第四章 态和力学量的表象
量子力学第四章表象
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第四章 表象理论4.1 态的表象变换和态的矩阵表示1.态的表象变换将F 表象中的态函数对力学量算符ˆQ 在F 表象中的本征函数组展开,则展开系数就是在Q 表象中的态函数。
这就是将F 表象中的态函数变换到Q 表象中的态函数的方法。
为了便于求出展开系数,通常要求ˆQ的本征函数组为幺正基组。
以从r 表象变换到Q 表象为例。
r 表象中的态函数为(,)r t ϕ [或()r ϕ]。
设ˆQ的本征值为分立谱Q n ,对应的本征函数为()n r φ 。
当各Q n 都无简并时,(,)r t ϕ 对()n r φ的展开式为:(,)()()n n nr t a t r ϕφ=∑(4.1-1) 若Q n 表示几个对易力学量算符本征值的集合,则上式中的n 应表示几个对应的量子数的集合。
当Q n 存在简并时,展开式为:(,)()()iiin n n r t a t r ϕφ=∑(4.1-2)其中i 为描写简并的角标。
下面只讨论无简并的情况。
在(4.1-1)式中,a n (t)是Q n 与t 的函数,a n (t)相当于a(Q n ,t)的简写。
当Q n 在整个展开系数中变动。
由于Q n 为分立谱,所以函数关系a n (t)-Q n 不是连续的。
a n (t)就是(,)r t ϕ 变换到Q表象中的态函数。
例如,将r表象中的某态函数(,,)r ϕθϕ对2ˆL 与ˆzL 的共同本征函数组(,)lm Y θφ展开: 0(,,)()(,)llm lm l m lr C r Y ϕθφθϕ∞==-=∑∑ (4.1-3)上式相当于(4.1-1)式中的n 表示两个量子数lm 的集合。
上式中的()lm C r 就是在2L 与z L 共同表象中的态函数。
2.本征态的排序本征态的排序可以化为对应的本征值的排序。
若本征值无简并,则参与排序的本征值没有相同者;若本征值有简并,则参与排序的本征值有相同者,其相同本征值的个数应与该本征值的简并度相同。
态和力学量的表象
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动量表象下的薛定谔方程(一维) 动量表象下的薛定谔方程(一维)
在动量表象中, 在动量表象中,动量算符就是动量自身 是势能算符, 是势能算符,即以坐标算符 对应于势能函数) 数(对应于势能函数) 为变量的算符函
√
动量表象(2/4) 动量表象(2/4)
谐振子势
坐标表象中的薛定谔方程
动量表象中的薛定谔方程
对于谐振子势,在动量表象中是二阶微分方程,求解类似于 对于谐振子势,在动量表象中是二阶微分方程,求解类似于 二阶微分方程 在坐标表象中的求解,不能简化求解过程 在坐标表象中的求解,不能简化求解过程
√
动量表象(3/4) 动量表象(3/4)
线性势
坐标表象、 坐标表象、动量表象中的薛定谔方程
对于线性势,在动量表象中的方程是简单的一阶微分方程 对于线性势,在动量表象中的方程是简单的一阶微分方程 与第二章“一维线性势阱”的结果一致) 求解 (与第二章“一维线性势阱”的结果一致)
算符 的表示的变换 表象中: 在 F 表象中:基矢为 表象中: 在 F' 表象中:基矢为
,算符 的矩阵元为 ,算符 的矩阵元为
√
线性谐振子与占有数表象(1/2) 线性谐振子与占有数表象(1/2)
线性谐振子的能级和波函数 湮灭算符 和产生算符
Microsoft Word 文档
为单位改变, 谐振子能量以 为单位改变,将这个 看作一个粒子 即粒子数减一, 使体系由 态变到 态,即粒子数减一,称湮灭算符 即粒子数加一, 使体系由 态变到 态,即粒子数加一,称产生算符
√
动量表象(1/4) 动量表象(1/4)
坐标表象和动量表象的对比
坐标表象的优点 容易写出边界条件,例如: 容易写出边界条件,例如:区分束缚态和散射态 容易表述常用的势,例如:方势、线性势、 容易表述常用的势,例如:方势、线性势、谐振子势 动量表象的优点 某些势场下的薛定谔方程比较简单, 某些势场下的薛定谔方程比较简单,容易求解
态和力学量的表象
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[ C( p, t) p ( x)dp]*[ C( p, t) p( x)dp]dx C( p, t)*C( p, t)dpdp p *( x) p( x)dx C( p, t)*C( p, t)dpdp ( p p)
C( p, t)*C( p, t)dp
C(p,t) 物理意义
1 具有分立本征值的情况 2 含有连续本征值情况
1 具有分立本征值的情况
设 算符 Q 的本征值为: Q1, Q2, ... , Qn, ...,
相应本征函数为:u1(x),
u2(x), ... , un(x),
...。
若Ψ , un 都是归一化的,
则 an(t) 也是归一化的。
将Ψ(x, t ) 按 Q 的
Dirac算符 引入产生、湮灭算符重新讨论简谐振子
(r,t)
Fˆ Fˆ (r,i)
F * (r,t)Fˆ (r,t)d
Fˆn (r) Fnn (r)
坐标表象
到目前为止,体系的状态都用坐标( x , y , z )的函数表示,也就 是说描写状态的波函数是坐标的函数。力学量则用作用于坐标函数 的算符表示。但是这种描述方式在量子力学中并不是唯一的,这正 如几何学中选用坐标系不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球 坐标系、柱坐标系等,但它们对空间的描写是完全是等价的。
a1(t)* a2(t)*
an(t)*
归一化可写为
a1 (t) * a2 (t) *
an (t) * an (t) 1
n
an (t) *
a1 (t)
a2 (t)
an (t)
2 含有连续本征值情况
例如氢原子能量就是这样一种力学量,
即有分立也有连续本征值。
量子力学基础教程答案
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量子力学基础教程答案【篇一:量子力学课后答案】class=txt>????? 第一章绪论第二章波函数和薛定谔方程第三章力学量的算符表示第四章态和力学量的表象第五章微扰理论第六章弹性散射第七章自旋和全同粒子?301.1.由黑体辐射公式导出维恩位移定律:?mt?b,b?2.9?10m?c。
证明:由普朗克黑体辐射公式:8?h?31 ??d??d?, h3c ekt?1c c及??、d???2d?得?? 8?hc1?? ?5,hc?e?kt?1 d?hc令x?,再由??0,得?.所满足的超越方程为 ?d? ktxex 5?x e?1 hc x?4.97,即得用图解法求得?4.97,将数据代入求得?mt?b,b?2.9?10?3m?0c ?mkt1.2.在0k附近,钠的价电子能量约为3ev,求de broglie波长.0hh?10解:? ???7.09?10m?7.09a p2me # 3e?kt,求t?1k时氦原子的de broglie波长。
1.3. 氦原子的动能为 2h0hh?10??12.63?10m?12.63a 解:? ??p2me3mkt ?23?1其中m?4.003?1.66?10?27kg,k?1.38?10j?k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件,求:(1)一维谐振子的能量。
(2)在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
绪论第一章b?10t,玻尔磁子?b?0.923?10?23j?t?1,求动能的量子化间隔?e,并与t?4k及已知外磁场t?100k 的热运动能量相比较。
p21解:(1)方法1:谐振子的能量e????2q2 2?2p2q2可以化为??1 22 ?2e?2e? ????2???2e 的平面运动,轨道为椭圆,两半轴分别为a?2?e,b?,相空间面积为 2 ??2?eepdq??ab???nh,n?0,1,2,? ?? e?nh?,n?0,1,2,? 所以,能量方法2:一维谐振子的运动方程为q????2q?0,其解为q?asin??t??? 速度为 q??a?cos??t???,动量为p??q??a??cos??t???,则相积分为 2222tta??a??t222pdq? a??cos??t???dt?(1?cos??t???)dt??nh,n?0,1,2,? 002222a??nh e???nh?,n?0,1,2,? 2t 2?v?v evb?(2)设磁场垂直于电子运动方向,受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。
第四章 态和力学量的表象1.2
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在Q表象下,由 ( x .t ) 描述的状态被表示为 a ta ,2 t ,a t ,a t 1 n q 我们仍可以用一个列矩阵表示: † * * * * a ta , t , , a ta , t 1 2 n q a1 t a1 t 归一化仍可表为: a2 t a2 t † a* t , a* t , , a* t , a* t 1 2 n q an t an t a t q a t * * q
则任意波函数按Q的本征函数展开为
(x,t) aq (t)uq (x)dq,
展开系数
aq (t) uq (x) (x,t)dx
同样若 ( x , t ) , u q ( x ) 都是归一化的,则 a q t 也是归一化的。 关于这个结论的证明见上一章的讲义。
* ( x , t ) ( x . t ) d x a ( t )( a t ) d x 即 1 q q
* 1 x t (,) x td x (,)
C (, p t ) ( x ) d p C ( p , t ) ( x ) d p d x p p
* C ( p , tC ) * ( p , t ) d p d p ( x )( x ) d x p ' p
我们将提出问题 那末,在任一力学量Q表象中, Ψ(x,t) 所描写的态又如何表 示呢? 其实这个问题,自上一章讨论波函数展开系数的物理意义时已 经有所提及。
我们将分两种情况回答这个问题 (1)具有分立本征值的情况 (2)含有连续本征值情况
量子力学教程(第二版)周世勋习题解答
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(10) (11) (12) (13)
ek1a B sin k 2aC cosk 2aD 0 0
k1ek1a B k 2 cosk 2aC k 2 sin k 2a D 0 0
0 sin k 2aC cosk 2aD ek1a F 0
(x) c (x)
⑤
④乘 ⑤,得 (x) (x) c2 (x) (x) , 可见,c 2 1 ,所以 c 1
当 c 1时, (x) (x) , (x) 具有偶宇称,
当 c 1时, (x) (x) , (x) 具有奇宇称,
18
当势场满足 U (x) U (x) 时,粒子的定态波函数具有确定的宇称。
3
第一章 绪论
1.1.由黑体辐射公式导出维恩位移定律: mT b, b 2.9 10 3 m0C 。
证明:由普朗克黑体辐射公式:
d
8h c33Βιβλιοθήκη 1hd ,
ekT 1
及 c 、 d c d 得
2
8hc 5
1,
hc
ekT 1
令 x hc ,再由 d 0 ,得 .所满足的超越方程为
kT
d
2
(x)
E
2
(x)
②
12
Ⅲ: x a
2 2m
d2 dx2
3
(x)
U
(x)
3
(x)
E
3
(x)
③
由于(1)、(3)方程中,由于U (x) ,要等式成立,必须
1(x) 0 2 (x) 0
即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程(2)可变为
d
2 2 ( dx2
9第4章概念1-狄拉克符号、矩阵表示、表象变换
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k
Sα k = α k
表象时变换矩阵的矩阵元 时变换矩阵的矩阵元。 即从 F 表象变到 F′表象时变换矩阵的矩阵元。 其共轭矩阵元
+ Sij = ( S ji )*
ψψ
F 表象
* = ψ + ( F )ψ ( F ) = ∑ ak ak k
F ′表象
′ ′ = ψ + ( F ′)ψ ( F ′) = ∑ aα*aα
ψ ( F ) 的归一化
* a1 ( * a2
a1 2 ⋯) a2 = ∑ an = 1 ⋮ n
2.力学量算符的矩阵表示
ˆ 力学量 F 在
n
ψ 态下的平均值为
* F = ∑ Fn an an = ∑ an Fn ψ n = ψ
∑a F
n n
n
n = ψ
ˆ ∑a F
n n
ˆ Lkn = k L n
ˆ 表象中的矩阵元。 即 L 在F表象中的矩阵元。 表象中的矩阵元 表象中, 在F表象中,对任意态矢 ψ ,有 表象中
* * ˆ ˆ ψ = ∑ ak an k L n = ∑ ak Lkn an L= ψ L
k ,n
k ,n
* = ( a1
* a2
L11 ⋯) L21 ˆ 都没有意义。 A ψ 和 ψ A都没有意义。
n
ˆ ψ B= Ψ ˆ = ∑ cn A ψ n
n
4.左矢和右矢互为共轭 + ψ = ψ
+
ψ
+
=ψ
* cn ψ n = ∑ cn ψ n ∑ n n
因为 又 所以
(
ˆˆ BA ψ
) ( ) ˆˆ ( BA ψ ) = ψ
第四章 表象理论1
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(4.2-6)
因此算符 在Q表象中是一个矩阵, (4.2-6)式也可简写为:
称为矩阵元。
(4.2-7)
说明: 力学量算符 于表象基矢
在 表象中的矩阵元 依赖
2. 厄密矩阵 对其取复共轭得到 根据厄密算符的定义
故有:
(4.2-8)
(4.2-8)式表示算符在Q表象中的表示是一个厄密矩阵 。
补充: 1、转置矩阵:矩阵A的行列互换,所得的新矩阵称 为矩阵A的转置矩阵,用符号 表示。 即:如果,则由(43) 得到(4.1-5)
在动量表象中, 粒子具有确定动量p’ 的波函数是以动 量p为变量的函数: 同理可得: 在坐标表象中, 粒子具有确定坐标x’ 的波函数是以坐标x 为变量的函数: 坐标算符的本征值方程为:
(4.1-6)
2. 一般情况 在任意力学量Q 的表象中, 假设具有分立的本征值, 对应的本征函数是 :
体系的归一化条件 写成矩阵形式: 对表象的理解: (1) 状态ψ : 态矢量
(4.1-13)
(2) Q表象: 坐标系 (无限维希耳伯特空间)。
(3) 本征函数: (4) 基矢量的分量。
坐标系的基矢量。 是态矢量ψ 在表象中沿各
态矢 在 表象基矢上的分量
构成了 在 表象中的
表示 ,由于
构成的空间维数可以是无穷的,甚至是不
故有:
内容小节
1、表象:量子力学中状态和力学量的具体表示方式 2、ψ(x,t) 态在动量表象中的表示:
其中: 3、ψ(x,t) 态在Q表象中的波函数是:
4、力学量F在Q表象中的表示 力学量F在Q表象中的表示是一个矩阵:
其中矩阵元: 算符在自身表象中是一个对角矩阵。
§4.3 量子力学公式的矩阵表述
第四章矩阵力学基础——表象理论
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第四章矩阵力学基础——表象理论部门: xxx时间: xxx整理范文,仅供参考,可下载自行编辑第四章矩阵力学基础(Ⅱ>——表象理论4.1态和算符的表象表示1.态的表象表示(1> 坐标表象以坐标算符的本征态为基底构成的表象称为坐标表象。
以一维的x 坐标为例。
算符本征方程是(4-1-1>本征函数是量子态总可按x的本征函数系展开,得<4.1.2)展开系数必就是该量子态在x表象的表示,即波函数。
(2> 动量表象以动量算符的本征态为基底构成的表象是动量表象。
选x为自变量,动量算符的本征函数是平面波。
以动量算符为例,其本征态为:b5E2RGbCAP(4 .1 .3>将量子态按展开(4 .1 .4>C(px>就是动量表象中的波函数。
这正是第二章中已熟知的结果。
动量表象也可以用动量为自变量表示。
在Px表象中,粒子具有确定动量分量Px的波函数是以Px为自变量的函数p1EanqFDPw<4.1.5)在动量表象中的波函数也可以用类似于(4. 1. 2>式的方式给出。
(3> 任意表象设有某一线性厄M算符。
为叙述方便起见,假定算符具有分立本征值谱。
它的本征方程为(4.1.6>将波函数按算符的正交归一本征函数系展开<4.1.7)展开系数{an(t>}就是波函数必在Q表象中的表示。
它可由的正交归一性推出。
将(4.1.7>式两边分别乘并对空间积分,得DXDiTa9E3d(4 .1 .8>an(t>的物理意义是:当体系处在以(r,t>所描述的状态时,力学量Q具有确定值Qn的概率是具有和波函数统计解释相同的概率解释。
因此我们可以用一组系数RTCrpUDGiT{(t>}代替户(,t>来描述该状态。
将数列 a 1(t>,a2(t>,…,an(t>,…写成一个列矩阵,则(r,t>在Q表象的表示为5PCzVD7HxA<4.1.9)它的共轭矩阵是<4.1.10)归一条件是<4.1.10)(4.1.9>式是波函数在Q表象中的表示。
第四章态和力学量的表象
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.n n nc ψφ=∑第四章 态和力学量的表象量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。
在前面,我们采用的表象是坐标表象,还可以用其它表象表示体系状态。
在选定了一定的表象后,力学量算符用矩阵表示,算符的运算归结为矩阵的运算。
因此,引入表象理论后的量子力学也称为矩阵力学。
本章首先给出态、算符和量子力学公式的表象表示,以及它们在不同表象间的变换关系,并证明量子力学在幺正变换下的不变性。
之后介绍文献中常见的狄拉克(Dirac )符号,最后在粒子数表象中重新讨论了线形谐振子问题。
§4.1态的表象表示由前两章讨论可知,任意波函数可按某力学量的本征函数做完全性展开例如,动量的本征函数表示组成完全系,任意波函数(,)x t ψ可以按 ()x p x ψ展开为(,)(,)()xx p x x t c p t x dp ψψ=⎰ ,展开系数(,)x c p t 由下式给出()(),(),x x p c p t x x t dx ψψ*=⎰. 设 (,)x t ψ已归一化,则容易证明(,)x c p t 也是归一化的,2(,)x t dx ψ代表体系处于(,)x t ψ所描写的态中,发现粒子位置在x x dx →+范围内的几率;2(,)x x c p t dp 代表在该态下发现粒子动量在 x x x p p dp →+范围内的几率。
(,)x c p t 和 (,)x t ψ描写同一状态。
我们称(,)x t ψ是这个状态在x -表象(坐标表象)中的波函数;(,)x c p t 是同一状态在p -表象(动量表象)中的波函数。
动量表象中的波函数(,)x c p t 以动量为自变量,它的获得是通过动量本征函数系的完全性展开取得展开系数得来的。
在量子力学中,选定一组本征函数系作为基失,就称为选定了一个表象。
这与三维空间中的坐标系类似。
表象中的基矢与坐标系中的单位矢量一样具有正交归一完全性。
所不同的是本征函数有多个,所以态矢量所在的空间是多维的函数空间。
量子力学[第四章态和力学量的表象] 山东大学期末考试知识点复习
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第四章态和力学量的表象第三章中介绍了量子力学中的力学量用厄米算符表示,力学量的测量值为算符的本征值,力学量取唯一确定值的状态为算符的本征函数,力学量本征函数的集合具有正交性和完备性,微观粒子的任何态函数可以用力学量算符的本征函数进行展开,展开系数为在该状态中取值的概率幅。
前面所用的波函数ψ(x,t)本身可以看成微观状态用坐标算符的本征函数展开的概率幅,由此可以求出它用任意力学量(或者力学量完全集)的本征函数展开的概率幅。
反之,如果知道了概率幅,也可以还原出波函数。
从这个意义上说,粒子微观状态可以用任意力学量的概率幅来完全描述,波函数只是一个特例。
我们把概率幅称为状态在相应力学量中的表象,量子力学中常用的表象有坐标表象、动量表象和能量表象。
相应地,量子力学中的算符也可以有不同的表示形式,力学量算符的表象为厄米矩阵。
不同表象之间可以通过线性变换来相互联系,由于本征函数具有正交归一性,因此表象变换矩阵为幺正矩阵。
我们也可以脱离具体的表象来进行量子力学研究,这时状态用抽象的态矢量来表示,力学量用作用在态矢量空间上的抽象厄米算符来表示。
利用狄拉克方法,可以脱离具体表象来直接计算力学量的本征值和状态的演化规律,非常简洁。
本章的主要知识点有1.微观状态的表象(1)离散谱情况设力学量Q的本征方程为 (x)=qn un(x),n∈Z,任意波函数ψ(x,t)取值qn 的概率幅为cn(t)=∫un*(x)ψ((x,t)dx,概率幅的全体可以用一个列向量ψ=(…,c(t),c1(t),c2(t),…)T,简写为ψ=({cn(t)}) (4-1)来表示,称为状态ψ((x,t)在Q表象下的形式,简称状态ψ((x,t)的Q表象。
在离散谱的Q表象中,状态的归一化条件为(3)典型表象典型的离散表象有束缚态能量表象和角动量表象。
(3)混合谱情况有时候,力学量Q的本征值既有离散谱,又有连续谱。
这时Q表象下的波函数为归一化条件为力学量为具有分块矩阵形式.力学量对状态的作用为3.量子力学的抽象理论采用具体表象后,量子力学状态、力学量和物理公式都表现为矩阵的形式,历史上称之为矩阵力学。
量子力学4态和力学量的表象
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(x,t) 2dx 1
C( p,t) 2dp 1
C( p,t) 2 dp 是 (x, t)所描写的态中测量粒子动量在 p dp
范围的几率.C( p, t)与 (x, t) 描述的是同样的态,C( p, t)
为在动量表象中的波函数。
2、推广到一般情况
在任意力学量 Q 的表象中,态的表示:(x,t)
的表象不同波函数形式也不同, 但它们描写同一态。
经典力学 矢量
( Ax , Ay , Az )
普通三维空间
特定坐标系 i , j,k
比较:
量子力学
态矢量
a1 (t) a2 (t)
an (t)
希尔伯特(Hilbert)空间
特定 Q 表象
本征函数 u1 (x), u2 (x), ,un (x),
A1 A2
R(
)
A1 A2
R(
)
cos sin
sin cos
R( ) 有什么性质?
det R 1
R~R RR~ 1 (真正交矩阵)
R R RR 1 幺正矩阵
同一矢量在不同坐标系中的表示通过一个幺正矩阵联系起来。
二. 态的表象与表象变换
表象: 态和力学量的具体表示方式。
量子力学中,量子态可看成Hilbert空间一矢量。
a
1
(t
)
a2 (t)
an (t)
a
1
(t)a1 (t)
a2
(t)a2
(t)
对于即有分立谱又有连续谱的情况:
(x,t) an (t)un (x) aq (t)uq (x)dx n
an (t) (un (x), (x,t))
aq (t) (uq (x), (x,t))
态和力学量的表象
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§4.1 态的表象表示
1.坐标表象
ˆ 本征方程 以坐标算符的本征态为基底构成的表象称为坐标表象。以一维的 x 坐标为例。算符 x
是
ˆδ ( x − x ′) = x ′δ ( x − x ′) x
本征函数是 δ ( x − x ′). 量子态ψ ( x ′, t ) 总可按 x 的本征函数系展开,得
它的共轭矩阵是
(4.1.10)
ψ + = (a1* (t ), a 2 * (t ), L a n * (t ), L)
归一化条件是
(4.1.11)
ψ +ψ = 1
(4.1.10)式是波函数ψ 在 Q 表象中的表示。 现在对上述态的表象表示作些说明:
(4.1.12)
① 对 希尔伯特空间,空间的维数等于完备、正交、归一的本征函数系中本征函数的个数,它可 以是有限维的,也可以是无穷维的,而且空间的基底既可以是个实向量也可以是个复函数。态矢量 是个复矢量。
§4.2
算符的表象表示
h ∂ ) 作用后变为另一波函数Φ ( x, t ) , 即 i ∂x
ˆ 的本征态,满足 ②若ψ (r , t ) 刚好是 Q
r
ψ (r , t ) = a(t )u k (r )
由于 uk ( r ) 已归一,故有 a n (t ) = 1 ,代入(4 .1 .9)式,得
r
r
(4.1.13)
r
2
r * r a n (t ) = ∫ a (t )uk ( r )dr = a (t )δ nk
ˆ 表象中用相应的连续的列矩阵表示。 波函数ψ (r , t ) 在 Q
④ 总结上述 ,可以给出下述对应关系 量子态 ↔ 希尔伯特空间中的态矢量; 波函数 ↔ 态矢量在特定基底中的分量,可用列矩阵或用函数表示;
QMChap4态和力学量的表象
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ˆ u ( x )dx Fqq u ( x )F q
* q
F
n
mn
a n bm
F
a (q , t )dq b(q, t )
其 中a n 和bm 分别 是
其 中a(q, t )和bq, t 分 别 是
和在Q表象 中的表 示
和在Q表 象 中 的 表 示
五、既有分立谱又有连续谱 Q1 , Q2 , , Qn , , q, ˆ : Q u1 , u2 , , un , , uq , ( x, t ) an (t )un ( x) aq (t )uq ( x)dx
ˆ u ( x) Q u ( x) 若 Q n n n
n
( x, t ) a n (t )un ( x )
u
n
* ( x )um ( x )dx nm
a n ( t ) un * ( x ) ( x , t )dx
a n t 是 ( x , t )
在Q表象中的表示
量子态 ( x , t ) 在Q表象的表示,用矩阵表示为
a1 a2 a3
它的共轭为
a1 * a2 * a3 *
3.
n
归一化条件 :
* n
a
( t )a n ( t ) 1 a1 ( t ) a 2 (t ) 1 a n (t )
ˆ 必是一矩阵。 可见F
一、算符的矩阵表 F an (t )un ( x)
n
(4.2 1)
以 um* 乘以上式并积分,得
ˆ u ( x )dx b u ( x ) u ( x ) dx a u n m n m ( x )F n n n n
量子力学专题--态的表象
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(二)力学量表象
推广上述讨论: x, p都是力学量,分别对应有坐标表象和动量表象, 因此可以对任何力学量Q都建立一种表象,称为力 学量 Q 表象。
问题
那末,在任一力学量Q表象中, Ψ(x,t) 所描写的态又如何表示呢?
(1)具有分立本征值的情况 (2)含有连续本征值情况
(1)具有分立本征值的情况
a2(t)
a1(t ) * a2 (t ) * an (t ) *
an
(t
)
an (t ) * an (t ) 1
n
(2)含有连续本征值情况
例如氢原子能量就是这样一种力学量,
即有分立也有连续本征值。
设力学量 Q 的本征值和本征函数分别为:
Q1, Q2, ..., Qn, ..., q u1(x), u2(x), ..., un(x), ..., uq(x)
思考
• 力学量的表象如何表示?即算符在各种表 象下的表示。
量子力学 表象
基本矢量
不同表象波函数
→
u1(x), u2(x),..., un(x), ...
a1(t), a2(t),..., an(t), ...
量子状态Ψ(x,t)
态矢量
坐标系 不同坐标系的一组分量 i, j, k, Ax, Ay, Az 矢量 A
所以我们可以把状态Ψ看成是一个矢量——态矢量。 选取一个特定力学量 Q 表象,相当于选取特定的坐标系,
x → x + d x 范围内的几率。
|C(p,t)| 2 d p 是在Ψ(x,t)所描写的状态中,测量粒子的动量所得结果在
p → p + d p 范围内的几率。
Ψ(x,t) 与 C(p,t) 一 一 对应,描述同一状态。 Ψ(x,t) 是该状态在坐标表象中的波函数; 而 C(p,t) 就是该状态在动量表象中的波函数。
第四章 态和力学量的表象
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章 >> 第一节§4.1 态的表象一.矢量的表示矢量基矢是矢量在坐标系中的表示。
对另一坐标系,是矢量在坐标系中的表示,同一矢量在不同坐标系中表示有什么关系?有什么性质?(真正交矩阵)幺正矩阵同一矢量在不同坐标系中的表示通过一个幺正矩阵联系起来。
二.态的表象与表象变换表象: 态和力学量的具体表示方式。
量子力学中,量子态可看成Hilbert空间一矢量。
, 是波函数和力学量在坐标表象中的表示,这种表示方法并不是唯一的。
(一).态的表象1.特例动量本征函数组成完全基任意态利用:是所描写的态中测量粒子动量在范围的几率. 与描述的是同样波函数。
2推广到一般情况在任意力学量的表象中,态的表示:分立本征值:本征函数:是态中测量力学量所得结果为的几率。
为态在表象中的表示。
用矩阵表示:同一态可以在不同表象中用波函数来描写,所取的表象不同波函数形式也不同, 但它们描写同一态。
经典力学量子力学矢量态矢量普通三维空间希尔伯特(Hilbert)空间特定坐标系特定表象本征函数(二)态的表象变换态矢量在力学量的完备基下,即在表象下表象:另一力学量的完备基下,表象:二表象之间的的关系:左乘取标积,对积分即:矩阵表示幺正矩阵同一个量子态在表象中的不同表示的关系通过一幺正矩阵S相联系。
[证明]即:。
§4.2 力学量算符的矩阵表示与表象变换一.力学量的矩阵表示设一力学量作用于态得到另一态在坐标表象中在任一表象下本征值:两边左乘对积分利用正交归一性是算符在表象中的表示力学量算符为厄密算符: 即厄密算符在表象中的矩阵特点:利用厄密算符性质即即: 力学量算符的矩阵表示为厄密矩阵。
算符在自身表象的矩阵:算符在其自身表象中是一对角矩阵。
如具有连续本征值,本征函数为在坐标表象中例:求一维谐振子的坐标,动量及Hamilton量在能量表象中的矩阵表示。
[解]线性谐振子的能级为对应的能量本征函数,利用公式(1)(2)(3)二.力学量的表象变换力学量算符在表象中: 算符的本征函数在表象中: 算符的本征函数§4.3 量子力学中一些关系式的矩阵表示态矢量和力学量算符已用矩阵表示出来,也就是说态矢量和力学量算符在一确定的表象下可用矩阵表示。
量子力学填空简答证明复习资料 (2)
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填空 第一章 绪论6、玻尔的量子化条件为 n L =9德布罗意关系为 k p E==,ω 。
1、 用来解释光电效应的爱因斯坦公式为 221mv A h +=ν 。
2、 戴微孙-革末 实验验证了德布罗意波的存在,德布罗意关系为 k p E==,ω 。
第二章 波函数和薛定谔方程1、波函数的标准条件为 单值,连续,有限 。
4、2),,,(t z y x ψ的物理意义: 发现粒子的几率密度与之成正比 。
5、dr r r 22),,(⎰ϕθψ表示 在r —r+dr 单位立体角的球壳内发现粒子的几率 。
第三章 量子力学中的力学量2如两力学量算符有共同本征函数完全系,则0 。
3、设体系的状态波函数为,如在该状态下测量力学量有确定的值,则力学量算符与态矢量的关系为__ψλψ=Fˆ_______。
5、在量子力学中,微观体系的状态被一个 波函数 完全描述;力学量用 厄密算符 表示。
10坐标和动量的测不准关系是_2≥∆∆x p x ___________________________。
自由粒子体系,_动量_________守恒;中心力场中运动的粒子___角动量________守恒3、 设为归一化的动量表象下的波函数,则的物理意义为___在p —p+dp 范围内发现粒子的几率____________________________________________。
3、厄密算符的本征函数具有 正交,完备性 。
10、=]ˆ,[x p x i ; =]ˆ,ˆ[zy L L x L i ;第四章 态和力学量的表象量子力学中的态是希尔伯特空间的__矢量__________;算符是希尔伯特空间的__算符__________。
力学量算符在自身表象中的矩阵是 对角的第五章 微扰理论第七章 自旋与全同粒子7.为泡利算符,则=2ˆσ 3 ,=]ˆ,ˆ[y xσσz i σˆ28、费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有_交换反对称性__ _______, 玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有____交换对称性____ 。
量子力学(第四章)
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5
③同一个态可以在不同的表象中表示,表象不 同一个态可以在不同的表象中表示, 波函数的形式也不同,但它们完全等价。 同,波函数的形式也不同,但它们完全等价。 坐标表象:ψ ( x, t ) 坐标表象: 动量表象: Φ ( p, t ) 动量表象:
RETURN
6
§ 4.2
算符的矩阵表示
一、算符在一般表象中的表示 二、算符在自身表象中的表示 三.算符表示矩阵的性质
H mn ˆ ψ dx = E ψ *ψ dx = (n + 1 )hω δ = ∫ψ m H n n∫ m n mn 2
*
1 2 0 ( H mn ) = 0 M
0 3 2 0 M
0 0 L 0 0 L hω 5 0 L 2 M M M
∫u
* m
un dτ = δ mn
3
可知量) 任何一个态ψ (可知量)可按该基矢展开
ψ = ∑ anun
* 展开系数 an (t ) = ∫ψ un dτ 上的投影, 其中 a n 是矢量ψ 在基 un 上的投影,这一 组数 (a1, a2 ,L, an ,L)就是矢量 ψ 在Q表象中的表 示,记为一矩阵形式
† Fmn = Fnm* = Fmn
F† = F
结论:表示厄米算符的矩阵是厄米矩阵。 结论:表示厄米算符的矩阵是厄米矩阵。
12
[例题] 求一维谐振子的坐标 ,动量 及哈密顿 例题] 求一维谐振子的坐标x,动量p及哈密顿 在能量表象中的矩阵表示。 量H在能量表象中的矩阵表示。 在能量表象中的矩阵表示 [解 ] 利用厄米多项式的递推关系 xmn = ∫ψ m* xψ n dx
n
a1 (t ) a 2 (t ) ψ = M a n (t ) M
周世勋《量子力学教程》学习辅导书-第4~8章【圣才出品】
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5.幺正变换的两条重要性质 (1)幺正变换不改变算符的本征值; (2)幺正变换不改变矩阵 F 的迹。
三、狄拉克符号 1.狄拉克符号定义 量子力学中描写态和力学量,可以不用具体的表象,这样的描
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—
⌒
为F=ψ +Fψ ,归一化条件为 ψ +ψ =I,本征值方为Fψ=λψ 。
【注】此处的态 ψ 已经是其在 Q 表象中的矩阵形式。
【重要结论】算符在其自身表象中是一个对角矩阵,主对角线上的各矩阵元的集就是该
算符所对应的本征值。
二、幺正变换 1.幺正矩阵 S+=S-1
A A 【注】幺正矩阵不是厄米矩阵,厄米矩阵满足 †
2.变换矩阵
3 / 116
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由幺正矩阵所表示的变换称为幺正变换。在量子力学中,两个表象之间的变换是幺正变
换,如 (x) Sn n (x) 中,以 Snβ 为矩阵元的矩阵 S 称为变换矩阵。
n
变换矩阵的作用:通过变换矩阵,将 A 表象的基矢 ψ n 变换为 B 表象的基矢 φ β。 【例】在量子力学中,状态随时间的变化可写为:ψ (t)=U(t)ψ (0)。其中,U (t)=eiHt/ħ 是幺正算符。
在 Q 表象中的矩阵形式可以写为
a1
(t
)
ψ
a2
(t
)
,
ψ
(
a* 1
(t
),
a* 2
(t
),
L
,
a* n
(t
))
M
an (t)
【注】上述表达只针对分立谱情况,当同时存在连续谱和分立谱时,任意波函数 ψ(x,
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ˆ a*m (t ) u *m ( x) Fun ( x)dx an (t )
m,n
26
F a*m (t ) Fmnan (t )
m, n
写成矩阵形式
F11 * * F a1 (t ), a2 (t ),... F21
F12 a1 (t ) F22 a2 (t )
动量p在动量空间中表示为
p p' ( x ) p ' p ( x)dx p ' ( p ' p )
一维谐振子能量表 象中能量的矩阵元
Emn
1 0 0 1 0 3 0 0 0 5 2 ... ... ...
0 0 0 ...
Qu m ( x) Qmum ( x)
Qm为Q在自身空间中的的本征值
Qnm un(x)Qum(x)dx un(x)Q um(x)dx m Qm u n(x)um(x)dx Qm δnm
结论:算符在自身的表象中是一个对角矩阵
23
如x在坐标空间中可表示为
xmn x' ( x x' )
m
ˆ 这就是 F ( x, t ) ( x, t ) 在Q表项中的表述方式
表示成矩阵的形式:
b1 (t ) F11 b2 (t ) F21
F12 a1 (t ) F22 a2 (t )
d ˆ x i dp
在动量表象中,坐标x的算符表示为
ˆ P Fx P iF d H 2m 2m dp
13
2
2
定态的薛定谔方程
p2 d ( p) iF ( p) E ( p) 2m dp
动量表象中粒子的函数
i p3 ( p ) A exp ( Ep) F 6 m
F12 F22 a1 (t ) a2 (t ) 0 Fnn
m
m
利用本征函数un(x)的正交性
u ( x)u
* n
m
( x) dx nm
ˆ bn (t ) u ( x)Fum ( x)dx am (t )
* n m
17
引进记号
ˆ Fnm u ( x) Fu m ( x)dx
* n
得
ˆ bn (t ) Fnmam (t )Biblioteka F Fmn20 mn
例 求一维无限深势阱中(宽度为a)粒子的坐标和动量在 能量表象中的矩阵元
解:在能量表象中
H ( x) E ( x)
能量的本征值及本征函数为
En
n
2 2
2
2ma 2
2 n , n sin x a a
21
ˆ xnm u ( x ) xu m ( x )dx
结果在
2
p p dp
范围内的几率
c(p, t)和(r, t)描述的是粒子态同一个状态,(r, t) 是这个状态
在坐标表象中的波函数,而c(p, t)为同一状态在动量表象中的 波函数。 如果(x,t)描述的状态是具有动量p的自由粒子的状态
3
i ( x, t ) p ( x) exp( E p 't )
简写为
F F
27
2. 本征值方程
在量子力学中最重要的问题是找算符的本征值和本征函数。 首先,算符F的本征函数满足
ˆ F ( x) ( x)
F11 F21
F12 a1 (t ) a1 (t ) F22 a2 (t ) a2 (t )
6
动量的平均值为
ˆ p ( x) p ( x)
*
iA
另一种解法
*
2
0
( x x )e
2
*
2x
dx 0
ˆ p ( x) p ( x) i ( x) ( x) x * i ( x) ( x) p x
第四章 态和力学量的表象
1. 量子态的不同表象 2. 力学量算符的矩阵表示 3. 量子力学公式的矩阵表示
1
4.1 态的表象
表象: 量子力学中的态和力学量的具体表示方式称为表象 一个粒子的态完全可由归一化的波函数ψ(r, t)来描述, 将ψ(r, t)称为坐标表象。下面将讨论用动量为变量描述波函
数。
24
如果Q只具有连续分布的本征值q,那么算符F在Q表象中依 然是一个矩阵:
ˆ Fqq u ( x) Fu q ( x)dx
* q
这个矩阵的行列不再可数,而是用连续变化的下标来表示
在动量表象中,算符F的矩阵元为:
Fpp
ˆ ( x, ) ( x)dx ( x) F p i x
0
xe
2 2x
dx 1 A 4
c( p ) ( x) ( x)dx
p
动量的几率分布为
2
2
3 3
3
0
xe
x ip x x /
e
dx
1 ( ip) 2
w p c( p x )
2
2
3 3
1 (2 2 p 2 ) 2
x ( x x) x ( x x)
4
例题:一维粒子运动的状态是
Axe x , ( x) 0,
求:(1)粒子动量的几率分布; (2)粒子的平均动量 解:首先对波函数进行归一化
x0 x0
A
2
( x) dx Axe
2
x 2
dx 1
3
5
(Ariy 函数)
A
其中
0
u3 cos u du 3
1/ 3
u p(2mF )
,
2mF 1/ 3 ( x E / F )( 2 )
15
4. 2 算符的矩阵表示
ˆ F ( x, t ) ( x, t )
在Q表象中,Q的本征值分别为Q1,Q2,Q3,…Qn…, 对应的 本征函数分别为u1(x), u2(x),… un(x),….
n
其中
an (t ) ( x, t ) ( x)dx
* n
aq (t ) ( x, t ) ( x)dx
* q
归一化可表示为
a (t )a (t ) a (t )a (t )dq 1
* n n * q q n
11
直角坐标系中,矢量A的方向由i, j, k三个单位矢量基矢 决定,大小由Ax, Ay, Az三个分量(基矢的系数)决定。 在量子力学中,选定一个F表象,将Q的本征函数u1(x), u2(x),… un(x),…看作一组基矢,有无限多个,大小由a1(t), a2(t), …an(t),…系数决定。
将(x,t)和 (x,t)分别在Q表象中按Q的本征函数展开
( x, t ) amum ( x)
n
( x, t ) bmum ( x)
m
16
ˆ bmum ( x) F amum ( x)
m m
两边同乘以
* n
u ( x)
* n
,并在整个空间积分
* n
ˆ bm u ( x)um ( x) dx u ( x)Fam (t )um ( x)dx
an
2
在(x)所描写的量子态中测量力学量Q所得的结 果为Qn的几率
数列
a1 (t ), a2 (t ), a3 (t ), ..., an (t ), ...
就是(x)所描写的量子态中在Q表象中的表示
9
a1 (t ) a2 (t ) an (t )
1 i p ( x) exp( px) 1/ 2 (2)
( x, t ) c( p, t ) p ( x)dp
c(p, t)为展开系数, ψp(x )是动量的本征函数
2
c( p, t ) ( x, t ) ( x)dx p
c( p, t ) dp 表示在 ( x, t ) 所描写的态中测量粒子动量所
18
矩阵Fnm的共轭矩阵表示为
Fnm
*
ˆ u ( x)]* dx u n ( x)[ F m
因为量子力学中的算符都是厄米算符,
Fnm
*
ˆ u ( x)]* dx [ Fu ( x)]* u ( x)dx ˆ un ( x)[ F m n m
ˆ u ( x) Fun ( x)dx
如果(x)和un (x) 都是归一化的,则
( x, t ) dx an (t )a m (t ) um ( x)un ( x)dx
2 * * m,n
an (t )a m (t ) mn a n (t )an (t )
* * m, n n
8
所以
* an (t )an (t ) 1 n
* p
其中ψp(x )是动量的本征函数
1 i p ( x) exp( px) 1/ 2 (2)
25
4.3 量子力学公式的矩阵表述
1. 平均值公式
( x, t ) an (t )un ( x)
( x, t ) a m (t )u m ( x)
* * * m
n
ˆ ˆ F * ( x, t ) F ( x, t ) a*m (t )u*m ( x) Fan (t )un ( x)dx