第1章立体几何初步第2课时圆柱、圆锥、圆台、球同步练习(必修2)

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高一数学必修2同步训练 1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球

1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球一、选择题:1.下列命题中错误的是( )A.圆柱的底面是圆,轴截面为矩形.B.圆柱的任两条母线所在的直线平行.C.圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大一个.D.圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线.2.充满气的汽车内胎可由下面哪一个图形绕对称轴旋转生成( )3.图示最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得.现用一个竖直的平面去截这个几何体,则截得的图形可能是( )4.下列命题中的真命题是（）A.以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；C.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；D.圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径.5.过球面上两点可以作的大圆个数是（）A．1个 B．1个或无数个 C．2个 D．2个或无数个6.直线绕一条与其有一个交点但不垂直的固定直线转动可以形成( )A.平面B.曲面C.直线D.锥面二、填空题:7．圆柱的底面周长为Q,轴截面面积为P,则圆柱的高为 .8.将一个边长分别是2m和5m、两邻边夹角为60O的平行四边形，绕其5m边上的高所在直线旋转一周形成的几何体是 .9.在半径为30m的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆锥形,且其轴截面顶角为1200,若要光源恰好照亮整个广场,则其高度应为m(精确到0.1m).10.将下列几何体按结构分类填空:集装箱油罐排球羽毛球橄榄球氢原子魔方金字塔;三棱镜滤纸卷成的漏斗量筒量杯十字架.(1)具有棱柱结构特征的有 ; (2)具的棱锥结构特征的有 ;(3)具有圆柱结构特征的有 ; (4)具的圆锥结构特征的有 ;(5)具有棱台结构特征的有 ; (6)具的圆台结构特征的有 ;(7)具有棱台结构特征的有 ; (8)具的圆台结构特征的有 ;(9)其它的有 .二、解答题:11．一个圆锥的母线长为10,底面半径为6,求圆锥的轴截面面积.12.一个圆台的母线长为10,上、下底面的面积分别为4π，64π,求圆台的高.13.如图所示,将阴影部分图形,绕图示直线旋转一周,请说出所得几何体的结构.14.已知圆锥的底面半径为r,高为h,正方体ABCD-A1B I C l D1内接于圆锥,求这个正方体的棱长.15.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面半径的比是1:4,母线长10cm , 求圆锥的母线长.拓展创新——练能力16.一个圆台的上底面半径、母线长、下底面半径的比为1：2:2,求母线与下底面的夹角.17.已知圆台上、下底面半径的比是1:4,母线长为9cm,母线与轴的夹角为30O,求圆台中截面(过高的中点且平行底面的截面)的面积.18.用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面半径的比是λ,截去圆锥的母线长是l O,求圆台的母线长.参考答案:1. 若上、下底面上的两点，不是同一母线上的两点，则两点的连线就不是母线.故选D.2. 由内胎的结构知，选C3. 截面(2)(3)的外轮廓是整个的矩形，所以是错的.故排除（A ）(B);截面（4）圆锥的轮廓是抛物线而不是三角形，所以是错的.故选D. 4.C 5. 过球面上两点可以作的大圆个数是1个或无数个,故应选B. 6. 锥面，故选D.7. 设底面半径为r,高为h,则2πr=Q,2r ·h=p.∴h=Q p π. 8. 由旋转体的定义得几何体是圆台. 9.∴O ≈17.3.10. ⑴11.l r 高h =22610-=8. ∴S 轴截面=21×12×8＝48 ∴圆锥轴截面面积为48 .12. ∵上、下底面的面积分别为4π，64π,∴上、下底面的半径分别为2，8.∵圆台的母线长为10, ∴圆台的高为22)28(10--=6 . 13. 所得几何体是圆锥挖去一个球的简单几何体.14. 如图所示, 过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，如图所示，设圆锥内接正方体的棱长为x ,则在轴截面中,正方体的对角面A 1ACC 1的一组邻边的长分别为x 和2x .∵11VAC ∆∽VMN ∆ , ∴12h x x r h h-==-, 22rh rx =-, ∴x = . 15. 设圆锥的母线长为l ,圆台上、下底半径为,r R ,∵10l l l R -=, ∴1014l l -=, ∴40()3l cm =,即圆锥的母线长为40()3cm . 16. ∵圆台的上底面半径、母线长、下底面半径的比为1：2:2∴设圆台的上底面半径、母线长、下底面半径分别为x,2x,2x. 母线与下底面的夹角为θ. ∴cos θ=2122=-x x x , ∴θ=3π 17. 如图所示,设圆台上、下底面半径分别为,4x x ,则半径差为3x ,∵母线与轴的夹角为300, 圆台的母线长为9cm ,∴932x = , 即32x =. ∴圆台的中截面的半径为45531522224x x r x +===⨯=. ∴22225225()1616S r cm πππ==⨯=中 18. 如图所示,设圆台的母线长为l,截得圆锥底面与原圆锥底面半径分别是x ,λx ,根据相似三角形的性质得:λλ1==+x x l l l O O .∴l =l 0(λ-1).。

人教版2019版高中数学第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.3圆柱圆锥圆台和球练习新人教B版必修2

1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球1.在日常生活中,常用到的螺母可以看成一个组合体,其结构特征是( B )(A)一个棱柱中挖去一个棱柱(B)一个棱柱中挖去一个圆柱(C)一个圆柱中挖去一个棱锥(D)一个棱台中挖去一个圆柱解析:一个六棱柱挖去一个等高的圆柱,选B.2.如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( C )(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°解析:设圆锥底面半径为r,母线长为l,依条件则有2πr=πl,如图,所以=,即∠ASO=30°,因此圆锥顶角为60°.3.一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如图所示,则截面可能的图形是( C )(A)①③(B)②④(C)①②③(D)②③④解析:当截面平行于正方体的一个侧面时得③,当截面过正方体的体对角线时得②,当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①,但无论如何都不能截出④.4.若圆柱的轴截面是一个正方形,其面积为4S,则它的一个底面面积是( C )(A)4S (B)4πS (C)πS (D)2πS解析:因为圆柱的轴截面的一边是底面直径,另一邻边为圆柱的高,所以应满足=2r(r 为底面圆半径),所以r=,故底面面积为πS.5.已知A,B,C是球O上的三点,AB=10,AC=6,BC=8,球O的半径等于13,则球心O到△ABC 所在小圆的距离为.解析:因为AB=10,AC=6,BC=8,所以△ABC为直角三角形且AB为点A,B,C所在小圆O1的直径,所以r=5,如图,所以d2=R2-r2=132-52=122,所以d=12.答案:126.水平桌面α上放有4个半径均为2R的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这4个球的上面放1个半径为R的小球,它和下面4个球恰好都相切,则小球的球心到水平桌面α的距离是.解析:5个球心组成一个正四棱锥,这个正四棱锥的底面边长为4R,侧棱长为3R,求得它的高为R,所以小球的球心到水平桌面α的距离是3R.答案:3R7.图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得.现用一个竖直的平面去截这个几何体,则截面图形可能是( D )(A)(1)(2) (B)(1)(3) (C)(1)(4) (D)(1)(5)解析:当截面不过旋转轴时,截面图形是(5),当截面过旋转轴时,截面图形是(1).故选D.8.(2017·山西忻州一中高一测试)一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm,若两底面圆心的连线长为12 cm,则这个圆台的母线长为 cm.解析:如图,过点A作AC⊥OB,交OB于点C.在Rt△ABC中,AC=12 cm,BC=8-3=5(cm).所以AB==13(cm).答案:139.湖水结冰时, 一个球被冻在冰面上,取出后(未弄破冰)在冰面上留下一个直径为24 cm,深8 cm的空穴,则该球的半径为cm.解析:设球的半径为R,根据题意知截面圆的半径r=12 cm,球心与截面圆的距离为d=R-8.由截面的性质得r2+d2=R2,即122+(R-8)2=R2,从而可得R=13 cm.答案:1310.圆锥母线长为8,底面半径为2,A为底面圆周上一点,从A出发将绳子绕圆锥侧面一周后,再回到A,则绳长最短为.解析:如图所示,将圆锥沿过A点的母线展开,设A点展开后另一点为A′点,则绳子最短长度为线段AA′的长度.因为底面半径为2,所以弧长=2π×2=4π.因为展开图对应的扇形半径R=8,所以圆心角α==,所以AA′==8.答案:811.从一个底面半径和高都是R的圆柱中,挖去一个以圆柱上底面为底,下底面中心为顶点的圆锥,得到如图的几何体.如果用一个与圆柱下底面距离等于l并且平行于圆柱底面的平面去截它,求所得截面的面积.解:截面为一个圆环,圆环的大圆半径为R,小圆半径为l.所以截面圆环的面积为πR2-πl2=π(R2-l2).。

《圆柱、圆锥、圆台和球》同步练习2(人教B版必修2)

【目标要求】1.理解球的概念，理解球面距离的概念，弄清地球的经度与纬度的概念。

2.理解圆柱、圆锥、圆台的概念【巩固教材——稳扎马步】1. 过球面上两点可以作的大圆个数是 ( )A ．1个B ．1个或无数个C ．2个D ．2个或无数个2. 下列四个命题中正确的是( )A ．当平面到球心的距离小于球半径时，球面与平面的交线总是一个圆．B ．过球面上两点只能作一个球的大圆．C ．过空间四个点总能做一个球．D ．球面上两点间的最短球面距离等于过这两点作一个平面与球面的交线圆上两点间的劣孤长．3.下列命题正确的是 ( )A.以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴、旋转所得的几何体是圆锥B.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线C.圆锥的轴截面是所有过母线的截面中面积最大的D.圆台的所有平行于底面的截面都是圆4.圆柱的高为5cm ，底面半径为6cm,则这个圆柱的截面的对角线长位（）A.12B. 13C. 14D. 16【重难突破——重拳出击】5.在北纬60°处有A 、B 两点，它们的经度相差180°，若地球的半径为R ，则它们的球面距离是( ) A.3Rπ B. R π C. R 22 D. R 26.已知球的两个平行截面的面积分别是5π和8π，且距离为1，那么这个球的半径是( )A.2B.3C.4D.无解7、圆柱的轴截面ABCD 是边长为2的正方形，从A 绕柱面到另一端C 最矩距离是 ( ) A.42+π B.4 C.122+π D.228.正三棱台的上、下底面边长及高，分别为1、2、2，则它的斜高是（） A.339 B.313 C.67 D.637 9.圆锥的轴截面是正三角形，则它的底面积与侧面积之比为( )A ．1∶1B ．1∶2C ．1∶4D ．1∶310.设圆台的上下底面半径分别为10和15，母线长为30，则它的侧面展开图扇环中，两个相对顶点间的距离是( )A ．60B ．90C ．D ．11.设圆柱和圆锥的底面半径都是r,?高是h,?若要使圆柱侧面积小于圆锥侧面积,则有( )A.不存在这种可能?B.h＜h?D.h r12. ?把地球看成球体,它上面有两个城市位于同一经度圈上,它们的纬度分别是北纬22°和40°,?则它们的地面距离等于地球半径的( )A. 12B.13C.12πD.10π【巩固提高——登峰揽月】13.高为8cm，底面半径为5cm的圆柱内，一个平行于圆柱的轴的截面是正方形，求截面到轴的距离.14.半径为5的球内有一个截面，它与球心的距离为3，求这个截面圆周的长.【课外拓展——超越自我】15.若地球半径为6370km，求1）地球经线的长。

人教A版高中数学必修第二册强化练习题-第2课时-圆柱、圆锥、圆台与球

人教A版高中数学必修第二册第2课时　圆柱、圆锥、圆台与球基础过关练题组一　圆柱、圆锥、圆台1.(2024黑龙江大庆期中)下列命题中正确的是( )①圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的截面;A.2.A.是A.6.) R,球冠的高是h,则球冠的面积S=2πRh.已知“中国天眼”的底的半径约为250 m,反射面面积(球冠面积)约为25万m2,则“中国天眼”的高度约为 m.参考数据:4-1≈0.52π题组三　简单组合体8.(2024福建福州期中)将一个等腰梯形绕它较长的底边所在直线旋转一周,所得的几何体包括　( )A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆台、一个圆柱C.两个圆柱、一个圆台 D.一个圆柱、两个圆锥9.(2023辽宁沈阳模拟)刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间的弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角,角的大小用弧度制表示),多面体面上非顶点的曲率均为零,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.正八面体(八个面均为正三角形,如图)的总曲率为( )A.2πB.4πC.6πD.8π能力提升练题组一　空间几何体的结构特征1.(多选题)(2024山东烟台莱阳一中月考)对如图所示的组合体的结构说法正确的是( )A.由一个长方体挖去一个四棱柱而成B.由一个长方体与两个四棱柱组合而成C.由一个长方体挖去一个四棱台而成D.由一个长方体与两个四棱台组合而成2.(2024北京广渠门中学月考)半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.下图是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1,则该半正多面体共有个面,其棱长为 .题组二　与旋转体表面展开图有关的问题3.(2024浙江绍兴期中)下图是一个圆柱形开口容器(下底面密封),其轴截面ABCD是边长为2的正方形.现有一只蚂蚁从外壁A处出发,沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到BC的中点P处,则它所爬过的最短路程为 .4.(2024广东佛山第一中学月考)如图,一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为2,一小虫从圆锥底面圆上的点P出发,绕圆锥表面爬行一周后回到点P处,若该小虫爬行的最短路程为23,则圆锥底面圆的半径为 .题组三　旋转体中的计算问题5.(2024山东东营利津高级中学开学考试)如图,圆台OO1的侧面展开图扇环的圆心角为180°,SA=2,SB=4,则该圆台的高为( )A.1B.2C.3D.46.从一个底面半径与高均为2的圆柱中挖去一个正四棱锥(以圆柱的上底面为正四棱锥底面的外接圆,下底面圆心为顶点)得到的几何体如图所示,现用一个平行于底面且与底面的距离为1的平面去截这个几何体,则截面面积为( )A.4π-4B.4πC.4π-2D.2π-27.(2024天津期中)圆锥的母线长为3,轴截面三角形的顶角为120°,用过圆锥顶点的平面截球答案与分层梯度式解析第2课时　圆柱、圆锥、圆台与球基础过关练1.C 2.D 3.D 5.C 6.A 8.D 9.B1.C 过圆锥顶点的截面为等腰三角形,且两腰长为母线长,设该等腰三角形的顶角为θ,圆锥的母线长为l,则截面三角形的面积为12l 2sin θ,显然当θ=π2时,面积最大,故当圆锥的轴截面三角形的顶角大于π2时,圆锥的轴截面面积不是最大的,故①错误;根据圆柱母线的定义可知②错误;根据圆台的定义知③正确.故选C.2.D 用一个不平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面可能为椭圆;用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面为圆;用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥,截面为等腰三角形.故选D.3.D 若4为底面周长,则高为2,此时圆柱的底面直径为4π,故轴截面面积为2×4π=8π;若2为底面周长,则高为4,此时圆柱的底面直径为2π,故轴截面面积为4×2π=8π.故选D.4.答案　12解析　如图,由题意可知,CD AB =14,BD=9,设原圆锥的母线长为l,根据相似三角形的性质可得ED EB =CD AB ,即l -9l =14,解得l=12,故原圆锥的母线长为12.5.C 圆柱的截面可能是矩形,圆锥的截面可能是三角形,圆台的截面可能是梯形,故选C.6.A 设截面圆的半径为r,则r=22-(3)2=1,所以球O 被平面α截得的截面面积为πr 2=π.故选A.7.答案　130解析　由题意得(R-h)2+2502=R 2,则2Rh=h 2+2502,故2πRh=πh 2+2502π=250 000,=250-1,所以h2=250000−2502ππ所以h=2504-1≈250×0.52=130(m).π8.D　从较短的底边的端点向另一底边作垂线,两条垂线把等腰梯形分成两个全等的直角三角形和一个矩形,故旋转后的几何体是由一个圆柱和两个圆锥组成的,如图所示.2.设解得a=2-1,即该半正多面体的棱长为23.解析　将圆柱侧面沿AD展开,如图,其中AB=π,AD=2,则问题转化为在CD上找一点Q,使AQ+PQ的值最小,作P关于CD的对称点E,连接AE,QE,CE,则QE=PQ,所以AQ+PQ=AQ+QE≥AE=π2+9.4.答案　23解析　把圆锥侧面沿母线OP 展开成如图所示的扇形OPP',则PP'的长为小虫爬行的最短路线长,所以PP'=23,又OP=OP'=2,所以∠POP'=2π3,则由弧长公式得l PP '=2π3×2=4π3.设圆锥底面圆的半径为r,则2πr=4π3,解得r=23.5.C 在圆锥SO 1中,2π·O 1A=12×2π·SA=2π,所以O 1A=1,在圆锥SO 中,2π·OB=12×2π·SB=4π,所以OB=2,所以该圆台的高为AB 2-(OB -O 1A)2=(SB -SA )2-(OB -O 1A)2=(4-2)2-(2-1)2=3,故选C.6.C 截面应为圆面挖去一个正方形,且圆面的半径是2,面积为4π.设正四棱锥的底面正方形的边长为a,易知a=22,故正四棱锥的底面正方形的面积为(22)2=8,由棱锥中截面的性质,可得圆面中挖去的正方形与正四棱锥的底面正方形相似,设圆面中挖去的正方形的面积为S',正四棱锥的底面正方形的面积为S,则S 'S =S '8=14,所以S'=2,所以截面的面积为4π-2.故选C.7.答案　92解析　因为圆锥轴截面三角形的顶角为2π3,所以任意两条母线的夹角的范围是0,设截面三角形的顶角为θ,则过圆锥顶点的轴截面面积为12×32×sin θ=92sin θ,因为θ∈0,所以sin θ∈(0,1],.所以轴截面面积的最大值是928.答案　1或17解析　因为球O的两个平行截面的面积分别为19π和36π,所以这两个平行截面的半径分别为19和6,则球心到两个平行截面的距离分别为102-(19)2=9,102-62=8.当两个平行截面在球心O的同侧时,如图1所示,则这两个平行截面之间的距离为|O1O2|=9-8=1;当两个平行截面在球心O的两侧时,如图2所示,则这两个平行截面之间的距离为|O1O2|=9+8=17.故答案为1或17.。

人教B高中数学必修二课时跟踪检测：第一章立体几何初步含解析

第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.7柱、锥、台和球的体积课时跟踪检测[A组基础过关]1．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为()A．2 B．3C．4 D．6解析：由三视图可知三棱锥的直观图如图所示．其中AB为高，底面是直角三角形，V＝13AB×12BD×CD＝13×2×12×3×2＝2，故选A．答案：A2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．13＋π B．23＋πC．13＋2π D．23＋2π解析：由该几何体的三视图可知该几何体是由一个三棱锥和半个圆柱组合而成，由此可知该几何体的体积为13×12×2×1×1＋12π×12×2＝13＋π，故选A．答案：A3．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形，那么该几何体的体积是()A．96 B．128C．140 D．152解析：由三视图可知，该几何体是一个三棱柱，V＝S·h＝12×6×4×8＝96.答案：A4．正三棱柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则该正三棱柱的体积是()A．839B．439C．239D．439或839解析：当2为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长a＝2 3，底面面积S＝34a2＝39，正三棱柱的高h＝4，所以正三棱柱的体积V＝Sh＝439；同理，当4为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长a′＝43，底面面积S′＝34a′2＝439，正三棱柱的高h′＝2，所以正三棱柱的体积V′＝S′h′＝839.所以正三棱柱的体积为439或839.答案：D5．若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为()A．26B．23C．33D．23解析：以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是由两个全等的正四棱锥构成，正四棱锥的底面边长为1，高为22，∴V＝2×13×1×1×22＝23.故选B．答案：B6．已知圆锥的母线长为5，侧面积为20π，则此圆锥的体积为________．解析：由S侧＝πrl＝20π，l＝5得r＝4，∴圆锥的高h＝l2－r2＝3.∴圆锥的体积为V＝13πr2·h＝16π.答案：16π7．(2018·江苏卷)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．解析：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，且正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于2，所以该多面体的体积为2×13×1×(2)2＝43.答案：438．已知某几何体的俯视图是边长分别为8和6的矩形，主视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积； (2)求该几何体的侧面积．解：由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V －ABCD .如图所示，(1)V ＝13×(8×6)×4＝64.(2)该四棱锥有两个侧面VAD ，VBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高为h 1＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝42，另两个侧面VAB ，VCD 也是全等的等腰三角形，AB边上的高为h 2＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝5，因此S 侧＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×6×42＋12×8×5＝40＋24 2.[B 组技能提升]1．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A．18B．17C．16D．15解析：由三视图可知，正方体被平面截去三棱锥A1－AB1D1，设正方体的边长为a，V正＝a3，VA1－AB1D1＝13×12a2·a＝16a3，∴V A1－AB1D1V剩＝16a3a3－16a3＝15，故选D．答案：D2．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为3，则这个球的体积为() A．9π B．932πC．27π D．2732π解析：∵棱长为3的正方体的体对角线长为33，∴球半径为332，∴V＝43π⎝⎛⎭⎪⎫3233＝2732π.故选D．答案：D3．一个底面半径为R的圆柱形水桶中装有适量的水，若放入一个半径为r的实心铁球(水面漫过球)，水面高度恰好升高r，则Rr＝________.解析：由题知43πr3＝πR2·r，∴R r＝233.答案：23 34．已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的主视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．解析：由主视图知，三棱锥的高为1，底面是腰长为2，底边为23的等腰三角形，∴V＝13×12×23×1×1＝33.答案：3 35．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的主视图和左视图在下面画出(单位：cm)．(1)在主视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积．解：(1)如图．(2)所求多面体的体积V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－13×⎝⎛⎭⎪⎫12×2×2×2＝2843.6．圆台的母线长为6 cm，它的轴截面等腰梯形的一条对角线与一腰垂直且与下底所成的角为30°，求该圆台的体积．解：如图，等腰梯形AA1B1B为圆台的轴截面，AA1＝6 cm，∠AA1B＝90°，∠ABA1＝30°，于是AB＝2AA1＝12 cm，由A1B1∥AB，得∠B1A1B＝∠A1BA＝30°，又∠A＝90°－30°＝60°，得∠A1BB1＝60°－30°＝30°，故△A1B1B为等腰三角形，∴A1B1＝B1B＝6 cm.又OO1·AB＝AA1·A1B得，OO1＝AA1·A1BAB＝6×6312＝33(cm)，由圆台的体积公式：V圆台＝13π·OO1·(A1O21＋A1O1·AO＋AO2)＝13·π·33·(32＋3×6＋62)＝633π(cm3)．。

苏教版必修2第1章第一节空间几何体2 圆柱、圆锥、圆台和球(习题+解析)

苏教版必修2第1章第一节空间几何体2 圆柱、圆锥、圆台和球（习题+解析）①是圆柱，图④是圆锥，图⑦是圆台，图⑧是球，因此①④⑦⑧是旋转体。

2. ③ ① 解析：结合圆柱、圆锥的定义，结合选项可知，图①形成圆锥，图②形成球，图③形成圆柱，图④形成圆台。

3. ① 解析：由于该几何体由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱组合而成，故该几何体是由图①旋转而成的。

4. 20 解析：由题意可知，该圆柱的轴截面的面积为5×2×2＝20。

5. 2 解析：如图所示，设等边三角形ABC 为圆锥的轴截面，由题意易知，其母线长即为△ABC 的边长，且S △ABC ＝43AB 2，∴3＝43AB 2，∴AB ＝2。

6. ①⑤ 解析：由于截面平行于圆锥的轴，故只能是①⑤。

7. 解：如图（1）所示，①是矩形，旋转后形成圆柱，②、③是梯形，旋转后形成圆台。

所以旋转后形成的几何体如图（2）所示，通过观察可知，该组合体是由一个圆柱，两个圆台拼接而成的。

8. 解：圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm 和3x cm ，延长AA 1交OO 1的延长线于S 。

在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°，则∠SA 1O 1＝∠SAO ＝45°，所以SO ＝AO ＝3x ，SO 1＝A 1O 1＝x ，所以OO 1＝2x ，又21（6x ＋2x ）·2x ＝441，解得x ＝4221，所以圆台的高OO 1＝2221（cm ），母线长l ＝2OO 1＝21（cm ），两底面半径分别为4221cm 和4263cm 。

9. 解：作正方体的对角面如图所得截面，球心12O O 、在AC 上，过12O O 、分别作AD 、BC 的垂线交于E 、F 两点，易得1122,,AOO E CO O F AC CD AC AB == 设12,O E r O F R ==，由1,3AB CD AC === 得123,3,3()3==∴++AO r CO R r R r R。

高中数学必修2全册教案学案同步练习课堂巩固

第一章立体几何初步一、知识结构二、重点难点重点：空间直线，平面的位置关系。

柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。

平行、垂直的定义，判定和性质。

难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。

文字语言，图形语言和符号语言的转化。

平行，垂直判定与性质定理证明与应用。

第一课时棱柱、棱锥、棱台【学习导航】知识网络学习要求 1．初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。

掌握它们的形成特点。

2．了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用名称的含义。

3．了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何体简单作图方法4．了解多面体的概念和分类．【课堂互动】自学评价1．棱柱的定义：表示法：思考:棱柱的特点：.【答】2．棱锥的定义：表示法：思考:棱锥的特点：.【答】3．棱台的定义：表示法：思考:棱台的特点：.【答】4．多面体的定义：5．多面体的分类：⑴棱柱的分类⑵棱锥的分类⑶棱台的分类【精典范例】例1：设有三个命题：甲：有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱；乙：有一个面是四边形，其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥；丙：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台。

以上各命题中，真命题的个数是（A）A．0 B. 1 C. 2 D. 3例2：画一个四棱柱和一个三棱台。

【解】四棱柱的作法：⑴画上四棱柱的底面----画一个四边形；⑵画侧棱-----从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段；⑶画下底面------顺次连结这些线段的另一个端点互助参考７页例１⑷画一个三棱锥，在它的一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个侧面画出与底面平行的线段，将多余的线段檫去．互助参考７页例１点评：(1)被遮挡的线要画成虚线(2)画台由锥截得思维点拔：解柱、锥、台概念性问题和画图需要：(2).灵活理解柱、锥、台的特点：例如：棱锥的特点是：⑴两个底面是全等的多边形；⑵多边形的对应边互相平行；⑶棱柱的侧面都是平行四边形。

反过来，若一个几何体，具有上面三条，能构成棱柱吗？或者说，上面三条能作为棱柱的定义吗？答：不能．点评:就棱柱来验证这三条性质，无一例外，能不能找到反例，是上面三条能作为棱柱的定义的关键。

高中数学第一章立体几何初步 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球同步练习(含解析)新人教B版必修2(

高中数学第一章立体几何初步1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球同步练习（含解析）新人教B版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章立体几何初步1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球同步练习（含解析）新人教B版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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圆柱、圆锥、圆台和球1．下列命题中，错误的是（）．A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B ．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆D ．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形2．圆柱的轴截面是边长为5 cm 的正方形ABCD ,则圆柱侧面上从A 到C 的最短距离为（ )．A ．10 cmB ．25π42+cm C ．52cm D ．25π1+cm3．一个圆台的上、下底面面积分别是1 cm 2和49 cm 2,一个平行于底面的截面面积为25 cm 2,则这个截面与上、下底面的距离之比是( ）．A ．2∶1B ．3∶1C ．2∶1D ．3∶14．如图是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形,若将它绕轴l 旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是（）．A ．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体B ．该组合体仍然关于轴l 对称C ．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点D ．该组合体中的球和半球只有一个公共点5．一件工艺品是将一个彩色半透明的正四面体镶嵌于一个水晶球体内制作而成的．已知正四面体的顶点都在球面上，球的直径为12 cm ，则正四面体的棱长为______ cm ，球心到正四面体各面的距离为______ cm.6．长方体ABCD－A1B1C1D1的顶点均在同一个球面上,AB＝AA1＝1，2BC ，则A，B两点间的球面距离为______．7．设地球的半径为R，地球上的两点A、B的纬度都是北纬45°，A、B两点的球面距离为πR，已知A在东经20°处，试确定B点的位置．38．如图，正方形ABB1A1的边长为15，其内有两点P、Q，P到AA1、A1B1的距离均为3，Q 到AB、BB1的距离分别为2和4，将正方形卷成一个圆柱，使AB和A1B1相连，求此时P、Q两点之间最短的距离（沿圆柱侧面)．9.棱长为2 cm的正方体容器中盛满水，把半径为1 cm的铜球放入水中,铜球刚好被淹没,现向正方体容器内再放入一个铁球，使它也淹没在水中,要使流出来的水量最多，这个铁球的半径应该是多大？参考答案1. 答案：B解析:当圆锥过顶点的轴截面顶角大于90°时，面积不是最大．设圆锥轴截面顶角为α,母线长为l ，则轴截面面积21sin 2S l α=，显然α≤90°时，轴截面面积最大;α＞90°时，轴截面面积不最大．2. 答案:B 3。

北师大版2018-2019学年高中数学必修2全册习题含解析

北师大版高中数学必修二全册同步习题含解析目录第1章立体几何初步 1.1.1习题第1章立体几何初步 1.1.2习题第1章立体几何初步 1.2习题第1章立体几何初步 1.3.1习题第1章立体几何初步 1.3.2习题第1章立体几何初步 1.4.1习题第1章立体几何初步 1.4.2习题第1章立体几何初步 1.5.1.1习题第1章立体几何初步 1.5.1.2习题第1章立体几何初步 1.5.2习题第1章立体几何初步 1.6.1.1习题第1章立体几何初步 1.6.1.2习题第1章立体几何初步 1.6.2习题第1章立体几何初步 1.7.1习题第1章立体几何初步 1.7.2习题第1章立体几何初步 1.7.3习题第1章立体几何初步习题课习题第1章立体几何初步检测习题第2章解析几何初步 2.1.1习题第2章解析几何初步 2.1.2.1习题第2章解析几何初步 2.1.2.2习题第2章解析几何初步 2.1.3习题第2章解析几何初步 2.1.4习题第2章解析几何初步 2.1.5.1习题第2章解析几何初步 2.1.5.2习题第2章解析几何初步 2.2.1习题第2章解析几何初步 2.2.2习题第2章解析几何初步 2.2.3.1习题第2章解析几何初步 2.2.3.2习题第2章解析几何初步 2.3.1-2.3.2习题第2章解析几何初步 2.3.3习题第2章解析几何初步检测习题模块综合检测习题北师大版2018-2019学年高中数学必修2习题01第一章立体几何初步§1简单几何体1.1简单旋转体1.下列说法正确的是()A.圆锥的母线长等于底面圆直径B.圆柱的母线与轴垂直C.圆台的母线与轴平行D.球的直径必过球心答案:D2.下面左边的几何体是由选项中的哪个图形旋转得到的()解析:选项B中的图形旋转后为两个共底面的圆锥;选项C中的图形旋转后为一个圆柱与一个圆锥的组合体;选项D中的图形旋转后为两个圆锥与一个圆柱的组合体.答案:A3.用一个平面去截一个几何体,得到的截面一定是圆面,则这个几何体是()A.圆锥B.圆柱C.球D.圆台答案:C4.AB为圆柱下底面内任一不过圆心的弦,过AB和上底面圆心作圆柱的一截面,则这个截面是()A.三角形B.矩形C.梯形D.以上都不对解析:如图所示,由于圆柱的上下底面相互平行,故过AB和上底面圆心作圆柱的一截面与上底面的交线CD 必过上底面圆心,且CD∥AB,在圆柱的侧面上,连接A,C(或B,D)两点的线是曲线,不可能是直线.故这个截面是有两条边平行、另两边是曲线的曲边四边形.故选D.答案:D5.以钝角三角形的较短边所在的直线为轴,其他两边旋转一周所得的几何体是()A.两个圆锥拼接而成的组合体B.一个圆台C.一个圆锥D.一个圆锥挖去一个同底的小圆锥解析:如图所示.旋转一周后其他两边形成的几何体为在圆锥AO的底部挖去一个同底的圆锥BO.答案:D6.点O1为圆锥高上靠近顶点的一个三等分点,过O1与底面平行的截面面积是底面面积的()A.13B.23C.14D.19解析:如图所示,由题意知SO1∶SO=1∶3,∴O1B∶OA=1∶3,∴S☉O1∶S☉O=1∶9,故选D.答案:D7.下列说法中错误的是.①过圆锥顶点的截面是等腰三角形;②过圆台上底面中心的截面是等腰梯形;③圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个.答案:②8.若过轴的截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r,则其轴截面的面积为.解析:由圆锥的结构特征,可知若过轴的截面为直角三角形,则为等腰直角三角形,其斜边上的高为r,所以S=12×2r2=r2.答案:r29.已知圆锥的母线与旋转轴所成的角为30°,母线的长为2,则其底面面积为.解析:如图所示,过圆锥的旋转轴作截面ABC,设圆锥的底面半径为r,底面圆心为O.∵△ABC为等腰三角形,∴△ABO为直角三角形.又∠BAO=30°,∴BO=r=1AB=2.∴底面圆O的面积为S=πr2=π2.答案:π10.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面的半径比是1∶4,母线长是10 cm,求这个圆锥的母线长.分析:处理有关旋转体的问题时,一般要作出其过轴的截面,在这个截面图形中去寻找各元素之间的关系.解:设圆锥的母线长为y cm,圆台上、下底面的半径分别为x cm,4x cm.作圆锥过轴的截面如图所示.在Rt△SOA中,O'A'∥OA,则SA'SA =O'A'OA,即y-10y =x4x,解得y=403.故圆锥的母线长为40cm.11.圆锥的底面半径为r,母线长是底面半径的3倍,在底面圆周上有一点A,求一个动点P自点A出发在侧面上绕一周回到点A的最短路程.解:沿圆锥的母线SA将侧面展开,如图所示.则线段AA1就是所求的最短路程.∵弧A1A的长为2πr,SA=3r,设弧A1A所对的圆心角为α,∴απ·3r=2πr,∴α=120°.∴AA1=SA·cos30°×2=3r×3×2=33r,即所求最短路程是33r.1.2简单多面体1.关于棱柱,下列说法正确的是()A.只有两个面平行B.所有的棱都相等C.所有的面都是平行四边形D.两底面平行,侧棱也互相平行解析:正方体可以有六个面平行,故选项A错误;长方体并不是所有的棱都相等,故选项B错误;三棱柱的底面是三角形,故选项C错误;由棱柱的概念知,两底面平行,侧棱也互相平行,故选项D正确.答案:D2.一个正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是()A.正三棱锥B.正四棱锥C.正五棱锥D.正六棱锥解析:由于正六边形的中心到顶点的距离与边长都相等,故正六棱锥的侧棱长必大于底面边长.答案:D3.棱台不一定具有的性质是()A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱都相等D.侧棱延长后都交于一点解析:由棱台的定义可知,棱台是用平行于棱锥底面的平面去截棱锥而得到的,所以A,B,D选项都成立,只有选项C不一定成立.答案:C4.下列图形中,不是三棱柱的展开图的是()解析:根据三棱柱的结构特征知,A,B,D中的展开图都可还原为三棱柱,但是C中展开图还原后的几何体没有下底面,故不是三棱柱的展开图.答案:C5.下列说法正确的个数为()①存在斜四棱柱,其底面为正方形;②存在棱锥,其所有面均为直角三角形;③任意的圆锥都存在两条母线互相垂直;④矩形绕任意一条直线旋转都可以形成圆柱.A.1B.2C.3D.4解析:①存在斜四棱柱,其底面为正方形,正确.②正确.如图所示.③不正确,圆锥轴截面的顶角小于90°时就不存在.④不正确,矩形绕其对角线所在直线旋转,不能围成圆柱.故答案为B.答案:B6.用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥,截得的棱台上、下底面的面积之比为1∶4,截去的棱锥的高是3 cm,则棱台的高是()A.12 cmB.9 cmC.6 cmD.3 cm解析:棱台的上、下底面的面积之比为1∶4,则截去的棱锥的高与原棱锥的高的比为1∶2,棱台的高是3cm.答案:D7.有下列四个结论:①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥;②底面是正多边形的棱锥是正棱锥;③三棱锥的所有面可能都是直角三角形;④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形.其中正确的有(填正确结论的序号).答案:③④8.如图所示,将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是.解析:如图所示,假设以AB边固定进行倾斜,则几何体BB2C2C-AA2D2D一定为棱柱.答案:棱柱9.在侧棱长为23的正三棱锥P−ABC中,∠APB=40°,E,F分别是PB,PC上的点,过点A,E,F作截面AEF,则△AEF周长的最小值是.解析:将正三棱锥的三个侧面展开,如图所示.则当E,F为AA1与PB,PC的交点时,△AEF的周长最小,最小值为2AP·cos30°=2×23×3=6.答案:610.把右图中的三棱台ABC-A1B1C1分成三个三棱锥.解:如图所示,分别连接A1B,A1C,BC1,则将三棱台分成了三个三棱锥,即三棱锥A-A1BC,B1-A1BC1,C-A1BC1.(本题答案不唯一)11.试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干,连接后构成以下空间几何体,并且用适当的符号表示出来.(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥.(2)四个面都是等边三角形的三棱锥.(3)三棱柱.解:(1)如图所示,三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一).(2)如图所示,三棱锥B1-ACD1(答案不唯一).(3)如图所示,三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一).★12.如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4,M为AA1的中点,P是BC上的一点,且由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线的长为设这条最短路线与CC1的交点为N.求:(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长;(2)求PC和NC的长.解:(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9,宽为4的矩形,其对角线长为92+42=97.(2)如图所示,将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上,则点P旋转到点P1的位置,连接MP1交CC1于点N,则MP1的长等于由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线的长.设PC=x,则P1C=x.在Rt△MAP1中,由勾股定理,得(3+x)2+22=29,解得x=2,所以PC=P1C=2,又NCMA =P1CP1A=25,所以NC=45.§2直观图1.关于用斜二测画法所得的直观图,以下说法正确的是()A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B.正方形的直观图为平行四边形C.梯形的直观图不是梯形D.正三角形的直观图一定为等腰三角形解析:根据斜二测画法的规则知,正方形的直观图为平行四边形.答案:B2.水平放置的△ABC,有一条边在水平线上,它的斜二测直观图是正三角形A'B'C',则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形解析:根据斜二测画法的规则,可知△ABC中有一个角是钝角,所以△ABC是钝角三角形.答案:C3.如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是()答案:C4.对于一条边在x轴上的三角形,采用斜二测画法作出其直观图,则其直观图的面积是原三角形面积的()A.2倍B.2C.2D.1解析:由于平行于y轴的线段其平行性不变,长度变为原来的一半,又直观图中∠x'O'y'=45°,设原三角形的面积为S,其直观图的面积为S',则S'=1×2S=2S.答案:B5.一个水平放置的三角形的直观图是等腰直角三角形A'B'O',如图所示,若O'B'=1,那么原△ABO的面积是()A.12B.22C.2D.22解析:由斜二测画法,可知原三角形为直角三角形,且∠AOB=90°,OB=1,OA=2O'A'=22,∴S△AOB=12×1×22= 2.故选C.答案:C6.已知△A'B'C'为水平放置的△ABC的直观图,如图所示,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是()A.ABB.ADC.BCD.AC解析:由斜二测画法,可知原图形为直角三角形.AC为斜边,D为BC的中点,故AC>AD,故最长线段为AC.答案:D7.一个平面图形的斜二测直观图是腰长为2的等腰直角三角形,如图,则其平面图形的面积为.答案:48.已知正三角形ABC的边长为a,则水平放置的△ABC的直观图△A'B'C'的面积为.解析:图①、图②分别为实际图形和直观图.由图可知A'B'=AB=a,O'C'=1OC=3a,在图②中作C'D'⊥A'B'于点D',则C'D'=2O′C′=6a.所以S△A'B'C'=12A′B′·C'D'=12×a×68a=616a2.答案:616a29.在等腰梯形ABCD中,上底边CD=1,AD=CB=2,下底边AB=3,按平行于上、下底边取x轴,则直观图A′B′C′D′的面积为.解析:等腰梯形ABCD的高为1,且直观图A'B'C'D'仍为梯形,其高为1sin45°=2,故面积为1×(1+3)×2= 2.答案:2210.画出如图所示放置的直角三角形的直观图.解:画法:(1)画x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°(如图②所示);(2)在原图中作BD⊥x轴,垂足为D(如图①所示);(3)在x'轴上截取O'A'=OA,O'D'=OD,在y'轴上截取O'C'=12OC,过D'作B'D'∥y'轴,使D'B'=1BD;(4)连线成图(擦去辅助线)(如图③所示).11.用斜二测画法得到一水平放置的Rt△ABC,AC=1,∠ABC=30°,如图所示,试求原三角形的面积.解:如图所示,作AD⊥BC于点D,令x'轴与y'轴的交点为E,则DE=AD,在Rt△ABC中,由∠ABC=30°,AC=1,可知BC=2,AB= 3.由AD⊥BC,AD=DE,可知AD=32,AE=62,由斜二测画法可知,原三角形A'B'C'中,B'C'=BC=2,A'E'=2AE=6,且A'E'⊥B'C',所以S△A'B'C'=1B′C′·A'E'=1×2×6= 6.★12.画水平放置的圆锥的直观图.分析用斜二测画法画水平放置的圆锥的直观图,由于圆锥底面可以看作是水平放置的,因此,只需先画轴,再画底面和高即可.解:(1)画轴,如图所示,画x轴、y轴、z轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°;(2)画圆锥的底面,画出底面圆的直观图,与x轴交于A,B两点;(3)画圆锥的顶点,在Oz上截取点P,使得PO等于圆锥的高;(4)连线成图,连接P A,PB,并加以整理(擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),得圆锥的直观图.§3三视图3.1简单组合体的三视图1.用一个平行于水平面的平面去截球,得到如图所示的几何体,则它的俯视图是()解析:截去的平面在俯视图中看不到,故用虚线,因此选B.答案:B2.下列各几何体的三视图中,有且仅有两个视图相同的是()A.①②B.①③C.①④D.②④解析:①中正方体的三视图均相同;②中圆锥的主视图和左视图相同;③中三棱台的三视图各不相同;④中正四棱锥的主视图和左视图相同.答案:D3.某几何体的主视图和左视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是()解析:D选项的主视图为,故不可能是D选项.答案:D4.如图所示,若△A'B'C'为正三角形,与底面不平行,且CC'>BB'>AA',则多面体的主视图为()解析:因为△A'B'C'为正三角形,面A'B'BA向前,所以主视图不可能是A,B,C三个选项,只能是D.答案:D5.“牟台方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图所示,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其主视图和左视图完全相同时,它的俯视图可能是()答案:B6.如图所示,画出四面体AB1CD1三视图中的主视图,若以面AA1D1D为投影面,则得到的主视图为()解析:显然AB1,AC,B1D1,CD1分别投影得到主视图的外轮廓,B1C为可见实线,AD1为不可见虚线.故A正确.答案:A★7.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点,若用过点A,E,C1的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为()设过点A,E,C1的截面与棱DD1相交于点F,且F是棱DD1的中点,该正方体截去上半部分后,剩余几何体如图所示,则它的左视图应选C.答案:C8.如图所示,图①②③是图④表示的几何体的三视图,其中图①是,图②是,图③是(填写视图名称).解析:由三视图可知,①为主视图,②为左视图,③为俯视图.答案:主视图左视图俯视图9.如图(a)所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为正方体的中心,则△P AC在该正方体各个面上的射影可能是图(b)中的(把可能的序号都填上).图(a)图(b)解析:要考虑△P AC在该正方体各个面上的射影,在上、下两个面上的射影是①,在前后左右四个面上的射影是④.答案:①④10.(1)画出如图①所示组合体的三视图;(2)图②所示的是一个零件的直观图,试画出这个几何体的三视图.图①图②解(1)该组合体是由一个四棱柱和一个圆锥拼接而成,其三视图如图所示.(2)作出三视图如图所示.★11.如图是根据某一种型号的滚筒洗衣机抽象出来的几何体,数据如图所示(单位:cm).试画出它的三视图.解这个几何体是由一个长方体挖去一个圆柱体构成的,三视图如图所示.3.2由三视图还原成实物图1.若一个几何体的主视图和左视图都是等腰梯形,俯视图是两个同心圆,则这个几何体可能是()A.圆柱B.圆台C.圆锥D.棱台答案:B2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体是()A.棱台B.棱柱C.棱锥D.以上均不对解析:由相似比,可知几何体的侧棱相交于一点.答案:A3.如图所示是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图,则该四棱锥的直观图是下列各图中的()解析:由俯视图排除B,C选项;由主视图、左视图可排除A选项,故选D.答案:D4.某几何体的三视图如图所示,则这个几何体是()A.三棱锥B.四棱锥C.四棱台D.三棱台解析:因为主视图和左视图为三角形,可知几何体为锥体.又俯视图为四边形,所以该几何体为四棱锥,故选B.答案:B5.如图所示,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是()A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱解析:由题知,该几何体的三视图为一个三角形,两个四边形,经分析可知该几何体为三棱柱,故选B.答案:B6.一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于()A.1B.2C.3D.4解析:由三视图画出直观图如图所示,判断这个几何体是底面边长为6,8,10的直角三角形,高为12的躺下的直=2,这就是做成的最大球的半径.三棱柱,直角三角形的内切圆的半径为r=6+8-102答案:B7.把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起,连接AC,得到三棱锥C-ABD,其主视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形(如图所示),其左视图的面积为.解析:如图所示,根据两个视图可以推知折起后∠CEA=90°,其侧视图是一个两直角边长为1的等腰直角三.角形,所以左视图的面积为12答案:18.用n个体积为1的正方体搭成一个几何体,其主视图、左视图都是如图所示的图形,则n的最大值与最小值之差是.解析:由主视图、左视图可知,正方体个数最少时,底层有3个小正方体,上面有2个,共5个;个数最多时,底层有9个小正方体,上面有2个,共11个.故n的最大值与最小值之差是6.答案:69.下图是一个几何体的三视图,想象该几何体的几何结构特征,画出该几何体的形状.解由于俯视图中有一个圆和一个四边形,则该几何体是由旋转体和多面体构成的组合体,结合左视图和主视图,可知该几何体是由上面一个圆柱、下面一个四棱柱拼接成的组合体.该几何体的形状如图所示.★10.已知几何体的三视图如图所示,用斜二测画法画出它的直观图.解由三视图可知其几何体是底面边长为2,高为3的正六棱锥,其直观图如图所示.§4空间图形的基本关系与公理第1课时平面性质1.两个平面重合的条件是()A.有四个公共点B.有无数个公共点C.有一条公共直线D.有两条相交公共直线解析:由两条相交直线确定一个平面知D选项正确.答案:D2.与“直线l上两点A,B在平面α内”含义不同的是()A.l⫋αB.直线l在平面α内C.直线l上只有这两个点在平面α内D.直线l上所有的点都在平面α内答案:C3.有下列说法:①梯形的四个顶点在同一平面内;②三条平行直线必共面;③有三个公共点的两个平面必重合.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:梯形是一个平面图形,所以其四个顶点在同一个平面内,故①正确;两条平行直线确定1个平面,三条平行直线确定1个或3个平面,故②错误;三个公共点可以同在两个相交平面的交线上,故③错误.答案:B4.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是()①P∈a,P∈α⇒a⫋α;②a∩b=P,b⫋β⇒a⫋β;③a∥b,a⫋α,P∈b,P∈α⇒b⫋α;④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b.A.①②B.②③C.①④D.③④答案:D5.三棱台ABC-A'B'C'的一条侧棱AA'所在直线与平面BCC'B'之间的关系是()A.相交B.平行C.直线在平面内D.平行或直线在平面内解析:棱台就是棱锥被一个平行于底面的平面截去一个棱锥得到的,所以延长棱台各侧棱可以恢复成棱锥的形状,由此可知三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交.答案:A6.如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,且C∉l,则平面ABC与平面β的交线是()A.直线ACB.直线BCC.直线ABD.直线CD解析:由题意知,平面ABC与平面β有公共点C,根据公理3,这两平面必定相交,有且只有一条经过C的交线,由于两点确定一条直线,所以只要再找到两平面的另一个公共点即可.显然点D在直线AB上,从而它在平面ABC内,而点D又在直线l上,所以它又在平面β内,所以点D也是平面ABC与平面β的公共点.因此平面ABC 与平面β的交线是直线CD.答案:D7.已知点P在平面α外,点A,B,C在平面α内且不共线,A',B',C'分别在P A,PB,PC上,若A'B',B'C',A'C'与平面α分别交于D,E,F三点,则D,E,F三点()A.成钝角三角形B.成锐角三角形C.成直角三角形D.在一条直线上解析:本题考查三点关系,根据两平面公共点在其交线上,知D,E,F三点共线,故选D.答案:D8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,那么,正方体的过P,Q,R的截面图形是()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形解析:如图所示,作GR∥PQ交C1D1于G,延长QP与CB延长线交于M,连接MR交BB1于E,连接PE.同理延长PQ交CD延长线于点N,连接NG交DD1于F,连接QF.所以截面PQFGRE为六边形.故选D.答案:D9.四条线段首尾相接得到一个四边形,当且仅当它的两条对角线时,能得到一个平面图形.解析:由公理1,2知当两条对角线相交时为平面图形,当两条对角线不共面时为空间四边形.答案:相交10.一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零,则这两个平面的位置关系是.解析:当三点在另一个平面同侧时,这两个平面平行,当三点不在另一个平面同侧时,这两个平面相交.答案:平行或相交11.过已知直线a外的一点P,与直线a上的四个点A,B,C,D分别画四条直线,求证:这四条直线在同一平面内.证明:如图所示,因为点P在直线a外,所以过直线a及点P可作一平面α,因为A,B,C,D均在a上,所以A,B,C,D均在α内,所以直线P A,PB,PC,PD上各有两个点在α内,由公理2可知,直线P A,PB,PC,PD均在平面α内,故这四条直线在同一平面内.12.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M,N分别是AA1,D1C1的中点,过D,M,N三点的平面与正方体下底面相交于直线l.试画出直线l的位置,并说明理由.解:如图所示,连接DM并延长,交D1A1的延长线于点P',连接NP',则直线NP'即为所求直线l.理由如下: 如图所示,连接DN,∵P'=DM∩D1A1,且DM⫋平面DMN,D1A1⫋平面A1B1C1D1,∴P'∈平面DMN∩平面A1B1C1D1.又N∈平面DMN∩平面A1B1C1D1,∴由公理3知,直线NP'为平面DMN与平面A1B1C1D1的交线.第2课时异面直线所成的角1.若直线a ∥b ,b ∩c=A ,则直线a 与c 的位置关系是( ) A.异面 B.相交 C.平行 D.异面或相交答案:D2.在三棱锥A-BCD 中,E ,F ,G 分别是AB ,AC ,BD 的中点,如果AD 与BC 所成的角是60°,那么∠FEG 为( ) A .60° B .30°C .120°D .60°或120° 解析:异面直线AD 与BC 所成的角可能等于∠FEG ,也可能等于∠FEG 的补角.答案:D3.若空间中四条两两不同的直线l 1,l 2,l 3,l 4满足l 1⊥l 2,l 2∥l 3,l 3⊥l 4,则下列结论一定正确的是( ) A .l 1⊥l 4 B .l 1∥l 4C .l 1与l 4既不垂直也不平行D .l 1与l 4的位置关系不确定解析:因为l 2∥l 3,所以l 1⊥l 3,l 3⊥l 4.实质上就是l 1与l 4同垂直于一条直线,所以l 1⊥l 4,l 1∥l 4,l 1与l 4既不垂直也不平行都有可能成立,故l 1与l 4的位置关系不确定. 答案:D4.如图,在某个正方体的表面展开图中,l 1,l 2是两条面对角线,则在正方体中,l 1与l 2( ) A.互相平行 B.异面且互相垂直 C.异面且夹角为60° D.相交且夹角为60°解析:将表面展开图还原成正方体如图所示,则B ,C 两点重合.故l 1与l 2相交,连接AD ,△ABD 为正三角形,所以l 1与l 2的夹角为60°. 答案:D5.在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,若点E ,F 分别在AB ,AC 上,且AE=13AB ,AF=13AC ,则下列说法正确的是( ) A.EF ⊥BB 1 B.EF ∥A 1B 1 C.EF ∥B 1C 1D.EF ∥AA 1解析:∵AE=1AB ,AF=1AC ,∴EF ∥BC.又ABC-A1B1C1为棱柱,∴BC∥B1C1.∴EF∥B1C1.答案:C6.下列说法正确的是()A.空间中没有交点的两条直线是平行直线B.一条直线和两条平行直线中的一条相交,则它和另一条也相交C.空间四条直线a,b,c,d,如果a∥b,c∥d,且a∥d,那么b∥cD.分别在两个平面内的直线是平行直线解析:A,B选项中,两直线可能异面,D选项中两直线可能相交,也可能异面.答案:C7.如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原为正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有对.解析:将图形还原成正方体,观察有AB与CD,AB与GH,EF与GH共3对异面直线.答案:38.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD中点,则异面直线CD1,EF所成的角的大小为.答案:90°9.如图所示,在四棱锥C-ABED中,底面ABED是梯形.若AB∥DE,DE=2AB,且F是CD的中点,P是CE的中点,则AF与BP的位置关系是.解析:连接PF,∵P,F分别是CE,CD的中点,∴PF∥ED,且PF=1ED.2又AB∥ED,且DE=2AB,∴AB∥PF,且AB=PF,即四边形ABPF是平行四边形,∴BP∥AF.答案:平行10.如图所示,在三棱锥P-ABC中,D,E是PC上不重合的两点,F,H分别是P A,PB上的点,且与点P不重合.求证:EF和DH是异面直线.证明∵P A∩PC=P,∴P A,PC确定一个平面α.∵E∈PC,F∈P A,∴E∈α,F∈α,∴EF⫋α.∵D∈PC,∴D∈α,且D∉EF.又PB∩α=P,H∈PB,且点H与点P不重合,∴H∉α,DH∩α=D,且DH与EF不相交,于是直线EF和DH是异面直线.★11.如图所示,在空间四边形ABCD中,两条对边AB=CD=3,E,F分别是另外两条对边AD,BC上的点,且AE=BF=1,EF=5,求AB和CD所成的角的大小.解如图所示,过点E作EO∥AB,交BD于点O,连接OF,所以AEED =BOOD,所以BOOD=BFFC,所以OF∥CD.所以∠EOF或其补角是AB和CD所成的角.在△EOF中,OE=2AB=2,OF=1CD=1,又EF=5,所以EF2=OE2+OF2,所以∠EOF=90°.即异面直线AB和CD所成的角为90°.★12.在梯形ABCD中(如图①所示),AB∥CD,E,F分别为BC和AD的中点,将平面CDFE沿EF翻折起来,使CD到C'D'的位置,G,H分别为AD'和BC'的中点,得到如图②所示的立体图形.求证:四边形EFGH为平行四边形.。

高中数学第一章立体几何初步 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球课后作业新人教B版必修2

1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球一、非标准1.若A,B为球面上相异两点,则通过A,B所作的大圆有( )A.1个B.无数个C.一个也没有D.1个或无数个解析:(1)若A,B两点的连线经过球心O,则经过A,B的大圆有无数个;(2)若A,B两点的连线不经过球心O,由立体几何知识知,不共线的三个点A,B,O确定一个圆,此时大圆只有一个.答案:D2.下列命题中错误的是( )A.以矩形一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫作圆柱B.以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面围成的几何体叫作圆锥C.以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面围成的几何体叫作圆锥D.以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴,其余各边旋转形成的曲面围成的几何体叫作圆锥解析:直角三角形绕其一条直角边旋转才能形成圆锥,如果绕其斜边旋转则形成的是两个圆锥的组合体.答案:B3.上、下底面面积分别为36π和49π,母线长为5的圆台,其两底面之间的距离为( )A.4B.3C.2D.2解析:圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r,R满足关系式l2=h2+(R-r)2,求得h=2,即两底面之间的距离为2.答案:D4.顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD-A'B'C'D'中,AB=1,AA'=,则A,C两点间的球面距离为( )A. B.C.πD.π解析:如图所示,设球的半径为R,则有R==1,连接AC,连接AC'与A'C交于点O,则O为外接球的球心.在△AOC中,AO=OC=1,AC=,所以∠AOC=90°.所以A,C两点间的球面距离为.答案:B5.在圆柱内有一个内接正三棱锥,过一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是( )答案:D6.如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的轴截面对应的等腰三角形的底角是( )A.30°B.45°C.60°D.90°解析:设圆锥的底面半径是r,母线长是l.如图所示,2πr=πl,所以2r=l,所以.所以轴截面对应的等腰三角形的顶角为60°,因此底角为60°.答案:C7.已知OA为球O的半径,过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.若圆M的面积为3π,则球O的半径等于.解析:因为圆M的面积为3π,所以圆M的半径r=.设球的半径为R,由图可知,R2=R2+3,所以R2=3.所以R2=4.所以R=2.答案:28.某地球仪上北纬30°纬线的长度为12πcm,则该地球仪的半径是cm.解析:设地球仪上北纬30°纬线所在圆的半径为r cm,则有2πr=12π.所以r=6(cm).设地球仪的半径为R cm,则=cos30°=.所以R=4(cm).答案:49.如图所示,圆柱OO'的底面半径为2cm,高为4cm,且P为母线B'B的中点,∠AOB=120°,则一只蚂蚁从A点沿圆柱表面爬到P点的最短路程为.解析:将圆柱侧面沿母线A'A剪开展开成平面图,如图所示,则易知最短路程为平面图中线段AP的长.在Rt△ABP中,AB=×4π=(cm),PB=2cm,所以AP=(cm).即这只蚂蚁从A点沿圆柱表面爬到P点的最短路程为cm.答案:cm10.如图所示组合体是由哪些几何体组成的?解:(1)正三棱柱内挖去一个圆柱.(2)圆锥挖去一个圆柱.11.轴截面为正三角形的圆锥叫做等边圆锥.已知某等边圆锥的轴截面面积为,求该圆锥的底面半径、高和母线长.解:如图为等边圆锥的轴截面,设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为l,则在轴截面△SAB中,有OB=r,SO=h,SB=l,且∠SBO=60°.在Rt△SOB中,h=r,l=2r,所以S△SAB=×AB×SO=rh=r2,根据题意得r2=,解得r=1,所以l=2r=2,h=r=.即该圆锥的底面半径为1,高为,母线长为2.12.设地球的半径为R,在北纬45°纬线圈上有两个点A,B,A在西经40°经线上,B在东经50°经线上,求A,B两点间纬线圈的劣弧长及A,B两点间的球面距离.解:如图所示,设45°纬线圈中心为O1,地球中心为O,则∠AO1B=40°+50°=90°.又因为OO1⊥☉O1所在平面,所以OO1⊥O1A,OO1⊥O1B.又因为点A,B在北纬45°纬线圈上,所以∠OBO1=∠OAO1=45°.所以O1A=O1B=O1O=OA·cos45°=R.在Rt△AO1B中,因为AO1=BO1,所以AB=AO1=R.所以△AOB为等边三角形.所以∠AOB=60°.所以在45°纬线圈上,A,B两点间纬线圈的劣弧长为AO1=·R=R.在球面上,A,B两点间的球面距离的长为·AO=R(此时是大圆上的一段劣弧长).所以A,B两点间纬线圈的劣弧长为R,A,B两点间的球面距离为R.。

苏教版高中数学必修2：圆柱圆锥圆台和球同步课时练习

课时跟踪检测（二）圆柱、圆锥、圆台和球层级一学业水平达标1．有下列四个说法，其中正确的是( )A．圆柱的母线与轴垂直B．圆锥的母线长等于底面圆直径C．圆台的母线与轴平行D．球的直径必过球心解析：选D A：圆柱的母线与轴平行；B：圆锥的母线长与底面圆的直径不具有任何关系；C：圆台的母线延长线与轴相交．故D正确．2．如图所示的图形中有( )A．圆柱、圆锥、圆台和球B．圆柱、球和圆锥C．球、圆柱和圆台D．棱柱、棱锥、圆锥和球解析：选B 根据题中图形可知，(1)是球，(2)是圆柱，(3)是圆锥，(4)不是圆台，故应选B.3．下列说法中正确的个数是( )①用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台；②圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形；③分别以矩形(非正方形)的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周得到的两个几何体是两个不同的圆柱．A．0 B．1C．2 D．3解析：选C ①中，必须用一个平行于底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，故①说法错误；显然②③说法正确．故说法正确的有2个．4．如图所示的几何体是由下列哪个平面图形通过旋转得到的( )解析：选A 由题图知平面图应是一个直角三角形和一个直角梯形构成，故A 正确．5．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体是( )A ．一个圆锥B ．一个圆锥和一个圆柱C ．两个圆锥D ．一个圆锥和一个圆台答案：C6．将一个直角梯形绕其较短的底边所在的直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的结构特征是________________________________．答案：一个圆柱被挖去一个圆锥后所剩的几何体7．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1∶3，这个截面把圆锥的母线分为两段的比是________．解析：∵截面面积与底面面积的比为1∶3，故小圆锥与大圆锥的相似比为1∶3，故小圆锥与大圆锥的母线长之比为1∶3，故小圆锥与所得圆台的母线长比为1∶(3－1)．答案：1∶(3－1)8．将边长为4 cm 和8 cm 的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面，则圆柱的轴截面的面积为________cm 2.解析：当以4 cm 为母线长时，设圆柱底面半径为r ，则8＝2πr ，∴2r ＝8π.∴S 轴截面＝4×8π＝32π(cm)2. 当以8 cm 为母线长时，设圆柱底面半径为R ，则2πR ＝4,2R ＝4π.∴S 轴截面＝8×4π＝32π(cm)2. 综上，圆锥的轴截面面积为32πcm 2. 答案：32π9．将长为4宽为3的矩形ABCD 沿对角线AC 折起，折起后A ，B ，C ，D 在同一个球面上吗？若在求出这个球的直径．解：因为对角线AC 是直角三角形ABC 和直角三角形ADC 的公共斜边，所以AC 的中点O 到四个点的距离相等，即O 为该球的球心．所以AC为球的一条直径，由勾股定理得AC＝42＋32＝5.10．如图所示，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，绕着CD所在直线l旋转，试画出立体图并指出几何体的结构特征．解：如图①，过A，B分别作AO1⊥CD，BO2⊥CD，垂足分别为O1，O2，则Rt△CBO2绕l旋转一周所形成的曲面围成几何体是圆锥，直角梯形O1ABO2绕l旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆台，Rt△ADO1绕l旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆锥．①②综上，所得几何体下面是一个圆锥，上面是一个圆台挖去了一个以圆台上底面为底面的圆锥．(如图②所示)．层级二应试能力达标1．下列结论正确的是( )A．用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台B．经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：选D 须用平行于圆锥底面的平面截才能得到圆锥和圆台，故A错误；若球面上不同的两点恰为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故B错误；正六棱锥的侧棱长必然要大于底面边长，故C错误．故选D.2.若圆柱体被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是( )解析：选D 结合几何体的实物图，从截面最低点开始高度增加缓慢，然后逐渐变快，最后增加逐渐变慢，不是均衡增加的，所以A、B、C错误．3．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如下图所示，则截面的可能图形是( )A ．①②B ．②④C ．①②③D ．②③④解析：选C 当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体对角面时得②，当截面不平行于任何侧面也不过对角面时得①，但无论如何都不能得出④.4．已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6π和8π，则两平行平面间的距离为( )A ．1B ．2C ．1或7D ．2或6解析：选C 由截面的周长分别为6π和8π得两个截面半径分别为3和4，又球的半径为5，故圆心到两个截面的距离分别为4和3，故当两个截面在球心同一侧时，平行平面间的距离为4－3＝1，当两个截面在球心两侧时，平行平面间的距离为4＋3＝7.5．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________．解析：设底面半径为r ，母线为l ，则2πr ＝πl ，∴l ＝2r .故两条母线的夹角为60°.答案：60°6．圆锥底面半径为1 cm ，高为 2 cm ，其中有一个内接正方体，则这个内接正方体的棱长为________ cm.解析：圆锥的轴截面SEF 、正方体对角面ACC1A 1如图．设正方体的棱长为x cm ，则AA 1＝x cm ，A 1C 1＝2x cm.作SO ⊥EF 于点O ，则SO ＝ 2 cm ，OE ＝1 cm.∵△EAA 1∽△ESO ，∴AA 1SO ＝EA 1EO ，即x 2＝1－22x 1.∴x ＝22，即该内接正方体的棱长为22cm. 答案：227．一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个高为x 的内接圆柱．(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S ；(2)当x 为何值时，S 最大？解：(1)如图，设内接圆柱的底面圆半径为r ，由已知得6－x 6＝r 2， ∴r ＝6－x 3， ∴S ＝2×6－x 3×x ＝－23x 2＋4x (0<x <6)． (2)当x ＝－42×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝3时，S 最大．8.如图所示，已知圆柱的高为80 cm ，底面半径为10 cm ，轴截面上有P ，Q 两点，且PA ＝40 cm ，B 1Q ＝30 cm ，若一只蚂蚁沿着侧面从P 点爬到Q 点，问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？解：将圆柱侧面沿母线AA 1展开，得如图所示矩形．∴A 1B 1＝12·2πr ＝πr ＝10π(cm)．过点Q 作QS ⊥AA 1于点S ，在Rt △PQS 中，PS ＝80－40－30＝10(cm)，QS ＝A 1B 1＝10π(cm)．∴PQ ＝PS 2＋QS 2＝10π2＋1(cm)．即蚂蚁爬过的最短路径长是10π2＋1 cm.。

苏教版高中数学必修2全册同步练习及单元检测含答案

苏教版高中数学必修2 全册同步练习及检测第1章立体几何§1.1空间几何体1.1.1 棱柱、棱锥和棱台1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球【课时目标】认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．1．一般地，由一个________________沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱．平移起止位置的两个面叫做棱柱的________，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的________，两侧面的公共边叫________．2．当棱柱的一个底面__________________时，得到的几何体叫做棱锥(如图所示)．3．棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后，______和________之间的部分．4．将________、________________、______________分别绕着它的________、______________、____________________所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台，这条直线叫做______，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做________，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做________，无论旋转到什么位置，这条边都叫做________．5．________绕着它的______所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做______，简称______．一、填空题1．将梯形沿某一方向平移形成的几何体是________．2．有下列命题：①棱柱的底面一定是多边形；②棱台的底面一定是梯形；③棱柱被平面截成的两部分可以都是棱柱；④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确命题的序号是________．3．棱台具备的性质是________(填序号)．①两底面相似；②侧面都是梯形；③侧棱都相等；④侧棱延长后都交于一点．4．下列命题中正确的是________(填序号)．①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；④用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台．5．以任意方式截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是________．6．右图所示的几何体是由下列哪个平面图形通过旋转得到的________(填序号)．7．下列叙述中错误的是________．(填序号)①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．8．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是______(填序号)．9．在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是______．二、解答题10．如图所示为长方体ABCD—A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．11．如图所示，已知△ABC，以AB为轴，将△ABC旋转360°．试指出这个旋转体是由怎样的简单几何体构成的？画出这个旋转体的直观图．能力提升12．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列______图形．(填序号)13．如图，在底面半径为1，高为2的圆柱上A点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由A 点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？1．学习本节知识，要注意结合集合的观点来认识各种几何体的性质，还要注意结合动态直观图从运动变化的观点认识棱柱、棱锥和棱台的关系．2．在讨论旋转体的性质时轴截面具有极其重要的作用，它决定着旋转体的大小、形状，旋转体的有关元素之间的关系可以在轴截面上体现出来．轴截面是将旋转体问题转化为平面问题的关键．3．几何体表面距离最短问题需要把表面展开在同一平面上，然后利用两点间距离的最小值是连结两点的线段长求解．第1章立体几何初步§1.1空间几何体1．1.1棱柱、棱锥和棱台1．1.2圆柱、圆锥、圆台和球答案知识梳理1．平面多边形底面侧面侧棱2．收缩为一个点3．截面底面4．矩形直角三角形直角梯形一边一直角边垂直于底边的腰轴底面侧面母线5．半圆直径球体球作业设计1．四棱柱 2.①③3．①②④解析用棱台的定义去判断．4．③解析①、②的反例图形如图所示，④显然不正确．5．球体 6.①7.①②③④8．(1)(5)解析一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分．9．①②10．解截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义．它是三棱柱BEB′—CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．EF，B′C′，BC是侧棱，截面BCFE左侧部分也是棱柱．它是四棱柱ABEA′—DCFD′.其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．A′D′，EF，BC，AD为侧棱．11．解这个旋转体可由一个大圆锥挖去一个同底面的小圆锥而得到，直观图如图所示．12．②13．解把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连结AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π，∴AB′＝A′B′2＋AA′2＝4＋(2π)2＝21＋π2，即蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2.1．1．3中心投影和平行投影【课时目标】1．了解中心投影和平行投影．2．能画出简单空间图形(柱、锥、台、球及其组合体)的三视图．3．能识别三视图所表示的立体模型．1．平行投影与中心投影的不同之处在于：平行投影的投影线是________，而中心投影的投影线________．2．三视图包括__________、__________和__________，其中几何体的____________和__________高度一样，__________与____________长度一样，__________与__________宽度一样．一、选择题1．人在灯光下走动，当人逐渐远离灯光时，其影子的长度将________．2．两条相交直线的平行投影是________．3．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(填序号)________．4．一个长方体去掉一角的直观图如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是________(填序号)．5．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是________________________________．6．若一个三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是________和________．7．用小正方体搭成一个几何体，如图是它的主视图和左视图，搭成这个几何体的小正方体的个数最多为________个．8．根据如图所示俯视图，找出对应的物体．(1)对应________；(2)对应________；(3)对应________；(4)对应________；(5)对应________．9．如图1所示，E，F分别为正方体的面AD1，BC1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是图2中的________．(填上可能的序号)二、解答题10．在下面图形中，图(b)是图(a)中实物画出的主视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出左视图(尺寸不作严格要求)．11．如图是截去一角的长方体，画出它的三视图．能力提升12．如图，螺栓是棱柱和圆柱的组合体，画出它的三视图．13．用小立方体搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体，最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？在绘制三视图时，要注意以下三点：1．若两相邻物体的表面相交，表面的交线是它们的原分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓都用实线画出，不可见轮廓用虚线画出．2．一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的下面，长度和主视图一样．左视图放在主视图的右面，高度和主视图一样，宽度和俯视图一样，简记为“长对正，高平齐，宽相等”．3．在画物体的三视图时应注意观察角度，角度不同，往往画出的三视图不同．1．1.3中心投影和平行投影答案知识梳理1．平行的交于一点2．主视图左视图俯视图左视图主视图俯视图主视图左视图俯视图作业设计1．变长解析中心投影的性质．2．两条相交直线或一条直线3．②④解析在各自的三视图中①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．4．① 5.四棱锥6．2 4解析三棱柱的高同左视图的高，左视图的宽度恰为底面正三角形的高，故底边长为4.7．78．(1)D(2)A(3)E(4)C(5)B9．②③解析图②为四边形BFD1E在正方体前后及上下面上的正投影，③为其在左右侧面上的正投影．10．解图(a)是由两个长方体组合而成的，主视图正确，俯视图错误，俯视图应该画出不可见轮廓线(用虚线表示)，左视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)，正确画法如图所示．11．解该图形的三视图如图所示．12．解该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，主视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，左视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆(中心重合)．它的三视图如图所示．13．解由于主视图中每列的层数即是俯视图中该列的最大数字，因此，用的立方块数最多的情况是每个方框都用该列的最大数字，即如图①所示，此种情况共用小立方块17块．而搭建这样的几何体用方块数最少的情况是每列只要有一个最大的数字，其他方框内的数字可减少到最少的1，即如图②所示，这样的摆法只需小立方块11块．1.1.4直观图画法【课时目标】1．了解斜二测画法的概念．2．会用斜二测画法画出一些简单的平面图形和立体图形的直观图．用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的步骤：(1)在空间图形中取互相________的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz ＝________，且∠yOz＝________．(2)画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，它们相交于O′，并使∠x′O′y′＝______(或______)，∠x′O′z′＝________，x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面．(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段．(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度________；平行于y 轴的线段，长度为原来的________．一、填空题1．下列结论：①角的水平放置的直观图一定是角；②相等的角在直观图中仍然相等；③相等的线段在直观图中仍然相等；④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．其中正确的有__________(填序号)．2．具有如图所示直观图的平面图形ABCD的形状是____________．3．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是________ cm．4．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是______(填序号)．5．△ABC面积为10，以它的一边为x轴画出直观图，其直观图的面积为________．6．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于__________．7．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论，正确的是______________．8．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为____________．9．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为______．二、解答题10．如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．11．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD ＝3 cm，试画出它的直观图．能力提升12．已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为________．13．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．直观图与原图形的关系1．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等；而求原图形的面积可把直观图还原为原图形；此类题易混淆原图形与直观图中的垂直关系而出错，在原图形中互相垂直的直线在直观图中不一定垂直，反之也是．所以在求面积时应按照斜二测画法的规则把原图形与直观图都画出来，找出改变量与不变量．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的24倍．2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．1．1．4直观图画法答案知识梳理 (1)垂直 90° 90° (2)45° 135° 90° (4)不变一半作业设计 1．①②⑤解析由斜二测画法的规则判断． 2．直角梯形 3．8 解析根据直观图的画法，原几何图形如图所示，四边形OABC 为平行四边形，OB ＝22，OA ＝1，AB ＝3，从而原图周长为8 cm ．4．③ 5．522 解析设△ABC 面积为S ，则直观图面积S ′＝24S ＝522．6．2＋ 2解析如图1所示，等腰梯形A ′B ′C ′D ′为水平放置的原平面图形的直观图，作D ′E ′∥A ′B ′交B ′C ′于E ′，由斜二测直观图画法规则，直观图是等腰梯形A ′B ′C ′D ′的原平面图形为如图2所示的直角梯形ABCD ，且AB ＝2，BC ＝1＋2，AD ＝1，所以S ABCD ＝2＋2．图1图27．①②解析斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形．8．2．5解析由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2．5．9．2 2解析画出直观图，则B ′到x ′轴的距离为22·12OA ＝24OA ＝22． 10．解 (1)作出长方体的直观图ABCD －A 1B 1C 1D 1，如图a 所示；(2)再以上底面A 1B 1C 1D 1的对角线交点为原点建立x ′，y ′，z ′轴，如图b 所示，在z ′上取点V ′，使得V ′O ′的长度为棱锥的高，连结V ′A 1，V ′B 1，V ′C 1，V ′D 1，得到四棱锥的直观图，如图b ；(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图c ．11．解 (1)如图a 所示，在梯形ABCD 中，以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点，建立平面直角坐标系xOy ．如图b 所示，画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°．(2)在图a 中，过D 点作DE ⊥x 轴，垂足为E ．在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm ，A ′E ′＝AE ＝323≈2．598 cm ；过点E ′作E ′D ′∥y ′轴，使E ′D ′＝12ED ，再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴，且使D ′C ′＝DC ＝2 cm ．(3)连结A ′D ′、B ′C ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图c 所示，则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．12．6 2a2解析画△ABC直观图如图(1)所示：则A′D′＝32a，又∠x′O′y′＝45°，∴A′O′＝62a．画△ABC的实际图形，如图(2)所示，AO＝2A′O′＝6a，BC＝B′C′＝a，∴S△ABC＝12BC·AO＝62a2．13．解四边形ABCD的真实图形如图所示，∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，∴在原四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC，∵DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，∴S四边形ABCD＝AC·AD＝22．§1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质【课时目标】 1．了解平面的概念及表示法．2．了解公理1、2、3及推论1、2、3，并能用文字语言、图形语言和符号语言分别表述．1．公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．用符号表示为：________________．2．公理2：如果________________________________，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的______________．用符号表示为：⎭⎪⎬⎪⎫P ∈αP ∈β⇒α∩β＝l 且P ∈l ． 3．公理3：经过不在同一条直线上的三点，________________________．公理3也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面．(1)推论1 经过________________________________________，有且只有一个平面． (2)推论2 经过____________，有且只有一个平面． (3)推论3 经过____________，有且只有一个平面．一、填空题1．下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 m，宽是20 m；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确命题的个数为________．2．若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系用符号可记作____________．3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．4．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是__________(填序号)．①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β；②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN；③A∈α，A∈β⇒α∩β＝A；④A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合．5．空间中可以确定一个平面的条件是________．(填序号)①两条直线；②一点和一直线；③一个三角形；④三个点．6．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有__________个．7．把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．(1)AD/∈α，a⊂α________．(2)α∩β＝a，PD/∈α且PD/∈β________．(3)a⊄α，a∩α＝A________．(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________．8．已知α∩β＝m，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．9．下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；②经过空间任意三点有且只有一个平面；③过两平行直线有且只有一个平面；④在空间两两相交的三条直线必共面．其中正确命题的序号是________．二、解答题10．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．11．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．能力提升12．空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明三条直线必相交于一点．13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：(1)C1、O、M三点共线；(2)E、C、D1、F四点共面；(3)CE、D1F、DA三线共点．1．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点，或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．2．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．3．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．§1．2 点、线、面之间的位置关系1．2．1 平面的基本性质答案知识梳理1．两点⎭⎪⎬⎪⎫A ∈αB ∈α⇒AB ⊂α 2．两个平面有一个公共点一条直线 3．有且只有一个平面 (1)一条直线和这条直线外的一点 (2)两条相交直线 (3)两条平行直线作业设计 1．1解析由平面的概念，它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①、②、③都不正确．2．M ∈b ⊂β 3．1,2或3 4．③解析 ∵A ∈α，A ∈β，∴A ∈α∩β．由公理可知α∩β为经过A 的一条直线而不是A ．故α∩β＝A 的写法错误．5．③6．1或4解析四点共面时有1个平面，四点不共面时有4个平面．7．(1)C(2)D(3)A(4)B8．A∈m解析因为α∩β＝m，A∈a⊂α，所以A∈α，同理A∈β，故A在α与β的交线m上．9．③10．解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．∵E∈AC，AC⊂平面SAC，∴E∈平面SAC．同理，可证E∈平面SBD．∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连结SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．11．证明因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．12．证明∵l1⊂β，l2⊂β，l1P l2，∴l1∩l2交于一点，记交点为P．∵P∈l1⊂β，P∈l2⊂γ，∴P∈β∩γ＝l3，∴l1，l2，l3交于一点．13．证明(1)∵C1、O、M∈平面BDC1，又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，∴C1、O、M三点共线．(2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B．∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1．∴E、C、D1、F四点共面．(3)由(2)可知：四点E、C、D1、F共面．又∵EF＝12A1B．∴D1F，CE为相交直线，记交点为P．则P∈D1F⊂平面ADD1A1，P∈CE⊂平面ADCB．∴P∈平面ADD1A1∩平面ADCB＝AD．∴CE、D1F、DA三线共点．1.2.2空间两条直线的位置关系【课时目标】1．会判断空间两直线的位置关系．2．理解两异面直线的定义及判定定理，会求两异面直线所成的角．3．能用公理4及等角定理解决一些简单的相关证明．1．空间两条直线的位置关系有且只有三种：________、____________、____________．2．公理4：平行于同一条直线的两条直线____________．3．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角________．4．异面直线(1)定义：________________________的两条直线叫做异面直线．(2)判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是______________．5．异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′，b′，使__________，__________，我们把a′与b′所成的________________叫做异面直线a与b所成的角．如果两条直线所成的角是________，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，两条异面直线所成的角α的取值范围是____________．一、填空题1．若空间两条直线a，b没有公共点，则其位置关系是____________．2．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是______________．3．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱共有________条．4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连结四边中点的四边形的形状是________．5．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是________．6．有下列命题：①两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行；②四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；③经过直线外一点有无数条直线和已知直线垂直；④若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，则OB∥O1B1．其中正确命题的序号为________．7．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β为________．8．已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：(1)BC′与CD′所成的角为________；(2)AD与BC′所成的角为________．9．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上结论中正确结论的序号为________．二、解答题10．已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1．11．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F 分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．能力提升12．如图所示，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号)．13．如图所示，在正方体AC1中，E、F分别是面A1B1C1D1和AA1D1D的中心，则EF 和CD所成的角是______．1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．另外，我们解决空间有关线线问题时，不要忘了我们生活中的模型，比如说教室就是一个长方体模型，里面的线线关系非常丰富，我们要好好地利用它，它是我们培养空间想象能力的好工具．2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角α的范围为0°<α≤90°，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小．作异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．1．2．2空间两条直线的位置关系答案知识梳理1．相交直线平行直线异面直线2．互相平行3．相等4．(1)不同在任何一个平面内(2)异面直线5．a′∥a b′∥b锐角(或直角)直角0°<α≤90°作业设计1．平行或异面2．相交、平行或异面解析异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a、b异面，直线c的位置可如图所示．3．64．矩形解析易证四边形EFGH为平行四边形．又∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，又FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°，∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．5．2解析①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面，一定不会平行；当点A在直线a上运动(其余三点不动)，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．6．③7．60°或120°8．(1)60°(2)45°解析连结BA′，则BA′∥CD′，连结A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形，知∠A′BC′＝60°，由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC．易知∠C′BC＝45°．9．①③解析。

2019_2020学年高中数学第一章立体几何初步1.1.3.1圆柱、圆锥、圆台练习(含解析)新人教B版必修2

第1课时圆柱、圆锥、圆台A．直线绕定直线旋转形成柱面B．半圆绕定直线旋转形成球体C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台D．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的答案 D解析两直线平行时，直线绕定直线旋转才形成柱面，故A错误；半圆以直径所在直线为轴旋转才形成球体，故B错误；C不符合棱台的定义．所以应选D．2．下列命题正确的是( )A．梯形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆台B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是圆柱C．棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台D．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台答案 D解析绕梯形的一边所在直线旋转得到的旋转体也可能是组合体．当夹在圆柱的两个平行截面不与圆柱的底面平行时，不是圆柱．用与棱锥的底面不平行的平面截去一个小棱锥后，剩余部分不是棱台．圆锥是直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转而成的，圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台．A．10 B．20C．30 D．40答案 B解析如图轴截面为矩形，所以面积为(2＋2)×5＝20．4．下列说法中，不正确的是 ( ) A ．圆桂的侧面展开图是一个矩形 B ．圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形C ．等腰直角三角形绕它的一条边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D ．圆台中平行于底面的截面是圆面答案 C解析等腰直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周才能形成圆锥，此处必须说明是绕它的一条直角边所在的直线．若换成直角三角形的斜边，则旋转后产生的几何体不是圆锥，而是两个圆锥的组合体，且这两个圆锥同底．5．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积为392 cm 2，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．解圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm 和3x cm ，即A′O′＝x cm ，AO ＝3x cm(O′，O 分别为上、下底面圆心)，过A′作AB 的垂线，垂足为点D ．在Rt△AA′D 中，∠AA′D＝45°，AD ＝AO －A′O′＝2x cm ，所以A′D＝AD ＝2x cm ，又S 轴截面＝12(A′B′＋AB)·A′D＝12×(2x＋6x)×2x＝392 (cm 2)，所以x ＝7．综上，圆台的高OO′＝14 cm ，母线长AA′＝2OO′＝14 2 cm ，上、下底面的半径分别为7 cm 和21 cm ．一、选择题1．下列命题正确的个数为( )①圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线；②圆柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一点的直线；③矩形的任意一条边所在直线都可以作为轴，其他边绕其旋转形成圆柱；④矩形绕任何一条直线旋转，都可以围成圆柱．A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析根据圆柱的定义可知命题①③正确，命题②④错误．2．一个圆锥的母线长为2，圆锥的轴截面的面积为3，则母线与轴的夹角为( ) A ．30° B．60°C ．30°或60° D．60°或75° 答案 C解析设圆锥的高为h ，则底面圆的半径为4－h 2，由题意，得S ＝12h×24－h 2＝3，平方整理得h 4－4h 2＋3＝0，解得h 2＝1或h 2＝3，∴h＝1或h ＝3．母线与轴的夹角为30°或60°．3．上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为( ) A ．4 B ．3 2 C ．2 3 D ．2 6 答案 D解析设圆台的母线为l ，高为h ，上、下两底面圆的半径分别为r ，R ，则满足关系式l 2＝h 2＋(R －r)2，根据题意可得h ＝26，即两底面之间的距离为26．4．“两底面直径之差等于母线长”的圆台( ) A ．是不存在的B ．其母线与高线必成60°角C ．其母线与高线必成30°角D ．其母线与高线所成的角不是定值答案 C解析设圆台上、下底面半径分别为r 1，r 2，母线长为l ，则由题意可得2r 2－2r 1＝l ，∴r 2－r 1l ＝12，再设母线与高线所成的角为θ，∴sinθ＝12，θ＝30°．5．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比为1∶3，则截面把圆锥的母线分为上下两段的比是( )A ．1∶3B ．1∶9C ．1∶ 3D ．(1＋3)∶2 答案 D解析圆锥的上底面半径与下底面半径之比为1∶3，故截去小圆锥的母线与大圆锥的母线之比为1∶3，截面把圆锥的母线分为上下两段的比是1∶(3－1)＝(1＋3)∶2．二、填空题6．圆锥轴截面的顶角为120°，过顶点的截面三角形的最大面积为2，则圆锥的母线长为________．答案 2解析对于该圆锥，过顶点的截面三角形中面积最大的三角形为等腰直角三角形，其腰为母线，所以母线长为2．7．用一张(6×10) cm 2的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱轴截面的面积等于________，轴截面的周长等于________．答案60π cm 212＋20π cm 或20＋12πcm 解析若圆柱的母线长为6，则底面直径为10π，轴截面的面积为60π cm 2，周长为⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋20πcm ；若圆柱的母线长为10，则底面直径为6π，轴截面的面积为60π cm 2，周长为⎝⎛⎭⎪⎫20＋12π cm ．8．给出下列命题：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是________．答案②④解析由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误．三、解答题9．轴截面为正方形的圆柱叫做等边圆柱，已知某等边圆柱的轴截面面积为16 cm2，求其底面周长和高．解如图所示，作出等边圆柱的轴截面ABCD，由题意知，四边形ABCD为正方形，设圆柱的底面半径为r，则AB＝AD＝2r．由题意可得轴截面的面积S＝AB×AD＝2r×2r＝4r2＝16，解得r＝2．所以其底面周长C＝2πr＝2π×2＝4π(cm)，高h＝2r＝4(cm)．10．如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A．求：(1)绳子的最短长度的平方f(x)；(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；(3)f(x)的最大值．解将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA′的长度L 就是圆O的周长，∴L＝2πr＝2π．∴∠ASM＝L2πl×360°＝2π2π×4×360°＝90°．(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM，其值为AM＝x2＋16(0≤x≤4)．∴f(x)＝AM 2＝x 2＋16(0≤x≤4)．(2)绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R ，则SR 的长度为顶点S 到绳子的最短距离，在△SAM 中，∵S △SAM ＝12SA·SM＝12AM·SR，∴SR＝SA·SM AM ＝4xx 2＋16(0≤x≤4)，即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为4xx 2＋16(0≤x≤4)． (3)∵f(x)＝x 2＋16(0≤x≤4)是增函数， ∴f(x)的最大值为f(4)＝32．。

高中数学必修二 8 1 基本几何图形第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体练习(含答案)

8.1 基本几何图形第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体（用时45分钟）【选题明细表】知识点、方法题号旋转体的结构特点1,2,6,9空间几何体3,4,8旋转体的有关计算5,7,10,11,12基础巩固1．如图所示的图形中有()A．圆柱、圆锥、圆台和球B．圆柱、球和圆锥C．球、圆柱和圆台D．棱柱、棱锥、圆锥和球【答案】B【解析】选B根据题中图形可知，(1)是球，(2)是圆柱，(3)是圆锥，(4)不是圆台，故应选B. 2．下列命题中正确的是()A．将正方形旋转不可能形成圆柱B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线【答案】C【解析】选C将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；B中必须以垂直于底边的腰为轴旋转才能得到圆台，所以B错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误，故选C.3．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体是()A．一个圆锥B．一个圆锥和一个圆柱C．两个圆锥D．一个圆锥和一个圆台【答案】C【解析】选C将直角三角形绕斜边旋转360°，相当于两个三角形以直角边旋转两360°，故两个圆锥.4．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是()A．该几何体是由2个同底的四棱锥组成的几何体B．该几何体有12条棱、6个顶点C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余各面均为三角形【答案】D【解析】选D 该几何体用平面ABCD 可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD 是它的一个截面而不是一个面．故D 说法不正确．5．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是( )A ．2B ．2π C.2π或4π D.π2或π4【答案】C【解析】选C 如图所示，设底面半径为r ，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr ＝8，所以r ＝4π；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr ＝4，所以r ＝2π.所以选C.6．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝120°，它绕AB 边所在直线旋转一周后形成的几何体结构是________________________.【答案】大圆锥挖去了一个同底面的小圆锥【解析】旋转后的几何体结构如下：是一个大圆锥挖去了一个同底面的小圆锥．7．一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1∶4，截去小圆锥的母线长为3 cm ，则圆台的母线长为________ cm.【答案】9【解析】如图所示，设圆台的母线长为x cm ，截得的圆台的上、下底半径分别为r cm,4r cm ，根据三角形相似的性质，得33＋x＝r4r，解得x＝9(cm)．8．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．【答案】(1)一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成．(2)一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．【解析】(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成．(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．能力提升9．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是()A ．①②B ．①③C ．①④D ．①⑤【答案】D 【解析】选D 一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分，故选D.10．在半径为13的球面上有A 、B 、C 三点，其中AC ＝6，BC ＝8，AB ＝10，则球心到经过这三个点的截面的距离为________．【答案】12【解析】由线段的长度知△ABC 是以AB 为斜边的直角三角形，所以其外接圆的半径r ＝AB 2＝5，所以d ＝R 2－r 2＝12.11．已知圆锥的底面半径为1，高为22，轴截面为平面PAB ，如图，从A 点拉一绳子绕圆锥侧面一周回到A 点，求最短绳长.【答案】33【解析】沿PA 将圆锥侧面展开为平面扇形，如图.1OA =，22PO =，3PA ∴=，236012023APA ππ'︒︒∴∠=⨯=⋅. 作PD AA '⊥交AA '于点D ，则60APD ︒∠=. 223sin 6033AA AD '︒∴==⨯⨯=，∴最短绳长为33.素养达成12．圆台的母线长为2a ，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面的半径的2倍，求两底面的半径及两底面面积之和．【答案】圆台上底面半径为a ，下底面半径为2a ，两底面面积之和为5πa 2.【解析】设圆台上底面半径为r ，则下底面半径为2r .将圆台还原为圆锥，如图，则有∠ABO ＝30°.在Rt △BO ′A ′中，r BA ′＝sin 30°，∴BA ′＝2r .在Rt △BOA 中，2r BA ＝sin 30°，∴BA ＝4r .又BA －BA ′＝AA ′，即4r －2r ＝2a ，∴r ＝a .∴S＝πr2＋π(2r)2＝5πr2＝5πa2.∴圆台上底面半径为a，下底面半径为2a，两底面面积之和为5πa2.。

高中数学第一章立体几何初步 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球圆柱、圆锥、圆台练习新人教B版必修2

第4课时 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球——圆柱、圆锥、圆台课时目标1.在初中学习的基础上，学会用旋转的方法定义圆柱、圆锥、圆台，探索和研究圆柱、圆锥、圆台之间的关系．2．认识圆柱、圆锥、圆台的截面图形，并学会运用这些图形解决一些简单的问题．识记强化1．圆柱、圆锥、圆台可以分别看作以矩形一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体，旋转轴叫做所围成的几何体的轴；在轴上的这条边(或它的长度)叫做这个几何体的高；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线．2．圆柱、圆锥、圆台、球等几何体，都是由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体，这类几何体叫做旋转体，这条直线叫做旋转体的轴．课时作业一、选择题(每个5分，共30分)1．将①②③中的展开图还原后得到的几何体分别是( )A．圆柱、圆锥、棱柱B．圆柱、圆锥、棱锥C．圆台、圆柱、棱锥D．圆台、圆锥、棱柱答案：B解析：图①中的两个圆分别为圆柱的两个底面，长方形为圆柱的侧面；图②中的圆为圆锥的底面，半圆为圆锥的侧面；图③显然能还原成棱锥．2．下列说法：①以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆锥；②以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④分别以矩形两条不相等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得的两个圆柱是不同的圆柱．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个 D．4个答案：B 解析：圆锥是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以①是错误的；圆台是以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以②是错误的；③显然是正确的；由圆柱的定义，随便以矩形的哪条边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周所得到的旋转体都是圆柱，但显然不是同一圆柱，所以④正确，所以答案选B.3．一个圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的轴截面的面积为( ) A ．10 B ．12 C ．20 D ．15 答案：B解析：圆锥的轴截面是等腰三角形，两腰为圆锥的母线，底边为圆锥的底面圆的直径，所以轴截面的面积S ＝12×2×3×52－32＝12，故选B.4．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一个小球O (重量忽略不计)，现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的78时，小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则球的表面积等于( )A.76πB.43πC.23πD.12π 答案：C解析：由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的18，∵正四面体的各棱长均为4，∴正四面体体积为13×34×42×16－163＝1623，∴没有水的部分的体积是223，设其棱长为a ，则13×34a 2×63a ＝223，∴a ＝2，设小球的半径为r ，则4×13×34×22r ＝223，∴r ＝66， ∴球的表面积S ＝4π·16＝23π.故选C.5．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( )A ．30°B ．45°C ．60° D．90°答案：C解析：设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则有2πr ＝12·2πl .∴2r ＝l ，即△ABC 为等边三角形，故顶角为60°.6．若边长为5 cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从点E 沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是( )A ．10 cmB ．5 2 cmC ．5π2＋1 cm D.52π2＋4 cm答案：D解析：圆柱的侧面展开图如图所示，展开后EF ＝12·2π·⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52π.∴EG ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52π2＝52π2＋4(cm)．二、填空题(每个5分，共15分) 7．用长、宽分别是3π与π的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱的底面半径是________．答案：32或12解析：当矩形的宽为轴时，3π＝2πr ，r ＝32；当矩形的长为轴时，π＝2πr ，r ＝12.8．圆台轴截面的两条对角线互相垂直，且上下底面半径的比为34，又其高为142，则圆台的母线长是__________．答案：20解析：如图所示，由已知有r R ＝34＝O 1OOO 2，因为OB ⊥OC ，所以△AOB ，△DOC 均为等腰直角三角形．又O 1O 2＝142，所以O 1O ＝r ＝62，OO 2＝R ＝82，在Rt △BOC 中，OB 2＋OC 2＝l 2，所以r 2＋OO 21＋R 2＋OO 22＝l 2，代入数据得l ＝20.9．一个等边圆柱(底面直径等于高)的轴截面面积是S ，则它的底面面积是________．答案：π4S解析：设底面半径为r ，则4r 2＝S ，故底面面积为πr 2＝π·S 4＝π4S .三、解答题10．(12分)一圆台的母线长为13，下底面与上底面直径的差为10，求圆台的高．解：如图，O 1，O 2分别为圆台上、下底面圆的圆心，连接O 1O 2作AB ⊥O 2C 于B ，则有BC ＝102＝5，AC ＝13，所以圆台的高h ＝AC 2－BC 2＝132－52＝12.11．(13分)一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个高为x的内接圆柱．(1)用x表示圆柱的轴截面面积S；(2)当x为何值时，S最大？解：画出圆柱和圆锥的轴截面．如图，设圆柱的底面半径为r，则由三角形相似可得x6＝2－r2，解得r＝2－x3.(1)圆柱的轴截面面积S＝2r·x＝2·⎝⎛⎭⎪⎫2－x3·x＝－23x2＋4x，x∈(0,6)；(2)∵S＝－23x2＋4x＝－23(x2－6x)＝－23(x－3)2＋6∴当x＝3时，S有最大值6.能力提升12．(5分)如图，一个圆锥的高为2，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长以及圆锥的轴截面的面积．解：设圆锥的底面圆直径为AB，SO为高，SA为母线，如图，则∠ASO＝30°.在Rt△SAO 中，AO＝SO·tan30°＝2×33＝233，SA＝SOcos30°＝232＝433.而S△ASB＝12SO·2AO＝SO·AO ＝2×233＝433，所以圆锥母线长为433，它的轴截面面积为433.13．(15分)如图所示圆柱OO′的底面半径为2 cm，高为4 cm，P点为母线B′B的中点，∠AOB＝2π3，试求一蚂蚁从A点沿圆柱表面爬到P点的最小路程．解：将圆柱侧面沿母线A′A剪开展平得到如图所示的平面图．则知最短路径为平面图中线段AP.在Rt △ABP 中，AB ＝2π3×2＝4π3，PB ＝2.∴AP ＝16π29＋4＝2 4π29＋1 ＝234π2＋9 cm. 故蚂蚁从A 点沿圆柱表面爬到P 点的最小路程为234π2＋9 cm.。

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