第一类曲面积分

∑ 在 xOy 平面上的投影区域为
2 2
D : x 2 + y 2 ≤ 2x
∂z ∂z dS = 1 + + dσ = 2dσ ∂x ∂y
于是 zdS = ∫∫ x 2 + y 2 · ∫∫
∑ D
2dσ
= 2∫
π
2 −
π
2
dθ ∫
2 cos θ 0
∫∫
Σ
2 f ( x, y, z )dS = ∫∫ f [ x, y ( z , x), z ] 1 + y x + y z2 dzdx Dzx
3. 若曲面∑的方程为 x=x(y,z） ∑在yoz面上的投影区域为 D yz 则
∫∫
Σ
2 f ( x, y, z )dS = ∫∫ f [ x( y, z ), y, z ] 1 + x y + x z2 dydz D yz
16 2 = 2 ∫ 2 cos 3 θ dθ r dr 0 3
π
32 = 2 9
x2 y2 + z 2 = 1的上半部分，点 P( x, y, z ) ∈ S， 例4. 设 S 为椭球面 + 2 2 π 为 S 在点 P 处的切平面, ρ ( x, y, z ) 为点 O(0,0,0) 到平面 π 的距离， z dS . 求 ∫∫ ρ ( x, y , z ) S
2 2 2 ∑: z = 2 R − x − y ( z ≥ R)
y 2 z 3 dS 例1 计算 ∫∫
Σ
2 dS = 1 + z x + z 2 dxdy = y
2R 2R 2 − x 2 − y 2
dxdy
Dxy : x 2 + y 2 ≤ R 2
Σ Dxy
y 2 z 3 dS = 2 R ∫∫ y 2 (2 R 2 − x 2 − y 2 )dxdy ∫∫
Σ = Σ1 + Σ 2
∫∫ f ( x, y, z )dS = ∫∫ f ( x, y, z )dS + ∫∫ f ( x, y, z )dS
Σ1 Σ2
二、对面积的曲面积分的计算法 面积的曲面积分的计算法 1.设曲面∑的方程为z=z(x,y) ∑在xoy面上的投影区域为 Dxy 连续偏导数
化成二重积分
z=z(x,y)在 Dxy 上有
2 由重积分知识: dS = 1 + z x + z 2 dxdy y
则 ∫∫ f ( x, y, z )dS =
Σ
∫∫
D xy
2 2 f [ x, y, z ( x, y )] 1 + z x + z y dxdy
2.设曲面∑的方程为 y=y(z,x) ∑在zox面上的投影区域为 Dzx
3 xy (1 − x − y ) dxdy
= 3 ∫ xdx ∫
0
1
1− x
0
y (1 − x − y ) dy
3 1 = ( x − 3 x 2 + 3 x 3 − x 4 ) dx 6 ∫0 3 = 120
例3.计算曲面积分∫∫ zdS，其中Σ为锥面z = x 2 + y 2
Σ
在柱体x 2 + y 2 ≤ 2 x内的部分.
第四节 对面 积的曲面积分
曲面积分
将曲线积分概念 推广到曲面上就是曲面积分。 光滑曲面 是指曲面具有连续变动的切平面
分片光滑曲面 是指曲面是由有限块光滑曲面连接而成
§4
对面积的曲面积分 对面积的曲面积分
一.对面积的曲面积分的概念与性质 对面积的曲面积分的概念与性质 曲面 引例 物质曲面的质量 设有一物质曲面∑，∑上各点的面密度ρ(x,y,z)在∑ 上连续，求∑的质量M.
(
)
2 1 2π = ∫ dθ ∫ 4 − r 2 rdr 0 4 0
(
)
3 = π 2
定义 设f(x,y,z)是定义在曲面∑上的有界函数, 将∑任意分成n小块 ∆Si (同时表示其面积) 在每小块上任取一点 (ξ i ,ηi , ζ i ) 作和式
∑ f (ξ ,η , ζ )∆S
i =1 i i i
n
i
如果当各小块曲面直径的最大值d→0时，这和式 的极限存在,则称此极限值为函数f(x,y,z)在曲面 ∑上对面积的曲面积分或第一类曲面积分,记为
设 ( X , Y , Z ) 为 π 上任意一点，则 π 的方程为 xX + yY + zZ = 1
从而知
− 1 2
ρ ( x, y , z ) =
x y + + z2 4 4
2 2
2
2
x2 y2 z = 1− + 由 2 2 ∂z −x ∂z −y = , = ∂x ∂y x2 y2 x2 y2 2 1− + 2 1− + 2 2 2 2
若面密度是常数ρ， 则M=ρS 当面密度是变量ρ(x,y,z)时 同其它积分类似,可用“分割取近似，求和取极限”的方法。
M ≈
∑
n
i =1
ρ (ξ i , η i , ζ i ) ∆ S i
n
对面积的曲线积分
i
M = lim
d→0
∑ ρ (ξ
i =1
,η i , ζ i ) ∆ S i
d = max{d i }
∫∫ f ( x , y , z ) dS
Σ
= lim ∑ f (ξ i , η i , ζ i ) ∆ S i
d →0 i =1
n
积分曲面
注: (1)若L是封闭曲面，则上述积分记为
∫∫ f ( x , y , z ) dS
Σ
(2)如果f(x,y,z)在曲面∑上连续，则曲面积分存在 (3) 曲面积分具有与其它积分类似的性质,如
Σ
因为在 Σ1 , Σ 2 , Σ 3 上xyz=0 所以
∫∫ xydS
Σ1 Σ2 Σ3
=0
Σ 4 : z = 1 − x − y, Dxy : 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1 − x
∫∫ xyzdS = ∫∫ xyzdS
Σ Σ4
=
∫∫
D xy
= 2 R ∫ dθ ∫
0
2π
R
0
2 7 πR r sin θ (2 R − r )dr = 3
3 2 2 2
例2 计算
∫∫ xyzdS
Σ
∑:由x=0,y=0,z=0,x+y+z=1围成 的四面体的整个边界曲面 解
Σ = Σ1 + Σ 2 + Σ 3 + Σ 4
Σ1 Σ2 Σ3 Σ4
∫∫ xyzdS = ∫∫ xyzdS + ∫∫ xyzdS + ∫∫ xyzdS + ∫∫ xyzdS
∂z ∂z 于是 dS = 1 + + dσ ∂x ∂y
2
2
=
4 − x2 − y2 x2 y2 2 1− + 2 2
dσ
zdS 1 = ∫∫ 4 − x 2 − y 2 dσ ∫∫ ρ (x, y, z ) 4 D S