高考数学：专题七第四讲转化与化归思想配套限时规范训练

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高考数学思想04 运用转化与化归的思想方法解题(精讲精练)(解析版)

思想04运用转化与化归的思想方法解题【命题规律】高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等．【核心考点目录】核心考点一：运用“熟悉化原则”转化化归问题核心考点二：运用“简单化原则”转化化归问题核心考点三：运用“直观化原则”转化化归问题核心考点四：运用“正难则反原则”转化化归问题【真题回归】1．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是________________．【答案】13【解析】∵椭圆的离心率为12c e a =，∴2a c =，∴22223b a c c =-=，∴椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵222AF a OF c a c ===，，，∴23AF O π∠=，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，∴直线DE 直线DE 的方程：x c -，代入椭圆方程22234120x y c +-=，整理化简得到：221390y c --=，判别式()22224139616c c ∆=+⨯⨯=⨯⨯，∴122264613c DE y =-=⨯⨯⨯⨯=，∴138c =，得1324a c ==，∵DE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22AD DF AE EF ==，，∴ADE V 的周长等于2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到2F DE △周长为222211*********DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a ++=+++=+++=+==.故答案为：13.2．（2020·全国·统考高考真题）设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z +=，则12||z z -=__________.【答案】【解析】方法一：设1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，12()z z a c b d i i ∴+=+++=，1a cb d ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩12||=||=2z z ，所以224a b +=，224cd +=，222222()()2()4a cb d ac bd ac bd ∴+++=+++++=2ac bd ∴+=-12()()z z a c b d i ∴-=-+-===故答案为：方法二：如图所示，设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+ ,由已知122OZ OZ OP ==== ,∴平行四边形12OZ PZ 为菱形，且12,OPZ OPZ 都是正三角形，∴12Z 120OZ ∠=︒，222221212121||||||2||||cos12022222()122Z Z OZ OZ OZ OZ =+-︒=+-⋅⋅⋅-=∴1212z z Z Z -==3．（2020·天津·统考高考真题）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．【答案】1623【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为11,23，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为111236⨯=，甲、乙两球都不落入盒子的概率为111(1)(1)233-⨯-=，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为23.故答案为：16；23.4．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求三棱锥F ABC -的体积．【解析】（1）由于AD CD =，E 是AC 的中点，所以AC DE ⊥.由于AD CD BD BD ADB CDB =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，所以ADB CDB ≅△△，所以AB CB =，故AC BD ⊥，由于DE BD D ⋂=，,DE BD Ì平面BED ，所以AC ⊥平面BED ，由于AC ⊂平面ACD ，所以平面BED ⊥平面ACD .（2）[方法一]：判别几何关系依题意2AB BD BC ===，60ACB ∠=︒，三角形ABC 是等边三角形，所以2,1,3AC AE CE BE ====，由于,AD CD AD CD =⊥，所以三角形ACD 是等腰直角三角形，所以1DE =.222DE BE BD +=，所以DE BE ⊥，由于AC BE E ⋂=，,AC BE ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC .由于ADB CDB ≅△△，所以FBA FBC ∠=∠，由于BF BF FBA FBC AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以FBA FBC ≅ ，所以AF CF =，所以EF AC ⊥，由于12AFC S AC EF =⋅⋅ ，所以当EF 最短时，三角形AFC 的面积最小过E 作EF BD ⊥，垂足为F ，在Rt BED △中，1122BE DE BD EF ⋅⋅=⋅⋅，解得32EF =，所以223131,2222DF BF DF ⎛⎫=-==-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以34BF BD =过F 作FH BE ⊥，垂足为H ，则//FH DE ，所以FH ⊥平面ABC ，且34FH BF DE BD ==，所以34FH =，所以111332333244F ABC ABC V S FH -=⋅⋅=⨯⨯=[方法二]：等体积转换AB BC = ，60ACB ∠=︒，2AB =ABC ∴∆是边长为2的等边三角形，BE ∴=连接EFADB CDB AF CFEF ACBED EF BD ∆≅∆∴=∴⊥∴∆⊥∆ 在中，当时，AFC面积最小222,,2,,BED EF AD CD AD CD AC E AC DE BE BD BE EDBE DE EF BD BD ⊥==∴+=∴⊥⋅⊥∆== 为中点DE=1若在中，32113222BEF BF S BF EF ∆==∴=⋅=⋅11233F ABC A BEF C BEF BEF V V V S AC ---∆∴=+=⋅=⋅【方法技巧与总结】将问题进行化归与转化时，一般应遵循以下几种原则：1、熟悉化原则：许多数学问题的解决过程就是将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用已有知识、方法以及解题经验来解决．在具体的解题过程中，通常借助构造、换元、引入参数、建系等方法将条件与问题联系起来，使原问题转化为可利用熟悉的背景知识和模型求解的问题．2、简单化原则：根据问题的特点转化命题，使原问题转化为与之相关、易于解决的新问题．借助特殊化、等价转化、不等转化等方法常常能获得直接、清晰、简洁的解法，从而实现通过对简单问题的解答，达到解决复杂问题的目的．3、直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题，数学问题的特点之一便是它具有抽象性，有些抽象的问题，直接分析解决难度较大，需要借助数形结合法、图象法等手段把它转化为具体的、更为直观的问题来解决．4、正难则反原则：问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题．一般地，在含有“至多”、“至少”及否定词的问题中，若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，此时从反面考虑较简单．【核心考点】核心考点一：运用“熟悉化原则”转化化归问题【典型例题】例1．（2023春·云南昆明·高三昆明市第三中学阶段练习）如图所示，在△ABC中，点D为BC边上一点，且BD=1，E为AC的中点，AE=32，cos B，∠ADB=23π．(1)求AD的长；(2)求△ADE的面积．【解析】（1）在△ABD中，∵cos B=(0,)Bπ∈，∴sin7B===，∴1sin sin()()7214 BAD B ADB∠=+∠⋅-=，由正弦定理sin sinAD BDB BAD=∠，知1·sin72sin14BD BADBAD==∠．（2）由（1）知AD=2，依题意得AC=2AE=3，在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD•CDcos∠ADC，即29422cos3DC CDπ=+-⨯⨯，∴DC2-2DC-5=0，解得1DC=．∴11sin2(12222 ADCS AD DC ADC=⋅∠=⨯⨯⨯=，从而12ADE ADC S S == 例2．（2023·吉林·高三校联考竞赛）已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ､F 分别是AC ､BC 的中点，60EPF ︒∠=，则球O 的表面积为____________.【答案】6π【解析】由于P -ABC 为正三棱锥，故EP FP =，从而△EPF 为等边三角形，且边长EF =1.由此可知侧面PAC 的高PE =1，故棱长PA =.的正方体可知，P -ABC，从而表面积为6π.故答案为：6π．例3．（2023春·山东潍坊·高三校考阶段练习）已知正实数a ，b 满足ab a b =+，则2a b +的最小值为____________．【答案】3+【解析】0,0a b >>，ab a b =+，则111a b+=，1122(2)()333a ba b a ba b b a +=++=++≥+=+当且仅当2a b b a =，即1a =1b =时等号成立，所以2a b +最小值是3+故答案为：3+例4．（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考阶段练习）如图，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且16AD BC = ，若M ，N 是线段BC 上的动点，且1MN ＝，则·DM DN 的最小值为___________【答案】132【解析】16AD BC = ，则1AD = ，如图，建立平面直角坐标系，32A ⎛ ⎝⎭，52D ⎛ ⎝⎭，(),0M x ，()1,0N x +，5,22DM x ⎛=-- ⎝⎭，3,22DN x ⎛=-- ⎝⎭，[]0,5x ∈，22531527422244DM DN x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22132x =-+，当且仅当2x =时，取得最小值132，所以DM DN ⋅ 的最小值为132.故答案为：132例5．（2023春·广西桂林·高三校考阶段练习）已知三棱锥-P ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC 是边长为2的正三角形，E F ，分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为（）AB ．6πC ．24πD．【答案】A【解析】设2PA PB PC x ===，E ，F 分别为PA ，AB 中点，EF PB ∴∥，且12EF PB x ==，ABC 为边长为2的等边三角形，CF =，又90CEF ∠=︒，CE ∴=12AE PA x ==，在AEC △中，由余弦定理()2243cos 22x x EAC x +--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC = ，∴D 为AC中点，又1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=，解得x =，PA PB PC ∴===又===2AB BC AC ，PA ∴，PB ，PC 两两垂直，即三棱锥-P ABC 是以PA ，PB ，PC 为棱的正方体的一部分；所以球O的直径2R ==R =，则球O的体积344338V R =π=π⨯，故选：D.核心考点二：运用“简单化原则”转化化归问题【典型例题】例6．（2023春·陕西渭南·高三渭南市瑞泉中学校考阶段练习）平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠= ，AB =2，则AD 长度的取值范围________.【答案】(0【解析】如图所示，延长AD ，BC 交于E ，平行移动CD ，当C 与D 重合于E 点时，AD 最长，在ABE 中，75A B ∠=∠= ，30E ∠= ，AB =2，由正弦定理可得sin sin AB AE E B =∠∠，即o o 2sin 30sin 75AE =，()o o o o o o o sin 75sin 4530sin 45cos30cos 45sin 30=+=+解得AE 平行移动CD ，到图中AF 位置，即当A 与D 重合时，AD 最短，为0.综上可得，AD长度的取值范围为(0+故答案为：(0+.例7．（2023春·北京·高三北京市第一六一中学校考）三棱锥-P ABC 中，,E D 分别为,PB PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，-P ABC 的体积为2V ，则12V V =____________【答案】14【解析】由已知1.2EAB PAB S S ∆∆=设点C 到平面PAB 距离为h ，则点D 到平面PAB 距离为12h ，所以，1211132.143EAB PAB S h V V S h ∆∆⋅==例8．（2023秋·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =4，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为23，那么点P 到平面ABC 的距离为___________.【答案】22【解析】设P 在平面ABC 内的射影为O ，则OP ⊥平面ABC ，由于,,AC BC OC ⊂平面ABC ，所以,,OP AC OP BC OP OC ⊥⊥⊥，过O 作,OE AC OF BC ⊥⊥，垂足分别为,E F ，由于90ACB ∠=︒，所以四边形OECF 是矩形.由于,,OE OP O OE OP ⋂=⊂平面POE ，所以CE ⊥平面POE ，PE ⊂平面POE ，所以CE PE ⊥；同理可证得CF PF ⊥.所以()224232CE CF ==-=，222222OC =+=，()2242222OP =-=，即P 到平面ABC 的距离是22.故答案为：22例9．（2023春·湖南衡阳·高三校考）设m ，n ，t 为正数，且345m n t ==，则（）A ．m n t <<B ．n m t <<C ．n t m <<D ．t n m <<【答案】D【解析】令345m n t k ===，则1k >，3log m k =，4log n k =，5log t k =，在平面直角坐标系中画出3log y x =，4log y x =，5log y x =的图象及直线x k =，结合图象知t n m <<．方法二令345m n t k ===，则1k >，易得31log log 3k m k ==，41log log 4k n k ==，51log log 5k t k ==，又当1k >时，函数()log k f x x =在()0,+∞上单调递增，且1345<<<，∴0log 3log 4log 5k k k <<<，∴111log 3log 4log 5k k k >>，即t n m <<．故选：D.核心考点三：运用“直观化原则”转化化归问题【典型例题】例10．（2023春·北京·高三校考）已知函数()f x 是定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，当()0,∞+时，()f x 的图象如图所示，那么满足不等式35()44f x x ≥+的x 的取值范围是（）A ．(](],20,1-∞-⋃B ．[)(]2,00,1-⋃C ．(](],30,1-∞-D ．[)(]3,00,1- 【答案】C【解析】因为函数()f x 是定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，所以()f x 的图像关于原点对称，由此画出函数()f x 在()(),00,∞-+∞U 上的图象，在同一坐标系内画出()3544g x x =+的图象，因为()12f =，()31f =，所以()()331f f -=-=-，又()3511244g =⨯+=，()()3533144g -=⨯-+=-，所以()f x 的图象与()g x 的图象交于()1,2和()3,1--两点，如图，所以结合图像可知，35()44f x x ≥+的解集为(](],30,1-∞- .故选：C.例11．（2023·全国·高三专题练习）已知a 、b 、e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -⋅+=，则a b - 的最小值是A 1B1C ．2D ．2【答案】A【解析】设()()(),,1,0,,a x y e b m n ===r r r，则由π,3a e =r r 得πcos ,3a e e x y a ⋅=⋅=∴=r r r r ，由2430b e b -⋅+=r r r 得()2222430,21,m n m m n +-+=-+=因此，a b -r r 的最小值为圆心()2,0到直线y =1 1.选A.例12．（2023秋·福建莆田·高三莆田二中校考）设函数()e x f x x ax a =-+，其中1a >，若存在唯一的整数0x ，使得()00f x <，则a 的取值范围是（）A ．(21,2e ⎤⎦B ．33e 1,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．343e 4e ,23⎛⎤⎥⎝⎦D ．323e 2e ,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【解析】令()e ,()x g x x h x ax a ==-，1a >，显然直线()h x ax a =-恒过点(1,0)A ，则“存在唯一的整数0x ，使得()00f x <”等价于“存在唯一的整数0x 使得点00(,())x g x 在直线()h x ax a =-下方”，(1())e x x g x +'=，当1x <-时，()0g x '<，当1x >-时，()0g x '>，即()g x 在(,1)-∞-上递减，在(1,)-+∞上递增，则当=1x -时，min 1()(1)e g x g =-=-，当0x ≤时，1()[,0]eg x ∈-，而()(0)1h x h a ≤=-<-，即当0x ≤时，不存在整数0x 使得点00(,())x g x 在直线()h x ax a =-下方，当0x >时，过点(1,0)A 作函数()e x g x x =图象的切线，设切点为(,e ),0t P t t t >，则切线方程为：e (1)e ()t t y t t x t -=+-，而切线过点(1,0)A ，即有e (1)e (1)t t t t t -=+-，整理得：210t t --=，而0t >，解得(1,2)t =∈，因(1)e 0(1)g h =>=，又存在唯一整数0x 使得点00(,())x g x 在直线()h x ax a =-下方，则此整数必为2，即存在唯一整数2使得点(2,(2))g 在直线()h x ax a =-下方，因此有23(2)(2)2e (3)(3)3e 2g h a g h a <⎧<⎧⇔⎨⎨≥≥⎩⎩，解得323e 2e 2a <≤，所以a 的取值范围是323e(2e ,]2.故选：D核心考点四：运用“正难则反原则”转化化归问题【典型例题】例13．（2023·全国·高三专题练习）已知矩形ABCD ,1AB =,2BC =,将ABD △沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折,在翻折的过程中A ．存在某个位置,使得直线AB 和直线CD 垂直B ．存在某个位置,使得直线AC 和直线BD 垂直C ．存在某个位置,使得直线AD 和直线BC 垂直D ．无论翻折到什么位置,以上三组直线均不垂直【答案】A【解析】如图所示：作CF BD ⊥于F ，AE BD ⊥于E翻折前AC =AC =222AC AB BC AC AB +=∴⊥，AB AD ⊥，AB ∴⊥平面ACD ，⊆CD 平面ACD AB CD ∴⊥，故A 正确D 错误；若AC 和BD 垂直，BD CF BD ⊥∴⊥ 平面ACF ，AF ⊆平面ACF BD AF ∴⊥，不成立，故B 错误；若AD 和BC 垂直，BC CD ⊥故BC ⊥平面ACD ，AC ⊆平面ACD ，AC BC ∴⊥，因为AB BC <，故AC BC⊥不成立，故C 错误；故选：A例14．（2023春·湖南·高三校联考开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为__________．【答案】43【解析】∵圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y 2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆C ′：（x-4）2+y 2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C （4，0）到直线y=kx-2的距离为d ，2d =≤即3k 2≤4k ，∴0≤k≤43，故可知参数k 的最大值为43.例15．（2023秋·陕西宝鸡·高三陕西省宝鸡市长岭中学校考阶段练习）如图，用K ，1A ，2A 三类不同的元件连接成一个系统.当K 正常工作且1A ，2A 至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K ，1A ，2A 正常工作的概率依次为0.8，0.7，0.7，则系统正常工作的概率为___________.【答案】0.728【解析】因为1A ，2A 同时不能正常工作的概率为(10.7)(10.7)0.09--=，所以1A ，2A 至少有一个正常工作的概率为10.090.91-=，所以系统正常工作的概率为0.80.910.728⨯=，故答案为：0.728例16．（2023·全国·高三专题练习）如图，用A 、B 、C 三类不同的元件连接成两个系统1N ，2N ．当元件A 、B 、C 都正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作．已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为0.80、0.90、0.90．则系统N 1正常工作的概率为___________，系统2N 正常工作的概率为___________．【答案】0.6480.792【解析】分别记元件A 、B 、C 正常工作为事件A 、B 、C ，由已知条件()080P A =．，()0.90P B =，()0.90P C =．因为事件A 、B 、C 是相互独立的，系统N 1正常工作的概率为()()()0.800.900.900.6)48(P A B C P A P B P C ⋅⋅==⨯⨯=⋅⋅．系统2N 正常工作的概率()1(()1()()P A P B C P A P B P C ⎡⎤⎡⎤⋅-⋅=⋅-⋅⎣⎦⎣⎦08010.100.100.800.990.7[92]=⨯-⨯=⨯=．．故答案为：0.648；0.792.【新题速递】一、单选题1．（2023春·江苏盐城·高三盐城中学校考）已知,x y R ∈满足()()()()3312021113202131x x y y ⎧-+-=⎪⎨-+-=-⎪⎩，若存在实数0t >，使得不等式kt x y t-≤+成立，则实数k 的最小值为（）A ．-4B ．-1C ．1D ．4【答案】A【解析】构造函数()32021f x x x =+，()f x 为奇函数，且在R 上单调增，由已知可知()()()1133f x f y f y -==--=-+，13x y -=-+，即4x y +=，所以，存在实数0t >，使得不等式4kt t-≤成立，24,k t t ≥-又244t t -≥-，4k ∴-≥.故选：A.2．（2023春·陕西榆林·高三绥德中学校考）已知1F ，2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，G 是椭圆C 的左顶点，点M 在过G12MF F △为等腰三角形，12150F F M ∠=︒，则椭圆C 的离心率为（）A ．12B ．13C．111+D【答案】D【解析】由题知(),0G a -，所以直线GM的方程为()9y x a =+，因为12150F F M ∠=，所以直线2MF 的倾斜角为30 ，所以直线2MF的方程为)3y x c =-．联立))y x a y x c ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得32a c x +=，)6a c y +=．),.623a c a c M ⎛⎫++∴ ⎪ ⎪⎝⎭因为12MF F △为等腰三角形，12150F F M ∠=，所以2212MF F F c ==，即)2223426a c a c c c ⎤++⎛⎫-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，整理得：1)a c =．所以椭圆C的离心率为c e a ==故选：D.3．（2023春·安徽淮北·高三淮北一中校考阶段练习）已知函数||1||22()21x x x f x +++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +等于（）A ．0B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】依题意()||||1||||||22122()2212121x x x x x x x f x x +++++===++++，故令||()()221x xg x f x =-=+，所以||||()()2121x x x x g x g x ----===-++，所以函数()g x 为奇函数，所以max min ()()0g x g x +=，故max min ()2()20f x f x -+-=，所以max min ()()4f x f x +=.故选：C.4．（2023春·广东广州·高三校考）已知数列{}n a 是公比不等于1±的等比数列，若数列{}n a ，{(1)}n n a -，2{}n a 的前2023项的和分别为m ，6m -，9，则实数m 的值（）A ．只有1个B ．只有2个C ．无法确定有几个D ．不存在【答案】A【解析】设{}n a 的公比为q ，由11(1)(1)n n nn a q a ++-=--，2212n na q a +=可得：{(1)}n n a -为等比数列，公比为q -，2{}n a 为等比数列，公比为2q ，则()2023111a q m q-=-①，()()202320231111611a q a q m qq⎡⎤----+⎣⎦==-++②，()2404612191a q q -=-③，①×②得：()24046122161a q m m q --=--④，由③④得：2690m m -+=，解得：3m =，故实数m 的值只有1个.故选：A5．（2023春·山西太原·高三统考）下列结论正确的个数是（）①已知点()()()4,00,00,3A B C ､､，则ABC 外接圆的方程为22325(2)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；②已知点()()1,01,0A B -､，动点P 满足2PA PB =，则动点P 的轨迹方程为2210103x y x +-+=；③已知点M 在圆22:9O x y +=上，()9,0P ，且点N 满足12MN NP =，则点N 的轨迹方程为22(3)4x y -+=.A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】对于①，线段AB 的中垂线的直线方程为2x =，线段BC 的中垂线的直线方程为32y =，故圆心为32,2⎛⎫⎪⎝⎭52=，即圆的方程为()22325224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，故①正确；对于②，设(),P x y ，由2PAPB ==，整理可得2210103x y x +-+=，故②正确；对于③，设(),N x y ，()00,M x y ，则()9,NP x y =-- ，()00,MN x x y y =--，由12MN NP = ，则()()0019212x x x y y y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，即00392232x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，M 在229x y +=上，223939222x y ⎛⎫⎛⎫∴-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得()2234x y -+=，故③正确.故选：D.6．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且12π3F PF ∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ⋅的最小值为（）A．2B ．34CD ．3【答案】A【解析】如图，设椭圆的长半轴为1a ，双曲线的实半轴长为2a，则根据椭圆及双曲线的定义：1211222,2PF PF a PF PF a +=-=，所以112212,PF a a PF a a =+=-，设122F F c =，因为12π3F PF ∠=，则在12PF F △中，由余弦定理得：22212121212π4()()2()()cos3c a a a a a a a a =++--+-，化简得：2221234a a c +=，即2212134e e +=，从而有2212134e e =+≥整理得12e e ⋅≥（当且仅当122,2e e ==故选：A.7．（2023·全国·高三专题练习）在某次数学考试中，学生成绩X 服从正态分布()2100,δ.若X 在()85,115内的概率是0.5，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是（）A ．2764B ．964C ．34D ．916【答案】A【解析】因为学生成绩服从正态分布()2100,δ，且()851150.5P X <<=，所以()851000.25P X <<=，()850.25P X <=，()3850.754P X ≥==，所以从参加这次考试的学生中任意选取1名学生，其成绩不低于85的概率是34，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是2233127C 4464⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.故选：A.二、多选题8．（2023·全国·高三专题练习）已知M 为圆C ：()2212x y ++=上的动点，P 为直线l ：40x y -+=上的动点，则下列结论正确的是（）A ．直线l 与圆C 相切B ．直线l 与圆C 相离C ．|PM |D ．|PM |【答案】BD【解析】圆C ：()2212x y ++=得圆心()1,0C -,半径r =∵圆心()1,0C -到直线l ：40x y -+=得距离2d r ==>∴直线l 与圆C 相离A 不正确，B 正确；2PM PC r d r ≥-≥-=C 不正确，D 正确；故选：BD ．9．（2023春·江苏盐城·高三校联考阶段练习）函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<，()f x 图像一个最高点是(,2)3A π，距离点A 最近的对称中心坐标为(,0)4π，则下列说法正确的有()A ．ω的值是6B ．(,1212x ππ∈-时，函数()f x 单调递增C ．1312x π=时函数()f x 图像的一条对称轴D ．()f x 的图像向左平移φ(0)φ>个单位后得到()g x 图像，若()g x 是偶函数，则φ的最小值是6π【答案】AD【解析】由题意可知，2A =±，134124T πππ-==，即3T π=，其中T 为()f x 的最小正周期，又因为2T πω=，所以6ω=，故A 正确；当2A =时，()2sin(6)233f ππϕ=⨯+=，由0ϕπ<<，可得2ϕπ=，此时()2sin(62cos 62f x x x π=+=，3(2cos 042f ππ==，满足题意；当2A =-时，()2sin(6)233f ππϕ=-⨯+=，由0ϕπ<<，则ϕ无解，综上所述，()2cos 6f x x =，从而()f x 是一个偶函数，故()f x 在(,1212ππ-上不单调，故B 错误；又因为1313(2cos(6021212f A ππ=⨯=≠=，所以1312x π=不是函数()f x 图像的一条对称轴，故C 错误；对于选项D:由题意可得，()2cos 6()2cos(66)g x x x φφ=+=+，若()g x 是偶函数，则6k φπ=，Z k ∈，即16k φπ=，Z k ∈，又因为0φ>，所以φ的最小值是6π，此时1k =，故D 正确.故选：AD.10．（2023秋·辽宁朝阳·高三统考开学考试）已知函数32()23f x x x x =-+-，若过点(1,)P m -（其中m 是整数）可作曲线()y f x =的三条切线，则m 的所有可能取值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】ABCD【解析】由题知'2()343f x x x =-+-，设切点为00(,())x f x ，则切线方程为32200000023(343)()y x x x x x x x +-+=-+--，将=1x -，y m =代入得32000243m x x x =+-+；令32()243g x x x x =+-+，则'2()6242(1)(32)g x x x x x =+-=+-，23x ∴>或1x <-时，'()0g x >；213x -<<时，'()0g x <，()g x ∴的极大值为(1)6g -=，极小值为237(327g =，由题意知37627m <<，又m 为整数，2,3,4,5m ∴=.故选：ABCD.11．（2023秋·辽宁朝阳·高三统考开学考试）已知1F 、2F 分别是椭圆22:12516x y C +=的左、右焦点，点A 是椭圆C 上一点，则下列说法正确的是（）A ．1210AF AF +=B ．椭圆C 的离心率为45C ．存在点A 使得12AF AF ⊥D ．12AF F △面积的最大值为12【答案】AD【解析】由椭圆的标准方程，得5a =，4b =，3c =，且1(3,0)F -，2(3,0)F ；对于A ：由椭圆的定义，知12210AF AF a +==，即选项A 正确；对于B ：椭圆C 的离心率35c e a ==，即选项B 错误；对于C:设(,)A m n ，则2212516m n +=，若12AF AF ⊥，则210F A A F ⋅= ，则2(3)(3)0m m n -++=，即229m n +=，联立2222912516m n m n ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，得21759m =-（舍）即该方程组无解，即不存在点A 使得12AF AF ⊥，即选项C 错误；对于D ：当点A 为上、下顶点时，12AF F △的面积取得最大值，即()12max 12122AF F S c b bc =⨯⨯==△，即选项D 正确.故选：AD.12．（2023春·江苏南通·高三校联考）已知定义在R 上函数()f x 的图象是连续不断的，且满足以下条件：①,()()x R f x f x ∀∈-=；②1x ∀，2(0,)x ∈+∞，当12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x -<-；③(1)0f -=，下列选项成立的是（）A ．(3)(4)>-f f B ．若(1)(3)f x f -<，则(4,)x ∈+∞C ．若()0xf x <，(1,0)(1,)x ∈-⋃+∞D ．,x R M R ∀∈∃∈，使得()f x M【答案】ACD 【解析】由①x ∀∈R ，()()f x f x -=，得()f x 为偶函数，②1x ∀，2(0,)x ∈+∞，当12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x -<-，得()f x 在(0,)+∞上单调递减，(4)(4)(3)f f f ∴-=<，故A 正确；(1)(3)f x f -<即13x ->或13x -<-，解得4x >或<2x -，故B 错误；由(1)0f -=，得(1)0f =，若()0xf x <，则()00f x x >⎧⎨<⎩或()00f x x <⎧⎨>⎩，解得(1,0)(1,)x ∈-⋃+∞，故C 正确；由()f x 为R 上的偶函数，在(0,)+∞单调递减，在(,0)-∞单调递增，又因为函数()f x 的图象是连续不断的，所以(0)f 为()f x 的最大值，所以x ∀∈R ，∃∈M R ，使得()f x M ，故D 正确.故选：ACD三、填空题13．（2023·高三课时练习）如图，在三棱锥A BCD -中，底面边长与侧棱长均为a ，点M ，N 分别是棱AB ，CD 上的点，且2=MB AM ，12CN ND =，则MN 的长为______．【答案】3a 【解析】三棱锥A BCD -底面边长与侧棱长均为a ，∴三棱锥A BCD -各个面均为等边三角形，MN MB BC CN =++ ()()2133AB AC AB AD AC =+-+- 112333AB AD AC =-++ ，22112333MN AB AD AC ∴=-++⎛⎫ ⎪⎝⎭ 222124414999999AB AD AB AB AC AC AD AD AC =-⋅-⋅+⋅++ 222222112214999999a a a a a a =--+++259a =，3MN a ∴= ，即MN =．.14．（2023秋·广东佛山·高三统考期末）若函数πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像在[]0,m 上恰好有一个点的纵坐标为1，则实数m 的值可以是__________（写出一个满足题意m 的值即可）．【答案】6π（答案写1366m ππ≤<内任意的实数都正确）.【解析】因为函数πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像在[]0,m 上恰好有一个点的纵坐标为1，令3z x π=+，由0x m ≤≤，得，333x m πππ≤+≤+，即33z m ππ≤≤+，原命题等价于，函数sin y z =的图像在,33m ππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上恰好有一个点的纵坐标为1，所以5,322m πππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，即5232m πππ≤+<，解得1366m ππ≤<.故答案为：6π（答案写1366m ππ≤<内任意的实数都正确）.15．（2023春·河北石家庄·高三石家庄外国语学校校考）已知定义域为R 的函数()11221x f x =-++则关于t 的不等式()()222210f t t f t +<－－的解集为________.【答案】()1,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.【解析】函数()11221x f x =-++的定义域为R.因为()1112221221x x x f x --=-+=-+++，所以()()1111110221221x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-+=-++-+=-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以()()f x f x -=-，即()f x 是奇函数.因为2x y =为增函数，所以121x y =+为减函数，所以()11221x f x =-++在R 上为减函数.所以()()222210f t t f t －＋－＜可化为()()()22222112f t t f t f t －＜－－＝－.所以22212t t t －＞－，解得：1t ＞或13t ＜－.故答案为：()1,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.16．（2023春·湖南长沙·高三宁乡一中校考）过点()2,e P 可以作两条直线与曲线()e 0x y a a =>相切，则实数a 的取值范围是______．【答案】1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】设切点坐标为(),e t t a ，e ,e x x y a y a '==，故斜率为e t a ，切线方程为()e e t t y a a x t -=-，代入()2,e P 得()e e e 2t t a a t -=-，整理得()e 3e t t a-=-，构造函数()()3e t f t t =-，()()2e t f t t '=-⋅，所以()f t 在区间()()(),2,0,f t f t '-∞<递减；在区间()()()2,,0,f t f t '+∞>递增.所以()f t 在2t =时取得极小值也即是最小值()22e f =-，当3t <时，()0f t <，当3t >时，()0f t >，要使过点()2,e P 可以作两条直线与曲线()e 0x y a a =>相切，则2e 1e 0,ea a --<<>，所以a 的取值范围是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭17．（2023春·黑龙江绥化·高三校考）已知F 是椭圆22:143x y C +=的左焦点，P 为椭圆C 上任意一点，点Q 坐标为(2,1)，则||||PQ PF +的最大值为________．【答案】4【解析】由22:143x y C +=可知2a =，设椭圆右焦点(1,0)F '，则24PQ PF PQ a PF QF ''+=+-≤+44==当且仅当P ，Q ，F '共线时且当P 在QF '的延长线上时等号成立．||||PQ PF ∴+的最大值为4故答案为：4+。

高三数学高考专题复习课件四(转化与化归思想)

不等式，则可以简化求解过程，这就是变量与常
量的转化. 解令f(m)=-(x2-1)m+2x-1,m∈［-2，2］，则原不等式等价于f(m)>0恒成立(m∈［-2，2］). 由于f(m)是关于m的一次函数或常数函数，
故有
f f
((2)2)0,0.即2(21(1x2x)2)
2x 1 2x 1
0, 0.
（4）回归原则，无论怎么转化，无论转化为什么新的问题，都是手段，不是目的，最终的目的是解决原始问题.因而，最后要回归到原始问题上来，否则，劳而无功. 5.数形结合思想体现了数与形的相互转化，函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，这三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现.各种变换方法，分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段.可以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂.
同理DE⊥B1C，又∵B1C∩BC1=E， ∴DE⊥平面BB1C1C, 又∵DE 平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面BB1C1C. （3）解取BC的中点P，连结AP，则AP∥平面 BDC1. 证明如下：连结PE，则PE平行且等于AD， ∴四边形APED为平行四边形，∴AP∥DE，又DE 平面BDC1，AP平面BDC1， ∴AP∥平面BDC1. ∴当P为BC边上的中点时有AP∥平面BDC1.
证明（1）∵OA⊥平面ABCD，
BD 平面ABCD，
所以OA⊥BD，∵ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，又OA∩AC=A，∴BD⊥平面OAC，
又∵BD平面OBD，∴平面BDO⊥平面ACO.
（2）取OD中点M，连接EM，CM，
则ME∥AD，ME
1 2
AD,
∵ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD=BC，

高考数学二轮复习第4讲转化与化归思想

第4讲转化与化归思想「思想方法解读」转化与化归思想是指在研究解决数学问题时，采用某种手段将问题通过转化，使问题得以解决的一种思维策略，其核心是把复杂的问题化归为简单的问题，将较难的问题化归为较容易求解的问题，将未能解决的问题化归为已经解决的问题．常见的转化与化归思想应用具体表现在：将抽象函数问题转化为具体函数问题，立体几何和解析几何中一般性点或图形问题转化为特殊点或特殊图形问题，以及“至少”或“是否存在”等正向思维受阻问题转化为逆向思维问题，空间与平面的转化，相等问题与不等问题的转化等．热点题型探究热点1特殊与一般的转化例1(1)(2020·全国卷Ⅱ)数列{a n}中，a1＝2，a m＋n＝a m a n，若a k＋1＋a k＋2＋…＋a k＝215－25，则k＝()＋10A．2 B．3C．4 D．5答案 C＝2，∴数解析在等式a m＋n＝a m a n中，令m＝1，可得a n＋1＝a n a1＝2a n，∴an＋1an列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n＝2×2n－1＝2n.∴a k＋1＋a k＋2＋…＋a k＋＝错误!＝错误!＝2k＋1·(210－1)＝25(210－1)，∴2k＋1＝25，则k＋1＝5，解得k＝4.故选10C．(2)在平行四边形ABCD中，|AB→|＝12，|AD→|＝8.若点M，N满足BM→＝3MC→，DN→＝2NC→，则AM→·NM→＝()A．20 B．15C ．36D ．6答案 C解析解法一：由BM →＝3MC →，DN →＝2NC →知，点M 是BC 的一个四等分点，且BM ＝34BC ，点N 是DC 的一个三等分点，且DN ＝23DC ，所以AM →＝AB →＋34AD →，AN →＝AD →＋DN →＝AD→＋23AB →，所以NM →＝AM →－AN →＝AB →＋34AD →－⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋23AB →＝13AB →－14AD →，所以AM →·NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋34AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－14AD →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋34AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →－34AD →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →2－916AD →2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫144－916×64＝36，故选C ．解法二：不妨设∠DAB 为直角，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．则M (12,6)，N (8,8)，所以AM →＝(12,6)，NM →＝(4，－2)，所以AM →·NM →＝12×4＋6×(－2)＝36，故选C ．一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单；特殊问题一般化，可以把握问题的一般规律，使我们达到成批处理问题的效果．对于客观题，当题设条件提供的信息在普通条件下都成立或暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，可以快捷地得到答案．1．若函数f (x )＝1＋x 3，则f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．－4答案 A解析∵f(x)＝1＋x3，∴f(－x)＋f(x)＝2，∵lg 12＝－lg 2，∴f(lg 2)＋f⎝⎛⎭⎪⎫lg12＝2，故选A．2．(2020·山东省泰安市高三四模)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)，且与C交于A，B两点，则p＝________，1|AF|＋1|BF|＝________.答案2 1解析由p2＝1，得p＝2，当直线l的斜率不存在时，l：x＝1，与y2＝4x联立解得y＝±2，此时|AF|＝|BF|＝2，所以1|AF|＋1|BF|＝12＋12＝1；当直线l的斜率存在时，设l：y＝k(x－1)，代入抛物线方程，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，1|AF|＋1|BF|＝|AF|＋|BF||AF||BF|＝错误!＝错误!＝错误!＝1.热点2函数、方程、不等式间的转化例2(1)已知函数f(x)＝ax(x2－1)＋x(a>0)，方程f[f(x)]＝b对于任意b∈[－1,1]都有9个不等实根，则实数a的取值范围为()A．(1，＋∞) B．(2，＋∞)C．(3，＋∞) D．(4，＋∞)答案 D解析∵f(x)＝ax(x2－1)＋x(a>0)，∴f′(x)＝3ax2＋(1－a)．若0<a≤1，则f′(x)≥0，f(x)单调递增，此时方程f[f(x)]＝b不可能有9个不等实根，故a>1.令f′(x)＝0，得x＝±a－13a ，不妨令x1＝－a－13a，x2＝a－13a.∵当a>1时，a－1<3a，∴－1<x1<0，0<x2<1.f(－x)＝a(－x)[(－x)2－1]＋(－x)＝－[ax(x2－1)＋x]＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，又函数f(x)过定点(1,1)，(－1，－1)和(0,0)，则作出函数f(x)的大致图象如图所示．令f (x )＝t ，方程f (t )＝b 对于任意b ∈[－1,1]都有9个不等实根，即方程f (x )＝t 1，f (x )＝t 2，f (x )＝t 3，一共有9个不等实根，∴f (x )在极小值点处的函数值小于－1，即f ⎝⎛⎭⎪⎫a －13a ＝23(1－a )a －13a<－1，即(a －4)(2a ＋1)2>0，解得a >4，故实数a 的取值范围为(4，＋∞)．故选D ．(2)(多选)(2020·山东省聊城市高三模拟)若实数a ≥2，则下列不等式中一定成立的是( )A ．(a ＋1)a ＋2>(a ＋2)a ＋1B ．log a (a ＋1)<log (a ＋1)(a ＋2)C ．log a (a ＋1)<a ＋1aD ．log (a ＋1)(a ＋2)<a ＋2a ＋1答案 AD解析令f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln xx2，可得函数f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，∵实数a ≥2，∴a ＋1>e ，∴错误!>错误!，∴(a ＋1)a ＋2>(a ＋2)a ＋1，log (a ＋1)(a ＋2)<a ＋2a ＋1，可得A ，D 正确．∵错误!与错误!的大小关系不确定，∴C 不正确．对于B ，令g (x )＝log x (x ＋1)(x ≥2)，则g ′(x )＝错误!<0，∴函数g (x )在[2，＋∞)上单调递减，∴log a (a ＋1)>log (a ＋1)(a ＋2)，B 不正确．综上可得，只有A ，D 正确．函数、方程与不等式相互转化的应用函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式之间的转化可以将问题化繁为简，常常将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题；将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题，将方程的求解问题转化为函数的零点问题．1．已知函数f (x )＝x ＋(2－kx )e x (x >0)，若f (x )>0的解集为(a ，b )，且(a ，b )中恰有两个整数，则实数k 的取值范围为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1e2B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e4＋12，1e3＋23C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e3＋23，1e2＋1D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e2＋1，1e ＋2 答案 C解析 f (x )＝x ＋(2－kx )e x >0⇒x >(kx －2)e x ⇒x ex >kx －2，设g (x )＝xex (x >0)，h (x )＝kx －2，问题就转化为在(a ，b )内，g (x )>h (x )，且(a ，b )中恰有两个整数．先研究函数g (x )的单调性，g ′(x )＝1－xex(x >0)，当x >1时，g ′(x )<0，所以函数g (x )在(1，＋∞)上单调递减；当0<x <1时，g ′(x )>0，所以函数g (x )在(0,1)上单调递增，所以g (x )max ＝g (1)＝1e .注意到g (0)＝0，当x >0时，g (x )>0.h (x )＝kx －2，恒过(0，－2)，要想在(a ，b )内，g (x )>h (x )，且(a ，b )中恰有两个整数，必须要满足以下两个条件：错误!⇒错误!⇒错误!＋23≤k ＜1e2＋1，故选C ．2．(2020·山东省临沂市高三一模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x3＋3x2＋2，x≥0，－x2ex ，x<0，若方程f (x )＋a ＝0有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围是________.答案 {a |－6<a ≤－2或a ＝4e －2}解析当x ≥0时，f (x )＝－x 3＋3x 2＋2，故f ′(x )＝－3x 2＋6x ＝－3x (x －2)，故函数在[0,2]上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，f (0)＝2，f (2)＝6；当x <0时，f (x )＝－x 2e x ，故f ′(x )＝－x e x (x ＋2)，故函数在(－∞，－2)上单调递减，在[－2,0)上单调递增，f (－2)＝－4e －2.画出函数图象，如图所示：f (x )＋a ＝0，即f (x )＝－a ，根据图象知，2≤－a <6或－a ＝－4e －2，解得－6<a ≤－2或a ＝4e －2.热点3 正难则反的转化例3 (1)若命题“∃x 0∈R ，x 20＋2mx 0＋m ＋2<0”为假命题，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)C ．[－1,2]D ．(－1,2) 答案 C解析若命题“∃x 0∈R ，x 20＋2mx 0＋m ＋2<0”为假命题，则命题等价于∀x ∈R ，x 2＋2mx ＋m ＋2≥0恒成立，故只需要Δ＝4m 2－4(m ＋2)≤0⇒－1≤m ≤2.故选C ．(2)已知函数f (x )＝ax 2－x ＋ln x 在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为________.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，18解析 f ′(x )＝2ax －1＋1x.(ⅰ)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递增，则f ′(x )≥0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x ≥0，得a ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x2.①令t ＝1x ，因为x ∈(1,2)，所以t ＝1x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.设h (t )＝12(t －t 2)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋18，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，显然函数y ＝h (t )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，所以h (1)＜h (t )＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即0＜h (t )＜18.由①可知，a ≥18.(ⅱ)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递减，则f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x ≤0，得a ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x2.②结合(ⅰ)可知，a ≤0.综上，若函数f (x )在区间(1,2)上单调，则实数a 的取值范围为(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞.所以若函数f (x )在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，18.正与反的转化法正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中．1．(2020·天津高考)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________.答案16 23解析因为甲、乙两球落入盒子的概率分别为12，13，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为12×13＝16，甲、乙两球都不落入盒子的概率为⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝13，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1－13＝23.2．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )＞0，则实数p 的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－3，32解析若在区间[－1,1]内不存在c 满足f (c )＞0，因为Δ＝36p 2≥0恒成立，则错误!解得错误!所以p ≤－3或p ≥32，取补集得－3＜p ＜32，即满足题意的实数p 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32.热点4 形体位置关系的转化例4 (1)正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 折叠，使点B 与点C 间的距离为3，则四面体ABCD 外接球的表面积为( )A ．6πB ．7πC ．8πD ．9π答案 B解析根据题意可知四面体ABCD 的三条侧棱BD ⊥AD ，DC ⊥DA ，底面△BDC 是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径．在三棱柱底面△BDC 中，BD ＝CD ＝1，BC ＝3，∴∠BDC ＝120°，∴△BDC 的外接圆的半径为12×3sin120°＝1.由题意可得，球心到底面的距离为12AD ＝32，∴球的半径为r ＝34＋1＝72.故外接球的表面积为4πr 2＝7π，故选B ．(2)如图所示，已知多面体ABCDEFG 中，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF ∥平面ADGC ，AB ＝AD ＝DG ＝2，AC ＝EF ＝1，则该多面体的体积为________.答案 4解析解法一：(分割法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点C 作CH ⊥DG 于H ，连接EH ，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH －ABC 和一个斜三棱柱BEF －CHG .由题意，知V 三棱柱DEH －ABC ＝S △DEH ·AD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×2＝2，V 三棱柱BEF －CHG ＝S △BEF·DE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×2＝2.故所求几何体的体积为V 多面体ABCDEFG ＝2＋2＝4.解法二：(补形法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半．又正方体的体积V 正方体ABMI －DEKG ＝23＝8，故所求几何体的体积为V 多面体ABCDEFG ＝12×8＝4.形体位置关系的转化是通过切割、补形、等体积转化等方式转化为便于观察、计算的常用几何体，由于新的几何体是转化而来的，一般需要对新几何体的位置关系、数据情况进行必要分析，准确理解新几何体的特征．1. (2020·山东省聊城市高三一模)点M，N分别为三棱柱ABC－A1B1C1的棱BC，BB1的中点，设△A1MN的面积为S1，平面A1MN截三棱柱ABC－A1B1C1所得截面面积为S，五棱锥A1－CC1B1NM的体积为V1，三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，则V1V＝________，S1S＝________.答案7123 5解析如图所示，延长NM交C1C的延长线于点P，连接P A1交AC于点Q，连接QM.平面A1MN截三棱柱ABC－A1B1C1所得截面为四边形A1NMQ.∵BB1∥CC1，M为BC的中点，则△PCM≌△NBM.∴点M为PN的中点．∴△A1MN的面积S1＝12S△A 1NP ，∵QC ∥A 1C 1，PC PC1＝13＝PQ PA1， ∴△A 1QM 的面积＝23S △A 1PM ，∴S1S ＝35.∵△BMN 的面积＝18S 四边形CC 1B 1B ，∴五棱锥A 1－CC 1B 1NM 的体积为V 1＝78V 四棱锥A 1－CC 1B 1B ，连接A 1B ，则三棱锥A 1－ABC 的体积＝13V ，∴V1V ＝78×⎝ ⎛⎭⎪⎫V －13V V ＝712. 2．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 是棱B 1C 1的中点，AB ＝AC ＝2，BC ＝BB 1＝2.(1)求证：AC 1∥平面A 1BD ；(2)求点D 到平面ABC 1的距离．解 (1)证明：如图，连接AB 1，交A 1B 于点O ，则O 为AB 1的中点，连接OD ，又D 是B 1C 1的中点， ∴OD ∥AC 1，∵OD ⊂平面A 1BD ，AC 1⊄平面A 1BD ，∴AC 1∥平面A 1BD ．(2)由已知，AB ＝AC ，取BC 的中点H ，则BC ⊥AH ， ∵BB 1⊥平面ABC ，AH ⊂平面ABC ，∴BB 1⊥AH ，∵BC ∩BB 1＝B ，∴AH ⊥平面BCC 1B 1.又AB ＝AC ＝2，BC ＝2，∴AH ＝1，∵BB 1⊥C 1D ，∴S △BC 1D ＝12C 1D ·BB 1＝12×1×2＝1， ∴V D －ABC 1＝VA －BC 1D ＝13S △BC 1D ·AH ＝13×1×1＝13. ∵AC 1＝2＋4＝6，BC 1＝4＋4＝22，∴AC 21＋AB 2＝BC 21，∴△ABC 1是直角三角形，∴S △ABC 1＝12×2×6＝3，设点D 到平面ABC 1的距离为h ，则13×3×h ＝13，得h ＝33，即点D 到平面ABC 1的距离为33.。

超实用高考数学复习教学课件：第4讲转化与化归思想

它可以把抽象的数学语言与直观图形相对应，使复杂问题简单化，抽象问题具体化；（4）分类讨论的思想：
此思想方法在解答题中越来越体现出其重要地位，在解题中应明确分类原则：标准要统一，不重不漏。
同时考生在此阶段的复习过程中一定要重视教材的作用，我们有很大一部
分考生不重视课本，甚至在高考这一年中从来没翻过课本，这是非常危险的。因为高考试题有一部分都是从书上的例题和练习里引申变形而来的，对于我们基础比较薄弱的同学来讲，就更应该仔细阅读教材，认真琢磨书上的例题，体会其中包含的数学思想和数学方法。这对于我们提高数学能力是非常有帮助的！
【解析】 g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若 g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，则①g′(x)≥0 在(t,3)上恒成立，或②g′(x)≤0 在(t,3)上恒成立(正反转化)．由①得 3x2＋(m＋4)x－2≥0，即 m＋4≥2x－3x，当 x∈(t,3)时恒成立，所以 m＋4≥2t －3t 恒成立，则 m＋4≥－1，即 m≥－5；
养成良好的答题习惯，是决定高考数学成败的决定性因素之一。做题前，要认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌跟着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要善于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检查，查漏补缺，纠正错误。总之，在最后的复习阶段，学生们不要加大练习量。在这个时候，学生要尽快找到适合自己的答题方式，最重要的是以平常心去面对考试。数学最后的复习要树立信心，考试的时候遇到难题要想“别人也难 ”，遇到容易的则要想“细心审题”。越到最后，考生越要回归基础，单词最好再梳理一遍，这样有利于提高阅读理解的效率。另附高考复习方法和考前30 天冲刺复习方法。

高三数学文科转化与化归思想培优专题训练转化与化归的思想人教版

2邵东一中2020学年度文科数学培优专题训练转化与化归的思想（时限80分钟）姓名：【知识要点】1. 应用常用的等价转化与不等价转化方法，解决数学问题；2. 体验陌生问题熟悉化、复杂问题简单化、抽象问题具体化过程； 3 •感悟化归与转化思想的普遍存在性。

一、选择题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分•在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的。

请在旁边空白处写好解答过程。

1.已知向量 a (1,0), b (0,1),c ka b(k1且c 与d 反向1且c 与d 同向1且c 与d 反向n 、p 、q € R 且 2 2 m + n = a ,p 2 + q 2 = b , ab z 0,则mp + nq 的最大值是（） A.a b B.2ab C.a 2b 2 2D.aba b3•右｛a n ｝是等差数列，S n 是其前 n 项和，a 3 a s, S 9,则 S 1 , S 2 , S 3 ,'中最小的是( )A.S 4；BS 5；CS 6；DS 9 “4. 在厶ABC 中， C 90，下列关系式中正确的是()A.si nC cosA cosB si nA sin B ； B .si nC sin A sin B cosAcosB ； C. cosA cosB sin A sin BsinC ； D. cosA cosB si nC sin A sin B +已知三棱锥S-ABC 的三条侧棱两两垂直, ,S nR),d a b,如果 c//d,，那么1且c 与d 同向SA= 5, SB= 4, SC= 3, D 为AB 的中点，E 为AC )A. 15B. 10C.252D.3526.条件p : x 2或y 3;条件q :A .条件p是条件q的充分而非必要条件C .条件p是条件q的充分且必要条件.条件p是条件q的必要而非充分条件.条件p是条件q的非充分也非必要条件二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分•把答案填在题中横线上.(须在空白处写出文字说明、证明过程和演算步骤。

2020高考数学转化与化归的思想典型试题答题技巧(9页)

2020高考数学转化与化归的思想典型试题答题技巧-------------------------------思想方法·解题方法辨析-------------------------------典例解剖·寻找解题规律题型一：一般与特殊的相互转化【典例1】（1）过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则1p+1q等于（）A．2a B．2aC．4a D．4a（2）已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________．【答案】（1）C（2）4【解析】（1）抛物线y＝ax2（a>0）的标准方程为x2＝1ay（a>0），焦点F1(0,)4a．过焦点F作直线垂直于y轴，则|PF|＝|QF|＝12a，所以1p+1q＝4a．（2）由题意，不妨设b＝（2，0），a＝（cos θ，sin θ），则a ＋b ＝（2＋cos θ，sin θ），a －b ＝（cos θ－2，sin θ），令y ＝|a ＋b |＋|a －b |=则y 2＝10＋∈[16，20]．由此可得（|a ＋b |＋|a －b |）max（|a ＋b |＋|a －b |）min4，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是25．归纳解题方法与技巧（1）一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果．（2）对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案题型二：正与反的相互转化【典例2】若对于任意t ∈[1，2]，函数g （x ）＝x 3＋2(2)22mx x +-在区间（t ，3）上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________．【答案】（－373，－5）【解析】由题意得g ′（x ）＝3x 2＋（m ＋4）x －2，若g （x ）在区间（t ，3）上总为单调函数，则①g ′（x ）≥0在（t ，3）上恒成立，或②g ′（x ）≤0在（t ，3）上恒成立．由①得3x 2＋（m ＋4）x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈（t ，3）上恒成立，所以m ＋4≥2t－3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x－3x 在x ∈（t ，3）上恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373．所以函数g （x ）在区间（t ，3）上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5．归纳解题方法与技巧（1）本题是正与反的转化，由于函数不为单调函数有多种情况，所以可先求出其反面情况，体现“正难则反”的原则．（2）题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中．题型三：常量与变量的相互转化【典例3】已知函数f（x）＝x3＋3ax－1，g（x）＝f′（x）－ax－5，其中f′（x）是f （x）的导函数．对任意a∈[－1，1]，都有g（x）<0，则实数x的取值范围为________．【答案】2 (,1)3 -【解析】由题意，知g（x）＝3x2－ax＋3a－5，令φ（a）＝（3－x）a＋3x2－5，－1≤a≤1．由题意得(1)0(1)0ϕϕ<⎧⎨-<⎩即22320380x xx x⎧--<⎪⎨+-<⎪⎩解得－23<x<1．故x的取值范围为2(,1)3-．归纳解题方法与技巧（1）本题是把关于x的函数转化为[－1，1]内关于a的一次函数的问题．（2）在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数（或参数），将其看成“主元”，而把其他变元看成常量，从而达到减少变元简化运算的目的．题型四：形、体位置关系的相互转化【典例4】在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1．求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1⊥平面A1B C．【证明】（1）在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，所以AB1⊥A1B．因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥B C．又因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC，又因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1B C．归纳解题方法与技巧形体位置关系的转化是针对几何问题采用的一种特殊转化方法．主要适用于涉及平行、垂直的证明，如线面平行、垂直的推理与证明就是充分利用线面位置关系中的判定定理、性质定理实现位置关系的转化．题型五：形、体位置关系的相互转化已知函数f（x）＝3e|x|．若存在实数t∈[－1，＋∞），使得对任意的x∈[1，m），m∈Z，且m>1，都有f（x＋t）≤3ex，求m的最大值．【解析】因为当t∈[－1，＋∞），且x∈[1，m]时，x＋t≥0，所以f（x＋t）≤3ex⇔e x＋t≤ex⇔t≤1＋ln x－x．所以原命题等价转化为存在实数t∈[－1，＋∞），使得不等式t≤1＋ln x－x，对任意x∈[1，m）恒成立．令h（x）＝1＋ln x－x（x≥1）．因为h′（x）＝1x－1≤0，所以函数h （x ）在[1，＋∞）上为减函数．又x ∈[1，m ），所以h （x ）min ＝h （m ）＝1＋ln m －m ，t 值恒存在，只需1＋ln m －m ≥－1．因为h （3）＝ln 3－2＝ln 13()e e⋅>ln 1e ＝－1，h （4）＝ln 4－3＝ln 13()e e ⋅<ln 1e＝－1，且函数h （x ）在[1，＋∞）内为减函数，所以满足条件的最大整数m 的值为3．归纳解题方法与技巧（1）函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助．（2）解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因为借助函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值（值域）问题，从而求参变量的范围．------------------------------- 强化训练·提升解题能力1若二次函数f （x ）＝4x 2－2（p －2）x －2p 2－p ＋1在区间[－1，1]内至少存在一个值c ，使得f （c ）>0，则实数p 的取值范围是________．【答案】3(3,)2-【解析】如果在[－1，1]内没有值满足f （x ）>0，则11(1)02(1)0332p p f f p p ⎧≤-≥⎪-≤⎧⎪⇒⎨⎨≤⎩⎪≤-≥⎪⎩或或 ⇒p ≤－3或p ≥32，故实数满足条件的p 的取值范围为3(3,)2- 2．对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px >4x ＋p －3成立的x 的取值范围是________．【答案】（－∞，－1）∪（3，＋∞）【解析】设f （p ）＝（x －1）p ＋x 2－4x ＋3，则当x ＝1时，f （p ）＝0．所以x ≠1．f （p ）在0≤p ≤4时恒为正等价于(0)0(4)0f f >⎧⎨>⎩即2(3)(1)010x x x -->⎧⎨->⎩解得x >3或x <－1．故x 的取值范围为（－∞，－1）∪（3，＋∞）．3．设y ＝（log 2x ）2＋（t －2）log 2x －t ＋1，若t 在[－2，2]上变化时，y 恒取正值，则x 的取值范围是________．【答案】1(0,)2∪（8，＋∞）【解析】设f （t ）＝（log 2x －1）t ＋（log 2x ）2－2log 2x ＋1，则f （t ）是一次函数，当t ∈[－2，2]时，f （t ）>0恒成立，则(2)0(2)0f f ->⎧⎨>⎩即22222(log )4log 30(log )10x x x ⎧-+>⎪⎨->⎪⎩ 解得log 2x <－1或log 2x >3，即0<x<12或x >8，故x 的取值范围是1(0,)2∪（8，＋∞） 4．如图，在棱长为5的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF＝2，点Q 是A 1D 1的中点，点P 是棱C 1D 1上的动点，则四面体PQEF 的体积（）A ．是变量且有最大值B ．是变量且有最小值C ．是变量且有最大值和最小值D ．是常数【答案】D【解析】．点Q 到棱AB 的距离为常数，所以△EFQ 的面积为定值．由C 1D 1∥EF ，可得棱C 1D 1∥平面EFQ ，所以点P 到平面EFQ 的距离是常数，于是可得四面体PQEF 的体积为常数．5．已知三棱锥P －AB C 中，P A ＝BC ＝，PB ＝AC ＝10，PC ＝AB ＝锥P －ABC 的体积为________．【答案】160【解析】因为三棱锥P －ABC 的三组对边两两相等，故可将此三棱锥放在一个特定的长方体中（如图所示），把三棱锥P －ABC 补成一个长方体AEBG FPDC ，易知三棱锥P －ABC 的各棱分别是此长方体的面对角线．不妨令PE ＝x ，EB ＝y ，EA ＝z ，则由已知，可得2222221006136810164x y x x z y z z y ⎧+==⎧⎪⎪+=⇒=⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎩从而知V P －ABC ＝V AEBG －FPDC －V P －AEB －V C －ABG －V B －PDC －V A －FPC ＝V AEBG －FPDC －4V P －AEB ＝6×8×10－4×1132⨯×6×8×10＝160．6．已知e 为自然对数的底数，若对任意的x ∈[1e，1]，总存在唯一的y ∈[﹣1，1]，使得ln x ﹣x +1+a ＝y 2e y 成立，则实数a 的取值范围是（） A．[1e，e ] B ．（2e，e ]C ．（2e，+∞）D ．（2e，e +1e ）【答案】B【解析】设f （x ）＝ln x ﹣x +1+a ，当x ∈[1e ，1]时，f ′（x ）=1−xx ＞0，f （x ）是增函数，∴x ∈[1e，1]时，f （x ）∈[a −1e ，a ]，设g （y ）＝y 2e y，∵对任意的x ∈[1e，1]，总存在唯一的y ∈[﹣1，1]，使得ln x ﹣x +1+a＝y 2e y 成立，∴[a −1e ，a ]是g （y ）的不含极值点的单值区间的子集，∵g ′y （y ）＝y （2+y ）e y ，∴y ∈[﹣1，0）时，若g ′y （y ）＜0，g （y ）＝y 2e y 是减函数，若y ∈（0，1]，g ′y （y ）＞0，g （y ）＝y 2e y 是增函数，∵g （﹣1）=1e ＜e ＝g （1），∴若对任意的x ∈[1e，1]，总存在唯一的y ∈[﹣1，1]，使得ln x ﹣x +1+a ＝y 2e y 成立，∴[a −1e ，a ]⊆（1e ，e ]，∴{a ≤e a −1e ＞1e ，即{a ≤e a ＞2e 则2e＜a ≤e ；故选：B ．7．关于x 的不等式x ＋4x－1－a 2＋2a >0对x ∈（0，＋∞）恒成立，则实数a 的取值范围为______．【答案】（－1，3）【解析】设f （x ）＝x ＋4x （x >0），则f （x ）＝x ＋4x4（当且仅当x ＝2时，等号成立）．因为关于x 的不等式x ＋4x－1－a 2＋2a >0对x ∈（0，＋∞）恒成立，所以a 2－2a ＋1<4恒成立，解得－1<a <3，所以实数a 的取值范围为（－1，3）．8．如图所示，E ，F 分别是边长为1的正方形ABCD 边BC ，CD 的中点，沿线AF ，AE ，EF 折起来，则所围成的三棱锥的体积为（）A 13B ．16C ．112D ．124【答案】D【解析】设B ，D ，C 重合于G ，则V A －EFG ＝111111=322224⨯⨯⨯⨯9．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD 、ABFE 、CDEF 均为等腰梯形，AB ∥CD ∥EF ，AB ＝6，CD ＝8，EF ＝10，EF 到平面ABCD 的距离为3，CD 与AB 间的距离为10，则这个羡除的体积是（） A ．110 B ．116 C ．118 D ．120【答案】D【解析】如图，过点A 作AP ⊥CD ，AM ⊥EF ，过点B 作BQ ⊥CD ，BN ⊥EF ，垂足分别为P ，M ，Q ，N ，连接PM ，QN ，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为12×10×3＝15．棱柱的高为8，体积V ＝15×8＝120．故选D ．【答案】D10．（2019·衡水中学调研卷）已知正三棱锥P －ABC ，点P ，A ，B ，C球面上，若P A ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．【解析】先在一个正方体中找一个满足条件的正三棱锥，再利用正方体的性质解题．如图，满足题意的正三棱锥P －ABC 可以是正方体的一部分，其外接球的直径是正方体的体对角线，且面ABC 与体对角线的交点是体对角线的一个三等分点，所以球心到平面ABC 的距离等于体对角线长的16，故球心到截面ABC 的距离为16⨯=（或用等体积法：V P －ABC ＝V A －PBC 求解）．。

高考数学专题复习转化与化归思想教案

高考数学专题复习转化与化归思想教案第一章：转化与化归思想概述1.1 转化与化归思想的定义与意义引导学生理解转化与化归思想的含义，认识到它在数学解题中的重要性。

举例说明转化与化归在解决数学问题中的应用。

1.2 转化与化归的方法与技巧介绍常用的转化与化归方法，如代数化、几何化、图像化等。

通过具体例题，引导学生掌握这些方法在解题中的应用。

第二章：代数问题的转化与化归2.1 代数方程的转化与化归讲解如何将代数方程转化为更容易解决的形式，如一次方程、二次方程等。

引导学生运用转化与化归思想解决实际问题。

2.2 不等式的转化与化归介绍如何将不等式转化为标准形式，以及如何利用转化与化归思想解决不等式问题。

通过例题，让学生学会应用这些方法解决实际问题。

第三章：几何问题的转化与化归3.1 几何图形的转化与化归讲解如何将几何图形转化为标准形式，如三角形、四边形等。

引导学生运用转化与化归思想解决几何问题。

3.2 几何关系的转化与化归介绍如何将几何关系转化为更简单的形式，如相似、全等、平行等。

通过例题，让学生学会应用这些方法解决几何问题。

第四章：函数问题的转化与化归4.1 函数方程的转化与化归讲解如何将函数方程转化为更容易解决的形式，如线性函数、二次函数等。

引导学生运用转化与化归思想解决函数问题。

4.2 函数图像的转化与化归介绍如何将函数图像转化为更容易分析的形式，如直线、曲线等。

通过例题，让学生学会应用这些方法解决函数问题。

第五章：应用题的转化与化归5.1 实际问题的转化与化归引导学生将实际问题转化为数学问题，并运用转化与化归思想解决。

通过例题，让学生学会应用转化与化归思想解决实际问题。

5.2 数学竞赛题的转化与化归讲解如何将数学竞赛题转化为标准形式，并运用转化与化归思想解决。

通过例题，让学生学会应用这些方法解决数学竞赛题。

第六章：数列问题的转化与化归6.1 数列求和的转化与化归讲解如何将数列求和问题转化为等差数列、等比数列等简单形式。

高考数学二轮复习第4讲转化与化归思想课件文

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故a的取值范围是(－∞，4]∪[0，＋∞)． (3)令y＝ln(1＋x2)－12f(x)，则y′＝1＋2xx2－x＝－x＋11＋xxx2－1. 令y′＝0，则x＝－1,0,1，列表如下.
第二十二页，共42页。
(－∞， x
－1)
y′ ＋
单调 y
递增
－1 (－1,0) 0
0 极大值 ln 2＋12
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[思路方法] (1)由F(x－5)＝F(5－x)可知F(x)为偶函数，故可确定b的取值；(2)由不等式恒成立可转化为a≥－(2x2＋2x)或 a≤－(2x2＋2x)在(0,1)上恒成立，故可构造函数求最值确定a的范围；(3)结合函数单调性确定出极值，由数形结合可求得结论．
－
0
单调极小值1
递减
(0,1)
＋单调递增
∴k>ln 2＋12时，无零点；
k<1或k＝ln 2＋12时，有两个零点；
k＝1时有三个零点；
1<k<ln 2＋12时，有四个零点．
1
0 极大值 ln 2＋12
(1，＋∞)
－
单调递减
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函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，常常将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题；将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题；将方程的求解问题转化为函数的零点问题、两个函数图象的交点问题等．
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故g′(x)＝2x＋2＋ax(x>0)，若g(x)在(0,1)上单调，只需g′(x)≥0或g′(x)≤0在(0,1)上恒成立，即2x2＋2x＋a≥0或2x2＋2x＋a≤0恒成立，所以a≥－(2x2＋2x)或a≤－(2x2＋2x)在(0,1)上恒成立．记u(x)＝－(2x2＋2x)，0<x<1，可知－4<u(x)<0， ∴a≥0或a≤－4.

2020届高考数学大二轮复习冲刺经典专题第一编讲方法第4讲转化与化归的思想练习文

第4讲转化与化归的思想「思想方法解读」转化与化归思想是指在研究解决数学问题时，采用某种手段将问题通过转化，使问题得以解决的一种思维策略，其核心是把复杂的问题化归为简单的问题，将较难的问题化归为较容易求解的问题，将未能解决的问题化归为已经解决的问题．常见的转化与化归思想应用具体表现在：将抽象函数问题转化为具体函数问题，立体几何和解析几何中一般性点或图形问题转化为特殊点或特殊图形问题，以及“至少”或“是否存在”等正向思维受阻问题转化为逆向思维问题，空间与平面的转化，相等问题与不等问题的转化等．热点题型探究热点1 特殊与一般的转化2PFPQyaxaF与(，>0)的焦点两点，若线段，作一直线交抛物线于例1 (1)过抛物线＝11qpFQ)＋的长度分别为等于，( ，则qp41aa 2 D. B. C．4．A aa2C答案11??22??FaxaaFxyy，0的直(，取过焦点＝＝>0)(>0)的标准方程为解析抛物线．焦点a??a4111aQFyPF.＝，所以＋线垂直于＝轴，则||＝|4|qpa2→→→→→→→→NMBMMCDNNCAMADABCDABMN·＝3，，满足(2)在平行四边形则中，||＝12，|＝|＝8.若点2，)＝(15 ．20 B．A6．C．36 DC答案3→→→→NBCBMDNNCMBCBMMC，点＝2＝，知，点解析解法一：由的一个四等分点，且＝3是4232→→→→→→→→→→AMNMADABABDCDNDCAMADANADDN－＋＝＋＝，，是的一个三等分点，且＝＝＋，所以＝所以33411321131??????→→→→→→→→→→→→→ADADABABABAD??????NMADABAMANABAD－＋＋＝＋所－以＝·＝·－，＝??????44333434339911????????→→→→→→22ABADABADABAD????????×64－144＋－－＝36，故选＝·＝C. ????????16164433DABABxADy轴建立如图所示为直角，以轴，所在直线为所在直线为解法二：不妨设∠→→→→MNAMNMAMNM＝12×4·所以，2)－，(4＝，(12,6)＝所以，(8,8)，(12,6)则的平面直角坐标系．＋6×(－2)＝36，故选C.一般问题特殊化，使问题处理变的直接、简单；特殊问题一般化，可以把握问题的一般规律，使我们达到成批处理问题的效果．对于客观题，当题设条件提供的信息在普通条件下都成立或暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，可以快捷地得到答案．1??3??fffxx lg＝( ，则 (lg 2)＋1．(2019·甘青宁高三3月联考)若函数())＝1＋??2A．2 B．4D．－4C．－2A答案3xfxffxx(－)＋2(，解析∵)(1)＝＋＝，∴11????ff lg A. ，故选(lg 2)＋＝2∵lg ＝－lg 2，∴??2211??23xxx，0，＜－32?ffx(32．(2019·济南市高三3(－)＝则月模拟)已知函数?x?x≥0，e，2fxx)的解集为( )> (2)A．(－∞，－3)∪(1，＋∞)B．(－3,1)C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D．(－1,3)答案 B11232xfxxxfxxx，＝当解析<0时，()－，′()＝－23．xfxxxfxf )单调递增，且(∵(<0，∴→0′(时，)>0，)→0，xxfffxxfxfx 在整个定()≥0时，(0)(＝)＝e 单调递增，且1.(因此可得∴)≥(；当)<0 义域上单调递增，22xxxfxfx B. (3－<1)>.(2解得－)可转化为3－3<>2∴，故选 2 函数、方程、不等式间的转化热点14??x ??xxaxfxxg 3，使得?[2,3]∈∈＝已知函数例2 (1)2(＋)＝，若＋，?(，) 21??x 2axfxg ) )，则实数 (的取值范围是)≥( (21，＋∞)－∞，1] B ．[1A ．( ，＋∞)C ．(－∞，0] D ．[0C答案14????xxxxxff 3，)2)≥2时等号成立，此时解析当·∈＝4，当且仅当(时，＝( min??x 22agafxxxgxa C.依题意≤0.选(≥4.当)∈[2,3]时，)()＝2＋(＝4＋，∴.＝minminmin2axaxxfx ，方程((－1)＋(2)(2019·河南十所名校高三第二次联考)已知函数>0)()＝axbbff )的取值范围为( [－1,1][都有(9)]＝个不等实根，则实数对于任意 ∈ ，＋∞)B ．A ．(1，＋∞) (2 ，＋∞)D ．(4C ．(3，＋∞) D 答案22xfxaxafaxaxfxxa )≥0，′()＝3≤1，则＋(1＝－()－1)＋(，∴>0)．若∵解析 ′(()xbxafxfxff ＝个不等实根，故，得>1.令＝(单调递增，此时方程)′([0())]＝不可能有9aaa －1－－11aaxxa ，，不妨令＝－－.∵当，1<3＝>1时，±21aaa 33322xxfxaxxxaxxx ]＝－1)＝－[(＋<1.－(－)＝(－)·[(－1])－＋(－)0<<0∴－1<，21fx )， (fxfxfx 的大)(，则作出函数(0,0)和1)，－1－(，(1,1)过定点)(是奇函数，又函数)(∴．致图象如图所示．tfxtxftbbf，(个不等实根，即方程＝＝对于任意)∈[令－(1,1])＝，方程都有(9)1tfxfxt9)(＝)＝，个不等实根，(，一共有32a??a－211－??aafxf－()在极小值点处的函数值小于－1，即，即(∴＝(1－<) －1aa33??32aaa的取值范围为(4，＋∞)．故选>4，故实数4)(2D.＋1)>0，解得函数、方程与不等式相互转化的应用函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式之间的转化可以将问题化繁为简，常常将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题；将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题，将方程的求解问题转化为函数的零点问题．kbaba) x xfxxxkxf的解集(()e)>0．(2019·安徽马鞍山二次质检)已知函数>0)(，)＝若＋(2－1的取值范围为，( )为(中恰有两个整数，则实数，，且)(11112????????＋，－∞，＋ A.B.342????32eee11121????????1＋2，＋＋，＋1 D.C.223????e3eee答案 Cxx xx?kxhxxxfxkxkxkxgxx－(?)e>0＝>(－2)e>2－，设(()＝)>0)，(2解析()＝＋－xx eexhgabxxgba的单)(中恰有两个整数．先研究函数)，(，且)()>(内，)，(，问题就转化为在2．x－1gxxxgxgx)在(1)<0>0)，当，所以函数>1时，，＋∞)上单调递减；调性，′(′()＝((x e1xgxgxgxg(1)＝.)(＝)在(0,1)当0<上单调递增，所以<1时，′(注意到)>0，所以函数(max egxgxhxkxabgxhx)(((，)>)>0.)(内，)＝，－2，恒过(0，－2)(0)＝0，当，要想在>0时，(hg，＞???ba：条件以下两个)中恰有两个整数，必须要且(满，足?hg??1?k?，＜＋12e121??k＜＋1，故选C. ＋≤23ee321?k?＋≥33e19451abc＝ln 4，则( ＝ln ，2．已知) ＝ln ，34544abcbac＜＜＜ A．B＜．bccaba＜＜＜D ．C．＜B答案3ln 2332911??2??a，＝ln ＝ln ＝ln ＝解析??232343325ln4ln 24511cb. ＝，×2ln 2＝＝ln 4＝＝ln 2454454x53ln ????????ffxbfafc()＝，则，故构造函数＝(2)＝，．＝????x42xx ln 1－1－1·ln xf )＝′(，因为＝22xxfxx＝e.0′(，解得)＝由xfxfx)在(0，e]上单调递增；′(＞)0，函数 (故当(0∈，e)时，xfx)＜0′(，当(e∈，＋∞)时，5335????????fffxbaf＜2，＋∞)上单调递减．因为＜＜＜e，所以(2)＜，即＜函数([e)在????2424c，故选＜B.热点3 正难则反的转化2mmxxx＋2<0”为假，＋2＋若命题“(1)(2019·湖南邵阳高三例3 10月大联考)?∈R000m)的取值范围是( 命题，则，＋∞)(2∪1)－∞，－(．B ，＋∞) [2∪1]－∞，－(．A．C．[－1,2] D．(－1,2)C答案22mxxmxmxxx20”为假命题，则命题等价于2<?若命题“?＋∈R，∈＋2R＋，＋解析0002mmmm C. －4(≤2.故选＋2)≤0＋?＋2≥0恒成立，故只需要Δ＝4－1≤2axfxaxx的取值范围为在区间(2)已知函数ln ()＝(1,2)－上不单调，则实数＋．________1????，0 答案 ??81fxax －1＋′(.)＝解析 2 xfxfxax －1所以2)≥0在((1,2))在区间(1,2)上单调递增，则上恒成立，(ⅰ)若函数′(1111????a －.≥0，得①≥ ＋2xx ??x 2111????txt 1，.令∈＝，因为＝∈(1,2)，所以 ??xx 2111111??????22t ??????tyttthht 11，－，上单调∈(＝在区间)设(＋)＝(，－)＝－，显然函数 ??????222822递减， 11????hhthht )＜＜((，即)＜0＜. 所以(1) ??281a ≥由①可知，.8fxfxax －1上恒成立，所以则2′((1,2))≤0ⅱ()若函数在((1,2))在区间上单调递减，1111????a －.＋≤0，得②≤2xx ??x 2a ≤0.可知，结合(ⅰ)1????axf ，＋∞.∪上单调，则实数(的取值范围为－∞，0]综上，若函数((1,2))在区间 ??81????afx ，0.)的取值范围为在区间(1,2)上不单调，则实数所以若函数( ??8正与反的转化法正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中．2kxykyx 的取值范围是3)1．若抛物线(＝垂直平分，则上的所有弦都不能被直线－＝)(11????????－∞，－∞， B. A. ????2211????????，＋∞－－，＋∞ C. D.????22D 答案22kkyxAxxBx ，，＝(上两点)解析当(＝0时，显然符合题意．当，≠0时，设抛物线2112222xxxxxx ＋－＋2122112yxykxABPxyx 由题设知＝＝(，，)关于直线＝)(，－3)对称，则的中点为.20000xx －222122xxxxxx ＋＋＋11??212121??kkxABPxyy 3－＝的中点((所以，－)在直线3)＝，＝－所以＝－.又上，00??kk 2222kkk 1＋6111＋＋166????22????xPyP －－，－，整在的区域内，则－>.由于点＝－，所以中点>kk ????222221122xykkkkk 上存在两点关于直线＝时，<－.因此当理得(2抛物线＋1)(6<－2－＋1)<0，解得2212xxykykxky 所上不存在两点关于直线－＝＝(3)－3)对称，于是当(≥－时，抛物线对称．＝ 21????k ，＋∞－.以实数故选的取值范围为D.??222cxppfxxp ，内至少存在一个值1在区间2([－2)－2－－2．若二次函数1,1](4)＝＋－pfc ________0，则实数．使得(的取值范围是)＞3????，－3 答案 ??22pfcc 恒成立，＝36(≥0)＞0－解析若在区间[1,1]内不存在，因为满足Δ1?pp ?≥1，≤－或2f，－???则解得?f3，???pp?.≥≤－3或233ppp＜，＜≤－3或，取补集得－≥所以3223????p，3－.即满足题意的实数的取值范围是??2热点4 形体位置关系的转化ABCADB折叠，使点，将它沿高2的边长为正三角形)(1)(2019·延安市高考模拟4 例ABCDC)( 间的距离为3与点，则四面体外接球的表面积为．7A．6ππB ．9πDC．8πB答案BDCDAABCDBDADDC是等腰三角形，的三条侧棱，⊥，底面△⊥解析根据题意可知四面体它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，BDCCDBCBDCBDCBD的＝1，，∴∠就是球的半径，在三棱柱底面△＝120°，∴△中，＝＝33131AD，∴球的半径为＝外接圆的半径为×＝1，由题意可得，球心到底面的距离为2sin120°22732rr＝7π，故选.＝故外接球的表面积为4π＋1B. ＝42ABCDEFGABAC，中，届高三摸底考试)如图所示，已知多面体，(2)(天津市滨海新区2020ADABCDEFGBEFADGCABADDGACEF＝1，，，＝＝两两互相垂直，平面＝∥平面，平面＝∥平面2则该多面体的体积为________．答案 4CCH⊥)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点作解析解法一：(分割法DGHEHDEHABCBEFCHG.，即把多面体分割成一个直三棱柱由题－于－，连接和一个斜三棱柱11??????DEVSSVA×2×1×2×1×2＝＝·意，知＝·＝2.＝×2＝2，BEFBEFDEHCHGABCDEH△三棱柱三棱柱－－△????22V＝2＋2＝4.故所求几何体的体积为ABCDEFG多面体因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为)补形法(解法二：V＝的正方体，显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半．又正方体的体积2DEKGABHI－正方体13V4. ＝8，故所求几何体的体积为×8＝＝2ABCDEFG多面体2形体位置关系的转化是通过切割、补形、等体积转化等方式转化为便于观察、计算的常用几何体，由于新的几何体是转化而来的，一般需要对新几何体的位置关系、数据情况进行必要分析，准确理解新几何体的特征．CDBBABCAC是棱1.(2019·东北三省三校高三第二次模拟)如图，直三棱柱中，点－11111BCACBBAB ＝，的中点，2.＝＝＝21ACABD； (1)求证：∥平面11DABC的距离． (2)求点到平面1ABABOOAB，交(1)解证明：连接于点，则为的中点，111．ACBCODODD，是连接的中点，∴，又∥111BDACAODABD，∵，?平面?平面111BDAAC.∴∥平面11AHBCABACBCH(2)＝⊥，取由已知，，则的中点，AHABCBBAHABCBB，，?⊥平面平面⊥，∴∵11BBCCBAHBCBB. ，∴∵∩⊥平面＝111AHACABBC，＝2，＝＝又＝2，∴111BBDCBBCDS·，⊥＝×1×2＝，∴＝1∵DBC1△111221111AHVVS.×1×1＝∴＝＝＝DDAABCDBCBC·－△－333111BCAC＋＝44＝，∵2＝2＋4＝6，211222ABCBCACAB是直角三角形，∴＝＋，∴△1113111hABChhSD，则×3×＝，得＝∴＝×2×6＝3，设点到平面的距离为，ABC1△332313ABCD. 即点到平面的距离为13ABCEABEC，中，∥)已知等腰梯形(图1)．2(2019·山东师范大学附属中学高三上学期二模1ABCDPADADEDABCECABBCEC图(构成四棱锥∠4＝＝＝，＝120°，是的中点，将△沿折起，－ 2 ．2)．PBAD⊥(1)求证：；PABPADABCDC时，求三棱锥(2)当平面的体积．⊥平面－BDADKPKBK解(1)证明：取的中点，，连接，，ADPAPDK∵为＝的中点，，ADPK⊥∴，DABABAD又，∠＝＝60°，ADB为等边三角形，∴△KBKPKABBDBKAD＝则，又＝，，则∩⊥PBPBKADPBKPBAD. ∴平面⊥平面，则，又⊥?ADPADABCDPADABCD(2)由平面⊥平面，，平面＝∩平面ABCDADPKPKPKPAD，得，，⊥⊥平面?平面SABCABBC＝34由已知，＝＝4，∠＝120°，得ABC△1VPKV8.＝×4＝＝33又＝2，×2ABCPPABC－－3。

第四讲转化与化归思想

第四讲转化与化归思想1．转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．2．转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据，如函数与不等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互化等，消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化思想，我们也经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化，在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化，注重知识的综合性． 3．转化与化归思想的原则(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．(2)简单化原则：将复杂问题转化为简单问题，如三维空间问题转化为二维平面问题，通过简单问题的解决思路和方法，获得对复杂问题的解答启示和思路以达到解决复杂问题的目的．(3)具体化原则：化归方向应由抽象到具体．(4)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律． (5)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面；或问题的正面较复杂时，其反面一般是简单的；设法从问题的反面去探求，使问题获得解决．1． (2012·北京)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________.答案 1解析设出等差数列的公差，列方程求解．设{a n }的公差为d ，由S 2＝a 3知，a 1＋a 2＝a 3，即2a 1＋d ＝a 1＋2d ，又a 1＝12，所以d ＝12，故a 2＝a 1＋d ＝1.2． (2013·重庆)4cos 50°－tan 40°等于( )A. 2B.2＋32C. 3 D ．22－1答案 C解析 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin (50°＋30°)－sin 40°cos 40°＝3sin 50°＋cos 50°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°cos 40°＝ 3.3． (2012·重庆)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b <cB ．a ＝b >cC ．a <b <cD ．a >b >c答案 B解析 ∵a ＝log 23＋log 23＝log 233， b ＝log 29－log 23＝log 233， ∴a ＝b .又∵函数y ＝log a x (a >1)为增函数，∴a ＝log 233>log 22＝1，c ＝log 32<log 33＝1，∴a ＝b >c .4． (2011·天津)对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2)∪(1,2]D ．[－2，－1]答案 B解析依题意可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤2，x －1，x <－1或x >2，作出其示意图如图所示．由数形结合知，实数c 需有1<c ≤2或－2<c ≤－1，故选B.5． (2013·山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1C.94D ．3答案 B解析由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx－3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1.题型一特殊与一般的转化例1 (1)e 416，e 525，e 636(其中e 为自然常数)的大小关系是( )A.e 416＜e 525＜e 636 B.e 636＜e 525＜e 416 C.e 525＜e 416＜e 636D.e 636＜e 416＜e 525(2)在定圆C ：x 2＋y 2＝4内过点P (－1,1)作两条互相垂直的直线与C 分别交于A ，B 和M ，N ，则|AB ||MN |＋|MN ||AB |的范围是________．审题破题 (1)观察几个数的共同特征，可以构造函数，利用函数的单调性比较数的大小；(2)由于题目条件中过点P (－1,1)可作无数对互相垂直的直线，因此可取特殊位置的两条直线来解决问题．答案 (1)A (2)⎣⎡⎦⎤2，322 解析 (1)由于e 416＝e 442，e 525＝e 552，e 636＝e 662，故可构造函数f (x )＝e x x 2，于是f (4)＝e 416，f (5)＝e 525，f (6)＝e 636.而f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫e x x 2′＝e x ·x 2－e x ·2x x 4＝e x (x 2－2x )x 4，令f ′(x )＞0得x ＜0或x ＞2，即函数f (x )在(2，＋∞)上单调递增，因此有f (4)＜f (5)＜f (6)，即e 416＜e 525＜e 636.(2)设|AB ||MN |＝t ，考虑特殊情况：当AB 垂直OP 时，MN 过点O ，|AB |最小，|MN |最大，所以t 最小＝22，t 最大＝ 2.所以t ∈⎣⎡⎦⎤22，2.又因为t ＋1t ≥2 t ·1t ＝2，所以t ＋1t ∈⎣⎡⎦⎤2，322.反思归纳当问题难以入手时，应先对特殊情况或简单情形进行观察、分析，发现问题中特殊的数量或关系结构或部分元素，然后推广到一般情形，以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡，这就是特殊化的化归策略．数学题目有的具有一般性，有的具有特殊性，解题时，有时需要把一般问题化归为特殊问题，有时需要把特殊问题化归为一般问题．变式训练1 已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1、a 3、a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10的值是________．答案1316解析由题意知，只要满足a 1、a 3、a 9成等比数列的条件，{a n }取何种等差数列与所求代数式的值是没有关系的．因此，可把抽象数列化归为具体数列．比如，可选取数列a n ＝n (n ∈N *)，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝1＋3＋92＋4＋10＝1316.题型二正难则反转化例2 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是__________．审题破题函数总不为单调函数不易求解，可考虑其反面情况：g (x )在区间(t,3)上为单调函数．答案－373<m <－5解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，∴m ＋4≥2t －3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.∴函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5.反思归纳正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想．一般有两种情形：正面解决比较困难，正面出现多种情形，可考虑从反面解决，体现了对立统一，相互转化的思想．变式训练2 (2012·北京)已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2，若∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，则m 的取值范围是________．答案 (－4,0)解析将问题转化为g (x )<0的解集的补集是f (x )<0的解集的子集求解． ∵g (x )＝2x －2<0，∴x <1. 又∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0， ∴[1，＋∞)是f (x )<0的解集的子集．又由f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)<0知m 不可能大于等于0，因此m <0. 当m <0时，f (x )<0，即(x －2m )(x ＋m ＋3)>0，若2m ＝－m －3，即m ＝－1，此时f (x )<0的解集为{x |x ≠－2}，满足题意；若2m >－m －3，即－1<m <0，此时f (x )<0的解集为{x |x >2m 或x <－m －3}，依题意2m <1，即－1<m <0；若2m <－m －3，即m <－1，此时f (x )<0的解集为{x |x <2m 或x >－m －3}，依题意－m －3<1，∴m >－4，∴－4<m <－1.综上可知，满足条件的m 的取值范围是－4<m <0. 题型三函数、方程、不等式之间的转化例3 设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a >1.(1)讨论f (x )的单调性；(2)若当x ≥0时，f (x )>0恒成立，求a 的取值范围．审题破题 (1)求f ′(x )＝0的根，比较两根的大小、确定区间，讨论f (x )的单调性；(2)将f (x )>0恒成立转化为f (x )的最小值大于0. 解 (1)f ′(x )＝x 2－2(1＋a )x ＋4a ＝(x －2)(x －2a )．由已知a >1，∴2a >2，∴令f ′(x )>0，解得x >2a 或x <2，∴当x ∈(－∞，2)和x ∈(2a ，＋∞)时，f (x )单调递增，当x ∈(2,2a )时，f (x )单调递减．综上，当a >1时，f (x )在区间(－∞，2)和(2a ，＋∞)上是增函数，在区间(2,2a )上是减函数．(2)由(1)知，当x ≥0时，f (x )在x ＝2a 或x ＝0处取得最小值．f (2a )＝13(2a )3－(1＋a )(2a )2＋4a ·2a ＋24a＝－43a 3＋4a 2＋24a ＝－43a (a －6)(a ＋3)，f (0)＝24a .由题设知⎩⎪⎨⎪⎧a >1，f (2a )>0，f (0)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，－43a (a ＋3)(a －6)>0，24a >0，解得1<a <6.故a 的取值范围是(1,6)．反思归纳函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．变式训练3 已知函数f (x )＝eln x ，g (x )＝1ef (x )－(x ＋1)．(e ＝2.718……)(1)求函数g (x )的极大值；(2)求证：1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)(n ∈N *)．(1)解 ∵g (x )＝1ef (x )－(x ＋1)＝ln x －(x ＋1)，∴g ′(x )＝1x －1(x >0)．令g ′(x )>0，解得0<x <1；令g ′(x )<0，解得x >1.∴函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )极大值＝g (1)＝－2.(2)证明由(1)知x ＝1是函数g (x )的极大值点，也是最大值点，∴g (x )≤g (1)＝－2，即ln x －(x ＋1)≤－2⇒ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时等号成立)，令t ＝x －1，得t ≥ln(t ＋1)，取t ＝1n(n ∈N *)，则1n >ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln ⎝⎛⎭⎫n ＋1n ，∴1>ln 2，12>ln 32，13>ln 43，…，1n >ln ⎝⎛⎭⎫n ＋1n ，叠加得1＋12＋13＋…＋1n >ln(2·32·43·…·n ＋1n)＝ln(n ＋1).典例 (12分)已知函数f (x )＝13x 3＋⎝⎛⎭⎫a 2－43x 2＋⎝⎛⎭⎫43－23a x (a 是小于1的正实数，x ∈R )．若对于任意的三个实数x 1，x 2，x 3∈[1,2]，都有f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3)恒成立，求实数a 的取值范围．规范解答解因为f ′(x )＝x 2＋⎝⎛⎭⎫a －83x ＋⎝⎛⎭⎫43－23a ＝⎝⎛⎭⎫x －23(x ＋a －2)，所以令f ′(x )＝0，解得x 1＝23，x 2＝2－a .[2分] 由0<a <1，知1<2－a <2.[3分]所以令f ′(x )>0，得x <23，或x >2－a ；令f ′(x )<0，得23<x <2－a ，所以函数f (x )在(1,2－a )上单调递减，在(2－a,2)上单调递增． [5分]所以函数f (x )在[1,2]上的最小值为f (2－a )＝a6(2－a )2，最大值为max{f (1)，f (2)}＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫13－a 6，23a .因为当0<a ≤25时，13－a 6≥23a ；当25<a <1时，23a >13－a 6，由对任意x 1，x 2，x 3∈[1,2]，都有f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3)恒成立，得2[f (x )]min >[f (x )]max (x ∈[1,2])．[7分]所以当0<a ≤25时，必有2×a 6(2－a )2>13－a 6，结合0<a ≤25可解得1－22<a ≤25；[9分]当25<a <1时，必有2×a 6(2－a )2>23a ，结合25<a <1可解得25<a <2－ 2.[11分] 综上，知所求实数a 的取值范围是1－22<a <2－ 2. [12分]评分细则 (1)求出f ′(x )给1分；(2)讨论时将a 的范围分为0<a <25和25≤a <1一样给分；讨论时a 的值有重、漏情况扣1分；(3)“综上……”结论不写扣1分．阅卷老师提醒将已知不等式恒成立准确转化为关于函数f (x )在[1,2]上的最大值和最小值问题是解决本题的一个突破口．此外，要注意函数f (x )在[1,2]上的最大值不能直接由函数的图象得到，而必须讨论f (1)与f (2)的大小关系．1．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－1，－12 B ．[－1,0] C ．[0,1]D.⎣⎡⎦⎤12，1答案 A解析设P (x 0，y 0)，倾斜角为α，0≤tan α≤1，f (x )＝x 2＋2x ＋3，f ′(x )＝2x ＋2,0≤2x 0＋2≤1，－1≤x 0≤－12，故选A.2．设a ＝22(sin 17°＋cos 17°)，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．a <c <bC ．b <a <cD ．c <b <a答案 A 解析 a ＝2×22sin(17°＋45°)＝sin 62°， b ＝cos 26°＝sin 64°，c ＝sin 60°，∴c <a <b . 3．方程sin 2x ＋cos x ＋k ＝0有解，则k 的取值范围是( )A ．－1≤k ≤54B ．－54≤k ≤0C ．0≤k ≤54D ．－54≤k ≤1答案 D解析求k ＝－sin 2x －cos x 的值域．k ＝cos 2x －cos x －1＝(cos x －12)2－54.当cos x ＝12时，k min ＝－54，当cos x ＝－1时，k max ＝1， ∴－54≤k ≤1，故选D.4．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．答案 (－13,13)解析由题设得，若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d 满足0≤d <1.∵d ＝|c |122＋52＝|c |13，∴0≤|c |<13，即c ∈(－13,13)．5．设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．答案 2105解析 ∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2＝3xy ＋1＝32×2xy ＋1≤32×⎝⎛⎭⎫2x ＋y 22＋1，∴(2x ＋y )2≤85，(2x ＋y )max ＝2105.6．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N ＋，若数列{c n }满足c n ＝b a n ，则c 2 013＝________. 答案 36 039解析由已知a n ＝3n ，b n ＝3n ， ∴c 2 013＝b 3×2 013＝33×2 013＝36 039.专题限时规范训练一、选择题1．在△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a ＋c ＝3b ，则tan A 2tan C2的值为( )A.15B.14C.12D.23答案 C解析取边长a ，b ，c 分别为4,3,5的直角三角形，易求tan A 2＝12，tan C2＝1，所以tanA 2·tan C 2＝12. 2．等差数列{a n }中，已知a 1＝－12，S 13＝0，使得a n >0的最小正整数n 为( ) A ．7B ．8C ．9D ．10答案 B解析 ∵{a n }为等差数列，S 13＝0， ∴a 1＋a 13＝2a 7＝0，又a 1＝－12<0，∴显然{a n }为递增数列．a n >0的最小正整数n 为8.3． AB 是过抛物线x 2＝4y 的焦点的动弦，直线l 1，l 2是抛物线两条分别切于A ，B 的切线，则l 1，l 2的交点的纵坐标为( )A ．－1B ．－4C ．－14D ．－116答案 A解析找特殊情况，当AB ⊥y 轴时，AB 的方程为y ＝1，则A (－2，1)，B (2,1)，过点A 的切线方程为y －1＝－(x ＋2)，即x ＋y ＋1＝0.同理，过点B 的切线方程为x －y －1＝0，则l 1，l 2的交点为(0，－1)．4． (2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285C ．5D ．6 答案 C解析 ∵x >0，y >0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝1. ∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝15⎝⎛⎫3xy＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝⎛⎭⎫3x y ＋12y x ≥135＋15×2 3x y ·12yx ＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)， ∴3x ＋4y 的最小值为5.5．棱长为a 的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为( )A.a 33B.a 34C.a 36D.a 312答案 C解析所得图形为一个正八面体，可将它分割为两个四棱锥，棱锥的底面为正方形且边长为22a ，高为正方体边长的一半，∴V ＝2×13⎝⎛⎭⎫22a 2·a 2＝a 36.6．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0，O 为坐标原点，且|PF 1→|＝3|PF 2→|，则该双曲线的离心率为( )A.3＋1B.3＋12C.6＋ 2D.6＋22答案 A解析如图，取F2P 的中点M ，则OP →＋OF 2→＝2OM →.又由已知得OM →·F 2P →＝0， ∴OM →⊥F 2P →.又OM 为△F 2F 1P 的中位线，∴F 1P →⊥PF 2→.在△PF 1F 2中，2a ＝|PF 1→|－|PF 2→|＝(3－1)|PF 2→|，2c ＝2|PF 2→|.∴e ＝23－1＝3＋1.7． P 为双曲线x 29－y 216＝1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 答案 D解析设双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，则其分别为已知两圆的圆心，由已知|PF 1|－|PF 2|＝2×3＝6.要使|PM |－|PN |最大，需PM ，PN 分别过F 1、F 2点即可． ∴(|PM |－|PN |)max ＝(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝9.8．已知函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x 2 0132 013，g (x )＝1－x ＋x 22－x 33＋x 44－…－x 2 0132 013，设F (x )＝f (x ＋4)·g (x －4)，且函数F (x )的零点在区间[a －1，a ]或[b －1，b ](a <b ，a ，b ∈Z )内，则a ＋b 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2答案 D解析由F (x )＝f (x ＋4)·g (x －4)可知，函数F (x )的零点即为f (x ＋4)的零点或g (x －4)的零点，f ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…＋x 2 012. 当x ≠－1时，f ′(x )＝1＋x 2 0131＋x >0，x ＝－1时，f ′(x )＝2 013>0. ∴f (x )在R 上单调递增．又f (0)＝1，f (－1)＝(1－1)＋⎝⎛⎭⎫－12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫－12 012－12 013<0， ∴f (x )在[－1,0]内有唯一零点，故f (x ＋4)的唯一零点在[－5，－4]内．同理g (x －4)的唯一零点在[5,6]内，因此，b ＝6，a ＝－4，∴a ＋b ＝2.二、填空题9．设f (x )是定义在R 上的单调增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围为__________．答案 x ≤－1或x ≥0解析 ∵f (x )在R 上是增函数，∴由f (1－ax －x 2)≤f (2－a )可得1－ax －x 2≤2－a ，a ∈[－1,1]．∴a (x －1)＋x 2＋1≥0，对a ∈[－1,1]恒成立．令g (a )＝(x －1)a ＋x 2＋1.则当且仅当g (－1)＝x 2－x ＋2≥0，g (1)＝x 2＋x ≥0，解之，得x ≥0或x ≤－1.故实数x 的取值范围为x ≤－1或x ≥0.10．在Rt △ABC 中，C ＝π2，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，r ，S 分别表示它的内切圆半径和面积，则cr S的取值范围是__________．答案 [22－2,1)解析由题意，得S ＝12ab ＝12c 2sin A sin B ， r ＝12(a ＋b －c )＝12c (sin A ＋sin B －1)，从而cr S ＝sin A ＋sin B －1sin A sin B，设sin A ＋sin B ＝t ，则sin A sin B ＝12(t 2－1)，cr S ＝2(t －1)t 2－1＝2t ＋1，因为A ＋B ＝π2，所以t ＝sin A ＋sin B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4∈(1，2]．所以cr S的取值范围是[22－2,1)． 11．如果函数f (x )＝x 2－ax ＋2在区间[0,1]上至少有一个零点，则实数a 的取值范围是_______．答案 a ≥3解析由题意，知关于x 的方程x 2－ax ＋2＝0在[0,1]上有实数解．又易知x ＝0不是方程x 2－ax ＋2＝0的解，所以根据0<x ≤1可将方程x 2－ax ＋2＝0变形为a ＝x 2＋2x ＝x ＋2x .从而问题转化为求函数g (x )＝x ＋2x(0<x ≤1)的值域．易知函数g (x )在(0,1]上单调递减．所以g (x )∈[3，＋∞)．故所求实数a 的取值范围是a ≥3.故填a ≥3.12．若关于x 的不等式m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}，则实数m 的值为________．答案 2解析 ∵关于x 的不等式m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}，方程m (x －1)＝x 2－x 即x 2－(m ＋1)x ＋m ＝0的两根为1,2，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝3m ＝1×2，解得m ＝2. 三、解答题13．(2013·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B 2cos B － sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35. (1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．解 (1)由2cos 2A －B 2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，得 [cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35，即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35. 则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35. (2)由cos A ＝－35，0<A <π，得sin A ＝45，由正弦定理，有a sin A ＝b sin B ，所以，sin B ＝b sin A a ＝22. 由题知a >b ，则A >B ，故B ＝π4，根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22. 14．(2013·江西)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <564. (1)解由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0，由于{a n }是正项数列，所以S n ＋1>0.所以S n ＝n 2＋n .n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，n ＝1时，a 1＝S 1＝2适合上式．∴a n ＝2n .(2)证明由a n ＝2n 得b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n＝n ＋14n 2(n ＋2)2＝116⎣⎡⎦⎤1n 2－1(n ＋2)2， T n ＝116⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫1－132＋⎝⎛⎭⎫122－142＋⎝⎛⎭⎫132－152＋…⎦⎤＋⎝⎛⎭⎫1(n －1)2－1(n ＋1)2＋⎝⎛⎭⎫1n 2－1(n ＋2)2 ＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋122－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2<116⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＝564.。

高考数学专题复习转化与化归思想教案

高考数学专题复习——转化与化归思想教案一、教学目标1. 理解转化与化归思想的本质，掌握其在数学解题中的应用方法。

2. 通过典型例题，体会转化与化归思想在解决数学问题中的重要性。

3. 提高学生分析问题、解决问题的能力，为高考数学复习打下坚实基础。

二、教学内容1. 转化与化归思想的定义及意义2. 常见转化与化归方法a. 代数化归b. 几何化归c. 物理化归d. 数形结合化归3. 转化与化归思想在高考数学中的应用实例三、教学重点与难点1. 重点：理解转化与化归思想的本质，掌握各类转化与化归方法。

2. 难点：如何在实际问题中灵活运用转化与化归思想。

四、教学过程1. 导入：通过一个实际问题，引导学生思考如何将问题转化为更易解决的形式，从而引出转化与化归思想。

2. 讲解：详细阐述转化与化归思想的定义、意义及各类方法。

3. 实例分析：分析高考数学中的典型题目，展示转化与化归思想在解决问题中的重要作用。

4. 练习：让学生尝试解决一些转化与化归问题，巩固所学方法。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调转化与化归思想在数学学习中的重要性。

五、课后作业1. 复习本节课所讲内容，总结转化与化归思想的方法。

2. 完成课后练习题，巩固所学知识。

3. 搜集一些高考数学中的转化与化归问题，进行自主研究。

六、教学策略与方法1. 案例分析：通过分析具体的数学问题，让学生感受转化与化归思想在解题中的重要性。

2. 互动讨论：鼓励学生积极参与课堂讨论，分享自己在解决问题时运用转化与化归思想的心得体会。

3. 练习巩固：布置针对性的课后练习，让学生在实践中运用所学知识，提高解题能力。

4. 反馈评价：及时给予学生反馈，评价他们在解决问题时运用转化与化归思想的准确性及效果。

七、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂讨论、提问等方面的积极性，评价他们对转化与化归思想的理解程度。

2. 课后练习：检查学生完成的课后练习题，评估他们在实际问题中运用转化与化归思想的准确性。

高三数学高考专题讲座：化归与转化的思想在解题中的应用试题

卜人入州八九几市潮王学校化归与转化的思想在解题中的应用一、知识整合1．解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进展变换，将原问题转化为一个新问题〔相对来说，对自己较熟悉的问题〕，通过新问题的求解，到达解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法〞。

3．转化有等价转化和非等价转化。

等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进展不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或者对所得结论进展必要的验证。

4．化归与转化应遵循的根本原那么：〔1〕熟悉化原那么：将生疏的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经历和问题来解决。

〔2〕简单化原那么：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，到达解决复杂问题的目的，或者获得某种解题的启示和根据。

〔4〕直观化原那么：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。

〔5〕正难那么反原那么：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。

二、例题分析例1．某厂2021年消费利润逐月增加，且每月增加的利润一样，但由于厂方正在改造建立，元月份投入资金建立恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率一样，到12月投入建立资金又恰好与12月的消费利润一样，问全年总利润m 与全年总投入N 的大小关系是〔〕A.m>NB.m<NC.m=N[分析]每月的利润组成一个等差数列{a n }，且公差d ＞0，每月的HY 额组成一个等比数列{b n }，且公比q ＞1。

11a b =，且1212a b =，比较12S 与12T 的大小。

假设直接求和，很难比较出其大小，但注意到等差数列的通项公式a n =a 1+〔n-1〕d 是关于n 的一次函数，其图象是一条直线上的一些点列。

等比数列的通项公式b n =a 1q n-1是关于n 的指数函数，其图象是指数函数上的一些点列。

高考数学二轮专题突破专题七第4讲转化与化归思想文

第4讲转化与化归思想转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化等．各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中．1．转化与化归的原则(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的知识、经验来解决．(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．(3)直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决．(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解．2．常见的转化与化归的方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．常见的转化方法有：(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的．(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题．(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径．(8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定．(9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决．(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看做集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集∁U A获得原问题的解决，体现了正难则反的原则．3．转化与化归的指导思想(1)把什么问题进行转化，即化归对象．(2)化归到何处去，即化归目标．(3)如何进行化归，即化归方法．化归与转化思想是一切数学思想方法的核心．类型一特殊与一般的转化例1 (1)过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则1p ＋1q＝________.(2)已知函数f (x )＝a x a x ＋a(a >0且a ≠1)，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1100＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2100＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫99100的值为________．答案 (1)4a (2)992解析 (1)由x 2＝1ay (a >0)知抛物线开口向上，故过焦点F 作一在特殊位置的直线即平行于x 轴的直线交抛物线于P 、Q ，则PF ＝FQ ＝12a ，即1p ＋1q ＝4a .(2)由于直接求解较困难，可探求一般规律，∵f (x )＋f (1－x )＝a xa x ＋a ＋a 1－xa 1－x ＋a＝a x a x ＋a ＋aa ＋a x a＝a xa x ＋a ＋aa ＋a x ＝a ＋a xa x ＋a＝1， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫1100＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2100＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫99100＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫99100＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2100＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫98100＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫49100＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫51100＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫50100＝1×49＋12＝992. 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批的处理问题的效果．(1)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C＝________.(2)已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x＋1)＝(1＋x )f (x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________.答案 (1)45(2)0解析 (1)根据题意，所求数值是一个定值，故可利用满足条件的直角三角形进行计算．令a ＝3，b ＝4，c ＝5，则△ABC 为直角三角形，且cos A ＝45，cos C ＝0，代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝45＋01＋45×0＝45.(2)因为xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，所以f x ＋1f x ＝1＋xx，使f (x )特殊化，可设f (x )＝xg (x )，其中g (x )是周期为1的奇函数，再将g (x )特殊化，可设g (x )＝sin 2πx ，则f (x )＝x sin 2πx ，经验证f (x )＝x sin 2πx 满足题意，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝0.类型二相等与不等的转化例2若关于x的方程9x＋(4＋a)·3x＋4＝0有解，则实数a的取值范围是________．可采用换元法，令t＝3x，将问题转化为关于t 的方程有正解进行解决．答案 (－∞，－8]解析设t ＝3x，则原命题等价于关于t 的方程t 2＋(4＋a )t ＋4＝0有正解，分离变量a 得 a ＋4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t ，∵t >0，∴－⎝⎛⎭⎪⎫t ＋4t ≤－4，∴a ≤－8，即实数a 的取值范围是(－∞，－8]．等与不等是数学解题中矛盾的两个方面，但是它们在一定的条件下可以相互转化，例如本例，表面看来似乎只具有相等的数量关系，且根据这些相等关系很难解决，但是通过挖掘其中的不等量关系，转化为不等式(组)来求解，则显得非常简捷有效．定义运算：(a b )x ＝ax 2＋bx ＋2，若关于x 的不等式(a b )x <0的解集为{x |1<x <2}，则关于x 的不等式(b a )x <0的解集为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪(1，＋∞)解析 1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两实根，1＋2＝－b a ，1×2＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3，∴(－3D ○＋1)D ○×x ＝－3x 2＋x ＋2<0，得3x 2－x －2>0，解得x <－23或x >1.类型三常量与变量的转化例3对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px >4x ＋p －3成立的x 的取值范围是______________．本题若按常规法视x 为主元来解，需要分类讨论，这样会很繁琐，若以p 为主元，即可将原问题化归为在区间[0,4]上，一次函数f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3>0成立的x 的取值范围．这样，借助一次函数的单调性就很容易使问题得以解决．答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞) 解析设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3，则当x ＝1时，f (p )＝0.所以x ≠1.f (p )在0≤p ≤4上恒正，等价于⎩⎪⎨⎪⎧f0>0，f 4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －3x －1>0，x 2－1>0，解得x >3或x <－1.在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将其看做是“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的．设f(x)是定义在R上的单调增函数，若f(1－ax－x2)≤f(2－a)对任意a∈[－1,1]恒成立，求x的取值范围．解∵f(x)在R上是增函数，∴由f(1－ax－x2)≤f(2－a)可得1－ax－x2≤2－a，a∈[－1,1]．∴a(x－1)＋x2＋1≥0，对a∈[－1,1]恒成立．令g(a)＝(x－1)a＋x2＋1.则当且仅当g(－1)＝x2－x＋2≥0，g(1)＝x2＋x≥0，解之，得x≥0或x≤－1.故实数x的取值范围为x≤－1或x≥0.类型四正与反的相互转化例4 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是__________．答案－373<m <－5解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，∴m ＋4≥2t－3t恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x－3x 在x ∈(t,3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.∴函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5.否定性命题，常要利用正、反的相互转化，先从正面求解，再取正面答案的补集即可．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情形的问题中．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c 使得f (c )>0，求实数p 的取值范围．解如果在[－1,1]内没有值满足f (c )>0，则⎩⎪⎨⎪⎧f －1≤0，f 1≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32⇒p ≤－3或p ≥32，取补集为－3<p <32，即为满足条件的p 的取值范围．在将问题进行化归与转化时，一般应遵循以下几种原则 (1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为我们熟悉的问题． (2)简单化原则：将复杂的问题通过变换转化为简单的问题．(3)直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题(如数形结合思想，立体几何问题向平面几何问题转化)．(4)正难则反原则：若问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题.1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝S n ·S n －1 (n ≥2)，a 1＝29，则a 10＝________.答案463解析由a n ＝S n ·S n －1 (n ≥2)，得1S n－1S n －1＝－1，∴1S n ＝92＋(n －1)×(－1)， ∴S n ＝211－2n ，∴a 10＝S 10－S 9＝463. 2．若方程m ＋1－x ＝x 有解，则m 取得最大值为________．答案 1解析由原式得m ＝x －1－x ，设1－x ＝t (t ≥0)，则m ＝1－t 2－t ＝54－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122，∴m ＝54－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122在[0，＋∞)上是减函数，∴t ＝0时，m 的最大值为1.3．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R 、Q 两点，则PR →·PQ→的值为________．答案 a 2解析当直线RQ 与x 轴重合时，|PR →|＝|PQ →|＝a ，故PR →·PQ →＝a 2. 4．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1、a 3、a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10的值是________．答案1316解析由题意知，只要满足a 1、a 3、a 9成等比数列的条件，{a n }取何种等差数列与所求代数式的值是没有关系的．因此，可把抽象数列化归为具体数列．比如，可选取数列a n ＝n (n ∈N *)，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝1＋3＋92＋4＋10＝1316.5．已知函数f (x )＝x 3＋2x 2－ax ＋1.若函数g (x )＝f ′(x )在区间(－1,1)上存在零点，则实数a 的取值范围是_______________________________________________________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－43，7解析 g (x )＝f ′(x )＝3x 2＋4x －a ，g (x )＝f ′(x )在区间(－1,1)上存在零点，等价于3x 2＋4x ＝a 在区间(－1，1)上有解，等价于a 的取值范围是函数y ＝3x 2＋4x 在区间(－1,1)上的值域，不难求出这个函数的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－43，7. 故所求的a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－43，7.6．设函数f (x )＝x 3＋sin x ，若0≤θ≤π2时，f (m cos θ)＋f (1－m )>0恒成立，则实数m的取值范围是____________．答案 (－∞，1)解析易知f (x )为奇函数、增函数，f (m cos θ)＋f (1－m )>0，即f (m cos θ)>f (m －1)，∴m cos θ>m －1，而0≤θ≤π2时，cos θ∈[0,1]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >m －1，0>m －1得m <1.7．抛物线y ＝x 2中的所有弦都不能被直线y ＝m (x －3)垂直平分，则常数m 的取值范围是____________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ 解析若抛物线上两点(x 1，x 21)，(x 2，x 22)关于直线y ＝m (x －3)对称，则满足⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋x 222＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－3，x 21－x 22x 1－x 2＝－1m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋x 22＝m x 1＋x 2－6，x 1＋x 2＝－1m ，消去x 2，得2x 21＋2m x 1＋1m2＋6m ＋1＝0.∵x 1∈R ，∴Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2－8⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2＋6m ＋1>0，∴m <－12. 即m <－12时，抛物线上存在两点关于直线y ＝m (x －3)对称，所以如果抛物线y ＝x 2中的所有弦都不能被直线y ＝m (x －3)垂直平分，那么m ≥－12.8．已知奇函数f (x )的定义域为实数集R ，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，当0≤θ≤π2时，是否存在这样的实数m ，使f (cos 2θ－3)＋f (4m －2m cos θ)>f (0)对所有的θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m ；若不存在，请说明理由．解因为f (x )在R 上为奇函数，又在[0，＋∞)上是增函数，故f (x )在R 上为增函数，且f (0)＝0.由题设条件可得，f (cos 2θ－3)＋f (4m －2m cos θ)>0. 又由f (x )为奇函数，可得f (cos 2θ－3)>f (2m cos θ－4m )．∵f (x )在R 上为增函数， ∴cos 2θ－3>2m cos θ－4m ，即cos 2θ－m cos θ＋2m －2>0.令cos θ＝t ，∵0≤θ≤π2，∴0≤t ≤1.于是问题转化为对一切0≤t ≤1，不等式t 2－mt ＋2m －2>0恒成立．∴t 2－2>m (t －2)，即m >t 2－2t －2恒成立．又∵t 2－2t －2＝(t －2)＋2t －2＋4≤4－22，∴m >4－22，∴存在实数m 满足题设的条件，且m >4－2 2.。

2020版新高考复习理科数学教学案：转化与化归思想含答案

解析：方法一：取特殊值a ＝3.b ＝4.c ＝5.则cos A ＝45.cos C ＝0.cosA ＋cosC 1＋cosAcosC ＝45. 方法二：取特殊角A ＝B ＝C ＝π3.cos A ＝cos C ＝12.cosA ＋cosC1＋cosAcosC ＝45. 答案：45(3)如图所示.在平行四边形ABCD 中.AP ⊥BD .垂足为P .且AP ＝3.则AP →·AC→＝________.解析：把平行四边形ABCD 看成正方形.则点P 为对角线的交点.AC ＝6.则AP →·AC →＝18.答案：18 方法点睛化一般为特殊的作用(1)常用的特例有特殊值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．(2)对于选择题.当题设在普通条件下都成立时.对特殊值进行探求.可快捷得到答案．(3)对于填空题.当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时.可把题中变化的量用特殊值代替.即可得到答案．调研二函数、方程、不等式之间的转化【例2】(1)[20xx·安徽合肥质检三]若存在两个正实数x .y .使得等式x (1＋ln x )＝x ln y －ay 成立.则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，1e2B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e从而.故选B.答案：B(3)已知函数f (x )＝3e |x |.若存在实数t ∈[－1.＋∞).使得对任意的x ∈[1.m ].m ∈Z 且m >1.都有f (x ＋t )≤3e x .则m 的最大值为________．解析：因为当t ∈[－1.＋∞)且x ∈[1.m ]时.x ＋t ≥0. 所以f (x ＋t )≤3e x ⇔e x ＋t ≤e x ⇔x ＋t ≤1＋ln x .所以原命题等价转化为：存在实数t ∈[－1.＋∞).使得不等式t ≤1＋ln x －x 对任意x ∈[1.m ]恒成立．令h (x )＝1＋ln x －x (x ≥1)．因为h ′(x )＝1x－1≤0.所以函数h (x )在[1.＋∞)上为减函数. 又因为x ∈[1.m ].所以h (x )min ＝h (m )＝1＋ln m －m . 所以要使得对任意x ∈[1.m ].t 值恒存在. 只需1＋ln m －m ≥－1.因为h (3)＝ln3－2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·3e >ln 1e ＝－1.h (4)＝ln4－3＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·4e2<ln 1e ＝－1.且函数h (x )在[1.＋∞)上为减函数.所以满足条件的最大整数m 的值为3.答案：3 方法点睛函数、方程与不等式相互转化的应用(1)函数与方程、不等式联系密切.解决方程、不等式的问题需要函数帮助．(2)解决函数的问题需要方程、不等式的帮助.因此借助函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简.一般可将不等关系转化为最值(值域)问题.从而求出参变量的范围．则m ＋4≤23－9.即m ≤－373.所以函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5(3)若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c .使得f (c )>0.则实数p 的取值范围为________．解析：如果在区间[－1,1]内没有值使得f (c )>0.则⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0，f (1)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32⇒p ≤－3或p ≥32.取补集为－3<p <32.即为满足条件的p 的取值范围．故实数p 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－3，32方法点睛正与反的转化要点正与反的转化.体现“正难则反”的原则.先从反面求解.再取反面答案的补集即可．一般地.题目若出现多种成立的情形.则不成立的情形相对很少.从反面考虑较简单．因此.间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中．调研四主与次的相互转化【例4】 (1)若不等式x 2－ax ＋1≥0对一切x ∈[－2,2]恒成立.则a 的取值范围为( )故x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(8.＋∞)．答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，12∪(8.＋∞)(3)已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1.g (x )＝f ′(x )－ax －5.其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1的一切a 的值.都有g (x )<0.则实数x 的取值范围为________．解析：由题意.知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5.令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5(－1≤a ≤1)．(主次转化) 对－1≤a ≤1.恒有g (x )<0.即φ(a )<0.所以⎩⎪⎨⎪⎧φ(1)<0，φ(－1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x2－x －2<0，3x2＋x －8<0，解得－23<x <1.故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时.对满足－1≤a ≤1的一切a 的值.都有g (x )<0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1方法点睛主与次的转化要点在处理多变元的数学问题时.我们可以选取其中的变量(或参数).将其看作是“主元”.而把其他变元看作是常量.从而达到减少变元简化运算的目的．通常给出哪个“元”的取值范围就将哪个“元”视为“主元”．。

高考数学总复习考点知识专项强化练习24---转化与化归的思想

高考数学总复习考点知识专项强化练习转化与化归的思想1．已知函数)()(x g y x f y ==与函数图象如下图则函数)()(x g x f y ⋅=图象可能是2．416e ，525e ，636e (其中e 为自然常数)的大小关系是( )A. 416e <525e <636eB. 636e <525e <416eC. 525e < 416e <636e D.636e <416e <525e 3.（2020 天津校级模拟）设M=a+（2＜a ＜3），N=（x 2+）（x∈R），那么M 、N 的大小关系是（）A ．M ＞NB ．M=NC ．M ＜ND ．不能确定4．某房间有4个人，那么至少有2人生日是同一个月的概率是A ．4124A 12B ．4124C 112-C ．4124C 12D ．441212A 1- 5．已知k <－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是( ) A ．1B ．－1C ．2k ＋1D ．－2k ＋16．设a ，b ∈R ，a 2＋2b 2＝6，则a ＋b 的最小值是( )A ．－BC ．－3D ．－727．一条路上共有9个路灯，为了节约用电，拟关闭其中3个，要求两端的路灯不能关闭，任意两个相邻的路灯不能同时关闭，那么关闭路灯的方法总数为．8．对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝,,a a bb a b ≥⎧⎨<⎩，函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R)的最小值是________．9. （2020 渭南一模）若曲线C 1：y=ax 3﹣6x 2+12x 与曲线C 2：y=e x 在x=1处的两条切线互相平行，则a 的值为．10．βα.,,是平面n m 外两条直线，给出四个论断： ①n m ⊥ ②α⊥m ③β⊥n ④βα⊥以其中三个论断为条件，余下论断为结论，写出所有正确的命题．11．已知关于x 的方程：012223=-+--a ax ax x 有且仅有一个实根，求实数a 的取值范围12.（2020 广州模拟）设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1=2，对任意n∈N *，都有2S n =（n+1）a n ．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{}的前n 项和为T n ，求证：≤T n ＜1．13．直线x+y=1与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>交于M 、N 两点，0OM ON ⋅=，O为坐标原点，（1）求证：22112a b -=；（2）若102a <≤，求离心率e 的取值范围.14.已知函数247()2x f x x-=-，x ∈[0，1].（1）求()f x 的单调区间和值域；（2）设a ≥1，函数32()32g x x a x a =--，x ∈[0，1]，若对于任意x 1∈[0，1]，总存在x 0∈[0，1]，使得01()()g x f x =成立，求a 的取值范围.15. 设函数（Ⅰ）当曲线处的切线斜率（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；（Ⅲ）已知函数有三个互不相同的零点0，，且。

2022年高考数学解题技巧：第4讲转化与化归思想

第 1 页共 5 页 2022年高考数学解题技巧：第4讲转化与化归思想思想概述转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或试图寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式．方法一特殊与一般的转化一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案．例1 (1)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C ：x 2a ＋1＋y 2a＝1(a >0)的离心率为12，则椭圆C 的蒙日圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2＝9B ．x 2＋y 2＝7C ．x 2＋y 2＝5D ．x 2＋y 2＝4思路分析求蒙日圆方程→求蒙日圆半径→找圆上任一点即可求半径→取特殊点→求两切线的交点，即为蒙日圆上一点答案 B解析因为椭圆C ：x 2a ＋1＋y 2a＝1(a >0)的离心率为12，所以1a ＋1＝12，解得a ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，所以椭圆的上顶点A (0，3)，右顶点B (2,0)，所以经过A ，B 两点的切线方程分别为y ＝3，x ＝2，所以两条切线的交点坐标为(2，3)，又过A ，B 的切线互相垂直，由题意知交点必在一个与椭圆C 同心的圆上，可得圆的半径r ＝22＋(3)2＝7，所以椭圆C 的蒙日圆方程为x 2＋y 2＝7.批注根据题意每个椭圆的“蒙日圆”都是固定的，所以取特殊点，利用过特殊点的互相垂直的切线的交点也在蒙日圆上即可求半径，体现了特殊到一般的思想．。

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