Ch6-鸽巢原理与Ramsey定理

使 mk1 = mk 2 = L = mk n+1 = i, 1 ≤ i ≤ n
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n 2 + 1个实数 a 1 , a 2 , L , a n 2 + 1 组成的序列 例3: 任意 中, 必有一个长度为 n + 1 的单调递增或单调递减的子序列.
下面证明对应这些下标 k1 , k 2 , L , k n +1 的实数序列必满足
= (b1 + b2 + L + bi + bi +1 + L + b j ) − (b1 + b2 + L + bi ) = bi +1 + bi + 2 + L + b j
说明从第 i+1天到第j天这连续j-i天中，该棋手刚好下了21 盘棋。
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例7: 设 a1 , a2 , a3 是3个任意整数, b1 , b2 , b3 是 a1 , a2 , a3 的 任一排列, 则 a1 − b1 , a2 − b2 , a3 − b3 至少有一个是偶数.
j +1
与 mk = mk 矛盾，从而可知 ak , ak ,L, ak 长度为 n + 1 的递减子序列。
j j +1
1
2
n +1
就是所存在的
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例4: 网络服务器 一家公司有15台网络服务器和10个因特网端口，任意 时刻都不会有超过10台的服务器同时需要端口。每5分钟， 这些服务器的某个子集请求端口。若希望以这样的方式把每 一个服务器与某些端口相连接：使用尽可能少的连接，总是 确保一台网络服务器有一个存取端口（一个端口一次至多被 一个服务器使用），需要多少次连接？ 例5：调制解调器 在15天的周期内，某调制解调器连接使用了300个小 时，则在连续3天的某个周期内，该调制解调器至少使用了 60个小时。
r
.
m 个物品放入 n 个盒子中, 则至少有一个盒
m − 1⎥ ⎥ +1 ⎣ n ⎦
⎢ 子中有不少于 ⎢
个物品.
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例2: 设 A = a1a2 L a20 是由10个0和10个1组成的某一20位二 进制数, B = b1b2 L b20 是任意的20位二进制数. 现把 A, B 分别记入 (A),(B)两个20个格子, 得到(A),(B)两种图象, 并把 两个(B)联接得40位的二进制数, 其图象为(C). 则存在某一配 合可以使得图象(C)上某相连的20格正好和图象(A)的20格中 至少10位的对应数字相同. （用推论2证明）
1 ≤ mk ≤ n, k = 1,2, L , n 2 + 1 这相当于将 n 2 + 1 个物体 m1 , m2 , L , mn 2 +1 放入
n
个盒子
1,2, L, n 中，由推论3知，必有一个盒子 i ，里面至少
⎢ n 2 + 1 − 1⎥ 有 ⎢ ⎥ + 1 = n + 1个物体，即存在 k1 < k 2 < L < k n +1 n ⎣ ⎦
故需要45min。
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nr + 1 个物品放入 推论1: 若将 一个盒子中有 r + 1 个物品.
推论2: 设 m1 , m2 , L , mn 是
n
个盒子中, 则至少有
n 个整数, 而且
m1 + m2 + L + mn > r −1 n
则 m1 , m2 , L , mn 中至少有一个数不小于 推论3: 若将
a2 = b1 + b2 ...... a77 = b1 + b2 + L + b77
根据题意，有 bi ≥ 1, (1 ≤ i ≤ 77) 且 bi + bi +1 + L + bi + 6 ≤ 12 (1 ≤ i ≤ 71) 所以有 1 ≤ a1 < a2 < a3 < L < a77 ≤ 12 ×11 = 132
（1）若存在整数 h(1 ≤ h ≤ m) 使得 m | sh ，取 k = 0, l = h 即可； （2）若对任一整数 i ，均有 m | si (1 ≤ i ≤ m) ，令 ri ≡ s i (mod m) 则有 1 ≤ ri ≤ m − 1(1 ≤ i ≤ m) 。这样， m 个余数均在1 到 m − 1 之间，由鸽巢原理知，存在整数 k ≠ l (1 ≤ k , l ≤ m) 使得 r k = rl (mod m) 。不妨设 l > k ，则
| A |≥ q1 + q2 + L + qn − n + 1, Ai ⊆ A, (i = 1,2, L, n)
且 U Ai = A ，则必有正整数 k
i =1 n
(1 ≤ k ≤ n) 使得 | Ak |≥ qk
通俗语言表述：设 q1 , q 2 , L , q n 都是正整数, 如果把 个物品放入 n 个盒子, 则或者第1个盒子至少包含 q1 个物品, 或者第2个盒子至少包含 q2 个物品, ……, 或者 第 n 个盒子至少包含 qn 个物品.
i =1
通俗语言表述： 如果把 n + 1 个物品放入 n 个盒子中, 则至少有一个盒子 中有两个或更多的物品。
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鸽巢原理的简单形式
例1: 13个人中必有两个人是在同一个月份出生的.
例2: 从10双手套中任取11只, 其中至少有两只是成双的.
例3: 在边长为1的正方形内任取5个点, 则其中至少有两点, 它们之间的距离不超过 2 / 2 .
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设K6的顶点集为{v1 , v2 , ··· , v6 }，dr(v)表 示与顶点 v 关联的红色边的条数，db(v)表 示与 v 关联的蓝色边的条数．在K6 中，有 dr(v)＋ db(v)＝５，由鸽巢原理可知，至少 有３条边同色． 现将证明过程用判断树表示如下：
v
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N db(v1)≥3
dr(v1)≥3?
Y
设(v1v2) (v1v3) (v1v4)为红边 △v2v3v4是蓝△ ? Y N 设( v2v3 )是红边 Y √ △v1v2v3是红△ √
设(v1v2) (v1v3) (v1v4)为蓝边 △v2v3v4是红△ ? N 设( v2v3 )是蓝边 △v1v2v3是蓝△
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命题2：对6个顶点的完全图 K 6 任意进行红、蓝两边着色， 都至少有两个同色的三角形。
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Ramsey数
Ramsey数的定义最早由英国数学家Ramsey在1928 年提出的，它是描述在任何离散结构中，只要“结构” 充分大就必然存在某种特殊的子部分。这一定义随后 被Gramham、Roth-Schild和Spencamsey数
Ramsey问题: 任何6个人的聚会, 其中总会有3个人互相认识 或3个人互相不认识. 等价命题 命题1: 对6个顶点的完全图, 任意进行 红、蓝两边着色， 都存在一个红色三 角形或一个蓝色三角形。
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例6：一个棋手有11周时间准备锦标赛，他决定每天至少下一 盘棋，一周中下棋的次数不能多于12次。证明：在此期间 的连续一些天中他正好下棋21次。 证明： 考虑数列 a1 , a2 ,L , a77 ; a1 + 21, a2 + 21,L , a77 + 21 它们都在1与132＋21＝153之间，共有154项，由鸽巢原理 知，其中必有两项相等。而由 1 ≤ a1 < a2 < a3 < L < a77 ≤ 132 知 a1 , a2 , L, a77 是互不相等的，从而 a1 + 21,L, a77 + 21 这77项也互不相等，故必存在 1 ≤ i < j ≤ 77 使得 a j = ai + 21 因此 21 = a j − ai
Chapter 6.
鸽巢原理与 Ramsey定理
云南大学计算机系
Fall, 2009
1
主要内容
鸽巢原理 鸽巢原理的推广形式 Ramsey数 Ramsey定理
2
鸽巢原理(Pigeonhole Principle)
是解决组合论中一些存在性问题的基本而又有力的工具.
3
鸽巢原理的简单形式
定理1: 设 A 是有限集，| A |≥ n + 1, Ai ⊆ A (i = 1,2, L n) n 且 U Ai = A ，则必有正整数 k (1 ≤ k ≤ n) 使得 | Ak |≥ 2
ak +1 + ak + 2 + L + al = (a1 + L + ak + ak +1 + L + al ) − (a1 + L + ak ) = sl − sk = rl − rk (mod m) = 0(mod m)
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例6：一个棋手有11周时间准备锦标赛，他决定每天至少下一 盘棋，一周中下棋的次数不能多于12次。证明：在此期间 的连续一些天中他正好下棋21次。 证明：令 b 1 , b 2 , L , b 77 分别为这11周期间他每天下棋的次 数，并作部分和 a1 = b1
证
由鸽巢原理， a1 , a2 , a3必有两个同奇偶．设这３
个数被２除的余数为 x x y，于是b1 , b2 , b3中被２除的 余数有２个x，一个y．这样a1－b1 , a2－b2 , a3－b3 被 ２除的余数必有一个为０．
10
鸽巢原理的推广形式
q 定理2: 设 A 是有限集， 1 , q 2 , L , q n 都是正整数，如果
证:
由前定理知，有同色三角形，不妨设△v1v2v3是红
色三角形. 可由如下判断树证明．