洛必达法则失效的种种情况及处理方法

合集下载

使用洛必达法则应注意的问题

使用洛必达法则应注意的问题作者：尹丽高辉高胜哲来源：《吉林省教育学院学报·上旬刊》2014年第10期摘要：洛必达法则是求函数极限的一种简单方便的方法。

本文通过实例，对使用洛必达法则应注意的问题进行了分析。

关键词：洛必达法则；极限；等价无穷小；分析中图分类号：O171文献标识码：A文章编号：1671—1580（2014）10—0151—02洛必达法则是求函数极限的一种简单方便的方法，而求函数极限是高等数学的重要内容，也是研究微积分学的常用工具。

因此，正确灵活地使用洛必达法则，对学生学好高等数学这门课程，深入研究微积分学，都具有积极的意义。

本文通过实例，对使用洛必达法则应注意的问题进行了分析。

一、洛必达法则定理：设在某一极限过程中，函数f（x），g（x）满足条件：（1）limf（x）=0，limg（x）=0或limf（x）=∞，limg（x）=∞；（2）在该极限过程中，f′（x），g′（x）都存在且g′（x）≠0；（3）limf′（x）1g′（x）存在或为∞，则limf（x）1g（x）=limf′（x）1g′（x）法则当x→x0，x→x+0，x→x-0，x→∞，x→+∞，x→-∞时均成立。

二、正确理解洛必达法则使用的几个主要前提和结论1.求极限函数为010型，满足洛必达法则使用的前提，分子分母分别求导，得到limf′（x）1g′（x）的极限存在，可以使用洛必达法则的结论。

2.求极限函数为110型，不满足洛必达法则使用的前提，不适用洛必达法则。

3.求极限函数为∞1∞型，考虑用洛必达法则，分子分母分别求导，发现limf′（x）1g′（x）仍为∞1∞，继续使用洛必达法则，分子分母再次分别求导。

只要符合条件，洛必达法则可多次使用[1]。

三、使用洛必达法则可能遇到的问题例1[2]：limx→∞x+sinx1x错解：原式=limx→∞1+cosx11 ，极限不存在正解：原式=limx→∞x1x+sinx1x=1+limx→∞sinx1x=1分析：求极限函数为∞1∞型，使用洛必达法则，发现limf′（x）1g′（x）不存在，但不代表原式极限不存在。

洛必达法则的三个陷阱

洛必达法则的三个陷阱
洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。

众所周知，两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。

因此，求这类极限时往往需要适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算。

洛必达法则便是应用于这类极限计算的通用方法。

它的三个陷阱分别是：
1、求极限之前，先要检查是否满足0/0或∞／∞型构型，不然滥用洛必达法则会出错。

当不存在时（不包括∞情形），就无法用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，得从另外途径求极限，例如利用泰勒公式去求解。

2、洛必达法则是求未定式极限的有效工具，如果只用洛必达法则，往往计算比较繁琐，可以与其他方法相结合。

3、洛必达法则常用于求不定式极限，可以通过相应的变换转换成两种基本的不定式形式来求解。

洛必达法则三个条件

洛必达法则三个条件1. 洛必达法则啊，它有三个条件呢。

这就像三把钥匙，少了一把都打不开那扇特定的数学大门。

第一个条件是，在自变量趋于某值时，分子分母的极限都得是零或者无穷大。

比如说，求极限lim(x→0) (sinx)/x，当x 趋于0的时候，sinx趋于0，x也趋于0，这就符合第一个条件啦。

你看，这多像两个人同时走向一个神秘的起点，要一起满足这个特殊的开始条件呢。

2. 洛必达法则的第二个条件也很关键哦。

在这个极限趋近的过程中，分子分母得在那个值的去心邻域内可导。

啥叫去心邻域呢？就像给那个值周围画个圈，但是不包括那个值本身。

举个例子，像lim(x→1) (x² - 1)/(x - 1)，在x接近1的时候，分子分母在1的去心邻域内都是可导的。

这就好比一群小伙伴要去探险，在接近宝藏的那片区域得有特殊的能力（可导），这样才能继续探索下去呢。

3. 嘿，洛必达法则的第三个条件可不能忘。

分母的导数不能为零啊。

这就像一个规则，分母就像一个支撑的架子，要是这个架子的变化率（导数）为零了，那整个式子就乱套了。

就像lim(x→2) (x³ - 8)/(x - 2)²，分母的导数在x→2的时候不为零，这就符合第三个条件。

这就像一场比赛，分母这个“选手”得按照一定的规则来，不能有特殊的违规情况（导数为零）。

4. 洛必达法则的这三个条件啊，就像拼图的三块，缺了任何一块都拼不出完整的画面。

第一个条件里分子分母极限的那种共同趋向（零或者无穷大），就像是两个舞者同时迈着相同的步伐走向舞台中央。

比如lim(x→0) (tanx)/x，x趋于0时，tanx和x都走向那个神秘的零的状态。

你要是只看到一个舞者在动，另一个不动，那就不符合这个法则的第一个条件啦。

这是不是很神奇呢？5. 再看第二个条件，在自变量趋近的去心邻域内可导。

这就像在一片神秘的森林里，只有在特定的小区域内有特殊的能力（可导）才能继续前进。

为什么高考不允许用洛必达法则

为什么高考不允许用洛必达法则
高考不允许使用洛必达法则的原因有以下几个方面：
1.高考考察的是基础知识和运算能力。

洛必达法则是微积分中的一种计算方法，属于高等数学的内容。

高考是以中学数学为考试内容，不要求考生掌握高等数学知识。

考试要求考生对基础知识的理解和掌握，以及简单的运算能力。

2.时间限制。

高考是一个严格限时的考试，考生需要在有限的时间内完成一定数量的题目。

如果允许使用洛必达法则，会增加考生计算的复杂性和时间消耗，导致考试时间不够用，影响其他题目的完成。

3.考察能力综合性。

高考除了考察基础知识和运算能力，还涉及到对知识的灵活运用和解决问题的能力的考察。

使用洛必达法则可以在一些情况下简化计算，但也容易让考生陷入机械套用公式的局限中，无法真正理解问题的本质和解决问题的思路。

4.高考考察的是学生对基础知识的理解和掌握。

洛必达法则是微积分中的一种计算方法，需要基于对微积分基本概念的理解和掌握才能正确应用。

高考的目标是考察学生对于中学数学的基本概念和方法的理解和掌握程度，不是考察学生是否能应用高等数学的方法。

5.高考公平性。

高考是一个公平竞争的考试，考生应该在公平的条件下进行考试。

如果允许使用洛必达法则，那些在课外拓展学习中有机会接触过高等数学知识的学生就会在计算上得到额外的优势，而大部分学生在中学阶段很难接触到这些知识。

综上所述，高考不允许使用洛必达法则是因为考察的是基础知识和运算能力，考试时间有限，需要考察能力综合性，要考察学生对基础知识的理解和掌握，以及保持考试的公平性。

洛必达法则应用条件

洛必达法则应用条件
洛必达法则是一个数学原理，用于判断极限存在与否。

在应用洛必达法则时，需要满足以下条件：
1. 极限形式为“0/0”或“∞/∞”：洛必达法则只适用于这两种形式的极限。

如果极限形式不是这两种情况，无法使用该法则。

2. 函数可导：洛必达法则要求函数在极限点附近是可导的。

如果函数在这个区间内不可导，无法使用该法则。

3. 适用于函数的极限点：洛必达法则只适用于函数在某个特定点的极限。

如果需要计算函数在无穷远点的极限，不能使用该法则。

4. 对于一元函数，考虑自变量趋近于某个点的情况：洛必达法则适用于一元函数的极限计算。

当自变量趋近于某个点时，可使用该法则判断极限存在与否。

5. 满足洛必达法则的条件：为使用洛必达法则，我们需要对函数的分子和分母分别求导，并检查导函数的极限是否存在。

如果导函数的极限存在，并且极限值不为零，则可以使用洛必达法则计算原函数的极限值。

总结起来，洛必达法则的应用条件包括极限形式为“0/0”或“∞/∞”，函数可导，考虑特定点附近的情况，对函数的分子和分母分别求导且导函数的极限存在且不为零。

使用洛必达法则可以解决一些复杂的极限问题，但在应用时需要谨慎判断条件是否满足，并注意计算的准确性。

洛必达法则的使用分析

达法则的条件充分不必要 ;同时随时观察分子分母是否是00型或 ∞∞型 ,不是
0 型或 0
∞∞型的极限 ,切勿使用洛必达法则.
例 1 lim x + sinx x→ + ∞x - sinx
∞∞型
= lim 1 + cosx (不存在 ) . x→ + ∞1 - cosx
这个例子中分子分母为
∞ ∞,
例 2 lim x→ + ∞
x 1 + x2
∞∞型
= lim x→ + ∞ (
( x) ′ = lim 1 + x2 ) ′ x→ + ∞
2
1 2x 1 + x2
= lim x→ + ∞
1 + x2 x
∞∞型
( = lim
x→ + ∞
1 + x2 ) ′ ( x) ′
2x
= lim 2 x→ + ∞
在高等数学中洛必达法则是利用柯西中值定理推导出
的一个重要结论 ,是求不定式
0 0
型或
∞∞型极限的简单而有
效的法则 ,是与高等数学有关的各种考试的考点. 因此 , 我
们有必要对洛必达法则的使用进行全方位的分析思考.
一、洛必达法则及其解决极限的类型
11如果当 x→x0 时 , 函数 f ( x)与 g ( x)都是无穷小量 ,
利用一次洛必达法则后极
限虽然不存在 ,但原分式的极限却是存在的 :
1 + sinx
lim x + sinx = lim
x = 1.
x→ + ∞x - sinx
x→ + ∞
1-

洛必达法则5种常见错误

洛必达法则使用中的5种常见错误求极限是微积分中的一项非常基础和重要的工作。

在建立了极限的四则运算法则，反函数求导法则，以及复合函数极限运算法则和求导证明之后，对于普通的求极限问题，都可以通过上述法则来解决，但是对于形如：000,1,,0,,,00∞∞∞⋅∞−∞∞∞（其中后面3种可以通过A e A ln =进行转换）的7种未定型，上述法则往往显得力不从心，而有时只能是望尘莫及。

17世纪末期的法国数学家洛必达给出了一种十分有效的解决方案，我们称之为洛必达法则（L,Hospital Rule）。

虽然这个法则实际上是瑞士数学家约翰第一.伯努力在通信中告诉洛必达的。

在使用洛必达法则解题过程中，可能会遇到的一些常见误区和盲点。

本文的目的不是为了追求解题技巧，而是为了培养一种好的解题习惯。

以减少在用洛必达法则解题过程中可能出现的失误。

█失误一不预处理例1错误：−∞=−⋅⋅=′⋅′=+++→→→1(1lim )(lim lim 2101010x e e x xe x x x x x x 正确：+∞=′′⋅==+++→→→)1()1(lim 1lim lim 101010x x e x e xe x x x x xx █失误二急躁蛮干例：错解21126lim 2126lim 42633lim 34223lim 112212331==−=−−−=+−−+−→→→→x x x x x x x x x x x x x x 正确解：532126lim 42633lim 34223lim 12212331=−=−−−=+−−+−→→→x x x x x x x x x x x x x 例2：错解122sin cos cos cos lim cos sin sin lim sin cos lim 000==−++=++=−=→→→x x x x x e x x x x e x x x e x x x x x x 正确解：∞=++=−=→→xx x x e x x x e x x x x cos sin sin lim sin cos lim 00更好的解法：∞=+=−=−=→→→x x e x x e x x x e x x x x x x 2sin lim cos lim sin cos lim 0200经验：先考虑无穷小代换(与“0”结合)，后考虑洛必达法则上面的例子启发我们，在应用洛必达法则之前要进行预处理，以简化计算例3402220220)cos (sin sin lim cos sin sin lim )1(2sin 21cos 1lim2x x x x x x x x x x x e x x x x x x x x −=⋅−=−−−→→→＝313sin lim cos sin lim 2030==−→→x x x x x x x x x █失误三对离散点列求导例4求n n n+∞→lim 错解：属于0∞型，先进行变形1lim lim lim 011lim ln lim ln 11======+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→e e e e n n nn n n n n n n n n n n 错误原因：n n n f =)(是离散的点列，是一系列孤立的点，连续都谈不上，更不用说可导。

洛必达法则失效的情况

洛必达法则失效的情况
洛必达法则是微积分中的基本法则之一。

它指出，当自变量趋近于某个特定值时，被
积函数趋近于一个固定的极限值。

然而，在某些情况下，洛必达法则并不适用，因为其基
本假设可能没有得到满足。

本文将讨论洛必达法则失效的情况。

1. 函数不连续
如果一个函数在某个点不连续，那么在该点使用洛必达法则就会失效。

在这种情况下，我们需要使用其他方法来计算该点的极限。

例如，考虑函数$f(x)=\frac{\sin(x)}{x}$。

当$x=0$时，该函数在$x=0$处不连续，
因为$f(0)$是一个未定义的形式。

因此，我们不能使用洛必达法则来计算$f(x)$在
$x=0$处的极限。

相反，我们需要使用泰勒级数来计算此处的极限。

2. 函数形式复杂
有时我们会遇到函数形式非常复杂的情况。

在这种情况下，使用洛必达法则并不方便，因为我们需要对分子和分母同时求导。

这样的计算可能很困难或耗时很长，尤其是当函数
的形式非常复杂时。

例如，考虑函数$f(x)=\frac{e^{x^2}\sin(\sqrt{x})}{x^3+1}$。

在这种情况下，使
用洛必达法则显然是不切实际的。

相反，我们可以考虑使用泰勒级数或长除法等技巧，来
计算该函数在某个特定点的极限。

3. 极限不存在
综上所述，洛必达法则是微积分中非常重要的基本法则之一，但它并不适用于所有情况。

在某些情况下，我们需要使用其他方法来计算函数的极限值。

洛必达法则失效的种种情况及处理方法

《高数解题的四种思维定势》1．在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。

2．在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。

3．在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。

4．对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。

《线性代数解题的八种思维定势》1．题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E 。

2．若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。

3．若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。

4．若要证明一组向量a1,a2,…,as线性无关，先考虑用定义再说。

5．若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。

6．若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。

7．若已知A的特征向量ζ0，则先用定义Aζ0=λ0ζ0处理一下再说。

8．若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。

关于可积和原函数存在如下三种情况可积，是充分条件1。

闭区间上的连续函数是可积的2。

只有有限个第一类间断点的函数是可积的，也就是分段连续函数是可积的3。

单调有界函数必定可积不满足以上三条的也可能是可积的，上面的是充分条件另外，关于原函数是否存在在某个区间上有第一类的函数，则在这个区间上一定不存在原函数在某个区间上有第二类间断点的函数，则在这个区间上有可能有原函数，也可能没有最后，可积和是否有原函数，说的不是一个事情，这个要记住了可积大概的理解，就是图形和x轴围成的面积是存在的，不是无穷大的原函数，就是有这样一个函数，可以表达块面积显然，面积存在的时候，是不一定有这样一个函数的关于合同，相似，等价的关系1、两个矩阵合同，并不需要他俩一定是对称矩阵！2、俩个实对称矩阵合同的充要条件是它俩必然具有相同得正负惯性指数；3、不是实对称的俩矩阵合同，根本无从讨论它俩的什么正负惯性指数——因为二次型的矩阵一定是实对称矩阵，也只有实对称矩阵对应的二次型才有所谓正负惯性指数这一概念！呵呵^_^4、两个矩阵合同，一定推出它俩等价；两个矩阵相似，也一定推出它俩等价；两矩阵相似与两矩阵合同谁也不比谁更强！5、如果两矩阵有相同的秩，且为同型矩阵，那么两矩阵等价6、两个实对称矩阵相似，可推出两个矩阵合同，但合同不能推出相似关于偏导，可微1。

罗必达法则求极限的应用及误区

罗必达法则求极限的应用及误区通过例题展示了罗必达法则求极限的重要应用，并说明了罗必达法则在使用过程中与其他方法的配合及多种方法的灵活运用。

同时指出了罗必达法则的不足之处——会失效，及罗必达法则失效时的方法选择问题。

标签：罗必达法则;应用;不足G4在求00型与∞∞型未定式的极限中，罗必达法则可谓立下了汗马功劳。

它不仅简化了求未定式极限的方法，也使得很多复杂的未定式极限问题得解。

但对于某些问题看似可以用罗必达法则解答的，最后却走入了死胡同里。

说明罗必达法则在解决未定式极限的问题上不是万能的，也有不足之处。

本文将通过相关例题带大家领略罗必达法则的奇妙之处，并寻找解决其不足之处的方法。

1 罗必达法则的应用学过高等数学的人都知道，罗必达法则是用导数的方法来求未定式极限的非常重要的定理。

它是针对00型和∞∞型未定式的求解方法。

下面举例说明罗必达法则的使用方法。

例1 求limx→1x3-3x+2x3-x2-x+1（00型未定式，使用罗必达法则求解）解：原式=limx→13x2-33x2-2x-1（还是00型未定式，继续使用罗必达法则）=limx→16x6x-2（代入求极限）=32说明：罗必达法则可以在求极限的过程中反复使用。

例2 求limx→0+lncotxlnx （∞∞型未定式，使用罗必达法则求解）解：limx→0+lncotxlnx=limx→0+1cotx·（-1sin2x）1x （整理）=-limx→0+xsinxcosx=-limx→0+xsinx·limx→0+1cosx （分离出特殊极限）=-1例3 求limx→0+3x-3sin3x（1-cosx）ln（1+2x）解：当x→0时，1-cosx～12x2，ln（1-2x）～2x，故limx→03x-sin3x（1-cosx）ln（1+2x）（先利用等价无穷小量代换将函数简化）=limx→03x-sin3xx3（再用罗比达法则解答）=limx→03-3cos3x3x2（再次使用罗比达法则）=limx→03sin3x2x=92说明：在使用罗必达法则的过程中，可以通过化简并灵活运用各种求极限的方法简化运算。

洛必达法则失效的种种情况及处理方法

洛必达法则失效的种种情况及处理方法今天我在看书时，看到这样一道题⎰+∞→x x x x x 0d sin 1lim，说是不可以使用洛必达法则，我对照这本书上关于使用洛必达法则的条件，觉得还不太清楚，好像应该是符合条件的，谢谢你抽空给我指点一下。

洛必达法则是计算极限的一种最重要的方法，我们在使用它时，一定要注意到该法则是极限存在的充分条件，也就是说洛必达法则)()(lim )()(limx g x f x g x f a x a x ''=→→的三个条件：（1）0)(lim =→x f a x （或∞），0)(lim =→x g a x （或∞）；（2）)(x f 和)(x g 在a x =点的某个去心邻域内可导；（3）A x g x f a x =''→)()(lim（或∞）。

其中第三个条件尤其重要。

其实，洛必达法则的条件中前两条是一望即知的，所以我们在解题过程中可以不用去细说，而第三个是通过计算过程的尝试验证来加以说明的，由于验证结束，结论也出来了，也就更加没有细说的必要了。

所以在利用洛必达法则解题过程中，往往只用式子说话，不必用文字来啰嗦的。

而对于极限问题⎰+∞→x x x x x 0d sin 1lim 来说，因为x x g x f x x sin lim )()(lim +∞→+∞→=''不存在（既不是某个常数，也不是无穷大），而可知洛必达法则的第三个条件得不到验证。

此时，我们只能说洛必达法则对本问题无效，绝对不能因此而说本问题之极限不存在。

实际上，我们利用“将连续问题离散化”的方法来处理，可以断定这个极限是存在的。

【问题】求极限⎰+∞→x x x x x 0d sin 1lim 。

【解】对于任何足够大的正数x ，总存在正整数n ，使ππ)1(+<≤n x n ，也就是说总存在正整数n ，使r n x +=π，其中π<≤r 0。

不是未定式不能用洛必达法则!

洛必达法则是求函数极限的一种重要方法. 在函数商的极限中，如果分子分母同是无穷小量或同是无穷大量，那么极限可能存在，也可能不存在，这种极限称为未定式，记为
及
定理1 如果f(x)和g(x)满足下列条件：
(2)在点的某x0去心邻域内, 与存在,且
那么
说明：
(1) 定理中的x x0 换为x
limx0x 1来自 xlimx0
x 1
1
lim x
x0
0.
步骤:
例8 lim( 1 1 ) x0 ln(1 x) x
lim
x0
x ln(1 x) x ln(1 x)
lim
x0
x ln(1 x2
x)
1
1 lim 1 x lim
1
1.
x0 2x
x0 2(1 x) 2
应用罗必塔法则应注意的几个问题：
原式
lim (1
x
1 x
cos
x)
1.
练习:
求 lim
1 x2 .
x x
解
1 x2
lim
lim
x
1 x2
lim
x x
x 1 x2 x x
不能使用罗必塔法则.
原式 lim x
1
1 x2
1.
3、其他未定式:
解法：转化为或型不定式.
步骤:
例7 lim x ln x ( 0 ) x0
ln x
4. 使用罗必塔法则时,要灵活结合其他方法,如等价无穷小替换、凑重要极限、分离非零因子、恒等变形、换元等.
lim 1 x0 2x(1 x)
例3 求解: 原式
注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !

求极限过程中洛必达法则的使用技巧

求极限过程中洛必达法则的使用技巧文中对极限运算中如何巧妙的使用好洛比达法则做了一些探讨，指出了初学者容易犯的错误，并提出了一些建议供大家参考。

关键词：极限、微积分、洛比达法则、不定式。

极限是高等数学中的一个极为重要的基础概念，对微积分的学习影响深远。

理工类专业的学生初次接触极限概念都难以准确理解和掌握，在使用极限运算法则求极限时经常出现运算错误，如：两个重要极限应用不恰当，洛必达法则使用不规范等。

下面只就求极限过程中如何正确使用洛必达法则做一些探讨。

一、若干重要的极限等式1. , 推广的形式为：2.，推广的形式为：，推广的形式为：3.其中可以是一个代数式。

由上述极限还可以导出下面一些重要极限式：，同样它们也有类似的推广的形式。

二、洛必达法则的两个标准形态1.型不定式定理1.若在或内有定义，并满足（1）（或），（或）；（2）在或内可导，且；（3）（或）存在或为；则（或）。

2.型不定式定理2.若在或内有定义，并满足（1）（或），（或）；（2）在或内可导，且；（3）（或）存在或为；则（或）。

三、求极限举例求例1.解：本题极限形式是型不定式，直接使用洛必达法则计算，则计算非常复杂，若先对表达式进行恒等变形，并结合拉格朗日中值定理，再适当使用洛必达法则计算就容易多了。

+（其中介于与之间，当时有）+=例2.求解：分母为无穷小因子的乘积，可以用相应的等价无穷小量替换有通过以上两个例题可以发现在求不定式极限时，不要一上手就立即使用洛必达法则，首先需要对所求极限表达式进行观察、分析与变形，然后再进行具体计算。

洛必达法则使用过程中要注意以下几点：1.只有或型不定式才能直接使用洛必达法则；2. 洛必达法则可连续使用，但每次使用该法则时必须检查表达式是否为或型；3.使用洛必达法则之前可以对表达式中的无穷小因子用较简便的等价无穷小替换，每用一次洛必达法则后，都要对表达式进行整理化简，如可以将其中乘积因子中的非零极限先行求出，使表达式得到化简或瘦身等，简化后续计算；4.当用洛必达法则求不出极限时，不能做出该表达式进行不存在的结论，只能说用洛必达法则求此极限失效，此时需采用其他方法求此极限。

洛必达法则知识点总结

洛必达法则知识点总结
嘿呀！今天咱们来好好唠唠洛必达法则这个神奇的知识点呢！
首先呢，咱们得知道啥是洛必达法则呀？哎呀呀，简单来说，洛必达法则就是用来处理那种极限式子中分子分母都趋于零或者无穷大的情况呢！哇，是不是听起来有点厉害？
那洛必达法则具体是咋用的呢？1. 得先判断一下，这个极限式子是不是分子分母都趋于零或者无穷大呀！要是不符合，可别乱用哟！
2. 要是符合条件，那就对分子分母分别求导呀！然后再看看求导后的式子极限存不存在。

要是存在，那这个极限就是原式子的极限啦！
再来说说洛必达法则的优点吧！哇塞，它能帮咱们解决好多复杂的极限问题呢！比如说那些看着就让人头疼的分式极限，用了洛必达法则，说不定一下子就豁然开朗啦！
不过呢，使用洛必达法则也有要注意的地方哟！哎呀呀，可不能盲目地一直求导呀！有时候求导几次都不行，那可能就得换个方法啦！还有啊，如果求导后的式子极限不存在，也不能说原式子的极限就不存在呢！
咱们来举几个例子感受感受吧！比如说，求lim(x→0) sinx / x 这个极限，哇，是不是一下子就想到可以用洛必达法则啦？对分子分母求导，就变成了cosx / 1 ，然后当x→0 时，极限就是1 呢！
再比如说，lim(x→∞) x / e^x ，这时候用洛必达法则，求导后变成1 / e^x ，当x→∞ 时，极限就是0 呀！
总之呢，洛必达法则可是个非常实用的工具呀！但是咱们得用对
地方，用得巧妙，才能发挥它最大的作用呢！哎呀呀，大家一定要好好掌握呀！。

洛必达法则的适用条件

洛必达法则的适用条件洛必达法则是微积分中一个十分重要的定理，它说明了理论和实际计算中关于极限的一些性质。

这个定理的核心思想是，如果一个函数逐渐趋近于某个极限，同时另一个函数也逐渐趋近于同一个极限，那么两个函数的比值也会趋近于1。

但是，这个定理并不是所有情况下都适用，需要满足一些条件。

本文将介绍这些条件，以便正确应用洛必达法则。

一、被除函数与除以函数都趋近于0或无穷大洛必达法则要求被除函数和除以函数都趋近于0或无穷大，这是在计算极限的时候，通常都会满足的条件。

例如，当我们要计算 $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$的时候，我们会发现被除函数和除以函数都趋近于0。

因此，按照洛必达法则，我们可以将这个极限转化为 $\lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{1}$。

这个极限的值是1，因为随着$x$逐渐趋近于0，$\cos x$也逐渐趋近于1，所以两个函数的比值也逐渐趋近于1。

二、函数在极限点附近连续另一个需要满足的条件是，在极限点附近，两个函数必须都是连续的。

这个条件的违反会导致洛必达法则失效。

例如，当我们要计算 $\lim_{x \to 0}\frac{x^2-1}{x-1}$的时候，我们不能直接使用洛必达法则。

因为当$x$逐渐趋近于1时，被除函数和除以函数都趋近于0，但是如果我们直接对两个函数求导，会发现它们在$x=1$处都不存在导数。

这是因为$x=1$是被除函数的一个间断点，也就是说，被除函数在$x=1$处不连续，因此洛必达法则并不适用。

三、洛必达法则只适用于无穷小和无穷大最后一个需要注意的是，洛必达法则只适用于无穷小和无穷大。

因此，我们不能使用洛必达法则来计算有限极限。

例如，当我们要计算 $\lim_{x \to 1}\frac{x^3-1}{x-1}$的时候，我们不能使用洛必达法则。

因为虽然当$x$逐渐趋近于1时，被除函数和除以函数都趋近于0，但是它们的比值并不是在趋近于1，而是在趋近于3。

《微积分一》洛必达法则

f (x) f ( x) lim A (或) xa g ( x) xa g( x)
说明当定理中xa改为x时洛必达法则同样有效
《微积分》(第三版) 教学课件
首页
上一页
下一页
结束
定理41(洛必达法则I) 如果函数f(x)及g(x)满足 (1)当xa时 f(x)0 g(x)0 (2)在点a的某去心邻域内可导且g(x)0 f ( x) A (或) (3) lim xa g( x) f (x) f ( x) lim A (或) 则必有 lim xa g ( x) xa g( x) 简要证明令 f(a)g(a)0 于是 f(x) 及 g(x) 在点 a 的某邻域内连续在该邻域内应用柯西中值定理有
0
?
结束
《微积分》(第三版) 教学课件
首页
上一页
下一页
定理41(洛必达法则I) (L’Hospital，1661-1704，法国数学家) 设函数f(x)与g(x)满足条件
(1) lim f ( x) lim g ( x) 0
x a x a
(2)在点 a 的某去心邻域内可导且 g(x)0 f ( x) A (或) (3) lim xa g( x) 则必有 lim
xx lim 2 x 0 x
1
《微积分》(第三版) 教学课件
首页

上一页
下一页
结束
ln x (n0) 例 9 求 lim 例11. x x n
1 1 0 解 lim lnnx lim x lim x x x nx n1 x nx n
《微积分》(第三版) 教学课件
首页
上一页
下一页
结束
四、洛必达法则失效的情况

关于利用洛必达法则求极限的几点探讨

科技信息
高校理科研究
关于利用洛必达法则求极限的几点探讨
渤海船舶职业学院王悦
［摘要］《高等数学》是大学中的基础课程，极限是学生一开始就要接触的最基本的知识。其中有一类未定式的极限不能用“商的极限等于极限的商”这一法则，而要用洛必达法则。洛必达法则内容很简单，使用起来也方便，但在具体使用过程中，一旦疏忽，解题就可能出错。对于初学者来讲，若盲目使用此法则，会导致错误。本文就利用该法则解题中的几点注意作以分析与探讨，并举例说明。［关键词］洛必达法则极限未定式等价无穷小代换
成ｌｉｍ
ｘ
ｘ，此极限式的极限不存在（振荡），故洛必达法则
ｘ→０
ｃｏｓｘ
失效。但原极限是存在的，可用如下方法求得：
ｘ２ｓｉｎ１
ｌｉｍｘｓｉｎ１
ｌｉｍ
ｘ＝ｌｉｍ（ｘ ·ｘｓｉｎ１）＝ｘ→０ｘ＝０＝０
ｘ→０ｓｉｎｘｘ→０ｓｉｎｘ
ｘｌｉｍｓｉｎｘ１
ｘ→０ｘ
三、未定式的其它类型： 0.∞，∞-∞，0°，∞°，1∞ 型的求解
参考文献［１］《高等数学》第五版上册［Ｍ］．高等教育出版社，２００７．２第５版１３３－１３７页［２］刘书田等编《．微积分学习辅导与解题方法》［Ｍ］．高等教育出版社，２００５［３］华东师范大学《．数学分析》［Ｍ］．人民教育出版社，１９８０
，∞∞
型可直接利用洛必达法则定理求解；
未定式的其它类型：０．∞，∞－∞，０°，∞°，１∞ 型
⑴对于
０．∞
型，可将乘积化为除的形式，即化为
００
或
∞ ∞
型的未Leabharlann 定式来计算。⑵对于
∞－
∞
型，

应用洛必达法则中常见问题分析

应用洛必达法则中常见问题分析洛必达法则(LobodaschRule)是一种常用于管理学科中的决策理论。

它可以帮助决策者更有效地分析决策问题，并为决策者提供选择最佳决策的可行性解决方案。

本文以洛必达法则常见问题的分析为主题，从洛必达法则的定义概念出发，结合实际应用，讨论如何有效地应用洛必达法则为决策者提供可行的解决方案。

洛必达法则是一种经济学的决策理论，根据物理学家和数学家莱布尼茨(Lobodasch)提出的原理，可以帮助决策者有效地分析决策问题，并为决策者提供最佳可行性解决方案。

它以有限资源、最大化利益或最小化损失之间的冲突为基础，强调量化分析和测量绩效的重要性，使决策者能够使用有效的数据来作出更为有效的决策。

应用洛必达法则涉及到几个关键问题，包括决策者如何有效地组织和分析信息，以及如何用量化分析方法来识别潜在机会和威胁。

决策者应该充分利用洛必达法则的基本原理，有效地收集和分析信息，找出问题的根源，并研究可能的解决方案。

在对可行性解决方案的考虑中，决策者应该为每个解决方案定义指标，并将其应用于潜在的机会和威胁，以评估每个解决方案的各项可行性因素。

在实际应用中，洛必达法则可以帮助决策者基于定义的指标有效地测量解决方案的各项可行性，为决策者提供可行性解决方案。

洛必达法则所提供的可行性解决方案以最大程度节省资源，以最小化损失，从而有效地满足决策者的需求。

此外，洛必达法则还可以帮助决策者了解决策过程中所涉及的风险，并为决策者提供风险管理的可行性解决方案。

总之，洛必达法则是一种基于有限资源、最大化利益或最小化损失之间的冲突，以及量化分析和测量绩效的重要性等原则的决策理论。

它可以帮助决策者有效地分析决策问题，并为决策者提供最佳可行性解决方案。

因此，洛必达法则受到越来越多管理学科的重视，应用于实践中，可以为决策者提供有效的解决方案，从而提升组织的绩效。

导数极限知识总结

导数极限知识总结——仅作了解切忌深究一．洛必达法则是什么（鄙人觉得高中数学神器）洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。

在导数问题的3）问中通常会出现形似f(x)g(x)的式子，而一般会出现求其导数，极值，甚至是某一点极限的问题，洛必达法则就是解决这一类而且不能用普通导数解决的问题。

引入：试求lim x→1x 3−3x+2x 3−x 2−x+1试求 xx xx x sin sin lim+-∞→显而易见，这两个极限在以往的算法中一个是00式，一个则是∞∞，无法求导，这时就需要用到高端大气上档次的洛必达法则了。

1.使用条件定理1 若函数)(x f 与函数)(x g 满足下列条件：（1）在a 的某去心邻域)(x v 内可导，且0)('≠x g （2）0)(lim 0=+→x f a x 0)(lim 0=+→x g a x（3）A x g x f a x =+→)(')('lim 0则A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim 00（包括A 为无穷大的情形）定理2 若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件（1）在a 的某去心邻域)(x v 内可导，且0)('≠x g （2）∞=+→)(lim 0x f a x ∞=+→)(lim 0x g a x（3）A x g x f a x =+→)(')('lim则A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim 00（包括A 为无穷大的情形）此外法则所述极限过程对下述六类极限过程均适用：-∞→+∞→∞→→→→-+x x x x x x x x x ,,,,,000。

简而言之，当满足00或 ∞∞的不定式时，A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim0000PS ：一次求导不行仍未不定式，则多次求导于是上面的两个式子可以这样解例一．lim x→1x 3−3x+2x 3−x 2−x+1 = lim x→13x 2−33x 2−2x−1=lim x→16x−2=2例二．1)sin sin (lim cos 1cos 1lim sin sin lim-=-=+-=+-∞→∞→∞→xxx x x x x x x x x (此为错解)事实上，1sin 1sin 1lim sin sin lim =+-=+-∞→∞→xxx xx x x x x x （正解），这里为了说明问题，才使用上面的解法，这里也可以看出，寻找最为简便的解题方法才是正确解题的关键。