高等代数课件(北大版)第八章 λ-矩阵§8.2
高等代数CAI课件.pptx
则 ( y) ( ( y)) (x) y IM( y), 即 IM
∴σ为可逆映射．
2019年7月11
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24
反之，设 : M M 为可逆映射，则 对y M, 有y 1( y) ( 1( y)) 即, x 1( y) M ,使y ( x). 所以σ为满射.
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14
例4 判断下列M 到M ´对应法则是否为映射
1）M＝｛a，b，c｝、M´＝｛1,2，3,4｝
σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2
（是）
δ：δ(a)＝1,δ(b)＝2,δ(c)＝3,δ(c)＝4
（不是）
τ：τ(b)＝2，τ(c)＝4
（不是）
2）M＝Z，M´＝Z＋，
σ：σ(n)＝|n|, n Z τ：τ(n)＝|n|＋1, n Z
例6 任意一个在实数集R上的函数 y＝f(x)
都是实数集R到自身的映射，即，函数可以看成是 映射的一个特殊情形．
2019年7月11
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17
2、映射的乘积
设映射 : M M ', : M ' M ''，乘积
定义为： (a)＝τ(σ(a))
a M
即相继施行σ和τ的结果， 是 M 到 M" 的一个
（双射）
2）M=Z，M´＝Z＋， τ：τ(n)＝|n|＋1, n Z
（是满射，但不是单射）
3）M＝ Pnn ，M´＝P，（P为数域）
σ：σ(A)＝|A|， A Pnn （是满射，但不是单射）
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20
4）M＝P，M´＝ P nn , P为数域, E为n级单位矩阵
高等代数【北大版】课件
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具 。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各 种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间 的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系 统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】 课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几 何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多 项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是 变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵 的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换 ，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是 一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都 为零，主对角线上的元素为特征值。通过相 似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理 解矩阵的性质和特征。
高等代数课件(北大版)第八章 λ-矩阵§8.5
等价. 然后对 D1 ( ) 重复上述讨论.
2012-9-22§8.5 初等因子
数学与计算科学学院
如此继续进行，直到对角矩阵主对角线上元素所含
1 的方幂是按逆升幂次排列为止.
再依次对 2 , , r 作同样处理. 最后便得到与 D ( ) 等价的对角阵 D ( ).
结论2、两个同级数字矩阵相似
它们有相同的初等因子.
可见：初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量.
2012-9-22§8.5 初等因子
数学与计算科学学院
三、初等因子的求法
1、(引理1)若多项式 f 1 ( ), f 2 ( ) 都与 g 1 ( ), g 2 ( ) 互素，则
f 1 ( ) g 1 ( ),
2
2, 1, 1
得A的不变因子为：
d 3 ( x ) ( 1) ( 2),
2
d 2 ( x ) d 1 ( x ) 1.
2012-9-22§8.5 初等因子
数学与计算科学学院
结论1、若两个同级数字矩阵有相同的不变因子，
则它们就有相同的初等因子； 反之，若它们有相同的初等因子，则它们就有 相同的不变因子.
d 1 ( x ) ( 1 ) d 2 ( x ) ( 1 )
k 11
( 2 )
k 12
( r )
k1 r
, , .
k 21
( 2 )
k 22
( r )
k2 r
d n ( x ) ( 1 )
kn1
( 2 )
f ( ) | f 2 ( ) g 2 ( ),
高等代数课件 第八章
( ,) (x1 y1)2 (xn yn )2 （6）
2．标准正交基的性质
设 {1,2} 是 V2 的一个基，但不一定是
正交基。从这个基出发，只要能得出 V2 的一个
正交基 {1, 2}, 问题就解决了,因为将 1和2
再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交
注意：（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6） 里被统一起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不 等式.
三、向量的正交
定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的,
如果 , 0
定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ
与1,2,,r 中每一个正交，那么ξ与 1,2,,r
的任意一个线性组合也正交.
2 a1 2 a1 0,
因而 2 0,
这就得到 V2 的一个正交基 {1, 2}.
3．标准正交基的存在性
定理8.2.2（正交化方法) 设 {1,2 ,,n}
是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 那么可以求
出V 的一个正交组 {1, 2,, n}, 使得 k 可以由 1,2,,k 线性表示，k = 1,2,…,m.
由于1,2,,k 线性无关，得 k 0,
又因为假定了 1, 2 ,, k1 两两正交，所以
k ,i
k ,i
k ,i i , i
i , i 0, i 1,2,, k 1
这样，1, 2,, k 也满足定理的要求。
定理8.2.3 任意n(n >0)维欧氏空间一定有正交
基，因而有标准正交基.
例4 在欧氏空间 R3中对基
4) 当 0 时, , 0 这里 ,, 是V的任意向量，a是任意实数，那么
, 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.
高等代数北大版ppt课件.ppt
n
令
f ( ) kiai ,
i 1
kn n
则 f :V P 为线性函数，且
f ( i ) ai , i 1, 2, , n
§10.1 线性函数
例1. 设 a1,a2, ,an P, ( x1, x2,
n
则
f ( ) ai
i 1
是 Pn 到 P的一个线性函数.
, xn ) Pn
解：
f f
( (
1) 2)
f 2
( 3 ) f ( 3
1 )
1
f f
( (
1 2
) )
4 7
f (1) f (2 ) 3
f ( 3 ) 3
所以 f ( x11 x2 2 x3 3 ) 4 x1 7 x2 3 x3 .
§10.1 线性函数
例4. V 是数域 P上的3维线性空间， f 是V上的
x11 x2 2 x3 3 x1a1 x2a2 x3a3 即为V上的线性函数，且 f ( i ) ai , i 1,2, , n
若还有 g 是 V上线性函数使 g( i ) ai , i 1,2, , n,
则 x11 x2 2 x3 3 V , 有
g( ) x1g(1 ) x2 g( 2 ) xn g( n )
f ( ) x2 f ( 2 ) x2 .
§10.1 线性函数
定理1 设V为数域 P上的一个n 维线性空间，
1, 2 , , n为V的一组基， a1,a2 , ,an 为 P中
任意n 个数. 则存在唯一的V上线性函数 f 使
f i ai， i 1,2, ,n.
§10.1 线性函数
证明：映射 f :V P，
x1a1 x2a2 xnan
第八章 二次型
f = ax2 + 2bxy + cy2
（1）
为了便于研究这个二次曲线的几何性质（例如判断是什么曲线）, 我们可以对它进行适 当的坐标变换
⎧x
⎨ ⎩
y
= =
x′ cosθ x′ sin θ
− +
y′ sin θ y′ cos θ
,
（2）
将 f 化成标准方程.
(1)式的右端是一个二次齐次多项式. 从代数的观点看, 所谓化标准方程就是用变量的 线性替换(2)化简一个二次齐次多项式, 使它只含有平方项.
一、配方法
配方法就是利用平方公式
(x1 + x2 +L + xn )2 = x12 + x22 +L + xn2 + 2x1x2 + 2x1x3 +L + 2x1xn + 2x2 x3 +L + +2x2 xn +L + 2xn−1xn
对已知二次型进行配方. 配方法主要有以下两种情形:
(1) 如果二次型中, 某个变量平方项的系数不为零, 如有 a11 ≠ 0 , 先将含 x1 的所有因
子都配成平方项, 然后再对其它含平方项的变量配方, 直到全配成平方和的形式.
(2) 如果二次型中没有平方项, 而有某个 aij ≠ 0(i ≠ j) , 则可作线性替换
⎧xi = yi + y j
⎪ ⎨
x
j
பைடு நூலகம்
=
yi
−
yj
⎪ ⎩
xk
=
yk ,
k ≠ i, j
化成含有平方项的二次型, 然后再配方.
例 1 将二次型
高等代数(北大版)第8章习题参考答案
第八章 —矩阵1. 化下列矩阵成标准形1） 2）3） 4）5）6）解 1）对矩阵作初等变换,有A= B，B即为所求。
2）对矩阵作初等变换,有A= B，B即为所求。
3）因为的行列式因子为1=1, 2 =, 3 = ，所以1 = 1,2 = = ,3 = = ，从而A= B，B即为所求。
4）因为的行列式因子为1=1, 2 =, 3 = , 4 = ，所以1 = 1,2 = = ,3 = = ,4 = = ，从而A= B，B即为所求。
5）对矩阵作初等变换,有A= B，B即为所求。
6）对矩阵作初等变换,有A，在最后一个行列式中3=1, 4 =, 5 = ，所以1 =2 =3 =1,4 = =,5 = =。
故所求标准形为B= 。
2.求下列矩阵的不变因子:1） 2）3） 4）5）解 1）所给矩阵的右上角的二阶子式为1,所以其行列式因子为1=1, 2 =1, 3 = ，故该矩阵的不变因子为1 =2 =1,3 =。
2）因为所给矩阵的右上角的三阶子式为-1,所以其行列式因子为3 =2 =1=1,4 =，故矩阵的不变因子为1 =2 =3 =1,4 =。
3）当时,有4 = = ，且在矩阵中有一个三阶子式= ，于是由,3 = 1，可得3 = 1，故该矩阵的不变因子为1 =2 =3 =1,4 = 。
当时,由1=1, 2 =1, 3 = , 4 = ，从而1 =2 =1,3 = ,4 = = 。
4）因为所给矩阵的左上角三阶子式为1,所以其行列式因子为1=1, 2 =1, 3 =1, 4 = ，从而所求不变因子为1 =2 =3 =1,4 = 。
5）因为所给矩阵的四个三阶行列式无公共非零因式,所以其行列式因子为3 =1,4 = ，故所求不变因子为1 =2 =3 =1,4 = 。
3.证明:的不变因子是，其中= 。
证因为n = ，按最后一列展开此行列式，得n == ，= ，因为矩阵左下角的阶子式= ,所以= 1,从而1=2 = … = = 1，故所给矩阵的不变因子为1 =2 = … = = 1，= = ，即证。
高等代数 北大 课件
拉普拉斯定理与因式分解
总结词
拉普拉斯定理的表述、应用和因式分解的方法。
详细描述
拉普拉斯定理是行列式计算中的重要定理，它提供了计算行列式的一种有效方法。因式分解是将多项式分解为若 干个因子的过程，是解决代数问题的重要手段之一。
CHAPTER 04
矩阵的分解与二次型
矩阵的分解
01
02
03
矩阵的三角分解
矩阵的乘法
矩阵的乘法满足结合律和分配律，但不一定满足 交换律。
பைடு நூலகம்
矩阵的逆与行列式
矩阵的逆
对于一个非奇异矩阵，存在一个逆矩阵，使得原矩阵 与逆矩阵相乘等于单位矩阵。
行列式的定义
行列式是一个由矩阵元素构成的数学量，可以用于描 述矩阵的某些性质。
行列式的性质
行列式具有一些重要的性质，如交换律、结合律、分 配律等。
将一个矩阵分解为一个下 三角矩阵和一个上三角矩 阵之积。
矩阵的QR分解
将一个矩阵分解为一个正 交矩阵和一个上三角矩阵 之积。
矩阵的奇异值分解
将一个矩阵分解为若干个 奇异值和若干个奇异向量 的组合。
二次型及其标准型
二次型的定义
一个多项式函数，可以表示为$f(x_1, x_2, ..., x_n) = sum_{i=1}^{n} sum_{ j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j$，其中 $a_{ij}$是常数。
VS
二次型的标准型
通过线性变换，将一个二次型转化为其标 准形式，即一个平方项之和减去另一个平 方项之和。
正定二次型与正定矩阵
正定二次型的定义
对于一个二次型，如果对于所有 的非零向量$x$，都有$f(x) > 0$ ，则称该二次型为正定二次型。
高等代数北大版1-4ppt课件
f ( x),g( x)的最大公因式.
§1.4 最大公因式
11
如: f ( x)=x2 1, g( x)=1 ，则 ( f ( x)、g( x))=1. 取 u( x)= 1, v( x)=x2 ，有 u( x) f ( x)+v( x)g( x)=1, 取 u( x)=0, v( x)=1 ，也有 u( x) f ( x)+v( x)g( x)=1, 取u( x)= 2, v( x)=2x2 1 ,也有u( x) f ( x)+v( x)g( x)=1.
用 g( x) 除 f ( x) 得：
f ( x) q1( x)g( x) r1( x) 其中 (r1( x)) ( g( x)) 或 r1( x) 0 .
若 r1( x) 0 ，用 r1( x) 除 g( x)，得：
g( x) q2( x)r1( x) r2( x)
§1.4 最大公因式
辗转相除法．
② 定理２中最大公因式 d( x)=u( x) f ( x)+v( x)g( x) 中的 u( x)、v( x) 不唯一.
③ 对于 d( x), f ( x),g( x) P[x], u( x),v( x) P[x]，
使 d(x)=u( x) f ( x) v( x)g( x) ,但是 d(x)未必是
若 f ( x), g( x)不全为零，则( f ( x), g( x)) 0.
④ 最大公因式不是唯一的，但首项系数为1的最大
公因式是唯一的. 若 d1( x)、d为2( x) f ( x)、g( x)
的最大公因式，则 d1( x)=c，d2(cx为) 非零常数．
§1.4 最大公因式
4
二、最大公因式的存在性与求法
北京大学数学系《高等代数》(第3版)(章节题库 λ-矩阵)
，则
，从而
，于是
由于
的若当标准形依次为
故 A*的若当标准形为
7．求 A 的全体零化多项式集，其中
解：将特征矩阵化为标准形
得 A 的最小多项式为
，故 A 的零化多项式的集合为
最小多项式有着广泛的用途，例如求矩阵的若当标准形，判定
矩阵能否对角化等等．
8．设实数域 R 上矩阵
5 / 64
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标准形为
A 的初等因子是 A+3，（λ-1）2；不变因子是
由
，故 A 的有理标准形为
4．已知
（1）求 A 的不变因子，初等因子和最小多项式．（2）求 A 的若当标准形． 解：（1）用初等变换将 λE-A 化为标准形，
于是 A 的不变因子是 1）2，（λ-1）2；最小多项式为（λ-1）2．
（2）A 的若当标准形为
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（1）求 A 的特征多项式 f（λ）． （2）f（λ）是否为 R 上不可约多项式?（3）求 A 的最小多项式，要写出理由；（4） A 在 R 上可否对角化? 解：将 λE-A 化为标准形
故 A 不变因子为
（1）A 的特征多项式
（2）由 R 上的不可约多项式仅有 2 次，2 次多项式，故 f（λ）在 R 上可约．
故 a=b=c．由
，即
故 A 至少有两个特征值为 0． 3．设
求矩阵 A 的不变因子，初等因子，若当标准形，有理标准形． 解：因为
2 / 64
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故 A 的特征值为 λ2=3，λ2=1（2 重），1 的几何重数为 3-r（E-A）=1，故 A 的若当
高等代数第八章 Lamda-矩阵(小结)
一、基本概念 λ-矩阵，可逆的λ-矩阵，秩； λ-矩阵的初 -矩阵，可逆的 -矩阵， -矩阵的 等变换及 标准形， -矩阵的等价； 等变换及(Smith)标准形， λ-矩阵的等价；行列式 标准形 因子，不变因子，初等因子；若当标准形， 因子，不变因子，初等因子；若当标准形，(矩阵 的有理标准形*).
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12*.
数域P上 × 方阵 在上相似于 方阵A在上相似于唯一的一个 数域 上n×n方阵 在上相似于唯一的一个
有理标准形，称为 的有理标准形. 有理标准形，称为A的有理标准形. 13*. 是数域P上 维线性空间V的线性变换， 设A是数域 上n维线性空间 的线性变换， 是数域
则在V中存在一组基，使A在该基下的矩阵是有理 则在 中存在一组基， 在该基下的矩阵是有理 标准形，并且这个有理标准形由A唯一决定的， 唯一决定的 标准形，并且这个有理标准形由 唯一决定 称为A的有理标准形. 称为 的有理标准形.
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每个n级的复数矩阵A都与一个若当形矩阵相似， 级的复数矩阵 若当形矩阵相似 9. 每个 级的复数矩阵 都与一个若当形矩阵相似， 这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是 这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是 若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外 被矩阵A唯一决定的，它称为A的若当标准形. 被矩阵 唯一决定的，它称为 的若当标准形. 唯一决定的 10. 是复数域上n维线性空间V的线性变换， 10 设A是复数域上 维线性空间 的线性变换， 是复数域上 在V中必定存在一组基，使A在这组基下的矩阵是 中必定存在一组基， 在这组基下的矩阵是 若当形，并且这个若当形矩阵除去其中若当块的 若当形，并且这个若当形矩阵除去其中若当块的 排列次序外是被A唯一决定的 唯一决定的. 排列次序外是被 唯一决定的. 11. 复数矩阵A与对角矩阵相似 相似的 ＝ 是 的 11 复数矩阵 与对角矩阵相似的<＝>是A的初等 因子全为一次的( 因子全为一次的(或A的不变因子都没有重根). 全为一次的 的不变因子都没有重根).
高等代数北大版教(学)案_第8章λ_矩阵
第八章 λ-矩阵本章主要介绍λ-矩阵及其性质，并用这些性质证明若当标准形的主要定理。
§1 λ-矩阵如果一个矩阵的元素是λ的多项式，即][λP 的元素，这个矩阵就称为λ-矩阵。
为了与λ-矩阵相区别，我们把以数域P 中的数为元素的矩阵称为数字矩阵。
由于数域中的数也是][λP 中的元素，所以在λ-矩阵中包括以数为元素的矩阵，即数字矩阵为λ-矩阵的一个特殊情形。
同样可以定义一个λ-矩阵的行列式，既然有行列式，也就有λ-矩阵的子式的概念。
利用这个概念。
我们有定义1 如果λ-矩阵)(λA 中有一个r )1(≥r 级子狮不为零。
而所有1+r 级子式（如果有的话）全为零，则称)(λA 的秩为r ，零矩阵的秩规定为零。
定义2 一个n n ⨯的λ-矩阵)(λA 称为可逆的，如果有一个n n ⨯的λ-矩阵)(λB 使)(λA )(λB =)(λB )(λA =E （1） 这里E 是n 级单位矩阵。
适合（1）的矩阵)(λB （它是唯一的）称为)(λA 的逆矩阵，记为)(1λ-A关于λ-矩阵可逆的条件有定理1 一个n n ⨯的λ-矩阵)(λA 是可逆的充分必要条件为行列式|)(|λA 是一个非零的数。
§2 λ-矩阵在初等变换下的标准形λ-矩阵也有初等变换。
定义3 下面的三种变换叫做λ-矩阵的初等变换：（1）矩阵的两行（列）互换位置；（2）矩阵的某一行（列）乘以非零的常数c ；（3）矩阵的某一行（列）加另一行（列）的)(λΦ倍，)(λΦ是一个多项式。
初等变换都是可逆的，并且有))(())((),,(),(111---==c i p c i p j i p j i p ,))(,())(,(1ϕφ-=-j i p j i p 。
为了写起来方便起见，我们采用以下的记号：],[j i 代表j i ,行（列）互换位置；)]([c i 代表用非零的数c 去乘i 行（列）；)]([φj i +代表把j 行（列）的)(λφ倍加到i 行（列）。
高等代数【北大版】课件
多项式的因式分解与根的性质
总结词
多项式的因式分解、根的性质和求解方 法
VS
详细描述
多项式的因式分解是将多项式表示为若干 个线性因子乘积的过程。通过因式分解， 可以更好地理解多项式的结构，简化计算 和证明。此外，多项式的根是指满足多项 式等于0的数。根的性质包括根的和与积、 重根的性质等。求解多项式的根的方法有 多种，如求根公式、因式分解法等。
性方
02
线性方程组的解法
高斯消元法 通过行变换将增广矩阵化为阶梯形矩 阵，从而求解线性方程组。
选主元高斯消元法
选择主元以避免出现除数为0的情况， 提高算法的稳定性。
追赶法
适用于系数矩阵为三对角线矩阵的情 况，通过逐步消去法求解。
迭代法
通过迭代逐步逼近方程组的解，常用 的方法有雅可比迭代法和SOR方法。
向量空间的子空间与基底
总结词
子空间与基底
详细描述
子空间是向量空间的一个非空子集，它也满足向量空间的定义和性质。基底是 向量空间中一个线性独立的集合，它可以用来表示向量空间中的任意元素。基 底中的向量个数称为向量空间的维数。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量空间的维数与基底的关系
总结词
维数与基底的关系
详细描述
向量空间的维数与基底密切相关。一个向量空间的维数等于其基底的向量个数。 如果一个向量空间有n个基底，则它的维数为n。同时，如果一个向量空间有有限 个基底，则它的维数是有限的。
行列式
06
行列式的定义与性质
总结词
行列式的定义和性质是高等代数中的 基础概念，包括代数余子式、余子式、 转置行列式等。
详细描述
行列式是由n阶方阵的n!项组成的代数 式，按照一定规则排列，具有一些重 要的性质，如交换律、结合律、代数 余子式等。这些性质在后续章节中有 着广泛的应用。
高等代数【北大版】17PPT课件
即 h ( x ) 有 1 ,2 , n 1 , n 1 个根，
定理9
由定理８，若 h(x)0 的话，则 h(x)n.
矛盾．
所以，h(x)0, 即 f(x)g(x).
§1.7 多项式函数
11
例2 求 t 值，使 f(x )x 3 3 x 2 tx 1有重根．
解：
3 2
x
15 4
f ( x)
3x26xt
3x2
3 2
x
f (x)
x33x2tx 1
1 3
x
1 3
x32x21 3tx
15 2
x
t
125 x145
t15 4ຫໍສະໝຸດ x223tx1 x22x13t
( 2 3 t 2 ) x ( 1 1 3 t) r 1 ( x ) t 3 ,t 3 3 r 1 (x ) 2 x 1
f ( x ) 的 k 重根. 当 k 1 时，称 为 f ( x ) 的单根． 当 k 1时，称 为 f ( x ) 的重根．
§1.7 多项式函数
7
注：
① 是 f ( x ) 的重根 x 是 f ( x ) 的重因式．
② f ( x ) 有重根 f (x) 必有重因式． 反之不然，即 f ( x ) 有重因式未必 f ( x ) 有重根．
设 f ( x ) a 0 x n a 1 x n 1 a n ,数 p,
将 f ( x )的表示式里的 x 用 代替，得到P中的数
a 0n a 1n 1 a n ,
称为当 x时 f ( x )的值，记作 f ( ).
这样，对P中的每一个数 ，由多项式 f ( x ) 确定P
高等代数课件
相等.
推论 8.2.6 任意n维欧氏空间都与Rn同构.
8.3 正交变换与对称变换
一 、 正交变换的定义及性质
定义1 欧氏空间V的线性变换称为正
交变换, 如果它保持任意两个向量的内积不 变, 即对任意, V，有 (), ()＝, .
例1 在欧氏空间V2 中， 是把V2 中任意向量
例 2 函数 1, cosx, sinx, …, cosnx, sinnx, …是C[0,2]的一个正交
组. 定理 8.2.1 设{1, 2,…, n}是欧氏空间的一个正交组, 则1, 2,…, n 线性无关. 如果n维欧氏空间V中n个1, 2,…, n向量构成一个正交组, 则由 定理8.2.1这n个向量构成V的一个基. 这种两两正交的向量构成的基 叫做V的正交基. 两两正交的单位向量构成的基叫做标准正交基.
例 7 (Schwartz不等式) 考虑例3的欧氏空间C[a, b], 对区间[a,b] 上的任意连续函数f(x), g(x)都有:
a f ( x) g ( x)dx a f
b
b
2
( x)dx
b 2 g ( x)dx a
五. 向量的夹角
定义 3 设与是欧氏空间的两个非零向量. 与的夹角由以
六. 欧氏空间的同构
定义 3 设V与V' 是两个欧氏空间, 如果 (i) 作为实数域上的向量空间, 存在V 到V' 的一个同构影射 f: V
V'.
(ii) 对任意,V, 都有: < , >=<f(), f()>. 则称V与V' 是同构的. 定理 8.2.6 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是它们的维数
( x1 y1 ) 2 ( x2 y2 ) 2 ( xn yn ) 2
高等代数教案第八章λ-矩阵
第八章 -λ矩阵§1 -λ矩阵设P 是数域，λ是一个文字，作多项式环][λP ，一个矩阵如果它的元素是λ的多项式，即][λP 的元素，就称为-λ矩阵.在这一章讨论-λ矩阵的一些性质，并用这些性质来证明上一章第八节中关于若当标准形的主要定理.因为数域P 中的数也是][λP 的元素，所以在-λ矩阵中也包括以数为元素的矩阵.为了与-λ矩阵相区别，把以数域P 中的数为元素的矩阵称为数字矩阵.以下用Λ),(),(λλB A 等表示-λ矩阵.我们知道，][λP 中的元素可以作加、减、乘三种运算，并且它们与数的运算有相同的运算规律.而矩阵加法与乘法的定义只是用到其中元素的加法与乘法，因此可以同样定义-λ矩阵的加法与乘法，它们与数字矩阵的运算有相同的运算规律.行列式的定义也只用到其中元素的加法与乘法，因此，同样可以定义一个n n ⨯的-λ矩阵的行列式.一般地，-λ矩阵的行列式是λ的一个多项式，它与数字矩阵的行列式有相同的性质.定义1 如果-λ矩阵)(λA 中有一个)1(≥r r 级子式不为零，而所有1+r 级子式（如果有的话）全为零，则称)(λA 的秩为r .零矩阵的秩规定为零.定义 2 一个n n ⨯的-λ矩阵)(λA 称为可逆的，如果有一个n n ⨯的-λ矩阵)(λB 使E A B B A ==)()()()(λλλλ, (1)这里E 是n 级单位矩阵.适合(1)的矩阵)(λB (它是唯一的)称为)(λA 的逆矩阵，记为)(1λ-A ..定理1 一个n n ⨯的-λ矩阵)(λA 是可逆的充要条件为行列式|)(|λA 是一个非零的数.§2 -λ矩阵在初等变换下的标准形-λ矩阵也可以有初等变换定义3 下面的三种变换叫做-λ矩阵的初等变换：(1) 矩阵的两行（列）互换位置；(2) 矩阵的某一行（列）乘以非零的常数c ；(3) 矩阵有某一行（列）加另一行（列）的)(λϕ倍，)(λϕ是一个多项式. 和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵.例如，将单位矩阵的第j 行的)(λϕ倍加到第i 行上得行行列列j i j i P j i ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11)(11))(.(O M O ΛO λϕϕ 仍用),(j i P 表示由单位矩阵经过第i 行第j 行互换位置所得的初等矩阵，用))((c i P 表示用非零常数c 乘单位矩阵第i 行所得的初等矩阵.同样地，对一个n s ⨯的-λ矩阵)(λA 作一次初等变换就相当于在)(λA 的左边乘上相应s s ⨯的初等矩阵；对)(λA 作一次初等列变换就相当于)(λA 在的右边乘上相应的n n ⨯的初等矩阵.初等矩阵都是可逆的，并且有))(,())(,(,))(())((,),(),(1111ϕϕ-===----j i P j i P c i P c i P j i P j i P .由此得出初等变换具有可逆性：设-λ矩阵)(λA 用初等变换变成)(λB ，这相当于对)(λA 左乘或右乘一个初等矩阵.再用此初等矩阵的逆矩阵来乘)(λB 就变回)(λA ，而这逆矩阵仍是初等矩阵，因而由)(λB 可用初等变换变回)(λA .定义4 -λ矩阵)(λA 称为与)(λB 等价，如果可以经过一系列初等变换将)(λA 化为)(λB .等价是-λ矩阵之间的一种关系，这个关系显然具有下列三个性质： (!) 反身性：每一个-λ矩阵与它自身等价.(2) 对称性：若)(λA 与)(λB 等价，则)(λB 与)(λA 等价.(3) 传递性：若)(λA 与)(λB 等价，)(λB 与)(λC 等价，则)(λA 与)(λC 等价. 应用初等变换与初等矩阵的关系即得，矩阵)(λA 与)(λB 等价的充要条件为有一系列初等矩阵t l Q Q Q P P P ,,,,,,,2121ΛΛ，使t l Q Q Q B P P P A ΛΛ2121)()(λλ=. (2)这一节主要是证明任意一个-λ矩阵可以经过初等变换化为某种对角矩阵. 引理 设-λ矩阵)(λA 的左上角元素0)(11≠λa ，并且)(λA 中至少有一个元素不能被它除尽，那么一定可以找到一个与)(λA 等价的矩阵)(λB ，它的左上角元素也不为零，但是次数比)(11λa 的次数低.定理2 任意一个非零的n s ⨯的-λ矩阵)(λA 都等价于下列形式的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00)()()(21O O λλλr d d d , 其中),,2,1)((,1r i d r i Λ=≥λ是首项系数为1的多项式，且)1,,2,1()(|)(1-=+r i d d i i Λλλ.这个矩阵称为)(λA 的标准形.例 用初等变换化-λ矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++---=232211121)(λλλλλλλλλλλA 为标准形.§3 不 变 因 子现在来证明，-λ矩阵的标准形是唯一的.定义5 设-λ矩阵)(λA 的秩为r ，对于正整数,1,r k k ≤≤，)(λA 中必有非零的k 级子式. )(λA 中全部k 级子式的首项系数为1的最大公因式)(λk D 称为)(λA 的k 级行列式因子.由定义可知，对于秩为r 的-λ矩阵，行列式因子一共有r 个.行列式因子的意义就在于，它在初等变换下是不变的.定理3 等价的-λ矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子.现在来计算标准形矩阵的行列式因子.设标准形为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00)()()(21O O λλλr d d d (1) 其中)(,),(),(21λλλr d d d Λ是首项系数为1的多项式，且)1,,2,1()(|)(1-=+r i d d i i Λλλ.不难证明，在这种形式的矩阵中，如果一个k 级子式包含的行与列的标号不完全相同，那么这个k 级子式一定为零.因此，为了计算k 级行列式因子，只要看由k i i i ,,,21Λ行与k i i i ,,,21Λ列组成的k 级子式就行了，而这个k 级子式等于)(,),(),(21λλλk i i i d d d Λ显然，这种k 级子式的最大公因式就是)()()(21λλλk d d d Λ定理4 -λ矩阵的标准形是唯一的.证明 设(1)是)(λA 的标准形.由于)(λA 与(1)等价，它们有相同的秩与相同的行列式因子，因此，)(λA 的秩就是标准形的主对角线上非零元素的个数r ;)(λA的k 级行列式因子就是),,2,1()()()()(21r k d d d D k k ΛΛ==λλλλ. (2)于是)()()(,,)()()(,)()(112211λλλλλλλλ-===r r r D D d D D d D d Λ. (3) 这就是)(λA 的标准形(1)的主对角线上的非零元素是被)(λA 的行列式因子所唯一决定的，所以)(λA 的标准形是唯一的.定义6 标准形的主对角线上非零元素)(,),(),(21λλλr d d d Λ称为-λ矩阵)(λA 的不变因子.定理5 两个-λ矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子.由(3)可以看出，在-λ矩阵的行列式因子之间，有关系式)1,,2,1()(|)(1-=+r k D D k k Λλλ. (4)在计算-λ矩阵的行列式因子时，常常是先计算最高级的行列式因子.这样，由(4)就大致有了低级行列式因子的范围了.例如，可逆矩阵的标准形.设)(λA 为一个n n ⨯可逆矩阵，由定理1知d A =|)(|λ,其中d 是一非零常数，这就是说1)(=λn D于是由(4)可知，),,2,1(1)(n k D k Λ==λ从而),,2,1(1)(n k d k Λ==λ因此，可逆矩阵的标准形是单位矩阵E .反过来，与单位矩阵等价的矩阵一定是可逆矩阵，因为它的行列式是一个非零的数.这就是说，矩阵可逆的充要条件是它与单位矩阵等价.又矩阵)(λA 与)(λB 等价的充要条件是有一系列初等矩阵t l Q Q Q P P P ,,,,,,,2121ΛΛ，使t l Q Q Q B P P P A ΛΛ2121)()(λλ=特别是，当时E B =)(λ，就得到定理6 矩阵)(λA 是可逆的充要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积. 推论 两个n s ⨯的-λ矩阵)(λA 与)(λB 等价的充要条件为，有一个s s ⨯可逆矩阵与一个n n ⨯可逆矩阵)(λQ ，使)()()()(λλλλQ A P B =.§4 矩阵相似的条件在求一个数字矩阵A 的特征值和特征向量时曾出现过-λ矩阵A E -λ,我们称它A 为的特征矩阵.这一节的主要结论是证明两个n n ⨯数字矩阵A 和B 相似的充要条件是它们的特征矩阵A E -λ和B E -λ等价.引理1 如果有n n ⨯数字矩阵00,Q P 使00)(Q B E P A E -=-λλ, (1)则A 和B 相似.引理2 对于任何不为零的n n ⨯数字矩阵A 和-λ矩阵)(λU 与)(λV ，一定存在-λ矩阵)(λQ 与)(λR 以及数字矩阵0U 和0V 使0)()()(U Q A E U +-=λλλ, (2)0))(()(V A E R V +-=λλλ. (3)定理7 设A ，B 是数域P 上两个n n ⨯矩阵. A 与B 相似的充要条件是它们的特征矩阵A E -λ和B E -λ等价.矩阵A 的特征矩阵A E -λ的不变因子以后简称为A 的不变因子.因为两个-λ矩阵等价的充要条件是它们有相同的不变因子，所以由定理7即得推论 矩阵A 与B 相似的充要条件是它们有相同的不变因子.应该指出，n n ⨯矩阵的特征矩阵的秩一定是n .因此，n n ⨯矩阵的不变因子总是有n 个，并且，它们的乘积就等于这个矩阵的特征多项式.以上结果说明，不变因子是矩阵的相似不变量，因此我们可以把一个线性变换的任一矩阵的不变因子(它们与该矩阵的选取无关)定义为此线性变换的不变因子.§5 初等因子一、初等因子的概念定义7 把矩阵A （或线性变换A ）的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂(相同的必须按出现的次数计算)称为矩阵A (或线性变换A )的初等因子.例 设12级矩阵的不变因子是222229)1)(1()1(,)1()1(,)1(,1,,1,1++-+--λλλλλλ43421Λ个. 按定义，它的初等因子有7个，即22222)(,)(,)1(,)1(,)1(,)1(,)1(i i +-++---λλλλλλλ.其中2)1(-λ出现三次，1+λ出现二次.现在进一步来说明不变因子和初等因子的关系.首先，假设n 级矩阵A 的不变因子)(,,)(,)(21λλλn d d d Λ为已知.将),,2,1)((n i d i Λ=λ分解成互不相同的一次因式方幂的乘积：r k r k k d 11211)()()()(211λλλλλλλ---=Λ,r k r k k d 22221)()()()(212λλλλλλλ---=Λ,nr n n k r k k n d )()()()(2121λλλλλλλ---=ΛΛΛΛΛΛΛ,则其中对应于1≥ij k 的那些方幂)1()(≥-ij k j k ij λλ就是A 的全部初等因子.注意不变因子有一个除尽一个的性质，即)1,,2,1()(|)(1-=+n i d d i i Λλλ,从而),,2,1;1,,2,1()(|)(,1r j n i j i ij k j k j ΛΛ=-=--+λλλλ.因此在)(,,)(,)(21λλλn d d d Λ的分解式中，属于同一个一次因式的方幂的指数有递升的性质，即),,2,1(21r j k k k nj j j ΛΛ=≤≤≤.这说明，同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，方次最高的必定出现在)(λn d 的分解中，方次次高的必定出现在)(1λ-n d 的分解中.如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂的初等因子在不变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的.二、初等因子与不变因子的求法上面的分析给了我们一个如何从初等因子和矩阵的级数唯一地作出不变因子的方法.设一个n 级矩阵的全部初等因子为已知，在全部初等因子中将同一个一次因式),,2,1)((r j j Λ=-λλ的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这些初等因子的个数不足n 时，就在后面补上适当个数的1，使得凑成n 个.设所得排列为),,2,1(,)(,,)(,)(1,1r j j j n nj kj k j k j ΛΛ=----λλλλλλ. 于是令 ),,2,1()()()()(2121n i d ir i i k r k k i ΛΛ=---=λλλλλλλ,则)(,,)(,)(21λλλn d d d Λ就是A 的不变因子.这也说明了这样一个事实：如果两个同级的数字矩阵有相同的初等因子，则它们就有相同的不变因子，因而它们相似.反之，如果两个矩阵相似，则它们有相同的不变因子，因而它们有相同的初等因子.综上所述，即得定理8 两个同级复数矩阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子.初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量.但是初等因子的求法与不变因子的求法比较，反而方便一些.如果多项式)(,)(21λλf f 都与)(,)(21λλg g 互素，则.))(,)(())(,)(())()(),()((21212211λλλλλλλλg g f f g f g f ⋅=.引理 设)()(00)()()(2211λλλλλg f g f A =,)()(00)()()(2112λλλλλg f g f B =,如果多项式)(,)(21λλf f 都与)(,)(21λλg g 互素，则)(λA 和)(λB 等价.定理9 首先用初等变换化特征矩阵A E -λ为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂(相同的按出现的次数计算)就是A 的全部初等因子.§6 若尔当(Jordan)标准形的理论推导我们用初等因子的理论来解决若尔当标准形的计算问题.首先计算若尔当标准形的初等因子.不难算出若尔当块nn J ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001000010001000λλλΛM M M M ΛΛΛ 的初等因子是n )(0λλ-.事实上，考虑它的特征矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=-00001000010001000λλλλλλλΛM M M M ΛΛΛJ E显然n J E )(00λλλ-=-，这就是0J E -λ的n 级行列式因子.由于0J E -λ有一个1-n 级子式是100)1(100100001001--=------n ΛΛM MM M ΛΛλλλλ,所以它的1-n 级行列式因子是1，从而它以下各级的行列式因子全是1.因此它的不变因子n n n d d d )()(,1)()(011λλλλλ-====-Λ.由此即得，0J E -λ的初等因子是n )(0λλ-.再利用§5的定理9，若尔当形矩阵的初等因子也很容易算出. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s J J J J O21 是一个若尔当形矩阵，其中),,2,1(100010001000s i J ii k k i i ii ΛΛM M M M ΛΛΛ=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯λλλ. 既然i J 的初等因子是),,2,1()(s i i k i Λ=-λλ，所以i J E -λ与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-i k i )(11λλO 等价.于是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-s k k k J E J E J E J E s λλλλO2121 与⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---s k s k k )(11)(11)(112121λλλλλλOOO 等价.因此，J 的全部初等因子是：s k s k k )(,,)(,)(2121λλλλλλ---Λ.这就是说，每个若尔当形矩阵的全部初等因子就是由它的全部若尔当形矩阵的初等因子构成的.由于每个若尔当块完全由它的级数n 与主对角线上元素0λ所刻划，而这两个数都反映在它的初等因子n )(0λλ-中.因此，若尔当块被它的初等因子唯一决定.由此可见，若尔当形矩阵除去其中若尔当块排列的次序外被它的初等因子唯一决定.定理10 每个n 级的复数矩阵A 都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵A 唯一决定的，它称为A 的若尔当标准形.例1 §5的例中，12级矩阵的若尔当标准形就是1212101011110111011101⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----i i i i 例2 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411301621A的若尔当标准形.定理10换成线性变换的语言来说就是：定理11 设A 是复数域上n 维线性空间V 的线性变换，在V 中必定存在一组基，使A 在这组基下的矩阵是若尔当形，并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被A 唯一决定的.应该指出，若尔当形矩阵包括对角矩阵作为特殊情形，那就是由一级若尔当块构成的若尔当形矩阵，由此即得定理12 复数矩阵A 与对角矩阵相似的充要条件是A 的初等因子全为一次的.根据若尔当形的作法，可以看出矩阵A 的最小多项式就是A 的最后一个不变因子.因此有定理13 复数矩阵A 与对角矩阵相似的充要条件是A 的不变因子都没有重根.虽然我们证明了每个复数矩阵A 都与一个若尔当形矩阵相似，并且有了具体求矩阵A 的若尔当标准形的方法，但是并没有谈到如何确定过渡矩阵T ，使AT T 1-成若尔当标准形的问题. T 的确定牵涉到比较复杂的计算问题.最后指出，如果规定上三角形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000000100000100001λλλλΛΛM M M M M ΛΛ为若尔当块，应用完全类似的方法，可以证明相应于定理10，定理11的结论也成立.§7 矩阵的有理标准形前一节中证明了复数域上任一矩阵A 可相似于一个若尔当形矩阵.这一节将对任意数域P 来讨论类似的问题.我们证明了P 上任一矩阵必相似于一个有理标准形矩阵.定义8 对数域P 上的一个多项式n n n a a d +++=-Λ11)(λλλ称矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=--12110010001000a a a a A n n n ΛM M M M ΛΛΛ (1)为多项式)(λd 的伴侣阵.容易证明，A 的不变因子(即A E -λ的不变因子)是)(,1,,1,11λd n 43421Λ个-.（见习题3）定义9 下列准对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s A A A A O21, (2) 其中i A 分别是数域P 上某些多项式),,2,1()(s i d i Λ=λ的伴侣阵，且满足)(||)(|)(21λλλs d d d Λ，A 就称为P 上的一个有理标准形矩阵.引理 (2)中矩阵A 的不变因子为)(,,)(,)(,1,,1,121λλλs d d d ΛΛ，其中1的个数等于)(,,)(,)(21λλλs d d d Λ的次数之和n 减去s .定理14 数域P 上n n ⨯方阵A 在上相似于唯一的一个有理标准形，称为A 的有理标准形.把定理14的结论变成线性变换形式的结论就成为定理15 设A 是数域P 上n 维线性空间V 的线性变换，则在V 中存在一组基，使A 在该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形由A 唯一决定的，称为A 的有理标准形.例 设33⨯矩阵A 的初等因子为)1(,)1(2--λλ，则它的不变因子是1，2)1(,)1(--λλ，它的有理标准形为.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210100001.第八章 -λ矩阵(小结)一、基本概念-λ矩阵，可逆的-λ矩阵，秩；-λ矩阵的初等变换及标准形，-λ矩阵的等价；行列式因子，不变因子，初等因子；若尔当标准形，矩阵的有理标准形.二、主要结论1. 一个n n ⨯的-λ矩阵)(λA 是可逆的充要条件为行列式|)(|λA 是一个非零的数.2. 任意一个非零的n s ⨯的-λ矩阵)(λA 都等价于其唯一的标准形矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00)()()(21O O λλλr d d d , 其中),,2,1)((,1r i d r i Λ=≥λ是首项系数为1的多项式，且)1,,2,1()(|)(1-=+r i d d i i Λλλ.3. 两个-λ矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子.4. 矩阵)(λA 是可逆的充要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积.5. 两个n s ⨯的-λ矩阵)(λA 与)(λB 等价的充要条件为，有一个s s ⨯可逆矩阵与一个n n ⨯可逆矩阵)(λQ ，使)()()()(λλλλQ A P B =.6. 设A ，B 是数域P 上两个n n ⨯矩阵. A 与B 相似的充要条件是它们的特征矩阵A E -λ和B E -λ等价.7. 两个同级复数矩阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子.8. 首先用初等变换化特征矩阵A E -λ为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂(相同的按出现的次数计算)就是A的全部初等因子.9. 每个n级的复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形.10. 设A是复数域上n维线性空间V的线性变换，在V中必定存在一组基，使A在这组基下的矩阵是若尔当形，并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被A唯一决定的.11. 复数矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是A的初等因子全为一次的(或A的不变因子都没有重根).12. 数域P上nn 方阵A在上相似于唯一的一个有理标准形，称为A的有理标准形.13. 设A是数域P上n维线性空间V的线性变换，则在V中存在一组基，使A在该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形由A唯一决定的，称为A 的有理标准形.。
高等代数.第八章.λ-矩阵(介绍).课堂笔记
课堂笔记
第九章
第八章 λ-矩阵（介绍）
本章主要介绍如何求给定的复数矩阵的若尔当标准形. 已学知识回顾： 第七章第五节 ∀������ ∈ P ������×������ ，������与对角矩阵相似当且仅当������有������个线性无关的特征向量. 事实上������ ′ ������������ = ������������������������(������1 , ������2 , … , ������������ ), ������ ∈ P ������×������ ，������可逆， ⟺ ������������ = ������ ∙ ������������������������(������1 , ������2 , … , ������������ ) ⟺ ������������������ = ������������ ������������ , ������ = 1,2, … , ������， 其中，������������ 为������的第������ 个列向量，即������ = (������1, ������2 , … , ������������ ). 第九章第六节 ∀������ ∈ P ������×������ 且������ = ������′，������正交相似于对角阵，即存在正交阵������， 使得������ ′ ������������ = ������������������������(������1 , ������2 , … , ������������ ). ∀������ ∈ ℂ������×������ ，������与若尔当形矩阵������相似，且出去若尔当块排列次序外，������是唯一的（称为 ������的若尔当标准形）. ——定理 14 这里，������级若尔当块是指如下形式的复数矩阵： ������0 1 ������0 ，记作������(������0 , ������), ������0 ∈ ℂ， 1 ⋱ ⋱ ������0 [ 1 ������0 ] 而由若干个若尔当块合成的分块对角矩阵 ������1 ������ = [ ������2 ，称为若尔当形矩阵，其中������������ = ������(������������ , ������������ ),
高等代数课件(北大版)第八章 λ-矩阵§8.2
一、λ－矩阵的初等变换
定义：
λ―矩阵的初等变换是指下面三种变换: ① 矩阵两行（列）互换位置； ② 矩阵的某一行（列）乘以非零常数 c；
③ 矩阵的某一行（列）加另一行（列）的( )倍， ( )是一个多项式.
2020/2/7§8.2 λ─矩阵的标准数形学与计算科学学院
定义：
将单位矩阵进行一次 ―矩阵的初等变换所得的
矩阵称为 ―矩阵的初等矩阵.
注： ① 全部初等矩阵有三类：
1
O
P(i, j)
1
0L 1
i行
M 1L 0
j行
1
O 1
2020/2/7§8.2 λ─矩阵的标准数形学与计算科学学院
1
O
1
LL
LL
L L
L L
2020/2/7§8.2 λ─矩阵的标准数形学与计算科学学院
r() L L
[1,i ]
L a11 L
L
(
L
)
L L L
L L L
B( ).
B( ) 的左上角元素 r( )符合引理的要求，
故 B( ) 为所求的矩阵.
ii) 在A( )的第一行中有一个元素 a1i ( )不能被a11( )
对 A( ) 作下述初等行变换:
a11( ) L
A(
)
L
ai1(
L
)
L L
L
a1 j ( ) L
L L
aij ( )
高等代数 第八章 2第二节 Lamda-矩阵在初等变换下的标准形
次数是非负整数，不可能无止境地降低. 但次数是非负整数，不可能无止境地降低 因此在有限步以后，我们将终止于一个 将终止于一个λ因此在有限步以后，我们将终止于一个 -矩阵 左上角元素b 可以除尽B Bs(λ)，它的左上角元素 s(λ)≠0，而且可以除尽 s(λ) ，它的左上角元素 ，而且可以除尽 全部元素b ， 的全部元素 ij(λ)，即 bij(λ)=bs(λ)qij(λ) ， 对Bs(λ)作初等变换 作
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定义4 -矩阵A(λ)称为与 称为与B(λ)等价，如果可以经 等价， 定义4 λ-矩阵 称为与 等价 化为B(λ). 过一系列初等变换将A(λ)化为 一系列初等变换将 化为 . 等价是 -矩阵之间的一种关系 之间的一种关系， 等价是λ-矩阵之间的一种关系，这个关系显 然具有下列三个性质 三个性质： 然具有下列三个性质： 反身性：每一个λ-矩阵与它自身等价 与它自身等价. (1) 反身性：每一个λ-矩阵与它自身等价. 对称性： 等价， (2) 对称性：若A(λ)与B(λ)等价，则B(λ)与A(λ)等 与 等价 与 等 这是由于初等变换具有可逆性的缘故. 初等变换具有可逆性的缘故 价. 这是由于初等变换具有可逆性的缘故 传递性： 等价， 等价， (3) 传递性：若A(λ)与B(λ)等价，B(λ)与C(λ)等价， 与 等价 与 等价 等价. 则A(λ)与C(λ)等价 与 等价
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定理2 任意一个非零的 非零的s× 的 -矩阵A(λ)都等价 定理2 任意一个非零的 ×n的λ-矩阵 都 于下列形式的矩阵
d 1 (λ ) d 2 (λ ) O d r (λ ) 0 O 0
其中r≥1, 其中 ,di(λ)(i=1,2, …,r)是首项系数为1的多项式， 是首项系数为1的多项式， 且 di(λ)| di+1(λ), (i=1,2, …,r-1). 这个矩阵称为A(λ)的标准形 的标准形. 这个矩阵称为
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数学与计算科学学院 2012-9-22§8.2 λ─矩阵的标准形
一、λ－矩阵的初等变换
定义：
λ―矩阵的初等变换是指下面三种变换: ① 矩阵两行（列）互换位置； ② 矩阵的某一行（列）乘以非零常数 c； ③ 矩阵的某一行（列）加另一行（列）的 ( ) 倍，
( ) 是一个多项式.
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第八章 λ─矩阵
§1 λ－矩阵 §2 λ－矩阵的 标准形 §3 不变因子 §4 矩阵相似的条件 §5 矩阵相似的条件 §6 若当(Jordan)标准形 的理论推导 小结与习题
2012-9-22 数学与计算科学学院
§8.2 λ─矩阵的标准形
一、λ－矩阵的初等变换 二、λ－矩阵的初等矩阵 三、等价λ－矩阵 四、λ－矩阵的对角化
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A ( ), B 1 ( ), B 2 ( ), .
它们的左上角元素皆为零，而且次数越来越低. 但次数是非负整数，不可能无止境地降低. 因此在有限步以后，将终止于一个λ－矩阵 B s ( ) 它的左上角元素 b s ( ) 0 ，而且可以除尽 B s ( ) 的全部元素 b ij ( ), 即
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证：根据 A ( ) 中不能被 a 1 1 ( ) 除尽的元素所在的 位置，分三种情形来讨论: i) 若在 A ( ) 的第一列中有一个元素 a i 1 ( ) 不能被
a11 ( )
除尽， 则有 a i 1 ( ) a 1 1 ( ) q ( ) r ( ),
d1 ( ) d 2 ( ) d r ( ) 0 0
称之 A( ) 为 的 标准 形.
其中 r 1, d i ( ) ( i 1, 2 , , r ) 是首项系数为1的
多项式，且
d i ( ) d i 1 ( ) ( i 1, 2 , , r 1).
0 0 1 2 0 [1 ( 1 ( 1 2 2 1 ),[ 3 )]] 0 3 2
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0 0 1 2 [ 0 2 ,3 ] 0 2 3
对 A ( ) 作下述初等行变换:
a11 ( ) A( ) a i1 ( ) a1 j ( ) a ij ( ) a1 j ( ) ... a ij ( ) a 1 j ( ) ( ) ...
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三、等价λ－矩阵
定义： ―矩阵
A ( ) 若能经过一系列初等变换化
为 －矩阵 B ( ) ，则称 A ( ) 与 B ( ) 等价.
性质：
1) ―矩阵的等价关系具有: 反身性: A ( ) 与自身等价. 对称性: A ( ) 与 B ( ) 等价 B ( ) 与 A ( ) 等价.
i 1( )
a11 ( ) 0
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1 i
a11 ( ) 0
A1 ( )
a ij ( ) (1 ( )) a 1 j ( ) a ij ( ) a 1 j ( ) ( )
除尽，这种情况的证明i)与类似.
iii) A ( )的第一行与第一列中的元素都可以被 a 1 1 ( )
除尽，但 A ( ) 中有另一个元素 a ij ( ) ( i 1, j 1)
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被 a 1 1 ( ) 除尽. 我们设 a i 1 ( ) a 1 1 ( ) ( ).
1 0 0 [2 )] 0 0 3 ( 0 2 2 1 0 0 [ 3 2 ( 1 )] B ( ) ()] 0 0 [3 1 0 0 2
若 b1 ( ) 还不能除尽 B 1 ( ) 的全部元素， 由引理，又可以找到与 B 1 ( ) 等价的 B 2 ( ) ，且
B2 ( )
左上角元素 b 2 ( ) 0 ， b 2 ( ) b1 ( ) .
如此下去，将得到一系列彼此等价的λ－ 矩阵：
A1 ( ) 中的全部元素都是可以被 b s ( )
除尽的，
因为它们都是 B s ( ) 中元素的组合. 如果 A1 ( ) 0 ，则对于 A1 ( ) 可以重复上述过程，
进而把矩阵化成
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0 0 d1 ( ) 0 d 2 ( ) 0 , 0 A2 ( ) 0 0
b ij ( ) b s ( ) q ij ( j ), i 1, 2 , , s ; j 1, 2 , , n .
对 B s ( ) 作初等变换:
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0 0 bs ( ) 0 [ 2 1 ( q 2 1 )],[ 3 1 ( q 3 1 )], B ( ) [1 ( )],[ 3 1 ( q )], 2 q 21 13 A1 ( ) 0
d 2 ( )
例
用初等变换化λ―矩阵为标准形.
2 1 1 2 A( ) 1 2 3 1 2
解：
2 1 1 1 2 A ( ) [1 0 3 ] 1 2 3 1 1
其中 d 1 ( ) 与 d 2 ( ) 都是首1多项式( d 1 ( ) 与 b s ( ) 只差一个常数倍数），而且 能除尽 A 2 ( ) 的全部元素. 如此下去， A ( ) 最后就化成了标准形.
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d 1 ( ) | d 2 ( ),
注：
为了书写的方便，我们采用以下记号
[ i , j ] 代表 i , j [ i ( c )]代表第 i
两行(列)互换； 行乘以非零数 c ；
[ i j ( ( ))] 代表把第 j 行(列)的 ( )倍加到第 i
行(列).
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其中余式 r ( ) 0 ，且 r ( x ) a 1 1 ( )
对 A ( ) 作下列初等行变换:
a11 ( ) A( ) a i1 ( ) a11 ( ) [ i 1(q )] r ( )
传递性: A ( ) 与 B ( ) 等价, B ( ) 与 C ( ) 等价
A ( ) 与C ( ) 等价.
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2) A ( ) 与 B ( ) 等价 存在一系列初等矩阵
P1 P S , Q 1 Q t
使 A ( ) P1 P S B ( ) Q 1 Q t .
四、λ－矩阵的对角化
1.（引理）设 ―矩阵 A ( )的左上角元素 a 1 1 ( ) 0 , 且 A ( ) 中至少有一个元素不能被它整除，那么一定 可以找到一个与 A ( ) 等价的矩阵 B ( ) ，它的左上 角元素 b1 1 ( ) 0 ，且 ( b1 1 ( )) ( a 1 1 ( )) .
1 1 p ( i ( c )) i行 c 1 1
1 1 ( ) i行 p ( i , j ( ( ))) j行 1 1
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2 1 1 1 2 [1 ,3 ] 0 1 3 1 1 2 1 2 1 1 31 2 0 1 3 2
② 初等矩阵皆可逆.
p(i, j)
1
p(i, j)
p ( i ( c ))
1
p ( i ( 1 )) c
1
p ( i , j ( ( )))
p ( i , j ( ( )))
③ 对一个 s n 的 ―矩阵 A ( )作一次初等行变换 就相当于在 A ( ) 在的左边乘上相应的 s s 的初等矩 阵；对 A ( ) 作一次初等列变换就相当于在 A ( ) 的右 边乘上相应的 n n 的初等矩阵.
二、λ－矩阵的初等矩阵
定义：
将单位矩阵进行一次 ―矩阵的初等变换所得的 矩阵称为 ―矩阵的初等矩阵.
注： ① 全部初等矩阵有三类：
1 1 i行 0 1 j行 1 0 1 1
P (i, j)
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证: 经行列调动之后，可使 A ( ) 的左上角元素
a11 ( ) 0 ,
若 a 1 1 ( ) 不能除尽 A ( ) 的全部元素，