九年级数学解直角三角形1(1)

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解直角三角形(1)(知识讲解)九年级数学下册基础知识专项讲练(浙教版)

专题1.8解直角三角形（1）（知识讲解）【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.求∠A，(如∠A，a)，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.【典型例题】类型一、解直角三角形1．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=3 4则sin C=_______.【点拨】此题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数，求出BD是解本题的关键．举一反三：【变式1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边的中点，CD＝2，tan B＝3 4(1)求AD和AB的长；(2)求∠B的正弦、余弦值．【变式2】如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AD为∠BAC的平分线，且AD=2，AC解这个直角三角形．类型二、解非直角三角形2．如图，在ABC △中，6AB =，1sin 2B =，1tan 3C =，求ABC △的面积．1AD 举一反三：【变式1】如图，一艘货船以20n mile /h 的速度向正南方向航行，在A 处测得灯塔B 在南偏东40 方向，航行5h 后到达B 在北偏东60 方向，求C 处距离灯塔B的距离BC （结果精确到0.1，参考数据：sin 400.64≈ ，cos400.77≈ ，tan 400.84≈ 1.73≈）．【答案】65.4nmile【分析】过点B 作BH AC ⊥，在Rt △CBH 和Rt △BAH 中，根据三角函数的定义即可计算出C 处距离灯塔B 的距离BC ．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用，化为解直角三角形的问题是解题的关键．【变式2】如图，已知一居民楼AD 前方30m 处有一建筑物BC ，小敏在居民楼的顶部D 处和底部A 处分别测得建筑物顶部B 的仰角为19︒和41︒，求居民楼的高度AD 和建筑物的高度BC (结果取整数)．(参考数据:tan190.34︒≈，tan 410.87︒≈)【答案】居民楼的高度AD约为16米，建筑物的高度BC约为26米．【分析】通过作垂线，构造直角三角形，分别在Rt△BDE和RtABC中，根据锐角三角函数的意义求出BC、BE，进而求出AD，得出答案．解：过点D作DE⊥BC于点E，则DE＝AC＝30，AD＝EC，由题意得，∠BDE＝19︒，∠BAC＝41︒，在Rt△ABC中，BC＝AC•tan∠BAC＝30×tan41︒≈26.1≈26，在Rt△BDE中，BE＝DE•tan∠BDE＝30×tan19︒≈10.2，∴AD＝BC−BE＝26.1−10.2＝15.9≈16．答：居民楼的高度AD约为16米，建筑物的高度BC约为26米．【点拨】考查直角三角形的边角关系，锐角三角函数，构造直角三角形利用锐角三角函数是解决问题的关键．类型三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积3．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝12，CD＝求AD的长．【答案】6【分析】延长DA交CB的延长线于E，根据已知条件得到∠ABE=90°，根据邻补角的定义得到∠EAB=60°，得到∠E=30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．解：延长DA交CB的延长线于E，∵∠ABC=90°，【点拨】本题考查了含30°角的直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，AB是长为10m，倾斜角为30°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度（结果保留整数）．【参考数据：sin65°＝0.90，tan65°＝2.14】【答案】大楼CE的高度是26m．【分析】作BF⊥AE于点F,根据三角函数的定义及解直角三角形的方法求出BF、CD即可.解：作BF⊥AE于点F．则BF＝DE．【变式2】一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为ABC ，点B 、C 、D 在同一条直线上，测得90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒，32cm AB =，75BDE ∠=︒，其中一段支撑杆84cm CD =，另一段支撑杆70cm DE =，(1)求BC 的距离；(2)求支撑杆上的E 到水平地面的距离EF 是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈ 1.732≈）【答案】(1)16cm (2)105cm【分析】（1）根据直角三角形中60°角解直角三角形即可；（2）如图作DG ⊥EF ，PQ EF ∥，证明EF =EG +QC +CP ，再分别运用解直角三角形求出EG 、QC 、CP 即可．∵DG ⊥EF ，AF ⊥EF ，PQ ∴DG ⊥PQ ，AF ⊥PQ ，∴四边形FPQG 是矩形，∴3sin 60842CQ CD =⋅︒=⨯∵75,60BDE BDQ ∠=︒∠=︒∴∠EDG =75°-60°=15°。

湘教版数学九年级上册4.4《解直角三角形的应用》(第1课时)教学设计

湘教版数学九年级上册4.4《解直角三角形的应用》（第1课时）教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级上册4.4《解直角三角形的应用》是本册教材中的一个重要内容。

在此之前，学生已经学习了直角三角形的性质、勾股定理等知识。

本节课主要让学生掌握解直角三角形的应用，即如何利用直角三角形的性质解决实际问题。

教材通过例题和练习题的形式，引导学生学会运用解直角三角形的方法解决生活中的问题，提高学生的数学应用能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直角三角形的概念和性质有一定的了解。

但是，他们在解决实际问题时，往往不知道如何将数学知识运用到具体情境中。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的数学应用能力。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握解直角三角形的应用方法，能够运用所学知识解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生解决问题的能力。

3.情感、态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

四. 教学重难点1.重点：解直角三角形的应用方法。

2.难点：如何将实际问题转化为直角三角形问题，并运用解直角三角形的方法解决。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生发现问题，提出解决方案。

2.启发式教学法：教师提问，引导学生思考，激发学生的求知欲。

3.合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题，培养团队合作精神。

六. 教学准备1.教师准备：教材、课件、黑板、直角三角板等教学工具。

2.学生准备：课本、练习本、直角三角板等学习工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的实际问题，如测量旗杆高度、房屋面积等，引导学生发现这些问题都可以通过解直角三角形来解决。

从而激发学生的学习兴趣，引入新课。

2.呈现（10分钟）教师展示教材中的例题，引导学生观察题干，分析问题。

然后，教师通过讲解，展示解直角三角形的步骤和方法。

初三数学利用三角函数解直角三角形含答案

解直角三角形中考要求知识要点模块一解直角三角形一、解直角三角形的概念根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形．二、直角三角形的边角关系如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳：（1）三边之间的关系：222a b c += (勾股定理) （2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒（3）边角之间的关系：sin cos ,cos sin ,tan a b aA B A B A c c b=====三、解直角三角形的四种基本类型（1）已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a )，由sin aA c=求出A ∠，则90B A ∠=︒-∠，b =；（2）已知斜边和一锐角(如斜边c ，锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，sin a c A =，cos b c A =；（3）已知一直角边和一锐角(如a 和锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，tan b a B =，sin ac A=；（4）已知两直角边(如a 和b )，求出c =tan aA b=，得90B A ∠=︒-∠．具体解题时要善于选用公式及其变式，如sin a A c =可写成sin a c A =，sin a c A=等．四、解直角三角形的方法解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据．五、解直角三角形的技巧及注意点在Rt ABC ∆中，90A B ∠+∠=︒，故sin cos(90)cos A A B =︒-=，cos sin A B =．利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题．cb CBA六、如何解直角三角形的非基本类型的题型对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化为四种基本类型求解；（1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；（2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是：①作垂线构成直角三角形；②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等．例题精讲【例2】如图所示，O 的直径4AB =，点P 是AB 延长线上的一点，过P 点作O 的切线，切点为C ，连接AC ．（1）若30CPA ∠=︒，那么PC 的长为．为O 的切线，tan303=︒的大小没有变化七、直角三角形中其他重要概念（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．（2）坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为h i l=，坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则tan hi lα==．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵．（3）方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图⑶．八、解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：（1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位．（一）仰角与俯角图(3)北图(2)图(1)俯角仰角视线视线水平线铅垂线30,400DCB CD ∠=︒=米)，测得A 的仰角为60︒，求山的高度AB ．【答案】作DE AB ⊥于E ，作DF BC ⊥于F ，在Rt CDF ∆中30400DCF CD ∠=︒=，米，1sin304002002DF CD =⋅︒=⨯＝(米)cos30400CF CD =⋅︒=米) 在Rt ADE ∆中，60ADE ∠=︒，设DE x =米， ∴tan 60AE x =︒⋅(米)在矩形DEBF 中，200BE DF ==米，在Rt 45ACB ACB ∆∠=︒中，，∴AB BC =， 200x +=，解得200x =，∴200AB AE BE =+=（）米【巩固】如图，某电信部门计划架设一条连结B C ，两地的电缆，测量人员在山脚A 地测得B C ，两地在同一方向，且两地的仰角分别为3045︒︒，，在B 地测得C 地的仰角为60︒，已知C 地比A 地高200米，且由于电缆的重力导致下坠，实际长度是两地距离的1.2倍，求电缆的长（精确到0.1米）【解析】过点C 作CH AD ⊥于H ，过B 作BE AH ⊥于E ，BF CH ⊥于F ，由题意得604530CBF CAH BAH ∠=︒∠=︒∠=︒，，200CH m =，设BC x =米，在Rt BFC ∆中，由cos BF CBF BC ∠=，sin CFCBF BC∠=1cos sin 2BF BC CBF x CF BC CBF =∠==∠=，，易得 FE D BCADCB AACH ∆是等腰直角三角形，所以200AH CH ==，从而12002002AE AH EH x BE FH =-=-==，，在Rt ABE ∆中，tan30BE AE =︒，由此得12002002x ⎫=-⎪⎝⎭，解得200146.4x =≈，根据题意，电缆的实际长度约为 146.4 1.2175.7⨯≈米【答案】175.7（二）坡度与坡角图所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O 的半径OC 所在的直线为对称轴的轴对称图形，A 是OD 与圆O 的交点．（1）请你帮助小王在下图中把图形补画完整；（2）由于图纸中圆O 的半径r 的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中1:0.75i =是坡面CE 的坡度），求r 的值．【答案】（1）图形补全如右图所示：O CA（2） ∵1:0.754:3i ==∴:4:3CH EH =在Rt CHE ∆中，5CE = ∴43CH EH ==， ∴437DH DE EH =+=+= 在Rt ODH ∆中，222HO DH OD += 即()()222477r r ++=+，解得83r =．（三）方向角【例8】如图，AC 是某市环城路的一段，AE BF CD ，，都是南北方向的街道，其与环城路AC 的交叉路口分别是A B C ，，．经测量花卉世界D 位于点A 的北偏东45︒方向、点B 的北偏东30︒方向上， 2AB km =，15DAC ∠=︒．（1）求B D ，之间的距离；（2）求C D ，之间的距离．【解析】（1）如图，由题意得，4530EAD FBD ∠=︒∠=︒，．∴ 451560EAC EAD DAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒． ∵ AE BF CD ∥∥， ∴ 60FBC EAC ∠=∠=︒． ∴ 30DBC ∠=︒．又∵ DBC DAB ADB ∠=∠+∠， ∴ 15ADB ∠=︒．∴ DAB ADB ∠=∠． ∴ 2BD AB ==．即B D ，之间的距离为2km ．（2）过B 作BO DC ⊥，交其延长线于点O 在Rt DBO ∆中，260BD DBO =∠=︒，．∴2sin 6022cos60DO BO =⨯︒===⨯︒ 在Rt CBO ∆中，30tan30CBO CO BO ∠=︒=⋅︒， ∴CD DO CO =-==km ）．即C D ，之间的距离为km 【答案】（1）之间的距离为2km ；（2）之间的距离为km ．332B D ，C D ，332和平路文化路中山路30°15°45°FEDCBA 和平路文化路中山路ABC DEF45°15°30°O【巩固】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220km 的B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20km ，风力就减弱一级，该台风中心现在以15km/h 的速度沿北偏东30︒方向往C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到四级，则称受台风影响．（1）该城市是否会受这次台风影响？请说明理由．（2）若受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间会有多长？（3）该城市受台风影响的最大风力是几级？【答案】⑴ 过A 作AD BC ⊥于D ，∵220AB =，30B ∠=︒， ∴110AD =由题意A 距台风中心不超过(124)20160-⨯=km 时，将会受到台风影响， ∴该城市会受到台风影响．⑵ 在BD 上取点E ，DC 上取点F ，使160AE AF ==，则由题意知：台风中心到达点E 时，该城市即开始受台风影响；台风中心到达点F 时，该城市即结束影响．由勾股定理得，DE∴EF =∵该台风中心以15km/h 的速度移动， ∴=． ⑶ 当台风中心位于D 时，A 市所受这次台风影响的风力最大，其最大风力为11012 6.520-=级（四）其它【例9】小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15︒的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全．他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75︒，如果拖把的总长为1.80m ，则小明拓宽了行路通道_________m ．(结果保留三个有效数字，参考数据：sin150.26︒≈，cos150.97︒≈)【解析】在Rt ABO ∆中，可求得cos15 1.80.97 1.75AO AB =⋅︒=⨯≈米，在Rt CDO ∆中，可求得sin150.468DO AB =⋅︒≈米 ∴ 1.750.468 1.28AD =-=米【答案】1.28米【巩固】如图１，一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上，梯子与地面的倾斜角α为60︒．（1）求AO 与BO 的长；（2）若梯子顶端A 沿NO 下滑，同时底端B 沿OM 向右滑行．① 如图2，设A 点下滑到C 点，B 点向右滑行到D 点，并且:2:3AC BD =，试计算梯子顶端A 沿NO 下滑多少米；② 如图３，当A 点下滑到'A 点，B 点向右滑行到'B 点时，梯子AB 的中点P 也随之运动到'P 点．若'15POP ∠=︒，试求'AA 的长．【答案】⑴ Rt AOB ∆中，90O ∠=︒，60α∠=︒∴30OAB ∠=︒，又4AB =米， ∴122OB AB ==米．sin 604OA AB =⋅==米 ⑵ 设2AC x =，3BD x =，在Rt COD ∆中，2OC x =，23OD x =+，4CD =根据勾股定理:222OC OD CD +=∴()()2222234xx ++=∴(213120x x +-=∵0x ≠∴13120x +-，∴x =2AC x == 即梯子顶端A 沿NO米 ⑶ ∵点P 和点P '分别是Rt AOB ∆的斜边AB 与Rt ''A OB ∆的斜边''A B 的中点∴PA PO =，'''P A P O = ∴PAO AOP ∠=∠，P A O A OP ''''∠=∠ ∴P A O PAO A OP AOP ''''∠-∠=∠-∠ ∴15P A O PAO POP '''∠-∠=∠=︒∵30PAO ∠=︒，∴45P A O ''∠=︒∴cos454A O A B '''=⨯︒==∴AA OA A O ''=-=米【例10】关于三角函数有如下的公式：sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-tan tan tan()(1tan tan 0)1tan tan αβαβαβαβ++=-⋅≠-⋅利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如图1图2图3tan 45tan 60tan105tan(4560)(21tan 45tan 60︒+︒︒=︒+︒===--︒⋅︒根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面实际问题：如图，直升飞机在一建筑物CD 上方A 点处测得建筑物顶端D 点的俯角α为60︒，底端C 点的俯角β为75︒，此时直升飞机与建筑物CD 的水平距离BC 为42米，求建筑物CD 的高．【解析】过点D 作DE AB ⊥于E ，依题意在Rt ADE △中，60ADE α∠=∠=︒，tan 60tan 60AE ED BC =⋅︒=⋅︒=．在Rt ACB △中，75tan75ACB AB BC β∠=∠=︒=⋅︒， ∵tan 45tan 30tan 75tan(4530)21tan 45tan 30︒+︒︒=︒+︒==-︒⨯︒∴42(284AB =⨯+=+∴8484CD BE AB AE ==-=+（米）【答案】建筑物的高为84米．课堂检测1．（2011•遵义）某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥，原设计天桥的楼梯长6AB cm =，45ABC ∠=︒，后考虑到安全因素，将楼梯脚B 移到CB 延长线上点D 处，使30ADC ∠=︒（如图所示）（1）求调整后楼梯AD 的长； βαDCBAE βαDCBAACB∠=．【解析】过点C作CD PB∥，则6045ACD BCD∠=︒∠=︒，所以6045105ACB∠=︒+︒=︒【答案】105°课后作业水坡CD 的坡度为2，坝高CF 为2m ，在坝顶C 处测得杆顶A 的仰角为30︒，D 、E 之间是宽为2m 的人行道，试问：在拆除电线杆AB 时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？请说明理由(在地面上，以点B 为圆心．以AB 的长为半径的圆形区域为危险区域)．【解析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，得矩形HBFC 连接DF∵21CF DF =，2CF =(m) ∴1DF =(m)∴2CF HB ==(m)，15HC BF ==(m) 在Rt AHC ∆中，tan3015tan30AH HC =⋅︒=⨯︒=，∵210.66(m)AB AH HB =+=≈ 12(m)BE BD ED =-=F E人行道DCB AFE人行道30︒H DCBA∴,AB BE∴不需将此人行道封上．【答案】不需将此人行横道封上。

沪教版(上海)九年级第一学期教案 25.3解直角三角形(1)

（3）用锐角三角比求出角.
预案：学生可能会用求，问你用的是原始数据吗？
学生用计算器算出b、∠A.
生答：
（1）取原避中，用正切容易出现误差.
（2）用 .
（3）正弦或余弦.
无弦用切.
学生练习.
1. ，
，
2．
.
3.
,
.
学生思考
学生计算器计算：
（6米）
预设：
（1）直角三角形中的等量关系；
（2）在解直角三角形时，除直角外，至少需要知道两个元素，并且至少一条是边，才能求出其它的元素．
我们已经掌握了直角的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，就可以由已知元素求未知元素．
问1：对于一个直角三角形，除直角外的五个元素中，至少需要知道几个元素，才能求出其它的元素？
问2：两个什么元素？两个元素都是角吗？
问３：为什么？一边一角可以吗？
归纳：在直角三角形中，利用以上关系式，知道其中除直角外的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素.这就是我们这堂课要学习的内容.
（3）十六字口诀．
联系实际、创设问题情境，激发学生的求知欲.
这三条关系是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．
这样的导语可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，激发了学生的学习热情．
解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立思考，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生分析比较各种方法中哪些较好，选一种板演．
板书：2.解直角三角形
（1）定义：由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.

解直角三角形(第1课时)(课件)-九年级数学下册同步精品课件(苏科版)

∴Leabharlann c＝＝≈34.9 .
°
B
A
c
35°
a
b=20
C
例题讲授
例2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5，b＝20.49 .
(1)求c的值(精确到0.01)；(2)求∠A、∠B的大小(精确到0.01°).
解：(1)在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
c＝ + ＝ + . ，
36.87
思考与探索
在Rt△ABC中，
(1)已知∠B和直角边AC，你能求出这个三角形的其他元素吗?
(2)已知AC和斜边AB，你能求出这个三角形的其他元素吗?
(3)已知∠A和∠B，你能求出这个三角形的其他元素吗?
B
知道其中哪些元素，可以求出其余的元素?
C
A
归纳总结
在Rt△ABC中，除直角外，还有a、b、c、∠A、∠B这5个元素.
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴ ∠B＝90°-∠A＝90°-30°＝60°.

∵ sinA＝，

∴ c＝＝
��°

＝10.
∵ tanB＝，

∴ b＝a ∙ tanB＝5 ∙ tan60°＝5 .
还可以利用勾股定理计算，
b＝ − ＝ − ＝ .
新知巩固
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，
c，由下列条件解直角三角形：
(1)∠B＝30°，a－b＝3 －3；
解：(1)在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠A
∠C的对边)
新知归纳
已知类型

青岛版-数学-九年级上册-教案2.5 解直角三角形的应用 (1)

二、课内探究（2）解答过程的思路：实际问题解直角三角形问题1、创设问题情景，引出新知：上海东方明珠塔于1994 年10 月1 日建成，出示图片，在各国广播电视塔的排名榜中，当时其高度列亚洲第一、世界第三．与外滩的“万国建筑博览群”隔江相望．在塔顶俯瞰上海风景，美不胜收．运用本章所学过的知识，能测出东方明珠塔的高度来吗？思考回答转化问题答案求出有关的边或角AB ECDA CDB四、思维扩展，举一反三五、巩固提高３、根据已知条件和所学知识，这种形状的图形能不能解？仿照例１根据下图和图中的已知，编写一道应用“解直角三角形”知识的题。

（要求叙述完整）例2、如图，河对岸有水塔AB 。

在C 处测得塔顶A的仰角为30°,向塔前进12m 到达D ，在D 处测得A 的仰角为45°，求塔高。

通过编写题目来加深学生对解直角三角形应用的理解与掌握，达到扩散思维的作用1、积极思考，踊跃回答，并计算结果。

2、四人小组讨论，给出结果。

450 3006米（自主探究，合作学习，采用小组合作的方法）教学程序教师活动学生活动一、学前准备二、自学探究1.指南或指北的方向与目标方向线构成小于900的角，叫做__ ____,如图：点A在点O的___________,点B在点O的南偏西45º或方向.2阅读课本80页中有关坡度的内容，说一说什么是坡角，什么是坡度或坡比，坡度与坡角的正切有什么关系? 请把重点知识写在下面.______________________________________________________________________________1、某地计划在河流的上游修建一条拦水大坝，大坝的横断面ABCD是梯形（如图），坝顶宽BC=6米，坝高25米，应水坡AB的坡度i=1：3，被水坡CD的坡度i=1：2.5.（1）.求斜坡AB和CD的长（精确到0.01米）；（2）.求拦水大坝的底面AD的宽.做一做，看谁做得快组内探索，交流推荐学生回答BC10米A D E5.6米i=1:2.5α β三、练习自测1.一名滑雪运动员从坡度为1：5的山坡上滑下，如果这名运动员滑行的距离为150米，那么他下降的高度是多少（精确到0.1米）？2.如上图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，根据图中数据，求：（1）.角α和β的大小（精确到1 ）（2）、坝底宽AD 和斜坡AB 的长（精确到0.1米） 3.入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位，一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A 处测得航标C 在北偏东60°方向上，前进100米到达B 处，又测得航标C 在北偏东45°方向上，如图9，在以航标C 为圆心，120米长为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？A 、B 两市相距100公里，在A 市东偏北30º方向，B 市的西北方向是一森林公园C ，方圆30公里.若在思考回答、推举同学讲解先独立解答，不会的相互帮助所思所想四、拓展延伸五、归纳小结A、B两市间修一条笔直的高速公路.它会不会穿过森林公园.1.这节课我的收获和疑问：___________________________我将____________________________________________________ ______解决我的困惑。

人教版初中数学九年级下册 28.2 解直角三角形课件1 【经典初中数学课件】

∠BCA=900, ∠CAB=300
∴BC=AB·sin∠CAB
=14·sin300=14×1/2=7
∴ ∠1=600
∠2=300
北
600
A
M C
1 2 150
B
东
在Rt⊿BCM中，BC=7 ∠CBM=∠2+150=450, ∴∠M=900- ∠CBM=450 ∴ CM=BC=7
B M C2 M B 2 C 7 2 7 2 72
Bα
Dβ
C
A
（三）练一练
如图所示，一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东
60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半
小时至B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯
塔M与渔船的距离是 (
)
A7. 2海里 B. 1海4 里2 C.7海里 D.14海里
解：作BC⊥AM，垂足为C.
在Rt⊿ABC中,AB=28×1/2=14
答：船与灯塔的距离为：7 2 海里
（四）挑战自我
【例 3】某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响. (1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由. (2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据：
回顾与思考
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= a,AC=b,AB=c,
则 sinA＝
，sinB=
，cosA=
，
cosB=
， tanA=
， tanB=

湘教版数学九年级上册4.3《解直角三角形》教学设计1

湘教版数学九年级上册4.3《解直角三角形》教学设计1一. 教材分析湘教版数学九年级上册4.3《解直角三角形》是本册教材中关于直角三角形知识的重要内容。

通过本节课的学习，学生能了解直角三角形的性质，掌握解直角三角形的方法，并能运用所学知识解决实际问题。

本节课的内容为后续学习勾股定理和三角函数等知识打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了锐角三角形和钝角三角形的性质，了解了三角形的分类。

在此基础上，学生需要进一步掌握直角三角形的性质，并学会解直角三角形。

此外，学生需要具备一定的观察能力、动手操作能力和逻辑思维能力，以便在学习过程中更好地理解和掌握所学知识。

三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能掌握直角三角形的性质，了解解直角三角形的方法，并能运用所学知识解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生动手操作能力、观察能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在生活中的应用。

四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形的性质，解直角三角形的方法。

2.教学难点：解直角三角形的灵活运用，解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置情境，引导学生观察、操作、思考，激发学生学习兴趣。

2.合作学习法：学生进行小组讨论、合作探究，培养学生团队合作精神。

3.启发式教学法：教师引导学生发现问题、分析问题、解决问题，培养学生的逻辑思维能力。

4.实践操作法：让学生动手操作，加深对知识的理解和记忆。

六. 教学准备1.教学课件：制作直角三角形的相关课件，包括图片、动画、例题等。

2.教学道具：准备直角三角形模型、三角板等道具，以便进行实物演示。

3.练习题：挑选一些有关直角三角形的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的直角三角形图片，如教室的黑板、楼梯的扶手等，引导学生关注直角三角形。

初三数学解直角三角形试题答案及解析

初三数学解直角三角形试题答案及解析1.一测量爱好者，在海边测量位于正东方向的小岛高度AC，如图所示，他先在点B测得山顶点A的仰角为30°，然后向正东方向前行62米，到达D点，在测得山顶点A的仰角为60°（B、C、D三点在同一水平面上，且测量仪的高度忽略不计）．求小岛高度AC（结果精确的1米，参考数值：，）【答案】53米.【解析】首先利用三角形的外角的性质求得∠BAD的度数，得到AD的长度，然后在直角△ADC 中，利用三角函数即可求解．试题解析：∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠BAD=∠ADC-∠B=60°-30°=30°，∴∠B=∠BAD，∴AD=BD=62（米）．在直角△ACD中，AC=AD•sin∠ADC=62×=31≈31×1.7=52.7≈53（米）．答：小岛的高度约为53米．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．2.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD=x．（1）求证：△ABC∽△BCD；（2）求x的值；（3）求cos36°-cos72°的值．【答案】(1)证明见解析；（2）；（3）．【解析】（1）由等腰三角形ABC中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD为角平分线求出∠DBC的度数，得到∠DBC=∠A，再由∠C为公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形BCD相似；（2）根据（1）结论得到AD=BD=BC，根据AD+DC表示出AC，由（1）两三角形相似得比例求出x的值即可；（3）过B作BE垂直于AC，交AC于点E，在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值，代入原式计算即可得到结果．试题解析：（1）∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°，∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD；（2）∵∠A=∠ABD=36°，∴AD=BD，∵BD=BC，∴AD=BD=CD=1，设CD=x，则有AB=AC=x+1，∵△ABC∽△BCD，∴，即，整理得：x2+x-1=0，解得：x1=，x2=（负值，舍去），则x=；（3）过B作BE⊥AC，交AC于点E，∵BD=CD，∴E为CD中点，即DE=CE=，在Rt△ABE中，cosA=cos36°=，在Rt△BCE中，cosC=cos72°=，则cos36°-cos72°=-=．【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质；3.黄金分割；4.解直角三角形．3.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，AD=3，cosB=3/5，则AC等于（）A．4B．5C．6D．7【答案】B.【解析】∵∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∴∠BAD+∠CAD=90°，∠BAD+∠B=90°，∴∠CAD=∠B，∴cos∠CAD=cosB=，在直角△ACD中，∵∠ADC=90°，AD=3，∴cos∠CAD=，∴AC=5．故选B．【考点】解直角三角形．4.在△ACB中，∠C=90°，AB=10，，，.则BC的长为（）A．6B．7.5C．8D．12.5【答案】A．【解析】∵∠C=90°，∴.又∵AB=10，∴.故选A．【考点】1.解直角三角形；2.锐角三角函数定义．5.已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）【答案】(1)10米；（2）19米.【解析】（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H，利用斜坡AP的坡度为1：2.4，得出AH，PH，AH的关系求出即可；（2）利用矩形性质求出设BC=x，则x+10=24+DH，再利用tan76°=，求出即可．试题解析：：（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴，设AH=5k，则PH=12k，由勾股定理，得AP=13k．∴13k=26．解得k=2．∴AH=10．答：坡顶A到地面PQ的距离为10米．（2）延长BC交PQ于点D．∵BC⊥AC，AC∥PQ，∴BD⊥PQ．∴四边形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH．∵∠BPD=45°，∴PD=BD．设BC=x，则x+10=24+DH．∴AC=DH=x-14．在Rt△ABC中，tan76°=，即，解得x=，即x≈19，答：古塔BC的高度约为19米．【考点】1.解直角三角形的应用-坡度坡角问题；2.解直角三角形的应用-仰角俯角问题．6.超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离(AC)为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC＝75°.(1)求B、C两点的距离；(2)请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？(计算时距离精确到1米，参考数据：sin 75°≈0.965 9，cos 75°≈0.258 8，tan 75°≈3.732，≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒)【答案】（1）112(米) （2）此车没有超过限制速度【解析】解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝75°，AC＝30，∴BC＝AC·tan ∠BAC＝30×tan 75°≈30×3.732≈112(米)．(2)∵此车速度＝112÷8＝14(米/秒)＜16.7(米/秒)＝60(千米/小时)∴此车没有超过限制速度．7.在△ABC中，若∠A、∠B满足|cos A－|＋＝0，则∠C＝________．【答案】75°【解析】∵|cos A－|＋＝0，∴cos A－＝0，sin B－＝0，∴cos A＝，sin B＝，∴∠A＝60°，∠B＝45°，则∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－45°＝75°.8.在△ABC中，∠C＝90°，，则（）．A．B．C．D．【答案】D．【解析】由sin A=，设∠A的对边是3k，则斜边是5k，∠A的邻边是4k．再根据正切值的定义，得tanA=．故选D．【考点】锐角三角函数．9.如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm.若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为cm.（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】2.7【解析】过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E.在△BOD中，∠BDO＝90°，∠DOB＝45°，∴BD＝OD＝2cm，∴CE＝BD＝2cm.在△COE中，∠CEO＝90°，∠COE＝37°，∵tan37°＝≈0.75，∴OE≈2.7cm.∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7 cm.10.如图，一段河坝的横截面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坝底宽AD.（i＝CE∶ED，单位：m）【答案】（7.5＋4）m【解析】解：作BF⊥AD于点F.则BF＝CE＝4m，在直角△ABF中，AF＝＝＝3m，在直角△CED中，根据i＝，则ED＝＝＝4m.则AD＝AF＋EF＋ED＝3＋4.5＋4＝（7.5＋4）m.11.如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°．则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果保留根号）【答案】（5+5-5）千米【解析】解：过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，∵AC=10，∠A=30°，∴DC=ACsin30°=5，AD=ACcos30°=5，在Rt△BCD中，∵∠B=45°，∴BD=CD=5，BC=5，则用AC+BC-（AD+BD）=10+5-（5+5）=5+5-5（千米）．答：汽车从A地到B地比原来少走（5+5-5）千米．12.在Rt△ABC中，若∠C=90°，cosA=，则sinA的值为（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A的值，再求出sinA的值即可．∵Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠A是锐角，∵cosA==，∴设AB=25x，BC=7x，由勾股定理得：AC=24x，∴sinA=.故选A．考点:同角三角函数的关系.13.如图，在△中，，，则△的面积是（）A．B．12C．14D．21【答案】A【解析】如图，作因为，所以.由勾股定理得.又，所以所以所以所以14.计算下列各题：（1）；（2）.【答案】（1）2 （2）【解析】解：（1）（2）15.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值为（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，设BC=3x，则AB=5x，∴AC=4x．∴cosB=．故选C．考点: 互余两角三角函数的关系.16.计算：【答案】-2.【解析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简、负整数指数幂以及绝对值等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．试题解析：考点: 实数的混合运算.17.若（为锐角），则=【答案】1.【解析】因为所以得,代入可得值为1【考点】正切和正、余弦函数的关系.18.如图所示，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是________【答案】.【解析】折叠后形成的图形相互全等，利用三角函数的定义可求出．根据题意，BE=AE．设CE=x，则BE=AE=8-x．在Rt△BCE中，根据勾股定理得：BE2=BC2+CE2，即（8-x）2=62+x2解得x=，∴tan∠CBE==考点:（1）锐角三角函数的定义；（2）勾股定理；（3）翻折变换（折叠问题）．19.（1）一个人由山底爬到山顶，需先爬450的山坡200ｍ，再爬300的山坡300ｍ，求山的高度（结果可保留根号）。

数学(青岛版)九年级上册课件：2.4解直角三角形(1)

青岛版数学九年级上册第二章第四节
解直角三角形（1）
学习目标
已知直角三角形的两个元素（至少一边）会解直角三角形。
知识回顾
A
在直角三角形中，我们把两个锐角、三条边称为直角三角形的五个元素. 图中∠A，∠B，a，b，c即为直角三角形的五个元素.
b
c
C
a
B
知识回顾
A
在直角三角形中，我们把两个锐角、三条边称为直角三角形的五个元素. 图中∠A，∠B，a，b，c即为直角三角形的五个元素.
（1）边之间的关系（2）角之间的关系（3）边角之间的关系
b
c
a b c
2 2
2
C （勾股定理）
a
B
∠A＋∠B＝90°
a sin A cos B , c
b cos A sin B , c
a tan A , b
b tan B , a
交流发现
图中∠A，∠B，a，b，c即为直角三角形的五个元素.
B a
A
思考：利用上面这些关系，必须已知几个元素，个元素(至少一个是边)
√ 一边一角 √
，
由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．
精讲点拨
例1 在Rt△ABC 中，已知∠C=90°，a = 17， c＝ 34．解这个直角三角形
分析：这是已知直角三角形的两边解直角三角形的问题．
2．在Rt△ABC 中，∠C = 90 °. (l)已知c = 15 ，∠ B = 60° ，求a ; (2)已知∠A＝45 ° ，a＝24 ，求b , c .
课堂小结
解直角三角形，只有下面两种情况：
（1）已知两条边（ 2）已知一边和一个锐角

初中数学《解直角三角形》知识全解

《解直角三角形》知识全解课标要求（1）理解直角三角形的五个元素。

（2）理解直角三角形边与角的关系，及锐角三角函数。

（3）会运用直角三角形的有关性质解决实际问题。

知识结构（1）在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形．（2）解直角三角形过程中一般要用到：①三边之间的关系；②两锐角之间的关系；③边角之间的关系．（3）直角三角形中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，求出其余三个元素．（4）四个实际问题介绍了解直角三角形的理论在实际中的应用．第一个实际问题用到正弦函数；第二个问题用到余弦函数；第三个问题用到正切函数；第四个实际问题要反复利用正弦函数．内容解析“解直角三角形”是在第一节“锐角三角函数”的基础上研究解直角三角形的方法及其在实际中的应用．通过设计的两个实际问题抽象成数学问题，从而引出解直角三角形的内容．教科书通过四个实际问题体现了正弦、余弦和正切这几个锐角三角函数在解决实际问题中的作用．我们采用将测量大坝的高度与测量山的高度相对比的方式，直观形象地介绍了“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的微积分的基本思想．重点难点本节内容的重点是理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；难点是通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受．教法导引全等三角形的有关理论对理解本节内容有积极的作用．在研究解直角三角形时，教科书通过探索得到结论：事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就确定下来了，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素，这个结论的获得实际上利用了直角三角形全等的有关理论，因为对于两个直角三角形，如果已知两个元素对应相等，并且其中有一个元素是边，那么这两个直角三角形全等，也就是已知一个直角三角形的除直角外的两个元素，其中至少有一个是边，这个三角形就确定下来，因此就可以利用这两个元素求出其余的元素．因此，利用三角形全等的理论，有利于理解解直角三角形的相关内容．教学中要注意加强知识间的相互联系，使学生的学习形成正迁移．学法建议解直角三角形在实际中有着广泛的作用，在将这些实际问题抽象成数学问题，并利用锐角三角函数解直角三角形时，离不开几何图形，这时往往需要根据题意画出几何图形，通过分析几何图形得到边、角之间的关系，再通过计算、推理等使实际问题得到解决．因此在本节教学时，要注意加强数形结合，在引入概念、推理论述、化简计算、解决实际问题时，都要尽量画图帮助分析，通过图形帮助找到直角三角形的边、角之间的关系，加深对直角三角形本质的理解．。

中考专题复习解直角三角形（含答案）

中考专题复习解直⾓三⾓形（含答案）中考数学专题解直⾓三⾓形第⼀节锐⾓三⾓函数1、勾股定理：直⾓三⾓形两直⾓边、的平⽅和等于斜边的平⽅。

2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直⾓，则∠A的锐⾓三⾓函数为(∠A可换成∠B)：定义表达式取值范围关系正弦(∠A为锐⾓)余弦(∠A为锐⾓)正切(∠A为锐⾓)(倒数)余切(∠A为锐⾓)3、任意锐⾓的正弦值等于它的余⾓的余弦值；任意锐⾓的余弦值等于它的余⾓的正弦值。

4、任意锐⾓的正切值等于它的余⾓的余切值；任意锐⾓的余切值等于它的余⾓的正切值。

5、30°、45°、60°特殊⾓的三⾓函数值(重要)三⾓函数30°45°60°116、正弦、余弦的增减性：当0°≤≤90°时，sin随的增⼤⽽增⼤，cos随的增⼤⽽减⼩。

7、正切、余切的增减性：当0°<<90°时，tan随的增⼤⽽增⼤，cot随的增⼤⽽减⼩。

第⼆节解⾓直⾓三⾓形1、解直⾓三⾓形的定义：已知边和⾓（两个，其中必有⼀条边）→求所有未知的边和⾓。

依据：①边的关系：；②⾓的关系：∠A+∠B=90°；③边⾓关系：（见前⾯三⾓函数的定义）。

2、应⽤举例：(1)仰⾓：视线在⽔平线上⽅的⾓；俯⾓：视线在⽔平线下⽅的⾓。

(2)坡⾯的铅直⾼度和⽔平宽度的⽐叫做坡度(坡⽐)。

⽤字母表⽰，即。

坡度⼀般写成的形式，如等。

把坡⾯与⽔平⾯的夹⾓记作(叫做坡⾓)，那么。

【重点考点例析】考点⼀：锐⾓三⾓函数的概念例1 如图所⽰，△ABC的顶点是正⽅形⽹格的格点，则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．255对应训练1．在平⾯直⾓坐标系中，已知点A（2，1）和点B（3，0），则sin∠AOB的值等于（）A．55B．52C．32D．12考点⼆：特殊⾓的三⾓函数值例2 计算：cos245°+tan30°?sin60°=．对应训练（2012?南昌）计算：sin30°+cos30°?tan60°．考点三：化斜三⾓形为直⾓三⾓形例3 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长．对应训练3．如图，在Rt △ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三⾓形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）考点四：解直⾓三⾓形的应⽤例4 黄岩岛是我国南海上的⼀个岛屿，其平⾯图如图甲所⽰，⼩明据此构造出该岛的⼀个数学模型如图⼄所⽰，其中∠B=∠D=90°，AB=BC=15千⽶，CD=32千⽶，请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和⾯积；（结果保留整数，参考数据2≈1.414，3≈1.73 ，6≈2.45）（2）求∠ACD的余弦值．对应训练6．超速⾏驶是引发交通事故的主要原因之⼀．上周末，⼩明和三位同学尝试⽤⾃⼰所学的知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离益阳⼤道的距离（AC）为30⽶．这时，⼀辆⼩轿车由西向东匀速⾏驶，测得此车从B处⾏驶到C处所⽤的时间为8秒，∠BAC=75°．（1）求B、C两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳⼤道60千⽶/⼩时的限制速度？（计算时距离精确到1⽶，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，3≈1.732，60千⽶/⼩时≈16.7⽶/秒）【聚焦中考】1．如图，在8×4的矩形⽹格中，每格⼩正⽅形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（）A．13B．12C．22D．32．把△ABC三边的长度都扩⼤为原来的3倍，则锐⾓A的正弦函数值（）A．不变B．缩⼩为原来的13C．扩⼤为原来的3倍D．不能确定3．计算：tan45°+ 2cos45°= ．4．在△ABC中，若∠A、∠B满⾜|cosA- 12|+（sinB-22）2=0，则∠C= ．5.校车安全是近⼏年社会关注的重⼤问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动⼩组设计了如下检测公路上⾏驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取⼀点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21⽶，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1⽶，参考数据：3=1.73，2=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千⽶/⼩时，若测得某辆校车从A到B⽤时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．6．如图，某校教学楼AB的后⾯有⼀建筑物CD，当光线与地⾯的夹⾓是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下⾼2⽶的影⼦CE；⽽当光线与地⾯夹⾓是45°时，教学楼顶A在地⾯上的影⼦F与墙⾓C有13⽶的距离（B、F、C在⼀条直线上）（1）求教学楼AB的⾼度；（2）学校要在A、E之间挂⼀些彩旗，请你求出A、E之间的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25）【备考真题过关】⼀、选择题1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则sinB的值是（）A．23B．35C．34D．452．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tanB的值是（）A．45B．35C．34D．433．如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB= 23，则BC的长为（）A．4 B．25C．181313D．1213134．2cos60°的值等于（）A．1 B．2C．3D．25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则sinB的值为（）A．12B．22C．32D．16．如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1．若OC∥BA，∠AOC=36°，则C( ）A．点B到AO的距离为sin54°B．点B到AO的距离为tan36°C．点A到OC的距离为sin36°sin54°D．点A到OC的距离为cos36°sin54°．7．在“测量旗杆的⾼度”的数学课题学习中，某学习⼩组测得太阳光线与⽔平⾯的夹⾓为27°，此时旗杆在⽔平地⾯上的影⼦的长度为24⽶，则旗杆的⾼度约为（）A．24⽶B．20⽶C．16⽶D．12⽶8．如图，某⽔库堤坝横断⾯迎⽔坡AB的坡⽐是1：3，堤坝⾼BC=50m，则应⽔坡⾯AB的长度是（）A．100m B．1003m C．150m D．503m1．如图，为测量某物体AB的⾼度，在D点测得A点的仰⾓为30°，朝物体AB⽅向前进20⽶，到达点C，再次测得点A的仰⾓为60°，则物体AB的⾼度为（）A．10⽶B．10⽶C．20⽶D．⽶2．⼩明想测量⼀棵树的⾼度，他发现树的影⼦恰好落在地⾯和⼀斜坡上，如图，此时测得地⾯上的影长为8⽶，坡⾯上的影长为4⽶．已知斜坡的坡⾓为30°，同⼀时刻，⼀根长为1⽶、垂直于地⾯放置的标杆在地⾯上的影长为2⽶，则树的⾼度为（）A．（6+）⽶B．12⽶C．（4﹣2）⽶D．10⽶3．如图，从热⽓球C处测得地⾯A、B两点的俯⾓分别是30°、45°，如果此时热⽓球C处的⾼度CD为100⽶，点A、D、B在同⼀直线上，则AB两点的距离是（）A．200⽶B．200⽶C．220⽶D．100（）⽶⼆、填空题9．在△ABC中∠C=90°，AB=5，BC=4，则tanA= ．10．tan60°= ．11．若∠a=60°，则∠a的余⾓为，cosa的值为．12．如图，为测量旗杆AB的⾼度，在与B距离为8⽶的C处测得旗杆顶端A的仰⾓为56°，那么旗杆的⾼度约是⽶（结果保留整数）．（参考数据：sin56°≈0.829，cos56°≈0.559，tan56°≈1.483）三、解答题13．如图，定义：在直⾓三⾓形ABC中，锐⾓α的邻边与对边的⽐叫做⾓α的余切，记作ctanα，即ctanα== ACBC，根据上述⾓的余切定义，解下列问题：（1）ctan30°= ；（2）如图，已知tanA=34，其中∠A为锐⾓，试求ctanA的值．14．⼀副直⾓三⾓板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠A=45°，AC=122，试求CD的长．15．为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某⾼速公路建设⼯程中需修隧道AB，如图，在⼭外⼀点C测得BC距离为200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的长．（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，3≈1.73，精确到个位）16.如图，某⾼速公路建设中需要确定隧道AB的长度.已知在离地⾯1500m，⾼度C处的飞机，测量⼈员测PABQ24.5°49°41°北东南西得正前⽅A 、B 两点处的俯⾓分别为60°和45°，求隧道AB 的长.17.如图，⾃来⽔⼚A 和村庄B 在⼩河l 的两侧，现要在A ，B 间铺设⼀知输⽔管道．为了搞好⼯程预算，需测算出A ，B 间的距离．⼀⼩船在点P 处测得A 在正北⽅向，B 位于南偏东24.5°⽅向，前⾏1200m ，到达点Q 处，测得A 位于北偏东49°⽅向，B 位于南偏西41°⽅向．（1）线段BQ 与PQ 是否相等？请说明理由；（2）求A ，B 间的距离．（参考数据cos41°＝0.75）练习作业：1. 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，根据表中的数据求其它元素的值：a b c ∠A ∠B 12 30° 4 45° 260°5 35 4 28 CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．3.计算ooo5sin 302cos60tan 45-－ oo o o2cos 45tan 30sin 45tan 60-+?4．如图所⽰，已知：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=443，?求△ABC的⾯积（结果可保留根号）．例5.已知：如图所⽰，在△ABC中，AD是边BC上的⾼，E?为边AC?的中点，BC=14，AD=12，sinB=45，求：（1）线段DC的长；（2）tan∠EDC的值．例6.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=10，AC=5，求sinB?sinC的值.。

九年级数学(13解直角三角形(1))教案

授课日期
课题
1.3解直角三角形（1）
教学目标
1、了解解直角三角形的定义；
2、会根据条件解直角三角形；
3、了解解直角三角形在图形中的应用.
重点
解直角三角形
难点
解直角三角形时的合理选式
教
学
过
程
一、引入
已知平顶屋面的宽度和坡顶的设计高度，求斜面钢条的长度和坡角 .
解：由可求得，再由tan = 可
②已知一角一边（或锐角的三角函数）
六、布置作业
作业本
反思
∠B=90 -50 =40 ;∵sinA= ∴ =AbsinA=3sin50
∵cosA= ∴ =ABcosA=3cos50 .即可求.
例2：如图，某市“平改坡”工程中一种坡屋顶的设计图.已知原平屋顶的宽度为10m，坡屋顶高度为3.5m.求斜面钢条的长度和坡角（长度精确到0.1m，角度精确到1 ）.
教
学
过
程
解：；tan =
近似值即可求得.
四、课内练习
1、如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠
（1）已知∠A和，则 =csinA; =ccosA;
（2）已知∠B和，则 = ; = ;△ABC的面积S= .
2、在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AC=6，BC=8.求∠B的三角函数值，并求出∠A，∠B的度数.
sinB= , cosB= ,tanB= .∠A，∠B的度数亦可求.
3、在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，根据以下条件解直角三角形（精确到1 ，第（4）小题除外）.
（1） =10，∠A=60 ；（2） = ， = ；
（3） =20，sinA= ; （4）求cos36 （不用计算器）

沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》(第1课时)教学设计

沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》（第1课时）教学设计一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了直角三角形的性质、锐角三角函数的概念和勾股定理的基础上进行学习的。

本节课的主要内容是让学生学会解直角三角形，并能运用解直角三角形的知识解决实际问题。

教材中通过丰富的实例，引导学生探究直角三角形的边角关系，培养学生的动手操作能力和解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直角三角形和锐角三角函数的概念有一定的了解。

但在解决实际问题时，还可能存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时进行引导和帮助。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握解直角三角形的方法，并能运用解直角三角形的知识解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、探究等活动，培养学生的动手操作能力和解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：让学生体验数学在生活中的应用，提高学生学习数学的兴趣。

四. 教学重难点1.教学重点：让学生掌握解直角三角形的方法，并能运用解直角三角形的知识解决实际问题。

2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为解直角三角形的问题，并运用相应的解决方法。

五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，引导学生自主探究解直角三角形的方法。

2.实例分析法：教师通过展示实例，让学生观察、操作，培养学生的动手操作能力。

3.小组合作法：学生分组讨论，共同解决实际问题，培养学生的合作意识。

六. 教学准备1.教师准备：教师需要准备相关的教学材料，如PPT、实例、习题等。

2.学生准备：学生需要预习相关内容，了解直角三角形的性质和锐角三角函数的概念。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，如测量旗杆的高度、计算建筑物的斜边长度等，引导学生思考如何解决这些问题。

6-16网课数学A学案(8.7一8.13)

8月7号初三数学学案（A）课题：解直角三角形（1）【预习检查】1.如图所示，一棵大树在一次强烈的台风中于地面10米处折断倒下，树顶落在离数根24米处。

问大树在折断之前高多少米?2．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，b=10，求a，c，∠A【目标展示】1.理解直角三角形中5个元素的之间关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.2.经历解直角三角形的过程，概括出解直角三角形的方法，提高分析问题、解决问题的能力.【新知研习】研习1：已知在Rt△ABC中，∠C为直角，在a、b、c、∠A、∠B这五个元素中，知道几个元素，就能求出其它未知元素？研习2：解直角三角形的依据是哪些？【典型例题】例题1．在Rt△ABC中，∠C =900，∠A =300，a=5，求b、c的大小.例2．在Rt△ABC中，∠C =900，a=10，c=20，请解此直角三角形【归纳总结】【巩固拓展】1．在Rt△ABC中，下列情况，三角形可解的是（）A.已知AC=3，∠C=900,B.已知∠C =900，∠B=300，C.已知∠C =900，∠B =600，BC=6,D.已知AC=42.已知△ABC中，AB＝24，∠B＝450，∠C＝600，AH⊥BC于H，则CH＝．3．已知在Rt△ABC中，∠C =900，b=32，c=4，求a 、∠A、∠B4.如图，△ABC中，BC=6，AC=63，∠A=30°，求AB的长.5.如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE=43，求△ABC的面积。

6.（2019•宿迁）如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是．【预习指导】解直角三角形（2）CA B8月8号初三数学学案（A ）课题：解直角三角形（2）1．如图，在Rt △ABC 中，a=6，b=63,解这个直角三角形.【目标展示】1.理解直角三角形中5个元素的关系,会运用勾股定理,直角三角形的2个锐角互余及锐角三角函数解有关多边形中的边角问题.2.经历解直角三角形的过程,概括出解多边形的方法,提高分析问题和解决问题的能力. 【新知研习】研习1：遇到在非直角三形中求边长时怎么办？研习2：什么叫做正多边形？什么叫做正多边形的半径？它的中心角怎么计算【典型例题】例1．如图，△ABC 中，BC=6，AC=63，∠A=30°，求AB 的长.【归纳总结】【巩固拓展】1. 一个正六边形的边长为4㎝，则这个正六边形的面积为_______.2.在⊿ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2，则BC= .3.在⊿ABC 中，∠C=90°，若sinA+sinB=57，a+b=28，求c4.如图，在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠A=60°∠D=∠B=90°，求这个四边形ABCD 的面积.5.一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°, ∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD 的长．【预习指导】锐角三角函数的简单应用（1）B DCAA BO 8月9号初三数学学案（A ）课题：锐角三角函数的简单应用（1）【预习检查】【预习检查】1．在Rt △ABC 中，其中∠C=90°，则sinA= ,cosA= ,tanA= . 2.小明在荡秋千,已知秋千的长度为2m, 求秋千升高1m 时,秋千与竖直方向所成的角度.【目标展示】1.通过具体的一些实例，能将实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系.2.经历由实际问题数学化过程，进一步体会三角函数在解决实际问题中的作用，要求学生掌握不断探索解决实际问题的方法和规律. 【新知研习】研习1：一个圆绕圆心旋转1周需m （min ）,那么它旋转了n(min)后的旋转角是多少？（m>n ）.【典型例题】例1．“五一”节，小明和同学一起到游乐场游玩.游乐场的大型摩天轮的半径为20m ，旋转1周需要12min .小明乘坐最底部的车厢（离地面约0.5m ）开始1周的观光，经过2min 后，小明离地面的高度是多少（精确到0.1m ）?思路点拨：设经过2min 后，小明从点B 到达点C 的位置，由题意知：弧BC 即为圆周长的1/6，作C D ⊥OB,垂足为D ，在Rt △COD 中，OC 与∠COD 已知，则OD 可求，进而可求得小明离地面的高度.例2. （1）在例1的条件下摩天轮启动多长时间后，小明离地面的高度将首次到达30.5m？（2）小明将有多长时间连续保持在离地面30.5m以上的空中？问：（1）“如何理解首次”（2）“引导学生去思考，此时在空中什么位置”，并画出图形.例3.经过多长时间后，小明离地面的高度将首次达到5m?经过多长时间后，小明离地面的高度将再次达到10.5m?【巩固拓展】1.如图，起重机的机身高AB为20m，吊杆AC的长为36m，•吊杆与水平线的倾角可以从30°转到80°，则这台起重机工作时吊杆端点C离地面的最大高度是，离机身的最远水平距离是．（精确到0.1m）2.单摆的摆长AB为90cm，当它摆动到A B′的位置时，∠BAB′=11°,问这时摆球B′较最低点B升高了多少？（精确到1cm ）【预习指导】锐角三角函数的简单应用（2）B'BAsin110.191,cos110.982,tan110.194︒≈︒≈︒≈8月10号初三数学学案（A ）课题：锐角三角函数的简单应用(2) 【预习检查】__________是仰角。

九年级同步第13讲：解直角三角形的应用(1)(教案教学设计导学案)

解直角三角形的应用是九年级数学上学期第二章第四小节的内容．本小节的学习重点在于理解仰角、俯角、方向角、坡度、坡角等概念，并能利用其解决实际问题．1、仰角与俯角在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角．【例1】如图，，FB// AC，从A看D的仰角是______；从B看D的俯角是______；从A 看B的______角是______；从D看B的______角是______．【难度】★【答案】；；仰；；仰；．【解析】考查仰角、俯角的基本定义．【例2】升国旗时，某同学站在离旗杆底部24米处行注目礼．当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角为30°．若双眼离地面1.5米，则旗杆的高度为______米．（用含根号的式子表示）【难度】★【答案】．【解析解：如图所示，AB为旗杆，CD为某同学．则，，，在中，，∴，∴，∴．【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角的理解．【例3】如图，两建筑物水平距离为a米，从点A测得点C的俯角为，测得点D的俯角为，则较低建筑物CD的高为（）A．a米B．（）米C．米D．米【难度】★【答案】D【解析】过C作CE⊥AB，垂足为E．由题意有：，，在中，，∴在中，，∴∴【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对俯角的理解．【例4】如图，河对岸有一座铁塔AB，若在河这边C、D处分别用测角仪器测得顶部A的仰角为30°、45°，已知CD = 30米，求铁塔的高．（结果保留根号）【难度】★★【答案】．【解析】解：由题意可得：，．设，则，在中，，∴，解得：．【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角的理解．【例5】如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为60°，看这栋高楼底部的俯角为30°，热气球与高楼的水平距离为120m，请问：这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m）【难度】★★【答案】277.1米．【解析】解：由题意可得：，，在中，，∴，∴．在中，，∴，∴．∴【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角、俯角的理解和运用．【例6】如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在相距8米的A、B两处测得点D和点C的仰角为45°和60°，且A、B、E三点在一条直线上，若BE = 15米，求这块广告牌的高度．（取，计算结果保留整数）【难度】★★【答案】3【解析】解：由题意可得：，，在中，，∴，∴在中，，∴，∴．∴．【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角的理解和运用．【例7】某高层建筑物图中AB所示，小明家住在高层建筑物附近的“祥和”大厦（图中CD所示），小明想利用所学的有关知识测量出高层建筑物AB的高度．他先在自己家的阳台（图中的Q点）测得AB的顶端（点A）的仰角为37°，然后来到楼下，由于附近建筑物影响测量，小明向AB方向走了84米，来到另一座高楼的底端（图中的点P 处），测得点A的仰角为45°．已知点C、P、B在一条直线上，小明家的阳台距地面60米，请你画出示意图，并根据上述信息求出AB的高度．（参考数据：，，）【难度】★★★【答案】492米．【解析】过Q作AE⊥AB，垂足为E．解：由题意可得：，，，．设，则在中，，∴，∴．【总结】本题综合性较强，需要认真分析题目中的条件，然后利用锐角三角比解决实际问题．【例8】如图，为某小区的两幢10层住宅楼，由地面向上依次为第1层、第2层、…、第10层，每层的高度为3米，两楼间的距离AC = 30米．现需了解在某一时间段内，甲楼对乙楼采光的影响情况．假设某一时刻甲楼楼顶B落在乙楼的影子长EC= h，太阳光线与水平线的夹角为．（1）用含的式子表示h；（2）当= 30°时，甲楼楼顶B的影子落在乙楼的第几层？从此时算起，若每小时增加10°，约几小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光．（结果精确到0.01）【难度】★★★【答案】(1)；（2）第4层，6小时．【解析】解：(1)由题意可得：．过E作FE⊥AB，垂足为F．在中，，∴，∴．∴．（2）如图2，，∴∵若每小时增加10°，∴．∴需要1.5小时才能从30°到90°．【总结】本题综合性较强，需要认真分析题目中的条件，然后利用锐角三角比解决实际问题．1、方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°．【例9】如果由点A测得点B在北偏东15°的方向，则由B测点A的方向为（）A．北偏东15°B．北偏西75°C．南偏西15°D．南偏东75°【难度】★【答案】B【解析】考查方向角的定义．【例10】如图，小明从A地沿北偏东30°方向走米到B地，再从B地向正南方向走200米到C地，此时小明离A地_____米．【难度】★【答案】100．【解析】解：由题意可知：在中，，∴，∴，．∴．∴．【总结】本题主要考查对方位角的准确理解和运用．【例11】如图，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B 地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）A．30海里B．40海里C．50海里D．60海里【难度】★【答案】B【解析】解：∵，∴为等边三角形．∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．【例12】在位于O处某海防哨所的北偏东60°相距6海里的A处，有一艘快艇正向正南方向航行，经过一段时间快艇到达哨所东南方向的B处，则A、B间的距离是______海里．（精确到0.1海里，，）【难度】★★【答案】5.5．【解析】解：由题意可知：，，在中，，∴，∴，．∴．∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．【例13】如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，请问，此时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.01海里，，）【难度】★★【答案】130.23．【解析】解：在中，，∴，∴在中，，∴，∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．【例14】如图，A、B为湖滨的两个景点，C为湖心一个景点．景点B在景点C的正东方向，从景点A看，景点B在北偏东75°方向，景点C在北偏东30°方向．一游客自景点A驾船以20米/分的速度行驶了10分到达景点C，之后又以同样的速度驶向景点B，该游客从景点C到景点B需用多长时间？（，精确到1分）【难度】★★【答案】27分．【解析】过A作AD⊥BC的延长线于D．由题意可得：，，．在中，，∴，∴，在中，，∴，∴∴∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．【例15】如图，某船以36海里/时的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．（1）试说明点B是否在暗礁区域外？（2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．【难度】★★【答案】（1）B在暗礁区外；（2）有危险．【解析】解：（1）由题意可得：，，．∴，∴∴∴B在暗礁区外．（2）在中，，∴，∴∴若继续向东航行有触礁危险．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题，注意在触礁问题中的最小距离指的是垂直距离．【例16】如图，AC是某市环城路的一段，AE、BF、CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A、B、C．经测量，花卉世界D位于点A的北偏东45°方向、点B的北偏东30°方向上，AB = 2千米，．（1）求B、D之间的距离；（2）求C、D之间的距离．【难度】★★【答案】（1）2；（2）．【解析】解：(1)由题意得：，．∵∴∴∵∴∴∴(2)∵∴∴过C作CG⊥BD，垂足为G在中，，∴，∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题，要注意认真分析题意．【例17】如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼，甲船以每小时千米的速度沿北偏西60°的方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进，甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船加快速度（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇．（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？（2）求甲船加快速度后，追赶乙船时的速度？（结果保留根号）【难度】★★★【答案】（1）4小时；（2）．【解析】解：由题意可得：，，，．在中，，∴，∴，∴，，．∴（1）；（2）．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题，要注意认真分析题意．【例18】如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点A到航线l的距离为2千米，点B位于点A北偏东60°方向且与点A相距10千米处．现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5分钟后该轮船行至点A正北方向的点D处．（1）求观测点B到航线l的距离；（2）求该轮船航行的速度．（结果精确到0.1千米/时）（参考数据：，，，）【难度】★★★【答案】（1）3；（2）40.4．【解析】解：（1）由题意有：，．在中，，，∴．(2)在中，，∴，∴．∴．∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题，要注意认真分析题目中给出的条件．1、坡度（坡比）、坡角在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即．坡度通常写成1 : m的形式，如．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作．坡度i与坡角之间的关系：．【例19】某人沿着坡度为3 : 4的斜坡前进了10米，则他所在的位置比原来的位置升高______米．【难度】★【答案】6．【解析】考查坡度的定义．【例20】某铁路路基的横断面是等腰梯形，其上底为10米，下底为13.6米，高1.2米，则腰面坡角的正切值为______．【难度】★【答案】．【解析】考查等腰梯形双高的辅助线．【例21】如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC为2米，则两树间的坡面距离AB为（）A．4米B．米C．米D．米【难度】★【答案】C【解析】考查坡角的定义．【例22】如图，燕尾槽的横断面中，槽口的形状是等腰梯形，其外口宽AD = 15毫米，槽的深度为12毫米，的正切值为，则它的里口宽BC = ______．【难度】★★【答案】33毫米．【解析】考查等腰梯形双高的辅助线．【例23】河堤横断面是梯形，上底为4米，堤高为6米，斜坡AD的坡度为1 : 3，斜坡CB的坡角为45°，则河堤横断面的面积为______平方米．【难度】★★【答案】96．【解析】考查坡角的基本定义．【例24】如图，一个大坝的横断面是一个梯形ABCD，其中坝顶AB= 3米，经测量背水坡AD= 20米，坝高10米，迎水坡BC的坡度i= 1 : 0.6，求迎水坡BC的坡角的余切值和坝底宽CD．【难度】★★【答案】；．【解析】过A、B作AE⊥CD，BF⊥CD．由题意可得：，，∴．在中，，∴，∴．在中，，∴．【总结】本题主要考查坡脚和坡比的概念．【例25】如图，某村开挖一条长1600米的水渠，渠道的横断面为等腰梯形，渠道深0.8米，下底宽1.2米，坡度为1 : 1．求一共挖土多少立方米？【难度】★★【答案】2560．【解析】，．【总结】考查等腰梯形双高辅助线的做法和坡度的基本定义．【例26】如图，小杰发现垂直地面的旗杆AB的影子落在地面和斜坡上，影长分别为BC和CD，经测量得BC=10米，CD=10米，斜坡CD的坡度为，且此时测得垂直于地面的1米长标杆在地面上影长为2米，求旗杆AB的长度．（答案保留整数，其中）【难度】★★【答案】13．【解析】解：延长AD和BC交于点E，过D作DF⊥BE．由题意可知：，．在中，，∴．设，，则，∴．∴，．在中，，∴，∴在中，，∴，∴．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题．【例27】如图，斜坡的坡度为，坡长为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B 的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度．（结果精确到1米）（参考数据：，，）【难度】★★【答案】（1）10；（2）19．【解析】解：延长BC交PQ于点E，过A作AD⊥PQ由题意可知：，．在中，，∴．设，，则，∴．∴，．在中，，∴设，，在中，，∴，∴．∴．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题．【例28】如图，某堤坝的横截面是梯形ABCD，背水坡AD的坡度i为1 : 1.2，坝高为5米．现为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽1米，形成新的背水坡EF，其坡度为1 : 1.4，已知堤坝总长度为4000米．（1）求完成该工程需要多少立方米的土？（2）该工程由甲、乙两个工程队同时合作完成．按原计划需要20天．准备开工前接到上级通知，汛期可能提前，要求两个工程队提高工作效率，甲队工作效率提高30%，乙队工作效率提高40%，结果提前5天完成．问这两个工程队原计划每天各完成多少立方米？【难度】★★★【答案】（1）30000；（2）甲：1000；乙：500．【解析】由题意可知：，在中，，∴，∴．∴．在中，，∴，∴．∴．∴．∴．（2）设原计划甲工程队每天完成立方米，乙工程队每天完成立方米，则根据题意可得：，解得：．∴原计划甲工程队每天完成1000立方米，乙工程队每天完成500立方米．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题．【例29】如图所示，在风景区观测塔高时，塔的底部不能直接到达．测绘员从观景台（横截面为梯形）的底部沿坡面方向走30米到达顶部处，用测角仪（测角仪的高度忽略不计）在点处测得塔顶E的仰角是45°，沿方向走20米到达点处测得塔顶E的仰角是60°．已知坡面的坡度是，根据上述测量数据能否求出塔高？若能，请求出塔高（精确到1米）；若不能，说明还需测出哪些量才能求出塔高．【难度】★★★【答案】能，62米．【解析】由题意可知：，．．过B作BH⊥AD．在中，，∴．设，，在中，，∴，∴．∵，∴．∴．∴．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题，注意认真分析题目中的条件，分析清楚仰角分别指的是哪个角．【例30】如图，小智所住的楼房在一个不高的斜坡EF上，楼房旁边不远处有一棵笔直而垂直于水平地面BE的大树HD．小智想要测量这棵大树HD的高度．在下午的某个时刻，他观察到这棵大树树梢H的影子落在楼房的外墙面上的点G处．同时，他又观察到在大树旁边有一根笔直而垂直于水平地面BE的木柱AB，它在水平地面BE上的影子BC也清晰可见．小智通过测量得到以下一些数据：AB = 1.6米，BC = 3.2米，DE =7.2米，EF = 2.6米，斜坡EF的坡度i =1 : 2.4，FG = 1.6米．试求大树HD的高．【难度】★★★【答案】7.4米．【解析】解：由题意可得：，过F作FM⊥HD，过F作FN⊥DN在中，，∴．设，，∴则，∴．∴，．∴．在中，，∴，∴．∴．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题，注意认真分析题目中的条件．【习题1】某飞机在离地面1200米的上空测得地面控制点的俯角为60°，此时飞机与该地面控制点之间的距离是______米．【难度】★【答案】．【解析】考查俯角的定义．【习题2】一船在海上点B处沿南偏东10°方向航行到点C处，这时在小岛A测得点C 在南偏西80°方向，则______．【难度】★【答案】90°【解析】考查方向角的定义．【习题3】某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为米，则这个坡面的坡度为______．【难度】★【答案】1:2【解析】考查坡度的定义．【习题4】如图，已知楼房AB高50米，铁塔塔基距楼房房基间的水平距离BD = 50米，塔高DC为米，下列结论中，正确的是（）A．由楼顶望塔顶仰角为60°B．由楼顶望塔基俯角为60°C．由楼顶望塔顶仰角为30°D．由楼顶望塔基俯角为30°【难度】★★【答案】C．【解析】解：由图可知：，∴．在中，，∴．∴由楼顶望塔顶仰角为30°．【总结】本题主要考查利用已知条件解直角三角形，再利用锐角三角比的值求出角的度数．【习题5】A港在B地的正南千米处，一艘轮船由A港开出向西航行，某人第一次在B处望见该船在南偏西30°，半小时后，有望见该船在南偏西60°，则该船速度为______．【难度】★★【答案】40．【解析】解：在中，，∴，解得：．在中，，∴，解得：．∴，∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．【习题6】如图，一架飞机在高度为5千米的点A时，测得前方的山顶D的俯角为30°，水平向前飞行2千米到达点B时，又测得山顶D的俯角为45°，求这座山的高度DN．（结果可保留根号）【难度】★★【答案】米．【解析】解：由题意可得：，，，．设，则．∴，解得：，∴．【总结】本题主要考查利用仰角和俯角的有关概念解决实际问题．【习题7】小岛B正好在深水港口A的东南方向，一艘集装箱货船从港口A出发，沿正东方向以每小时30千米的速度行驶，40分钟后在C处测得小岛B在它的南偏东15°方向，求小岛B离深水港口A的距离．(精确到0.1千米)（参考数据：，，，，）【难度】★★【答案】38.6千米．【解析】解：由题意可得：，，．过C点作CD⊥AB．在中，，∴，解得：，∴．在中，，∴，解得：．∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．【习题8】如图，以水库大坝横断面是梯形ABCD，坝顶宽6米，坝高23米，斜坡AB 的坡度，斜坡CD的坡度．（1）求斜坡AB和坝底AD的长度；（2）若要把坝宽增加3米，同时背水坡AB的坡度由原来的1 : 3变为1 : 5，请求出大坝横断面的面积增加了多少平方米．【难度】★★【答案】（1），132.5；（2）598．【解析】解：由题意可得：，，，．在中，，∴，解得：．∴．∴，解得：．∴．（2）由（1）可得：．在中，，∴，∴．∴．∴．【总结】本题主要考查利用坡度来解决实际问题，注意对题目中条件的认真分析．【习题9】某城市规划期间，欲拆除河岸边的一根电线杆AB（如图），已知距电线杆AB 水平距离14米处是河岸，即BD= 14米，该河岸的坡面CD的坡比为1 : 2，岸高CF 为2米，在坡顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽2米的人行道，请你通过计算说明在拆除电线杆AB时，为确保安全，是否需要将此人行道封上？（在地面上以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域）【难度】★★★【答案】不需要将此人行道封上．【解析】解：由题意可知：，．在中，，∴，解得：，∴．∴．在中，，∴，解得：，∴．∴．∴不需要将此人行道封上．【总结】本题主要考查利用坡度来解决实际问题，注意对题目中条件的认真分析．【习题10】如图，小唐同学在操场上放风筝，风筝从A处起飞，一会儿便飞抵C处，此时，在AQ延长线B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上．（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求A、B之间的距离；（2）此时，在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°．若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC约为多长？（结果保留根号）【难度】★★★【答案】．【解析】解：（1）由题意可知：，，．在中，，∴，解得：，∵，∴．（2）由题意有：∴．过A作AE⊥BC，在中，，∴，解得：，在中，，∴，解得：．【总结】本题综合性较强，主要是利用已知条件，结合仰角和俯角的运用解直角三角形．【作业1】身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300米，250米，200米，线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放的风筝（）A．甲的最高B．乙的最低C．丙的最低D．乙的最高【难度】★【答案】D．【解析】由仰角的定义和解直角三角形可得：甲的风筝离地面150米，乙的风筝离地面米，丙的风筝离地面米．∵∴乙的风筝最高．【总结】本题主要考查方位角的概念以及特殊角的锐角三角比的值．【作业2】小明在东西方向是沿江大道A处，测得江中灯塔P在北偏东60°方向上，在A 处正东400米的B处，测得江中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到沿江大道的距离为______米．【难度】★【答案】．【解析】解：由题意可知：，．∴∴∴过P作PC⊥AB，垂足为C在中，，∴∴．【总结】本题主要考查方位角的概念及运用．【作业3】某人从地面沿着坡度的山坡走了100米，这时他离地面的高度是______米．【难度】★【解析】考查坡度的定义和解直角三角形．【作业4】如图，一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°的方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时到达B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°的方向，此时灯塔M与渔船的距离是（）A．14海里B．海里C．7海里D．海里【难度】★★【答案】D【解析】解：由题意有：，，．∴．过B作BC⊥AM，垂足为C在中，；在中，，∴．∴．【总结】本题主要考查利用方位角结合锐角三角比解决实际问题．【作业5】如图，在同一地面上有甲、乙两幢楼AB、CD，甲楼AB高10米，从甲楼AB 的楼顶测得乙楼CD的楼顶C的仰角为30°，从乙楼CD的楼顶C拉下的节日庆典条幅CE与地面所成的角为60°，这时条幅与地面的固定点E到甲楼B的距离为24米，求条幅CE的长度．【难度】★★【答案】米．【解析】解：由题意可知：，在中，，∴，∴．∴．【总结】本题主要考查利用仰角和俯角的相关概念结合锐角三角比解决实际问题．【作业6】如图，水坝的横截面是梯形，上底= 4米，坝高米，斜坡的坡比，斜坡的坡比．（1）求坝底的长；（结果保留根号）（2）为了增加水坝的抗洪能力，在原来的水坝上增加高度，使得水坝的上底米，求水坝增加的高度．（精确到0.1米，参考数据）【难度】★★【答案】（1）；（2）0.7米．【解析】解：（1）在中，，∴，∴．在中，，∴，∴．∴．(2)在中，，∴，在中，，∴，设，则，，∴．∴．∴．【总结】本题主要考查利用坡度和坡比的相关概念结合锐角三角比解决实际问题．【作业7】如图，某人在建筑物AB的顶部测得一烟囱CD的顶端C的仰角为45°，测得点C在湖中的倒影C1的俯角为60°，已知AB = 20米，求烟囱CD的高．【难度】★★【答案】米．【解析】解：由题意可得：，．过A作AE⊥CD，垂足为E．设，则．∵C和C1关于BD对称，∴．在中，，∴，∴．∴．【总结】本题主要考查利用俯角的相关概念结合锐角三角比解决实际问题，注意认真分析．【作业8】如图，一水渠的横断面是等腰梯形，已知其迎水斜坡AD和BC的坡度为1：0.6，现在测得放水前的水面宽EF为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为2.1米，求放水后水面上升的高度．【难度】★★【答案】放水后水面上升的高度为0.75米．【解析】解：由题意可知：四边形GEFH为等腰梯形．．过E作EM⊥GH，过F作FN⊥GH由等腰梯形的性质可得：．在中，，∴，∴．∴放水后水面上升的高度为0.75米．【总结】本题主要考查利用坡度和坡比的相关概念结合锐角三角比解决实际问题．【作业9】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．据气象观测，距沿海某城市的正南方向220千米的处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就减弱一级，该台风中心现在以每小时15千米的速度沿北偏东方向往移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到四级，则称受台风影响．（1）该城市是否会受这次台风影响？请说明理由．（2）若受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间会有多长？（3）该城市受台风影响的最大风力是几级？【难度】★★★【答案】（1）受影响；（2）；（3）6.5级．【解析】解：（1）会受到台风影响．过A作AD⊥BC．台风在移动时，距离A最近D处时，在中，110÷20=5.5；12-5.5=6.5；6.5超过4级，受台风影响．（2）当台风在移动，其与A距离是时开始受影响或结束影响．持续时间为．（3）由（1）可得：该城市受台风影响的最大风力是6.5级．【总结】本题主要考查对方位角的理解以及是否受影响的理解，解题时要认真分析题意．【作业10】如图，小明发现在小丘上种植着一棵香樟树AB，它的影子恰好落在丘顶平地BC和斜坡的坡面CD上．小明测得BC= 4米，斜坡的坡面CD的坡度为，CD=2.5米．如果小明同时还测得附近的一根垂直于地面的2米高的木柱MN的影长NP= 1.5米，求这棵香樟树AB的高度．【难度】★★★【答案】6.5米．【解析】解：由题意可得：．，设，，∴．∴，∴，，∴．在中，，∴，∴．【总结】本题综合性较强，考查的知识点比较多，要认真分析题意，并且熟练使用相似的性质以及通过锐角三角比解直角三角形的方法．。

湘教版数学九年级上册4.3《解直角三角形》说课稿1

湘教版数学九年级上册4.3《解直角三角形》说课稿1一. 教材分析湘教版数学九年级上册4.3《解直角三角形》是本册教材的重要内容之一。

在学习了锐角三角函数的基础上，进一步研究直角三角形的性质和解法。

本节课的主要内容有：了解直角三角形的定义和性质，掌握解直角三角形的方法，能运用解直角三角形解决实际问题。

通过本节课的学习，学生能更好地理解直角三角形在实际生活中的应用，提高解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了锐角三角函数的知识，具备了一定的数学基础。

但学生在解决实际问题时，往往不能灵活运用所学的知识。

针对这一情况，我在教学中应注重引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生解决实际问题的能力。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：了解直角三角形的定义和性质，掌握解直角三角形的方法，能运用解直角三角形解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，探索直角三角形的性质和解法，培养学生的观察能力和逻辑思维能力。

3.情感、态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在生活中的重要作用。

四. 说教学重难点1.教学重点：直角三角形的定义和性质，解直角三角形的方法。

2.教学难点：如何将直角三角形的解法应用于实际问题，灵活运用所学知识。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等，引导学生主动探究、积极参与。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型等，辅助教学，提高学生的学习兴趣和效果。

六. 说教学过程1.导入新课：通过展示生活中常见的直角三角形实例，引导学生关注直角三角形，激发学生的学习兴趣。

2.探索直角三角形的性质：让学生观察、分析直角三角形的特点，引导学生发现并归纳直角三角形的性质。

3.讲解解直角三角形的方法：结合实例，讲解解直角三角形的方法，让学生在实践中掌握解题技巧。

4.应用拓展：出示实际问题，让学生运用所学知识解决，提高学生解决实际问题的能力。

人教课标版九年级数学教案解直角三角形(一)

优质教案袁苏明一教学目标1．使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．2．通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3．渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．二、教学重点、难点1．重点：直角三角形的解法．2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．三、教学步骤(一)复习引入1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系sinA =；cosA =；tanA =；cotA =sinB =；cosB =；tanB =；cotB =如果用∠α表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成：sinα =；cosα =；tanα =；cotα =(2)三边之间关系a2 +b2 =c2 (勾股定理)(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．（二）教学过程问题：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50º≤α≤75º，(如图)，现有一个长 6m的梯子，问：(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1 m) ？(2) 当梯子底端距离墙面 2.4 m时，梯子与地面所成的角α等于多少(精确到1o) 这时人是否能够安全使用这个梯子？引导学生先把实际问题转化成数学模型；然后分析提出的问题是数学模型中的什么量；在这个数学模型中可用学到的什么知识来求未知量？问题(1)可归结为：在RtΔABC中，已知∠A = 75º，斜边AB = 6，求∠A的对边BC的长对于问题(2)可归结为：在RtΔABC中，已知AC = 2.4，斜边AB = 6，求锐角α的度数具体解答见书1．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)．(三)总结与扩展1．请学生小结：在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素．2．出示图表，请学生完成注：上表中“√”表示已知．。

九年级数学解直角三角形1

一声开始，静远和晓明相距100米起跑了。开始时静远的体制还很强，可是越到最后关头，静远的腿越觉得酸痛，浑身上下一点力气也没有了，喘着粗气，停了下来。晓明毫不费力的追上了静远，并且停在了她的身边。怎么？累了？现在停下来你可是要受罚的哟~他幸灾乐祸的说。静远已经没有力气再跑了，晓明轻而易举的跑到了终点。事业单位招聘考试网 / 晚上放学。静远想偷偷的溜回家，她可不想受到晓明的惩罚，于是，她小心翼翼的走出了校门，飞快地往自己家跑去。她边跑边回头，谁知一头撞在了一个人身上。抬头一看，静远吓得尖叫出来：啊！晓明正在目不转睛的看着她呢。静远咽了一口唾沫，硬硬的说了句：谁怕你啊？想罚我就罚呗，我不会屈服的！说着昂着头地被晓明带走了。到了晓明家，晓明叫静远站到大厅中间，静远冷笑着照做。晓明也冷笑了一下：一会看你还笑得出来？晓明一声令下：把裤子脱了！静远一愣，吓了一跳：怎么能这样呢？晓明立刻变了脸：不脱？静远把脸一横：不脱！晓明二话不说，上前去对准静远的屁股啪就是一脚，静远吓得哭了出来：别踢我！我我脱裤子！静远脱掉了外裤，晓明忍耐不住了，三下五除二的又把静远的内裤扒了下来。白白嫩嫩的光屁股看上去就让人想挥着巴掌打上几下，晓明把静远拉到自己膝盖上，啪啪啪啪连打在静远的左屁股上，静远咬着嘴唇不让自己在对手面前哭出来。晓明放下了手掌，围着静远的屁股自己地观看。这让静远感到无比的羞耻，她下意识的捂住了自己的屁股，晓明生气了，从衣柜里抽出一把长1米，宽4厘米，厚4厘米的木板，对准静远的左屁股，啪啪啪啪啪啪啪啪啪啪啪啪啪连抽了20多下。静远忍不住哭了出来：求求你，别打我了，我．疼！哪里疼？晓明明知故问。屁．屁股疼．谁的屁股疼？晓明一边饶有兴趣的问，一边继续抽打着静远的左瓣屁股。我我的屁股疼极了。晓明哈哈的笑了出来。叫你自不量力地跟我比跑步，今天我让你尝尝什么做疼痛！说完，晓明脱下了自己的脚上穿的皮鞋，静远见状，大呼小Байду номын сангаас：不！不要啊！我我错了．呜呜，我．我再也不敢跟你．跟你比了！晓明不管她的呼叫，拿起皮鞋底子先在静远的屁股上擦拭了几下，原本红彤彤的屁股上又多了一层灰。晓明抡起皮鞋，啪啪啪啪啪啪啪啪啪啪啪啪啪啪啪啪啪啪啪啪啪啪啪啪在静远的左屁股上连抽了100来下，静远哭得像个泪人，一边哭喊一边挣扎。你两边屁股轮流打吧！左屁股快受不了了啊！呜呜呜呜呜呜呜呜呜～可是晓明偏偏只打左屁股，右屁股就像块宝，碰都不碰一下。原本红彤彤的屁股经受了100来下的侵袭，变得肿了起来。晓明放开了静远。撅着光屁股给我站到墙角去下的光屁股！静远丝毫不敢怠慢，因为她明白，怠慢只能带来更多下光屁股。晓明从床头拾起一根柳条，走到静远身边，把静远的两瓣屁股向左右拉开，露出了屁股眼，晓明把柳条最粗的那一端伸放到静远的屁股眼里，命令静远拿着柳条的另一端，一伸一缩地插自己的屁股眼。静远憋红了脸，却不敢有丝毫的反抗，因为她明白，这里没有商量的余地。静远照做，晓明闲她做的不够用力，一把抢过柳条的一端，从静远的屁股眼里面抽了出来，啪啪啪啪啪啪啪啪又打起了光屁股。不知道什么叫做用力，我来教你！晓明继续抽打着静远的左光屁股，用力认真地打起了光屁板。静远哭得死去活来。我明白了，我明白了！晓明把柳条递给她，静远不敢偷懒了，使劲用力的插了进去。晓明满意的笑了，命令她继续插着，他走到了卧室里面，拿出了一把刷子，刷子的毛很软。晓明走到静远身边：听好了，我先在要用这把刷子在你的左屁股上轻轻的刷，会很痒的，不过你手里的柳条要是敢停下来一秒，我就叫你的屁股眼开花！说着拿起一根小棍使劲地在静远的屁股眼上打了一棍，以示警醒。晓明拿起刷子在静远的左屁股上刷了起来