《数学分析》(2)复习多元函数积分解读

数学分析（2）——多元函数积分学
四、第一类曲面积分的计算 计算方法：一投、二代、三变换
若曲面 : z z(x, y)
则 f ( x, y, z)dS
f [ x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy;
Dxy
类似还有两个公式.
练习
数学分析（2）——多元函数积分学
1. 计算 ( x y z)dS
S
其中为上半球面z R2 x 2 y2 .
2. 计算 ( x2 y2 z)dS, 为立体 x2 y2 z 1的边界.
数学分析（2）——多元函数积分学
五、第二类曲线积分的计算 格林公式
1.基本方法： 由积分曲线的表达式确定定积分的积分变量， 将积分曲线代入被积表达式， 定积分定限：起点对应下限，终点对应上限.
《数学分析》（2）复习
★ 多元函数积分学 ★
（课本 ch19,ch20,ch21,ch22）
考试要求
数学分析（2）——多元函数积分学
1.二重积分的计算（直角坐标，极坐标），二次积 分交换积分次序，三重积分的计算（直角坐标，柱面坐 标，球面坐标），利用对称性计算重积分
2.第一类曲线积分与第一类曲面积分的计算
2.利用格林公式
Q P
L
Pdx
Qdy
(
D
x
y
)dxdy
其中 L 是 D 的整个正向边界曲线.
技巧：不闭则补，出奇则挖
3.利用曲线积分与路径无关的条件
练习
数学分析（2）——多元函数积分学
1.已知 L 为圆周 x2y22y 上从原点 O 按逆时针方向到点 A(0,2) 的圆弧, 计算
I (ey sin x y)dx (1 ey cos x)dy. L
数学分析（2）——多元函数积分学
f ( x, y, z)dv f (r cos , r sin , z) r dr d dz
2. 球坐标
f ( x, y, z)dv
f ( sin cos , sin sin , cos ) 2 sin d d d
练习
数学分析（2）——多元函数积分学
数学分析（2）——多元函数积分学
六、第二类曲面积分的计算 高斯公式
“一投,二代,三定号”
如果由 : z z( x, y)给出,则有
R( x, y, z)dxdy R[x, y, z( x, y)]dxdy
数学分析（2）——多元函数积分学
方法
——“先二后一”(截面法)
把积分区域 向某轴（如z轴）
投影，得投影区间[c, d]；
D(z) ___ 垂直于 z 轴的截面
d
D(z)
z
c
于是三重积分化为
d
f (x, y, z)dxdydz c dz f ( x, y, z)dxdy
D(z)
换元法:
1. 柱坐标
②按定限规则，改变选定积分次序
用极坐标计算二重积分:
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin ) r dr d
D
D
数学分析（2）——多元函数积分学
练习 1.交换下列二次积分的积分次序：
1
2 x x2
2
2 x
(1) 0 dx0
f ( x, y)dy 1 dx0 f ( x, y)dy
难
五、第二类曲线积分的计算，格林公式 点
六、第二类曲面积分的计算，高斯公式
数学分析（2）——多元函数积分学
一、二重积分的计算，二次积分交换积分次序
直角坐标系下二重积分的计算方法是二次积 分法，化二重积分为二次积分的步骤是：
①作出积分区域的草图 ②选定积分次序，定出积分
改变二次积分的次序的步骤：
①根据定限规则作出积分区域的草图
L ds L的长度
练习
数学分析（2）——多元函数积分学
1.已知曲线Ｌ：y x2,0 x 2, 则 Lxds ＿＿＿．
2. 设 L 是下半圆周y a2 x2 ,
则 ( x2 y2 )n d s ＿＿＿． L
3.计算
1 ds,
L x2 y2 z2
x2 y2 z2 5
L:
1
2y
3
3 y
(2) 0 dy0 f ( x, y)dx 1 dy0 f ( x, y)dx
2.计算二重积分：
(1) y2 xydxdy, 其中Ｄ是由三直线
D
y x, y 1, x 0 围成的平面闭区域.
(2) ( x 2 2x 3 y)d , 其中D {(x, y) x 2 y2 1}.
2．计算曲线积分 I C(e y 12xy)dx( xe y cosy)dy ，其中
C 为曲线 y x2 上从 A(1, 1) 到 B(1, 1) 的一段.
3.计算 I ( x2 2 xy)dx ( x2 y4 )dy,其中 L为由 L
点O(0,0)到点 A(1,1)的曲线 y sin x. 2
1．计算三重积分 I ( xz)dV ，其中 是由曲面
z x2 y2 与 z 1 x2 y2 所围成的区域.
2. ( x y z)dV ， 其中是由 x 2 y 2 z 2 4
和 x 2 y 2 3z 围成的区域.
3. ( x 2 y2 z 2 )dxdydz, 为球面x 2 y 2 z 2 R2所围区域.
z 1
三、三重积分的计算
数学分析（2）——多元函数积分学
方法 ——“先一后二”
z
z 2(x, y)
(投影法)
向 xoy 平面投影得投影区域 Dxy, O
x
z 1(x, y)
y Dxy
f
( x,
y, z)dv
dx dy
D
2(x, y)
1( x, y)
f
( x,
y, z)dz
再化为三次积分计算.
D
数学分析（2）——多元函数积分学
二、第一类曲线积分的计算
基本方法：化曲线积分为定积分.
由积分曲线的表达式求出弧微分元素，
将积分曲线代入被积函数，
定积分定限：下限小于上限.
L f ( x , y , z )d s
x x(t)
L:
y
y (t )
z z (t)
t
f x(t) , y(t) , z(t) x2 y2 z2 d t
3.第二类曲线积分与第二类曲面积分的计算
4.利用格林公式计算曲线积分，曲线积分与路径 无关的等价条件，利用高斯公式计算曲面积分
数学分析（2）——多元函数积分学
★ 多元函数积分学 ★
一、二重积分的计算，二次积分交换积分次序
二、第一类曲线积分的计算
基 三、三重积分的计算
本
重
题 四、第一类曲面积分的计算 型