第3讲线性代数和多项式

矩阵的行列式值 det(A) Inv(A) A^n
矩阵行变换化简 rref(A) 矩阵的转置 A′
求A阶梯形的行最简形式 求A
T
课堂练习：
参考5.1.1矩阵的修改（P80），完成 P113习题5（不能直接输入）、8、9。
参考5.1.1矩阵的修改（P82），完成 P114习题10、11。
矩阵的特征值、特征向量(P86)


如果阶梯形方程组中方程的个数r等于未知量
的个数，那么方程组有唯一的解； 如果阶梯形方程组中方程的个数r小于未知量 的个数，那么方程组有无穷多个解。
例8
求齐次线性方程组（Ax=0）的通解
x1 8 x2 10 x3 2 x4 0 2 x1 4 x2 5 x3 x4 0 3x 8 x 6 x 2 x 0 2 3 4 1
x 取 [0,1] 之间的数，步长为
0.1
y 取 2.3,2.5,2.1,2.5,3.2,3.6,3.0,3.1,4.1,5.1,3.8
判断用什么曲线来进行拟合？

p =polyfit（x，y，n） 多项式数据拟合
功能：
将给定向量 x，y对应的（x[i]，y[i]）作为数据点，拟合成n
次多项式； 向量x，y具有相同的维数； n为正整数，n值越大则拟和的精度越好； p为多项式的系数向量。
人口统计数字 8.5229 8.7177 8.9211 9.0859 9.2420 9.3717 9.4974 9.6259 9.7542 9.8705
ans= 1 0 3/10 0
解 线 性 方 程 组
0
0
1
0
-11/10
0
0
1
结果分析：行最简形式中最后一行出现了零等于 非零的情况，故方程组无解。
课堂练习：
P115习题20(1)，21(1)(4) 。
Matlab多项式运算(P117)
无论是在线性代数中，还是信号处理、自动控制等
理论中，多项式运算都有着十分重要的地位，因此，
x=roots(p)：返回多项式的根，注意:matlab 按惯例，多项式是行向量，根是列向量。
3 2 p ( x ) 2 x x 3 ，求p(x)的根。 例：已知
>> p=[2,-1,0,3]; >> x=roots(p)
x= 0.7500 + 0.9682i 0.7500 - 0.9682i -1.0000
北京科技大学数学实验
下表是1971年到1990年我国总人口的统计数字，试根据 1971年到1985年这15年人口的统计数字用多种方法预测未来 20年的人口Байду номын сангаас字，并比较1986年到1990年间预测人口数字与 实际统计数字的差异，在你所使用的几种预测方法中找出一 种较为合理的预测方法。
年份 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980
Legend(‘拟合点’,’二次拟合’,’三次拟合’,’七次拟 合’)
预测模型实验
北京科技大学数学实验
人口预测
问题的提出： 据考古学家论证，地球上出现生命距今已有20亿年， 而人类的出现距今却不足200万年。纵观人类人口总数的增 长情况，我们发现：1000年前人口总数为2.75亿。经过漫 长的过程到1830年，人口总数达10亿；又经过100年，在 1930年，人口总数达20亿；30年后，在1960年，人口总数 为30亿；又经过15年，1975年的人口总数是40亿；12年之 后即1987年，人口已达50亿。 我们自然会产生这样一个问题：人口增长的规律 是什么？
多项式四则运算
多项式加减运算：Matlab没有提供专门进行多项式 加减运算的函数，事实上，多项式的加减就是其所对 应的系数向量的加减运算。
对于次数相同的多项式，可以直接对其系数向量 进行加减运算； 如果两个多项式次数不同，则应该把低次多项式 中系数不足的高次项用0补足，然后进行加减运算。
MATLAB为多项式的操作提供了相应的函数库
polyfun;
Matlab的多项式表示
在 Matlab 中，n 次多项式是用一个长度为 n+1 的向量来表示，缺少的幂次项系数为 0。例如：
p( x) an x an1x
n
n1
a1x a0
在 Matlab中，用其系数的行向量表示该多项式：

poly2str(p, ‘x’)
将多项式表示成习惯的 形式
x=0:.1:1; y=[2.3 2.5 2.1 2.5 3.2 3.6 3.0 3.1 4.1 5.1 3.8]; p2=polyfit(x,y,2); p3=polyfit(x,y,3);p7=polyfit(x,y,7) disp(‘二次拟和’)，poly2str(p2,'x') disp(‘三次拟和’)，poly2str(p3,'x') disp(‘七次拟和’)，poly2str(p7,'x') x1=0:0.01:1; y2=polyval(p2,x1); y3=polyval(p3,x1); y7=polyval(p7,x1); plot(x,y,'rp',x1,y2,’g-’,x1,y3,’b--’,x1,y7,’k-.’)
有无穷多个解
x3 1 0 取x3,x4为自由未知量，分别令 0 , 1 x 4
得方程组的一个基础解系为：
4 3 / 4 1 1 0
，
0 1 / 4 2 0 1
所以方程的通解为
解 线 性 方 程 组
x1 4 0 x 3 / 4 1 / 4 2 k k2 1 x3 1 0 0 1 x4
其中 k1, k2 是任意实数
例9 求非齐次方程组（Ax=b，A不是可逆方阵）的解
矩阵的基本运算
矩阵特征值、特征向量
解线性方程组 多项式及相关运算
用数值方法计算定积分
矩阵的修改(P80)
A(i, j) A(i, :) A(:, j) A(i:j ,:) A(:, i:j ) 表示矩阵A的第i行第j列元素 表示矩阵A的第i行元素 表示矩阵A的第j列元素 表示矩阵A的第i~j行元素 表示矩阵A的第i~j列元素 表示空矩阵
矩阵的特征多项式
p=poly(A) 若A为矩阵，则p为A的特征多项式系数； 若A为行向量，则p为以A为根的特征多项式系数。 poly2str(p,’x’) 例1 得到多项式的习惯形式
A=[1,-1;2,4]; p=poly(A) poly2str(p,’x’) p=[1 -5 x^2-5x+6 6]
多项式的导数
k=polyder(p): 返回多项式p的一阶导数；
k=polyder(p,q): 返回多项式p与q乘积的一阶导数； [k,d]=polyder(p,q):返回p/q 的导数，k是分子，d是分母。
3 2 p ( x ) 2 x x 3， q( x) 2 x 1 ， 例：已知 求 p' , ( p q)', ( p / q)'
b=[4;1]
X=inv(A)*b ans X= 1.4000 0.4000 方程的解是：x=1.4, y=0.4
2 、左除与右除法 例： 求方程组 (Ax=b,A是可逆方阵)的解
解 线 性 方 程 组
2 x 3 y 4 x y 1
解： A=[2,3;1,-1]; b=[4;1] X=A\b X= 相当于 AX=b,X=A\b
ans
如果是XA=b,
1.4000 0.4000
则X=b/A
方程的解是：x=1.4, y=0.4
3 、初等变换法（P96）
在线性代数中用消元法求线性方程组的通解的过程为： 1、用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最
解 线 性 方 程 组
后的恒等式“0=0”去掉； 2、如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于非 零的数，那么方程无解。否则有解； 3、在有解的情况下：
[an , an1, , a1, a0 ]
3 2 例： 2 x x 3
p [2, 1, 0, 3]
向量转换为多项式poly2str(p,’x’) 注：系数中的零不能省！
f=poly2str(p,'x') f= 2 x^3 - 1 x^2 + 3
多项式求根
求解多项式的根，即p(x)=0的解。在matlab中，求解多项式的 根由roots函数命令来完成。
[]
例5-1 A=magic(3)
矩阵的基本运算
数乘 矩阵的左除 矩阵的右除 矩阵的逆 矩阵的乘幂 k*A A\B A/B
注意 K是一个数，A是一个矩阵 AX=B, X=A-1B, A必须是方阵 XB=A,X=AB-1, B必须是方阵 A必须为方阵 A必须为方阵，|A| ‡ 0 A必须为方阵，n是正整数
[V,D]=eig(A)
A必须为方阵。返回A的特征值矩阵D（主对角线的元素为 特征值）与特征向量矩阵V（列向量和特征值一一对应）， 满足AV=VD。
例1
A=[1,-1;2,4]; [V,D]=eig(A) V= D= -0.7071 0.4472 0.7071 -0.8944 2 0 0 3 方阵A的特 征向量矩阵 方阵A的特 征值矩阵
解 线 性 方 程 组
解： Matlab命令为 A=[1 -8 10 2;2 4 5 -1;3 8 6 -2]; 系数矩阵
rref(A)
ans= 1 0 4 0
行的最简形式
0
0
1
0
-3/4
0
-1/4
0
分析：
将0=0的一行去掉，则原方程组等价于 方程的个数<未知量个数
x1 4 x3 3 1 x2 x3 x4 4 4
ans
有三种方法：1、求逆法（P95） 例： 求方程组 (Ax=b,A是可逆方阵)的解
解 线 性 方 程 组
2 x 3 y 4 x y 1
解： A=[2,3;1,-1]; 相当于
2 3 x 4 1 1 y 1
>> k1=polyder([2,-1,0,3]); >> k2=polyder([2,-1,0,3],[2,1]); >> [k2,d]=polyder([2,-1,0,3],[2,1]);
课堂练习：
P117-121例题 。
多项式的拟合
顾名思义多项式拟合是利用多项式最佳的拟合通过实验获 得的数据，使得在实验数据点处的误差平方和最小（最小 二乘法）。
多项式求值
多项式求值函数polyval 利用该函数可以求得多项 式在某一点的值。
y=polyval(p,x):返回多项式p在x点的值
其中：x可以是复数，也可以是矩阵； 例：已知 p( x) 2 x 3 x 2 3，分别取 x=2和一个2x2矩阵， 求 p(x)在 x处的值 >> p=[2,-1,0,3]; >> x=2;polyval(p,x) 15 >> x=[-1, 2;-2,1];polyval(p,x) [0 15;-17 4]
>> p=[2,-1,0,3]; >> q=[2,1]; >> k=conv(p,q); poly2str(k,’x’) ans=4x^4 - 1x^2 + 6x + 3
多项式除法运算：[k,r]=deconv(p,q)
其中k返回的是多项式p除以q的商，r是余式。
[k,r]=deconv(p,q) <==> p=conv(q,k)+r
例： p1 2 x 3 x 2 3 p2 2 x 1 p1 p2 2 x 3 x 2 2 x 4
[2, 1, 0, 3] [ 0, 0, [ 2, 1] [2, 1, 2, 4]
多项式乘法运算： k=conv(p,q)
例：计算多项式 2 x 3 x 2 3 和 2 x 1 的乘积
4 x1 2 x2 x3 2 3 x1 1x2 2 x3 10 11x 3 x 8 2 1
解 线 性 方 程 组
解： Matlab命令为 A=[4 2 -1;3 -1 2;11 3 0]; b=[2;10;8]; B=([A,b]) 增广矩阵=系数矩阵+常数项 rref(B)