《高考数学第一轮复习课件》第36讲 数列模型及应用
数列与函数不等式综合应用及数列模型应用PPT课件
1．建立数学模型的三关 (1)整理关：通过阅读、理解，明白问题讲什么，熟悉实际背景，为解题打 开突破口； (2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达 数量关系； (3)数理关：在构建数学模型过程中，对已有的数学知识进行检索，从而认 定或构建相应的数学模型．
第26页/共56页
【解析】(1)由已知，得 an＋1＝1＋anan， ∴an1＋1＝1＋anan＝a1n＋1， 即an1＋1－a1n＝1， ∴数列{a1n}是以a11＝2 为首项，1 为公差的等差数列． ∴a1n＝2＋(n－1)， 即 an＝n＋1 1.
第27页/共56页
(2)由已知得 an＋1≤1＋anan，an>0(n∈N*)． ∴an1＋1≥1＋anan＝a1n＋1， 即an1＋1－a1n≥1. ∴当 n≥2 时，a1n－a11＝(a12－a11)＋(a13－a12)＋…＋(a1n －an1－1)≥n－1， 即a1n≥(n－1)＋a11＝(n－1)＋2＝n＋1，∴an≤n＋1 1.
第17页/共56页
∴
2an
＝
[f(0)
＋
f(1)]
＋
[f(
1 n
)
＋
f(
n－1 n
)]
＋
…
＋
[f(1)＋f(0)]＝n＋2 1
∴an＝n＋4 1，n∈N*
又 an＋1－an＝n＋41＋1－n＋4 1＝14
故数列{an}是等差数列．
第18页/共56页
(3)∵bn＝4an4－1＝n4 ∴Tn＝b12＋b22＋…＋bn2＝16(1＋212＋312＋…＋n12) ≤16[1＋1×1 2＋2×1 3＋…＋n（n1－1）] ＝16(1＋1－12＋12－13＋…＋n－1 1－n1) ＝16(2－n1)＝32－1n6＝Sn ∴Tn≤Sn.
2011届新课标人教版高中第1轮总复习理科数学课件第36讲数列模型及应用
16
乙方案获利： ②乙方案获利： 1+(1+0.5)+(1+2×0.5)+…+(1+9×0.5) × × 银行本息和： 银行本息和： 1.05×[1+(1+5%)+(1+5%)2+…+(1+5%)9] ×
10 × 9 =10×1+ 万元); × ×0.5=32.50(万元 万元 2
故乙方案纯利： 万元); 故乙方案纯利：32.50-13.21=19.29(万元 由于本息与利润是熟悉的概念， 万元 由于本息与利润是熟悉的概念，因此只建 立通项公式并运用所学过的公式求解. 立通项公式并运用所学过的公式求解 综上可知，甲方案更好. 综上可知，甲方案更好
1 依题意,有 依题意 有n120°+ n(n-1)×5°=180°(n-2), ° × ° ° 2
化简得n -25n+144=0，解得n=9或 化简得n2-25n+144=0，解得n=9或n=16. =195°[0°,180°)，故n=16舍去， ° ° 舍去， °， 舍去
当n=16时，最大内角为 °+(16-1)×5° 时 最大内角为120° × ° 最大内角为120°+(9-1)×5°=160°. 当n=9时,最大内角为 时 最大内角为 ° × ° °
新课标高中一轮 总复习
理数
1
第五单元 数列、推理与证明 数列、
2
第36讲 36讲
数列模型及应用
3
1.认识数列的函数特性，能结合方 认识数列的函数特性， 认识数列的函数特性 不等式、 解析几何、 程 、 不等式 、 解析几何 、 算法等知识 解决一些数列问题. 解决一些数列问题 2.掌握与等差数列、等比数列有关 掌握与等差数列、 掌握与等差数列 的实际应用问题的解法. 的实际应用问题的解法
高三数学总复习教程(第36讲)
高三数学总复习教程（第36讲）主讲：金立建 江苏省特级教师、江苏省首批名教师、金陵中学一、本讲内容怎样解应用题（上）二、复习要求1.掌握解应用题的方法和一般步骤．2.增强应用意识，提高运用数学知识分析问题，解决问题的能力．3.在提高阅读理解能力的基础上，提高语言的表达能力以及将数学普通语言、符号语言、图形语言互相转化的能力．4.提高数学化能力，能通过对现实问题的抽象和概括，将实际问题转化为数学问题或建立数学模型．三、主要内容及典型题例从1993年起，高考数学试题强调了数学的应用意识，并连续两年在选择题、填空题中出现了应用题．自1995年起，每年在解答题中均安排了一个应用题大题，选材贴近生活，有很强的实际意义，而且解决这些实际问题所用的知识又都是中学数学的重点内容，高考数学试题的命题方向对引导学生用学过的数学知识解决生产和生活中的实际问题，增强应用意识，起到了很好的导向作用．数学来源于实践，又在应用于实践的过程中得到发展和完善，运用数学知识解决实际问题，既是数学的起源，又是数学的归宿，也是学习数学的目的所在．近年来高考数学坚持考查应用题的方向，坚持考查应用意识及突出数学在解决实际问题中的应用．现实中的应用问题千姿百态、千变万化，要体现数学的应用价值，使数学服务于生产、生活实际，首先应学会从实际问题中抽象出数学问题．建立适当的数学模型，然后运用所学过的数学知识解决之．因此，解数学应用题，需过好三关：文理关、事理关以及数理关．不少同学因对普通文字语言的阅读理解能力低而过不了“文理关”；长期闭门读书，不接触（或接触甚少）社会和生活实际又使一部分学生不明事理而难过“事理关”；缺乏对普通语言、数学符号语言和图形语言进行互相转换的能力以及运算能力弱，使不少考生无法建立数学模型而过不了“数理关”．三关挡道是近几年数学应用题得分低下的重要原因．要提高解应用题的水平，首先要提高自己的阅读理解能力，并注意弄清一些诸如至少、至多；不少于、不大于；增长到、增长了；都不是、不都是等关键词语的确切含意．因为正确理解题意是解应用题必须迈好的第一步．其次，解应用题必须将普通语言翻译成（内隐或外显的）数学语言．这就必须切实提高普通语言、数学符号语言以及图形语言的表述和互相转化的能力．需知数学语言是数学思维的载体，是解决问题的工具，要提高数学思维能力，离开娴熟的数学语言是不可思议的．只有提高语言的运用和转化能力，才能将具体实际问题准确的转化为数学问题或已知的数学模型．第三，要注意对运算程序的调控，使运算程序做到合理、简捷．合理的运算程序能缩短思维的长度，因而它是运算达到准确、简捷的前提和保证．运算应达到要求是“熟练、准确、合理、简捷”．此外关心国际、国内大事，接触社会、生活实际，关注社会、生活的热点问题，有助于对“事理”的理解和把握．总之，“通”文理、“明”事理、“精”数理，增强应用意识和提高数学化能力，是提高解数学应用题能力的根本出路．下面我们就一些典型问题进行归纳和剖析．(一)增长率问题例１ 从1981年到本世纪末的20年，我国力争使全国的工农业总产值翻两番，即由1980年的7100亿元增长到2000年的28000亿元左右．(1)如果每年增长率相同，问每年至少要增长百分之几？ (2)如果每年增长8%，几年可达到翻两番的目标？ 解 (1)设平均每年增长的百分数为x ，则有7100(1＋x )20≥28000，即 (1＋x )20≥71280．两边取对数，得20lg(1＋x )≥lg280－lg71， ∴ x ≥0.071＝7.1%．(2)设x 年达到翻两番，则得 7100(1＋8%)x ＝28000，x ＝108lg 71lg 280lg -＝18.3．故19年可达到翻两番的目标．评析 增长率问题是常见的实际问题之一，解这类问题要弄清“增长到”与“增长了”；“第一年”与“一年后”的区别．此外，本题中的“翻两番”是个专用名词，是指1×2×2＝4倍的意思．解增长率问题常需用对数进行计算，通常在试卷中会给出一些数据供选用．例２ 某鱼塘养鱼，由于改进了饲养技术，预计第一年的增长率为200%，以后每年的增长率是前一年的一半，设原来的产量为a .(1)写出改进饲养技术后的第一年、第二年、第三年的产量，并写出第n 年与第n －1 年（n ≥2，n ∈N ）的产量之间的关系式；(2)由于存在池塘老化及环境污染等因素，估计每年将损失年产量的10%，照这样下去，以后每年的产量是否始终逐年提高的？若是，请给予证明，若不是，请说明从第几年起，产量将不如上一年．解 第一年增长2，第二年是2×21＝……第n 年增长率为2×(21)n －1＝22－n . (1)设第n 年的年产量为a n ，则a 1＝a (1＋2)＝3a ，a 2＝a 1(1＋2×21)＝6a ，a 3＝[1＋2×(21)2]＝9a ，a n ＝a n －1[1＋2×(21)n －1]＝a n －1(1＋22－n )（n ≥2）．(2)设第一年实际产量为b ，第n 年的实际产量为b n ，则b 1＝a (1＋2)×(1－101)＝3a ×109，b 2＝b 1(1＋2×21)×109，b 3＝[1＋2×(21)2] ×109，…，b n ＝b n －1[1＋2 ×(21)n －1] ×109＝b n －1(1＋22－n )×109. 即 1-n n b b ＝(1＋n24)·109.显然，产量不可能是始终逐年提高的，设第n 年产量不如上一年，则1-n n b b ≤1， ∴ 2n ＞36， ∵ n ∈N ， ∴ n ＝6.即从第6年起，产量不如上一年．(二)利息和利润问题利息问题虽然也属增长率问题，但它又有其自身的特点，由于中学生对这类银行储蓄问题比较陌生，有必要单独介绍．利息分单利和复利两种：设将A 元钱（本金）存入银行，年利率为r ．(1)按单利计算：A 元本金的年利息为Ar 元，n 年的利息为nAr ．因此n 年后本利之和为 A ＋nAr ＝A (1＋nr )元．(2)按复利计算，第1年后的本利之和为A (1＋r )元；第2年后的本利之和为A (1＋r )2元（前一年的本利之和为后一年的本金）；这样n 年后的本利之和为A (1＋r )n 元．目前，我国银行的储种中，没有计算复利的．如三年的储种的年利率为r ，则A 元（本金）存入银行，三年后本利之和为A (1＋3r )元．但是，储户在操作过程中，可以将单利问题变为复利问题，只须储户在每年的存单的到期日将本利之和再转存一年，便是一个复利问题．如100元钱存入银行，所选储种为整存整取一年期，年利率为 3.78%，每年在存款到期日储户将本利之和再转存一年，则三年后的到期之日取得的本利之和为100×(1＋3.78%)3.此外，银行的储种利息中还有一种月息，这是按月计算利息的，若月息为m ，则年息为12m .例３ 某单位向银行贷款A 万元，按年利率r 以复利计息，若该单位在年初货进，前m 年不偿还债务，从第m ＋1年度开始，每年年末以相同的金额a 万元偿还，要求在后续的n 年把贷款的本利全部还清．问这里的a 表达式为何？分析 这类还贷问题，若是自第m ＋1年起，计算以后每一年还剩多少款需归还，则每年的款额就是一个变量．计算时就需逐年计算，有相当大的计算量．为减少计算量，在计算程序上我们通常将借贷与还款分开，分别计算，即得到如下的解法．解 从贷款之日起，到还清债务共m ＋n 年，A 万元的本利之和为A (1＋r )m ＋n （万元）。
高考数学一轮复习课后限时集训36数列的概念与简单表示法课件
列”．故选AD.]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
6．(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·67n，则下列说法 正确的是( )
A．数列{an}的最小项是a1 B．数列{an}的最大项是a4 C．数列{an}的最大项是a5 D．当n≥5时，数列{an}递减
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
a5＝11－＋1313＝2，a6＝11＋ －22＝－3，…，
因此数列{an}是周期为4的周期数列，
∴a2 020＝a505×4＝a4＝13.故选D.]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
5．(多选)(2020·广东阳江模拟)若数列{an}满足对任意的n∈N*且 n≥3，总存在i，j∈N*(i≠j，i<n，j<n)，使得an＝ai＋aj，则称数列{an} 是“T数列”．则下列数列是“T数列”的为( )
2n－11(n∈N*) 3 [∵Sn＝n2－10n， ∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11； 当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式． ∴an＝2n－11(n∈N*)．
列”；令an＝n2，则a1＝1，a2＝4，a3＝9，因为a3≠a1＋a2，所以数列
{n2}不是“T数列”；令an＝3n，则a1＝3，a2＝9，a3＝27，因为a3≠a1
＋a2，所以数列{3n}不是“T数列”；令an＝1－2
5n－1，则an＝1－2
5
n－2＋1－2 5n－3＝an－1＋an－2(n≥3)，所以数列1－2 5n－1是“T数
2n－11(n∈N*) 3 [∵Sn＝n2－10n， ∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11； 当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式． ∴an＝2n－11(n∈N*)．
高三数学高考第一轮复习课件：不等式
第六单元 │ 使用建议
使用建议
１．本单元内容理论性强，知识覆盖面广，因此教学中 应注意：
（１）复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显 然成立”的思维定式，一定使要用注建议意不等式成立的条件，强化 或者弱化了条件都有可能得出错误的结论．
第34讲 │ 编读互动 编读互动
第34讲 │ 知识要点 知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 双基固化 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
（１）理解不等式的性质及其证明． （２）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （３）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （４）掌握简单不等式的解法． （５）理解不等式｜ａ｜－｜ｂ｜≤｜ａ＋ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ ｂ｜．
第六单元 │ 复习策略
复习策略
不等式
目录
第34讲 不等式的概念与性质 第35讲 均值不等式 第36讲 不等式的解法 第37讲 不等式的证明 第38讲 含绝对值的不等式
第六单元 不等式
第六单元 │ 知识框架 知识框架
第六单元 │ 考点解读 考点解读
不等式、不等式的基本性质、不等式的证明、不等式的 解法、含绝对值的不等式．
第六单元 │ 考点解读
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
新高考一轮复习人教A版专题三数列课件(36张)
以 2 为公差的等差数列.
(2)解：由(1)知，an＋bn＝1×12n－1(其中 n∈N*)， ③ an－bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1(其中 n∈N*)， ④ ③＋④得 an＝1×12n－21＋2n－1＝21n＋n－21，(n∈N*)， 即 bn＝12n－1－an＝12n－n＋12，(n∈N*).
[例 2]在①2Sn＝3n＋1－3，②an＋1＝2an＋3，a1＝1 这两 个条件中任选一个，补充在下列问题中并解答.
设数列{an}的前 n 项和为 Sn，若________，bn＝2na－n 6， 求数列{bn}的最大值.
解：若选择条件①，∵2Sn＝3n＋1－3， ∴2Sn＋1＝3n＋2－3， 则 2Sn＋1－2Sn＝3n＋2－3n＋1，得 2an＋1＝3·3n＋1－3n＋1＝ 2×3n＋1，则 an＋1＝3n＋1，an＝3n(n≥2)， 故当 n＝1 时，2S1＝31＋1－3 即 a1＝S1＝3，满足 an＝ 3n，∴an＝3n，bn＝2na－n 6＝2n3－n 6. 令 2n－6>0，得 n>3，bn>0，令 2n－6<0，又 n∈N*， ∴0<n<3，bn<0.
①－②得34
n k 1
c
2k＝41＋422＋423＋…＋42n－24nn－＋11，
∴
n k 1
c
2k ＝
5 9
－
6n＋5 9×4n
，
因
此
高考总复习课程--2019年高考数学(理)第一轮复习(江苏版) 讲义： 第36讲 数列经典回顾
第36讲数列经典回顾开心自测题一：设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++=．题二：已知数列}{n a ，满足11=a ，)2()1(321321≥-++++=-n a n a a a a n n ，则}{n a 的通项1___n a ⎧=⎨⎩12n n =≥． 考点梳理1．数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列．2．数列通项与前n 项和的关系11 (1), (2).n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 3．等差数列（1）定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.（2）等差中项如果,,a A b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且2b a A +=， 或2a b A +=；在一个等差数列中，任意相邻的三项，中间一项一定是两头两项的等差中项．即112n n n a a a -++=，或112n n n a a a -++=．这也是判断一个数列是否等差数列的常用工具． （3）通项公式在等差数列{}n a 中，1(1)n a a n d =+-．通项公式的一般形式为()n m a a n m d =+-(,)n m ∈*N ．（4）前n 项和公式若{}n a 为等差数列，则前n 项和()12n n n a a S +=，或11(1)2n S na n n d =+-． 4．等比数列（1）定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做公比．（2）等比中项如果,,a G b 成等比数列，那么G 叫做a 与b的等比中项，且G =ab =G 2． 在一个等比数列中，任意相邻的三项，中间一项一定是两头两项的等比中项．即n a =211n n n a a a -+=．这也是判断一个数列是否等比数列的常用工具．（3）通项公式在等比数列{}n a 中，11 ()n n a a q n -=∈*N ．通项公式的一般形式为(,)n m n m a a q n m -=∈*N ．（4）前n 项和公式若{}n a 为等比数列，则前n 项和()111,(1)(1),1n n na q S a q q q ⎧=⎪=-⎨≠⎪-⎩或()()111,1.1n n na q S a a q q q ⎧=⎪=-⎨≠⎪-⎩ 5．数列的简单性质（1）在等差数列{}n a 中，若l k n m +=+，则l k n m a a a a =；特别地，若k n m a a a k n m 2 ,2=+=+则．（2）在等比数列{}n a 中，l k n m a a a a l k n m =+=+则若 , ;特别地，若2 ,2k n m a a a k n m ==+则.（3）等差数列依次每k 项和仍成等差数列.（4）设等比数列{}n a 的公比为q ，若011≠+⋅⋅⋅++-k qq ，则数列{}n a 的依次每k 项和仍成等比数列.金题精讲题一：在等差数列{}n a 中，公差12d =，且100145S =，则13599___.a a a a ++++=题二：设数列{}n a 满足 211233333n n n a a a a -++++=…， n ∈*N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）设n nn b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．题三：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n S n n N n *∈均在函数32y x =-的图象上． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设13+=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m ．数列经典回顾开心自测题一：24. 题二：!2n 金题精讲 题一：60. 题二：（Ⅰ）13n na ∴=； （Ⅱ）1(21)3344n n n S +-∴=+． 题三：（Ⅰ）*65()n a n n N =-∈；（Ⅱ）10．。
2021版高考文科数学人教A版一轮复习 三十六 数列的概念与简单表示法
的前 n 项和,则 S2 023=________.
【解析】因为 an+1=an-an-1(n≥2),a1=m,a2=n,所以 a3=n-m,a4=-m,a5=-n,a6=m-n,a7=m,a8=n,…,所以 an+6=an(n∈N*). 则 S2 023=S337×6+1=337×(a1+a2+…+a6)+a1=337×0+m=m.
答案:m
【变式备选】
已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 an+2SnSn-1=0(n≥2,n∈N*),a1= ,则通项 公式为________. 【解析】因为当 n≥2,n∈N*时,an=Sn-Sn-1, 所以 Sn-Sn-1+2SnSn-1=0, - =2,
所以 是公差为 2 的等差数列.
数列{an}的前 n 项的“均倒数”为 ,则数列{an}的通项公式为
() A.an=2n-1 C.an=4n-3
B.an=4n-1 D.an=4n-5
【解析】选 C.因为
=,
所以
=2n-1,
所以 a1+a2+a3+…+an=(2n-1)n,a1+a2+…+an-1=(2n-3)·(n-1)(n≥2), 当 n≥2 时,an=(2n-1)n-(2n-3)(n-1)=4n-3;a1=1 也适合此等式, 所以 an=4n-3. 【变式备选】
B.-1
C.3
D.1
【解析】选 C.当 n≥2 时,Sn= an,Sn-1= an-1.两式作差可得
an=Sn-Sn-1= an- an-1,则 = =1+ ,据此可得,当 n=2 时,
取到最大值 3. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 8.(2020·郑州模拟)意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为 例,引入“兔子数列”:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…,即 F(1)=F(2)=1,F(n)= F(n-1)+F(n-2)(n≥3,n∈N*),此数列在现代物理、
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
10
10 9 =10×1+ ×0.5=32.50(万元); 2
故乙方案纯利：32.50-13.21=19.29(万元); 由于本息与利润是熟悉的概念，因此只建 立通项公式并运用所学过的公式求解. 综上可知，甲方案更好.
甲方案是等比数列,乙方案是等差数列, ①甲方案获利： 1+(1+30%)+(1+30%)2+…+(1+30%)9
1.310 1 = ≈42.63(万元)， 0.3
银行贷款本息：10(1+5%)10≈16.29(万元)，
故甲方案纯利：42.63-16.29=26.34(万元)，
②乙方案获利： 1+(1+0.5)+(1+2×0.5)+…+(1+9×0.5)
(2)单利公式. 利用按单利计算,本金为a元,每期利率 r· 为r,存期为x,则本利和y=② a+a· x .
(3)产值模型.
原来产值的基数为N，平均增长率为p， N(1+p)x 对于时间x的总产值y=③ . (4)递推与猜证型 递推型有an+1=f(an)与Sn+1=f(Sn)类，猜 证型主要是写出前若干项，猜测结论，并 根据题设条件加以证明.
=110(x∈N*),则x= 10 .
x (1 2 x 1) 因为1+3+5+…+(2x-1)= =x2， 2 1 1 1 1 1 x 1 1 1 + 2 3 +…+ x( x 1) =1- + 2 - +…+ x - x 1 = , 1 2 x 1 2 3
所以
x2 x x 1
1 1 , ≤100,所以n-1≤200,故n≤201. 100 d d , 2
5.弹子跳棋共有60颗大小相同的球形弹子， 现在棋盘上将它叠成正四面体球垛，使 剩下的弹子尽可能的少，那么剩下的弹 子有( ) B A.3颗 C.8颗 B.4颗 D.9颗
熟悉正四面体的特征，由题设构造模 型：第k层为k个连续自然数的和；化简通项 再用分组求和法. 依题设,第k层正四面体为1+2+3+…+k= =
2 2 2 2
2
2
方法提炼
1.数列作为特殊的函数，在中学数学中占 有相当重要的位置，涉及实际应用的开放性 问题广泛而多样，诸如圆钢堆垒、增减率、 银行信贷、浓度匹配、养老保险等问题. 解答数列应用问题，应充分运用观察、 归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比)数列、 递推数列的模型，再综合运用其他相关知识 来解决问题.建立数列模型时，应明确是等差 数列模型还是等比数列的模型，或是递推数 列模型？是求an，还是求Sn，或是求n?
2.数列与其他知识综合，主要有数列与 不等式、数列与函数、数列与解析几何等
典例精讲
题型一 等差、等比数列的实际应用 例1 某企业进行技术改造，有两种方案，甲
方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1 万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙 方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元， 以后每年比前一年增加5千元.两种方案的使用 期都是10年，到期一次性归还本息.若银行两 种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比 较两种方案中，哪种获利更多？(参考数据： 1.0510=1.629,1.310=13.786,1.510=57.665)
2.数列综合问题的常用处理方法. (1)数列是一种特殊的函数，因此解数 列题应注意运用函数与方程的思想与方法.
(2)等价转换思想是解数列有关问题的 基本思想方法，复杂的数列求和问题经常 转化为等差、等比或常见的特殊数列的求 和问题.
(3)由特殊到一般及由一般到特殊的思 想是解决数列问题的重要思想.已知数列的 前若干项求通项，由有限的特殊事例，推 测出一般性的结论，都是利用此法实现的. (4)分类讨论的问题在数列解答题中常 会遇到.如等比数列中，经常要对公式q进 行讨论.如已知Sn求an时，要对n=1,n≥2时， 进行分类讨论.
=3×2+5×22+7×23+…+(2n+1)×2n.
因为c1=3×2=6,c2=6+5×4=26,c3=26+7×8=82,
c4=82+9×16=226,c5=226+11×32=578>500, 执 行S7,故输出的结果是5,578.
备选题 某个网络QQ群体中有n名同学在玩一
个数字哈哈镜游戏，这些同学依次编号为1， 2，…，n，且在哈哈镜中，每个同学看到的 像可用数对(p,q)(p<q)来表示.游戏规则如下： 若编号为k的同学看到的像为(p,q)，则编号 为 k+1 的 同 学 看 到 的 像 为 (q,r) ， 并 满 足 qp=k,r-q=k+1(其中p、q、r∈N*)，已知编号 为1的同学看到的像为(5,6). (1)请根据以上规律分别写出编号为2和3的同 学看到的像； (2)求编号为n的同学看到的像.
n n 1
. .
联立可解得xn=
n 2n 1 ,yn= n 1
1 xn (2)证明：由(1)知，1 xn xn sin = 2 sin 1 . 2 yn 2n 1
走进高考
(2009· 广东卷)已知曲线Cn:x2学例1 2nx+y2=0(n=1,2,…).从点P(-1,0)向曲线Cn 引斜率为kn(kn>0)的切线ln，切点为 Pn(xn,yn). (1)求数列{xn}与{yn}的通项公式； (2)证明:x1·3·5·…·x2n-1< x x
1 xn 1 xn
化简得n2-25n+144=0，解得n=9或n=16. =195°[0°,180°)，故n=16舍去，
当n=16时，最大内角为120°+(16-1)×5° 当n=9时,最大内角为120°+(9-1)×5°=160°.
3.若
1 3 5 (2 x 1) 1 1 1 1 2 2 3 x ( x 1)
2.在一个凸多边形中，最小内角为120°， 各内角度数成等差数列，公差为5°，则 这一凸多边形的边数为( A ) A.9 C.9或16 B.16 D.9或10
设 凸 多 边 形 边 数 为 n, 其 内 角 和 为 180°· (n-2),
1 依题意,有n· 120°+ n(n-1)×5°=180°· (n-2), 2
设{an}的公差为d，{bn}的公比为q,
则由于P1,P2,P3,…,Pn,…互不相同，
所以d=0,q=1不会同时成立.
1°若d=0且q≠1，则an=a1= P1,P2,P3,…,Pn,…都在直线x= 上；
1 (n∈N*) 2 1
2°若q=1且d≠0，则bn= P点评 本题是数列与平面向量综合的基本 1,P2,P3,…,Pn,…都在直线y= 2 上； 题型，以平面向量共线为载体构造数列递 3°若d≠0且q≠1，P1,P2,P3,…,Pn,…共线 推关系或等式，从而得到数列通项及属性， P 1P =(an-an-1,bn-bn-1)与 P P =(an+1-an,bn+1-bn) n n n n1 使得问题得到解决. 共线(n>1,n∈N*)
A.63 C.67 B.65 D.71
设开始的细胞数和每小时后的细
胞数构成的数列为 {an}，则有a1=2，
an1 1 an+1=2an-1，即 a 1 n
=2.
所以数列{an-1}是首项为1，公比为2的等 比数列. 因此，an-1=2n-1，即an=2n-1+1. 所以a7=26+1=65.
新课标高中一轮总复习
理数
第五单元
数列、推理与证明
第36讲
数列模型及应用
1.认识数列的函数特性，能结合方 程、不等式、解析几何、算法等知识 解决一些数列问题.
2.掌握与等差数列、等比数列有关 的实际应用问题的解法.
1.某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个 并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1 个，3小时后分裂成10个并死去1个，按 此规律进行下去，6小时后细胞存活的个 数是（ B ）
n-an-1)(bn+1-bn)-(an+1-an)(bn-bn-1)=0 (a d(bn+1-bn)-d(bn-bn-1)=0 n+1-bn)=(bn-bn-1)q=1,与q≠1矛盾， (b
2 1 为常数列 2 1
所以当d≠0且q≠1时,P1,P2,P3,…,Pn,…不共线.
=110，即x(x+1)=110，解得x=10.
x2 x 4. 椭 圆 + =1 上 有 n 个 不 同 的 点 P1 ， 3 4
2
P2，…，Pn，椭圆的右焦点为F，数列
1 {|PnF|}是公差不小于 100
的等差数列， D.201
则n的最大值为( D ) A.198 B.199 C.200
|P1F|≥a-c=1,|PnF|max=a+c=3, 所以1+(n-1)×d≤3,所以n-1≤ 因为d≥
题型三 数列与算法的创新整合 例3 读下列算法，指出当输入的四个数
依次为1,1,0,0时，输出的结果是什么？ S1：输入a,b,c,n； S2：n=n+1； S3：a=2a； S4：b=b+2； S5：c=c+ab； S6：若c≤500，则转S2； S7Байду номын сангаас输出n，c.
从数列的角度看算法，则S3 可以看作 an+1=2an；S4可以看作bn+1=bn+2；S5可以看作 cn+1=cn+an·n ，输入的四个数依次为1,1,0,0， b 点评 数列中的递推关系与算法中的循环 即a0=1,b0=1,c0=0,n=0, 结构简直就是“天造地设的一对”，同学 故an=2n，bn=2n+1, 们应重视. cn=a1b1+a2b2+…+anbn