22.2.3_因式分解法解一元二次方程
21.2.3因式分解法
22.2.3因式分解法教学内容用因式分解法解一元二次方程．教学目标知识与技能：掌握用因式分解法解一元二次方程．过程与方法：经历因式分解法解一元二次方程的过程，提高合理选择方法和分析问题解决问题能力。
情感、态度与价值观：用数学解决问题的例子，培养学生乐于了解数学、应用数学的态度.教学重点用因式分解法解一元二次方程．教学难点让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．教学方法自主合作探究教学准备学生课前预习，教师制作课件教学过程设计（含各环节中的教师活动和学生活动以及设计意图）教学过程活动一、复习与思考（1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法）活动二、自学教材，解读目标自学教材38—39页内容，明确因式分解法解一元二次方程的一一般方法步骤，主要依据，会用因式分解法节简单的一元二次方程，通过演练40页练习题1，43页习题6检验自己自学效果，小组讨论解决疑难问题，15分钟后抽同学展示学习成果。
活动三、交流展示，解疑释惑展示1：教材习题、练习题板演与错解更正、总结因式分解法解一元二次方程的步骤与主要依据。
展示2：1．x2-5x因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．2．方程（2x-1）2=2x-1的根是________．3．如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值为（）． A．-12B．-1 C．12D．14.下面一元二次方程解法中，正确的是（）．A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1=25，x2=35C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2D．x2=x 两边同除以x，得x=15.解方程（1）4x2=11x （2）（x-2）2=2x-4（3）25y2-16=0 （4）x2-12x+36=0活动四、总结反思，拓展提高反思自己是否达到本科时学习目标要求，没达标的同学解决前面疑难问题，达到目标的同学可以尝试演练下列提高题：6.已知9a2-4b2=0，求代数式22a b a bb a ab+--的值．7．今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m，问鸡场长与宽各为多少？（其中a≥20m）本课作业《金榜行动》课时作业板书设计22.2.3因式分解法1、自学教材，解读目标2、展示1：·····展示2：······提高题······。
因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程的口诀：一移，二分，三转化，四再求根容易得。
步骤：将方程右边化为0；将方程左边分解为两个一次式的积；令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
数学中用以求解高次一元方程的一种方法。
把方程的一侧的数（包括未知数），通过移动使其值化成0，把方程的另一侧各项化成若干因式的乘积，然后分别令各因式等于0而求出其解的方法叫因式分解法。
在使用因式分解法解一元二次方程时：
①因式分解法解一元二次方程时，等式右边必须为0。
②方程中如果有括号不要急于去掉括号，要先观察方程是否可采用因式分解法求解。
③因式分解法有提公因式法，公式法，分组分解法等（十字相乘法最常用）。
④利用因式分解法解一元二次方程时，注意不能将方程两边同时约去相同的因式或未知数。
22.2.3因式分解法解一元二次方程 习题精选(二)
22.2.3因式分解法解一元二次方程习题精选（二）直接开平方法1．如果（x－2）2=9，则x＝．2．方程（2y－1）2－4=0的根是．3．方程（x+m）2＝72有解的条件是．4．方程3（4x－1）2=48的解是．配方法5．化下列各式为（x+m）2+n的形式．（1）x2－2x－3=0 ．（2）210x+=．6．下列各式是完全平方式的是（）A．x2+7n=7B．n2－4n－4C．211216 x x++D．y2－2y+27．用配方法解方程时，下面配方错误的是（）A．x2+2x－99=0化为（x+1）2=0B．t2－7t－4=0化为2765 ()24 t-=C．x2+8x+9=0化为（x+4）2=25D．3x2－4x－2=0化为2210 ()39 x-=8．配方法解方程．（1）x2+4x=－3 （2）2x2+x=0因式分解法9．方程（x+1）2=x+1的正确解法是（）A．化为x+1=0B．x+1＝1C．化为（x+1）（x+l－1）＝0D．化为x2+3x+2＝010．方程9（x+1）2－4（x－1）2=0正确解法是（）A ．直接开方得3（x +1）=2（x －1）B ．化为一般形式13x 2+5＝0C ．分解因式得[3（x +1）+2（x －1）][3（x +1）－2（x —1）]=0D ．直接得x +1＝0或x －l ＝011．（1）方程x （x +2）=2（z +2）的根是 ．（2）方程x 2－2x －3=0的根是 ．12．如果a 2－5ab －14b 2=0，则235a bb += ．公式法13．一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的求根公式是 ，其中b 2—4ac ．14．方程（2x +1）（x +2）=6化为一般形式是 ，b 2—4ac ，用求根公式求得x 1= ，x 2= ，x 1+x 2= ，12x x = ，15．用公式法解下列方程．（1）（x +1）（x +3）＝6x +4．（2）21)0x x ++=．（3） x 2－（2m +1）x +m ＝0．16．已知x 2－7xy +12y 2＝0（y≠0）求x ：y 的值．综合题17．三角形两边的长是3，8，第三边是方程x 2—17x +66＝0的根，求此三角形的周长．18．关于x 的二次三项式：x 2+2rnx +4－m 2是一个完全平方式，求m 的值．19．利用配方求2x 2－x +2的最小值．20．x 2+ax +6分解因式的结果是（x －1）（x +2），则方程x 2+ax +b ＝0的二根分别是什么?21．a 是方程x 2－3x +1=0的根，试求的值．22．m 是非负整数，方程m 2x 2－（3m 2—8m ）x+2m 2－13m+15=0至少有一个整数根，求m的值．23．利用配方法证明代数式－10x 2+7x －4的值恒小于0．由上述结论，你能否写出三个二次三项式，其值恒大于0，且二次项系数分别是l 、2、3．24．解方程（1）（x 2+x ）·（x 2+x －2）=24；（2）260x x --= 25．方程x 2－6x －k ＝1与x 2－kx －7=0有相同的根，求k 值及相同的根．26．张先生将进价为40元的商品以50元出售时，能卖500个，若每涨价1元，就少卖10个，为了赚8 000元利润，售价应为多少?这时，应进货多少?27．两个不同的一元二次方程x 2+ax +b =0与x 2+ax +a =0只有一个公共根，则（ ）A ．a =bB ．a －b =lC ．a +b =－1D ．非上述答案28．在一个50米长30米宽的矩形荒地上设计改造为花园，使花园面积恰为原荒地面积的寺，试给出你的设计．29．海洲市出租车收费标准如下（规定：四舍五入，精确到元，N≤15）N 是走步价，李先生乘坐出租车打出的电子收费单是：里程11公里，应收29．1元，你能依据以上信息，推算出起步价N 的值吗?30．（2004·浙江）方程（x －1）（x +2）（x －3）＝0的根是 ．31．（2004·河南）一元二次方程x 2—2x ＝0的解是（ ）A ．0B ．2C ．0，－2D ．0，232．（2004·南京）方程x 2+kx —6=0的一根是2，试求另一个根及k 的值．33．（2003·甘肃）方程(2)310mm x mx +++=是一元二次方程，则这方程的根是什么?34．（2003·深圳）x 1、x 2是方程2x 2—3x —6=0的二根，求过A （x 1+x 2，0）B （0，x l ·x 2）两点的直线解析式．35．a 、b 、c 都是实数，满足2(2)80a c c -++=，ax 2+bx +c ＝0，求代数式x 2+2x +1的值．36．a 、b 、c 满足方程组求方程2848a b ab c +=⎧⎪⎨=+-⎪⎩的解。
22.2.3 因式分解法解一元二次方程
练习
1.解下列方程：
3x 1 x2 x 0； x2 2 3x 0; 3 2 6 x 3； 2 2 2 4 3 4 x2 121 0; 5 x 2 x 1 4 x 2; x 4 5 2 x . 6
解：变形有 ( x －4 ) 2 － ( 5 － 2x )2=0. 因式分解，得
( x － 4 － 5 + 2x )( x － 4 + 5 －2x ) 有 3x － 2 = 0 或 2x + 1 = 0， 0. = ( 3x － 9 )( 1 － x ) = 0.
2 1 x1 , x2 . 3 2
直接开平方法 因式分解法
配方法
公式法
简记歌诀：
右化零
两因式
左分解
各求解
独立 作业
知识的升华
1、P43习题22.2 第6题;
祝你成功！
下课了!
结束寄语
• 配方法和公式法是解一元二次方程 重要方法,要作为一种基本技能来掌 握.而某些方程可以用分解因式法简 便快捷地求解.
小亮是这样解的 :
解 :由方程x 2 3x, 得 x 2 3x 0. xx 3 0. x 0, 或x 3 0. x1 0, x2 3. 这个数是0或3. 小明做得对吗?
小亮做得对吗?
这个数是3.
小明做得对吗?
动脑筋
2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增 加了一倍，求小圆形场地的半径．
回顾与复习 1
3.因式分解的方法有那些？ ①提公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c) ②公式法 平方差:a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方： a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 ③十字相乘法
22.2.3公式法解一元二次方程
22.2.3公式法解一元二次方程一、素质教育目标（一）知识储备点理解并掌握一元二次方程的求根公式，正确、熟练地运用公式法解一元二次方程，了解b-4ac的值对一元二次方程根的意义．（二）能力培养点通过求根公式的推导，培养学生推理能力，运用公式法解一元二次方程，培养学生运用公式解决问题的能力，全面培养学生解方程的能力，使学生解方程的能力得到切实的提高．（三）情感体验点让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感．二、教学设想1．重点：运用公式法解一元二次方程．2．难点：正确确定系数和准确运用公式．3．疑点：b-4a c<0时，一元二次方程的解．4．课型与基本教学思路：新授课．本节课运用配方法解ax2+bx+c=0（a≠0），推导出一元二次方程的求根公式，并能运用求根公式解一元二次方程．三、媒体平台1．教具、学具准备：自制投影胶片2．多媒体课件撷英：http：//【注意】课件要根据实际需要进行适当修改．四、课时安排１课时五、教学步骤（一）教学流程（1）用配方法解2x2-8x-9=0．（2）你能用配方法解一般形式的一元二次方程吗？ax2+bx+c=0（a≠0）2．课前热身（1）什么是一元二次方程的一般形式？（2）配方法解一元二次方程的步骤是什么？3．合作探究（1）整体感知：学生先运用配方法解2x2-8x-9=0；二次项系数化为1得x2-4x-92=0；移项x2-4x=92；配方x 2-4x+22=92+4；（x-2）2=172，x-2解得x 1=2+2x 2=2-2． 引导学生继续解ax 2+bx+c=0（a ≠0）； 二次项系数化为1得x 2+b a x+c a =0； 移项x 2+b a x=-c a；• 配方x 2+2·x ·2b a +（2b a ）2=（2b a ）2-c a即（x+2b a ）2=2244b ac a-． （2）师生互动互动1师：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式中，要求b 2-4ac •≥0•，•那么b 2-4ac<0时会怎样呢？生：当b 2-4ac<0ax 2+bx+c=0（a ≠0）无实数解．明确 b 2-4ac ≥0是公式的一个重要组成部分，是求根公式成立的前提条件，这一点是解一元二次方程的一个隐藏条件．当b 2-4ac<0时，此方程无解，•也是判断一元二次方程无解的一个前提条件．因为a ≠0，所以4a 2>0，当b 2-4ac≥0时，直接开平方得x+2b a =所以x=-2b a =2a 即x=2b a-ax 2+bx+c=0（a≠0）的求根公式b 2-4ac ≥0）．利用这个公式可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，•直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法．互动2P34例6解下列方程：①2x 2+x -6=0； ②x 2+4x=2；③5x 2-4x-12=0； ④4x 2+4x+10=1-8x ．明确 运用公式法解一元二次方程的步骤：（•1）•把方程化为一般形式，•确定a 、b 、c 的值；（2）求出b 2-4ac 的值；（3）若b 2-4ac≥0，把a 、b 、c 及b 2-4ac 的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；若b 2-4ac<0，此时方程无解．互动3请同学们根据学习体会、小结一下解一元二次方程的几种方法，通常你是如何选择的？请同学们交流，教师鼓励发言．明确 解一元二次方程一般有以下四种方法：直接开平方法、因式分解法、配方法、求根公式法．（1）当方程形如（x -a ）2=b （b ≥0）时，可用直接开平方法；（2）•当方程左边可以直接简单因式分解时，可选用因式分解法；（3）•配方法是一种重要的解法，尤其要熟悉配方法的整个过程，但解一般方程不选用这种解法；（4）•公式法是一元二次方程最重要的、最常用的解法，任何一元二次方程都可以选用这种解法，我们有时也称它为万能公式．4．达标反馈选择题：（1）用公式法解方程4x 2+12x+3，得到 （A ）A ．B ．C ．D ． （2）关于x 的方程ax 2+bx+c=0，已知a>0，b>0，c<0，则下列结论正确的是（B ）A ．有两个正实数根B ．两根异号且正根绝对值大于负根绝对值C ．有两个负实数根D ．两根异号且负根绝对值大于正根绝对值（3）关于x 的一元二次方程k （x 2-2x+1）-2x 2+x=0有两个实数根，则k 的取值范围是（C ）A ．k>-14B ．k ≥-14C ．k>-14且k ≠2D ．k ≥-14且k ≠2 （2）解答题：①用公式法解下列方程⑴6x 2-13x-5=0； ⑵x （x+8）=16；2-4x ⑷-12x 2-3x+6=0； ⑸x 2=2（x+1）； ⑹0.009x 2-3x+6=0；⑺4y 2-）．【答案】 ⑴52，-13⑵± 4②求关于x 的一元二次方程m 2-2m+m （x 2+1）=x 的二次项系数、一次项系数和常数项．【答案】 m ，-1，m 2-m③不解方程，判别下列方程的根的情况．⑴2x 2+3x-4=0； ⑵16y 2+9=24y ； ⑶5（x 2+1）-7x=0．【答案】 ⑴两不等实根 ⑵两等根 ⑶无实根5．学习小结（1）•引导学生作知识总结：本节课通过配方法求解一般形式的一元二次方程的根，推出了一元二次方程的求根公式，并按照公式法的步骤解一元二次方程．（2）教师扩展：（方法归纳）求根公式是一元二次方程的专用公式，•只有在确定方程是一元二次方程时才能使用，同时，求根公式也适用于解任何一元二次方程，是常用而重要的一元二次方程的万能求根公式．（二）拓展延伸1．链接生活链接一：通过本节课的学习我们知道，根据b 2-4ac •值的情况可以判别方程根的情况．当b 2-4ac>0时，方程有两个不相等的根；当b 2-4ac=0时，方程有两个相等的根；b 2-4ac<0时，方程没有实数根．你能解决这样的问题吗？若关于x 的方程x 2+2（a+1）x+（a 2+4a-5）=0有实数根，试求正整数a 的值．链接二：根据求根公式b 2-4ac ≥0），请同学们计算方程的两根之和与两根之积，并根据你的计算结果计算下列各题．（1）设x 1、x 2是方程3x 2-2x-4=0的两根，不解方程，求下列各式的值：①11x +21x ；②2111x x +1211x x ；③（x 1-x 2）2；④x 13+x 23． （2）已知关于x 的方程2x 2-（4m-3）x+m 2-2=0，根据下列条件，分别求出m •的值：①两根互为相反数；②两根互为倒数；③有一根为零；④有一根为1．2．巩固练习（1）选择适当的方法解下列关于x 的方程：①（2x2=8； ②12x 2+7x+1=0；③x 2--1=0； ④4（2x+1）2-4（2x+1）+1=0；⑤mx 2-（3m 2+2）x+6m=0（m ≠0）．【答案】 ①x 1=2，x 2=-2②x 1=-13，x 2=-14 ③ ④x=-14 ⑤x 1=2m ，x 2=3m （2）用公式法解下列方程．①2x 2-5x+2=0； 2；③2mnx 2+2m 2x=n 2x+mn （mn ≠0）．【答案】 ①x 1=2，x 2=12 ②x=2③x 1=2n m ，x 2=-m n （3）求证：方程（x-a ）（x-a-b ）=1有两个实数根，其中一个大于a ，另一个小于a ．【答案】 略（4）已知关于x 的方程2x 2+7x+c=0有两个相等的实数根，求c 和x 的值．【答案】 c=498，x=-74（5）关于x 的一元二次方程kx 2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是什么？【答案】 k>-1且k ≠0（6）不解方程，判别下列方程的根的情况．①2x 2+4x+35=0； ②4m （m-1）+1=0；③0.2x 2-5=32x ； ④4（y 2+0.99）=2.4y ；⑤12x 2； ⑥t 2+15）． 【答案】 ①无实根;②两等根; ③两不等实根;④无实根;⑤两不等实根;⑥两等根7．求证：关于x 的方程x 2+（2k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根．【答案】 证：△=（2k+1）2-4（k-1）=4k 2+5>0，•所以原方程有两个不相等的实数根．（三）板书设计§22．2 一元二次方程的解法3．公式法解一元二次方程公式法：___________________ 例题讲解：___________公式法的步骤：_____________ 学生练习：___________注意事项：_________________六、资料下载已知方程的根怎样求一元二次方程中待定的字母系数及其他？已知方程ax 2+bx+c=0，变形为x 2+b a x+c a=0，变形为 （x+2b a ）2=2244b ac a- 依求根公式得它的两根为x 1，x 2＝2b a-± 可见，一元二次方程的根是由它的系数确定的．可以算出：x 1+x 2=-b a ；x 1·x 2=c a （根与系数的关系）所以，我们可以利用根与系数的关系去求．例1 已知方程5x 2+（k-1）x-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．解法一 设方程的另一根为x 1，那么根据根与系数的关系，得2x 1=-65， ∴x 1=-35， 又-35＋2＝－15k -，∴k-1=-5（-35+2）， k -1=-7，k=-6， 答：方程的另一根是-35，k 的值是-6． 解法二 ∵2是方程5x 2+（k-1）x-6=0的根．∴5×22+（k-1）×2-6=0k=-6又设方程的另一个根是x 2，则2x 2=-65，x 2=-35， 答：方程的另一个根是-35，k 的值是-6． 例2 已知方程2x 2-（m-1）x+m+1=0的两根满足关系式x 1-x 2=1，求参数m 和两个根．解 ∵x 1-x 2=1，∴（x 1-x 2）2=1，（x 1+x 2）2-4x 1x 2=1，（12m-）2－12m+×4=1整理，得m2-10m-11=0，（m-11）（m+1）=0，∴m1=11，m2=-1，当m1=11时，原方程为2x2-10x+12=0，解得x1=2，x2=3，当m2=-1时，原方程为2x2+2x=0，解得x1=0，x2=-1．例3 已知方程x2+3x+m=0的两根为x1、x2，m为何值时，3x1-x2=4．解∵3x1-x2=4，∴3（x1+x2）-4x2=4，∵x1+x2=-3，∴3×（-3）-4x2=4，x2=-134，将x2=-134代入原方程，得（-134）2＋3×（-134）+m=0m=－13 16．。
用因式分解法解一元二次方程
22.2.3因式分解法解一元二次方程教学目标：1了解用因式分解法解方程的根据是：“如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因式中一个等于0，它们的积就等于0.”2、会用因式分解法解某些一元二次方程。
教学重点：是会用因式分解法解某些一元二次方程。
教学难点：是理解并应用会用因式分解法解某些一元二次方程。
教学过程：活动一、创设情境，引入新课：1、我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?2、解下列方程⑴ （x-2）2=1 ⑵ x 2+2x =1 ⑶ x 2-x-1 =03、看谁能最快给出下列一元二次方程的解⑴（x-1）（x+2）=0⑵（x+1）（x-2）=0⑶（2x+5）（3x-9）=0我们能这么快给出它们的解，是怎样思考的？4、揭示课题：用因式分解法解一元二次方程活动二、自主探究：1、自学课本第38-39页上第一段结束，思考下列问题：（1）教材问题所列的方程是怎样求解的？运用了什么方法？方程中的两个解表示什么？（2）如何利用由ab=0得 a=0或b=0 使二次方程降为一次方程的？（3）什么叫因式分解法解一元二次方程？2．小组交流，并展示成果。
（让学生通过自学经历思考、讨论、分析的过程，理解因式分解法解一元二次方程。
活动三、.自主学习例题3：用因式分解法解下列方程①02)2(=-+-x x x ②432412225+-=--x x x x思考：（1）这两题解方程有没有其它解题的方法（在学生回答的同时老师注意强化解题的书写格式）第一题解法二： 第二题解法二：（2）第一题能在方程两边同时除以（x-2）吗？（3）交流总结因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①将一元二次方程化成一般形式，即方程右边为0。
②将方程左边式子分解因式，由一元二次方程转化成两个一元一次方程。
③对两个一元一次方程分别求解。
训练课本40页第一题活动四、能力提升用因式分解法解方程：（1）022=--x x （2）22)3()12(x x -=-（3）24)12(3+=+x x x （4）3832=-x x（5）06)2(5)2(2=+---x x （6）0624=--x x1、师生交流总结提升：（1）用因式分解法解方程的根据由ab=0得 a=0或b=0，即“二次降为一次”。
22.2一元二次方程的解法(因式分解法)第二课时(精选习题)
(4)(2a 3) (a 2)(3a 4)
2
解：去括号，整理，得 a 2a 1 0
2
(a 1) 0
2
a1 a2 1.
3、解方程：x3-2x2-3x=0
4、已知m是关于x的方程 mx2-2x+m=0的一个根，试 确定m的值。
5、已知（2x+y）2+3（2x+y）=4， 求代数式2x+y的值。
独立 作业
（） 1 . 4x 1 (5x 7) 0;
（2） .3x x 1 2 2x;
2
解下列 方程
（3） .(2x 3) 4(2x 3);
（4） .2( x 3) x 9;
2 2
（ 5） .5( x x) 3( x x);
2 2
(2)(4 x 3) ( x 3)
2
2
解：移项，得 (4 x 3) ( x 3) 0,
2 2
(4 x 3 x 3)(4 x 3 x 3) 0 5 x(3x 6) 0, 5x 0或3x 6 0,
x1 0, x2 2.
x2 2ax a 2 0
( x a) 0 x1 x2 a 或 x1 x2 a
(2)4 x 12 x 9 0
2
解：原方程可化为 （2x） 2 2 x 3 3 0
2 2
(2 x 3) 0
2
3 x1 x2 2
x 7 x 12 0
2
解： ( x 3)( x 4) 0, x 3 0或x 4 0,
x1 3, x2 4.
22.2.3用因式分解法解一元二次方程
9 x 25 0
2
解法一 (直接开平方法):
5 x , 3 5 5 即x1 , x 2 . 3 3
2 9x －25=0
解：原方程可变形为
(3x+5)(3x－5)=0 3X+5=0 或 3x－5=0 5 5 x1 , x 2 . 3 3
9X2－25= (3x+5)(3x－5)
解一元二次方程解法（3）
因式分解法
复习引入: 1、已学过的一元二次方程解 法有哪些？ 2、请用已学过的方法解方程 2 x －9=0
2 x －9=0
解：原方程可变形为
(x+3)(x－3)=0
AB=0A=0或Ｂ０
X+3=0 或 x－3=0 ∴ x1=-3 ,x2=3
X2－9= (x+3)(x－3)
解题步骤演示
例 (x+1)(x+3)=15 解：原方程可变形为 方程右边化为零 x2+4x－12 =0 左边分解成两个一次因式 的乘积 (x－2)(x+6)=0
至少有一个一次因式为零得到两个一元一次方程
x－2=0或x+6=0
两个一元一次方程的解就是原方程的解
∴ x1=2 ,x2=-6
小
结：
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1o方程右边化为 零 。 2o将方程左边分解成两个一次因式 的乘 积。 3o至少 有一个 因式为零，得到两个一元 一次方程。 4o两个 一元一次方程的解 就是原方程的解 2.解一元二次方程的方法：
(1) x( x 2) 0
x1 0, x2 2
2 1 (3)(3x 2)( 2 x 1) 0 x1 , x2 3 2 2 (4) x x x1 0, x2 1
因式分解法解一元二次方程
22.2.3一元二次方程的解法——因式分解法（1课时）白泉中学郑卫东一、导学与检测引入新课：直接开平方解方程比较简单，配方法、公式法非常麻烦，运算量较大，有没有简单解一元二次方程的解法呢？（一）阅读P38，回答下列问题（1）因式分解法就是先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解，都是一元二次方程的解，这样也就把原方程进行了，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了。
（2）因式分解法解一元二次方程的步骤：①，使方程的右边为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的；③令每个因式分别为，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的。
（二）合作探究：用因式分解法解方程（1）4x2=11x （2）= 2x-4（3）（4）二、巩固训练题：1.用因式分解法解方程，可把它化为两个一元一次方程，，求解。
2.如果方程x2-3x+c = 0有一个根为1，那么c= ，该方程的另一个根是，该方程可化为(x-1)(x )=0.3.方程(x-3)(x-1)= 3的根是（）.A、x1=3 , x2=1 B、x1=1 , x2=2C、x1=0 , x2=4 D、x1= , x2=4.用适当的方法解下列方程：（1）（2）5.用因式分解法解下列方程（1）（2）2x2+8x+8= 0（3）（4）x2-4x-3596=0三、课堂检测：1.用因式分解法解方程：（1）x-2=x(x-2) （2）(y+2)(2y+3)= 6（3）(1+x)(x-7) = -16 (4)参考答案：巩固训练： 1、x+3=0 5-2x=0 2、C=2 1 x-2 3、C 4、（1）101,219-（2）1,235.(1) x 1=0 , x 2=2 (2) x 1=x 2=-2 (3) x 1=1 , x 2=7 (4) x 1=-58 , x 2=62 课堂检测：（1）、x 1=1 , x 2=2 （2）、x 1=0 , x 2= 27-（3）、x 1=x 2=3 （4）x 1=7 , x 2= 319-。
因式分解解一元二次方程
22.2.3因式分解法解一元二次方程导学案（2）目标：1、会用因式分解法解一元二次方程，体会“降次”化归的思想方法2、通过因式分解法解一元二次方程的学习，树立转化的思想。
学习重、难点1、重点：因式分解法解一元二次方程2、难点：将方程的右边化为零后，对左边进行正确的因式分解学习过程：一、知识引入：1、因式分解的常用方法：、；平方差公式a2-b2=( )( ); 完全平方公式a2±2ab+b2=( )22、若a·b=0,则a 或b ；一元二次方程(x-1)(x-2)=0可化为两个一次方程为和，方程的根是。
3、你能用几种方法解方程x2－x = 0？4、因式分解法：如果一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积，那么这样的一元二次方程就可以用因式分解法求解。
二、例题讲解：例：解下列方程（教师讲解）(1)(2x-1)2-x2=0 (2)(x-3)-x(x-3) =0照葫芦画瓢：(1)9(2x-1)2=x2 (2)(x-3)-x(3-x) =0 (3) (x-3)=x(x-3)思考：用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是什么？基本步骤：1）化为一般式2）进行因式分解3）利用基本原理：若AB=0，则A=0 或B=0,将一元二次方程分解为两个一元一次方程4）解上述一元一次方程5）书写结论。
专题训练：(1)4(3x+1)2-9=0 (2) 5(2x-1)=(1-2x)(x+3)三、牛刀小试：1、如果(x-1)(x+2)=0，那么以下结论正确的是（）A.x=1或x=-2B.必须x=1C.x=2或x=-1D.必须x=1且x=-22、若方程(x-2)(3x+1)=0，则3x+1的值为（）A. 7B. 2C. 0D. 7 或03、已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是（填上一个符合条件的方程即可）4、用因式分解法解方程9=x2-2x+1(1)移项得；(2)方程左边化为两个数的平方差，右边为0得；(3)将方程左边分解成两个一次因式之积得；(4)分别解这两个一次方程得x1 = ， x2= 。
解一元二次方程—因式分解法导学案
22.2.3解一元二次方程—因式分解法教学目标:1.了解因式分解法的概念和解题步骤.2.会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解，根据两个因式的积等于0，必有因式为0，从而降次解方程.教学重点:会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解，从而降次解方程教学难点:让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．教学过程一、自主预习1、如何利用由ab=0得 a=0或b=0 使二次方程降为一次的？2、什么叫因式分解法解一元二次方程？3、因式分解法解一元二次方程的解题步骤是什么？二、复习引入1、什么叫因式分解？因式分解的方法都是有哪几种？（口答）2、在实数范围内因式分解。
（1）4x2-12x (2)4x2-9(3)x2-7 (4)(2x-1)2-(x-3)23、判断正误。
（1）若ab=0；则 a=0或b=0 ( )（2）若a=0或b=0；则ab=0 ( )（3）若(x+2)(x-5)=0；则x-2=0或x-5=0 ( )（4）若x-2=0或x-5=0；则(x+2)(x-5)=0 ( )三、探究新知方程x2 －5x=0左边可以因式分解得，右边为0，于是得x=0或 =0，∴x1= ，x2= 。
归纳：利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫做因式分解法．例(教材P 39例3)解下列方程：（用因式分解法）（1）02)2(=-+-x x x (2)221352244x x x x --=-+归纳：因式分解法解一元二次方程的步骤：①将一元二次方程化成一般形式，即方程右边为 。
②将方程左边式子 ，由一元二次方程转化成两个一元一次方程。
③对两个一元一次方程分别求解。
(3) 02)2(=-+-x x x (用配方法) （4）221352244x x x x --=-+（用公式法）归纳：配方法要先配方，再降次；公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程. 解一元二次方程的基本思路：化二元为一元，即降次.所以，在解一元二次方程时要根据方程特点选择合适的方法解方程四、巩固练习（1）必做题1.用因式分解法解方程：（教材Ｐ40练习1）（1）02=+x x （2）0322=-x x （3）3632-=-x x（4）012142=-x （5）24)12(3+=+x x x （6）22)25()4(x x -=-2.选用合适方法解方程（1）x 2+x+41=0； （2）x 2+x-2=0； （3）(x-2)2 =2-x ； （4）2x 2-3=0.3.下面一元二次方程解法中，正确的是（ ）．A ．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x 1=13，x 2=7B ．（2-5x ）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x 1=25，x 2=35 C ．（x+2）2+4x=0，∴x 1=2，x 2=-2D ．x 2=x 两边同除以x ，得x=1（2）选做题1、（中考题）方程3)3(+=+x x x 的解是（ ）A 、1=xB 、01=x 32-=xC 、11=x 32=xD 、11=x 32-=x3、一元二次方程02=++q px x 的两根分别是1和-2，那么将q px x ++2因式分解的结果为 。
华东师大版九年级数学上册22.2.3一元二次方程的解法(公式法)教学设计
4.能够运用公式法求解实际问题中涉及的一元二次方程，并解决相关问题。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，学生将通过自主探究、合作交流、问题解决等方式，培养以下能力：
1.自主探究：引导学生通过观察、分析、归纳等思维活动，发现一元二次方程的解法——公式法的规律；
1.基础练习题：完成课本P118页第1、2、3题，巩固求根公式的应用。
2.提高练习题：完成课本P119页第4、5题，进一步掌握一元二次方程解的性质及求解方法。
3.实际应用题：根据以下情境，列出一元二次方程并求解。
（1）某学生参加篮球比赛，比赛开始时，他距离篮筐3米。在比赛过程中，他向前跳起，跳跃高度为0.5米。求他距离篮筐的最短距离。
（3）在实际应用中，如何判断一元二次方程的解是否符合题意？
5.课后反思：请学生回顾本节课所学内容，总结自己在学习过程中遇到的困难和收获，并对学习方法进行反思，以提高学习效率。
作业要求：
1.学生独立完成作业，确保作业质量。
2.作业完成后，认真检查，确保无误。
3.遇到问题时，积极思考，可向同学或老师请教。
4.课后反思要真实、具体，以便找到适合自己的学习方法。
（2）某商品的成本为1000元，售价为x元。根据市场调查，每提高10元售价，销量增加5件。已知该商品销售总收入与成本相等时，求售价x。
4.探究性问题：小组合作，探讨以下问题，并在下节课上分享讨论成果。
（1）为什么一元二次方程的求根公式中要加上“±”？
（2）当判别式Δ=b²-4ac=0时，方程的解具有什么特点？
3.教学评价：
（1）过程性评价：关注学生在课堂上的参与程度、思考过程和合作交流情况，了解学生对知识的掌握程度；
人教版数学九年级上册22.2.3《解一元二次方程—因式分解法》教学设计
人教版数学九年级上册22.2.3《解一元二次方程—因式分解法》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册22.2.3《解一元二次方程—因式分解法》的内容，是在学生已经掌握了方程的解法、一元二次方程的定义等知识的基础上进行讲解的。
本节内容主要让学生掌握因式分解法解一元二次方程的方法，通过具体例题让学生理解并掌握因式分解法解题的步骤和技巧。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力，但是对于一元二次方程的解法可能还存在着一些困惑。
因此，在教学过程中，教师需要耐心引导，让学生逐步理解和掌握因式分解法解一元二次方程的方法。
三. 教学目标1.让学生掌握因式分解法解一元二次方程的方法。
2.培养学生运用因式分解法解决问题的能力。
3.提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：因式分解法解一元二次方程的方法。
2.难点：因式分解法解题的步骤和技巧。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流，掌握因式分解法解一元二次方程的方法。
六. 教学准备1.教学PPT。
2.相关例题及练习题。
3.教学黑板。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾一元二次方程的解法，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示因式分解法解一元二次方程的方法，并结合具体例题进行讲解。
3.操练（10分钟）教师给出几个典型例题，让学生独立运用因式分解法进行解答，教师巡回指导。
4.巩固（10分钟）教师给出一些练习题，让学生运用因式分解法进行解答，以此巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）教师引导学生思考：还有没有其他方法可以解一元二次方程？让学生进行拓展思考。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结因式分解法解一元二次方程的步骤和技巧。
7.家庭作业（5分钟）教师布置一些课后练习题，让学生巩固所学知识。
8.板书（5分钟）教师在黑板上列出因式分解法解一元二次方程的步骤和技巧。
《因式分解法》教案设计
《因式分解法解一元二次方程》教学设计教学内容人教数学九年级（上）22.2.3用因式分解法解一元二次方程．教学目标掌握用因式分解法解一元二次方程．通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．重难点关键1．重点：用因式分解法解一元二次方程．2．•难点与关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．教学过程一、复习引入（学生活动）解下列方程．（1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法）老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为12，12的一半应为14，因此，应加上（14）2，同时减去（14）2．（2）直接用公式求解．二、探索新知（学生活动）请同学们口答下面各题．（老师提问）（1）上面两个方程中有没有常数项？（2）等式左边的各项有没有共同因式？（学生先答，老师解答）上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:因此，上面两个方程都可以写成：（1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-12．（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．（以上解法是如何实现降次的？）因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．例1．解方程（1）10x-4.9 x2 =0 （2）x（x-2）+x-2 =0 (3)5x2-2x-14=x2-2x+34(4)(x-1) 2=(3-2x) 2 思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？解：略（方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积。
）练习：1．下面一元二次方程解法中，正确的是（）．A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1=25，x2=35C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2 D．x2=x 两边同除以x，得x=1 三、巩固练习教材P40练习1、2．例2．已知9a2-4b2=0，求代数式22a b a bb a ab+--的值．分析：要求22a b a bb a ab+--的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．解：原式=22222 a b a b bab a ---=-∵9a2-4b2=0∴（3a+2b）（3a-2b）=0 3a+2b=0或3a-2b=0，a=-23b或a=23b当a=-23b时，原式=-223bb-=3当a=23b时，原式=-3．四、应用拓展例3．我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．（1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0分析：二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，•我们可以对上面的三题分解因式．解（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1）∴（x-4）（x+1）=0∴x-4=0或x+1=0∴x1=4，x2=-1（2）和（3）略。
22.2.3一元二次方程的解法(练习课)
步骤归纳
①右边化为0,左边化成两个因式 的积； ②分别令两个因式为0，求解。
例1.选择适当的方法解下列方程：
① ② ③ ④
2x 3
2
2
( x 7)x 5 4x 5
2
( x 1)
2
5 x 3x 2 0
先考虑开平方法, 再用因式分解法; 最后才用公式法和配方法.
x 4 x 5
例2. 解方程
①
2=2(4m+7) (2m+3)
变1： 2(x-2) +5(2-x)-3=0 变2： 2(2-x)2+5(2-x)-3=0 再变为： 2(x-2)2+5x-13=0
2(x-2)2+5x-10-3=0
总结 方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有 简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并 整理为一般形式b2-4ac＜0,方程没有实数根。
2
4、用分解因式法解方程：
2=3(y+2） （y+2)
解:原方程化为 （y+2) 2﹣ 3（y+2）=0 (y+2)(y+2-3)=0 (y+2)(y-1)=0 y+2=0 或 y-1=0 ∴y1=-2 y2=1
把y+2看 作一个未 知数，变 成 (ax+b)(c x+d)=0形 式。
22.2.3 公式法+22.2.4 一元二次方程根的判别式(课件)华师大版数学九年级上册
A. －9
B. －94
C.
9 4
D. 9
课堂小结
一元二次方程根的判别式
用公式法 关键 根的判
解方程
别式
有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 无实数根
A. ①直接开平方法，②因式分解法，③公式法 B. ①因式分解法，②公式法，③配方法 C. ①公式法，②配方法，③因式分解法 D. ①直接开平方法，②公式法，③因式分解法
课堂小结
公式法
选择合适 的方法解 一元二次 方程
最直接的方法 公式法 最灵活的方法 因式分解法 硬规定的方法
知2－讲
(1)若方程具有(mx＋n)2＝p(p ≥ 0)的形式，可用直接开平
方法求解；
(2)若一元二次方程一边为0，另一边易于分解成两个一
次式的乘积，可用因式分解法求解；
(3)公式法是一种常用的方法，用公式法解方程时一定要
把一元二次方程化为一般形式，确定 a，b，c的值，
在b2－4ac ≥ 0 的条件下代入公式求解 .
④若b2－4ac ≥ 0，则把a，b及b2－4ac的值代入求根公式
求解 .
感悟新知
知1－讲
特别提醒 1. 公式法是解一元二次方程的通用解法(也称万能法)，它
适用于所有的一元二次方程，但不一定是最高效的解法. 2. 只有当方程ax2＋bx＋c＝0中的a≠0，b2－4ac ≥0时，才
能使用求根公式 .
感悟新知
活用巧记
知2－讲
先考虑用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种
方法时，再用公式法；没有特殊要求的，尽量少用配方法 .
可巧用口诀记为
观察方程选解法，先看能否开平方，
再看是否能分解，左分降次右化零，
22.2.3 因式分解法解一元二次方程--
小明的这样解的:
解: 方一x2 = 3x的 边都同时约去x, 得 . ∴x = 3.
解: x −3x = 0.
2
3± 9 ∴x = . 2
∴这个数的0或 . 3
小颖做得对吗?
∴这个数的 . 3
小明做得对吗?
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等 吗？如果相等，这个数的几？你的怎样 求出来的？
小聪,小明,小亮都设这个数为x,的据题意得 x2 = 3x.
第22章 一元二次方程 章
22.2.3 因式分解法
1.我们已经学过了的方法? 直接开平方法 配方法 x2=a (a≥0) (x+m)2=n (n≥0)
−b ± b2 − 4ac 2 x= . b − 4ac ≥ 0 . 2a
( 公式法 2.什么叫分解因式? 把一个多项式分解成几个整式乘积 的形式叫做分解因式.
1 3 (10).x1 = ; x2 = − . 4 4
10 .2( x + 3) = x = 9 .
2
(
)
二次三项式 ax2+bx+c的因式分解
我们已经学过一些特殊的一一三项式的分解因 式,如：
x + 6x + 9 = (x + 3) ;
2 2
x + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3);⋯
∴ 2 x + 1 = 0, 或4 x − 3 = 0. 1 3 ∴ x1 = − , x2 = . 2 4 ∴ x1 = −2; x2 = 4.
用分解因式法解下列方程
1 . x + (5 − 2 ) x − 5 2 = 0
2
参考答案： 参考答案：
22.2.3一元二次方程 的解法(因式分解法)
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1o方程右边不为零的化为 零 。 2o将方程左边分解成两个一次因式 的 乘积。 （常用方法提公因式法，公式法,十字相乘法） 3o至少 有一个 一次因式为零，得到 两个一元一次方程。 4o两个 一元一次方程的解 就是原方 程的解。
右化零 两因式
简记歌诀： 左分解 各求解
∴ x1=2 ,x2=-4
用因式分解法解下列方程：
(1)(x 5)(x 2) 18
解：整理原方程，得 x2 3x 28 0
(x 7)(x 4) 0
x 7 0,或x 4 0,
x1 7, x2 4.
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1o方程右边不为零的化为 零 。 2o将方程左边分解成两个一次因式 的 乘积。（常用方法提公因式法，公式法,十字相乘法）
两个一元∴一x次1方=2程,的x2解=就-4是原方程的解
十字相乘法
解下列方程
1、x2－3x－10=0
2、(x+3)(x－1)=5
解：原方程可变形为 解：原方程可变形为
(x－5)(x+22)(x+4)=0
x－5=0或x+2=0
x－2=0或x+4=0
∴ x1=5 ,x2=-2
1.方程右边不为零的化为 零 。 2.将方程左边分解成两个 一次因式 的 乘积。（常用方法提公因式法，公式法）
3.至少 有一个 一次因式为零，得到两 个一元一次方程。 4.两个 一元一次方程的解 就是原方程 的解。
因式分解法解题框架图
解：原方程可变形为：
=0 ( 一次因式A )( 一次因式B )=0
开动大脑
解关于 x的方程 x2 2ax a2 b2 0 1 (a b)
22一元二次方程因式分解法分析
22一元二次方程---22.2.3因式分解法的说课稿授课人山前学校李文东一、本册教材课标要求：1、了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们有关的运算。
2、能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。
3、理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程。
4、通过具体实例认识旋转，探索它的性质，能够按要求作出简单图形旋转后的图形。
5、理解圆及其有关概念，探索圆的性质，研究点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系。
6、在具体情境中了解概率的意义，会用列举法计算简单事件发生的概率。
二、教材的单元分析：（一）、课程学习目标：1．以分析实际问题中的等量关系并求解其中的未知数为背景，认识一元二次方程及其有关概念；2．根据化归的思想，抓住“降次”这一基本策略，掌握配方法、公式法和因式分解法等一元二次方程的基本解法；3、经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的数学模型作用，进一步在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力。
（二）、内容安排：本章的主要内容包括：一元二次方程及其有关概念，一元二次方程的解法，运用一元二次方程分析和解决实际问题。
（三）、课时安排：本章教学时间约需13课时：22.1、一元二次方程；（2）22.2、降次——解方一元二次方程（7）；22.3、实际问题与一元二次方程（2）；小结（2）（四）、学法教法建议：1、重视一元二次方程与实际的联系，体现数学建模思想。
2、重视一元二次方程的特殊性，突出解一元二次方程的基本策略以及解法中的关键步骤。
教科书的第22.2节以“降次”为节名，其用意在于强调解一元二次方程的基本策略。
在讨论各种具体解法时，教科书把重点放在分析方程的形式特征上，并结合这些特征提出具体的有针对性的解法，强调其中的关键步骤所起的重要作用，这些内容形成了课文的核心部分。
三、教材的课时分析：1.教学中应结合一元二次方程的特点，从说理的角度讨论方程的解法。
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那么这两个数至少有一个为 . 0
小 是 样 的: 亮 这 解
解:由 程 2 = 3x, 得 方 x x2 3x = 0. ∴x( x 3) = 0. ∴x = 0,或 3 = 0. x ∴x1 = 0, x2 = 3. ∴这 数 0或 . 个 是 3 小亮做得对吗? 小亮做得对吗
小明是这样解的:
解: 方程 2 = 3x两 x 边 同时 去 , 得 都 约 x .
解: x2 3x = 0.
3± 9 ∴x = . 2
∴x = 3.
∴这个数是 . 3
∴这 数 0或 . 个 是 3
小颖做得对吗? 小颖做得对吗
小明做得对吗? 小明做得对吗
心动
不如行动
你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等， 一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等， 这个数是几？你是怎样求出来的？ 这个数是几？你是怎样求出来的？ 小颖,小明,小亮都设这个数为x, x,根据题意得 小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x2 = 3x.
3x2 + 7x + 4 = ?L.
观察下列各式,也许你能发现些什么
解方程: x2 7x + 6 = 0得x1 =1, x2 = 6; 而x2 7x + 6 = (x 1)(x 6);
解方程: x2 + 2x 3 = 0得x1 = 3, x2 =1 而x2 + 2x 3 = (x + 3)(x 1); ; 3 3 而4x2 12x + 9 = 4(x 3)(x 3 2 解方程: 4x 12x + 9 = 0得x1 = , x2 = ; 2 2 2 2 4 4 2 2 解方程: 3x + 7x + 4 = 0得x1 = , x2 = 1; 而 x + 7x + 4 = 3(x + )(x +1); 3 3 3 看出了点什么?有没有规律?
∴x1 = 2; x2 =1.
学习是件很愉快的事
淘金者
2.(x+1)2-25=0. 2.[(x+1)+5][(x+1)2.[(x+1)+5][(x+1)-5]=0, ∴x+6=0,或x-4=0. ∴x+6=0,或 ∴x1=-6, x2=4.
你能用分解因式法解下列方程吗？ 你能用分解因式法解下列方程吗？ 分解因式法解下列方程吗
因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显 示了“二次”转化为“一次”的过程.
独立 作业
知识的升华
习题
祝你成功！
独立 作业
2.3 x ( x 1) = 2 2 x;
4.2( x 3)2 = x2 9;
解下列方程
参考答案： 参考答案：
1 7 (1).x1 = ; x2 = . 42 5 (2).x1 = ; x2 =1. 3 3 1 (3).x1 = ; x2 = . 2 2 (4).x1 = 3; x2 = 9.
4 4
开启
智慧
二次三项式 ax2+bx+c 的因式分解
我们已经学过一些特殊的二次三项式的分解因式,如：
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2; x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3);L
但对于一般的二次三项式ax2+bx+c(a≠o),怎么把它分解因式呢?
4x2 12x + 9 = ?.
第22章 一元二次方程 章
22.2.3 因式分解法
回顾与复习 1
1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法?
直接开平方法 配方法 公式法
x2=a (a≥0)
(x+m)2=n (n≥0)
b ± b2 4ac 2 x= . b 4ac ≥ 0 . 2a
(
)
2.什么叫分解因式?
把一个多项式分解成几个整式乘积 的形式叫做分解因式.
1.(4 x 1)(5 x + 7 ) = 0;
3.( 2 x + 3) 2 = 4( 2 x + 3);
5.5( x 2 x ) = 3( x 2 + x ); 2 2 6.( x 2) = (2 x + 3) ; 7.( x 2)( x 3) = 12; 8.x 2 5 2 x + 8 = 0.
(3).x1 = 3; x2 = 2. 1 4 (4).x1 = ; x2 = . 2 5 7 (5).x1 = 2; x2 = . 4 3 (6).x1 = 2; x2 = . 3 (7).x1 = 3, x2 = 6. (8).x1 = 0; x2 =1. (9).x1 = 3, x2 = 9. 1 3 (10).x1 = ; x2 = .
争先赛
(1).(x + 2)(x - 4) = 0, (2).4 x(2 x + 1) = 3(2 x + 1). 解 :(1)(x + 2) = 0,或(x - 4 = 0 ). .
∴ x1 = 2; x2 = 4. (2).4 x(2x + 1) 3(2x + 1) = 0,
(2x + 1)(4x - 3) = 0,
(5).x1 = 0; x2 = 4. 1 (6).x1 = 5; x2 = . 3 (7).x1 = 1, x2 = 6. (8).x1 = 4 2; x2 = 2.
下课了!
结束寄语
配方法和公式法是解一元二次方程 重要方法,要作为一种基本技能来掌 握.而某些方程可以用分解因式法简 便快捷地求解.
心动
不如行可能相等吗？ 一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 这个数是几？你是怎样求出来的？ 等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x,
小颖是这样解的:
x2 = 3x.
7 ∴ x1 = 0, x2 = . 2
我最棒
2
,用分解因式法解下列方程 用分解因式法解下列方程
参考答案： 参考答案：
1. x + (5 2 ) x 5 2 = 0 ; (1).x1 = 5; x2 = 2. x 2 + ( 3 5 ) x 15 = 0 ； (2).x1 = 5; x2 = 3. 2.
例题欣赏
分解因式法
用分解因式法解方程: (1)5x2=4x;(2)x-2=x(x-2). 用分解因式法解方程: (1)5x =4x;(2)x-2=x(x解: (1).5x2 4x = 0, 分解因式法解一元二次方程的步骤是: 分解因式法解一元二次方程的步骤是 x(5x 4) = 0. 1.化方程为一般形式 化方程为一般形式; 化方程为一般形式 ∴x = 0,或 x 4 = 0. 5 2. 将方程左边因式分解 将方程左边因式分解; 4 ∴x1 = 0; x2 = . 3. 根据“至少有一个因式为 根据“ 5 转化为两个一元一次方程. 零”,转化为两个一元一次方程 转化为两个一元一次方程 (2).x 2 x(x 2) = 0, 4. 分别解两个一元一次 (x 2)(1 x) = 0. 方程， 方程，它们的根就是原方 程的根. 程的根 ∴x 2 = 0,或 x = 0. 1
温馨提示: 温馨提示 1.用分解因式法的条件是 方程左边易于分解, 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解, 而右边等于零; 而右边等于零; 关键是熟练掌握因式分解的知识 是熟练掌握因式分解的知识; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零, 理论依旧是 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那 么至少有一个因式等于零. 么至少有一个因式等于零.”
1 .x2-4=0; 解：1.(x+2)(x-2)=0, 1.(x+2)(x∴x+2=0,或x-2=0. ∴x+2=0,或 ∴x1=-2, x2=2.
这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 你是否还有其它方法来解? 你是否还有其它方法来解?
动脑筋
1.解下列方程:
3.x 2 (3 + 2 ) x + 18 = 0; (4x + 2)2 = x(2x +1) 4.
5.3 x ( x + 2) = 5( x + 2); ; 2 6.(3 x + 1) 5 = 0; 7.2( x + 3) 2 = x ( x + 3); 8.( x + 1) 2 3( x + 1) + 2 = 0; 2 9.x + 12 x + 27 = 0; 10 .2( x + 3) 2 = (x 2 = 9 ).
∴ 2 x + 1 = 0, 或4 x 3 = 0. 1 3 ∴ x1 = , x2 = . 2 4
想一想
先胜为快
一个数平方的 倍等于这个数的7倍,求这个数 一个数平方的2倍等于这个数的 倍 求这个数 求这个数. 倍等于这个数的
设这个数为x,根据题意, x,根据题意 解：设这个数为x,根据题意,得 2x2=7x. 2x2-7x=0, x(2x-7) =0, x(2x∴x=0,或2x∴x=0,或2x-7=0.
(1).x2 7; (2).3y2 y 14. 解: (2).Q一元二 次方程 解: (1).Q一 二 方 元 次 程
x 7 = 0
2
把下列各式分解因式:
3y2 y 14 = 0