第五节指数与指数函数课时作业

课时作业(十二)
一、选择题
1．函数y＝0.3|x|(x∈R)的值域是()
A．{y|y>0} B．{y|y≤1}
C．{y|y≥1} D．{y|0<y≤1}
解析：y＝0.3|x|∈(0,1]，故选D.
答案：D
2．(2012年河南焦作调研)函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a、b为常数，则下列结论正确的是() A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．0<a<1，b>0
D．0<a<1，b<0
解析：
由图象得函数是减函数，
∴0<a<1.
又分析得，图象是由y＝a x的图象向左平移所得，
∴－b>0，即b<0.从而D正确．
答案：D
3．若关于x的方程|a x－1|＝2a(a>0，a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是()
A ．(0,1)∪(1，＋∞)
B ．(0,1)
C ．(1，＋∞)
D ．(0，1
2)
解析：方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个实数根转化为函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 有两个交点．
①当0<a <1时，如图(1)，∴0<2a <1，即0<a <1
2. ②当a >1时，如图(2)，而y ＝2a >1不符合要求．
综上，0<a <1
2. 答案：D
4．(2013届山西重点高中联考)设a ＝，b ＝
，c ＝，则a 、b 、c 的大小关系是
( )
A ．a >c >b
B ．a >b >c
C ．c >a >b
D ．b >c >a
解析：法一：先比较b 与c ，构造函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
25x .
∵0<25<1，∴y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
25x 为减函数且35>25，
∴b ＝<＝c ；再比较a 与c .
∵构造函数y ＝
，当x >0时y ＝
为增函数
∴>
∴a >c ，故a >c >b
法二：依题意a ，b ，c 为正实数，且a 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
352＝925，
b 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253＝8125，
c 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
252＝425，∴a 5>c 5>b 5，即a >c >b .
答案：A
5．(2013届山东滨州质检)已知实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
13b ，下列五个关
系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有
( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析：作y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 的图象，如图．
当x <0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
13b ，则有a <b <0，②成立．
当x >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b
，则有0<b <a ，①成立．
当x ＝0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
13b ，则有a ＝b ＝0，⑤成立．
故③④不成立． 答案：B
6．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝1
9，则f (x )的单调递减区间是
( )
A ．(－∞，2]
B ．[2，＋∞)
C ．[－2，＋∞)
D ．(－∞，－2]
解析：由f (1)＝19，得a 2＝19，∴a ＝13(a ＝－1
3舍去)，
即f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13|2x －4|
.
由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增， 所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B. 答案：B 二、填空题
7．函数y ＝a x ＋2 013＋2 012(a >0且a ≠1)的图象恒过定点________． 解析：∵y ＝a x (a >0且a ≠1)恒过定点(0,1)， ∴y ＝a x ＋2 013＋2 012恒过定点(－2 013,2 013)． 答案：(－2 013,2 013)
8．设函数 f (x )＝a －|x |(a >0且a ≠1)，若f (2)＝4，则f (－2)与f (1)的大小关系是________．
解析：由f (2)＝a －2＝4，解得a ＝1
2， ∴ f (x )＝2|x |，∴f (－2)＝4>2＝f (1)． 答案：f (－2)>f (1)
9．(2012年上海)方程4x －2x ＋1－3＝0的解是__________．
解析：方程4x －2x ＋1－3＝0可化为(2x )2－2·2x －3＝0，即(2x －3)(2x ＋1)＝0， ∵2x >0，∴2x ＝3，∴x ＝log 23. 答案：log 23 三、解答题
10．已知对任意x ∈R ，不等式1
2x 2
＋x
>恒成立，求实数m
的取值范围．
解：由题知：不等式>
对x ∈R 恒成立，∴x 2＋x <2x 2
－mx ＋m ＋4对x ∈R 恒成立．
∴x 2－(m ＋1)x ＋m ＋4>0对x ∈R 恒成立． ∴Δ＝(m ＋1)2－4(m ＋4)<0. ∴m 2－2m －15<0，∴－3<m <5.
11．函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M ，当x ∈M 时，求 f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最值．
解：由3－4x ＋x 2>0，得x >3或x <1， ∴M ＝{x |x >3或x <1}，
f (x )＝－3×(2x )2＋2x ＋2＝－3⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －162＋2512.
∵x >3或x <1，∴2x >8或0<2x <2，
∴当2x ＝16，即x ＝log 216时， f (x )最大，最大值为25
12， f (x )没有最小值． 12．已知f (x )＝
a
a 2
－1
(a x －a －x )(a >0，且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；
(3)当x ∈[－1,1]时， f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围． 解：(1)函数定义域为R ，关于原点对称． 又因为f (－x )＝
a
a 2
－1
(a －x －a x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数． (2)当a >1时，a 2－1>0.
y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x 为增函数，所以f (x )为增函数．
当0<a <1时，a 2－1<0，
y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x 为减函数，所以f (x )为增函数．
故当a >0，且a ≠1时， f (x )在定义域为R 上单调递增函数． (3)由(2)知f (x )在R 上是增函数， 所以在区间[－1,1]上也是增函数． 所以f (－1)≤f (x )≤f (1)．
所以f (x )min ＝f (－1)＝a a 2－1(a －1－a )＝a
a 2－1
·1－a
2a ＝－1.
所以要使f (x )≥b 在[－1,2]上恒成立，则只需b ≤－1. 故b 的取值范围是(－∞，－1]． [热点预测]
13．(1)(2012年杭州第一次质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
(1－3a )x ＋10a ， x ≤7，
a x －7
， x >7是定义域上的递减函数，则实数a 的取值范围是__________．
(2)(2012年山东聊城联考)设y ＝f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝⎩⎨⎧
f (x )， f (x )≤K ，
K ， f (x )>K ，给出函数f (x )＝2x ＋1－4x ，若对于任意x ∈(－
∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )
A ．K 的最大值为0
B ．K 的最小值为0
C ．K 的最大值为1
D ．K 的最小值为1
解析：(1)∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
(1－3a )x ＋10a ， x ≤7
a x －7， x >7是定义域上的递减函数，∴
⎩⎪⎨⎪
⎧
1－3a <0，0<a <1，(1－3a )×7＋10a ≥a 0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
1－3a <0，0<a <1，7－11a ≥1，
解得13<a ≤6
11.
(2)根据题意可知，对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则f (x )≤K 在x ≤1上恒成立，即f (x )的最大值小于或等于K 即可．令2x ＝t ，则t ∈(0,2]，f (t )＝－t 2
＋2t＝－(t－1)2＋1，可得f(t)的最大值为1，∴K≥1，故选D.
答案：(1)1
3<a≤
6
11(2)D。