB +D =0, pc +D=0,A=-D 、B=-D r C=—D a b c 将其代入所设方程、得 -Dx-Dy-Dz+D =0 、 a b c X +上也=1 . a b c '上述方程叫做平面的截距式方程 *而a 、b 、c 依次叫做平面在 X 、y 、z 轴上的截距.三、两平面的夹角两平面的夹角：两平面的法线向量的夹角（通常指锐角）称为两平面的夹角.设平面n 1和rb 的法线向量分别为 n 1N A 1占1 C ）和n 2=（A 2旧2、C 2）、那么平面n 1和rb 的夹角e 、―AAA_A应是（n 1, n 2）和（Til , n 2）F —g ,改）两者中的锐角、因此、cos 日^cosg ,匹）！.按两向量夹角余弦的坐标表示式.平面n 1和rt 的夹角e 可由来确定.从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论平面口 1和巧垂直相当于A1A2怕辰 QC2=0；平面□ 1和n 2平行或重合相当于 A =BL -C!.A ， B, C 2例5求两平面 x-yPz-6=0和2x 为七-5=0的夹角. 解 n 1=（A 1 启1 Q1）=（1、一1 *2）、n 2m A 2、B 2Q2）=（2*1 * 1）.c 1c2l_ I1'2■ (-1)'T ■ 2…I| Jcos g _lAie 日口2 "T A 2+ Bfg 2叔2 +B ：七："712+(-1)2七2722+12+12~^设所求平面的方程为Ax+By4Cz*HD=0.P （a *0 *0）、Q （0 *b *0）、R （0 ,0 ,c ）都在这平面上*所以点P 、Q 、R 的坐标都满足所设方程*即因为点有由此得IAA2+B 1B 2+C 1C 2IAco眄cosg,讣府魯Y A 呢W|1X2 +(-1)X1 +2咒1||AA 2+B ,B 2pi C 2|所以*所求夹角为,4,例6 一平面通过两点 M 1(1」和M 2(o 」#)且垂直于平面 x+y+z=o 、求它的方程.解方法一：已知从点M 1到点M 2的向量为山勻/卫、-?)、平面x+y+z=o 的法线向量为n 2=(1、 1 J). 设所求平面的法线向量为n^A 、B 、C).因为点M 1(1、1、1)和M 2(o1)在所求平面上、所以n 丄n 仁即从—2C=o 、A 亠2C . 又因为所求平面垂直于平面 x^^zT*所以n 丄m*即A+B4C=o*B=C. 于是由点法式方程*所求平面为-2CZ)£(y —1)兀(Z —1)0 即 2x —y-z=o.方法二：从点M 1到点M 2的向量为n 1 =(-1 e *-2) *平面x+y+z=o 的法线向量为“2=(1* 1 , 1). 设所求平面的法线向量因为所以所求平面方程为2(x-1)-(y-1)-(z-1)0 2x-y-z=0 .例7设P o (x o ,y o ,z o )是平面Ax+By 兀z 也=0外一点、求P o 到这平面的距离. 解设e n 是平面上的单位法线向量.在平面上任取一点 P 1(X 1 $1 *Z 1)*则P o 到这平面的距离为|A(X o^i )+B(y o-y i )七(z o^i )|扌是示：en^7A ^B ^(A, B, C)' 活o =(xo —x 1,yo —y 1,zo —z1)、例8求点(2 J J )到平面x +y -z +1 =0的距离.解 d JAxp^y o 弋zo^DI 」仝2丁X 1—(—1門+1| _ 3 —E _J A 2 + B 2 弋2 j 12+12+(—1)273 ' n 可取为npc n2 .i:-J o 1J A 2 +B 2+C 2JAx o 怕y oy z o-(Ax1HBy 1 七Z 1)| J A 2 +B 2 七2JAx^怕yo +Czo +D|Td 斗RP oen 1 =j 12+12+(_1)2。

7-3(马鞍面)ppt课件

4/21
二、旋转曲面
定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴．
4/21
二、旋转曲面
定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴．
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二、旋转曲面
定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴．
观察柱面的形成过程:
10/21
三、柱面
定义平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线叫L 柱面的母线.
观察柱面的形成过程:
10/21
三、柱面
定义平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线叫L 柱面的母线.
z 1 平面 // x轴、//y 轴
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四、二次曲面
三元二次方程的图形曲面称为二次曲面．
了解(画)曲面的形状的一种方法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，通
过考察其交线（即截痕）的形状来了解曲面的形状 ——截痕法。
几种特殊的二次方程的曲面：
14/21
1、方程
x2 a2

y2 b2

5/21
yOz 上曲线 f ( y, z) 0绕 z 轴旋转的旋转曲面方程
f x2 y2 , z 0.
同理：绕 y 轴旋转的旋转曲面方程
f y, x2 z2 0.
问：曲线C : f ( x, y) 0 xOy绕x轴的旋转曲面

平面及其方程

4A B 2C 0
于是
A B 2C,
3
所求平面方程为 2x 2 y 3z 0.
练习4 求平行于平面6x y 6z 5 0而与三个坐
标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.
解设平面为 x y z 1, a bc
V 1, 得 1 1 abc 1, 32
由所求平面与已知平面平行得
练习5 一平面通过两点M（1 1，1，1）和M（2 0，1，1）且垂直于平面x y z 0，求它的方程.
解设所求平面得一个法线向量为 n (A, B,C).
因M1M2 (1, 0, 2)在所求平面上，它必与n垂直，所以有
A 2C 0.
(1)
又因所求的平面, 1), M2(2,1, 2)和 M3(1,1, 4) 的平面方程.
解 M1M2 (1,1,3)， M1M3 (2,1, 3)，取 n M1M2 M1M3 (6, 3,3)，所求平面方程为
-6(x-1)-3(y-0)+3(z+1)=0 化简得 2x+ 3y- 3z- 3=0.
化简得 2x 3 y z 6 0.
练习2 求通过 x 轴和点(4,3,1)的平面方程.
解由于平面通过 x 轴，从而它的法线向量垂直于x轴，于是法线向量在 x轴上的投影为零，即A 0；
又由平面通过 x 轴，它必须通过原点，于是D 0.
因此可设这平面的方程为 By Cz 0.
代入点(4,3,1)，得 C 3B.
6.4 平面及其方程
6.4.1 平面方程 6.4.2 两平面间的夹角 6.4.3 点到平面的距离
6.4.1 平面方程
1 平面的点法式方程
如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做

7-3曲面方程、曲线方程

的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为
z L
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
M (0, y, z)

y
两边平方
x
z2 a2( x2 y2 )
例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线
分别绕 x
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.
解:绕 x 轴旋转所成曲面方程为
x2 a2

y2 z2 c2
l
的坐标也满足方程 x2 y2 R2
沿圆C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间
x2 y2 R2 表示圆柱面
定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
•
表示抛物柱面,
z
y2 1) 2

z2 1 (z 1)2
1
在xoy 面上的投影曲线方程为

x
2

2
y z
2 2 0
y

0
z
C
o
1y
x
又如,
上半球面
和锥面
所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 二者交线在
xoy 面上的投影曲线所围之域 .
二者交线
在 xoy 面上的投影曲线
所围圆域: x2 y2 1, z 0.
母线平行于 z 轴;
准线为xoy 面上的抛物线.
•
x2 a2

y2 b2
1表示母线平行于
z 轴的椭圆柱面.
x
z
C
o
y
z
• x y 0 表示母线平行于

高等数学平面和直线

垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 .
解: 设所求平面的法向量为
则所求平面
方程为 A(x 1) B( y 1) C(z 1) 0
n M1M 2
A 0 B 2C 0, 即
n 的法向量 A B C 0 , 故
因此有 2C(x 1) C( y 1) C(z 1) 0 (C 0)
2
cos n1 n2
n1 n2
即
cos
A1A2 B1B2 C1C2
A12 B12 C12 A22 B22 C22
2011年2月
7-5平面,6直线
n1
n2
1
总51页第10页
1 : n1 ( A1, B1, C1) 2 : n2 ( A2 , B2 , C2 )
cos
n1 n2 n1 n2
①
称①式为平面的点法式方程, 称 n 为平面的法向量.
2011年2月
7-5平面,6直线
总51页第3页
例1.求过三点
的平面的方程.
解: 取该平面的法向量为
n
n M1M 2 M1M3
M1
i jk
3 4 6
2 3 1
(14, 9, 1)
又 M1 , 利用点法式得平面的方程
M3 M2
解
3
1
设所求平面的法向量为
n
由题设知点 M (2,1,2) 为直线L上一点
其方向向量
s
3i
j
k
由于所求平面通过点A及L n AM i 3 j 4k n s AM
2011年2月
7-5平面,6直线
总51页第26页
ijk
3 1 1 i 13 j 10k

一、平面的点法式方程

平面∏2的法向量为 n2 ( A2 , B2 ,C2 )
则两平面夹角的余弦为
2
cos n1 n2
n1 n2
即
cos
A1A2 B1B2 C1C2
A12 B12 C12 A22 B22 C22
n1
n2
1
平面的位置关系：
(1) 1 2
n1 n2
A1 A2 B1 B2 C1 C2 0
求此平面方程.
解设平面为 Ax By Cz D 0,
aA D 0, 将三点坐标代入得 bB D 0,
cC D 0,
A D, B D, C D.
a
b
c
三、两平面的夹角
两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.
设平面∏1的法向量为 n1 ( A1 , B1 ,C1 )
o x
n
M0
y
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 ① 平面的点法式方程, 称 n 为平面的法向量.
例1 求过三点
的平面的方程.
解: 取该平面的法向量为
n
n M1M 2 M1M3
M1
i jk
3 4 6
2 3 1
(14, 9, 1)
又 M1 , 利用点法式得平面的方程
以上两式相减 , 得平面的点法式方程
显然方程②与此点法式方程等价,因此方程②的图形是
法向量为 n ( A, B,C)的平面, 此方程称为平面的一般
方程.
Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C 2 0)
特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量

第五节平面及其方程

其对应方程为方程组
G ( x, y , z ) 0
F ( x, y , z ) 0
z
S O y
x
S2
C F ( x, y , z ) 0
S1
则方程组(1)叫做空间曲线 C 的方程, 曲线 C 叫做方程组(1) 的图形.
目录上页下页返回结束
两个基本问题 : (1) 已知一曲面(曲线)作为点的几何轨迹时, 求曲面(曲线)方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ).
平面 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n2 ( A2 , B2 , C2 ) 垂直: 平行: n1 n2 0
A1 A2 B1B2 C1C2 0
A1 B1 C1 A2 B2 C2
n1 n2 夹角公式: cos n1 n2

1
cos
A1 A2 B1 B2 C1C2
A1 B1 C1
2 2 2
A2 B2 C2
目录
2
2
2
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下页
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结束
1 : n1 ( A1 , B1 , C1 )
特别有下列结论：
n1 n2 cos 2 : n2 ( A2 , B2 , C2 ) n1 n2
x0 y0 z0 1, 1 3 x0 3 x0
故
O
M0
y
因此所求球面方程为
x
目录
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结束
n2
(1) 1 2 (2) 1 // 2
n1 n2 A1 A2 B1 B2 C1 C2 0 n1 // n2

7-3相平面法2

&& + a1 ( x, x) x + a 0 ( x, x) x = 0 & & & x
令x1 = x，x2 = x ，
x1 = x 2 & & x 2 = −a1 ( x1 , x 2 ) x 2 − a0 ( x1 , x 2 ) x1
x1 = P( x1 , x 2 ) & & x 2 = Q( x1 , x 2 )
P ( x1 , x 2 ) = 0 Q ( x1 , x 2 ) = 0
3
奇点的分类：根据奇点附近相轨迹的特征。奇点的分类：根据奇点附近相轨迹的特征。由于此时是研究奇点附近系统的运动状态，此时是研究奇点附近系统的运动状态，因此可以用小偏差理论，在奇点（偏差理论，在奇点（x10，x20）附近展开成泰勒级数
x
0
x
14
（2）不稳定极限环）若极限环两侧的相轨迹从极限环发散，若极限环两侧的相轨迹从极限环发散，这种极限环称为不稳定极限环。环称为不稳定极限环。系统的运动状态与初始条件有若初始状态在环内，关，若初始状态在环内，则系统状态将趋于平衡点坐标原点）。反之，系统状态将远离平衡点。）。反之（坐标原点）。反之，系统状态将远离平衡点。所以具有不稳定极限环的系统，具有不稳定极限环的系统，其平衡状态是小范围稳定大范围是不稳定的。通常在设计系统时，的，大范围是不稳定的。通常在设计系统时，应尽量增大极限环。增大极限环。 x
1
※7．3．4 奇点和奇线．．
引入相平面图的概念，不单是求取相轨迹，引入相平面图的概念，不单是求取相轨迹，而是要通过对相平面的研究，而是要通过对相平面的研究，确定系统所有可能的运动状态及性能。的运动状态及性能。因此需要进一步研究相平面图的基本特征，从而找出相平面图与系统的运动图的基本特征，状态和性能之间的关系。状态和性能之间的关系。系统的相平面图有以下两个基本特征。两个基本特征。

平面及其方程

「丿第55讲平面及其方程——平面的一般方程
例3求过％轴及点Md-3,-1)的平面方程. 【例3解】设过%轴的平面为By+ Cz = O
点M°(4, -3, -1)的坐标满足上述方程-3B-C = 0
所求平面的方程为y-3z = 0 (如取B = l,C = -3) 例4求过点(1,1,1)且垂直于二平面x-y + z = 7和 3x + 2y-12z + 5 = 0的平面方程. 【例4解】法向量 n = (l,-l,l) x (3,2,-12) = (10,15,5)// (2,3,1) 所求平面方程 2(%-l) + 3(y-l) + (z-l) = 0
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第55讲平面及其方程
通过网格精确描述和生成大飞机复杂外形
第55讲平面及其方程——问题的引入
平面的点法式方程
设平面TT通过已知点Mo (私y® Zo) 且垂直于非零向量n = (A, B, 设M (的y, z)为平面TT上任一点
丄 n o MQM ・ n = 0 虬
特殊情形： •当D = 0时，Ax + By + Cz = 0表示通过原点的平面; •当4 = 0时+ Cz + Q = 0的法向量
n = (0, Bf C)丄i,平面平行于％轴； • 4% + Cz + D = 0表示平行于y轴的平面；
• + By + D = 0表示平行于z轴的平面；
® --------
丿第55讲平面及其方程——平面的一般方程
Ax + By + Cz + D = 0(42 + B2 + C2 0)
特殊情形： •当A = B = 0时,Cz + D = 0的法向量垂直于i和j , 表示平

3.平面及其方程

面.方程 Ax By Cz D 0 称为平面的一般方程 , 其中 x、y、z 的系数就是该平面一个法线向量 n 的坐标,即 n ( A, B, C ).
12
3. 特殊的三元一次方程所表示的平面
Ax By Cz D 0. D 0, Ax By Cz 0, 平面过原点. A 0, By Cz D 0, n (0, B, C )垂直
9
一般地, 如果平面过不共线已知三点 A(a1 , a2 , a3 ), B(b1 , b2 , b3 ), C (c1 , c2 , c3 ), 设M ( x , y, z )是平面上任意一点.
根据向量 AB, AC , AM共面, 混合积为零可得 x a1 y a 2 z a 3 b1 a1 b2 a 2 b3 a 3 0 c1 a1 c 2 a 2 c 3 a 3
22
解法三设所求平面方程为
Ax By Cz D 0, 它过点M 1，M 2，即 A B C D 0，B C D 0 所求平面垂直于已知平面，即两平面的法向量互相垂直，于是A B C 0，从而得 A A D 0, B , C . 2 2 取A 2，则B C 1, D 0 所求平面方程为： 2 x y z 0.
MCBFra bibliotekA平面的三点式方程
10
2. 平面的一般方程
点法式方程是 x、y、z 的一次方程, 任一平面都可用它上面的一点及它的法线向量确定 ,所以任一平面都可以用三元一次方程表示.
反之, 设有三元一次方程 Ax By Cz D 0.
任取满足该方程的一组数 x0 , y0 , z0 ,即 Ax0 By0 Cz0 D 0,

刚体的平面运动动力学课后答案

（7－8）
其中：是从速度瞬心引向M点的矢径，为平面图形的角速度矢量。
4、平面图形上各点的加速度
基点法公式：
（7－9）
其中：。基点法公式建立了平面图形上任意两点的加速度与平面图形的角速度和角加速度间的关系。只要平面图形的角速度和角加速度不同时为零，则其上必存在唯一的一点，其加速度在该瞬时为零，该点称为平面图形的加速度瞬心，用表示。
(b)
再根据对固定点的冲量矩定理：
系统对固定点A（与铰链A重合且相对地面不动的点）的动量矩为滑块对A点的动量矩和AB杆对A点的动量矩，由于滑块的
动量过A点，因此滑块对A点无动量矩，AB杆对A点的动量矩（也是系统对A点的动量矩）为：
将其代入冲量矩定理有：
(c)
由（a,b,c）三式求解可得：
(滑块的真实方向与图示相反)
其中：aK表示科氏加速度；牵连加速度就是AB杆上C点的加速度，即：
将上述公式在垂直于AB杆的轴上投影有：
科氏加速度，由上式可求得：
3-14：取圆盘中心为动点，半圆盘为动系，动点的绝对运动为直线运动；相对运动为圆周运动；牵连运动为直线平移。
由速度合成定理有：
速度图如图A所示。由于动系平移，所以，
根据点的复合运动速度合成定理有：
其中：，根据几何关系可求得：
AB杆作平面运动，其A点加速度为零，
B点加速度铅垂，由加速度基点法公式可知
由该式可求得
由于A点的加速度为零，AB杆上各点加速度的分布如同定轴转动的加速度分布，AB杆中点的加速度为：
再取AB杆为动系，套筒C为动点，
根据复合运动加速度合成定理有：
3－25设板和圆盘中心O的加速度分别为
，圆盘的角加速度为，圆盘上与板

高等数学平面及其方程

M0
O
y
x
2021/7/17
3
一、平面的点法式方程
法线向量：
z
如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就电做该平面的法线向量．
唯一确定平面的条件：
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面有无穷个．
M0
O
y
x
2021/7/17
4
一、平面的点法式方程
法线向量：
z
如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就电做该平面的法线向量．
唯一确定平面的条件：
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面有无穷个．
M0
O
y
x
2021/7/17
5
一、平面的点法式方程
法线向量：如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就电做该平面的法线向量．
z n
唯一确定平面的条件：
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面有无穷个．
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)并有确定 x 法向量 n{A，B，C}的平面只有一个．
2021/7/17
M0 O
y
6
一、平面的点法式方程
法线向量：如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就电做该平面的法线向量．
z n
唯一确定平面的条件：
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面有无穷个．
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)并有确定 x 法向量 n{A，B，C}的平面只有一个．
9
例2 求过三点M 1(2，1，4)、M 2(1，3，2)和M 3(0，2，3)
的平面的方程． z
解先求出这平面的法线向量 n ．
M 1M 2{3， 4， 6}，n

高等数学第七章空间解析几何与向量代数第五节平面及其方程

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二,指出下列各平面的特殊位置,并画出各平面: 1, 2 x 3 y 6 = 0 ; 2, y + z = 1; 3,6 x + 5 y z = 0 . 三,求过点( 1 , 1 ,1 ) , ( 2 ,2 , 2 ) 和( 1 ,1 , 2 ) 三点的平面方程 . 四,点( 1 , 0 ,1 ) 且平行于向量a = { 2 , 1 , 1 }和 b = { 1 ,1 , 0 }的平面方程 . 五 , 求通过 Z 轴和点 ( 3 , 1 , 2 ) 的平面方程 . 六 ,求与已知平面 2 x + y + 2 z + 5 = 0 平行且与三坐标面所构成的四面体体积为 1 的平面方程 .
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D D D 将A = , B = , C = , a b c
代入所设方程得
x
z
c
y
o
a
b
x y z + + = 1 平面的截距式方程 a b c
x 轴上截距
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y 轴上截距
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z 轴上截距
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例 5 求平行于平面6 x + y + 6 z + 5 = 0 而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.
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例 1 求过三点 A( 2,1,4), B( 1,3,2) 和
C (0,2,3)的平面方程.
解
AB = { 3, 4,6} AC = {2, 3,1}
取 n = AB × AC = {14, 9,1}, 所求平面方程为 14( x 2) + 9( y + 1) ( z 4) = 0, 化简得 14 x + 9 y z 15 = 0.

高等数学7.3 平面及其方程

求平面方程.
解：设平面上的任一点为 M( x, y, z)，M0M n 0
M0M {x x0 , y y0 , z z0 }
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
— 平面的点法式方程
2
填空题 2分
已知平面方程为( x 2) 2( y 3) （3 z-0） 0 则法向量nr ( [填空1] ), 平面必过点（ [填空2] ）
（熟记平面的几种特殊位置的方程）
两平面的夹角.（注意两平面的位置关系）
点到平面的距离公式.
23
P0
则有 Ax1 By1 Cz1 D 0 ,
显然有 | P1P0 n| d | n| ,
P1
N
而 P1P0 n { x0 x1, y0 y1, z0 z1 }{ A, B,C }
A( x0 x1 ) B( y0 y1 ) C(z0 z1 )
解由于平面过 x 轴, 所以 A = D = 0. 设所求平面的方程为 By + Cz = 0 , 又点(4, 3, 1)在平面上, 所以 3B C = 0 , C = 3B , 所求平面方程为 By 3Bz = 0 ,
显然 B 0 , 所以所求平面方程为 y 3z 0 .
Qy
x
x y z 1 平面的截距式方程 a bc
x轴上截距 y轴上截距 z 轴上截距
12
点法式方程
一般方程
两平面夹角
点到平面距离
例6 求平面6x y 4z 5 0 与三个坐标面所围四
面体的体积.
z
解把平面方程化为截距式
x y z 1, 5/6 5 5/4

平面及其方程习题解析

6.3一、单选题1、平面330x y z +--=的截距式方程为（）.A 3(1)0x y z +--= B133x z y +-= C 33x y z +-= D 13y x z +-=答案： B解析：根据截距式方程的标准形式，可将平面的一般式方程330x y z +--=，化为133x z y +-=.2、过三点1(0,1,0)M -, 2(1,0,1)M , 3(1,1,1)M -的平面的一般式方程为（）.A 32(1)0x y z -+-=B 3220x y z --+=C 3220x y z ---=D 1232x z y --= 答案： C解析：方法一直接求平面的一般方程 .设平面的一般方程为0Ax By Cz D +++= ①，将已知的三个点123,,M M M 坐标分别代入方程①中, 即有方程组000B D A C D A B C D -+=⎧⎪++=⎨⎪+-+=⎩, 运用中学学过的消元法解方程组, 用D来表示,,A B C , 可得3212B DA D C D ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩ , 因此, 所求平面的一般方程为 310,22D x D y D z D -⋅+⋅+⋅+=方程两边同时除以2D -化简得3220x y z ---=.方法二先求平面的点法式方程, 再化为一般方程 .将三个点任意连成两个向量, 不妨作1213,,M M M M则有1213(1,1,1),(1,2,1),M M M M ==-从1213,M M M M的坐标可以看出这两个向量并不平行, 可以通过这两个向量求出平面方程的法向量1213111121i j kn M M M M =⨯=-11111132.211112i j k i j k =+=-++--- 再从123,,M M M 中任取一点, 不妨就取1(0,1,0)M -, 根据点法式, 可得所求的平面方程(3)(0)2(1)1(0)0,x y z -⋅-+⋅++⋅-=化为平面的一般方程即3220x y z ---=. （大家还可以想想其他方法.）（做选择题也可以用代入法，将平面上点的坐标逐个代入四个选项检验。

7.3曲面及其方程

L
M(0, y, z)
两边平方
z2 = a2 ( x2 + y2 )
例4. (1)求坐标面 xoz 上的双曲线求坐标面轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程解:绕 x 轴旋转所成曲面方程为
分别绕 x
x y +z =1 2 2 a c
2 2 2
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
o
F(x, y, z) = 0
z
S
y
求曲面方程. 求曲面方程 (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ).
x
例1. 求动点到定点方程. 方程解: 设轨迹上动点为即
距离为 R 的轨迹依题意
( x x0 )2 + ( y y0 )2 + (z z0 )2 = R
定义3. 定义平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面叫做准线叫做母线准线, 母线. 的轨迹叫做柱面. C 叫做准线 l 叫做母线柱面
定义3. 定义平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面叫做准线叫做母线准线, 母线. 的轨迹叫做柱面. C 叫做准线 l 叫做母线柱面
定义3. 定义平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面叫做准线叫做母线准线, 母线. 的轨迹叫做柱面. C 叫做准线 l 叫做母线柱面
定义3. 定义平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面叫做准线叫做母线准线, 母线. 的轨迹叫做柱面. C 叫做准线 l 叫做母线柱面
y = x +1
定义1. 定义如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程上的任意点的坐标都满足此方程; (2)满足此方程的坐标点都在此平面上满足此方程的坐标点都在此平面上, 满足此方程的坐标点都在此平面上叫做曲面的方程, 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程叫做方程的图形. 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时已知一曲面作为点的几何轨迹时,

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