山西大学附中2012年高三年级下学期三模(理数)1

山西大学附中高三年级（下）数学三模数学试卷(理)一．选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=143422y x x A ，{}2x y y B ==，则=B AA.[]2,2-B.[]2,0C.0.4D.0.8 2.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()(σσ2,1N ＞)0，若ξ在（0.2）内取值的概率为0.8，则ξ在()1,0内取值的概率为A.0.1B.0.2C.0.4D.0.83．由曲线x x y 22-=与直线0=+y x 所围成的封闭图形的面积为A.32 B.65 C.31 D.61 4．将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为5．已知各项均不为零的等差数列{}n a 满足22712220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则311b b ⋅=A ．16B ．8C ．4D ．2 6. “41=a ”是“对任意的正数,x 均有1≥+x a x ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7.甲和乙等五名志愿者被随机地分到D C B A ,,,四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲和乙不在同一岗位服务的概率为 A.110B.910C. 14D.486258．设1||=,若|2||CB =,则⋅的最大值为 A.139．若),2(ππα∈，且)4sin(2cos 3απα-=，则α2sin 的值为A.118 B.118- C.1718D.1718-10．已知关于x 的方程2(1)10(,)x a x a b a b R +++++=∈的两根分别为1x 、2x ，且1201x x <<<，则ba的取值范围是A ．]21,2[--B ．)21,2(-- C ． ]2,21[ D ．)2,21(11．过双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点(,0)F c -作圆222x y a +=的切线，切点为E ，延长FE交抛物线24y cx =于点P ，若E 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为A 1 C ．2 D ．1212.已知函数)(x f 满足：①定义域为R ；②对任意R x ∈，有)(2)2(x f x f =+；③当]1,1[-∈x 时，1||)(+-=x x f ，则函数||log )(4x x f y -=在区间]10,10[-上零点的个数是A.17B.12C.11D.10 二.填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．复数i R a iai,(21∈-+为虚数单位）为纯虚数,则复数i a z +=的模为 ． 14.()()51x x a ++的展开式中2x 项的系数是15，则展开式的所有项系数的和是_______.15．某程序框图如下图所示，则程序运行后输出的S 值 为 ．16.对于定义域为D 的函数()x f ，若存在区间[](a D b a M ⊆=,＜)b ，使得(){}M M x x f y y =∈=,则称区间M 为函数()x f 的“等值区间”.①();2xx f =②();3x x f =③();sin x x f =④().1log 2+=x x f则存在“等值区间”的函数的序号是山西大学附中高三年级（下）数学周考 编号5数学试题答题纸(理)13___________ 14______________ 15________________16_______________三．解答题17. （本题满分12分）已知函数)6cos(sin )(π-+=x x x f ，R x ∈．（1）求)(x f 的最大值；（2）设△ABC 中，角A 、B 的对边分别为a 、b ，若A B 2=且)6(2π-=A f a b ，求角C 的大小．1C1B1ACBAD 18. （本题满分12分）如图直三棱柱111ABC A B C -中，12,AC CC AB BC ===，D 是1BA 上一点，且AD ⊥平面1A BC .（1）求证：BC ⊥平面11ABB A ；（2）在棱1BB 是否存在一点E ，使平面AEC 与平面11ABB A 的所成锐角等于60，若存在，试确定E 点的位置，若不存在，请说明理由.19. （本题满分12分）某科考试中，从甲、乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图5所示，成绩不小于90分为及格．（1）甲班10名同学成绩的标准差乙班10名同学成绩的标准差（填“>”，“<”）；（2）从两班10名同学中各抽取一人，已知有人及格，求乙班同学不及格的概率；（3）从甲班10人中取一人，乙班10人中取两人，三人中及格人数记为X，求X的分布列和期望．甲乙2 5 73 6 85 86 8789108 96 7 81 2 3 51（第20题）20．（本题满分12分） 设点P 为圆2:221=+y x C 上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ．动点M PQ =（其中Q P ,不重合）． （1）求点M 的轨迹2C 的方程；（2）过直线2-=x 上的动点T 作圆1C 的两条切线，设切点分别为B A ,．若直线AB 与（1）中的曲线2C 交于D C ,两点，求||||CD AB 的取值范围．21．（本题满分12分） 设函数),()(R b a xbax x f ∈+=，若)(x f 在点))1(,1(f 处的切线斜率为1．（Ⅰ）用a 表示b ；（Ⅱ）设)(ln )(x f x x g -=，若1)(-≤x g 对定义域内的x 恒成立，求实数a 的取值范围；选做题（本题满分10分，请考生在第22、23、24三题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）22.（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且,,CB CA OB OA ==⊙O 交直线OB 于E ，D ，连接CD EC ,．（1）求证：直线AB 是⊙O 的切线； （2）若,21tan =∠CED ⊙O 的半径为3，求OA 的长． 23．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 31cos 33y x （θ为参数），以Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为0)6cos(=+πθρ；（1）写出直线l 的直角坐标方程和圆C 的普通方程； （2）求圆C 被直线l 所截得的弦长。

24．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数212)(--+=x x x f ． （1）求不等式2)(>x f 的解集； （2）若R x ∈∀，t t x f 211)(2-≥恒成立，求实数t 的取值范围．山西大学附中高三年级（下）数学三模参考答案数学试卷(理)命题人：宋文霞 审题人：牛瑞兰 时间：5月10日一．选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=143422y x x A ，{}2x y y B ==，则B A ⋂= （B.）A.[]2,2-B.[]2,0C.0.4D.0.82.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()(σσ2,1N ＞)0，若ξ在（0.2）内取值的概率为0.8，则ξ在()1,0内取值的概率为（C.） A.0.1B.0.2C.0.4D.0.83．由曲线x x y 22-=与直线0=+y x 所围成的封闭图形的面积为（ Ｄ ） Ａ．32 Ｂ．65 Ｃ．31 Ｄ．614．将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为（D ）5．已知各项均不为零的等差数列{}n a 满足22712220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则311b b ⋅= （A ）A ．16B ．8C ．4D ．2 6. “41=a ”是“对任意的正数,x 均有1≥+x a x ”的（A ． ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件侧视（D ）（C ）（B ）（A ）7. 甲和乙等五名志愿者被随机地分到A 、B 、C 、D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少 有一名志愿者，则甲和乙不在同一岗位服务的概率为（B ）(A)110(B)910(C) 14 (D) 48625【解析】1414243434342454910C A C A C A P C A ++==．【答案】B 8．若(,)2παπ∈，且3cos2sin()4παα=-，则sin2α的值为（D ）（A ）118 （B ）118- （C ）1718 （D ）1718- 9．设1AB = ,若2CA CB =,则CA CB ⋅ 的最大值为（B ）（A ）13 （B ）2 （C（D ）310．已知关于x 的方程2(1)10(,)x a x a b a b R +++++=∈的两根分别为1x 、2x ，且1201x x <<<，则ba的取值范围是（A ）A ．]21,2[-- B ．12,2⎛⎫--⎪⎝⎭C ．]2,21[ D ．)2,21( 11．过双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点(,0)F c -作圆222x y a +=的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线24y cx =于点P ，若E 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为（D ）AB1 C12.已知函数f （x ）满足：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有f （x 十2）＝2f （x ）； ③当x ∈［－1,1］时，f （x ）＝－｜x ｜＋1，则函数y ＝在区间［－10,10］上零点的个数是（C ）（A ）17 （B ）12 （C ）11 （D ）10二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．13．复数1i2ia +-（,i a R ∈为虚数单位）为纯虚数,则复数i z a =+的模为 ．； 14.()()51x x a ++的展开式中2x 项的系数是15，则展开式的所有项系数的和是_______.15．某程序框图如图所示，则程序运行后输出的S 为 ．10；16.对于定义域为D 的函数()x f ，若存在区[](a D b a M ⊆=,＜)b ，使得(){}M M x x f y y =∈=,，则称区间M 为函数()x f 的“等值区间”.给出下列四个函数：①();2xx f =②();3x x f =③();sin x x f =④().1log 2+=x x f则存在“等值区间”的函数的序号是（B.）A.1个B.2个C.3个D.4个17.已知函数)6cos(sin )(π-+=x x x f ，R ∈x ．（1）求)(x f 的最大值；（2）设△ABC 中，角A 、B 的对边分别为a 、b ，若A B 2=且)6(2π-=A f a b ，求角C 的大小．解：（1）)6cos(sin )(π-+=x x x f x x x sin 21cos 23sin ++= ……2分 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=x x cos 21sin 233)6sin(3π+=x ．（注：也可以化为)3cos(3π-x ） …4分所以)(x f 的最大值为3． …………………………………6分 （2）因为)6(2π-=A f a b ，由（1）和正弦定理，得A B 2sin 32sin =．……7分又A B 2=，所以A A 2sin 322sin =，即A A A 2sin 3cos sin =， ……9分而A 是三角形的内角，所以0sin ≠A ，故A A sin 3cos =，33tan =A ， …11分 所以6π=A ，32π==A B ，2ππ=--=B A C ． …………………………12分18.如图直三棱柱111ABC A B C -中，12,AC CC AB BC ===，D 是1BA 上一点，且AD ⊥平面1A BC .（1）求证：BC ⊥平面11ABB A ；（2）在棱1BB 是否存在一点E ，使平面AEC 与平面11ABB A 的夹角等于60，若存在，试确定E 点的位置，若不存在，请说明理由.18．证明：（Ⅰ）∵⊥AD 平面BC A 1，∴BC AD ⊥.∵111C B A ABC -是直三棱柱，∴⊥1AA 平面ABC ，∴BC AA ⊥1. ∵A AA AD =⋂1，AD ⊆平面11A ABB ,1AA ⊆平面11A ABB , ∴⊥BC 平面11A ABB . …………6分 （Ⅱ） ⊥BC 平面11A ABB .∴AB BC ⊥.又BC BB AB BB ⊥⊥11,，于是可建立如图所示的空间直角坐标系xyz B -.∵ABC ∆是等腰直角三角形，且斜边2=AC ， ∴2==BC AB .从而，)()()0000000,,,,,AB C1C1B1ACBAD设存在满足条件的点E 坐标为()()0002,,a a <<由（Ⅰ）知平面11A ABB 的法向量BC=()00, …6分令平面ACE 的法向量(),,n x y z =00n AC n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，0az ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令z =(,n a a =.平面AEC 与平面11A ABB 的夹角等于60∴12cos ,n BC == ，的1a =所以当E 为棱1BB 中点时平面AEC 与平面11A ABB 的夹角等于60. ……………12分 19.某科考试中，从甲、乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图5所示，成绩不小于90分为及格．（Ⅰ）甲班10名同学成绩的标准差 乙班10名同学成绩的标准差（填“>”，“<”）；（Ⅱ）从两班10名同学中各抽取一人，已知有人及格，求乙班同学不及格的概率；（Ⅲ）从甲班10人中取一人，乙班10人中取两人，三人中及格人数记为X ，求X 的分布列和期望．解：（Ⅰ）>． ······························ 2分 （Ⅱ）甲班有4人及格，乙班有5人及格．事件“从两班10名同学中各抽取一人，已知有人及格”记作A ， 事件“从两班10名同学中各抽取一人，乙班同学不及格”记作B ，则7210030110020)()()|(=-==A PB A P A B P ． ················ 6分 （Ⅲ）X 取值为0,1,2,3152)0(2102511016=⋅==C C C C X P ；4519)1(2102511014210151511016=⋅+⋅==C C C C C C C C C X P ；4516)2(2101515110142102511016=⋅+⋅==C C C C C C C C C X P ；454)3(2102511014=⋅==C C C C X P ． · 10分甲 乙 257 368 58 68 7 8 9 10 89 6781235 1（第21题）所以545)(==X E ． 12分20．（本题满分15分） 设点P 为圆2212C x y +=：上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ．动点MPQ =（其中P ，Q不重合）．（Ⅰ）求点M 的轨迹2C 的方程；（Ⅱ）过直线2x =-上的动点T 作圆1C 的两条切线，设切点分别为,A B ．若直线AB 与（Ⅰ）中的曲线2C 交于,C D 两点，求AB CD的取值范围．20．解：（Ⅰ）设点(,)M x y ,MQ PQ =，得()P x ，由于点P 在2212C x y +=：上，则2222x y +=，即M 的轨迹方程为2212x y +=. …………………4′（Ⅱ）设点(2,)T t -，1122(,),(,)A x y B x y ''''，则AT ，BT 的方程为：112x x y y ''+=，222x x y y ''+=， 又点(2,)Tt - 在AT 、BT 上，则有：1122xty ''-+=①，2222x ty ''-+=②，由①、②知AB 的方程为：22x ty -+=. ……3′设点1122(,),(,)C x y D x y ，则圆心O 到AB 的距离d =，||AB=；又由222212x ty x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(8)440t y ty +--=，于是 12248t y y t +=+，12248y y t -=+，于是12|||CD y y -于是||||AB CD =…………………3′设24t s +=，则4s ≥，于是||||AB CD 11,(0]4m m s =∈，，于是||||AB CD ，设3()1632f m m m =+-，2'()696f m m =-，令'()0f m =，得41=m . 得)(m f 在]41,0(上单调递增，故]2,1()(∈m f . 即||||AB CD的范围为 …………………5′ 21．（本题满分12分） 设函数()(,)bf x ax a b R x=+∈，若()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率为1．（Ⅰ）用a 表示b ；（Ⅱ）设()ln ()g x x f x =-，若()1g x ≤-对定义域内的x 恒成立，求实数a 的取值范围； 解：（Ⅰ）2()b f x a x '=-，依题意有：2(1)11bf a a b b a x '=-=-=⇒=-； …………2′（Ⅱ）1()ln ()ln ()1a g x x f x x ax x-=-=-+≤-恒成立.()1g x ≤-恒成立即max ()1g x ≤-.方法一：()1g x ≤-恒成立，则(1)11101g a a a +=--++≤⇒≥.当1a ≥时，221[(1)](1)(1)(1)1()01,1a x x ax a x a g x x x x x a---+--+--'===⇒==-+110,x a=-+≤2(0)0x g '≥，则(0,1)x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增，当(1,)x ∈+∞，()0g x '<，()g x 单调递减，则max ()(1)121g x g a ==-≤-，符合题意；即()1g x ≤-恒成立，实数a 的取值范围为1a ≥； ……………6′方法二：2222111(1)(1)()a ax x a ax a x g x a x x x x --++--+--'=-+==， ①当0a =时，21()x g x x-'=，(0,1)x ∈，()0g x '<，()g x 单调递减，当(1,)x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单调递增，则max ()(1)1g x g ==，不符题意；②当0a ≠时，221[(1)](1)(1)(1)1()01,1a x x ax a x a g x x x x x a---+--+--'===⇒==-+， （1）若0a <，110a-+<，(0,1)x ∈，()0g x '<，()g x 单调递减；当(1,)x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单调递增，则max ()(1)1211g x g a a ==-<-⇒>，矛盾，不符题意；（2）若0a >，若102a <≤，111a -+>，(0,1)x ∈，()0g x '<，()g x 单调递减，不符题意；若112a <<，1011a <-+<，1(0,1)x a ∈-+，()0g x '<，()g x 单调递减，不符题意；（11(1)ln(1)10g a a-+=-+->矛盾；）若1a ≥，110a-+≤，(0,1)x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增；当(1,)x ∈+∞，()0g x '<，()g x 单调递减，则max ()(1)121g x g a ==-≤-，符合题意；综上，得()1g x ≤-恒成立，实数a 的取值范围为1a ≥； ……………6 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且,,CB CA OB OA ==⊙O 交直线OB 于E ，D ，连接CD EC ,．（Ⅰ）求证：直线AB 是⊙O 的切线； （Ⅱ）若,21tan =∠CED ⊙O 的半径为3，求OA 的长． 证明：（1）如图，连接AB OC CB CA OB OA OC ⊥∴==,,,OC 是圆的半径， AB ∴是圆的切线．---------------------3分（2）ED 是直径，︒︒=∠+∠∴=∠∴90,90EDC E ECD又EBC CBD E BCD ODC OCD OCD BCD ∠=∠∠=∠∴∠=∠=∠+∠︒又,,,90，BCD ∆∴∽BEC ∆，BE BD BC BCBDBE BC ⋅=⇒=∴2，-----------5分 21tan ==∠EC CD CED ， BCD ∆∽BEC ∆，21==EC CD BC BD -----------------------7分设,2,x BC x BD ==则2)6()2(22=∴+=∴⋅=BD x x x BE BD BC --------9分532=+=+==∴OD BD OB OA ．------------------------10分23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 31cos 33y x （θ为参数），以Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为0)6cos(=+πθρ；（1）写出直线l 的直角坐标方程和圆C 的普通方程； （2）求圆C 被直线l 截得的弦长。