塑性力学03-塑性本构关系

因为应力强度和应变强度的公式为:
3 i Sij Sij 2 2 i eij eij 3
把 eij Sij 代入上面右式并考虑上面左式得到
(3)应力强度是应变强度的强度函数 i i 线假定的硬化条件.
3 i 2 i , 即按单一曲
综上所述, 全量型塑性本构方程为 3 i 1 2 eij Sij i i ii ii 2 i E 注意的是上式只是描述了加载过程中的弹塑性变形规律. 加 载的标志是应力强度 i 成单调增长. i 下降时为卸载过 程, 它时服从增量Hooke定律.
S : pi
z
O
y
V
Fi
xHale Waihona Puke Baidu
Su : ui
ij , j Fi 0 1 2 本构方程 ii ii
平衡方程
E
1 几何方程 ij ui. j u j ,i 2 3 eij i Sij i i 2 i
其中
3 2 i Sij Sij i eij eij 2 3 边界条件 S : ij l j pi , Su : ui ui
d ij 3d i Sij 2 S
d 0
3-10 弹塑性硬化材料的增量型本构方程 • 对于弹塑性硬化材料, 采用等向硬化模型, 取Mises屈服条件, 即
i H
i
S
o

p d i
(对于理想弹塑性Mises条件为 i s ) 1 tg H i i H d ip 去掉弹性 S



理想弹塑性
i
o
ip d ip
上式微分得到 d i H d
H 是函数 H 对自变量的导数, 有简单的物理意义, 见上图. 在线性强化时 H 时常数.由把Levy-Mises流动法则代入塑性 应变增量强度 d ip 的公式得到 p 3 d 3d i i 2 2 p 所以 d di d Sij Sij d i 2 i 2 H i 3 3
这是七个方程
1 2 ii ii E
1 eij Sij 2G
第二个式子是六个方程,但因为有 Sii 0 , 所以有5个是独立的. 从第二式可以看到在弹性范围内应力主轴和应变主轴是一致 的. 应变偏量的分量和相应的应力偏量的分量成正比. 第二式也可以写成 Sij 2Geij ,把它代入应力强度的表达式 就可以得到下面的第二式, 然后有 G i / 3 i 再代回上面第 一式得到下面的第二式. 3 i • 所以也可写成如下形式 eij Sij i 3G i 2 i • 当应力从加载面卸载, 也服从广义Hooke定律,写成增量形式 1 2 1 d ii d ii deij dSij E 2G
ii
• 这个假定就是应力和应变的定性关系, 即方向关系和 分配关系. 方向关系指应变偏量主轴和应力偏量主轴 重合, 也即应变主轴和应力主轴重合,而分配关系是指 应变偏量和应力偏量成正比. • 形式上和广义Hooke定律相似, 但这里的比例系数不是 一个常数.这是一个非线性关系.下面我们来看一下这个系 数等于什么?

• 使用卸载定律要注意两点: (1) 卸载过程必须时简单加载, 即卸载过程中各点的应力分量 时按比例减少的; (2) 卸载过程中不发生第二次塑性变形, 即卸载不引起应力改 变符号而达到新的屈服. • 由卸载定律可以看出, 全部卸载后,在物体内不仅留下残余应 变, 而且还有残余应力. 3-7 Levy-Mises流动法则和Prandtl-Reuss流动法则 塑性应力应变关系的重要特点时它的非线性和不唯一性. 全 量理论则企图直接建立全量形式表示的与加载路径无关的本 构关系, 一般是不正确的. 所以作为描述本构关系应该是它们 的增量之间的关系. 这就是增量理论, 也就是流动法则. 这里 介绍两个增量理论. 即Levy-Mises流动法则和Prandtl-Reuss 流动法则.
d 3dWd 2 i2
• 理想弹塑性材料的增量型本构方程可以写为 1 2 3dWd 1 d ii d ii deij dSij Sij 2 E 2G 2 s 3-9 理想刚塑性材料的增量型本构方程 • 理想刚塑性材料的Levy-Mises流动法则为 d ij d Sij 把它代入Mises屈服条件 3 i Sij Sij s 2 得到 1 3 d ij d ij s d 2 3d i 那么 3 现在定义应变 d di d ij d ij 2 S 增量强度为 2 • 理想刚塑性材料的增量型本构方程为:
3-8 理想弹塑性材料的增量本构方程 • 对于理想弹塑性材料, 后继屈服面和初始屈服面是重合的. 若 采用Mises条件, 则应有 求微分有 3 Sij dSij 0 i Sij Sij s 2 又因为应变比能的增量为
dW ij d ij m ij Sij d m ij deij
m d m ij ij d m Sij ij m deij ij Sij deij 3 m d m Sij deij
上式第一项是体积比能增量,第二项为形状变形比能,记为 Wd 这样考虑Levy-Mises定律有: 1 2 dWd Sij deij Sij dSij d Sij d Sij Sij d i2 2G 3 所以有
3-4 全量理论的基本方程及边值问题的提法 设在物体 V 内给定体力 Fi , 在应力边界 S 上给定面 力 pi, 在位移边界 Su 上给 定位移为 u i , 要求确定物 体内处于塑性变形状态的各 点的应力 ij , 应变 ij 和位 移 u i .按照全量理论,确定这 些基本未知量的基本方程有
3-3 全量型本构方程 Il’yushin在1943年提出的硬化材料在弹塑性小变形情况下的本 构关系, 这是一个全量型的关系, 类似于广义Hooke定律. 在小 变形的情况下作出下列关于基本要素的假定:
1 2 ii E eij Sij (2) 应变偏张量和应力偏张量成比例
(1) 体积变形式弹性的, 即
(1) 荷载(包括体力)按比例增长.如有位移边界条件应为零. (2) 材料是不可压缩的. m (3)应力强度和应变强度之间幂指数关系, 即 i A i 这就是Il’yushin简单加载定律.有人认为只有第(1)条就可以了.
3-6 卸载定律
A • 从单向拉伸实验的应力应变曲线 看:加载至过弹性极限达到A点,然后 卸载至B点, 此时总应变 的弹性 部分 e 中的部分应变 得到恢复,塑 p B 性应变部分 要被保留下来.此时 的应力和应变的改变量, 即B点的应 o 力和应变为 p e , 因为卸载要服从弹性本构关系, 即 E. 这就是说,我们可以 由因为卸载引起的荷载的改变 量 P P P 按弹性计算得到. • 推广到复杂应力的卸载情况(即应力强度 i 减小)得到: 卸载定律 . 即: 卸载后的应力或应变等于卸载前的应力或应变 减去卸载时的荷载改变量 P P P 为假想荷载按弹性计算所 得之应力或应变(即卸载过程中应力或应变的改变量.
这就是对于全量 理论的塑性力学 的边值问题.
3-5 全量理论的适用范围
简单加载定律
• 全量理论适用小变形并且是简单加载. • 那么上面是简单加载? 理论上上指在加载过程中物体每一 0 点的各个应力分量按比例增长. 即 ij t ij 0 其中 ij 是某一非零的参考应力状态, t 是单调增加的参数. 这样定义的简单加载说明, 在加载时物体内应变和应力的主方 向都保持不变. • 但是物体内的内力是不能事先确定的, 那么如何判断加载过 程是简单加载? Il’yushin指出, 在符合下列三个条件时, 可以 证明物体内所有各点是处于简单加载过程:
1. Levy-Mises流动法则 这个理论认为应变增量主轴和应力 主轴重合, 应变增量分量与相应的应力偏量分量成比例, 即
d ij d Sij
d 0
式中的比例系数决定于质点的位置和荷载的水平. 这一理论是 Levy和Mises分别在1871年和1931年独立提出的, 所以被称为 Levy-Mises流动法则. 这个关系式不包括弹性变形部分, 所以 只适用刚塑性体. 2. Prandtl-Reuss流动法则 这个理论考虑了塑性状态变形中 的弹性变形部分, 并认为弹性变形服从广义Hooke定律; 而对 于塑性变形部分, 被认为塑性应变增量的主轴和应力偏量的主 轴重合. 即 1 e e deij deij deij dSij d Sij 这就是 2G Prandtl1 2 又由塑性不可压缩性, Reuss流 d ii d ii 体积变化式弹性的,有 E 动法则

p p d H d i i

• 将上面得到的 d 代入Levy-Mises流动法则就得到弹塑性硬化 材料的增量型本构方程: 3d i 1 1 2 deij dSij Sij d ii d ii 2G 2 H i E 3d i 1 2 1 或写成: d ij d m ij dSij Sij E 2G 2 H i 例题3-1 如图所 示, 一薄壁圆管, 其材料的拉伸硬 化曲线为线性. 试根据增量理论 分别对下列三种 加载路径求管的 总轴向应变 z 和 切向 应变 z
3-2 广义Hooke定律 • 在弹性范围内, 广义Hooke定律可以表达为 1 ij 1 ij ij kk E 1 2 1 • 也可以表示为: ii ii eij Sij E 2G 由应力和应变的分解式,即 ij Sij ij m , ij eij ij m 代入上面广义Hooke定律的公式,考虑到 G E / 2 1 1 eij ij m 1 S ij ij m ij kk E 1 1 1 2 1 S 3 S ij m ij ij m ij m ij E 2G E 所以可以写成两个相应分解张量之间的关系. 我们来证明一下:
塑性力学03
第三章 塑性本构关系—全量理论和增量理论 引言:塑性变形规律的复杂性, 到目前为止这个塑性本构关系 问题还没有得到满意的解决.现在广义采用的理论分为两大类: (1)全量理论, 又称为形变理论, 它认为在塑性状态下仍有应力 和应变全量之间的关系. 有Hencky(亨奇)理论和Il’yushin (伊 柳辛)理论. (2)增量理论, 又称为流动理论, 它认为在塑性状态下是塑性应 变增量和应力及应力增量之间随关系.有Levy-Mises(莱维-米 泽斯)理论和Prandtl-Reuss(普朗特-罗伊斯)理论. 3-1 建立塑性本构关系的基本要素 Shield和Ziegler指出, 建立塑性本构关系需要考虑三个基本要素: (1)初始屈服条件;(2)流动法则;(3)加载条件. 其中(1)和(3) 在第二章已经解决, 本章要解决第(2)点.