数学分析Ⅰ练习册

数学分析Ⅰ 练习题(一) 班级:
学号:
姓名:
一、填空题
1、已知 f (x) 的定义域为[0, 4] ,则函数 g(x) = f (x +1) + f (x −1) 的定义域为
.
2、函数 f (x) = arctan x 是 R 上是
(有界函数/无界函数).
3、函数 y = 2sin 2 x + tan x 的最小正周期是
.
n→∞ 1+ an
n→∞ 1+ an
2、
lim
n→∞
⎛⎜⎝1
+
2 n
⎞n ⎟⎠
=
.
3、如果
lim
n→∞
an
=
a
,则
∀p
∈
N
+
,有
lim
n→∞
an+
p
=
.
4、如果数列
{
xn
}
有界且
lim
n→∞
yn
=
0
,则 lim n→∞
xn yn
=
.
5、
lim
n→∞
⎛⎜⎝1
−
1 n2
⎞ ⎟⎠
cos
n
=
.
二、选择题
1、下列命题中,错误的是( )
A、 lim f (x) = −∞ B、 lim f (x) = −∞ C、 lim f (x) = ∞ D、 lim f (x) = ∞
x→−∞
x→∞
x→−∞
x→+∞
5、函数 f (x) = x sin x ( )
A、在 (−∞, + ∞) 内无界 B、当 x → ∞ 时为无穷大
C、在 (−∞, + ∞) 内单调 D、当 x → ∞ 时存在极限
1、 lim 2n = 0 n→∞ n!
2、
lim
n→∞
n! nn
=
0
{ } 四、证明数列 2 + (−1)n 发散.
3、
lim
n→∞
3n2 + n − 4 4n2 − 24
=
3 4
.
2
数学分析Ⅰ 练习题(三) 班级:
学号:
姓名:
一、填空题
1、如果 0 < a < 1,则 lim an =
;如果 a > 1,则 lim an =
3、设函数 f (x), g(x) 具有相同的定义域,证明: (1)若 f (x), g(x) 都是偶函数,则 f (x)g(x) 是偶函数; (2 若 f (x), g(x) 都是奇函数,则 f (x)g(x) 是偶函数; (3)若 f (x) 是偶函数, g(x) 是奇函数,则 f (x)g(x) 是奇函数.
( ) 四、判断函数 ln x + 1+ x2 的奇偶性.
1
数学分析Ⅰ 练习题(二) 班级:
学号:
姓名:
一、填空题
1、 lim 1 =
.
n n→∞ 3
2、
lim
n→∞
⎛ ⎜⎝
1
a +
a
⎞n ⎟⎠
=
(其中 a 为常数且 a > 0 ).
3、 lim ln n = ________. n→∞ n
1
4、 lim(1.00001)n = ________. n→∞
.
3
2
4、设
f
(x)
=
⎧2
⎨ ⎩
x
2
x x
≤ >
0 0
,
g
(
x)
=
⎧−x2
⎨ ⎩
x3
x ≤ 0 ,则 f [g(x)]=
x>0
.
5、函数 y = 2sin2 x 由基本初等函数
复合而成.
二、选择题
1、下列四组函数中,( )中的两个函数相等.
A、 f (x) = x 与 g(x) = 1 x
B、 f (x) = 2 ln x 与 g(x) = ln x2
C、 f (x) = sin2 x + cos2 x 与 g(x) = 1
D、 f (x) = π x 与 g(x) = x(arcsin x + arccos x) 2
2、设 f (x), g(x) 分别是[−a, a] 上的奇函数和偶函数,下述命题正确的是( )
A、 f (x) + g(x) 是奇函数
A、非奇非偶函数 B、无界函数
C、非周期函数 D、偶函数
5、下列几对函数中
① y = f (x), y = f −1(x) ② y = f (x), x = f −1( y) ③ x = f −1( y), y = f −1(x)
它们的图象关于 y = x 对称的是(
)
A、①②
B、①③
C、②③
D、①②③均不符合要求
A、①③ B、②④
C、②③ D、①④
3、设 {an },{bn } 中一个是收敛数列,另一个是发散数列,下面正确的是(
)
A、{an ± bn} 是发散数列
B、{anbn}是发散数列
C、{anbn}是收敛数列
D、{an ± bn} 是收敛数列
4、设
lim
n→∞
|
xn
|=
a
,则(
)
A、数列{xn} 收敛
∈ (a
−ε,a
+
ε
)
是
lim
n→∞
an
=
a
的(
)条件.
A、充分但非必要 B、必要但非充分 C、充分必要 D、既非充分也非必要
5、若数列{an}有极限 a ,则在 a 的 ε 邻域之外, (
)数列中的点.
A、必不存在
B、至多只有有限多个
C、必定有无穷多个
D、可能有有限多个,也可能有无穷多个
三、用 ε − N 定义证明下列极限
B、 f (x) 在 x0 的某一邻域内一定无界 D、 f (x) 在 x0 的任一邻域内一定无界
A、 lim sin x = 1 x→∞ x
B、 lim x sin 1 = 1
x →∞
x
1
C、 lim(1+ x) x = e x→∞
D、
lim
x→0
⎛⎜⎝1
+
1 x
⎞x ⎟⎠
=
e
5、当 x → 0 时,下面表达式正确的是( )
( ) 4、
lim
n→∞
(n2
+ 2)6 (2n 2n2 +1
−1)8
10
2、 lim n→∞
⎡1 ⎢⎣ n2
+
(n
1 + 1)2
+
5、
lim
n →∞
⎛⎜⎝1 +
1 2n2 −
3
⎞4n2 ⎟⎠
+
1 (2n)2
⎤ ⎥⎦
3、
lim
n→∞
(−3)n (−3)n+1
+ +
5n 5n+1
四、证明:若 an
> 0 且 lim n→∞
A、 sin x = o ( x2 )
A、0 B、1 C、2
D、3
3、在函数极限的 ε − δ 定义中,ε 与δ 的关系是( )
A、先给定 ε 后唯一确定δ 的值
B、先给定ε 后确定δ ,但δ 的值不唯一
C、先给定δ 后确定 ε
D、δ 与 ε 无关.
4、如果 ∀M > 0, ∃X > 0 ,当 x < − X 时有 f (x) < −M ,则( )
C、 f (x) 在 x0 的任一邻域内一定有界
4、下列极限中,正确的是( )
B、 lim f (x) 不一定存在,若存在也不一定等于 b x→ x0
D、 lim f (x) 不一定存在,但若存在必等于 b x→ x0 )
B、 lim[ f (x) + g(x)]存在 x → x0
D、 lim f (x)g(x) 存在 x → x0
A、收敛数列一定有界
B、有界数列一定收敛
C、收敛数列的极限唯一 D、无界数列一定发散
2、若
lim
n→∞
an
=
a
,则下列说法
①若 a > 0 ,则 an > 0(n = 1, 2, ) .
③若 an > 0(n = 1, 2, ) ,则 a > 0 .
中正确的是( )
②若 an > 0(n = 1, 2, ) ,则 a ≥ 0 . ④若 a > 0 ,则 ∃N ∈ N+ ,∀n > N , 有 an > 0 .
6、函数 y = f (x) 在点 x = x0 处左、右极限都存在并相等是它在该处存在极限的(
)
A、必要条件
B、充分条件
C、充要条件 D、无关条件
三、用定义证明下列极限
1、 lim x3 −1 = 3 x→1 x −1
2、
lim
x→∞
2x2 + x x2 − 2
=
2
4
数学分析Ⅰ 练习题(五) 班级:
B、 f (x) + g(x) 是偶函数
C、 f (x)g(x) 是奇函数
D、 f (x)g(x) 是偶函数
3、若 f (x) 为奇函数,则下列函数中( )是偶函数.
A、 f (x) +1
B 、 f ( f (x))
C、 f (x)-f (-x)
D、 f (x)+f (-x)
4、狄里克雷函数是( )
七、用柯西收敛准则证明数列{an} 收敛性,其中 an
=1+ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 2α
+
1 3α
+⋅⋅⋅+
1 nα
,α
≥2.
3
数学分析Ⅰ 练习题(四) 班级:
学号:
姓名:
一、填空题
1、当 a > 1 时, lim ax =
, lim ax =
;
x→−∞
x→+∞
当 0 < a < 1时, lim ax =
, lim ax =
f (x) =
A ,则
f
(x0 ) =
A.
(2)如果 lim x → x0
f (x) 不存在,则
f
(x) 在 x0 处没有定义.
(3)如果
f
(x0 )
=
A ,则 lim x → x0
f
(x)
=
A.
(4)如果
f
(
x)
在
x0
处没有定义,则
lim
x → x0
f
(x) 不存在.
这四个命题中正确的个数是( )
)
A、充分条件但非必要条件 B、必要条件但非充分条件
C、充分必要条件
D、既非充分条件又非必要条件
3、在数列极限
lim
n→∞
an
=
a
的ε
−
N
定义中(
)
A、 N 是唯一的
B、 N 是 ε 的函数
C、前 N 项有| an − a |≥ ε
D、对任何 N ,均有| an − a |< ε
4、 ∀ε
>
0, 有无穷多个 an
B、 lim n→∞
xn
=
a
C、
lim
n→∞
xn
=
−a
D、数列{xn} 可能收敛,也可能发散.
5、设
xn
≤
a
≤
yn
,且
lim(
n→∞
yn
−
xn )
=
0
,则{xn} 与{yn} (
)
A、都收敛于 a
B、都收敛但不一定收敛于 a
C、可能收敛,也可能发散
D、都发散
三、求下列极限
1、 lim n +1 − n n→∞ n + 2 − n
x0
的某邻域
U
(
x0
)
内有界,则
lim
x → x0
f
(x)g(x)
=
.
5、 lim sin x =____________. x→∞ x
二、选择题
1、函数
f
(
x)
在
x0
处有定义是
lim
x→ x0
f
(x) 存在的(
)
A、充分条件
B、必要条件 C、充要条件 D、无关条件
2、有下列四个命题中:
(1)如果 lim x → x0
|<
ε2
.
C、
lim
n→∞
an
=
a
⇔
∀ε
>
0, ∃N
∈ N+ , ∀n
>
N
有|
an
−a
|<
2ε
.
D、
lim
n→∞
an
=
a
⇔
∀ε
>
0, ∃N
∈ N+ , ∀n
>
N
有|
an
−a
|<
ln ε
.
2、“ ∀ε ∈ (0,1), ∃N ∈ N+ ,∀n > N ,恒有| an − a |≤ 2ε ”是数列{an}收敛于 a 的(
2、设 lim f (x) 存在,而 lim g(x) 不存在,则(
x → x0
x → x0
A、 lim[ f (x) + g(x)]不存在 x → x0
C、 lim f (x)g(x) 不存在 x → x0
3、若 lim f (x) 存在,则(
)
x → x0
A、 f (x) 必在 x0 的某一邻域内有界
学号:
姓名:
一、填空题
1、若 lim x2 − ax + 3 = b ,则 a =
,b =
.
x→1 x −1
2、已知
f
(x)
=
⎧⎪x cos ⎨
1 x
,
x < 0 ,如果 lim f (x) 存在,则 a =
.
⎪⎩ a + x2 , x ≥ 0
x→0
3、已知 lim x = 2 ,则 lim f (2x) =
5、设 an
=
⎧⎪2n,
⎨ ⎪⎩
1 n
,
1 ≤ n ≤ 100
n > 100
,则
lim
n→∞
an
=
.
二、选择题
1、下列命题中,错误的是( )
A、
lim
n→∞
an
=
a
⇔
∀ε
>
0, ∃N
∈ N+ , ∀n
≥
N
有|
an
−a
|≤
ε
.
B、
lim
n→∞
an
=
a
⇔
∀ε
>
0, ∃N
∈ N+ , ∀n
>
N
有|
an
−
a
.
x→0 f (3x)
x→0 x
4、极限 lim f (x) = b 的海涅定理:
.
x→+∞
5、
lim
x→∞
⎛⎜⎝1
−
1 x
⎞x ⎟⎠
=
.
二、选择题
1、设 lim f (x) = b ,则(
)
x → x0
A、 lim f (x) 一定存在且等于 b x → x0
C、 lim f (x) 一定存在但不一定等于 b x → x0
.
x→−∞
x→+∞
2、当
a
>
1
时,
lim
x→0+
loga
x
=
,
lim
x→+∞
log
a
x
=
;
当
0
<
a
<
1时,
lim
x→0+
loga
x
=
,
lim
x→+∞
loga
x
=
.
3、 lim arctan x =
, lim arctan x =
.
x→−∞
x→+∞
4、设 lim x → x0
f
(x)
=
0
,且
g
(
x)
在点
n
an
=r
<
1
,则
lim
n→∞
an
= 0.
五、证明: lim n→∞
n
a1n
+
a2n
+
+ akn = max {a1, a2 ,
, ak } ,其中 ai > 0,i = 1, 2,
, k.
六、设 a1 =
2, an+1 =
2an (n = 1, 2,
)
,证明数列
{an
}
收敛,并求
lim
n→∞
an
.
6、下列结论正确的是( )
A、初等函数不是分段函数
B、分段函数不是初等函数
C、 y = x 是初等函数
D、以上结论均不正确
三、证明下列各题 1、设函数 f (x), g(x) 在数集 A 上有界,证明函数 f (x) ± g(x), f (x)g(x) 在数集 A 上也有界.
2、证明函数 f (x) = 1 在 (0,1) 上无界. x