【知识】线性代数第3章知识梳理

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本章结构

常用方法：

1、矩阵化等价标准形

，求出矩阵的秩，则标准形

2、求矩阵的逆

3、消元法求线性方程组的解

增广矩阵行最简阶梯

4、求矩阵的秩

5、判断向量能否由向量组线性表示

以为列向量的矩阵行最简阶梯

6、求向量组的秩和一个极大无关组，并将其它向量用该极大无关组线性表示

以为列向量的矩阵行最简阶梯

7、用根底解系表示(非)齐次线性方程组的全部解

增广矩阵行最简阶梯

一、用消元法求解非齐次线性方程组

1、，进而求出和

2、观察和的关系：(1) ，方程组无解；(2) ，方程组有解：

①、，方程组有唯一解；②、，方程组有无穷多个解.

3、在有解的情况下，将阶梯形矩阵继续进行初等行变换，从最后一个非零首元开始将非零首元上面的元素消成零；

4、写出相应的同解方程组，令自由未知量取任意常数，可得方程组的全部解。

定理3.1线性方程组有解，且

当时方程组有唯一解；当，方程组有无穷多个解.

二、用消元法求解齐次线性方程组：

1、，进而求出；

2、观察：(1) ，方程组有唯一解，即只有零解；(2) ，方程组有无穷多个解，即有非零解；

3、在有解的情况下，将阶梯形矩阵继续进行初等行变换，从最后一个非零首元开始将非零首元上面的元素消成零；

4、写出相应的同解方程组，令自由未知量取任意常数，可得方程组的全部解。

定理3.2齐次方程组有非零解

推论当，即当方程个数小于未知元个数时，齐次线性方程组有非零解

三、维向量的概念及线性运算（看作特殊的矩阵）书P121－123

四、向量与向量组的线性组合（向量由向量组线性表示）

对非齐次线性方程组，设，，

则线性方程组可表示，从而

.

定义3.5 （P124）对于给定向量，如果存在一组数，使

成立，则称向量是向量组的线性组合，或称向量可由向量组线性表示。

线性组合的判别定理设向量，向量，则

五、向量组的线性相关性

对齐次线性方程组，设，，

则齐次线性方程组可表示为.它一定有零解，考虑其是否有非零解：

定义3.7（P128）对于向量组，如果存在一组不全为零的数使

成立，则称向量组线性相关；否则称向量组线性无关.

注：（1）线性无关.

（2）一个零向量线性相关；一个非零向量线性无关.

（3）包含零向量的任何向量组都是线性相关的.

（4）仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的分量对应成比例。

线性相关性的判定：设，则

总结：验证向量组的线性相关性主要有以下两种方法： （1）、对于抽象向量组或比较特殊的向量组，可采用定义法：

设，去验证要使得等式成立，是否必须全为零； （2）、对于具体的向量组， 以为列向量的矩阵，

将矩阵的秩与向量个数作对比

如果向量组中有一部分向量（部分组）线性相关，则整个向量组线性相关

向量组()12,,,2s s ααα≥线性相关⇔其中至少有一个向量可以由其余1s -个向量线性表示。

若有向量组12,,,,s αααβ线性相关，

而向量组12,,,s ααα线性无关，

则向量β可由向量组12,,,s ααα

线性表示且表示法唯一。

六、向量组间的线性组合与线性相关性(了解) 定义（P125） 设有两个向量组12:,,

,s A ααα与12:,,,t B βββ，若向量组B 中的每一个向量都能由向量组A 线性

表示，则称向量组B 能由向量组A 线性表示。

定义3.6（P126） 若向量组与向量组能相互线性表示，则称这两个向量组等价。

向量组间线性关系的判定：定理3.4（P126） 若向量组A 可由向量组线性表示，向量组B 可由向量组C 线性表示，则向量组A 可由向量组C 线性表示。

定理3.9（P133） 设有两个向量组12:,,

,s A ααα与 12:,,

,t B βββ，向量组()B 能由向量组()A 线性表示，如果

s t <，则向量组()B 线性相关.

另一种说法：向量组()B 能由向量组()A 线性表示，且向量组()B 线性无关，则t s ≤.

推论（P134） 设向量组()A 与向量组()B 可以相互线性表示，且()A 与()B 都是线性无关的，则s t =. 定理3.12 设有两个向量组12:,,

,s A ααα与 12:,,

,t B βββ，如果向量组()A 与()B 等价，则

七、向量组的秩

1、极大无关组

定义 设有向量组12:,,

,s A ααα，若在A 能选出r 个向量12,,,j j jr ααα满足：

（1）部分组012:,,

,j j jr A ααα线性无关；

（2）向量组A 中任意1r +个向量（若有的话）都线性相关， 则称向量组0A 是向量组A 的一个极大线性无关组（简称极大无关组） 注：（1）一个向量组12:,,

,s A ααα的极大无关组12,,

,j j jr ααα要满足以下几个条件：

①、向量组12,,,j j jr ααα是向量组12:,,

,s A ααα的一个线性无关的部分组；

②、向量组12:,,

,s A ααα的其余向量均可由向量组12,,

,j j jr ααα线性表示

或 向量组12:,,

,s A ααα与向量组12,,

,j j jr ααα等价（能够互相线性表示）

2、向量组的秩