【必做练习】高中数学第2章平面解析几何初步2.3.2空间两点间的距离课堂精练苏教版必修2
2019-2020学年高中数学(苏教版,必修二)第二章平面解析几何初步2.3.2课时作业(含答案)
2019-2020学年苏教版数学精品资料2.3.2空间两点间的距离【课时目标】1．掌握空间两点间的距离公式．2．能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．1．在空间直角坐标系中，给定两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则P1P2＝_________________________________________________________________．特别地：设点A(x，y，z)，则A点到原点的距离为：OA＝________________．2．若点P1(x1，y1,0)，P2(x2，y2,0)，则P1P2＝__________________________________________________________________．3．若点P1(x1,0,0)，P2(x2,0,0)，则P1P2＝________________．一、填空题1．若A(1,3，－2)、B(－2,3,2)，则A、B两点间的距离为________．2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为________．3．到点A(－1，－1，－1)，B(1,1,1)的距离相等的点C(x，y，z)的坐标满足的关系式为____________．4．已知A(2,1,1)，B(1,1,2)，C(2,0,1)，则△ABC的形状为____________三角形．5．已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当AB取最小值时，x的值为________．6．点P(x，y，z)满足x－12＋y－12＋z＋12＝2，则点P的集合为____________________________．7．在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A(3，－1,2)，其中心M的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为________．8．已知P 32，52，z到直线AB中点的距离为3，其中A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则z＝________．9．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________．二、解答题10．在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最小．11．如图所示，BC＝4，原点O是BC的中点，点A的坐标为(32，12，0)，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求AD的长度．能力提升12．已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC 上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜2)．(1)求MN的长；(2)当a为何值时，MN的长最小．13．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AD＝3，AA1＝2，点M在A1C1上，MC1＝2A1M，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离．空间中两点的距离公式，是数轴上和平面上两点间距离公式的进一步推广，反之，它可以适用于平面和数轴上两点间的距离的求解．设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则d(P1，P2)＝x2－x12＋y2－y12＋z2－z12，当P1，P2两点落在了坐标平面内或与坐标平面平行的平面内时，此公式可转化为平面直角坐标系中的两点间距离公式，当两点落在坐标轴上时，则公式转化为数轴上两点间距离公式．2．3．2空间两点间的距离答案知识梳理1．x1－x22＋y1－y22＋z1－z22x2＋y2＋z22．x1－x22＋y1－y223．|x1－x2|作业设计1．5解析AB＝1＋22＋3－32＋－2－22＝5．2．29解析由已知求得C1(0,2,3)，∴AC1＝29．3．x＋y＋z＝0解析AC＝BC?(x＋1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2．即x＋y＋z＝0．4．直角解析AB＝2，BC＝3，AC＝1，∴AB2＋AC2＝BC2．故构成直角三角形．5．8 7解析AB＝x－12＋3－2x2＋3x－32＝14x2－32x＋19，∴当x＝－－322×14＝87时，AB最小．6．以点(1,1，－1)为球心，以2为半径的球面7．239 38．0或－4解析利用中点坐标公式，则AB中点C 12，92，－2，PC＝3，即32－122＋52－922＋[z－－2]2＝3，解得z＝0或z＝－4．9．(0，－1,0)解析设M的坐标为(0，y,0)，由MA＝MB得(0－1)2＋(y－0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y＋3)2＋(0－1)2，整理得6y＋6＝0，∴y＝－1，即点M的坐标为(0，－1,0)．10．解∵点M在直线x＋y＝1(xOy平面内)上，∴可设M(x,1－x,0)．∴MN＝x－62＋1－x－52＋0－12＝2x－12＋51≥51，当且仅当x＝1时取等号，∴当点M坐标为(1,0,0)时，(MN)min＝51．11．解由题意得B(0，－2,0)，C(0,2,0)，设D(0，y，z)，则在Rt△BDC中，∠DCB＝30°，∴BD＝2，CD＝23，z＝3，y＝－1．∴D(0，－1，3)．又∵A(32，12，0)，∴AD＝322＋12＋12＋32＝6．12．解∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，∴BE⊥平面ABCD，∴AB、BC、BE两两垂直．过点M作MG⊥AB，MH⊥BC，垂足分别为G、H，连结NG，易证NG⊥AB．∵CM＝BN＝a，∴CH＝MH＝BG＝GN＝22a，∴以B为原点，以AB、BE、BC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B—xyz，则M22a，0，1－22a，N22a，22a，0．(1)MN＝22a－22a2＋0－22a2＋1－22a－02＝a2－2a＋1＝a－222＋12，(2)由(1)得，当a＝22时，MN最短，最短为22，这时M、N恰好为AC、BF的中点．13．解如图分别以AB、AD、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．由题意可知C(3,3,0)，D(0,3,0)，∵DD1＝CC1＝2，∴C1(3,3,2)，D1(0,3,2)，∵N为CD1的中点，∴N 32，3，1．M是A1C1的三分之一分点且靠近A1点，∴M(1,1,2)．由两点间距离公式，得MN＝32－12＋3－12＋1－22＝212．。
「精品」高中数学第二章平面解析几何初步2.3.2空间两点间的距离学业分层测评苏教版必修2
2.3.2 空间两点间的距离(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．已知A (1，－2,1)，B (2,2,2)，点P 在z 轴上，且PA ＝PB ，则点P 的坐标为________． 【解析】 设P (0,0，c )， 由题意得－2＋＋2＋c －2＝－2＋－2＋c －2，解得c ＝3，∴点P 的坐标为(0,0,3)． 【答案】 (0,0,3)2．已知平行四边形ABCD ，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3，7，－5)，则顶点D 的坐标为__________． 【解析】 由平行四边形对角线互相平分的性质知，AC 的中点即为BD 的中点，AC 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，－1.设D (x ，y ，z )，则72＝x ＋22，4＝－5＋y 2，－1＝1＋z 2，∴x ＝5，y ＝13，z ＝－3， ∴D (5,13，－3)． 【答案】 (5,13，－3)3．△ABC 在空间直角坐标系中的位置及坐标如图2－3－13所示，则BC 边上的中线的长是________．图2－3－13【解析】 BC 的中点坐标为(1,1,0)． 又A (0,0,1)， ∴AM ＝12＋12＋－2＝ 3.【答案】34．点B 是点A (2，－3,5)关于xOy 平面的对称点，则AB ＝________. 【解析】 点B 的坐标为B (2，－3，－5)， ∴AB ＝－2＋－3＋2＋＋2＝10.【答案】 105．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是________．【解析】 设P (x ，y ，z )，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y 2＋z 2＝1，x 2＋z 2＝1，∴x 2＋y 2＋z 2＝32，∴x 2＋y 2＋z 2＝62. 【答案】626.在如图2－3－14所示的空间直角坐标系中，长方体的顶点C ′的坐标为(4,4,2)，E ，F 分别为BC ，A ′B ′的中点，则EF 的长为________．图2－3－14【解析】 由C ′(4,4,2)知，B (4,0,0)，C (4,4,0)，A ′(0,0,2)，B ′(4,0,2)．由中点坐标公式得，E (4,2,0)，F (2,0,2)，∴EF ＝－2＋－2＋－2＝2 3.【答案】 2 37．在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使点M 到点N (6,5,1)的距离最小，则M 点坐标为________.【导学号：41292123】【解析】 设M 点坐标为(x,1－x,0)， 则MN ＝x －2＋－x －2＋－2＝x －2＋51≥51(当x ＝1时，取“＝”)，∴M (1,0,0)． 【答案】 (1,0,0)8．已知正方体不在同一表面上的两顶点A (－1,2，－1)，B (3，－2,3)，则正方体的体积是__________．【解析】 设正方体的棱长为a ， 则3a ＝AB ＝42＋－2＋42＝43，所以a ＝4，V ＝43＝64. 【答案】 64二、解答题9．如图2－3－15，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝2，AB ＝4，DE ⊥AC ，垂足为E ，求B 1E 的长．图2－3－15【解】 如图，以点D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．则D (0,0,0)，B 1(2,4,2)，A (2,0,0)，C (0,4,0)，设点E 的坐标为(x ，y,0)， 在坐标平面xOy 内，直线AC 的方程为x 2＋y4＝1，即2x ＋y －4＝0，DE ⊥AC ， 直线DE 的方程为x －2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4＝0，x －2y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝45，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45，0.∴B 1E ＝＝6105， 即B 1E 的长为6105.10．如图2－3－16(1)，已知矩形ABCD 中，AD ＝3，AB ＝4.将矩形ABCD 沿对角线BD 折起，使得面BCD ⊥面ABD .现以D 为坐标原点，射线DB 为y 轴的正方向，建立如图2－3－16(2)所示空间直角坐标系，此时点A 恰好在xDy 平面内，试求A ，C 两点的坐标.【导学号：41292124】图2－3－16【解】 由题意知，在直角坐标系D －xyz 中，B 在y 轴的正半轴上，A ，C 分别在xDy 平面、yDz 平面内．在xDy 平面内过点A 作AE 垂直y 轴于点E ，则点E 为点A 在y 轴上的射影． 在Rt △ABD 中，由AD ＝3，AB ＝4，得AE ＝125，从而ED ＝AD 2－AE 2＝95.∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫125，95，0，同理，在yDz 平面内过点C 作CF 垂直y 轴于点F ，则点F 为点C 在y 轴上的射影，CF ＝125，DF＝165， ∴C ⎝⎛⎭⎪⎫0，165，125.[能力提升]1．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，D 1D ＝3，点M 是B 1C 1的中点，点N 是AB 的中点．建立如图2－3－17所示的空间直角坐标系．图2－3－17(1)点D ，N ，M 的坐标为________，________，________. (2)MD ＝________，MN ＝________.【解析】 (1)因为D 是原点，则D (0,0,0)． 由AB ＝BC ＝2，D 1D ＝3，得A (2,0,0)，B (2,2,0)，B 1(2,2,3)，C 1(0,2,3)． ∵N 是AB 的中点，∴N (2,1,0)． 同理可得M (1,2,3)． (2)由两点间距离公式，得MD ＝－2＋－2＋－2＝14， MN ＝－2＋－2＋－2＝11.【答案】 (1)(0,0,0) (2,1,0) (1,2,3) (2)14112．已知△ABC 的三个顶点坐标是A (3,1,1)，B (－5,2,1)，C (－4,2,3)，则它在yOz 平面上的射影所组成的△A ′B ′C ′的面积是________．【解析】 A ，B ，C 三点在yOz 平面上的射影为A ′(0,1,1)，B ′(0,2,1)，C ′(0,2,3)，△A ′B ′C ′是以B ′为直角的Rt △，∴S △A ′B ′C ′＝12×1×2＝1.【答案】 13．三棱锥各顶点的坐标分别为(0,0,0)，(1,0,0)，(0,2,0)，(0,0,3)，则三棱锥的体积为________．【解析】 V ＝13S ·h ＝13×12×1×2×3＝1.【答案】 14．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝2，CB ＝CC 1＝4，E ，F ，M ，N 分别是A 1B 1，AB ，C 1B 1，CB 的中点，如图2－3－18建立空间直角坐标系．图2－3－18(1)在平面ABB 1A 1中找一点P ，使△ABP 为正三角形；(2)能否在MN 上求得一点Q ，使△AQB 为直角三角形？若能，请求出点Q 的坐标，若不能，请予以证明.【导学号：41292125】【解】 (1)因为EF 是AB 边的中垂线，在平面AB 1内只有EF 上的点与A ，B 两点的距离相等，则P 必在EF 上，设P (1,2，z )，则由|PA |＝|AB |，得－2＋－2＋z －2＝－2＋－2＋－2，即z 2＋5＝20， ∴z 2＝15. ∵z ∈[0,4]， ∴z ＝15.故平面ABB 1A 1中的点P (1,2，15)， 使△ABP 为正三角形． (2)设MN 上的点Q (0,2，z )，由△AQB 为直角三角形，其斜边的中线长必等于斜边长的一半， ∴|QF |＝12|AB |，即1＋z 2＝5，∴z ＝2(0<z <4)，故MN 上的点Q (0,2,2)使得△AQB 为直角三角形．。
高中数学必修2(人教B版)第二章平面解析几何初步2.3知识点总结含同步练习题及答案
4 时，直线与圆相切； 3 4 当 d < 2，即 m > 0 或 m < − 时，直线与圆相交； 3 4 当 d > 2，即 − < m < 0 时，直线与圆相离． 3
法二：（代数法） 将 y = mx − m − 1 代入圆的方程，化简并整理，得
(1 + m 2 )x2 − 2(m 2 + 2m + 2)x + m 2 + 4m + 4 = 0.
1. 当D 2 + E 2 − 4F > 0 时，比较方程②和圆的标准方程，可以看出②表示以(− 圆心，
1 − − − − − − − − − − − − √D 2 + E 2 − 4F 为半径长的圆； 2 D E 2. 当D 2 + E 2 − 4F = 0 时，方程②只有实数解x = − ，y = − ，它表示一个点 2 2 D E (− , − )； 2 2 3. 当D 2 + E 2 − 4F < 0 时，方程②没有实数解，它不表示任何图形．
− − − − − − − − − −− − − − −
(x − a)2 + (y − b)2 = r2 ⋯ ⋯ ①，若点M (x, y)在圆上，有上述可知，点M 的坐标适合方程 ①；反之，若点M (x, y)的坐标适合方程①，这说明点M 与圆心A 的距离为r ，即点M 在圆心为 A 半径为 r 的圆上．我们把方程①称为以A(a, b)为圆心，以 r 为半径的圆的标准方程（standard
所以 △ABC 的外接圆方程为 x 2 + y 2 − 4x − 2y − 20 = 0 ． 光线从点 A(−1, 1) 发出，经过 x 轴反射到圆 C ：(x − 2)2 + (y − 3)2 = 1 上，则光线经过的 最短路程是______． 解：4 ． 点 A(−1, 1) 关于 x 轴的对称点为 A ′ (−1, −1) ，圆 C ：(x − 2)2 + (y − 3)2 = 1 的圆心为 C (2, 3) ，半径为 1 ，所以光线经过的最短路程为
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2.3 两条直线的位置关系同步练习(含解析)新人教B版必修2
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两条直线的位置关系1．已知直线l1：(k－3）x＋(4－k)y＋1＝0与l2:2（k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( )．A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或22．由直线2x－y＋2＝0，x－3y－3＝0和6x＋2y＋5＝0围成的三角形为（）．A．直角三角形 B．等边三角形C．钝角三角形 D．锐角三角形3．已知集合A＝{（x，y）|x＋y＝0,x,y R}，B＝{（x，y)｜x－y＝0,x，y R}，则集合A B的元素个数是( ）．A．0 B．1C．2 D．34．若直线l：y＝kx－1与直线x＋y－1＝0的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是（)．A．（－∞，－1) B．（－∞,－1]C．(1，＋∞） D．［1，＋∞）5．若直线l经过点M（a－2,－1)和N(－a－2，1）且与经过点（－2，1),斜率为23-的直线垂直，则实数a的值为（）．A．23- B．32-C．23D．326．已知直线l1：x－y－1＝0，l2：2x－y＋3＝0，l3：x＋my－5＝0,若l1，l2,l3只有两个交点，则m＝__________.7．已知直线l过点P（3，1)，且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2:x＋y＋6＝0截得的线段长度为5，求直线l的方程．8．（1)求点A（3，2)关于点B（－3,4）的对称点C的坐标；（2）求直线3x－y－4＝0关于点P（2，－1）对称的直线l的方程；(3)求点A(2,2）关于直线2x－4y＋9＝0的对称点的坐标．9。
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2 圆与方程练习(含解析)苏教版必修2(2021年最新整理)
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2。
2 圆与方程一、填空题1. 已知点A（1,－1),B（－1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是__________．【答案】x2＋y2＝2【解析】圆心是AB的中点坐标为（0,0），直径是AB两点之间距离是2，∴ 圆的方程为x2＋y2＝2.2. 已知A（－1，5），B（－2，－2）,C(5,5),则△ABC的外接圆的方程是__________．【答案】x2＋y2－4x－2y－20＝0【解析】设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则解得D＝－4，E＝－2，F＝－20，所以△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.3。
若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是__________．【答案】【解析】由D2＋E2－4F>0,得(－1)2＋12－4m〉0,即m〈。
4. 若方程x2＋y2＋ax－2ay＋a2＋3a＝0表示的图形是半径为r（r＞0)的圆,则该圆的圆心在第________象限．【答案】四【解析】将圆的方程化为标准方程:，故－3a＞0，即a＜0。
而圆心为，故圆心在第四象限．点睛：遇见圆的一般刚才时往往先转化为标准方程,便于利用圆心和半径。
对于，有。
只有当时，方程才表示为圆，圆心为，半径为。
2021-2022年高中数学第2章平面解析几何初步2.1.3两条直线的平行与垂直课堂精练苏教版必修
2021-2022年高中数学第2章平面解析几何初步2.1.3两条直线的平行与垂直课堂精练苏教版必修1．下列说法：①若直线l1与l2的斜率相等，则l1∥l2；②若直线l1∥l2，则两直线的斜率相等；③若直线l1，l2的斜率均不存在，则l1∥l2；④若两直线的斜率不相等，则两直线不平行；⑤若直线l1∥l2，且l1的斜率不存在，那么l2的斜率也不存在．其中正确的个数是__________．2．与直线垂直的直线的倾斜角为__________．3．已知{(x，y)|ax＋y＋b＝0}∩{(x，y)|x＋ay＋1＝0}＝∅，则a，b所满足的条件是__________．4．已知两点M(2,2)，N(5，－2)，点P在x轴上，且∠MPN＝90°，则P点坐标为__________．5．已知直线l的倾斜角为45°，直线l1经过点A(3,2)，B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b＝__________.6．(1)菱形ABCD的两对角线所在直线的方程分别为(m＋1)x＋y－2＝0和3mx＋(m＋1) y －4＝0，则m的值为__________．(2)直线x＋3y－7＝0和kx－y－2＝0与x轴、y轴正向所围成的四边形有外接圆，则k 的值为__________．7．(1)过原点作直线l的垂线，若垂足为A(－2,3)，求直线l的方程．(2)三角形三个顶点是A(4,0)，B(6,7)，C(0,3)，求AB边上的高所在的直线方程．(3)光线从点M(－2,3)射到x轴上一点P(1,0)后被x轴反射，求反射光线所在的直线方程．8．求与直线4x－3y＋5＝0垂直，且与两坐标轴围成的三角形周长为10的直线方程．9.已知A，B，C，D按逆时针方向排列，A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形．1．2 ①③中的直线可能重合，②中的直线l1，l2的斜率可能不存在，④⑤正确．2．60°由直线x＋y－1＝0得，得，即，所以α＝60°.3．当a＝1时，b≠1；当a＝－1时，b≠－1 由题意，知直线ax＋y＋b＝0与x＋ay＋1＝0平行，∴有a2－1＝0.∴a＝±1.当a＝1时，b≠1；当a＝－1时，b≠－1.4．(1,0)，(6,0) 设P坐标为(x,0)，则k PM·k PN＝－1，即，∴x＝1或x＝6.∴P(1,0)，P(6,0)．5．8 l的斜率为k＝tan 45°＝1，∴kl1＝－1，.∴a＝6.由l1∥l2，∴，b＝2.∴a＋b＝6＋2＝8.6．(1)或－1 (2)3 (1)∵菱形的对角线互相垂直，∴两条直线的方程的系数满足(m＋1)·3m＋1·(m＋1)＝0，即3m2＋4m＋1＝0.解得m＝－1或(2)∵四边形有外接圆，∴由圆内接四边形的内对角互补知两已知直线互相垂直．∴1·k＋3·(－1)＝0，即k＝3.7.解： (1)如图，∵，且OA⊥l，∴l 的斜率为. 于是l 的方程为． 整理得2x －3y ＋13＝0.(2)∵，∴与AB 垂直的直线的斜率为，故方程为2x ＋7y ＋m ＝0的形式，代入点C 坐标得m ＝－21.(也可由点斜式求，由，得2x ＋7y －21＝0.)∴AB 边上的高所在的直线方程为2x ＋7y－21＝0.(3)如图，由条件可知M 点关于x 轴的对称点M ′(－2，－3)在反射光线所在的直线上． ∴反射光线的斜率为.∴反射光线所在的直线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 8．解：设所求直线方程为3x ＋4y ＋b ＝0， 令x ＝0，得，即A ；令y ＝0，得，即. 又∵三角形周长为10，即OA ＋OB ＋AB ＝10，∴1043b b -+-=.解之得b ＝±10，故所求直线方程为3x ＋4y ＋10＝0或3x ＋4y －10＝0.9.解：由直角梯形的知识知，若ABCD 为直角梯形，则必有一边垂直于与它相邻的两边，且这一边与它相对的边不平行，因此可设出点D (x ，y )，将各边斜率表示出来之后，建立斜率之间的关系即可．设所求点D 的坐标为(x ，y )，如图所示，由于k AB ＝3，k BC ＝0，∴k AB ·k BC ＝0≠－1，即AB 与BC 不垂直，故AB ，BC 都不可作为直角梯形的直角腰． (1)若CD 是直角梯形的直角腰，则BC ⊥CD ，AD ⊥CD ， ∵k BC ＝0，∴CD 的斜率不存在，从而有x ＝3.又k AD ＝0，∴，即y ＝3，此时AB 与CD 不平行，故所求点D 的坐标为(3,3)．(2)若AD是直角梯形的直角腰，则AD⊥AB，AD⊥CD，∵，，又由于AD⊥AB，∴又AB∥CD，∴，解上述两式可得18595xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩此时AD与BC不平行．综上，可知使四边形ABCD为直角梯形的点D的坐标为(3,3)或.25616 6410 搐34100 8534 蔴32398 7E8E 纎a30443 76EB 盫~29550 736E 獮31952 7CD0 糐 30528 7740 着21151 529F 功-LD'。
高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.32.3.2 空间两点
2.3.2 空间两点间的距离A级基础巩固1．若A(1，3，－2)、B(－2，3，2)，则A、B两点间的距离为( )A.61 B．25 C．5 D.57解析：|AB|＝（－2－1）2＋（3－3）2＋（2＋2）2＝5.答案：C2．已知A(1，2，3)，B(3，3，m)，C(0，－1，0)，D(2，－1，－1)，则( )A．|AB|>|CD| B．|AB|<|CD|C．|AB|≤|CD| D．|AB|≥|CD|解析：|AB|＝22＋12＋（m－3）2＝5＋（m－3）2，|CD|＝22＋02＋（－1）2＝ 5.因为(m－3)2≥0，所以|AB|≥|CD|.答案：D3．已知点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且|AB|＝26，则实数x的值是( )A．－3或4 B．6或2C．3或－4 D．6或－2解析：因为|AB|＝（x－2）2＋（1－3）2＋（2－4）2＝（x－2）2＋8＝2 6.所以x＝6或x＝－2.答案：D4．设点P在x轴上，它到点P1(0，2，3)的距离为到点P2(0，1，－1)的距离的两倍，则点P的坐标为( )A．(1，0，0) B．(－1，0，0)C．(1，0，0)或(0，－1，0) D．(1，0，0)或(－1，0，0)解析：因为点P在x轴上，所以设点P的坐标为(x，0，0)．由题意，知|PP1|＝2|PP2|，所以（x－0）2＋（0－2）2＋（0－3）2＝2（x－0）2＋（0－1）2＋（0＋1）2，解得x＝±1.所以所求点为(1，0，0)或(－1，0，0)．答案：D5．在x轴上与点A(－4，1，7)和点B(3，5，－2)等距离的点的坐标为________．解析：设x 轴上的点的坐标为(x ，0，0)，则由距离公式得：(x ＋4)2＋(－1)2＋(－7)2＝(x －3)2＋(－5)2＋22.解得x ＝－2.答案：(－2，0，0)6．设A (3，3，1)，B (1，0，5)，C (0，1，0)，AB 的中点M ，则|CM |＝________． 解析：由中点公式得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3， 所以|CM |＝ （2－0）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋（3－0）2＝532. 答案：532 7．已知空间三点A (0，0，3)，B (4，0，0)，C (4，5，0)，求△ABC 的周长． 解：因为|AB |＝（0－4）2＋02＋（3－0）2＝5，|BC |＝（4－4）2＋（0－5）2＋02＝5，|AC |＝（0－4）2＋（0－5）2＋（3－0）2＝52，所以△ABC 的周长为10＋5 2.B 级 能力提升8．已知点A (1，－3，2)，B (－1，0，3)，在z 轴上求一点M ，使得|AM |＝|MB |，则M 的竖坐标为( )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4解析：设M (0，0，z )，则12＋32＋（z －2）2＝12＋02＋（z －3）2，解之得z ＝－2.答案：B9．已知A (1－t ，1，t )，B (2，t ，t )(t ∈R)，则A ，B 两点间距离的最小值是( )A. 2 B ．2 C.22 D ．1 解析：由两点间的距离公式，得|AB |＝[2－（1－t ）]2＋（t －1）2＋（t －t ）2＝2t 2＋2，当t ＝0时，|AB |取最小值为 2.答案：A10．一束光线自点P (1，1，1)出发，被xOy 平面反射到达点Q (3，3，6)被吸收，那么光所走的距离是( )A.37B.33C.47D.57解析：P关于xOy面对称的点为P′(1，1，－1)，则光线所经过的路程为|P′Q|＝（3－1）2＋（3－1）2＋（6＋1）2＝57.答案：D11．已知点A(－3，1，4)关于原点的对称点为B，则线段AB的长为________．解析：|AB|＝2|OA|＝2（－3）2＋12＋42＝226.答案：22612．已知A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)，则△ABC是________三角形(填三角形的形状)．解析：|AB|＝（4－7）2＋（3－1）2＋（1－2）2＝14.|AC|＝（4－5）2＋（3－2）2＋（1－3）2＝6，|BC|＝（7－5）2＋（1－2）2＋（2－3）2＝6，所以|AC|＝|BC|，由三边长度关系知能构成三角形，所以△ABC是等腰三角形．答案：等腰13．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是________．解析：设点P(a，b，c)，则它在三个坐标轴上的射影为P1(a，0，0)、P2(0，b，0)、P3(0，0，c)，由已知得b2＋c2＝1，c2＋a2＝1，a2＋b2＝1.所以2(a2＋b2＋c2)＝3.故|PO|＝a2＋b2＋c2＝32＝62.答案：6 214.如图所示，已知三棱锥P-ABC在某个空间直角坐标系中，B(3m，m，0)，C(0，2m，0)，P(0，0，2n)．(1)画出这个空间直角坐标系，并指出AB与x轴的正方向的夹角；(2)若M为BC的中点，n＝32m，求直线AM与其在平面PBC内的投影所成的角．解：(1)如图所示，以A为坐标原点O，以AC为Oy轴，以AP为Oz轴，建立空间直角坐标系，此时AB与Ox轴的正向夹角为30°.(2)连接AM，PM，因为AB＝AC＝2m，PB＝PC＝2m2＋n2，又M为BC中点，所以AM⊥BC，PM⊥BC.所以∠AMP为AM与其在面PBC内的射影所成的角．又n＝32m，所以PA＝AM＝3m.所以AM与其在面PBC内的射影所成角为45°.。
2019-2020年高中数学第2章平面解析几何初步2.1.6点到直线的距离课堂精练苏教版必修
2019-2020年高中数学第2章平面解析几何初步2.1.6点到直线的距离课堂精练苏教版必修1．直线l过原点，且点(2,1)到l的距离为2，则l的方程为__________．2．两直线l1：ax－by＋b＝0；l2：(a－1)x＋y＋b＝0.若l1∥l2，且l1与l2的距离为，则a＝__________，b＝__________.3．过点(2,1)作直线l，使A(1,1)，B(3,5)两点到l的距离相等，则直线l的方程是__________．4．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为，则m 的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是__________．(写出所有正确答案的序号)5．已知点P(m，n)在直线2x＋y＋1＝0上运动，则m2＋n2的最小值为__________．6．设两直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，且，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为__________．7．如图，直线4x＋3y－12＝0与x轴、y轴分别交于点A，B.(1)求∠BAO的平分线所在直线的方程；(2)求O到∠BAO的平分线的距离；(3)求过B与∠BAO的平分线垂直的直线的方程．8．过A(－4,0)，B(0，－3)两点作两条平行线，求满足下面条件的两条直线方程：这两条直线各自绕A、B旋转，使它们之间的距离取最大值．参考答案1．x＝0或当l的斜率不存在时，x＝0，符合题意；当l的斜率存在时，设斜率为k，则y＝kx.又，∴.∴故l的方程为x＝0或.2．2 －2 在l1上取一点A(0,1)，则由已知得A点到l2的距离为，即，化简得a2－2a＝2b2＋4b.①又由l1∥l2，得，得.②由①②得a＝0，b＝0或a＝2，b＝－2.∵当a＝b＝0时，l1不表示直线，∴a＝2，b＝－2.3．2x－y－3＝0或x＝2 当l∥AB时满足题意，∵，∴k l＝2，直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0；当l过AB中点时，也满足题意，∵，，∴AB中点坐标为(2,3)．此时，l过(2,1)，(2,3)两点，其斜率不存在，即l⊥x轴．∴直线l方程为x＝2.4．①⑤如图所示．∴m的倾斜角可以是α＝75°或β＝15°.5. ∵点P(m，n)在直线2x＋y＋1＝0上运动，∴2m＋n＋1＝0.而m2＋n2表示直线2m＋n＋1＝0上的点(m，n)与原点连线的距离的平方．而m2＋n2的最小值，即原点到该直线的距离的平方．∵，∴(m 2＋n 2)min ＝d 2＝. 6.， ∵，222111()[()4](14)222d a b a b ab c ===－＋－－，又0≤c ≤，∴d 2∈. ∴.7．解：(1)由直线4x ＋3y －12＝0可得A (3,0)，B (0,4)，由题图可知∠BAO 为锐角，所以∠BAO 的平分线所在直线的倾斜角为钝角，其斜率为负数．设P (x ，y )为∠BAO 的平分线上任意一点，则 ，所以4x ＋3y －12＝±5y .化简得2x －y －6＝0或x ＋2y －3＝0.由于斜率取负数，故∠BAO 的平分线所在直线的方程为x ＋2y －3＝0. (2)由上知O 到∠BAO 的平分线的距离为.(3)过B 与∠BAO 的平分线垂直的直线的方程为2x －y ＋4＝0.8．解法一：当两直线的斜率存在时，设斜率为k ，则由已知可得两条平行线的方程为：kx －y ＋4k ＝0，kx －y －3＝0，，∴，∴(d 2－16)k 2－24k ＋d 2－9＝0. ∵k ∈R ，∴Δ≥0，即d 4－25d 2≤0.∴d 2≤25.∴0＜d ≤5.∴d max ＝5，当d ＝5时，. 当两直线的斜率不存在时，d ＝4， ∴d max ＝5.此时两直线的方程分别为4x －3y ＋16＝0，4x －3y －9＝0.解法二：结合图形，当两直线与AB 垂直时，两直线之间距离最大，最大值为|AB |＝5，，所求直线的斜率为，方程为，，即4x －3y ＋16＝0,4x －3y －9＝0.2019-2020年高中数学第2章平面解析几何初步2.2-2.2.1圆的方程练习苏教版必修1．圆心是O (－3，4)，半径长为5的圆的方程为( ) A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝5 B ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝25 C ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝5 D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝25解析：将O (－3，4)，r ＝5代入圆的标准方程可得． 答案：D2．以点(2，－1)为圆心，且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的标准方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝9解析：由已知，得圆的半径长r ＝|3×2＋4×1＋5|32＋（－4）2＝155＝3， 故所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9. 答案：C3．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝5 B ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5 C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝5解析：直线方程变为(x ＋1)a －x －y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0，－x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以C (－1，2)， 所以所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5. 答案：C4．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形是( ) A ．以(a ，b )为圆心的圆 B ．以(－a ，－b )为圆心的圆 C ．点(a ，b ) D ．点(－a ，－b )解析：配方，得(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0，所以方程表示点(－a ，－b )．答案：D5．圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的圆心和半径长分别为( ) A ．(4，－6)，16 B ．(2，－3)，4 C ．(－2，3)，4D ．(2，－3)，16解析：由x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0，得(x ＋2)2＋(y －3)2＝16， 故圆心为(－2，3)，半径长为4. 答案：C6．点(1，1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则a 的取值范围为________． 解析：由(1－a )2＋(1＋a )2<4，所以2＋2a 2<4. 所以a 2<1. 答案：(－1，1)7．若点(1，－1)在圆x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0外，则m 的取值范围是________．解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧（－1）2＋12－4m >0，1＋（－1）2－1－1＋m >0， 解得0<m <12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 8．点P (a ，10)与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2的位置关系是________． 解析：（a －1）2＋92>2，即点P (a ，10)在圆外． 答案：在圆外9．点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 2，1－t 21＋t 2与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是________．解析：将点P 坐标代入得⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＝4t 2＋（1－t 2）2（1＋t 2）2＝（1＋t 2）2（1＋t 2）2＝1，所以点P 在圆上．答案：在圆上10．△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－1，5)，B (－2，－2)，C (5，5)，求其外接圆的方程．解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 因圆过A ，B ，C 三点，故得 ⎩⎪⎨⎪⎧－D ＋5E ＋F ＋26＝0，－2D －2E ＋F ＋8＝0，5D ＋5E ＋F ＋50＝0.解得D ＝－4，E ＝－2，F ＝－20，所以△ABC 的外接圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0.11．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围是( ) A ．m <12B ．m <0C ．m >12D ．m ≤12解析：由D 2＋E 2－4F >0， 得(－1)2＋12－4m >0，即m <12.答案：A12．圆x 2＋y 2－2x －1＝0关于直线2x －y ＋3＝0对称的圆的方程为( ) A ．(x ＋3)2＋(y －2)2＝12B ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝12C ．(x ＋3)2＋(y －2)2＝2 D ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝2解析：由x 2＋y 2－2x －1＝0，得(x －1)2＋y 2＝2， 则圆心为(1，0)，半径长r ＝ 2.设圆心(1，0)关于直线2x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x 1，y 1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y 1x 1－1＝－12，2×1＋x 12－y 12＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－3，y 1＝2.故x 2＋y 2－2x －1＝0关于直线2x －y ＋3＝0对称的圆的方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝2. 答案：C13．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程是________．解析：设P (x ，y )是轨迹上任一点， 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为B (1，0)， 则|PA |2＋1＝|PB |2， 所以(x －1)2＋y 2＝2. 答案：(x －1)2＋y 2＝214．已知点M 与两个定点A (1，0)，B (3，2)的距离的比值为13，求点M 的轨迹．解：在给定的坐标系中，设M (x ，y )是满足条件的任意一点，则MA MB ＝13.由两点间的距离公式，得（x －1）2＋y2（x －3）2＋（y －2）2＝13. 两边平方并化简，得x 2＋y 2－32x ＋12y －12＝0，配方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋142＝98.所以所求轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，－14，半径为324的圆． 15．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0，0)对称的圆的方程为________．解析：因为所求圆的圆心与圆(x ＋2)2＋y 2＝5的圆心(－2，0)关于原点(0，0)对称，所以所求圆的圆心为(2，0)，半径为5，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝5.答案：(x －2)2＋y 2＝516．已知圆：x 2＋y 2－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2－6m ＋4＝0过坐标原点，求实数m 的值． 解：将原点坐标(0，0)代入圆的方程，得2m 2－6m ＋4＝0，即m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，原方程为x 2＋y 2＝0，不表示圆，故舍去．当m ＝2时，原方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0表示圆，故所求的实数m 的值为2. 17.如图所示，已知点A (0，2)和圆C ：(x －6)2＋(y －4)2＝8，M 和P 分别是x 轴和圆C 上的动点，求|AM |＋|MP |的最小值．解：如图所示，先作点A 关于x 轴的对称点A ′(0，－2)，连接A ′和圆心C ，A ′C 交x 轴于点M ，交圆C 于点P ，这时|AM |＋|MP |最小．因为A ′(0，－2)，C (6，4)，所以|A ′C |＝（6－0）2＋（4＋2）2＝ 6 2.所以|A ′P |＝|A ′C |－R ＝62－22＝42(R 为圆的半径)． 所以|AM |＋|MP |的最小值是4 2.。
近年高中数学第2章平面解析几何初步第三节空间直角坐标系2空间两点间距离习题苏教版必修2(2021年
2018高中数学第2章平面解析几何初步第三节空间直角坐标系2 空间两点间距离习题苏教版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018高中数学第2章平面解析几何初步第三节空间直角坐标系2 空间两点间距离习题苏教版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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空间两点间距离(答题时间：40分钟）1. (南京检测）在空间直角坐标系中，点P（2,－4，6）关于y轴对称的点P′的坐标为____________。
2。
点P在x轴上,它到点P1(0，2，3）的距离是到点P2（0，1，－1）的距离的2倍，则点P的坐标是________。
3。
已知△ABC顶点坐标分别为A(－1,2，3）、B（2，－2,3）、C（12,52，3)，则△ABC为________三角形.4. （福建八县联考）已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（3，1，2）、B（4，－2,－2)、C(0,5，1），则BC边上的中线长________.5。
已知平行四边形ABCD,且A（4,1,3)、B（2，－5，1)、C（3，7，－5），则顶点D的坐标为__________.＊*6. 已知点A（2，m，m）,B（1－m，1－m，m），则AB的最小值为________.*＊7.（1）在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG＝14CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E、F、G、H的坐标.（2)(辽宁实验中学检测）在空间直角坐标系中，在z轴上求一点C,使得点C到点A（1，0，2）与点B（1,1,1)的距离相等。
高中数学第二章平面解析几何初步2.4.2空间两点的距离公式练习(含解析)新人教B版必修2
对应学生用书P75知识点一空间两点间的距离高中数学第二章平面解析几何初步2.4.2空间两点的距离公式练习（含解析）新人教B版必修21．在空间直角坐标系中，点A(3，2，－5)到x轴的距离d等于( )A．32＋22 B．22＋－52C．32＋－52 D．32＋22＋－52答案 B解析过点A作AB⊥x轴于点B，则B(3，0，0)，所以点A到x轴的距离d＝|AB|＝22＋－52．2．如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO－A′B′C′O′，则A′C 的中点E与AB的中点F的距离为( )A．2aB．22aC．aD．12a答案 B解析A′(a，0，a)，C(0，a，0)，点E的坐标为a2，a2，a2，而F⎝⎛⎭⎪⎫a，a2，0，∴|EF|＝a24＋02＋a24＝22a，故选B．知识点二空间两点间距离公式的应用3．点P(x ，y ，z)满足x －12＋y －12＋z ＋12＝2，则点P 在( )A ．以点(1，1，－1)为球心，以2为半径的球面上 B ．以点(1，1，－1)为中心，以2为棱长的正方体内 C ．以点(1，1，－1)为球心，以2为半径的球面上 D ．以上都不正确 答案 C 解析x －12＋y －12＋z ＋12表示P(x ，y ，z)到点M(1，1，－1)的距离，即|PM|＝2为定值．故点P 在以点(1，1，－1)为球心，以2为半径的球面上．4．如图所示，PA ，AB ，AD 两两垂直，四边形ABCD 为矩形，M ，N 分别为AB ，PC 的中点．求证：MN⊥AB．证明 如图所示，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，设B(a ，0，0)，D(0，b ，0)，C(a ，b ，0)，P(0，0，c)，连接AN ．因为M ，N 分别是AB ，PC 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，c 2，则|AM|2＝a 24，|MN|2＝b 2＋c 24，|AN|2＝a 2＋b 2＋c24，所以|AN|2＝|MN|2＋|AM|2，所以MN⊥AB．对应学生用书P75一、选择题1．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( )A ．62 B ． 3 C ．32 D ．63答案 A解析 如图所示，在正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，设正方体的棱长为a(a ＞0)，则点P 在顶点B 1处，建立分别以OA ，OC ，OO 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系，则点P 的坐标为(a ，a ，a)，由题意得a 2＋a 2＝1，∴a 2＝12，∴|OP|＝3a 2＝3×12＝62． 2．与两点A(3，4，5)，B(－2，3，0)距离相等的点M(x ，y ，z)满足的条件是( ) A ．10x ＋2y ＋10z －37＝0 B ．5x －y ＋5z －37＝0 C ．10x －y ＋10z ＋37＝0 D ．10x －2y ＋10z ＋37＝0 答案 A解析 由|MA|＝|MB|，即(x －3)2＋(y －4)2＋(z －5)2＝(x ＋2)2＋(y －3)2＋z 2，化简得10x ＋2y ＋10z －37＝0，故选A ．3．到定点(1，0，0)的距离小于或等于2的点的集合是( ) A ．{(x ，y ，z)|(x －1)2＋y 2＋z 2≤2} B ．{(x ，y ，z)|(x －1)2＋y 2＋z 2≤4} C ．{(x ，y ，z)|(x －1)2＋y 2＋z 2≥4}D ．{(x ，y ，z)|x 2＋y 2＋z 2≤4} 答案 B解析 由空间两点间的距离公式可得，点P(x ，y ，z)到定点(1，0，0)的距离应满足x －12＋y 2＋z 2≤2，即(x －1)2＋y 2＋z 2≤4．4．△ABC 的顶点坐标是A(3，1，1)，B(－5，2，1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，2，3，则它在yOz 平面上射影的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 D解析 △ABC 的顶点在yOz 平面上的射影点的坐标分别为A′(0，1，1)，B′(0，2，1)，C′(0，2，3)，∵|A′B′|＝0－02＋1－22＋1－12＝1，|B′C′|＝0－02＋2－22＋3－12＝2， |A′C′|＝0－02＋2－12＋3－12＝5，∴|A′B′|2＋|B′C′|2＝|A′C′|2，∴△ABC 在yOz 平面上的射影△A′B′C′是一个直角三角形，它的面积为1．5．已知A(x ，5－x ，2x －1)，B(1，x ＋2，2－x)，当|AB|取最小值时，x 的值为( ) A ．19 B ．－87 C ．87 D ．1914答案 C 解析 |AB|＝x －12＋3－2x2＋3x －32＝14x 2－32x ＋19＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －872＋57， ∴当x ＝87时，|AB|最小．二、填空题6．在空间直角坐标系中，设A(m ，1，3)，B(1，－1，1)，且|AB|＝22，则m ＝________． 答案 1 解析 |AB|＝m －12＋[1－－1]2＋3－12＝22，解得m ＝1．7．已知点P 32，52，z 到线段AB 中点的距离为3，其中A(3，5，－7)，B(－2，4，3)，则z ＝________．答案 0或－4解析 由中点坐标公式，得线段AB 中点的坐标为12，92，－2．又点P 到线段AB 中点的距离为3，所以32－122＋52－922＋[z－－2]2＝3，解得z＝0或－4．8．点B(3，0，0)是点A(m，2，5)在x轴上的射影，则点A到原点的距离为________．答案4 2解析由点B(3，0，0)是点A(m，2，5)在x轴上的射影，得m＝3，所以点A到原点的距离为d＝32＋22＋52＝32＝42．三、解答题9．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E，F分别是棱AB，B1C1，AC的中点，求|DE|，|EF|．解以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵|CC1|＝|CB|＝|CA|＝2，∴C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，由空间直角坐标系中的中点坐标公式可得D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)，∴|DE|＝1－02＋1－12＋0－22＝5，|EF|＝0－12＋1－02＋2－02＝6．10．如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0<a<2)，(1)求MN的长；(2)当a为何值时，MN的长最小．解由于平面ABCD、ABEF互相垂直，其交线为AB，且CB⊥AB，所以CB⊥平面ABEF，故以B为原点O，BC所在直线为z轴正半轴，BA所在直线为x轴正半轴，BE所在直线为y轴正半轴，建立空间直角坐标系．由于N点在对角线BF上，且BN＝a，N点到x轴和到y轴的距离相等，所以N点坐标为2 2a，22a，0．同理M点的坐标为M22a，0，1－22a．于是：(1)MN＝22a－22a2＋22a－02＋22a－12＝a－222＋12，0<a<2．(2)由(1)知MN＝a－222＋12，故当a＝22时，MN有最小值，且最小值为22．。
高中数学第二章平面解析几何初步2.3.2空间两点间的距离学案苏教版必修199
2．3.2 空间两点间的距离1．了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程．(重点)2．会应用空间两点间的距离公式求空间中的两点间的距离．(难点)[基础·初探]教材整理1 空间两点间的距离公式阅读教材P120～P121，完成下列问题．1．平面直角坐标系中，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离为P1P2＝x2－x12＋y2－y12.特别地，点A(x，y)到原点距离为OA＝x2＋y2.2．空间两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的距离公式是P1P2＝x2－x12＋y2－y12＋z2－z12.特别地，点A(x，y，z)到原点的距离公式为OA＝x2＋y2＋z2.1．点P(－2，－1,1)到原点的距离为________．【解析】PO＝－22＋－12＋12＝ 6.【答案】 62．点A(1,0,2)，B(－3,4,0)，则|AB|＝________.【解析】|AB|＝1＋32＋0－42＋2－02＝36＝6.【答案】 63．给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为30，则该点的坐标为__________．【解析】设点P的坐标是(x,0,0)，由题意得，P0P＝30，即x－42＋12＋22＝30，∴(x－4)2＝25，解得x＝9或x＝－1.∴点P 的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)． 【答案】 (9,0,0)或(－1,0,0) 教材整理2 空间两点的中点坐标公式 阅读教材P 122，完成下列问题．连结空间两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)的线段P 1P 2的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22.1．若O 为原点，P 点坐标为(2，－4，－6)，Q 为OP 中点，那么Q 点的坐标为________． 【解析】 设Q (x ，y ，z )，则x ＝2＋02＝1，y ＝－4＋02＝－2，z ＝－6＋02＝－3，∴Q (1，－2，－3)． 【答案】 (1，－2，－3)2．如图2－3－10，在长方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，OA ＝2，AB ＝3，AA 1＝2，M 是OB 1与BO 1的交点，则M 点的坐标是________．图2－3－10【解析】 ∵OA ＝2，AB ＝3，AA 1＝2， ∴O (0,0,0)，B 1(2,3,2)． 又∵M 为OB 1的中点，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，1.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，1[小组合作型]空间中两点间距离的计算如图2－3－11，已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，M 为BD ′的中点，点N 在A ′C ′上，且A ′N ＝3NC ′，试求MN 的长．图2－3－11【精彩点拨】 解答本题关键是先建立适当坐标系，把M ，N 两点的坐标表示出来，再利用公式求长度．【自主解答】 以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．因为正方体的棱长为a ，所以B (a ，a,0)，A ′(a,0，a )，C ′(0，a ，a )，D ′(0,0，a )． 由于M 为BD ′的中点，取A ′C ′的中点O ′，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2，a . 因为A ′N ＝3NC ′，所以N 为A ′C ′的四等分点，从而N 为O ′C ′的中点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，3a 4，a ，根据空间两点距离公式，可得 MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－3a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＝64a .利用空间两点间的距离公式求空间两点间距离的步骤： (1)建立适当的坐标系，并写出相关点的坐标； (2)代入空间两点间的距离公式求值．[再练一题]1．已知△ABC 的三个顶点A (1,5,2)，B (2,3,4)，C (3,1,5)． (1)求△ABC 中最短边的边长； (2)求AC 边上中线的长度．【解】 (1)由空间两点间距离公式得AB ＝1－22＋5－32＋2－42＝3，BC ＝2－32＋3－12＋4－52＝6， AC ＝1－32＋5－12＋2－52＝29，∴△ABC 中最短边是BC ，其长度为 6.(2)由中点坐标公式得，AC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3，72. ∴AC 边上中线的长度为2－22＋3－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－722＝12. [探究共研型]空间两点间距离公式的应用探究1 在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是什么？【提示】 设M (0，a,0)，由已知得MA ＝MB ，即12＋a 2＋22＝12＋－3－a 2＋12，解得a ＝－1，故M (0，－1,0)．探究2 方程(x －1)2＋(y －2)2＋(z －3)2＝25的几何意义是什么？ 【提示】 依题意x －12＋y －22＋z －32＝5，点(x ，y ，z )是空间中到点(1,2,3)距离等于5的点，即以点(1,2,3)为球心，以5为半径的球面．已知A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，求AB 取最小值时A ，B 两点的坐标，并求此时的AB 的长度．【精彩点拨】 解答本题可由空间两点间的距离公式建立AB 关于x 的函数，由函数的性质求x ，再确定坐标．【自主解答】 由空间两点间的距离公式得AB ＝1－x2＋[x ＋2－5－x ]2＋[2－x －2x －1]2＝14x 2－32x ＋19＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －872＋57， 当x ＝87时 ，AB 有最小值57＝357， 此时A ⎝ ⎛⎭⎪⎫87，277，97，B ⎝⎛⎭⎪⎫1，227，67.解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征，应用空间两点间的距离公式建立已知与未知的关系，再结合已知条件确定点的坐标．[再练一题]2.如图2－3－12所示，正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD ，ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM ＝BN ＝a (0<a <2)．图2－3－12(1)求MN 的长；(2)当a 为何值时，MN 的长最小.【解】 以B 为坐标原点，BA ，BE ，BC 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．∵正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，且CM ＝BN ＝a (0<a <2)， ∴易得点M ，N 的坐标分别为M ⎝⎛⎭⎪⎫22a ，0，1－22a ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0.∴当a ＝22时，MN 的长最小，且最小值为22.1．点M (4，－3,5)到原点的距离d 1＝________，到z 轴的距离d 2＝________. 【解析】 d 1＝42＋－32＋52＝50＝5 2d 2＝4－02＋－3－02＋5－52＝5.【答案】 5 2 52．已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (3,1,2)，B (4，－2，－2)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为________.【解析】 ∵B (4，－2，－2)，C (0,5,1)， ∴BC 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，－12，∴BC 边上的中线长为【答案】3023．已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且AB ＝26，则实数x 的值是________． 【解析】 由题意得x －22＋1－32＋2－42＝26，解得x ＝－2或x ＝6.【答案】 －2或64．在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A (3，－1,2)，其中心M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长等于__________．【解析】 ∵AM ＝3－02＋－1－12＋2－22＝13，∴正方体的体对角线长为213. ∵3a 2＝52(a 为正方体的棱长)， ∴a ＝2393.【答案】23935．已知A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)为三角形的三个顶点，求证：三角形ABC 为直角三角形．【证明】 由空间两点间的距离公式得AB ＝4－12＋2＋22＋3－112＝89，BC＝6－42＋－1－22＋4－32＝14，AC＝6－12＋－1＋22＋4－112＝75，∵AB2＝BC2＋AC2，∴△ABC为直角三角形，∠C为直角．。
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.3.2 空间两点间的距离课件 苏教版必修2
= 14������2-32������ + 19
=
14
������-
8 7
2 + 57,
∴当 x=87时,AB 取最小值.
P1P2= (������2-������1)2 + (������2-������1)2 + (������2-������1)2.特别地,空间任意一点 A(x,y,z)
到坐标原点 O 的距离为 OA= ������2 + ������2 + ������2. 交流1 空间两点间的距离公式与两点的顺序有关系吗? 答案：无关.两点间的距离是同名坐标的差的平方和的算术平方
根,因此距离公式也可以写成 P1P2= (������1-������2)2 + (������1-������2)2 + (������1-������2)2.
2.空间中线段的中点坐标公式:已知空间中两点
P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则线段P1P2的中点M的坐标是
������1+������2 2
∵E是BC的中点,∴点E的坐标为(1,3,0), ∴由两点间的距离公式得
B1E= (2-1)2 + (3-3)2 + (2-0)2= 5.
设 D(x,y,0),在 Rt△AOC 中,OA=2,OC=3,AC= 13,
∴OD=2×133 = 61313.
在 Rt△ODA 中,OD2=x·OA,
36
∴x=
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解：∵PA⊥AB, ∴△PAB为直角三角形, ∴PB2=PA2+AB2,
即(x+1)2+(z+1)2=x2+1+z2+1+1+1,
2021-2022年高中数学第2章平面解析几何初步2.3.1空间直角坐标系课堂精练苏教版必修
2021-2022年高中数学第2章平面解析几何初步2.3.1空间直角坐标系课堂精练苏教版必修1．点A(－1,2,1)在x轴上的投影和在xOy平面上的投影分别为__________．2．以正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC1中点的坐标为______．3．有一个棱长为1的正方体，对称中心在原点且每一个面平行于坐标平面，给出以下各点：A(1,0,1)，B(－1,0,1)，，，，.则位于正方体之外的点是__________．4．在平面直角坐标系中，点P(x，y)的几种特殊的对称点的坐标如下：(1)关于原点的对称点是P′(－x，－y)；(2)关于x轴的对称点是P″(x，－y)；(3)关于y轴的对称点是P(－x，y)．那么，在空间直角坐标系中，点P(x，y，z)的几种特殊的对称点坐标为：(1)关于原点的对称点P1是__________；(2)关于横轴(x轴)的对称点P2是__________；(3)关于纵轴(y轴)的对称点P3是__________；(4)关于竖轴(z轴)的对称点P4是__________；(5)关于xOy坐标平面的对称点P5是__________；(6)关于yOz坐标平面的对称点P6是__________；(7)关于zOx坐标平面的对称点P7是__________．5．如图所示，点P′在x轴正半轴上，OP′＝2，PP′在xOz平面上，且垂直于x轴，PP′＝1，则点P与P′的坐标分别为__________．6．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1棱长为1，以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，若点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并总是保持AP⊥BD1，则下列的点P坐标①(1,1,1)，②(0,1,0)，③(1,1,0)，④(0,1,1)，⑤中正确的是__________．(填序号)7. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，点M在A1C1上，MC1＝2A1M，N为D1C中点，试求M，N的坐标．8．结晶体的基本单位称为晶胞，图(1)是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体)，其中空心点代表钠原子，黑点代表氯原子．如图(2)建立空间直角坐标系Oxyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标．9.如图，在长方体OABCO1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，作OD⊥AC于D，求D点坐标．参考答案1．(－1,0,0) (－1,2,0) 点A(－1,2,1)在x轴上的投影和在xOy平面上的投影分别为(－1,0,0)，(－1,2,0)．2.3．A，B，F∵棱长为1的正方体的对称中心为坐标原点，∴正方体表面上每个点的坐标都满足，，∴点A，B，F在正方体之外．4．(1)(－x，－y，－z) (2)(x，－y，－z) (3)(－x，y，－z)(4)(－x，－y，z) (5)(x，y，－z) (6)(－x，y，z)(7)(x，－y，z)5．(2,0,1)，(2,0,0) 由P′在x轴正半轴上，且OP′＝2，∴P′(2,0,0)．∵PP′⊥x轴，且PP′＝1，PP′在xOz平面上，∴P(2,0,1)．6．①②⑤由点P为动点，而BD1是定线段，可分析探索一个过点A且与BD1垂直的平面．连结AB1，B1C，AC，由BD1⊥AB1，BD1⊥AC，从而得BD1⊥面AB1C，又由点P在侧面BCC1B1上运动知，点P的轨迹为线段B1C.故应填①②⑤.7．解：A1(0,0,4)，C1(2,2,4)．∵MC1＝2A1M，∴.过M向A1B1作垂线，垂足为P，过M向A1D1作垂线，垂足为Q，则，，∴M，D1(0,2,4)，C(2,2,0)．∴N点坐标为(1,2,2)．8．解：把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标．下层的原子全部在xOy平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别是(0,0,0)，(1,0,0)，(1,1,0)，(0,1,0)，；中层的原子所在的平面平行xOy平面，与z轴交点的竖坐标为，所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是，，，；上层的原子所在的平面平行于xOy平面，与z轴交点的竖坐标为1，所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是(0,0,1)，(1,0,1)，(1,1,1)，(0,1,1)，.9.解：以OA，OC，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由于D在xOy平面内，故D的z坐标 (竖坐标)为0，在平面直角坐标系xOy中，如图．∵OA＝2，AB＝3，∴A(2,0)，C(0,3)，设D(x0，y0)．由OD⊥AC，得，①又D在AC上，∴有.②由①②解得18131213 xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴空间坐标系中，D的坐标为. 29637 73C5 珅31700 7BD4 篔/: c 32678 7FA6 羦a >23748 5CC4 峄。
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y 52 y 52
z 12 z 12
4y z 6 0
y1
整理，得
解得
7y 3z 1 0
z 2.
即所求点 M的坐标为 (0,1 ，－ 2) ．
(2) ∵ AB
4 1 2 2 2 2 3 11 2
9 16 64 89 ，
AC
6 1 2 1 2 2 4 11 2 25 1 49 75 ，
BC
6 4 2 1 2 2 4 3 2 4 9 1 14 ，
2
22
2
2
3 ． 7 线 段 BC 的 中 点 坐 标 为 M( － 1,1 ， － 2) ， 则 中 线 AM 的 长 为
2 1 2 1 1 2 4 2 2 7.
4. 101 求线段 AB在坐标平面 yOz 上的射影长，可先求 A，B两点在 yOz上的射影，然
后再用两点间距离公式求解． A(3,5 ，－ 7) 在 yOz 上的射影是 A′(0,5 ，－ 7) ， B( －2,4,3) 在
MA
0 32 y 12 z 22，
MB
0 42 y 22 z 22，
MC
0 0 2 y 52 z 12.
又知点 M(0 ，y， z) 到 A， B， C三点的距离相等， ∴MA＝ MC，MB＝ MC.
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0 32
即
0 42
y 12 y 22
z 22 z 22
0 02 0 02
6. 6
x2 y2 z2
x 1 2 y 2 2 z 1 2 表示空间点 P( x，y，z) 到 O(0,0,0)
的 距 离 与 到 点 M( － 1,2,1) 的 距 离 之 和 ， 因 而 最 小 值 就 是 两 点 间 的 线 段 OM的 长 ，
OM ＝ 1 2 22 12 6 .
7．解： (1) 设点 M(0 ， y， z) 为在 yOz 平面上的点，则由空间两点间的距离公式知，
故 HK 1 ， CK＝ 1 .
8
2
故 H坐标为
71 0, , .
82
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∴BC2＋ AC2＝ AB2.
∴△ ABC为直角三角形，且 AC、BC是直角边．
∴ S ABC
1 AC·BC 1
2
2
75 14 5 42 . 2
8．解： 以 D为原点， DA所在直线为 x 轴， DC所在直线为 y 轴， DD1 所在直线为 z 轴建立
空间直角坐标系．
∵点 E在 z 轴上，且为 D1D的中点，
5． 已知点 A(2,1,1) ， B(1,1,2) ， C( x, 0,1) ，且∠ BAC＝90°，则 x＝ __________.
6．对于任意实数 x、 y、 z， x 2 y 2 z2
x 1 2 y 2 2 z 1 2 的最小值为
__________．
7．(1) 在 yOz平面上，求与三个已知点 A(3,1,2) ， B(4 ，－ 2，－ 2) 和 C(0,5,1) 等距离的
1 故点 E坐标为 0,0, .
2
过 F 作 FM⊥AD， FN⊥DC，
则 FMF 坐标为 , ,0 ；
22
点 G在 y 轴上，又 GD
3
，
4
3 故点 G坐标为 0, ,0 ；
4
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过 H作 HK⊥CG于 K，
由于 H为 C1G的中点，
中点 E与 AB的中点 F 的距离为 __________ ．
3．已知三角形的三个顶点 A(2 ，－ 1,4) ，B(3,2 ，－ 6) ，C( － 5,0,2) ，则过点 A 的中线的 长为 __________．
4．已知 A(3,5 ，－ 7) 和点 B( － 2,4,3) ，则线段 AB 在坐标平面 yOz 上的正射影的长度为 __________．
点．
(2) 已知 A(1 ，－ 2,11) 、 B(4,2,3) 、 C(6 ，－ 1,4) ，求△ ABC的面积．
8. 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD1AB1C1D1 中， E，F 分别是 D1D， BD的中点， G在棱 CD
1 上，且 CG＝ CD ，H为 C1G的中点，试建立适当的直角坐标系，写出点
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江苏省盱眙县都梁中学高中数学 第 2 章 平面解析几何初步 2.3.2 空间两点间的距离课堂精练 苏教版必修 2
1．已知两点 A(1 ，－ 2,3) ， B(2,1 ， x) ，且 AB＝ 5，则 x 的值等于 __________．
2. 如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为 a 的正方体 ABCD- A B C D ，A′ C的
yOz 上的射影是 B′(0,4,3) ，故 A B
0 0 2 5 4 2 7 3 2 101 .
5． 2 由题意知， BC2＝ AB2＋ AC2，即 ( x－ 1) 2 ＋ 1＋ (1 － 2) 2＝ (2 － 1) 2＋ (1 － 1) 2＋ (1 － 2) 2
＋ ( x－2) 2＋ (0 － 1) 2＋ (1 － 1) 2，解得 x＝2.
4
E， F， G，H 的坐标．
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参考答案
1． 3 15 ∵AB＝ 5， ∴ 2 12 1 2 2 x 3 2 5， ( x－ 3) 2＝ 15， x 3 15 .
2.
2 a
a 由已知得： F a, ,0
，E
a,a,a
，
2
2
222
2
2
2
∴ EF＝
a a
aa
a 0
2 a