线性代数第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩

第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩

何建军

§3 • 1 概念与性质

3.1.1向量的概念和运算

1、n维向量：n个数构成的一个有序数组（a i，a2,…，a n），称为一个n维向量，记为〉=佝，a2 ,…，a n ），并称为n维行向量，a i称为〉的第i个分量，〉的转置

T T

（a1,a2, a n）称为n维向量。

2、相等：若a =@182,…,a n），p =（D,b2,…,b n），当且仅当a i =b i（i =1,2,…，n）时，：，：。

3、加法：」-a b!,a2 b2^ ,a n b n

4、数乘：k ka1,ka2,…,ka n ，（k 为常数）

5、內积:匕0 】=aQ +a?b2 + …+a“b n

3.1.2向量组的线性相关性

1、线性组合：给定向量组A : 对于任何一组实数匕出,…，k m，

向量

k V1 k^ 2肚m

称为向量组A的一个线性组合，匕*?,…，k m称为这个线性组合的组合系数

2、线性表示：给定向量组A : 〉1「2,i「m和向量：，如果存在一组数

n n « n

'1, '2, ，‘ m ,使得

■- = ‘1〉1 ‘2〉2 •…-'rn'm

则向量-能有向量组A线性表示，向量-是向量组A的线性组合。

3、线性相关：给定向量组A : ‘1厂2,厂m,如果存在一组不全为零的数

k

1 , k

2 , , k m，使得

kr 1 k2〉2 k m〉m=o

则称向量组A是线性相关的。

4、线性无关：向量组A ：r,〉2,…，〉m,不线性相关，称向量组A线性无关，即不存在不全为零的数k1,k2, , k m使得1• k2「2•■ k m m=0成立，即只有当

k

1二Q二=k m=0时，才有k^ 1 k2「2 ' k^' m=0成立。（如果存在一组数

k-k2，,k m 使得k V 1 k^ ■k m「m=0，则必有k1= k2 = = k m=0，称向量组A 线性无关）

注：含有零向量的向量组一定线性相关。

两个向量构成的向量组线性相关的=对应的分量成比例。

5、向量组等价：两个n维向量组A : ?1<'2^' ^ m B : _1, '2^' , 's，如果B组中的每一个向量能有向量组A线性表示，则称向量组B能有向量组A线性表示。如果向量组A与向量组B能相互线性表

示，则称向量组A与向量组B等价。

6、最大线性无关组：设有向量组A,如果在A中能选出r个向量〉i，〉2,…r，满足

（1）向量组宀宀,…Cr,线性无关；

（2）向量组A中任意r +1个向量（如果A中有r +1个向量的话）都线性相关，

则称向量组宀，〉2，…Cr是向量组A的一个最大线性无关组，最大线性无关组中含的向量r称为向量组A的秩

注：含有零向量的向量组的秩规定为0,

一个向量组A的最大线性无关组不唯一。

3.1.3向量空间的有关概念

1、向量空间：n维向量的非空集合V , V对于加法和乘数运算封闭，称非空集合V为向量空间。

2、子空间：设V1和V2是向量空间，如果V1 V2,称V1是V2的子空间。

3、基：设V为向量空间，如果r个向量〉1厂2厂，〉r • V，且满足

（1）〉1，〉2,i,〉r,线性无关，（2）V中每一个向量都可有〉1，〉2「」「线性表示，称向量组>1, >2,…，：r为向量空间V的一个基，r称为向量空间V的维数。

3.1.4矩阵的秩与矩阵的初等变换

1、矩阵的秩：设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D，且有r+1阶子式（如果存在的

话）全等于零，D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记为R

（A）

注：（1）零矩阵的秩为零；n阶单位矩阵E的秩为n；行阶梯形距阵的秩为非零行的行数；

（2）R（A） - min、行数，列数'

2、矩阵的初等变换：矩阵的如下三种变换称为初等行（或列）变换

（1 ）对调距阵的两行（或列），第i行与第j行对调，记为r i= r j

（2）以数k = 0乘以某一行（或列）中的所有元素，第i行乘以k，记为r i k

（3）把某一行（或列）中的所有元素的k倍加到另一行（或列）对应的元素上去，第j行

的k倍加到第i行上，记为r i kr j

矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换

3、行阶梯形距阵：特点是可以画一条阶梯线，线的下方全为0；每一个台阶只有一行台阶数是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零丿元。

4、行最简形矩阵：特点是行阶梯形距阵中，非零行的第一个非零元都为1,且这些1 所在的列的其他元素都为0。

5、矩阵等价：矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，称矩阵A与矩阵B等价，记为A~ B

6、初等矩阵：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

（1）由单位矩阵E的第i行与第j行对调得到的初等矩阵记为E（i, j），（E的第i列与第j 列对调也得到的初等矩阵E（i, j））

（2）由单位矩阵E的第i行乘以数k = 0得到的初等矩阵记为E（i（k）），（E的第i列乘以数k = 0得到的初等矩阵也是E（i（k））

（3）由单位矩阵E的第j行乘以数k加到第i行上（r i ' kr j）得到的初等矩阵，记为

E(i, j(k))( E 的第i 列乘以数k 加到第j 列上(5 kG )得到的初等矩阵也是E(i, j(k))

§3 • 2 有关定理与性质

3.2.1向量组的线性相关性的有关定理

定理1向量-能有向量组A : 「厂2，

,「m 线性表示的充分必要条件是矩阵

A = (〉1，〉2,…Cm )的秩等于矩阵

B =(〉1,〉2,…=m , J 的秩。

定理2向量组〉1「2 ,…〉m 线性相关的充分必要条件是其所构成的矩阵

A = ( >1, -»2 , ,"m )的秩小于向量组 "1,"2, ,"m 中的向量个数 m ；向量组 "1, " 2 , ,m 线性无关的充分必要条件是矩阵

A 的秩R( A)二m 。

推论 n 个n 维向量组线性无关的充分必要条件是由向量组构成的矩阵对应的行列式 不等于零。

线性无关。反言之，如果向量组 B : ：

1, ：2,…厂m 线性相关，则向量组 A ： 〉1,〉2,…「m 也线性相关。

(3)

m 个n 维向量组成的向量组，当维数

n

小于向量个数 m 时，该向量组一定线 性相关。

(4) 设向量组A :

「厂2,厂m 线性无关，而B ：

5厂2,厂m ,-线性相关,

则向量1必能有向量组 A : 〉1「2「「m 线性表示，且表示式是唯一的。

定理4 矩阵的秩等于其行向量组的秩也等于其列向量组的秩。

定理5 设向量组B 能有向量组 A 线性表示，则向量组 B 的秩不大于向量组 A 的秩。 推论1等价的向量组的秩相等。

推论2设C m 炀-A m 爲B s 矯，则矩阵C m 和的秩R(C ) — R( A), R(C)兰R( B)

3.2.2矩阵的初等变换的有关定理

定理1如果矩阵A 等价与矩阵 B ，即A ~B ，则矩阵A 的秩等于矩阵 B 的秩，即 R(A)二 R(B) 定理2设A 是一个m n 矩阵，对A 进行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相 应的m 阶初等矩阵；对 A 进行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的n 阶初等矩 阵。

注(1)由于 E (i,j)E (i,j) = E ，所以 Ei,j 匸=Ei,j

定理3

(1)如果向量组A : '1,'2,

：

m 线性相关，则向量组

B ：〉1「2,…「m 「m1

也线性相关。 反言之，如果向量组 〉1「2,…「m 「m1线性无关，则向量组

A :

P -

3

3

尸j 一 5

a rj

(2)设向量

分量后得到：

j ，如果向量组 A ： 〉1「2, ，(j =1,2/ ,m)，即向量:

j 添加一个

：

m 线性无关，则向量组 B : ：1厂2,…厂m 也

Ct ；=