三角形外角平分线定理

三角形外角平分线定理：三角形两边之比等于其夹角的外角平分线外分对边之比。

已知：如图8-5甲所示，AD是△ABC中∠BAC的外角∠CAF的平分线。

求证：BA/AC=BD/DC

思路1：作角平分线AD的平行线，用平行线分线段成比例定理证明。

证明1：过C作CE∥DA与BA交于E。则：BA/AE=BD/DC

∵∠DAF=∠CEA；（两线平行，同位角相等）

∠DAC=∠ECA；（两线平行，内错角相等）

∠DAF=∠DAC；（已知）

∴∠CEA=∠ECA；（等量代换）

∴ AE=AC；

∴BA/AC=BD/DC 。

结论1：该证法具有普遍的意义。

思路2：利用面积法来证明。

已知：如图8-5乙所示，AD是△ABC内角∠BAC的外角∠CAF的平分线。

求证：BA/AC=BD/DC.

证明2：过D作DE⊥AC于E，DF∥⊥BA的延长线于F；

∵∠DAC=∠DAF；（已知）

∴ DE=DF；

∵BA/AC=S△BAD/△DAC；（等高时，三角形面积之比等于底之比）BD/DC=S△BAD/△DAC ；（同高时，三角形面积之比等于底之比）∴BA/AC=BD/DC

结论：使用面积法时，要善于从不同的角度去看三角形的底和高。在该证法中，我们看△BAD和△DAC的面积时，先以BA和AC作底，而以DF、DE为等高。然后以BD和DC 为底，而高是同高，图中并没有画出来。你学会这种变换角度看问题的方法了吗？