您的位置：360文档中心› 高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：章末检测：第三章 数系的扩充和复数的引入 Word版含答案.docx

高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：章末检测：第三章 数系的扩充和复数的引入 Word版含答案.docx

合集下载

高中数学人教A版选修22第三章数系的扩充与复数的引入练习题含答案详解

高中数学人教A版选修22第三章数系的扩充与复数的引入练习题含答案详解

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.第三章数系的扩充与复数的引入测试(人教实验A版选修2-2) 建议用时实际用时满分实际得分90分钟100分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列命题中：①若∈R，则(＋1)i是纯虚数；②若，∈R且>，则＋>＋；③若(－1)＋(＋3＋2)i是纯虚数，则实数＝±1；④两个虚数不能比较大小．其中，正确命题的序号是()A.①B.②C.③D.④2.若复数z＝1＋i，i为虚数单位，则(1＋z)·z＝()A．1＋3i B．3＋3iC．3－i D．33．i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝（）A．－1 B.1C.i-D.i4.若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则()A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝－1，b＝－1 D．a＝1，b＝－15.设i是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a为()A．2B．－2C．－12D．126.复数i1＋2i(i是虚数单位)的实部是()A．25B．－25C．15D．－157.若＝(＋m＋1)＋(＋m－4)i，m∈R，＝3－2i，则m＝1是＝的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件8.复数z＝1＋i，z－为z的共轭复数，则z z－－z－1＝()A．－2i B．－iC．i D．2i9.已知复数z满足(1＋i)z＝1＋a i(其中i是虚数单位，a∈R)，则复数z对应的点不可能位于复平面内的()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10. 设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝{x||x－1i|＜2，i为虚数单位，x∈R}，则M∩N为()A．(0,1)B．(0,1]C．[0,1) D．[0,1]二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．若复数12iz=-（i为虚数单位），则z z z⋅+= .12.已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，OCu u u r＝λOAu u u r＋μOBuuu r(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．13.使不等式m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10成立的实数m＝ .14.如果i(,,0)z a b a b a =+∈≠R 且是虚数，则222,,,,,,,,z z z z z z z z z z ⋅中是虚数的有_______个，是实数的有 个，相等的有 组 三、解答题（本大题共5个小题，共44分.） 15.（6分） 证明：i i zz+-＝1．16．（6分）若∈R ，试确定是什么实数时，等式32－－1＝(10－－22)i 成立．17.(10分) 已知复数12z z ，满足121z z ==，且122z z -=，求证：122z z +=．18．（10分）设是虚数，zz 1+=ω是实数，且－1<ω<2.(1)求||的值及的实部的取值范围；(2)设z zM +-=11，求证：为纯虚数；（3）求2M -ω的最小值.19.（12分）证明：在复数范围内，方程（i 为虚数单位）无解.第三章数系的扩充与复数的引入测试(人教实验A版选修2-2)答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题11． 12． 13. 14. 15.三、解答题16.17.18.19.第三章数系的扩充与复数的引入测试(人教实验A 版选修2-2) 答案一、选择题1. D 解析：由复数的有关概念逐个判定．对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时为纯虚数．在①中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误；在③中，若x ＝－1，也不是纯虚数，故③错误；a ＋i 3＝a －i ，b ＋i 2＝b －1，复数a －i 与实数b －1不能比较大小，故②错误；④正确．故应选D.2.A 解析： (1＋z )·z ＝z ＋＝1＋i ＋＝1＋i ＋2i ＝1＋3i.3.A 解析:由复数性质知：i 2＝－1，故i ＋i 2＋i 3＝i ＋(－1)＋(－i)＝－1.4.D 解析：由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得－1＋a i ＝b ＋i ，根据两复数相等的充要条件得a ＝1，b ＝－1.5.A 解析: 法一：因为1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2－a ＋(2a ＋1)i5为纯虚数，所以2－a ＝0，a ＝2.法二：因为1＋a i 2－i ＝i (a －i )2－i 为纯虚数，所以a ＝2. 6.A 解析：i 1＋2i ＝2＋i 5，所以实部为25. 7. A 解析：因为z 1＝z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝1或m ＝－2，所以m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件． 8.B 解析：依题意得z z －z －1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i.9.B 解析：由(1＋i)z ＝1＋a i 得z ＝＝，设在复平面内z 对应的点的坐标为(，)，则＝，＝.法一：易知－＝1，即复数z 对应的点在直线－＝1上，直线不经过第二象限，故复数z 对应的点不可能位于复平面内的第二象限．法二：若复数z 对应的点在第一象限，则只要 >1，若在第二象限，需要<0，且>0，即 <－1且 >1，无解，故复数z 对应的点不可能在第二象限．10.C 解析：∵ ＝|cos 2－sin 2|＝|cos 2|，且∈R ，∴ ∈[0,1],∴ ＝[0,1]． 在中，∈R 且|－1i|<2，∴ |＋i|<2，∴2＋1<2，解得－1<<1，∴＝(－1,1)．∴ ∩＝[0,1)． 二、填空题11.6-2i 解析：因为12i =+z ,所以1412i ⋅+=++-=z z z 6-2i.12 1 解析：由条件得OC u u u r ＝(3，－4)，OA u u u r ＝(－1,2)，OB uuu r＝(1，－1)，根据OC u u u r ＝λOA u u u r ＋μOB uuu r得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1.复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题.13.3 解析：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法．∵2－(2－3m)i ＜( 2－4＋3)i ＋10, 且虚数不能比较大小，∴22210,-3=0,-4+3=0,m m m m m ⎧<⎪⎨⎪⎩解得10,=0=3,=3=1,m m m m m ⎧<⎪⎨⎪⎩或或，∴ 3.当＝3时，原不等式成立． 14.4,5,3 解析：2,,,z z z z-=四个为虚数；22,,,,z z z z z z--⋅五个为实数；2,,z z z z z z z =--==⋅=三组相等.三、解答题15.解法一：设z ＝a ＋b i(a , b ∈R )，则i i z z +-=i ii i a b a b +---=(1)i (1)i a b a b +--+-2222(1)(1)a b a b +-+-解法二：∵ i z +=i +z=-i+z ，∴i i z z +- =-i i z z+-=-(i -)i z z -=1.16.解：由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－a 2x －1＝0，①10－x －2x 2＝0.②由②得x ＝2或x ＝－52，代入①，得a ＝11或a ＝－715. 17. 证明：设复数12z z ，在复平面上对应的点为1Z ，2Z ， 由条件知121222z z z z -==，所以以1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r为邻边的平行四边形为正方形，而12z z +在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线， 所以122z z +=．18.（1）解：设＝＋i （，）,.因为ω是实数，0≠b ,所以，即|z |＝1.因为ω＝2，－1<ω<2， 所以.所以的实部的取值范围（－1,21）. （2）证明：zzM +-=11＝.1 ) 1 (2 1 ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( 1 1 22 2 2 + -= + + - - - = - + + + - + - - = + + - - a b ib a b i b a b i a b i a b i a b i a b i a b i a 121< < - a 12 2= + b a) ( ) ( 1 2 2 2 2 iba bb b a a a b i a b i a + - + + + = + ++ = ω 0, ≠ ∈ b R（这里利用了（1）中122=+b a ） 因为 ∈（－1,21），0≠b ，所以M 为纯虚数. （3）解：2M -ω112)1(12)1(22222+--=+-+=++=a a a a a a a b a 3]11)1[(21212-+++=++-=a a a a . 因为∈（－1,21），所以＋1>0，所以2M -ω≥2×2－3＝1.当＋1＝11+a ，即＝0时上式取等号， 所以2M -ω的最小值是1. 19.证明：原方程化简为,设z ＝x ＋y i(x 、y )，代入上述方程得根据上式可得整理得051282=+-x x .方程无实数解.原方程在复数范围内无解.,∴ < - = ∆ 0 16R ∈。

高中数学人教新课标A版 选修2-2 第三章 数系的扩充与复数的引入

高中数学人教新课标A版 选修2-2 第三章 数系的扩充与复数的引入

高中数学人教新课标A版选修2-2 第三章数系的扩充与复数的引入一、单选题(共12题；共24分)1．（2分）若z̅(1+i)=1−i，则z=（）A．1–i B．1+i C．–i D．i2．（2分）（1–i）4=（）A．–4B．4C．–4i D．4i3．（2分）复数11−3i的虚部是（）A．−310B．−110C．110D．3104．（2分）2−i1+2i=（）A．1B．−1C．i D．−i 5．（2分）若z=1+2i+i3，则|z|=（）A．0B．1C．√2D．26．（2分）复数z=−2+ii(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．（2分）若z=1+i，则|z2–2z|=（）A．0B．1C．√2D．2 8．（2分）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i⋅z=（）．A．1+2i B．−2+i C．1−2i D．−2−i 9．（2分）已知a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数，则a＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2 10．（2分）下列命题中,正确的命题是（）A．若z、1z2∈C,z1−z2>0，则z1>z2B．若z∈R，则z⋅z̅=|z|2不成立C．z1,z2∈C,z1⋅z2=0，则z1=0或z2=0D．z1、z2∈C,z12+z22=0，则z1=0且z2=011．（2分）若复数z满足z(2−i)=18+11i，则|z̅−4i|=（）A．√13B．√15C．13D．1512．（2分）已知a是实数，a+i1−i是实数，则cosaπ3的值为（）A．12B．−12C．0D．√3 2二、多选题(共4题；共12分)13．（3分）设复数z满足z=−1−2i,i为虚数单位,则下列命题正确的是() A．|z|=√5B．复数z在复平面内对应的点在第四象限C．z的共轭复数为−1+2iD．复数z在复平面内对应的点在直线y=−2x上14．（3分）已知复数z满足z̅⋅z+2iz̅=3+ai，a∈R，则实数a的值可能是（）A．1B．-4C．0D．515．（3分）已知复数z=a+√3i在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|=2则下列结论正确的是（）．A．z3=8B．z的虚部为√3C．z的共轭复数为1+√3i D．z2=416．（3分）已知复数z=i1−2i，则以下说法正确的是（）A．复数z的虚部为i5B．z的共轭复数z̅=25−i5C．|z|=√55D．在复平面内与z对应的点在第二象限三、填空题(共4题；共4分)17．（1分）i是虚数单位，复数8−i2+i=．18．（1分）已知i是虚数单位，则复数z=(1+i)(2−i)的实部是.19．（1分）设复数z1，z2满足|z1|=|z2|=2，z1+z2=√3+i，则|z1−z2|=. 20．（1分）下列命题（i为虚数单位）中：①已知a,b∈R且a=b，则(a−b)+(a+b)i为纯虚数；②当z是非零实数时，|z+1z|≥2恒成立；③复数z=(1−i)3的实部和虚部都是－2；④如果|a+2i|<|−2+i|，则实数a的取值范围是−1<a<1；⑤复数z=1−i，则1z+z=32+12i；其中正确的命题的序号是.四、解答题(共6题；共60分)21．（5分）已知i虚数单位，z1=3−i1+i.（∈）求|z1|；（∈）若复数z2的虚部为2，且z1z2的虚部为0，求z2. 22．（10分）已知复数z满足(1+2i)z=4+3i（i是虚数单位）.求：（1）（5分）z（2）（5分）|z2−z̅|.23．（10分）已知复数z=1−i(i是虚数单位）.（1）（5分）求z2−z；（2）（5分）如图，复数z1，z2在复平面上的对应点分别是A，B，求z1+z2 z.24．（10分）已知复数z=(m2−3m+2)+(m−1)i(i为虚数单位).（1）（5分）若z是纯虚数，求实数m的值；（2）（5分）在复平面内，若z所对应的点在直线y=2x+1的上方，求实数m的取值范围. 25．（10分）设实部为正数的复数z，满足|z|=√10，且复数(2+i)z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上.（1）（5分）求复数z；（2）（5分）若z̅+m2(−1+i)+4mi(m∈R)为纯虚数，求实数m的值.26．（15分）已知复数z=3a+(3a−2)i，i为虚数单位，a∈R.（1）（5分）若z是实数，求实数a的值；（2）（5分）若|z|=√10，求实数a的值；（3）（5分）若z在复平面内对应的点位于第三象限，求实数a的取值范围.答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】因为z̅=1−i1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i2=−i，所以z=i.故答案为：D【分析】先利用除法运算求得z̅，再利用共轭复数的概念得到z即可. 2．【答案】A【解析】【解答】(1−i)4=[(1−i)2]2=(1−2i+i2)2=(−2i)2=−4. 故答案为：A.【分析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可. 3．【答案】D【解析】【解答】因为z=11−3i=1+3i(1−3i)(1+3i)=110+310i，所以复数z=11−3i的虚部为310.故答案为：D.【分析】利用复数的除法运算求出z即可. 4．【答案】D【解析】【解答】2−i1+2i=(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−5i5=−i故答案为：D【分析】根据复数除法法则进行计算.5．【答案】C【解析】【解答】因为z=1+2i+i3=1+2i−i=1+i，所以|z|=√12+12=√2．故答案为：C．【分析】先根据i2=−1将z化简，再根据向量的模的计算公式即可求出．6．【答案】A【解析】【解答】∵z=−2+ii=(−2+i)(−i)−i2=1+2i，∴复数z=−2+ii在复平面内对应的点的坐标为(1,2)，在第一象限，故答案为：A.【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求出z的值，根据复数的几何意义可得结果．7．【答案】D【解析】【解答】由题意可得：z2=(1+i)2=2i，则z2−2z=2i−2(1+i)=−2.故|z2−2z|=|−2|=2.故答案为：D.【分析】由题意首先求得z2−2z的值，然后计算其模即可.8．【答案】B【解析】【解答】由题意得z=1+2i，∴iz=i−2.故答案为：B.【分析】先根据复数几何意义得z，再根据复数乘法法则得结果.9．【答案】C【解析】【解答】解：a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数，可得a﹣2＝0，解得a＝2．故答案为：C．【分析】利用复数的虚部为0，求解即可．10．【答案】C【解析】【解答】A．当z1=2+i,z2=1+i时，z1−z2=1>0，此时z1,z2无法比较大小，故错误；B．当z=0时，z̅=z=0，所以z⋅z̅=|z|2=0，所以此时z⋅z̅=|z|2成立，故错误；C．根据复数乘法的运算法则可知：z1=0或z2=0，故正确；D．当z1=i,z2=1时，z12+z22=−1+1=0，此时z1≠0且z2≠0，故错误.故答案为：C.【分析】A．根据复数虚部相同，实部不同时，举例可判断结论是否正确；B．根据实数的共轭复数还是其本身判断z⋅z̅=|z|2是否成立；C．根据复数乘法的运算法则可知是否正确；D．考虑特殊情况：z1=i,z2=1，由此判断是否正确.11．【答案】C【解析】【解答】解：∵复数z满足z(2−i)=18+11iz=18+11i2−i=(18+11i)(2+i)(2−i)(2+i)=36+40i+11i25=5+8i∴z̅=5−8i，z̅−4i=5−8i−4i=5−12i ∴|z̅−4i|=|5−12i|=√52+(−12)2=13.故答案为：C.【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的概念以及模的计算公式即可得出.12．【答案】A【解析】【解答】解： ∵ a+i 1−i =(a+i)(1+i)(1−i)(1+i)=a−12+a+12i 是实数，∴a+12=0，即 a =−1 ．∴ cosaπ3=cos(−π3)=12． 故答案为：A ．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得 a 值，代入 cos aπ3 得答案． 13．【答案】A,C【解析】【解答】 |z|=√(−1)2+(−2)2=√5 ,A 符合题意;复数z 在复平面内对应的点的坐标为(−1,−2) ,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为 −1+2i ,C 符合题意;复数z 在复平面内对应的点 (−1,−2) 不在直线 y =−2x 上,D 不正确. 故答案为：AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.14．【答案】A,B,C【解析】【解答】设 z =x +yi ，∴x 2+y 2+2i(x −yi)=3+ai ， ∴{x 2+y 2+2y =3,2x =a,⇒y 2+2y +a 24−3=0 ，∴Δ=4−4(a 24−3)≥0 ，解得： −4≤a ≤4 ，∴实数 a 的值可能是 1,−4,0 . 故答案为：ABC.【分析】设 z =x +yi ，从而有 x 2+y 2+2i(x −yi)=3+ai ，利用消元法得到关于 y 的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.15．【答案】A,B【解析】【解答】解： ∵z =a +√3i ，且 |z|=2 ∴a 2+(√3)2=4 ， a =±1复数 z =a +√3i 在复平面内对应的点位于第二象限 ∴a =−1 A: (−1+√3i)3=(−1)3+3(−1)2√3i +3(−1)(√3i)2+(√3i)3=8 B: z =−1+√3i 的虚部是 √3C: z =−1+√3i 的共轭复数为 z =−1−√3iD: (−1+√3i)2=(−1)2+2(−1)√3i+(√3i)2=−2−2√3i故答案为：AB．【分析】利用复数|z|=2的模长运算及z=a+√3i在复平面内对应的点位于第二象限求出a，再验算每个选项得解.16．【答案】C,D【解析】【解答】∵z=i1−2i=i(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−25+15i，∴复数z的虚部为15，z的共轭复数z̅=−25−i5,|z|=√(−25)2+(15)2=√55，复平面内与z对应的点的坐标为(−25,15)，在第二象限.故答案为：CD.【分析】利用复数的乘除运算可得z=−25+15i，根据复数的概念可判断A；根据共轭复数的概念可判断B；根据复数的模可判断C；根据复数的几何意义可判断D. 17．【答案】3-2i【解析】【解答】8−i2+i=(8−i)(2−i)(2+i)(2−i)=15−10i5=3−2i.故答案为：3-2i.【分析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果.18．【答案】3【解析】【解答】∵复数z=(1+i)(2−i)∴z=2−i+2i−i2=3+i∴复数的实部为3.故答案为：3.【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.19．【答案】2√3【解析】【解答】∵|z1|=|z2|=2，可设z1=2cosθ+2sinθ⋅i，z2=2cosα+2sinα⋅i，∴z1+z2=2(cosθ+cosα)+2(sinθ+sinα)⋅i=√3+i，∴{2(cosθ+cosα)=√32(sinθ+sinα)=1，两式平方作和得：4(2+2cosθcosα+2sinθsinα)=4，化简得：cosθcosα+sinθsinα=−1 2∴|z1−z2|=|2(cosθ−cosα)+2(sinθ−sinα)⋅i|=√4(cosθ−cosα)2+4(sinθ−sinα)2=√8−8(cosθcosα+sinθsinα)=√8+4=2√3.故答案为：2√3.【分析】令z1=2cosθ+2sinθ⋅i，z2=2cosα+2sinα⋅i，根据复数的相等可求得cosθcosα+ sinθsinα=−12，代入复数模长的公式中即可得到结果.20．【答案】②③④【解析】【解答】对于①，a，b∈R且a=b，若a=b=0时，则(a−b)+(a+b)i不是纯虚数，①错误；对于②，当z是非零实数时，根据基本不等式的性质知|z+1z|⩾2恒成立，②正确；对于③，复数z=(1−i)3=−2−2i，∴z的实部和虚部都是−2，③正确；对于④，如果|a+2i|<|−2+i|，则a2+4<4+1，解得−1<a<1，所以实数a的取值范围是−1<a<1，④正确；对于⑤，复数z=1−i，则1z+z=11−i+(1−i)=32−12i，∴⑤错误．综上，正确的命题的序号是②③④．故答案为：②③④．【分析】①当a=b=0时，(a−b)+(a+b)i=0不是纯虚数；②根据基本不等式的性质知|z+1z|⩾2恒成立；③化简复数z，得z的实部和虚部都是-2；④根据模长公式得关于a的不等式，求解即可；⑤根据复数代数运算法则，化简计算即可．21．【答案】解：（∈）z1=3−i1+i=(3−i)(1−i)(1−i)(1+i)=2−4i2=1−2i，所以|z1|=√22+12=√5，（∈）设z2=a+2i(a∈R)，则z1z2=(2+i)(a+2i)=(2a−2)+(a+4)i，因为z1z2的虚部为0，所以，a+4=0，即a=−4.所以z2=−4+2i.【解析】【分析】（∈）利用复数的四则运算求出z1后可求其模.（∈）设z2=a+2i(a∈R)，利用复数的乘法计算出 z 1z 2 后再根据虚部为0求出 a ，从而可得 z 2 .22．【答案】（1）解：由题 z =4+3i 1+2i =(4+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=10−5i5=2−i .即 z =2−i （2）解：由(1) z =2−i ,故 z 2−z ̅=(2−i)2−(2+i)=1−5i ,故 |z 2−z̅|=√12+(−5)2=√26 .即 |z 2−z̅|=√26【解析】【分析】(1)易得 z =4+3i1+2i,再利用复数的除法运算即可.(2)由(1)分别求得 z 2,z ̅ 再计算 z 2−z̅ 求模长即可. 23．【答案】（1）解： ∵z =1−i ，∴z 2−z =(1−i)2−(1−i)=1−2i +i 2−1+i =−1−i（2）解： ∵z 1=2i ， z 2=2+i ，∴ z 1+z 2z =2i+2+i 1−i =2+3i 1−i =(2+3i)(1+i)(1−i)(1+i)=−12+52i【解析】【分析】（1）把 z =1−i 代入 z 2−z ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案；（2）由图形求得 z 1 ， z 2 ，代入 z 1+z2z，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.24．【答案】（1）解： ∵z 是纯虚数， ∴{m 2−3m +2=0m −1≠0， 解得 {m =1或m =2m ≠1， ∴ m =2（2）解：z 所对应的点是 (m 2−3m +2,m −1) ，∵ z 所对应的点在直线 y =2x +1 的上方，即 m −1>2(m 2−3m +2)+1 ， 化简得 2m 2−7m +6<0 ，即 (m −2)(2m −3)<0 ， ∴32<m <2 . 【解析】【分析】（1）由复数的分类求解；（2）写出对应点的坐标，点在直线 y =2x +1 上方，就是点的坐标适合不等式 y >2x +1 代入后不等式可得．25．【答案】（1）解：设 z =a +bi ， a,b ∈R ， a >0 .由题意： a 2+b 2=10 .①(2+i)(a +bi)=2a −b +(a +2b)i ， 得 2a −b +a +2b =0 ， 3a +b =0 ，②①②联立，解得 a =1 ， b =−3 得 z =1−3i .（2）解：由（1）可得z̅=1+3i所以z̅+m2(−1+i)+4mi=(−m2+1)+(m2+4m+3)i由题意可知{−m2+1=0m2+4m+3≠0解得m=±1且m≠−1且m≠−3所以m=1【解析】【分析】（1）设z=a+bi(a，b∈R且a>0)，由条件可得a2+b2=10①，a=−3b②．由①②联立的方程组得a、b的值，即可得到z的值；（2）根据实部为0，虚部不为0即可求解m．26．【答案】（1）解：由题意3a−2=0，a=2 3；（2）解：由已知|z|=√(3a)2+(3a−2)2=√10，解得a=1或a=−13．（3）解：复数z对应点坐标为(3a，3a−2)，它在第三象限，则{3a<03a−2<0，解得a< 0．∴a的范围是(−∞，0)．【解析】【分析】（1）根据复数的分类求解；（2）由复数模的运算计算；（3）写出对应点坐标，由点所在象限得出不等式，解之可得．。

高中数学(人教A版选修2-2)本章练测：第三章数系的扩充与复数的引入(含答案详解).docx

高中数学(人教A版选修2-2)本章练测：第三章数系的扩充与复数的引入(含答案详解).docx

m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3)z z －－z －1i ＋a i(其中i 是虚数单sin 2x |，x ∈R }，N ＝x ∈R }，则M ∩N 为4分，共16为虚数单位），则1－i ，z 3＝3－4i ，它A ，B ，C ，OC u u u r ＝λOA u u u rμ的值是________．(m 2－4m ＋3)i ＋10成14.如果i(,,0)z a b a b a =+∈≠R 且是虚数，则222,,,,,,,,z z z z z z z z z z ⋅中是虚数的有_______个，是实数的有 个，相等的有 组三、解答题（本大题共5个小题，共44分.） 15.（6分） 证明：i i zz+-＝1． 16．（6分）若x ∈R ，试确定a 是什么实数时，等式3x 2－a 2x －1＝(10－x －2x 2)i 成立．17.(10分) 已知复数12z z ，满足121z z ==，且12z z -=，求证：12z z +=．18．（10分）设z 是虚数，zz 1+=ω是实数，且－1<ω<2.(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围； (2)设z zM +-=11，求证：M 为纯虚数；（3）求2M -ω的最小值.19.（12分）证明：在复数范围内，方程|z |2+(1−i )z −(1+i )z =5−5i 2+i（i 为虚数单位）无解.第三章数系的扩充与复数的引入测试(人教实验A 版选修2-2)答题纸得分： 一、选择题二、填空题11． 12． 13. 14. 15. 三、解答题 16. 17. 18. 19.第三章数系的扩充与复数的引入测试(人教实验A 版选修2-2)答案一、选择题1. D 解析：由复数的有关概念逐个判定．对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时为纯虚数．在①中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误；在③中，若x ＝－1，也不是纯虚数，故③错误；a ＋i 3＝a －i ，b ＋i 2＝b －1，复数a －i 与实数b －1不能比较大小，故②错误；④正确．故应选D.2.A 解析： (1＋z )·z ＝z ＋z 2＝1＋i ＋(1＋i)2＝1＋i ＋2i ＝1＋3i.3.A 解析:由复数性质知：i 2＝－1，故i ＋i 2＋i 3＝i ＋(－1)＋(－i)＝－1.4.D 解析：由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得－1＋a i ＝b ＋i ，根据两复数相等的充要条件得a ＝1，b ＝－1.5.A 解析: 法一：因为1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2－a ＋(2a ＋1)i5为纯虚数，所以2－a ＝0，a ＝2. 法二：因为1＋a i 2－i ＝i (a －i )2－i 为纯虚数，所以a ＝2. 6.A 解析：i 1＋2i ＝2＋i 5，所以实部为25. 7. A 解析：因为z 1＝z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝1或m ＝－2，所以m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件． 8.B 解析：依题意得z z －z －1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i. 9.B 解析：由(1＋i)z ＝1＋a i 得z ＝(1+ai )(1−i)2＝1+a+(a−1)i2，设在复平面内z 对应的点的坐标为(x ，y )，则x ＝1+a 2，y ＝a−12.法一：易知x －y ＝1，即复数z 对应的点在直线x －y ＝1上，直线不经过第二象限，故复数z 对应的点不可能位于复平面内的第二象限．法二：若复数z 对应的点在第一象限，则只要a >1，若在第二象限，需要1+a 2<0，且a−12>0，即a <－1且a >1，无解，故复数z 对应的点不可能在第二象限．10.C 解析：∵ y ＝|cos 2x －sin 2x |＝|cos 2x |，且x ∈R ，∴ y ∈[0,1],∴ M ＝[0,1]．在N 中，x ∈R 且|x －1i|<2，∴ |x ＋i|<2，∴x 2＋1<2，解得－1<x <1，∴ N ＝(－1,1)．∴ M ∩N ＝[0,1)． 二、填空题11.6-2i 解析：因为12i =+z ,所以1412i ⋅+=++-=z z z 6-2i.12 1 解析：由条件得OC u u u r ＝(3，－4)，OA u u u r ＝(－1,2)，OB uuu r＝(1，－1)，根据OC u u u r ＝λOA u u u r ＋μOB uuu r得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1.复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题. 13.3 解析：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法．∵ m 2－(m 2－3m)i ＜(m 2－4 m ＋3)i ＋10, 且虚数不能比较大小，∴22210,-3=0,-4+3=0,m m m m m ⎧<⎪⎨⎪⎩解得=0=3,=3=1,m m m m m ⎧<⎪⎨⎪⎩或或，∴ m =3. 当m ＝3时，原不等式成立．14.4,5,3 解析：2,,,z z z z -=四个为虚数；22,,,,z z z z z z --⋅五个为实数；2,,z z z z z z z =--==⋅=三组相等. 三、解答题15.解法一：设z ＝a ＋bi(a, b ∈R )，则i i z z +-=i ii i a b a b +---=(1)i (1)i a b a b +--+-解法二：∵ i z +=i +z=-i+z ，∴i i z z +- =-i i z z+-=-(i -)i z z -=1. 16.解：由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－a 2x －1＝0，①10－x －2x 2＝0.②由②得x ＝2或x ＝－52，代入①，得a ＝11或a ＝－715. 17. 证明：设复数12z z ，在复平面上对应的点为1Z ，2Z ，由条件知1212z z -==，所以以1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r为邻边的平行四边形为正方形，而12z z +在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线，所以12z z +=．18.（1）解：设z ＝a ＋b i （a ，b ）,.因为ω是实数，0≠b ,所以，即|z |＝1.因为ω＝2 a ，－1<ω<2， 所以.所以z 的实部的取值范围（－1,21）. （2）证明：zzM +-=11＝.（这里利用了（1）中122=+b a ） 因为a ∈（－1,21），0≠b ，所以M 为纯虚数. （3）解：2M -ω112)1(12)1(22222+--=+-+=++=a a a a a a a b a 3]11)1[(21212-+++=++-=a a a a . 因为a ∈（－1,21），所以a ＋1>0，1 ) 1 (2 1 ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( 1 1 22 2 2 + -= + + - - - = - + + + - + - - = + + - - a b ib a b i b a b i a b i a b i a b i a b i a b i a 12 1< < - a 1 2 2= + b a) ( ) ( 1 2 2 2 2 i ba bb b a a a b i a b i a + - + + + = + ++ = ω 0 , ≠ ∈ b R所以2M -ω≥2×2－3＝1.当a ＋1＝11+a ，即a ＝0时上式取等号， 所以2M -ω的最小值是1.19.证明：原方程化简为|z |2+(1−i )z −(1+i )z =1−3i , 设z ＝x ＋y i(x 、y )，代入上述方程得x 2+y 2−2xi −2yi =1−3i. 根据上式可得{x 2+y 2=1，2x +2y =3，整理得051282=+-x x .方程无实数解.∴ 原方程在复数范围内无解.,∴ < - = ∆ 0 16R ∈。

【人教A版高二数学检测卷及答案解析 】选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入 章末综合检测

【人教A版高二数学检测卷及答案解析 】选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入 章末综合检测

1选修2-2第三章 章末综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．设i 是虚数单位，则复数i 3－2i ＝( )A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i 3．若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i ＝( ) A ．－2＋i B ．2＋i C ．1－2iD ．1＋2i4．已知i 为虚数单位，则复数i2－i的模等于( ) A. 5 B. 3 C.33D.555．复数⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2的共轭复数是( )A ．2－iB ．2＋iC ．3－4iD ．3＋4i6．已知i 为虚数单位，则1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7＝( )A ．0B ．2iC ．－2iD ．4i7.1－i （1＋i ）4＋1＋i（1－i ）4＝( )A ．－12B ．12C．12i D．－12i8．设复数z满足1＋z1－z＝i，则|z|＝()A．1 B. 2C. 3 D．29．复数z的共轭复数为z－，且(1＋2i)z－＝4＋3i，则z z－等于()A．5 B．10C．25 D. 510．已知复数z1＝2＋i，z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，且满足z－1·z2是实数，则z2等于()A．1－12i B．1＋12iC.12＋i D.12－i11．复数2＋i与复数13＋i在复平面内的对应点分别是A，B，则∠AOB＝()A.π6 B.π4C.π3 D.π212．已知复数z＝－3＋2i(i为虚数单位)是关于x的方程2x2＋px＋q＝0(p，q为实数)的一个根，则p＋q的值为()A．22 B．36C．38 D．42二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若(y2－3y)＋y i(y∈R)是纯虚数，则y＝________．14．如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则z2z1＝________．2315．若复平面上的平行四边形ABCD 中，AC →对应的复数为6＋8i ，BD →对应的复数为－4＋6i ，则DA→对应的复数为________．16．如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋1＋i|的最小值是________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i（2＋i ）2，求：(1)z 1z 2；(2)z 1z 2.18．(本小题满分12分)已知z ＝a －i1－i ，其中i 为虚数单位，a >0，复数ω＝z (z ＋i)的虚部减去它的实部所得的差等于32，求复数ω的模．19．(本小题满分12分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z －2|<|z 1|，求a 的取值范围．20．(本小题满分12分)设复数z ＝a 2＋a －2＋(a 2－7a ＋6)i ，其中a ∈R ，问当a 取何值时，(1)z ∈R ；(2)z 是纯虚数；(3) z －＝28＋4i ； (4)z 所对应的点在复平面的第四象限内．21．(本小题满分12分)设复数z1＝(a2－4sin2θ)＋(1＋2cos θ)i，a∈R，θ∈(0，π)，z2在复平面内对应的点在第一象限，且z22＝－3＋4i.(1)求z2及|z2|；(2)若z1＝z2，求θ与a的值．22．(本小题满分12分)已知复数z1＝i(1－i)3.(1)求|z1|；(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．45选修2-2第三章 章末综合检测答题卡成绩：一、选择题（本题满分42分） 二、填空题（本题满分16分）13 . 14.15.16.三、解答题（本题满分74分）班 姓名 座号 准考号密 封 装 订 线689选修2-2第三章 章末综合检测参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．解析：选 D.(2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，在复平面内对应的点为(3，－4)，位于第四象限．2．解析：选C.i 3－2i ＝－i －2ii 2＝－i ＋2i ＝i.3．解析：选B.因为(x －i)i ＝y ＋2i ， 所以x i ＋1＝y ＋2i. 所以⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1，所以x ＋y i ＝2＋i. 4．解析：选D.因为i 2－i ＝i （2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝i （2＋i ）5＝－15＋25i ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪i 2－i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－15＋25i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＋⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝55，故选D. 5．解析：选C.原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）2＝(2＋i)2＝3＋4i. 所以其共轭复数为3－4i. 6．解析：选A.因为i 2＝－1， 所以1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7＝1i －1i ＋1i －1i ＝0.7.10解析：选A.因为(1±i)2＝±2i ，所以1－i （1＋i ）4＋1＋i （1－i ）4＝1－i （2i ）2＋1＋i （－2i ）2＝1－i －4＋1＋i －4＝－12.8．解析：选A.由1＋z 1－z ＝i ，得z ＝－1＋i 1＋i＝（－1＋i ）（1－i ）2＝2i2＝i ，所以|z |＝|i|＝1，故选A.9．解析：选A. z －＝4＋3i 1＋2i ＝（4＋3i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝10－5i 5＝2－i.所以z ＝2＋i ，故z z －＝(2＋i)(2－i)＝5. 10．解析：选B.由z 1＝2＋i ，得z －1＝2－i ，由z 2在复平面内对应的点在直线x ＝1上，可设z 2＝1＋b i(b ∈R)，则z －1·z 2＝(2－i)·(1＋b i)＝2＋b ＋(2b －1)i.又z －1·z 2为实数，所以2b －1＝0，b ＝12.所以z 2＝1＋12i.11．解析：选B.因为13＋i ＝3－i 10＝310－110i ， 所以OB→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫310，－110，又OA →＝(2，1)， 所以cos ∠AOB ＝OA→·OB →|OA →||OB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫310，－110·（2，1）⎝ ⎛⎭⎪⎫3102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1102·22＋12＝22，所以∠AOB ＝π4. 12．11解析：选C.因为z ＝－3＋2i 是关于x 的方程2x 2＋px ＋q ＝0的一个根，所以有2(－3＋2i)2＋p (－3＋2i)＋q ＝0，即2(9－4－12i)－3p ＋2p i ＋q ＝0，得10－24i －3p ＋2p i ＋q ＝0，得10＋q －3p ＋(2p －24)i ＝0.由复数相等得⎩⎨⎧10＋q －3p ＝0，2p －24＝0，解得⎩⎨⎧p ＝12，q ＝26，所以p ＋q ＝38.二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．解析：因为(y 2－3y )＋y i(y ∈R)是纯虚数，所以⎩⎨⎧y 2－3y ＝0，y ≠0，解得y ＝3.答案：314．解析：由题图，知z 1＝－2－i ，z 2＝i ，则z 2z 1＝－i 2＋i ＝－i （2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝－2i －i 24－i 2＝－15－25i. 答案：－15－25i 15．解析：法一：由复数加、减法的几何意义，可得AB→＋AD →＝AC →，AD →－AB →＝BD →，两式相加，可得2AD→＝AC →＋BD →＝2＋14i ，所以DA →＝－1－7i. 法二：如图，把向量BD→平移到向量EA →的位置，12可得DA →＝12CE →＝－12(AC →＋BD →)＝－1－7i.答案：－1－7i16．解析：|z ＋i|＋|z －i|＝2，则复数z 在复平面内对应的点Z 在以(0，1)和(0，－1)为端点的线段上，|z ＋1＋i|表示点Z 到(－1，－1)的距离．由图可知最小值为1.答案：1三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)解：z 2＝15－5i （2＋i ）2＝15－5i 3＋4i ＝（15－5i ）（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝25－75i 25＝1－3i. (1)z 1z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.(2)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝（2－3i ）（1＋3i ）（1－3i ）（1＋3i ）＝11＋3i 10＝1110＋310i. 18．(本小题满分12分)解：将z ＝a －i 1－i，代入ω＝z (z ＋i)，得 ω＝a －i 1－i ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －i 1－i ＋i ＝（a －i ）（a ＋1）（1－i ）2 ＝（a －i ）（a ＋1）－2i ＝（1＋a i ）（a ＋1）2 ＝a ＋12＋a （a ＋1）2i ， 所以ω的实部为a ＋12，虚部为a （a ＋1）2，13由已知得a （a ＋1）2－a ＋12＝32， 解得a 2＝4，所以a ＝±2.又a >0，故a ＝2.|ω|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＋a （a ＋1）2i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋12＋2（2＋1）2i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32＋3i ＝325. 19．(本小题满分12分)解：因为z 1＝－1＋5i 1＋i＝2＋3i ， z 2＝a －2－i ，z －2＝a －2＋i ，所以|z 1－z －2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)|＝|4－a ＋2i|＝（4－a ）2＋4，又因为|z 1|＝13，|z 1－z －2|<|z 1|，所以（4－a ）2＋4<13，所以a 2－8a ＋7<0，解得1<a <7.所以a 的取值范围是(1，7)．20．(本小题满分12分)解：(1)z ∈R ，只需a 2－7a ＋6＝0，所以a ＝1或a ＝6.(2)z 是纯虚数，只需⎩⎨⎧a 2＋a －2＝0，a 2－7a ＋6≠0，所以a ＝－2.(3)因为z －＝28＋4i ，14所以⎩⎨⎧a 2＋a －2＝28，－（a 2－7a ＋6）＝4，所以a ＝5.(4)由题意知⎩⎨⎧a 2＋a －2>0，a 2－7a ＋6<0，所以⎩⎨⎧a >1或a <－2，1<a <6.故当1<a <6时，z 所对应的点在复平面的第四象限内．21．(本小题满分12分)解：(1)设z 2＝m ＋n i(m ，n ∈R)，则z 22＝(m ＋n i)2＝m 2－n 2＋2mn i ＝－3＋4i ，即⎩⎨⎧m 2－n 2＝－3，2mn ＝4，解得⎩⎨⎧m ＝1，n ＝2，或⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝－2， 所以z 2＝1＋2i ，或z 2＝－1－2i.又因为z 2在复平面内对应的点在第一象限，所以z 2＝－1－2i 应舍去，故z 2＝1＋2i ，|z 2|＝ 5.(2)由(1)知(a 2－4sin 2θ)＋(1＋2cos θ)i ＝1＋2i ，即⎩⎨⎧a 2－4sin 2θ＝1，1＋2cos θ＝2，解得cos θ＝12， 因为θ∈(0，π)，所以θ＝π3， 所以a 2＝1＋4sin 2θ＝1＋4×34＝4，a ＝±2. 综上，θ＝π3，a ＝±2. 22．(本小题满分12分)解：(1)|z1|＝|i(1－i)3|＝|2－2i|＝22＋（－2）2＝2 2.(2)如图所示，由|z|＝1可知，z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O(0，0)的圆，而z1对应着坐标系中的点Z1(2，－2)．所以|z－z1|的最大值可以看成是点Z1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知|z－z1|max＝|z1|＋r(r为圆的半径)＝22＋1.15。

高中数学人教A版选修2-2_第三章_数系的扩充与复数的引入_(有答案)

高中数学人教A版选修2-2_第三章_数系的扩充与复数的引入_(有答案)

高中数学人教A版选修2-2 第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2 复数的几何意义 (2)一、单选题1. 若，则复数在复平面内所对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是()A.一条直线B.两条直线C.圆D.椭圆3. 在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是()A. B. C. D.4. 已知复数的模为,则的最大值为：()A.1B.2C.D.3二、填空题若为非零实数，则下列四个命题都成立：①②③若，则④若，则．则对于任意非零复数，上述命题仍然成立的序号是．三、解答题已知复数，求的最大值和最小值.试卷第1页，总3页参考答案与试题解析高中数学人教A版选修2-2 第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2 复数的几何意义 (2)一、单选题1.【答案】B【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义勾股定理【解析】cosθ+sinθ=√2sin(θ+π4)×0【解答】因为θ∈(34π,54π)，所以sinθ−cosθ=√2sin(θ−π4 )>0因此复数(cosθ+sinθ)+(sinθ−cosθ)在复平面内所对应的点在第二象限故选：B．2.【答案】C【考点】复数的运算二次函数的应用函数的最值及其几何意义【解析】因为|z−i|=|3+4i，所以|z−i|=5,x2+(y−1)2=25因此复数？在复平面上对应点的轨迹是圆，选C．【解答】此题暂无解答3.【答案】B【考点】复数的代数表示法及其几何意义相等向量与相反向量单位向量【解析】复数3−√3i对应的向量按顺时针方向旋转π3，则旋转后的向量为(3−3i)[cos(−π3)+试卷第2页，总3页i sin(−π3)]=(3−√3i)(12−√32)=−2√3，故选B．【解答】此题暂无解答4.【答案】D【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义勾股定理【解析】因为|z−i|≤|z|+|=2+1=3，所以最大值为3，选D．【解答】此题暂无解答二、填空题【答案】②④【考点】数列的概念及简单表示法演绎推理的基本方法四种命题的定义【解析】对于ω：解方程a+1a =0得ai所以非零复数aⅰ使得a+1a=0，①不成立；②显然成立；对于③：在复数集C中，/1]=\l，则|a|=|b|a=±b，所以③不成立；④显然成立．则对于任意非零复数a,b，上述命题仍然成立的所有序号是②④【解答】此题暂无解答三、解答题【答案】最大值．，最小值、2．【考点】基本不等式基本不等式在最值问题中的应用三角函数的最值【解析】试题分析：先根据复数乘法法则，再根据复数的模的定义将|z1⋅z2|化为三角函数形式，最后根据三角函数有界性确定最值．试题解析：|z|z2|=|θcossin+(cosβ−sinβ−sin=√1+sinθcosθ2+(cosθ−sinθ)2=√2+sin2cos2θ=√2+12sin2θ故|z1⋅z2|的最大值为32，最小值为√2【解答】此题暂无解答试卷第3页，总3页。

人教版数学高二A版选修2-2练习 第三章 数系的扩充与复数的引入

人教版数学高二A版选修2-2练习 第三章 数系的扩充与复数的引入

章末综合检测（三）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 是虚数单位，则复数i 3－2i＝（ ）A.－iB.－3iC.iD.3i解析：选C.i 3－2i ＝－i －2ii2＝－i ＋2i ＝i.2.1＋2i （1－i ）2的虚部为（ ） A.－12i B.12iC.12D.－12解析：选C.1＋2i （1－i ）2＝1＋2i －2i ＝（1＋2i ）i 2＝－2＋i 2＝－1＋12i ，故其虚部为12. 3.若（x －i ）i ＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i ＝（ ） A.－2＋i B.2＋i C.1－2i D.1＋2i解析：选B.由（x －i ）i ＝y ＋2i 得x i ＋1＝y ＋2i ，故y ＝1，x ＝2，所以复数x ＋y i ＝2＋i.4.若复数z 满足z 1＋i＝2i ，则z 对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选B.因为z1＋i ＝2i ，所以z ＝2i （1＋i ）＝－2＋2i ，故选B.5.复数z ＝（2－i ）2i（i 为虚数单位），则|z |＝（ ）A.25B.41C.5D. 5解析：选C.z ＝（2－i ）2i ＝－4－3i ，所以|z |＝（－4）2＋（－3）2＝5.6.a 为正实数，i 为虚数单位，|a ＋ii|＝2，则a ＝（ ）A.2B. 3C. 2D.1解析：选B.a ＋i i ＝（a ＋i ）·（－i ）i ·（－i ）＝1－a i ，则|a ＋ii|＝|1－a i|＝a 2＋1＝2，所以a 2＝3.又a 为正实数，所以a ＝ 3.7.设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数.若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝（ ）A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i解析：选A.设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），则z ＝a －b i ，又z ·z i ＋2＝2z ，所以（a 2＋b 2）i ＋2＝2a ＋2b i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝2b ，2＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，故z ＝1＋i.8.如图，在复平面内，复数z 1和z 2对应的点分别是A 和B ，则z 2z 1＝（ ）A.15＋25iB.25＋15iC.－15－25iD.－25－15i解析：选C.由题图，知z 1＝－2－i ，z 2＝i ，则z 2z 1＝－i2＋i ＝－i （2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝－2i －i 24－i 2＝－15－25i.故选C.9.定义运算|a b c d |＝ad －bc ，则符合条件|1 －1z z i|＝4＋2i 的复数z 为（ ）A.3－iB.1＋3iC.3＋iD.1－3i解析：选 A.|1 －1z z i |＝z i ＋z ＝z （1＋i ）＝4＋2i ，所以z ＝4＋2i 1＋i＝（4＋2i ）（1－i ）2＝4＋2－2i2＝3－i. 10.在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 上的点，且AC →＝3 CB →，则点C 对应的复数是（ ）A.4iB.2＋4iC.72iD.1＋72i 解析：选C.两个复数对应的点分别为A （6，5），B （－2，3），设点C 的坐标为（x ，y ）（x ，y ∈R ），则由AC →＝3CB →，得AB →＝4CB →，即（－8，－2）＝4（－2－x ，3－y ），得⎩⎨⎧x ＝0y ＝72，故点C 对应的复数为72i ，故选C.11.已知复数z 1＝2＋i ，z 2在复平面内对应的点在直线x ＝1上，且满足z －1·z 2是实数，则z 2等于（ ）A.1－12iB.1＋12iC.12＋iD.12－i解析：选B.由z 1＝2＋i ，得z －1＝2－i ，由z 2在复平面内对应的点在直线x ＝1上，可设z 2＝1＋b i （b ∈R ），则z －1·z 2＝（2－i ）·（1＋b i ）＝2＋b ＋（2b －1）i.又z －1·z 2为实数，所以2b －1＝0，b ＝12.所以z 2＝1＋12i.12.在实数集R 中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个序，类似地，我们在复数集C 上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“≻”，定义如下：对于任意两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，（a 1，b 1，a 2，b 2∈R ，i 为虚数单位），“z 1≻z 2”当且仅当“a 1>a 2”或“a 1＝a 2且b 1>b 2”.给出下面命题：①1≻i ≻0；②若z 1≻z 2，z 2≻z 3，则z 1≻z 3；③若z 1≻z 2，则对于任意z ∈C ，z 1＋z ≻z 2＋z ；④对于复数z ≻0，若z 1≻z 2，则z ·z 1≻z ·z 2.其中真命题是（ ）A.①②④B.①②③C.②③D.①③④解析：选B.对命题①，1的实部是1，i 的实部是0，故①正确；对命题②，设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，z 3＝a 3＋b 3i ，由已知得a 1>a 2或a 1＝a 2且b 1>b 2，a 2>a 3或a 2＝a 3且b 2>b 3，显然有a 1≥a 3，若a 1>a 3，则z 1≻z 3，若a 1＝a 3，则a 1＝a 2＝a 3，b 1>b 2>b 3，也有z 1≻z 3，故②正确；对命题③，设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），由z 1≻z 2得a 1>a 2或a 1＝a 2且b 1>b 2，从而a 1＋a >a 2＋a 或a 1＋a ＝a 2＋a 且b 1＋b >b 2＋b ，所以z 1＋z ≻z 2＋z ，故③正确；对命题④，z 1＝1＋i ，z 2＝－2i ，z ＝2i ，则有z 1≻z 2，但z ·z 1＝－2＋2i ，z ·z 2＝4，显然有z ·z 2≻z ·z 1，故④错误. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.复数2＋i1＋i 的共轭复数是 .解析：2＋i 1＋i ＝（2＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝3－i 2＝32－12i ，其共轭复数为32＋12i.答案：32＋12i14.已知z 1＝m 2－3m ＋m 2i ，z 2＝4＋（5m ＋6）i ，其中m 为实数，i 为虚数单位，若z 1－z 2＝0，则m 的值为 .解析：因为z 1－z 2＝0，所以z 1＝z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝4，m 2＝5m ＋6，解得m ＝－1.答案：－115.若复数z ＝sin θ－35＋（cos θ－45）i 是纯虚数，则tan θ＝ .解析：因为z ＝sin θ－35＋（cos θ－45）i 是纯虚数，所以⎩⎨⎧sin θ－35＝0cos θ－45≠0，则⎩⎨⎧sin θ＝35cos θ≠45，所以cos θ＝－45，所以tan θ＝－34.答案：－3416.已知复数z ＝x ＋y i （x ，y ∈R ），且|z －2|＝3，则yx的最大值为 .解析：|z －2|＝（x －2）2＋y 2＝3，所以（x －2）2＋y 2＝3.如图所示，（y x ）max ＝31＝3.答案： 3三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i（2＋i ）2，求：（1）z 1z 2；（2）z 1z 2.解：因为z 2＝15－5i（2＋i ）2＝15－5i 3＋4i ＝（15－5i ）（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝25－75i25＝1－3i.（1）z 1z 2＝（2－3i ）（1－3i ）＝－7－9i.（2）z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝（2－3i ）（1＋3i ）（1－3i ）（1＋3i ）＝11＋3i 10＝1110＋310i.18.（本小题满分12分）已知复数z 1＝－2＋i ，z 1z 2＝－5＋5i （其中i 为虚数单位）， （1）求复数z 2；（2）若复数z 3＝（3－z 2）[（m 2－2m －3）＋（m －1）i]在复平面内所对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.解：（1）因为z 1z 2＝－5＋5i ， 所以z 2＝－5＋5i z 1＝－5＋5i －2＋i＝3－i.（2）z 3＝（3－z 2）[（m 2－2m －3）＋（m －1）i] ＝i[（m 2－2m －3）＋（m －1）i] ＝－（m －1）＋（m 2－2m －3）i ， 因为z 3在复平面内所对应的点在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧－（m －1）>0，m 2－2m －3<0，解得－1<m <1，故实数m 的取值范围是（－1，1）.19.（本小题满分12分）已知复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为A （－2，1），B （a ，3），a ∈R .（1）若|z 1－z 2|＝5，求a 的值；（2）若复数z ＝z 1·z －2对应的点在第二、四象限的角平分线上，求a 的值.解：由复数的几何意义可知z 1＝－2＋i ，z 2＝a ＋3i. （1）因为|z 1－z 2|＝5，所以|－2－a －2i|＝（－2－a ）2＋（－2）2＝5，即（a ＋1）（a ＋3）＝0，解得a ＝－1或a ＝－3.（2）复数z ＝z 1·z －2＝（－2＋i ）（a －3i ）＝（－2a ＋3）＋（a ＋6）i.由题意可知，点（－2a ＋3，a ＋6）在直线y ＝－x 上，所以a ＋6＝－（－2a ＋3），解得a ＝9.20.（本小题满分12分）已知z ＝a －i 1－i，其中i 为虚数单位，a >0，复数ω＝z （z ＋i ）的虚部减去它的实部所得的差等于32，求复数ω的模.解：因为z ＝a －i1－i ，代入ω＝z （z ＋i ），得ω＝a －i 1－i ⎝⎛⎭⎪⎫a －i 1－i ＋i ＝（a －i ）（a ＋1）（1－i ）2 ＝（a －i ）（a ＋1）－2i ＝（1＋a i ）（a ＋1）2＝a ＋12＋a （a ＋1）2i ， 所以ω的实部为a ＋12，虚部为a （a ＋1）2，由已知得a （a ＋1）2－a ＋12＝32，解得a 2＝4，所以a ＝±2. 又a >0，故a ＝2.|ω|＝|a ＋12＋a （a ＋1）2i|＝|2＋12＋2（2＋1）2i|＝|32＋3i|＝325. 21.（本小题满分12分）设z 为复数z 的共轭复数，满足|z －z －|＝2 3. （1）若z 为纯虚数，求z ；（2）若z －z －2为实数，求|z |.解：（1）设z ＝b i （b ∈R ），则z －＝－b i ，因为|z －z －|＝23，则|2b i|＝23， 即|b |＝3，所以b ＝±3，所以z ＝±3i.（2）设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），则z －＝a －b i ，因为|z －z －|＝23，则|2b i|＝23，即|b |＝3，z －z －2＝a ＋b i －（a －b i ）2＝a －a 2＋b 2＋（b ＋2ab ）i.因为z －z －2为实数，所以b ＋2ab ＝0，因为|b |＝3，所以a ＝－12，所以|z |＝ ⎝⎛⎭⎫－122＋（±3）2＝132. 22.（本小题满分12分）已知关于x 的方程x 2－（6＋i ）x ＋9＋a i ＝0（a ∈R ）有实数根b .（1）求实数a ，b 的值；（2）若复数z 满足|z －－a －b i|＝2|z |，求z 为何值时，|z |有最小值并求出最小值.解：（1）将b 代入题中方程x 2－（6＋i ）x ＋9＋a i ＝0， 整理得（b 2－6b ＋9）＋（a －b ）i ＝0.则b2－6b＋9＝0，且a－b＝0，解得a＝b＝3.（2）设z＝x＋y i（x，y∈R），则（x－3）2＋（y＋3）2＝4（x2＋y2），即（x＋1）2＋（y－1）2＝8.所以点Z在以（－1，1）为圆心，22为半径的圆上.画图可知，z＝1－i时，|z|min＝ 2.。

人教a版数学高二选修2-2习题_第三章_数系的扩充与复数的引入_章末复习课 有答案

人教a版数学高二选修2-2习题_第三章_数系的扩充与复数的引入_章末复习课 有答案

人教a版数学高二选修2-2习题_第三章_数系的扩充与复数的引入_章末复习课有答案1．复数代数形式为z＝a＋b i，a、b∈R，应用复数相等的条件时，必须先将复数化成代数形式．2．复数表示各类数的前提条件是必须是代数形式z＝a＋b i(a、b∈R)．z为纯虚数的条件为a＝0且b≠0，注意虚数与纯虚数的区别．3．不要死记硬背复数运算的法则，复数加减可类比合并同类项，乘法可类比多项式乘法，除法可类比分母有理化．4．a2≥0是在实数范围内的性质，在复数范围内z2≥0不一定成立，|z|2≠z2.5．复数与平面向量联系时，必须是以原点为始点的向量．6．不全为实数的两个复数不能比较大小．7．复平面的虚轴包括原点．专题一 复数的概念熟练掌握复数的代数形式、复数相等及复数表示各类数的条件是熟练解答复数问题的前提．已知复数z ＝m (m －1)＋(m 2＋2m －3)i ，当m 取何实数值时，复数z 是零、纯虚数、2＋5i?解：(1)由题意可得⎩⎨⎧m （m －1）＝0，m 2＋2m －3＝0，即⎩⎨⎧m ＝0或m ＝1，m ＝－3或m ＝1，所以m ＝1. 即当m ＝1时，复数z 为零．(2)由题意可得⎩⎨⎧m （m －1）＝0，m 2＋2m －3≠0，解得⎩⎨⎧m ＝0或m ＝1，m ≠－3且m ≠1，所以m ＝0，即m ＝0时，z 为纯虚数．(3)由题意可得⎩⎨⎧m （m －1）＝2，m 2＋2m －3＝5，解得⎩⎨⎧m ＝2或m ＝－1，m ＝－4或m ＝2，所以m ＝2，所以当m ＝2时，复数z 为2＋5i. 归纳升华当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论．分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数．当x ＋y i 没有说明x ，y ∈R 时，也要分情况讨论．设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．－12 D.12解析：1＋a i 2－i ＝（1＋a i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝2－a ＋（2a ＋1）i5为纯虚数，所以2－a ＝0，所以a ＝2.答案：A专题二 复数的四则运算复数的加减法是实部与实部、虚部与虚部分别相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分母有理化，要注意i 2＝－1.(1)计算：－23＋i 1＋23i ＋(21＋i )2 016＋（4－8i ）2＋（4i ＋8）211－7i；(2)已知z ＝1＋i ，化简z 2－3z ＋62z ＋1.解：(1)原式＝i （1＋23i ）1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 1 008＋（4－8i ＋8i －4）（4－8i ＋4－8i ）11－7i＝i ＋(－i)1 008＋0＝1＋i.(2)z 2－3z ＋62z ＋1＝（1＋i ）2－3（1＋i ）＋62（1－i ）＋i ＝3－i 2－i＝（3－i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝7＋i 5＝75＋15i.归纳升华复数代数形式的加、减、乘、除运算是本章的重点，在四则运算时，不要死记结论．对于复数代数形式的加、减、乘运算，要类比多项式的加、减、乘运算进行；对于复数代数形式的除法运算，要类比分式的分母有理化的方法进行．另外，在计算时也要注意下面结论的应用：(1)(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2； (2)(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2； (3)(1±i)2＝±2i ； (4)1i ＝－i ；(5)1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i ； (6)a ＋b i ＝i(b －a i)．计算：（i －2）（i －1）（1＋i ）（i －1）＋i ＋－3－2i 2－3i＝________．解析：因为（i －2）（i －1）（1＋i ）（i －1）＋i ＝（i －2）（i －1）i 2－1＋i ＝i －1， －3－2i 2－3i ＝（－3－2i ）（2＋3i ）（2－3i ）（2＋3i ）＝－13i 13＝－i ，所以（i －2）（i －1）（1＋i ）（i －1）＋i ＋－3－2i 2－3i ＝i －1＋(－i)＝－1.答案：－1专题三 复数相等的充要条件复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想的体现．设i 是虚数单位，_ z 是复数z 的共轭复数．若z ·_z i ＋2＝2z ，则z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：设z ＝a ＋b i ，则_ z ＝a －b i.由z ·_z i ＋2＝2z得(a ＋b i )·(a －b i)i ＋2＝(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ，所以⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2b ，2＝2a ，所以⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1.答案：A 归纳升华(1)对于两个复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，规定a ＋b i ＝c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c ，b ＝d .(2)根据复数相等的定义知，在a ＝c ，b ＝d 两式中，如果有一个不成立，那么a ＋b i ≠c ＋d i.关于x 的方程3x 2－a2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，则实数a 的值为________．解析：设方程的实数根为x ＝m ，则原方程可变为3m 2－a2m －1＝(10－m －2m 2)i ，所以⎩⎨⎧3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或a ＝－715.答案：11或－715专题四 数形结合思想复数的几何意义及复数加减运算的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．熟练掌握复平面内的点、以原点为起点的平面向量和复数三者之间的对应关系，就能有效地利用数形转换来解决实际问题．已知复数z 的模为1，求|z －1－2i|的最大值和最小值． 解： 因为复数z 的模为1，所以z 在复平面上的对应点在以原点为圆心，1为半径的圆上．而|z －1－2i|＝|z －(1＋2i)|可以看成圆上的点Z 到点A (1，2)的距离，如图所示． 所以|z －1－2i|min ＝|AB |＝|OA |－|OB |＝5－1， |z －1－2i|max ＝|AC |＝|OA |＋|OC |＝5＋1. 归纳升华(1)复数的几何意义主要体现在以下三个方面： ①复数z 与复平面内的点Z 及向量OZ →的一一对应关系； ②复数的加减运算与向量的加减运算的对应关系； ③复数z ＝z 0模的几何意义． (2)复数数形结合法的应用：①求复数问题转化为解析几何的求点问题； ②复数的加减运算与向量的加减运算的相互转化；③利用|z －z 0|判断复数所对应的点的轨迹及轨迹方程，也可以求|z |的最值． 设z ∈C，且满足下列条件，在复平面内，复数z 对应的点Z 的集合是什么图形？ (1)1＜|z |＜2； (2)|z －i|＝1； (3)|z －1|＝|z －1＋i|.解：(1)设z＝x＋y i(x，y∈R)，则|z|＝x2＋y2.由题意1＜x2＋y2＜2，即1＜x2＋y2＜4.所以复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，不包括边界．(2)根据模的几何意义，|z－i|＝1表示复数z对应的点到复数i对应的点(0，1)的距离为1.所以满足|z－i|＝1的点Z的集合为以(0，1)为圆心，以1为半径的圆．(3)根据模的几何意义，|z－1|表示复数z对应的点到复数1对应的点(1，0)的距离，|z－1＋i|表示复数z对应的点到复数1－i对应的点(1，－1)的距离．因为这两个距离相等，所以|z－1|＝|z－1＋i|以点(1，0)和(1，－1)为端点的线段的垂直平分线．。

[推荐学习]新版高中数学人教A版选修2-2习题：第三章数系的扩充与复数的引入检测A

[推荐学习]新版高中数学人教A版选修2-2习题：第三章数系的扩充与复数的引入检测A

[推荐学习]新版⾼中数学⼈教A版选修2-2习题：第三章数系的扩充与复数的引⼊检测A第三章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)⼀、选择题(本⼤题共10⼩题,每⼩题5分,共50分.在每⼩题给出的四个选项中,只有⼀项是符合题⽬要求的)1已知a,b∈R,则“a=b”是“(a-b)+(a+b)i为纯虚数”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析(a-b)+(a+b)i为纯虚数的充要条件是实数a,b满⾜-即a=b,且a≠-b,也就是a=b≠0.结合题意知充分性不成⽴,必要性成⽴,故选C.答案C2若(1+i)+(2-3i)=a+b i(a,b∈R,i是虚数单位),则a,b的值分别等于()A.3,-2B.3,2C.3,-3D.-1,4答案A3若a为实数,且=3+i,则a=()A.-4B.-3C.3D.4答案D4i是虚数单位,复数-等于() A.2+i B.2-iC.-2+iD.-2-i解析--------=2-i.答案B5设i是虚数单位,则复数i3-=()A.-iB.-3iC.iD.3i答案C6若z=1+i(i是虚数单位),则+z2等于()A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i解析∵z=1+i,∴+z2=+(1+i)2=(1-i)+(1+i)2=(1-i)+(1+2i-1)=1+i.故选D. 答案D7已知复数z=1-2i,则等于()A.iB.iC.iD.i解析---i.答案D8若O是原点,向量对应的复数分别为1-2i,-4+3i,则向量对应的复数是() A.-5+5i B.-5-5iC.5+5iD.5-5i解析对应的复数为1-2i-(-4+3i)=5-5i,故选D.答案D9已知复数z=(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则有()A.a≠0B.a≠2C.a≠0,且a≠2D.a≠-1解析若z为纯虚数,则----所以a=-1.⼜z不是纯虚数,所以a≠-1.故选D.答案D10已知i为虚数单位,a为实数,若复数z=(1-2i)(a+i)在复平⾯内对应的点为M,则“a>”是“点M在第四象限”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析z=(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i,所以复数z在复平⾯内对应的点M的坐标为(a+2,1-2a).所以点M在第四象限的充要条件是a+2>0,且1-2a<0,解得a>,故选C.答案C⼆、填空题(本⼤题共5⼩题,每⼩题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11已知a,b∈R,且a-1+2a i=4+b i,则b=.解析由题意,得-解得答案1012若复数z1=4+29i,z2=6+9i,其中i是虚数单位,则复数(z1-z2)i的实部为.解析因为z1-z2=(4+29i)-(6+9i)=-2+20i,所以(z1-z2)i=-20-2i,其实部为-20.答案-2013已知z∈C,且(1-i)z=2i(i是虚数单位),则z=,|z|=.解析由题意,得z=--=-1+i.所以|z|=-.答案-1+i14若复数z满⾜z(1+i)=1-i(i是虚数单位),则其共轭复数=.解析设z=a+b i(a,b∈R),则(a+b i)(1+i)=1-i,即a-b+(a+b)i=1-i,则--解得-所以z=-i.所以=i.答案i15对于任意两个复数z1=x1+y1i,z2=x2+y2i(x1,x2,y1,y2∈R),定义运算“☉”为z1☉z2=x1x2+y1y2.设⾮零复数ω1,ω2在复平⾯内对应的点分别为P1,P2,点O为坐标原点,若ω1☉ω2=0,则在△P1OP2中,∠P1OP2的⼤⼩为.解析设⾮零复数ω1=a1+b1i,ω2=a2+b2i(a1,a2,b1,b2∈R,且≠0,≠0),则得点P1(a1,b1),P2(a2,b2).由题意知P1,P2不为原点,且由ω1☉ω2=0,得a1a2+b1b2=0.由两条直线垂直的充要条件,知直线OP1,OP2垂直.所以OP1⊥OP2,即∠P1OP2=90°.答案90°三、解答题(本⼤题共5⼩题,共45分.解答时应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)已知复数z=(2+i)m2---2(1-i).求实数m取什么值时,复数z是:(1)零;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)复平⾯内第⼆、四象限平分线上的点对应的复数?分析先把复数z化简整理为a+b i(a,b∈R)的形式,再根据复数的分类及其⼏何意义求解即可.解因为m∈R,所以复数z=(2+i)m2-3m(1+i)-2(1-i)=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i.(1)当---即m=2时,z为零.(2)当m2-3m+2≠0,即m≠2,且m≠1时,z为虚数.(3)当---即m=-时,z为纯虚数.(4)当2m2-3m-2=-(m2-3m+2),即m=0或m=2时,z是复平⾯内第⼆、四象限平分线上的点对应的复数.17(8分)设f(z)=z-2i+|z|,若z1=3+4i,z2=-2-i,求f(z1-z2).解∵z1-z2=3+4i-(-2-i)=5+5i,⼜f(z)=z-2i+|z|,∴f(z1-z2)=f(5+5i)=5+5i-2i+5=5+5+3i.18(9分)设z1,z2互为共轭复数,且(z1+z2)2+5z1z2i=8+15i,求z1,z2.解设z1=x+y i(x,y∈R),则z2=x-y i.将z1,z2代⼊(z1+z2)2+5z1z2i=8+15i,得[(x+y i)+(x-y i)]2+5(x+y i)(x-y i)i=8+15i,即4x2+5(x2+y2)i=8+15i.利⽤复数相等的充要条件,有解得或-或-或--故所求复数z1,z2为-或-或---或---19(10分)复数z满⾜|z+3-i|=,求|z|的最⼤值和最⼩值.解|z+3-i|=,表⽰以-3+i对应的点P为圆⼼,以为半径的圆.如图所⽰,则|OP|=|-3+|=2.显然|z|max=|OA|=|OP|+=3,|z|min=|OB|=|OP|-.20(10分)已知复数z1=cos α+isin α,z2=cos β-isin β,且z1+i,求复数z1,z2的值.分析解答本题的关键是利⽤复数相等的充要条件,将复数问题实数化,即从z1+i出发,建⽴关于α,β的正弦、余弦的⽅程组,再结合三⾓函数的知识求解.解由z1+i,得i,cos α+isin α+-∴cos α+isin α+cos β+isin β=i,即(cos α+cos β)+i(sin α+sin β)=i.∴-∴-∴cos2α+sin2α=--=1,整理,得cos β=1-sin β,代⼊sin 2β+cos 2β=1,可解得sin β=0或sin β=.当sin β=0时,cos β=1,cos α=-,sin α=.当sin β=时,cos β=-,cos α=1,sin α=0.∴z1=-i,z2=1或z1=1,z2=-i.。

高中数学人教A版选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入章末综合检测 (5)

高中数学人教A版选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入章末综合检测 (5)

第三章 数系的扩充与复数的引入综合检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数z 是实数的充分而不必要条件为( )A ．|z |＝zB ．z ＝zC ．z 2是实数D ．z ＋z 是实数[答案] A[解析] 由|z |＝z 可知z 必为实数，但由z 为实数不一定得出|z |＝z ，如z ＝－2，此时|z |≠z ，故|z |＝z 是z 为实数的充分不必要条件，故选A.2．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z 1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H[答案] D[解析] 由图可知z ＝3＋i ，∴z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(1－i )(3＋i )(1－i )(1＋i )＝4－2i 2＝2－i ，对应复平面内的点H ，故选D. 3．化简2＋4i (1＋i)2的结果是( ) A ．2＋i B ．－2＋iC ．2－iD ．－2－i[答案] C[解析] 2＋4i (1＋i)2＝2＋4i 2i ＝2－i. 4．在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1＋2i 、－2＋i 、0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为( )A ．3＋iB ．3－iC ．1－3iD ．－1＋3i[答案] D[解析] 在复平面内通过这四个点易知第四个顶点对应的复数为－1＋3i.5．已知复数z ＝3＋i (1－3i)2，则|z |＝( ) A.14 B.12C ．1D ．2[答案] B[解析] 由题知：z ＝3＋i (1－3i )2＝3＋i －2－23i ＝(3＋i )(－2＋23)(－2－23i )(－2＋23i )＝－34＋14i ，可得|z |＝(－34)2＋(14)2＝12，故选B. 6．当z ＝－1－i 2时，z 100＋z 50＋1的值是( ) A ．1 B ．－1C ．iD ．－i[答案] D [解析] 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－i 2100＋⎝⎛⎭⎪⎫－1－i 250＋1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 2250＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 2225＋1 ＝(－i)50＋(－i)25＋1＝－i.故应选D.7．复数(1＋b i)(2＋i)是纯虚数，则实数b ＝( )A ．2 B.12C ．－12D ．－2 [答案] A[解析] (1＋b i)(2＋i)＝(2－b )＋(2b ＋1)i 是纯虚数，∴⎩⎨⎧2－b ＝02b ＋1≠0，∴b ＝2.8．复数z ＝－1＋i 1＋i－1，在复平面内z 所对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] B[解析] z ＝(－1＋i)i (1＋i)i －1＝(－1＋i)i －1＋i－1＝－1＋i. 9．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( ) A.34 B.43C ．－43D ．－34[答案] A[解析] z 1·z －2＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i.因为z 1·z 2是实数，所以4t－3＝0，所以t ＝34.因此选A. 10．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2z z －1＝( ) A ．2i B ．－2iC ．2D ．－2[答案] B[解析] ∵z ＝1－i ，∴z 2－2z z －1＝－2i －2＋2i 1－i －1＝－2－i＝－2i ，故选B. 11．若z ＝cos θ＋isin θ(i 为虚数单位)，则使z 2＝－1的θ值可能是( ) A.π6 B.π4C.π3D.π2[答案] D[解析] 解法1：将选项代入验证即可．验证时，从最特殊的角开始． 解法2：z 2＝(cos θ＋isin θ)2＝(cos 2θ－sin 2θ)＋2isin θcos θ＝cos2θ＋isin2θ＝－1，∴⎩⎨⎧ sin2θ＝0cos2θ＝－1，∴2θ＝2k π＋π(k ∈Z)， ∴θ＝k π＋π2(k ∈Z)，令k ＝0知选D. 12．设复数z ＝lg(m 2－1)＋1－m i ，z 在复平面内的对应点( )A ．一定不在一、二象限B ．一定不在二、三象限C ．一定不在三、四象限D ．一定不在二、三、四象限[答案] C[解析] ∵⎩⎨⎧m 2－1>01－m ≥0，∴m ＜－1，此时lg(m 2－1)可正、可负，1－m ＞2，故选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．已知x ＋1x ＝－1，则x 2006＋1x 2006的值为________． [答案] －1[解析] ∵x ＋1x ＝－1，∴x 2＋x ＋1＝0.∴x ＝－12±32i ，∴x 3＝1. 2006＝3×668＋2，x 2006＝x 3×668＋2＝x 2，∴x 2006＋1x 2006＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2＝(－1)2－2 ＝－1.14．若x 、y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，则|x |＋|y |＝________.[答案] 2 2[解析] ∵x 、y 为共轭复数，∴x ＋y 、xy ∈R由复数相等的条件有：⎩⎨⎧ (x ＋y )2＝4－3xy ＝－6设x ＝a ＋b i(a 、b ∈R)，则y ＝a －b i ，∴⎩⎨⎧ (2a )2＝4a 2＋b 2＝2，∴|x |＋|y |＝2a 2＋b 2＝2 2. 15．若(3－10i)y ＋(－2＋i)x ＝1－9i ，则实数x 、y 的值分别为________．[答案] x ＝1，y ＝1[解析] 原式可以化为(3y －2x )＋(x －10y )i ＝1－9i ，根据复数相等的充要条件，有⎩⎨⎧ 3y －2x ＝1，x －10y ＝－9.解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1.16．下列命题中，错误命题的序号是____________．①两个复数不能比较大小；②z 1，z 2，z 3∈C ，若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 3；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1；④z 是虚数的一个充要条件是z ＋z ∈R ；⑤若a ，b 是两个相等的实数，则(a －b )＋(a ＋b )i 是纯虚数；⑥复数z ∈R 的一个充要条件是z ＝z ；⑦在复数集内，－1的平方根是±i ；⑧z 21＋z 22＝0⇔z 1＝z 2＝0.[答案] ①②③④⑤⑧[解析] ①错误，两个复数如果都是实数，则可比较大小；②错误，当z 1，z 2，z 3不全是实数时不成立，如z 1＝i ，z 2＝1＋i ，z 3＝1时满足条件，但z 1≠z 3；③错误，当x ＝－1时，虚部也为零，是实数；④错误，此条件是必要非充分条件；⑤错误，当a ＝b ＝0时，是实数；⑥是正确的；⑦是正确的；⑧错误，如z 1＝i ，z 2＝1满足i 2＋12＝0，但z 1≠0，z 2≠0.三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)复平面内有A 、B 、C 三点，点A 对应复数是3＋i ，向量AC→对应复数是－2－4i ，向量BC →表示的复数是－4－i ，求B 点对应复数． [解析] ∵CA→表示的复数是2＋4i ， CB→表示的复数是4＋i ， ∴AB→表示的复数为(4＋i)－(2＋4i)＝2－3i ， 故OB→＝OA →＋AB →对应的复数为 (3＋i)＋(2－3i)＝5－2i ，∴B 点对应的复数为z B ＝5－2i.18．(本题满分12分)已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z 及z z . [解析] 设z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i(a ，b ∈R)∴(1＋2i)(a －b i)＝4＋3i∴(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i∴⎩⎨⎧a ＋2b ＝42a －b ＝3，∴a ＝2，b ＝1，∴z ＝2＋i ， ∴z ＝2－i ，∴z z ＝2＋i 2－i＝(2＋i)25＝35＋45i. 19．(本题满分12分)虚数z 满足|z |＝1，z 2＋2z ＋1z ＜0，求z .[解析] 设z ＝x ＋y i (x 、y ∈R ，y ≠0)，∴x 2＋y 2＝1.则z 2＋2z ＋1z ＝(x ＋y i)2＋2(x ＋y i)＋1x ＋y i＝(x 2－y 2＋3x )＋y (2x ＋1)i.∵y ≠0，z 2＋2z ＋1z <0，∴⎩⎨⎧2x ＋1＝0， ①x 2－y 2＋3x ＜0， ②又x 2＋y 2＝1. ③ 由①②③得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i. 20．(本题满分12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部为2.(1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．[解析] (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，由已知条件得：a 2＋b 2＝2，z 2＝a 2－b2＋2ab i ，所以2ab ＝2.所以a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，即z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝(1＋i)2＝2i ，z －z 2＝1－i.所以点A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝12|AC |×1＝12×2×1＝1. 当z ＝－1－i 时，z 2＝(－1－i)2＝2i ，z －z 2＝－1－3i.所以点A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝12|AC |×1＝12×2×1＝1.即△ABC 的面积为1.21．(本题满分12分)已知复数z 1，z 2满足条件|z 1|＝2，|z 2|＝3，且3z 1＋2z 2＝6，求复数z 1和z 2.[解析] 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝9，由3z 1＋2z 2＝6，得(3a ＋2c )＋(3b ＋2d )i ＝6，由复数相等得⎩⎨⎧3a ＋2c ＝6，3b ＋2d ＝0. 解方程组⎩⎨⎧ a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝9，3a ＋2c ＝6，3b ＋2d ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3，c ＝32，d ＝－332，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－3，c ＝32，d ＝332.所以⎩⎪⎨⎪⎧ z 1＝1＋3i ，z 2＝32－323i ，或⎩⎪⎨⎪⎧ z 1＝1－3i ，z 2＝32＋323i. 22．(本题满分14分)已知复数z ＝(2x ＋a )＋(2－x ＋a )i ，x ，a ∈R ，且a 为常数，试求|z |的最小值g (a )的表达式．[解析] |z |2＝(2x ＋a )2＋(2－x ＋a )2＝22x ＋2－2x ＋2a (2x ＋2－x )＋2a 2.令t ＝2x ＋2－x ，则t ≥2，且22x ＋2－2x ＝t 2－2.从而|z |2＝t 2＋2at ＋2a 2－2＝(t ＋a )2＋a 2－2，当－a ≥2，即a ≤－2时，g (a )＝a 2－2；当－a <2，即a >－2时，g (a )＝(a ＋2)2＋a 2－2＝2|a ＋1|.综上可知，g (a )＝⎩⎨⎧ a 2－2 (a ≤－2)，2|a ＋1| (a >－2).。

高中数学人教a版选修2-2(课时训练)：3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.1 word版含答案

高中数学人教a版选修2-2(课时训练)：3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.1 word版含答案

3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念[学习目标]1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．[知识链接]为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内也有很多问题不能解决，如从解方程的角度看，x2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x2＝－1在实数系中无根的问题呢？答设想引入新数i，使i是方程x2＝－1的根，即i·i＝－1，方程x2＝－1有解，同时得到一些新数．[预习导引]1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋b i的数叫做复数，其中a，b∈R，i叫做虚数单位．a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．(2)复数的表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i.(3)复数集定义：全体复数所构成的集合叫做复数集．通常用大写字母C表示．2．复数的分类及包含关系(1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)(2)集合表示：3．复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .要点一 复数的概念例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． ①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数．规律方法 复数a ＋b i 中，实数a 和b 分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫做复数的虚部． 跟踪演练1 已知下列命题： ①复数a ＋b i 不是实数； ②当z ∈C 时，z 2≥0；③若(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±2； ④若复数z ＝a ＋b i ，则当且仅当b ≠0时，z 为虚数； ⑤若a 、b 、c 、d ∈C 时，有a ＋b i ＝c ＋d i ，则a ＝c 且b ＝d . 其中真命题的个数是________． 答案 0解析 根据复数的有关概念判断命题的真假．①是假命题，因为当a ∈R 且b ＝0时，a ＋b i 是实数．②是假命题，如当z ＝i 时，则z 2＝－1<0，③是假命题，因为由纯虚数的条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2≠0，解得x ＝2，当x ＝－2时，对应复数为实数．④是假命题，因为没有强调a ，b ∈R .⑤是假命题，只有当a 、b 、c 、d ∈R 时，结论才成立． 要点二 复数的分类例2 实数m 为何值时，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 解 (1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m (m ＋2)m －1有意义即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m (m ＋2)m －1有意义即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 是纯虚数，m 需满足m (m ＋2)m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0， 解得m ＝0或m ＝－2.规律方法 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．跟踪演练2 实数k 为何值时，复数(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．解 由z ＝(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i. (1)当k 2－5k －6＝0时，z ∈R ，即k ＝6或k ＝－1. (2)当k 2－5k －6≠0时，z 是虚数，即k ≠6且k ≠－1.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0k 2－5k －6≠0时，z 是纯虚数，解得k ＝4.(4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0k 2－5k －6＝0时，z ＝0，解得k ＝－1.要点三 两个复数相等例3 (1)已知x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，求实数x 、y 的值．(2)关于x 的方程3x 2－a2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值．解 (1)∵x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 2＝0，2xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.(2)设方程的实数根为x ＝m ，则原方程可变为 3m 2－a2m －1＝(10－m －2m 2)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或a ＝－715.规律方法 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．跟踪演练3 已知x ，y 均是实数，且满足(x ＋y )＋(y －1)i ＝2x ＋3y ＋(2y ＋1)i ，求x 与y . 解 由复数相等的充要条件得x ＋y ＝2x ＋3y 且y －1＝2y ＋1，解得x ＝4，y ＝－2.1．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是( ) A.2，1 B ．2，5 C ．±2，5 D ．±2，1答案 C解析 令⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2－2＋b ＝3，得a ＝±2，b ＝5.2．下列复数中，满足方程x 2＋2＝0的是( ) A ．±1 B ．±i C ．±2i D ．±2i答案 C3．下列命题正确的是( ) A ．若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数 B ．若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋iC ．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1D ．两个虚数不能比较大小 答案 D解析 对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )， 当a ＝0且b ≠0时为纯虚数．在A 中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故A 错误； 在B 中，两个虚数不能比较大小，故B 错误； 在C 中，若x ＝－1，不成立，故C 错误；D 正确． 4．在下列几个命题中，正确命题的个数为( ) ①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等； ②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等； ③1－a i(a ∈R )是一个复数； ④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i ； ⑥i 是方程x 4－1＝0的一个根； ⑦2i 是一个无理数． A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个答案 B解析 命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．1．对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，可以限制a ，b 的值得到复数z 的不同情况．2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的条件进行判断.一、基础达标1．如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－1或1答案 B解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m (m ＋1)＝0m 2－1≠0，∴m ＝0.2．(2013·青岛二中期中)设a ，b ∈R .“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 因为a ，b ∈R .“a ＝0”时“复数a ＋b i 不一定是纯虚数”．“复数a ＋b i 是纯虚数”则“a ＝0”一定成立．所以a ，b ∈R .“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要而不充分条件．3．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( ) A ．2－2i B ．－5＋5i C ．2＋i D ．5＋5i答案 A解析 设所求新复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由题意知：复数－5＋2i 的虚部为2；复数5i ＋2i 2＝5i ＋2×(－1)＝－2＋5i 的实部为－2，则所求的z ＝2－2i.故选A. 4．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的值为( )A.12 B ．2 C ．0 D ．1答案 D解析 由复数相等的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，x －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴x ＋y ＝0.∴2x ＋y ＝20＝1.5．z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝________，n ＝________. 答案 2 ±2解析 由z 1＝z 2得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝n 2－3m －1－4＝n 2－m －6， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝±2.6．(2013·上海)设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________. 答案 －2解析 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＝0m 2－1≠0⇒m ＝－2.7．已知(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，求实数x ，y 的值． 解 ∵(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，y －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2.所以实数x ，y 的值分别为12，2.二、能力提升8．若(x 3－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．－1或－2答案 A解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 3－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0.解得x ＝1.9．若sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( ) A ．2k π－π4(k ∈Z )B ．2k π＋π4(k ∈Z )C ．2k π±π4(k ∈Z )D ．k 2π＋π4(k ∈Z )答案 B解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ－1＝02cos θ＋1≠0，解得⎩⎨⎧θ＝k π＋π4θ≠2k π±3π4(k ∈Z )，∴θ＝2k π＋π4，k ∈Z .10．在给出下列几个命题中，正确命题的个数为________． ①若x 是实数，则x 可能不是复数； ②若z 是虚数，则z 不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根． 答案 1解析 因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i ，故④错．11．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0m ＋3≠0，解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0. 故若使z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0，解得m ≠6且m ≠－3，所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数． (3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0.故若使z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0m ＋3≠0m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1.所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数．12．设z 1＝m 2＋1＋(m 2＋m －2)i ，z 2＝4m ＋2＋(m 2－5m ＋4)i ，若z 1<z 2，求实数m 的取值范围．解 由于z 1<z 2，m ∈R ，∴z 1∈R 且z 2∈R ， 当z 1∈R 时，m 2＋m －2＝0，m ＝1或m ＝－2. 当z 2∈R 时，m 2－5m ＋4＝0，m ＝1或m ＝4， ∴当m ＝1时，z 1＝2，z 2＝6，满足z 1<z 2. ∴z 1<z 2时，实数m 的取值为m ＝1. 三、探究与创新13．如果log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，如何求自然数m ，n 的值？解 因为log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，所以log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i 是实数，从而有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0， ①log 12(m ＋n )>－1， ② 由①得m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，代入②得n <2，又m ＋n >0，所以n ＝1； 当m ＝3时，代入②得n <－1，与n 是自然数矛盾， 综上可得m ＝0，n ＝1。

数学教案 人教a版选修2_2 同步练习-第3章数系的扩充与复数的引入

数学教案 人教a版选修2_2 同步练习-第3章数系的扩充与复数的引入

数系的扩充和复数的概念[A 组 学业达标]1．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2iD.2＋2i解析：3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，故选A. 答案：A2．用C ，R 和I 分别表示复数集、实数集和虚数集，那么有( ) A ．C ＝R∩I B ．R∩I＝{0} C ．R ＝C∩ID ．R∩I＝∅解析：由复数的概念可知R ⊂C ，I ⊂C ，R∩I＝∅.选D. 答案：D3．若复数z ＝(x 2－1)2＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．－1或1解析：因为z 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－12＝0，x －1≠0，解得x ＝－1.答案：A4．复数z ＝(a ＋1)＋(a 2－3)i ，若z ＜0，则实数a 的值是( ) A. 3 B ．－ 3 C ．－1D ．1解析：由题意得a 2－3＝0，解得a ＝±3，而a ＋1＜0，故a ＝－ 3. 答案：B5．若复数z ＝a 2－3＋2ai 的实部与虚部互为相反数，则实数a 的值为________． 解析：由条件知a 2－3＋2a ＝0，所以a ＝1或a ＝－3. 答案：1或－36．设复数z ＝1m ＋5＋(m 2＋2m －15)i 为实数，则实数m 的值是________．解析：依题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －15＝0，m ＋5≠0，解得m ＝3.答案：37．x ，y 为实数，如果x －1＋yi 与i －3x 为相等复数，则x ＋y ＝________.解析：由复数相等可知，⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3x ，y ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝1，所以x ＋y ＝54.答案：548．已知m ∈R ，复数z ＝mm ＋2m －1＋(m 2＋2m －1)i ，当m 为何值时：(1)z ∈R ；(2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数．解析：(1)因为z ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －1＝0，m －1≠0，解得m ＝－1± 2.(2)因为z 是虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －1≠0，m －1≠0，解得m≠－1＋2，m≠－1－2且m≠1.(3)因为z 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m m ＋2m －1＝0，m －1≠0，m 2＋2m －1≠0，解得m ＝0或m ＝－2.9．已知A ＝{1,2，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1,3}，A∩B＝{3}，求实数a 的值． 解析：由题意知，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3(a ∈R)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1，所以a ＝－1.[B 组 能力提升]10．已知复数z ＝cos α＋icos 2α(0＜α＜2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π，2π3，4π3B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫π3，5π3C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π，π6，11π6 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π3，π，5π3 解析：由条件知，cos α＋cos 2α＝0，所以2cos 2α＋cos α－1＝0，所以cos α＝－1或12.因为0＜α＜2π，所以α＝π，π3或5π3.故选D. 答案：D11．复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m，λ，θ∈R)，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( ) A ．[－1,1]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤916，1解析：因为z 1＝z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，所以4sin 2θ＝λ＋3sin θ，所以λ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916，因为－1≤sin θ≤1，所以当sin θ＝38时，λ取得最小值－916；当sin θ＝－1时，λ取得最大值7. 所以－916≤λ≤7，即λ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7.故选C. 答案：C12．已知z 1＝(－4a ＋1)＋(2a 2＋3a)i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a)i ，其中a ∈R.若z 1＞z 2，则a 的取值集合为________． 解析：因为z 1＞z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1＞2a ，所以a ＝0，故所求a 的取值集合为{0}．答案：{0}13．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＋i ＝y ＋3－y i ，2x ＋ay －4x －y ＋b i ＝9－8i有实数解，求实数a ，b 的值．解析：由(2x －1)＋i ＝y ＋(3－y)i ，可得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝3－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝2.由(2x ＋ay)－(4x －y ＋b)i ＝9－8i 可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋ay ＋9，4x －y ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝4.14．实数m 为何值时，z ＝lg(m 2＋2m ＋1)＋(m 2＋3m ＋2)i 是： (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 解析：(1)若z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m ＋1＞0，m 2＋3m ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧m≠－1，m ＝－2或m ＝－1，解得m ＝－2.因此当m ＝－2时，z 为实数．(2)若z 是虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m ＋1＞0，m 2＋3m ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m≠－1，m≠－2且m≠－1，解得m≠－2且m≠－1，因此当m≠－2且m≠－1时，z 为虚数．(3)若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧lg m 2＋2m ＋1＝0，m 2＋3m ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m ＋1＝1，m 2＋3m ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0或m ＝－2，m≠－1且m≠－2.解得m ＝0.因此当m ＝0时，z 为纯虚数.复数的几何意义[A 组 学业达标]1．已知复数z ＝1＋i ，则下列命题中正确的个数为( ) ①|z|＝2；②z 的虚部为i ；③z 在复平面上对应点在第一象限． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：|z|＝12＋12＝2，故①正确；z 的虚部为1，故②错误；z 在复平面上对应点是(1,1)，在第一象限，故③正确． 答案：C2．复数z ＝cos 2π3＋isin π3在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因cos 2π3＜0，sin π3＞0，故复数z ＝cos 2π3＋isin π3对应的点在第二象限．答案：B3．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( ) A ．4＋i B ．2＋4i C ．8＋2iD ．4＋8i解析：因为复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A(6,5)，B(－2,3)，且C 为线段AB 的中点，根据中点坐标公式可得C(2,4)，则点C 对应的复数是2＋4i. 答案：B4．若复数z 满足方程|z ＋1－3i|＝2，则z 在复平面上表示的图形是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．抛物线D ．双曲线解析：原方程可化为|z －(－1＋3i)|＝2，其几何意义表示z 的坐标和(－1,3)之间的距离为2，满足圆的定义，故表示的图形是圆． 答案：B5．在复平面内，复数z 1，z 2对应点分别为A ，B.已知A(1,2)，|AB|＝25，|z 2|＝41，则z 2等于( ) A ．4＋5i B ．5＋4iC ．3＋4iD ．5＋4i 或15＋325i解析：设z 2＝x ＋yi(x ，y ∈R)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧x －12＋y －22＝20，x 2＋y 2＝41.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝325.故选D.答案：D6．已知3－4i ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，则|1－5i|，|x －yi|，|y ＋2i|的大小关系为________． 解析：由3－4i ＝x ＋yi(x ，y ∈R)， 得x ＝3，y ＝－4，而|1－5i|＝1＋－52＝26，|x －yi|＝|3＋4i|＝32＋42＝5， |y ＋2i|＝|－4＋2i|＝－42＋22＝20.因为20＜5＜26，所以|y ＋2i|＜|x －yi|＜|1－5i|. 答案：|y ＋2i|＜|x －yi|＜|1－5i|7．复数z ＝3＋4i 对应的向量OZ →所在直线的斜率为________． 解析：由z ＝3＋4i 知，OZ →＝(3,4)，所以直线的斜率：k ＝43.答案：438．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A ，B ，C ，若OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R)，则x ＋y 的值是________．解析：由复数的几何意义可知，OC →＝xOA →＋yOB →，即3－2i ＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，所以3－2i ＝(y －x)＋(2x －y)i.由复数相等可得，⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.所以x ＋y ＝5.答案：59．实数m 取什么值时，复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 在复平面内对应的点： (1)位于虚轴上？ (2)位于第一、三象限？(3)位于以原点为圆心，4为半径的圆上？解析：(1)若复数z 在复平面内的对应点位于虚轴上，则2m ＝0，即m ＝0.(2)若复数z 在复平面内的对应点位于第一、三象限，则2m(4－m 2)＞0，解得m ＜－2或0＜m ＜2. 故满足条件的实数m 的取值范围为(－∞，－2)∪(0,2)．(3)若复数z 的对应点位于以原点为圆心，4为半径的圆上，则4m 2＋4－m 22＝4，即m 4－4m 2＝0，解得m ＝0或m ＝±2.10．复数i,1,4＋2i 分别对应平面上A ，B ，C 三点，另取一点D 作平行四边形ABCD ，求BD 的长． 解析：由题意得向量AB →对应的复数为1－i ，设D 对应的复数为x ＋yi(x ，y ∈R)，则DC →＝(4－x,2－y)，由AB →＝DC →，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝4－x ，－1＝2－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.所以D 对应的复数为3＋3i ，所以BD →＝(2,3)，则|BD →|＝13，即BD 的长为13.[B 组 能力提升]11．复数z ＝1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模为( ) A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2解析：|z|＝1＋cos α2＋sin 2α＝2＋2cos α＝4cos2α2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2.因为π＜α＜2π，所以π2＜α2＜π，cos α2＜0，于是|z|＝－2cos α2.故选B.答案：B12．满足条件|z －i|＝|3＋4i|的复数z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．一条直线 B ．两条直线 C ．圆D ．椭圆解析：设z ＝x ＋yi ，因为|z －i|＝|3＋4i|，所以x 2＋y －12＝5.则x 2＋(y －1)2＝25，所以复数z 对应点的轨迹是圆． 答案：C13．若t ∈R ，t≠－1，t≠0，则复数z ＝t 1＋t ＋1＋tt i 的模的取值范围是________．解析：|z|2＝⎝⎛⎭⎪⎫t 1＋t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t t 2≥2·t 1＋t ·1＋t t ＝2.(当且仅当t 1＋t ＝1＋t t ，即t ＝－12时，等号成立)．所以|z|≥ 2.答案：[2，＋∞)14．设z ＝log 2(m 2－3m －3)＋i·log 2(m －3)(m ∈R)，若z 对应的点在直线x －2y ＋1＝0上，则m 的值是________．解析：因为log 2(m 2－3m －3)－2log 2(m －3)＋1＝0， 整理得 log 22m 2－3m －3m －32＝0， 所以2m 2－6m －6＝m 2－6m ＋9， 即m 2＝15，m ＝±15.又因为m －3＞0且m 2－3m －3＞0， 所以m ＝15. 答案：1515．已知复数z 1＝3－i ，z 2＝co s θ＋isin θ. (1)求|z 1|及|z 2|，并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z|≤|z 1|的点Z 的集合是什么图形？ 解析：(1)|z 1|＝32＋－12＝2，|z 2|＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，所以|z 1|＞|z 2|. (2)由|z 2|≤|z|≤|z 1|，得1≤|z|≤2.因为|z|≥1表示圆|z|＝1外部及圆上所有点组成的集合，|z|≤2表示圆|z|＝2内部及圆上所有点组成的集合，故符合题设条件的点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的圆所夹的圆环(包括圆)． 16．已知复数z 0＝a ＋bi(a ，b ∈R)，z ＝(a ＋3)＋(b －2)i ，若|z 0|＝2，求复数z 对应点的轨迹．解析：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，则复数z 的对应点为P(x ，y)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋3，y ＝b －2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x －3，①b ＝y ＋2.②因为z 0＝a ＋bi ，|z 0|＝2，所以a 2＋b 2＝4. 将①代入②得(x －3)2＋(y ＋2)2＝4.所以点P 的轨迹是以(3，－2)为圆心，2为半径的圆.复数代数形式的加、减运算及其几何意义[A 组 学业达标]1．已知复数z 1＝3＋2i ，z 2＝1－3i ，则复数z ＝z 1－z 2在复平面内对应的点Z 位于复平面内的( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：因为z 1＝3＋2i ，z 2＝1－3i ，所以z ＝z 1－z 2＝3＋2i －(1－3i)＝(3－1)＋(2＋3)i ＝2＋5i.所以点Z 位于复平面内的第一象限． 答案：A2．已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，若1＋xi ＝(2－y)－3i ，则|x ＋yi|＝( ) A.10 B ．3 C. 5D. 2解析：1＋xi ＝(2－y)－3i ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2－y ＝1，x ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1，则|x ＋yi|＝10.答案：A3．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是( ) A.115B ．3i C.115＋3i D.115＋23i 解析：设这个复数为a ＋bi(a ，b ∈R)，则|a ＋bi|＝a 2＋b 2. 由题意知a ＋bi ＋a 2＋b 2＝5＋3i ， 即a ＋a 2＋b 2＋bi ＝5＋3i所以⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝5，b ＝3，解得a ＝115，b ＝ 3.所以所求复数为115＋3i.答案：C4．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量OA →，OB →对应的复数分别是3＋i ，－1＋3i ，则CD →对应的复数是( ) A ．2＋4i B ．－2＋4i C ．－4＋2iD ．4－2i解析：在平行四边形ABCD 中，CD →＝BA →＝OA →－OB →，故CD →对应的复数是3＋i －(－1＋3i)＝4－2i ，故选D. 答案：D5．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是坐标原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则△AOB 一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：复数z 1对应向量OA →，复数z 2对应向量OB →，则|z 1＋z 2|＝|OA →＋OB →|，|z 1－z 2|＝|OA →－OB →|，依题意有|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|. 所以以OA →，OB →为邻边所作的平行四边形是矩形，所以△AOB 是直角三角形．故选B. 答案：B6．设复数z 满足z ＋|z|＝2＋i ，则z ＝________. 解析：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，则|z|＝x 2＋y 2. 所以x ＋yi ＋x 2＋y 2＝2＋i.所以⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝2，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34，y ＝1.所以z ＝34＋i.答案：34＋i7．已知复数z 1＝2＋ai ，z 2＝a ＋i(a ∈R)，且复数z 1－z 2在复平面内对应的点位于第二象限，则a 的取值范围是________．解析：∵复数z 1－z 2＝2＋ai －a －i ＝(2－a)＋(a －1)i 在复平面内对应的点位于第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＜0，a －1＞0，解得a ＞2.答案：(2，＋∞)8．若复数z 1＝1＋3i ，z 2＝－2＋ai ，且z 1＋z 2＝b ＋8i ，z 2－z 1＝－3＋ci ，则实数a ＝________，b ＝________，c ＝________.解析：z 1＋z 2＝(1－2)＋(3＋a)i ＝－1＋(3＋a)i ＝b ＋8i ，z 2－z 1＝(－2－1)＋(a －3)i ＝－3＋(a －3)i ＝－3＋ci ，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，3＋a ＝8，a －3＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，a ＝5，c ＝2.答案：5 －1 29．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i ，(a ，b ∈R)，且z 1－z 2＝43，求复数z ＝a ＋bi. 解析：z 1－z 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32a ＋a ＋1i －[－33b ＋(b ＋2)i] ＝⎝⎛⎭⎪⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ＝43， 所以⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以z ＝2＋i.[B 组 能力提升]10．复数z ＝(a 2－2a)＋(a 2－a －2)i(a ∈R)在复平面内对应的点位于虚轴上，则z －1－i 等于( ) A ．－1－3i 或－1－i B ．－1－iC ．－1－3iD ．－1＋i 或－1＋3i解析：因为复数z 在复平面内对应的点位于虚轴上，所以复数z 的实部为0，所以a 2－2a ＝0，解得a ＝0或a ＝2.当a ＝0时，z ＝－2i ，z －1－i ＝－2i －1－i ＝－1－3i ；当a ＝2时，z ＝0，z －1－i ＝0－1－i ＝－1－i.综上，z －1－i ＝－1－3i 或z －1－i ＝－1－i.故选A. 答案：A11．如果复数z 满足|z ＋2i|＋|z －2i|＝4，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( ) A ．1 B ． 2 C ．2D. 5解析：设复数－2i,2i ，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，Z 3，因为|z ＋2i|＋|z －2i|＝4，|Z 1Z 2|＝4，所以复数z 的集合为线段Z 1Z 2，如图所示，问题转化为：动点Z 在线段Z 1Z 2上移动，求|ZZ 3|的最小值．因此作Z 3Z 0⊥Z 1Z 2，则Z 3与Z 0的距离即为所求的最小值，|ZZ 3|取得最小值|Z 0Z 3|＝1，故选A. 答案：A12．已知在复平面内的正方形ABCD 有三个顶点对应的复数分别是1＋2i ，－2＋i ，－1－2i ，则第四个顶点对应的复数是________．解析：设复平面内正方形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 对应的复数分别为1＋2i ，－2＋i ，－1－2i ，则OA →＝(1,2)，OB →＝(－2,1)，OC →＝(－1，－2)，设OD →＝(a ，b)．∵AB →＝OB →－OA →＝(－3，－1)，BC →＝OC →－OB →＝(1，－3)，且1×(－3)＋(－1)×(－3)＝0， ∴AB →⊥BC →，∴AB →＝DC →，即向量AB →与DC →对应的复数相等， ∴－3－i ＝－1－a －(2＋b)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2－b ＝－1，－1－a ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1.∴OD →＝(2，－1)．故第四个顶点对应的复数是2－i. 答案：2－i13．若|z －1|＝|z ＋1|，则|z －1|的最小值是________． 解析：法一：设z ＝a ＋bi ，(a ，b ∈R)， 则|(a －1)＋bi|＝|(a ＋1)＋bi|， 所以a －12＋b 2＝a ＋12＋b 2，即a ＝0，所以z ＝bi ，b ∈R ，所以|z －1|min ＝|bi －1|min ＝(－12＋b 2)min ，故当b ＝0时，|z －1|的最小值为1. 法二：因为|z －1|＝|z ＋1|，所以z 的轨迹为以(1,0)，(－1,0)为端点的线段的垂直平分线，即y 轴，|z －1|表示y 轴上的点到(1,0)的距离，所以最小值为1. 答案：114．已知|z|＝2，求|z ＋1＋3i|的最大值和最小值．解析：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，则由|z|＝2知x 2＋y 2＝4，故z 对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，又|z ＋1＋3i|表示点(x ，y)到点(－1，－3)的距离，点(－1，－3)在圆x 2＋y 2＝4上，所以圆上的点到点(－1，－3)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4，即|z ＋1＋3i|的最大值和最小值分别为4和0.15．已知在复平面内的平行四边形ABCD 中，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i. (1)求点C ，D 对应的复数； (2)求平行四边形ABCD 的面积．解析：(1)∵向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，又AC →＝BC →－BA →， ∴向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. ∵OC →＝OA →＋AC →，∴点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.∵BD →＝BA →＋BC →，∴向量BD →对应的复数为(1＋2i)＋(3－i)＝4＋i. ∵OB →＝OA →－BA →，∴向量OB →对应的复数为(2＋i)－(1＋2i)＝1－i. ∵OD →＝OB →＋BD →，∴向量OD →对应的复数为(1－i)＋(4＋i)＝5， 故点D 对应的复数为5. (2)∵BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ， 又BA →＝(1,2)，BC →＝(3，－1)， ∴cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝152，∴sin B ＝752，∴S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×752＝7，故平行四边形ABCD 的面积为7.复数代数形式的乘除运算[A 组 学业达标]1．已知复数f(n)＝i n(n ∈N *)，则集合{z|z ＝f(n)}中元素的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．无数解析： f(n)＝i n＝⎩⎪⎨⎪⎧i ，n ＝4k ＋1，－1，n ＝4k ＋2，－i ，n ＝4k ＋3，1，n ＝4k ＋4，k ∈N ，故集合中有4个元素．答案：A2．如果x －1＋yi 与i －3x(x ，y 是实数)是共轭复数，则x ＋y ＝( ) A ．－1 B ．1 C.34D ．－34解析：∵x －1＋yi 与i －3x(x ，y 是实数)是共轭复数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3x ，y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝－1.则x ＋y ＝－34.答案：D3．设z 的共轭复数为z ，若z ＋z ＝4，z·z ＝8，则zz等于( )A ．1B ．－iC ．±1D ．±i解析：设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则z ＝a －bi ，由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，a 2＋b 2＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝±2.因此⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2＋2i ，z ＝2－2i ，或⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2－2i ，z ＝2＋2i.所以zz ＝2－2i 2＋2i ＝1－i1＋i＝1－i 21＋i 1－i ＝－2i 2＝－i ，或z z ＝2＋2i 2－2i ＝1＋i 1－i ＝1＋i 21－i 1＋i ＝2i2＝i ，所以zz＝±i.故选D.答案：D 4．复数z ＝32－ai ，a ∈R ，且z 2＝12－32i ，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.12 D.14解析：由z ＝32－ai ，a ∈R 得z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－2×32×ai＋(ai)2＝34－a 2－3ai ，因为z 2＝12－32i ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧34－a 2＝12，－3a ＝－32，解得a ＝12.故选C.答案：C5．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22解析：A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，真命题；B ，z 1＝z 2⇒z 1＝z 2＝z 2，真命题； C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1＝z 2·z 2，真命题；D.当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题．故选D. 答案：D6．设复数z ＝－2＋i ，若复数z ＋1z的虚部为b ，则b 等于________．解析：∵z ＝－2＋i ，∴z ＋1z ＝－2＋i ＋1－2＋i ＝－2＋i ＋－2－i －2＋i －2－i ＝－2＋i －25－15i ＝－125＋45i ， ∴b ＝45.答案：457．设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________．解析：设复数z ＝a ＋bi ，a ，b ∈R ，则z 2＝a 2－b 2＋2abi ＝3＋4i ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，2ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，则z ＝±(2＋i)，故|z|＝ 5. 答案： 58．若3＋bi1－i ＝a ＋bi(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.解析：由3＋bi1－i ＝3＋bi 1＋i 1－i 1＋i ＝3－b ＋3＋b i 2＝a ＋bi ，得a ＝3－b 2，b ＝3＋b2，解得b ＝3，a ＝0，所以a ＋b ＝3. 答案：39．计算下列各题： (1)1＋i 71－i ＋1－i71＋i－3－4i 2＋2i 34＋3i；(2)()2＋2i 4i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 7. 解析：(1)原式＝[(1＋i)2]3·1＋i 1－i ＋[(1－i)2]3·1－i 1＋i －83－4i1＋i 21＋i3－4i i＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－82i1＋ii＝8＋8－16－16i ＝－16i. (2)原式＝42i 2i＋1i＋i 7＝16i －i －i ＝14i. 10．已知z 1＝2＋i ，z 1·z 2＝6＋2i. (1)求z 2；(2)若z ＝z 1z 2，求z 的模．解析：(1)设z 2＝a ＋bi(a ，b ∈R)，因为z 1·z 2＝6＋2i ，所以(2－i)(a ＋bi)＝6＋2i ，即(2a ＋b)＋(2b－a)i ＝6＋2i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝6，2b －a ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，所以z 2＝2＋2i.(2)因为z ＝z 1z 2＝2＋i 2＋2i ＝2＋i2－2i 2＋2i 2－2i ＝6－2i 8＝34－14i ，所以|z|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－142＝104.[B 组 能力提升]11．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，所以a ＋b i 是纯虚数或实数，不是充分条件；若复数a ＋bi 为纯虚数，a＋bi ＝a －bi ，所以a ＝0且b≠0，所以ab ＝0，是必要条件．故选B. 答案：B12．已知z ＝a ＋bi(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，z 1，z 2∈C ，定义：D(z)＝||z||＝|a|＋|b|，D(z 1，z 2)＝||z 1－z 2||.给出下列命题：(1)对任意z ∈C ，都有D(z)＞0；(2)若z 是复数z 的共轭复数，则D(z )＝D(z)恒成立； (3)若D(z 1)＝D(z 2)(z 1，z 2∈C)，则z 1＝z 2；(4)对任意z 1，z 2∈C ，结论D(z 1，z 2)＝D(z 2，z 1)恒成立． 则其中的真命题是( ) A ．(1)(2)(3)(4) B ．(2)(3)(4) C ．(2)(4)D ．(2)(3)解析：对于(1)，由定义知当z ＝0时，D(z)＝0，故(1)错误，排除A ；对于(2)，由于共轭复数的实部相等而虚部互为相反数，所以D(z )＝D(z)恒成立，故(2)正确；对于(3)，两个复数的实部与虚部的绝对值的和相等，并不能得到实部与虚部分别相等，所以两个复数也不一定相等，故(3)错误，排除B ，D ；选C. 答案：C13．如果z ＝21－i ，那么z 100＋z 50＋1的值是________．解析：z ＝21－i ＝1＋i2，z 100＋z 50＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 2100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 250＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 250＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 225＋1＝i 50＋i 25＋1＝i 2＋i ＋1＝i. 答案：i14．设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i ，则x ＋y ＝________.解析：x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i可化为x 1＋i 1－i 1＋i＋y 1＋2i1－2i 1＋2i＝51＋3i1－3i 1＋3i，即x ＋xi 2＋y ＋2yi 5＝5＋15i10，从而5(x ＋xi)＋2(y ＋2yi)＝5＋15i ， 于是⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y ＝5，5x ＋4y ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝5，所以x ＋y ＝4.答案：4 15．设复数z ＝1＋i2＋31－i 2＋i ，若z 2＋a z＜0，求纯虚数a.解析：由z 2＋a z ＜0可知z 2＋a z 是实数且为负数．z ＝1＋i2＋31－i 2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝1－i.因为a 为纯虚数，所以设a ＝mi(m ∈R 且m≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋mi 1－i ＝－2i ＋mi －m 2＝－m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－2i＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m2＜0，m2－2＝0，所以m ＝4，所以a ＝4i.16．设z 是虚数，ω＝z ＋1z 是实数，且－1＜ω＜2，(1)求|z|的值及z 的实部的取值范围； (2)设μ＝1－z1＋z ，求证：μ为纯虚数．解析：因为z 是虚数，所以可设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R ，且y≠0)，则ω＝z ＋1z ＝(x ＋yi)＋1x ＋yi ＝x ＋yi ＋x －yi x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i.(1)因为ω是实数，且y≠0，所以y －yx 2＋y2＝0， 即x 2＋y 2＝1.所以|z|＝1，此时ω＝2x.又－1＜ω＜2，所以－1＜2x ＜2，所以 －12＜x ＜1，即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. (2)证明：μ＝1－z1＋z＝1－x ＋yi1＋x ＋yi＝1－x－yi1＋x－yi1＋x2＋y2＝1－x2－y2－2yi 1＋2x＋x2＋y2.又x2＋y2＝1，所以μ＝－y1＋xi. 因为y≠0，所以μ为纯虚数．章末测试卷(三)时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：(2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，在复平面内对应的点为(3，－4)，位于第四象限． 答案：D2．已知a ，b ∈C ，下列命题正确的是( ) A ．3i ＜5iB ．a ＝0⇔|a|＝0C ．若|a|＝|b|，则a ＝±bD ．a 2≥0解析：A 选项中，虚数不能比较大小；B 选项正确；C 选项中，当a ，b ∈R 时，结论成立，但在复数集中不一定成立，如|i|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋32i ，但i≠－12＋32i 或12－32i ；D 选项中，当a ∈R 时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i 2＝－1＜0.故选B. 答案：B 3.1＋2i1－i2的虚部为( ) A ．－12iB ．12i C.12 D ．－12解析：1＋2i 1－i 2＝1＋2i－2i＝1＋2ii 2＝－2＋i 2＝－1＋12i ，故其虚部为12.答案：C4．已知集合M ＝{1,2，zi}(i 为虚数单位)，N ＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z ＝( )A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i解析：由M∩N＝{4}，知4∈M ，故zi ＝4，故z ＝4i ＝4ii 2＝－4i.答案：C 5.1－i 1＋i4＋1＋i 1－i4＝( )A ．－12B ．12 C.12i D ．－12i解析：因为(1±i)2＝±2i，所以1－i 1＋i4＋1＋i 1－i4＝1－i 2i 2＋1＋i－2i2＝1－i －4＋1＋i －4＝－12. 答案：A6．a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( )A ．2B ． 3 C. 2D ．1解析：a ＋i i ＝a ＋i ·－i i·－i ＝1－ai ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－ai|＝a 2＋1＝2，所以a 2＝3.又a 为正实数，所以a ＝ 3. 答案：B7．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( ) A.34 B ．43 C ．－43D ．－34解析：z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i.因为z 1·z 2是实数，所以4t －3＝0，所以t ＝34.故选A. 答案：A8．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1－2i ，若点A 关于直线y ＝x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为( ) A ．－2－i B ．2＋i C ．1＋2iD ．－1＋2i解析：由题意知，A 点坐标为(－1，－2)，B 点坐标为(－2，－1)，故OB →对应的复数为－2－i.故选A. 答案：A9．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(a －2i)(1＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a＝1”是“点M 在第四象限”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：z ＝(a －2i)(1＋i)＝(a ＋2)＋(a －2)i ，所以点M 在第四象限的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，a －2＜0，即－2＜a＜2，所以“a＝1”是“点M 在第四象限”的充分不必要条件．故选A. 答案：A 10．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z zi ＝4＋2i 的复数z 为( ) A ．3－i B ．1＋3i C ．3＋i D ．1－3i解析：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z zi ＝zi ＋z ＝z(1＋i)＝4＋2i ，所以z ＝4＋2i 1＋i ＝4＋2i 1－i 2＝4＋2－2i 2＝3－i.故选A. 答案：A11．已知复数z ＝(x －2)＋yi(x ，y ∈R)在复平面内对应的向量的模为3，则yx 的最大值是( )A.32B ．33 C.12D. 3 解析：因为|(x －2)＋yi|＝3， 所以(x －2)2＋y 2＝3，所以点(x ，y)在以C(2,0)为圆心， 3为半径的圆上，如图，令yx ＝k ，kx －y ＝0，则|2k|k 2＋1＝3，得k ＝± 3.由平面几何知识得－3≤yx ≤ 3.所以最大值为3，故选D. 答案：D12．在实数集R 中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个序，类似地，我们在复数集C 上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“＞”，定义如下：对于任意两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，(a 1，b 1，a 2，b 2∈R ，i 为虚数单位)，“z 1＞z 2”当且仅当“a 1＞a 2”或“a 1＝a 2且b 1＞b 2”．给出下面命题：①1＞i ＞0；②若z 1＞z 2，z 2＞z 3，则z 1＞z 3；③若z 1＞z 2，则对于任意z ∈C ，z 1＋z ＞z 2＋z ；④对于复数z ＞0，则z·z 1＞z·z 2.其中真命题是( ) A ．①②④ B ．①②③ C ．②③D ．①②③④解析：对命题①，1的实部是1，i 的实部是0，故①正确；对命题②，设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，z 3＝a 3＋b 3i ，由已知得a 1＞a 2或a 1＝a 2且b 1＞b 2，a 2＞a 3或a 2＝a 3且b 2＞b 3，显然有a 1≥a 3，若a 1＞a 3，则z 1＞z 3，若a 1＝a 3，则a 1＝a 2＝a 3，b 1＞b 2＞b 3，也有z 1＞z 3，故②正确；对命题③，设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，由z 1＞z 2得a 1＞a 2或a 1＝a 2且b 1＞b 2，从而a 1＋a ＞a 2＋a 或a 1＋a ＝a 2＋a 且b 1＋b ＞b 2＋b ，∴z 1＋z ＞z 2＋z ，故③正确；对命题④，z 1＝1＋i ，z 2＝－2i ，z ＝2i ，则有z 1＞z 2，但z·z 1＝－2＋2i ，z·z 2＝4，显然有z·z 2＞z·z 1，故④错误． 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．若复平面上的平行四边形ABCD 中，AC →对应的复数为6＋8i ，BD →对应的复数为－4＋6i ，则DA →对应的复数为________．解析：法一：由复数加、减法的几何意义，可得AB →＋AD →＝AC →，AD →－AB →＝BD →，两式相加，可得2AD →＝AC →＋BD →＝2＋14i ，所以DA →＝－1－7i.法二：如图，把向量BD →平移到向量EA →的位置，可得DA →＝12CE →＝－12(AC →＋BD →)＝－1－7i. 答案：－1－7i14．设a ∈R ，若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝________. 解析：(1＋i)(a ＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ，由题意得a ＋1＝0，a ＝－1. 答案：－115．若复数z ＝sin θ－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－45i 是纯虚数，则tan θ＝________.解析：因为z ＝sin θ－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－45i 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－35＝0，cos θ－45≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝35，cos θ≠45，所以cos θ＝－45，所以tan θ＝－34.答案：－3416．已知复数z ＝(2a ＋i)(1－bi)的实部为2，其中a ，b 为正实数，则4a＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121－b 的最小值为________．解析：因为复数z ＝(2a ＋i)(1－bi)＝2a ＋b ＋(1－2ab)i 的实部为2，其中a ，b 为正实数， 所以2a ＋b ＝2，所以4a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121－b ＝22a ＋2b －1≥222a ·2b －1＝222a ＋b －1＝2 2.当且仅当a ＝14，b ＝32时取等号．答案：2 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知(2＋i)z ＝7＋i ，求z 及z z .解析：设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则z ＝a －bi.所以 (2＋i)(a －bi)＝7＋i ， 所以(2a ＋b)＋(a －2b)i ＝7＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝7，a －2b ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，所以z ＝3＋i.所以z ＝3－i ，所以zz ＝3＋i 3－i＝3＋i 210＝45＋35i. 18．(本小题满分12分)已知A(1,2)，B(a,1)，C(2,3)，D(－1，b)(a ，b ∈R)是复平面上的四个点，且向量AB →，CD →对应的复数分别为z 1，z 2. (1)若z 1＋z 2＝1＋i ，求z 1，z 2；(2)若|z 1＋z 2|＝2，z 1－z 2为实数，求a ，b 的值．解析：向量AB →＝(a －1，－1)，CD →＝(－3，b －3)对应的复数分别为z 1＝(a －1)－i ，z 2＝－3＋(b －3)i. (1)若z 1＋z 2＝(a －4)＋(b －4)i ＝1＋i. 所以a －4＝1，b －4＝1. 解得a ＝b ＝5.所以z 1＝4－i ，z 2＝－3＋2i. (2)若|z 1＋z 2|＝2，z 1－z 2为实数， 所以a －42＋b －42＝2，(a ＋2)＋(2－b)i ∈R ，所以2－b ＝0，解得b ＝2， 所以(a －4)2＋4＝4，解得a ＝4. 所以a ＝4，b ＝2.19．(本小题满分12分)已知复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为A(－2,1)，B(a,3)，a ∈R. (1)若|z 1－z 2|＝5，求a 的值；(2)若复数z ＝z 1·z 2对应的点在第二、四象限的角平分线上，求a 的值． 解析：由复数的几何意义可知z 1＝－2＋i ，z 2＝a ＋3i. (1)因为|z 1－z 2|＝5，所以|－2－a －2i|＝－2－a2＋－22＝5，即(a ＋1)(a ＋3)＝0，解得a＝－1或a ＝－3.(2)复数z ＝z 1·z 2＝(－2＋i)(a －3i)＝(－2a ＋3)＋(a ＋6)i.由题意可知，点(－2a ＋3，a ＋6)在直线y ＝－x 上，所以a ＋6＝－(－2a ＋3)，解得a ＝9.20．(本小题满分12分)已知平行四边形ABCD 中，AB →与AC →对应的复数分别是3＋2i 与1＋4i ，两对角线AC 与BD 相交于P 点．(1)求AD →对应的复数； (2)求DB →对应的复数； (3)求△APB 的面积．解析：(1)由于四边形ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →，于是AD →＝AC →－AB →＝(－2,2)． 即AD →对应的复数是－2＋2i.(2)由于DB →＝AB →－AD →＝(3,2)－(－2,2)＝(5,0)． 即DB →对应的复数是5.(3)由于PA →＝12CA →＝－12AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，PB →＝12DB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，于是PA →·PB →＝－54，而|PA →|＝172，|PB →|＝52，所以172×52·cos ∠APB ＝－54， 因此cos ∠APB ＝－1717，故sin ∠APB ＝41717， 故S △APB ＝12|PA →||PB →|sin ∠APB＝12×172×52×41717＝52. 即△APB 的面积为52.21．(本小题满分12分)已知|z ＋1－i|＝1，求|z －3＋4i|的最大值和最小值． 解析：法一：设ω＝z －3＋4i ，所以z ＝ω＋3－4i ， 所以z ＋1－i ＝ω＋4－5i ， 又|z ＋1－i|＝1， 所以|ω＋4－5i|＝1.可知ω对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心，1为半径的圆，如图(1)所示，所以|ω|max ＝41＋1，|ω|min ＝41－1.图(1) 图(2)法二：由条件知复数z 对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆，而|z －3＋4i|＝|z －(3－4i)|表示复数z 对应的点到点(3，－4)的距离，在圆上与(3，－4)距离最大的点为A ，距离最小的点为B ，如图(2)所示，所以|z －3＋4i|max ＝41＋1，|z －3＋4i|min ＝41－1. 22．(本小题满分12分)已知关于x 的方程x 2－(tan θ＋i)x －(2＋i)＝0. (1)若方程有实数根，求锐角θ和实数根； (2)证明：对任意θ≠kπ＋π2(k ∈Z)，方程无纯虚数根． 解析：(1)原方程可化为x 2－xtan θ－2－(x ＋1)i ＝0，设方程的实数根为x 0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 20－x 0tan θ－2＝0，x 0＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，tan θ＝1.又θ是锐角，故θ＝π4.(2)证明：假设方程有纯虚数根，可设为bi ，b≠0，b ∈R ，则－b 2－(tan θ＋i)bi －(2＋i)＝0，即－b2－ibtan θ＋b －2－i ＝0，可得－b 2＋b －2＝0，解得b ＝1±7i 2，与假设矛盾，所以方程无纯虚数根．。

高中数学人教A版选修2-2(课时训练)章末检测第三章 数系的扩充和复数的引入 Word版含答案

高中数学人教A版选修2-2(课时训练)章末检测第三章 数系的扩充和复数的引入 Word版含答案

章末检测一、选择题
．是虚数单位，若集合＝{－}，则()
．∈．∈
．∈．∈
答案
．＝(＋＋)＋(＋－)，∈，＝－，则“＝”是“＝”的()
．充分不必要条件．必要不充分条件
．充要条件．既不充分又不必要条件
答案
解析因为＝，所以，解得＝或＝－，
所以＝是＝的充分不必要条件．
．(·天津改编)已知是虚数单位，，∈，且＋＝＋，则＝()
．－．
．－．
答案
解析由＋＝＋(，∈)，∴＝且＝.则＝＝＝.
．已知是实数，是纯虚数，则等于()
．．－
．．－
答案
解析＝＝是纯虚数，则－＝，＋≠，解得＝.
．若(－)＝＋，，∈，则复数＋等于()
．－＋．＋
．－．＋
答案
解析∵(－)＝＋，－＝＋，
∴＝，＝，∴＋＝＋.
．已知＋，＋是实系数一元二次方程＋＋＝的两根，则，的值为()
．＝－，＝．＝，＝
．＝，＝－．＝－，＝－
答案
解析由条件知＋，＋是共轭复数，则＝－，＝，即实系数一元二次方程＋＋＝的两个根是±，所以＝－[(＋)＋(－)]＝－，＝(＋)(－)＝. ．(·新课标Ⅰ)若复数满足(－)＝＋，则的虚部为()
．－．－
．．
答案
解析因为复数满足(－)＝＋，所以＝＝＝＝＋，故的虚部等于，故选.
．是虚数单位，若＝＋(，∈)，则的值是()
．－．
．－．。

数学选修2-2章末测试：第三章数系的扩充与复数A 含解析

数学选修2-2章末测试：第三章数系的扩充与复数A 含解析

第三章测评A(基础过关卷)(时间：90分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数z ＝－1＋2i ，则z 的虚部为( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－22．复数z ＝i1＋i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若复数z ＝(a ＋i)(1－i)是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．－2 4．已知复数z ＝3＋i(1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝( )A.14B.12C ．1D ．2 5．复平面上三点A ，B ，C 分别对应复数1,2i,5＋2i ，则由A ，B ，C 构成的三角形是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形6．已知a ，b ∈R ，则“a ＝b ”是“(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数”的( ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．已知复数z 满足z ＝－|z |，则z 的实部( ) A ．不小于0 B ．不大于0C ．大于0D ．小于08．集合A ＝{x |x ＝i n ＋i －n ，n ∈N ＋}的子集的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．89．已知复数z ＝a 2＋a －6a ＋3＋(a 2－3a －10)i(a ∈R )满足z i ＞0或z i ＜0，则a 的值为( )A ．3B ．－3C ．2或－3D ．210．复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )满足条件|z －4i|＝|z ＋2|，则2x ＋4y 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．4 2 D ．16二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上) 11．若复数z ＝3＋(a －1)i 的共轭复数是3－i ，则实数a ＝________. 12．设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为________．13．在复平面内，复数2i1－i对应的点的坐标为__________．14．若关于x 的方程x 2＋(2－i)x ＋(2m －4)i ＝0有非零实数根，则实数m ＝________. 15．数列{a n }满足a 1＝2i ，(1＋i)a n ＋1＝(1－i)a n ，则a 10＝________.三、解答题(本大题共4小题，共30分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题6分)已知复数z ＝m (m －1)＋(m 2＋2m －3)i ，当实数m 取什么值时，复数z 是：(1)零；(2)纯虚数；(3)z ＝2＋5i?17．(本小题6分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z 2|＜|z 1|，求a 的取值范围．18．(本小题8分)已知复数z 1＝5i ，z 2＝2－3i ，z 3＝2－i ，z 4＝－5在复平面上对应的点分别是A ，B ，C ，D .(1)求证：A ，B ，C ，D 四点共圆； (2)已知AB →＝2AP →，求点P 对应的复数．19．(本小题10分)已知虚数z 满足|2z ＋5|＝|z ＋10|. (1)求|z |；(2)是否存在实数m ，使z m ＋mz为实数？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．参考答案1．解析：由于z ＝－1＋2i ，所以z ＝－1－2i ，虚部为－2. 答案：D2．解析：∵z ＝i1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i ，∴z 对应的点为⎝⎛⎭⎫12，12. 答案：A3．解析：z ＝(a ＋i)(1－i)＝(a ＋1)＋(1－a )i ，由于z 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝0，1－a ≠0，即a＝－1.答案：C4．解析：z ·z ＝|z |2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋i (1－3i )22＝|3＋i|2|1－3i|4＝416＝14. 答案：A5．解析：依题意A (1,0)，B (0,2)，C (5,2)，结合图形知△ABC 是直角三角形．答案：A6．解析：当(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数时，必有a －b ＝0，即a ＝b ，但当a ＝b 时，(a －b )＋(a ＋b )i 不一定为纯虚数，例如a ＝b ＝0时．答案：C7．解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则有x ＋y i ＝－x 2＋y 2，于是x ＝－x 2＋y 2≤0，即实部x ≤0.答案：B8．解析：当n ＝1时，x ＝i ＋1i ＝i －i ＝0，当n ＝2时，x ＝i 2＋1i2＝－2，当n ＝3时，x＝i 3＋1i 3＝－i ＋i ＝0，当n ＝4时，x ＝i 4＋1i 4＝1＋1＝2，由i n 值的周期性知A 中只有3个不同的元素，所以符合A 的一共有8个子集．答案：D9．解析：由z i ＞0或z i ＜0知z 一定是纯虚数，因此有a 2＋a －6a ＋3＝0且a 2－3a －10≠0，解得a ＝2.答案：D10．解析：由已知得|x ＋y i －4i|＝|x ＋y i ＋2|， 即x 2＋(y －4)2＝(x ＋2)2＋y 2， 整理得x ＋2y ＝3.于是2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ·22y ＝22x ＋2y ＝2×23＝42，即2x ＋4y 的最小值为4 2.答案：C11．解析：由已知可得a －1＝1，即a ＝2. 答案：212．解析：∵z ＝6＋4i 2－3i，∴|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4i 2－3i ＝|6＋4i||2－3i|＝62＋4222＋(－3)2＝2. 答案：213．解析：2i 1－i ＝2i (1＋i )1－i 2＝i(1＋i)＝－1＋i. 答案：(－1,1)14．解析：设实数根为x 0(x 0≠0)， 则x 20＋(2－i)x 0＋(2m －4)i ＝0，即(x 20＋2x 0)＋(2m －4－x 0)i ＝0，因此⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋2x 0＝0，2m －4－x 0＝0，x 0≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，m ＝1.答案：115．解析：由(1＋i)a n ＋1＝(1－i)a n ，得a n ＋1a n ＝1－i1＋i ＝－i ，所以数列{a n }是等比数列， 于是a 10＝a 1·(－i)9＝2i·(－i)9＝2. 答案：216．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)＝0，m 2＋2m －3＝0，得m ＝1，所以当m ＝1时z ＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ m (m －1)＝0，m 2＋2m －3≠0，知⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0或1，m ≠1且m ≠－3，所以m ＝0，即当m ＝0时，z 是纯虚数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)＝2，m 2＋2m －3＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2或m ＝－1，m ＝2或m ＝－4，所以m ＝2，即当m ＝2时，z ＝2＋5i.17．分析：求出z 1，根据共轭复数及模的定义转化为实数不等式求解． 解：由题意，得z 1＝－1＋5i 1＋i ＝2＋3i.于是|z 1－z 2|＝|4－a ＋2i|＝(4－a )2＋4.又|z 1|＝13，由|z 1－z 2|＜|z 1|，得(4－a )2＋4＜13，即a 2－8a ＋7＜0，解得1＜a ＜7.18．(1)证明：∵|z 1|＝|z 2|＝|z 3|＝|z 4|＝5， 即|OA |＝|OB |＝|OC |＝|OD |，∴A ，B ，C ，D 四点都在圆x 2＋y 2＝5上， 即A ，B ，C ，D 四点共圆．(2)解：∵A (0，5)，B (2，－3)，∴AB →＝(2，－3－5)． 设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y －5)，若AB →＝2AP →，那么(2，－3－5)＝(2x,2y －25)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝2x ，－3－5＝2y －25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝5－32，∴点P 对应的复数为22＋5－32i.19．解：(1)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)， 由|2z ＋5|＝|z ＋10|，得(2x ＋5)2＋(2y )2＝(x ＋10)2＋y 2， 化简得x 2＋y 2＝25， ∴|z |＝5. (2)存在．∵z m ＋m z ＝x ＋y i m ＋mx ＋y i ＝⎝⎛⎭⎪⎫x m ＋mx x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y m －my x 2＋y 2i 为实数， ∴y m －myx 2＋y2＝0. 又∵y ≠0，x 2＋y 2＝25，∴1m －m25＝0，解得m ＝±5.故存在实数m ＝±5，使z m ＋m z 为实数．。

高中数学人教A版选修2-2习题 第3章 数系的扩充与复数的引入3.2.2 Word版含答案

高中数学人教A版选修2-2习题 第3章 数系的扩充与复数的引入3.2.2 Word版含答案

选修第三章选择题．(·郑州高二检测)设复数＝＋(、∈)，若＝－成立，则点(，)在( )．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限[答案][解析]∵＝－，∴＝(－)(＋)＝＋，∴＝，＝，∴点(，)在第一象限．．设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，＝＋，则＝( )．－．．－＋．－－[答案][解析]本题考查复数的乘法，复数的几何意义．∵＝＋，与关于虚轴对称，∴＝－＋，∴＝－－＝－，故选.．定义运算＝－，则符合条件－))＝＋的复数为( )．－．＋．＋．－[答案][解析]由定义得＝＋＝(＋)＝＋，∴＝＝－.故应选.．已知为虚数单位，为复数，下面叙述正确的是( )．－为纯虚数．任何数的偶数次幂均为非负数．＋的共轭复数为－．＋的虚部为[答案][解析]当为实数时错；由＝－知错；由共轭复数的定义知＋的共轭复数为－，错，故选. ．(·全国卷Ⅲ理，)若＝＋，则＝( )．．－．．－[答案][解析]＝＝.．(·长安一中质检)设＝＋(是数单位)，则＋＋＋＋＋＝( )．．．．－[答案][解析]＝－＋，＝－，＝－－，＝－，＝，∴原式＝(＋)＋(－＋)＋(－)＋(－－)＋(－)＋＝－＝(－)＝.二、填空题．已知复平面上正方形的三个顶点对应的复数分别为＋，－＋，－－，那么第四个顶点对应的复数是[答案]－[解析]不妨设正方形的三个顶点，，对应的复数分别为＋，－＋，－－，则()，(－)，(－，－)，易知·＝，设(，)，则∥，因此应满足＝，即(－，－)＝(－－，－－)即(\\(－－－＝－，,－－＝－，))解得(\\(＝，＝－.))则(，－)，对应的复数为－，故答案为－.．设复数、在复平面内的对应点分别为、，点与关于轴对称，若(－)＝－，则＝[答案][解析]∵(－)＝－，∴＝＝＝＋，∵与关于轴对称，∴与互为共轭复数，∴＝＝－，∴＝.．设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为[答案][解析]∵＝＝为纯虚数，∴(\\(－＝，＋≠，))∴＝.三、解答题．设存在复数同时满足下列条件：()复数在复平面内对应点位于第二象限；()·＋＝＋(∈)．试求的取值范围．[解析]设＝＋(，∈)，由()得＜，＞，。

高中数学人教a版选修2-2(课时训练)：章末检测：第三章 数系的扩充和复数的引入 word版含答案

高中数学人教a版选修2-2(课时训练)：章末检测：第三章 数系的扩充和复数的引入 word版含答案

章末检测一、选择题1．i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( ) A ．i ∈S B ．i 2∈S C ．i 3∈S D ．2i∈S答案 B2．z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件答案 A解析 因为z 1＝z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3m 2＋m －4＝－2，解得m ＝1或m ＝－2，所以m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件．3．(2013·天津改编)已知i 是虚数单位，m ，n ∈R ，且m ＋i ＝1＋n i ，则m ＋n im －n i ＝( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i答案 D解析 由m ＋i ＝1＋n i(m ，n ∈R )，∴m ＝1且n ＝1.则m ＋n i m －n i ＝1＋i 1－i ＝(1＋i )22＝i.4．已知a 是实数，a －i1＋i 是纯虚数，则a 等于( )A ．1B ．－1C ． 2D ．－ 2 答案 A 解析a －i 1＋i ＝(a －i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝(a －1)－(a ＋1)i2是纯虚数，则a －1＝0，a ＋1≠0，解得a ＝1.5．若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 等于( ) A ．－2＋i B ．2＋i C ．1－2i D ．1＋2i答案 B解析 ∵(x －i)i ＝y ＋2i ，x i －i 2＝y ＋2i ， ∴y ＝1，x ＝2，∴x ＋y i ＝2＋i.6．已知2＋a i ，b ＋i 是实系数一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，则p ，q 的值为( ) A ．p ＝－4，q ＝5 B ．p ＝4，q ＝5 C ．p ＝4，q ＝－5 D ．p ＝－4，q ＝－5 答案 A解析 由条件知2＋a i ，b ＋i 是共轭复数，则a ＝－1，b ＝2，即实系数一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根是2±i ，所以p ＝－[(2＋i)＋(2－i)]＝－4，q ＝(2＋i)(2－i)＝5.7．(2013·新课标Ⅰ)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45C ．4D ．45答案 D解析 因为复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，所以z ＝|4＋3i|3－4i ＝53－4i ＝5(3＋4i )25＝35＋45i ，故z 的虚部等于45，故选D.8．i 是虚数单位，若1＋7i2－i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则ab 的值是( )A ．－15B ．3C ．－3D ．15 答案 C 解析1＋7i 2－i＝(1＋7i )(2＋i )5＝－1＋3i ，∴a ＝－1，b ＝3，ab ＝－3.9．(2013·广东)若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( ) A ．(2,4) B ．(2，－4) C ．(4，－2) D ．(4,2)答案 C解析 z ＝2＋4i i ＝4－2i 对应的点的坐标是(4，－2)，故选C.10．已知f (n )＝i n －i －n (n ∈N *)，则集合{f (n )}的元素个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．无数个答案 B解析 f (n )有三个值0,2i ，－2i. 二、填空题11．复平面内，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是________． 答案 (3,4)解析 ∵z ＝m 2－4m ＋(m 2－m －6)i 所对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m <0m 2－m －6>0，解得3<m <4.12．(2013·天津)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________. 答案 1＋2i解析 由(a ＋i)(1＋i)＝b i 得a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，即a －1＝0，a ＋1＝b ，解得a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i. 13．下列说法中正确的序号是________．①若(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，其中x ∈R ，y ∈∁C R ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y1＝－(3－y )；②2＋i>1＋i ；③虚轴上的点表示的数都是纯虚数； ④若一个数是实数，则其虚部不存在；⑤若z ＝1i ，则z 3＋1对应的点在复平面内的第一象限．答案 ⑤解析 由y ∈∁C R ，知y 是虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y1＝－(3－y )不成立，故①错误；两个不全为实数的复数不能比较大小，故②错误；原点也在虚轴上，表示实数0，故③错误；实数的虚部为0，故④错误；⑤中z 3＋1＝1i 3＋1＝i ＋1，对应点在第一象限，故⑤正确．14．下列是关于复数的类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则； ②由实数绝对值的性质|x |2＝x 2类比得到复数z 的性质|z |2＝z 2；③已知a ，b ，∈R ，若a －b ＞0，则a ＞b 类比得已知z 1，z 2∈C ，若z 1－z 2＞0，则z 1＞z 2； ④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义． 其中推理结论正确的是________． 答案 ①④ 三、解答题15．设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当m 为何值时， (1)z 是实数？(2)z 是纯虚数？解 (1)要使复数z 为实数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－2或－1.即当m ＝－2或－1时，z 是实数．(2)要使复数z 为纯虚数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1m 2＋3m ＋2≠0，解得m ＝3.即当m ＝3时，z 是纯虚数．16．设f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈N )，求集合{x |x ＝f (n )}中元素的个数．解 ∵1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i ，∴f (n )＝i n ＋(－i)n .设k ∈N .当n ＝4k 时，f (n )＝2，当n ＝4k ＋1时，f (n )＝i 4k ·i ＋(－i)4k ·(－i)＝0， 当n ＝4k ＋2时，f (n )＝i 4k ·i 2＋(－i)4k ·(－i)2＝－2， 当n ＝4k ＋3时，f (n )＝i 4k ·i 3＋(－i)4k ·(－i)3＝0， ∴{x |x ＝f (n )}中有三个元素．17．(2013·山东德州期中)已知z ＝1＋i ，a ，b 为实数． (1)若ω＝z 2＋3z －4，求|ω|； (2)若z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，求a ，b 的值．解 (1)因为ω＝z 2＋3z －4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i ，|ω|＝(－1)2＋(－1)2＝ 2. (2)由条件z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，得(1＋i )2＋a (1＋i )＋b(1＋i )2－(1＋i )＋1＝1－i.即(a ＋b )＋(a ＋2)ii＝1－i∴(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝2.18．设z 1是虚数，z 2＝z 1＋1z 1是实数，且－1≤z 2≤1.(1)求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围； (2)若ω＝1－z 11＋z 1，求证：ω为纯虚数．(1)解 设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，则z 2＝z 1＋1z 1＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝⎝⎛⎭⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫b －b a 2＋b 2i.因为z 2是实数，b ≠0，于是有a 2＋b 2＝1，即|z 1|＝1，还可得z 2＝2a .由－1≤z 2≤1，得－1≤2a ≤1，解得－12≤a ≤12，即z 1的实部的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12.(2)证明 ω＝1－z 11＋z 1＝1－a －b i 1＋a ＋b i ＝1－a 2－b 2－2b i(1＋a )2＋b 2＝－b a ＋1i.因为a ∈[－12，12]，b ≠0，所以ω为纯虚数．模块检测模块检测一、选择题1．“金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是( ) A ．完全归纳推理 B ．归纳推理 C ．类比推理 D ．演绎推理答案 B解析 由特殊到一般的推理为归纳推理．故选B. 2．(2013·浙江)已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)( ) A ．－3＋i B ．－1＋3i C ．－3＋3i D ．－1＋i 答案 B解析 (－1＋i)(2－i)＝－2＋i ＋2i ＋1＝－1＋3i ，故选B. 3．设f (x )＝10x ＋lg x ，则f ′(1)等于( ) A ．10 B ．10ln 10＋lg e C ．10ln 10＋ln 10D ．11ln 10 答案 B解析 ∵f ′(x )＝10x ln 10＋1x ln 10，∴f ′(1)＝10ln 10＋lg e ，故选B. 4．若大前提：任何实数的平方都大于0，小前提：a ∈R ，结论：a 2>0，那么这个演绎推理出错在( ) A ．大前提 B ．小前提 C ．推理形式 D ．没有出错答案 A5．观察下列数表规律则数2 007的箭头方向是( ) A.2 007→↑ B ．↓2 007→ C ．↑→2007 D ．→2 007↓答案 D解析 因上行奇数是首项为3，公差为4的等差数列，若2 007在上行，则2 007＝3＋(n －1)·4⇒n ＝502∈N *.故2 007在上行，又因为在上行奇数的箭头为→a n ，故选D.6．函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a ，b 的值为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4b ＝11 B ．⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4b ＝11C ．⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝5D ．以上都不对答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2－2ax －b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2a －b ＝01－a －b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4b ＝11.经检验a ＝3，b ＝－3不合题意，应舍去． 7．给出下列命题：①⎠⎛b a d x ＝⎠⎛ab d t ＝b －a(a ，b 为常数且a<b)；②⎠⎛0－1x 2d x ＝⎠⎛01x 2d x ；③曲线y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与直线y ＝0围成的两个封闭区域面积之和为2.其中正确命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 B解析 ⎠⎛ab d t ＝b －a ≠⎠⎛ba d x ＝a －b ，故①错．y ＝x 2是偶函数，其在[－1,0]上的积分结果等于其在[0,1]上的积分结果，故②对．对于③有S ＝2⎠⎛0πsinx d x ＝4.故③错．故选B .8．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD ＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体A －BCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AOOM 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 面的重心类比几何体的重心，平面类比空间，AG GD ＝2类比AO OM＝3，故选C . 9．曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A .92e 2B ．4e 2C ．2e 2D ．e 2答案 D解析 ∵y ′＝12e 12x ，∴y ＝e 12x 在(4，e 2)处的切线斜率为12e 2.∴过点(4，e 2)的切线方程为y ＝12e 2x －e 2，它与x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)和(0，－e 2)， ∴S ＝12×2×e 2＝e 2.故选D .10．(2013·湖北)已知a 为常数，函数f(x)＝x(ln x －ax)有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则( ) A ．f(x 1)＞0，f(x 2)＞－12B ．f(x 1)＜0，f(x 2)＜－12C ．f(x 1)＞0，f(x 2)＜－12D ．f(x 1)＜0，f(x 2)＞－12答案 D解析 函数f(x)＝x(ln x －ax)有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则f ′(x)＝ln x －2ax ＋1有两个零点，即方程ln x ＝2ax －1有两个根，由数形结合易知0＜a ＜12且0＜x 1＜1＜x 2.因为在(x 1，x 2)上f(x)递增，所以f(x 1)＜f(1)＜f(x 2)，即f(x 1)＜－a ＜f(x 2)，所以f(x 1)＜0，f(x 2)＞－12.故选D .二、填空题11．若复数z 满足z(1＋i )＝1－i (i 是虚数单位)，则其共轭复数z ＝________. 答案 i解析 设z ＝a ＋b i ，则(a ＋b i )(1＋i )＝1－i ， 即a －b ＋(a ＋b)i ＝1－i .由⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1，a ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1.所以z ＝－i ，z ＝i . 12．通过类比长方形，由命题“周长为定值l 的长方形中，正方形的面积最大，最大值为l 216”，可猜想关于长方体的相应命题为________________．答案 表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为⎝⎛⎭⎫S 632解析 正方形有4条边，正方体有6个面，正方形的面积为边长的平方，正方体的体积为边长的立方．由正方体的边长为⎝⎛⎭⎫S 612，通过类比可知，表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为⎝⎛⎭⎫S 632.13．已知函数f(x)＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1有两个极值点x 1，x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，则f(－1)的取值范围是________． 答案 [3,12] 解析因为f(x)有两个极值点x 1，x 2，所以f ′(x)＝3x 2＋4bx ＋c ＝0有两个根x 1，x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－2)≥0，f ′(－1)≤0，f ′(1)≤0，f ′(2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧12－8b ＋c ≥0，3－4b ＋c ≤0，3＋4b ＋c ≤0，12＋8b ＋c ≥0，画出可行域如图所示．因为f(－1)＝2b －c ，由图知经过点A(0，－3)时，f(－1)取得最小值3，经过点C(0，－12)时，f(－1)取得最大值12，所以f(－1)的取值范围为[3,12]．14．如图所示的数阵中，第20行第2个数字是________．答案1191解析 设第n(n ≥2且n ∈N *)行的第2个数字为1a n，其中a 1＝1，则由数阵可知a n ＋1－a n ＝n ，∴a 20＝(a 20－a 19)＋(a 19－a 18)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝19＋18＋…＋1＋1＝19×202＋1＝191，∴1a 20＝1191.三、解答题15．(2013·青岛二中期中)(1)已知z ∈C ，且|z |－i ＝z ＋2＋3i(i 为虚数单位)，求复数z2＋i的虚部．(2)已知z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i(i 为虚数单位)，且z 1z 2为纯虚数，求实数a 的值．解 (1)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，代入方程|z |－i ＝z ＋2＋3i ， 得出x 2＋y 2－i ＝x －y i ＋2＋3i ＝(x ＋2)＋(3－y )i ，故有⎩⎨⎧x 2＋y 2＝x ＋23－y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4，∴z ＝3＋4i ，复数z2＋i ＝3＋4i 2＋i ＝2＋i ，虚部为1.(2)z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝3a －8＋(4a ＋6)i 25，且z 1z 2为纯虚数， 则3a －8＝0，且4a ＋6≠0，解得a ＝83.16．已知a ，b ，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，求证： (1)a 2＋b 2＋c 2≥13；(2)a ＋b ＋c ≤ 3.证明 (1)∵a 2＋19≥23a ，b 2＋19≥23b ，c 2＋19≥23c ，∴⎝⎛⎭⎫a 2＋19＋⎝⎛⎭⎫b 2＋19＋⎝⎛⎭⎫c 2＋19≥23a ＋23b ＋23c ＝23.∴a 2＋b 2＋c 2≥13. (2)∵a ·13≤a ＋132，b ·13≤b ＋132，c ·13≤c ＋132，三式相加得a 3＋b 3＋c 3≤12(a ＋b ＋c )＋12＝1，∴a ＋b ＋c ≤ 3. 17．是否存在常数a ，b ，使等式121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝an 2＋n bn ＋2对一切n ∈N *都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明．解 若存在常数a ，b 使等式成立， 则将n ＝1，n ＝2代入上式，有⎩⎪⎨⎪⎧13＝a ＋1b ＋2，13＋415＝4a ＋22b ＋2.得a ＝1，b ＝4，即有121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n 2＋n 4n ＋2对于一切n ∈N *都成立． 证明如下：(1)当n ＝1时，左边＝121×3＝13，右边＝1＋14×1＋2＝13，所以等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时等式成立，即 121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＝k 2＋k 4k ＋2， 当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k 2＋k 4k ＋2＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k ＋12k ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k ＋12k ＋3 ＝k ＋12k ＋1·2k 2＋5k ＋22(2k ＋3)＝k ＋12k ＋1·(2k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3) ＝(k ＋1)(k ＋2)4k ＋6＝(k ＋1)2＋(k ＋1)4(k ＋1)＋2，也就是说，当n ＝k ＋1时，等式成立， 综上所述，等式对任何n ∈N *都成立．18．(2013·广东)设函数f (x )＝(x －1)e x －kx 2(其中k ∈R )． (1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，求函数f (x )在[0，k ]上的最大值M .解 (1)当k ＝1时，f (x )＝(x －1)e x －x 2，f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2x ＝x e x －2x ＝x (e x －2)． 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln 2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化如下表由表可知，函数f (x )(2)f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2kx ＝x e x －2kx ＝x (e x －2k )，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln (2k )， 令g (k )＝ln(2k )－k ，则g ′(k )＝1k －1＝1－k k ＞0，所以g (k )在⎝⎛⎦⎤12，1上递增， 所以g (k )≤ln 2－1＝ln 2－ln e ＜0， 从而ln (2k )＜k ，所以ln(2k )∈[0，k ]， 所以当x ∈(0，ln(2k ))时，f ′(x )＜0；当x ∈(ln(2k )，＋∞)时，f ′(x )＞0；所以M ＝max{f (0)，f (k )}＝max{－1，(k －1)e k －k 3} 令h (k )＝(k －1)e k －k 3＋1，则h ′(k )＝k (e k －3k )， 令φ(k )＝e k －3k ，则φ′(k )＝e k －3＜e －3＜0， 所以φ(k )在⎝⎛⎦⎤12，1上递减， 而φ⎝⎛⎭⎫12·φ(1)＝⎝⎛⎭⎫e －32(e －3)＜0， 所以存在x 0∈⎝⎛⎦⎤12，1使得φ(x 0)＝0，且当k ∈⎝⎛⎭⎫12，x 0时，φ(k )＞0，当k ∈(x 0,1)时φ(k )＜0， 所以h (k )在⎝⎛⎭⎫12，x 0上单调递增， 在(x 0,1)上单调递减．因为h ⎝⎛⎭⎫12＝－12e ＋78＞0，h (1)＝0， 所以h (k )≥0在⎝⎛⎦⎤12，1上恒成立， 当且仅当k ＝1时取得“＝”．综上，函数f (x )在[0，k ]上的最大值M ＝(k －1)e k －k 3.。

人教版数学高二A版选修2-2章末测试第三章数系的扩充与复数的引入B

人教版数学高二A版选修2-2章末测试第三章数系的扩充与复数的引入B

第三章测评B(高考体验卷)(时间：90分钟满分：100分)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·广东高考)已知复数z满足(3＋4i)z＝25，则z＝()A．－3＋4i B．－3－4iC．3＋4i D．3－4i2．(2014·山东高考)已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋b i互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝()A．5－4i B．5＋4iC．3－4i D．3＋4i3．(2014·课标全国Ⅱ高考)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝()A．－5 B．5C．－4＋i D．－4－i4．(2014·福建高考)复数z＝(3－2i)i的共轭复数z等于()A．－2－3i B．－2＋3iC．2－3i D．2＋3i5．(2013·北京高考)在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．(2013·湖北高考)在复平面内，复数z＝2i1＋i(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．(2014·重庆高考)复平面内表示复数i(1－2i)的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．(2014·江西高考)z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i9．(2013·安徽高考)设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数．若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i10．(2013·课标全国Ⅰ高考)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )A ．－4B ．－45C ．4D ．45第Ⅱ卷(非选择题 共50分)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．(2013·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)·(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝__________.12．(2013·天津高考)i 是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝__________.13．(2013·湖北高考)i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝__________.14．(2014·江苏高考)已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为__________．15．(2012·湖北高考)若3＋b i 1－i＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝______. 三、解答题(本大题共4小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题6分)(2014辽宁高考改编)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，求z .17．(本小题6分)(2014广东广州综合测试一改编)已知i 是虚数单位，若(m ＋i)2＝3－4i ，求实数m 的值．18．(本小题6分)(2014湖北部分重点中学一联改编)若z ＝sin θ－35＋⎝⎛⎭⎫cos θ－45i 是纯虚数，求tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4的值．19．(本小题7分)(2014陕西长安三检改编)设z ＝12＋32i(i 是虚数单位)，求z ＋2z 2＋3z 3＋4z 4＋5z 5＋6z 6.参考答案一、1．解析：由已知得z ＝253＋4i ＝25(3－4i)(3＋4i)(3－4i)＝25(3－4i)25＝3－4i ，故选D ． 答案：D2．解析：由a －i 与2＋b i 互为共轭复数，可得a ＝2，b ＝1.所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝4＋4i －1＝3＋4i.答案：D3．解析：由题意知：z 2＝－2＋i.又z 1＝2＋i ，所以z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.故选A ．答案：A4．解析：因为z ＝(3－2i)i ＝3i －2i 2＝2＋3i ，所以z ＝2－3i.故选C ．答案：C5．解析：i(2－i)＝1＋2i ，其在复平面上的对应点为(1,2)，该点位于第一象限，故选A ． 答案：A6．解析：∵z ＝2i 1＋i ＝2i(1－i)(1＋i)(1－i)＝i(1－i)＝1＋i ， ∴复数z ＝2i 1＋i的共轭复数z ＝1－i ，其在复平面内对应的点(1，－1)位于第四象限． 答案：D7．解析：因为i(1－2i)＝i ＋2，其在复平面内对应的点为(2,1)，位于第一象限．故选A ． 答案：A8．解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i.由z ＋z ＝2，得2a ＝2，即a ＝1；又由(z －z )i ＝2，得2b i·i ＝2，即b ＝－1.故z ＝1－i.答案：D9．解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由z ·z i ＋2＝2z 得(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a ＋b i)，即(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ，所以2a ＝2，a 2＋b 2＝2b ，所以a ＝1，b ＝1，即z ＝a ＋b i ＝1＋i.答案：A10．解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|，∴z ＝53－4i ＝5(3＋4i)(3－4i)(3＋4i)＝35＋45i. 故z 的虚部为45，选D ． 答案：D 二、11．解析：由(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1＝b ，解方程组，得a ＝1，b ＝2，则a ＋b i ＝1＋2i.答案：1＋2i12．解析：(3＋i)(1－2i)＝3－6i ＋i －2i 2＝5－5i.答案：5－5i13．解析：z 1在复平面上的对应点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)，故z 2＝－2＋3i.答案：－2＋3i14．解析：由题意，得z ＝(5＋2i)2＝25＋20i －4＝21＋20i ，其实部为21.答案：2115．解析：由题意可得，3＋b i ＝(a ＋b i)(1－i)＝(a ＋b )＋(b －a )i ，故a ＋b ＝3.答案：3三、16．解：∵(z －2i)(2－i)＝5，∴z －2i ＝52－i ； ∴z ＝2i ＋52－i ＝2i ＋5(2＋i)(2－i)(2＋i)＝2i ＋2＋i ＝2＋3i. 17．解：(m ＋i)2＝(m 2－1)＋2m i ＝3－4i ，由复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝3，2m ＝－4，解得m ＝－2.18．解：依题意⎩⎨⎧ sin θ－35＝0，cos θ－45≠0，∴sin θ＝35，cos θ＝－45， ∴tan θ＝sin θcos θ＝－34， ∴tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan θ－tan π41＋tan θtan π4＝－34－11－34＝－7. 19．解：设S ＝z ＋2z 2＋3z 3＋4z 4＋5z 5＋6z 6，zS ＝z 2＋2z 3＋3z 4＋4z 5＋5z 6＋6z 7，两式相减得(1－z )S ＝z ＋z 2＋z 3＋z 4＋z 5＋z 6－6z 7＝z (1－z 6)1－z－6z 7， 所以S ＝z (1－z 6)(1－z )2－6z 71－z， 因为z ＝12＋32i ，故z 6＝1. S ＝－6z 1－z ＝－6·12＋32i 12－32i ＝－6⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝6⎝⎛⎭⎫12－32i ＝3－33i.。

人教版数学高二人教A版选修2-2第三章《数学系的扩充与复数》过关检测

人教版数学高二人教A版选修2-2第三章《数学系的扩充与复数》过关检测

章末过关检测卷(三)(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·福建卷)若集合A ＝{}i ，i 2，i 3，i 4(i 是虚数单位)，B ＝{}1，－1，则A ∩B 等于(C )A.{}－1B.{}1C.{}1，－1 D ．∅解析：由已知得A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫i ，－1，－i ，1，故A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，－1，故选C.2．i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3＝(A ) A ．－1 B ．1 C ．－I D ．i3．(2014·高考辽宁卷)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝(A ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2i D ．3－2i 解析：由已知得z ＝S 2－i ＋2i ＝S （2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＋2i ＝2＋3i.4．(2015·湖南卷)已知（1－i ）2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝(D )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 解析：由题意得，z ＝（1－i ）21＋i ＝－2i1＋i ＝－1－i ，故选D.5．已知下列命题：①复数a ＋b i 不是实数；②若(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±2；③若复数z ＝a ＋b i ，则当且仅当b ≠0时，z 为虚数．其中正确的命题有(A )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：根据复数的有关概念判断命题的真假：①是假命题，因为当a ∈R 且b ＝0时，a ＋b i 是实数；②是假命题，因为由纯虚数的条件得⎩⎨⎧x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2≠0解得x ＝2，当x ＝－2时，对应的复数为实数；③是假命题，因为没有强调a ，b ∈R.6．(2014·高考全国Ⅰ卷)设z ＝11＋i ＋i ，则|z |＝(B )A.12B.22C.32D ．2 解析：z ＝11＋i ＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＋i ＝1－i 2＋i ＝12－12i ，|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22.所以选B.7．(2015·山东卷)若复数z 满足z1－i ＝i ，其中i 是虚数单位，则z ＝(A )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i 解析：z ＝(1－i)i ＝－i 2＋i ＝1＋i ，z ＝1－i ，故选A.8．已知复数z 1＝3＋2i ，z 2＝1－3i ，则复数z ＝z 1－z 2在复平面内对应的点Z 位于复平面内的(A )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：因为z1＝3＋2i，z2＝1－3i，所以z＝z1－z2＝3＋2i－(1－3i)＝(3－1)＋(2＋3)i＝2＋5i.所以点Z位于复平面内的第一象限，故选A.9．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是(B)A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以OA→，OB→为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB为直角三角形．10．若复数2－b i1＋2i(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b＝(C)A. 2B.23C．－23D．2解析：因为2－b i1＋2i＝（2－b i）（1－2i）5＝2－2b5－4＋b5i，又复数2－b i1＋2i(b∈R)的实部与虚部互为相反数，所以2－2b5＝4＋b5，即b＝－23.11．已知复数(x－2)＋y i(x，y∈R)的模为3，则yx的最大值是(D)A.32 B.33 C.12 D. 312．(2015·乌鲁木齐第三次诊断)已知a∈R，复数z＝a－i1－i是纯虚数(i是虚数单位)，则a ＝(B )A ．－2B ．－1C ．1 D. 2解析：z ＝（a －i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝a ＋12＋a －12i ，由题意，得a ＋12＝0且a －12≠0，解得a ＝－1，故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分；将正确答案填在题中的横线上)13．(2014·高考江苏卷)已知复数z ＝(5－2i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的实部是________．解析：由题意z ＝(5＋2i)2＝25＋2×5×2i ＋(2i)2＝21＋20i ，其实部为21.答案：2114．若复数z ＝a1＋i ＋i 为实数，则实数a ＝________．答案：215．已知z 、ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z2＋i，且|ω|＝52，则ω＝________．解析：由题意设(1＋3i)z ＝k i(k ≠0且k ∈R)，则ω＝k i（2＋i ）（1＋3i ）.∵|ω|＝52，∴k ＝±50，故ω＝±(7－i)． 答案：±(7－i)16．若复数2＋b i 31＋2i (b ∈R)在复平面上的对应点恰好在直线x ＋y ＝0上，则b 的值为________．解析：2＋b i 31＋2i＝2－2b 5－4＋b 5i ，则点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－2b 5，－4＋b 5在x ＋y ＝0上．∴b ＝－23. 答案：－23三、解答题(本大题共6小题，共70分；解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17．(本小题满分11分)已知(1＋2i)z －＝4＋3i ，求z 及zz －.解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z －＝a －b i. ∴(1＋2i)(a －b i)＝4＋3i ， ∴(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i.由复数相等，得解得⎩⎨⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.∴z ＝2＋i.∴z z －＝z ·z z －·z＝z 2|z |2＝4－1＋4i 5＝35＋45i.18．(本小题满分11分)复数z ＝log 3(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)，当x 为何实数时：(1)z ∈R? (2)z 为虚数？(3)z 表示的点在复平面的第一象限？解析：(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0， ①log 2（x －3）＝0，②x －3>0. ③由②得x ＝4，经验证满足①③式． 所以当x ＝4时，z ∈R.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不等于0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0，log 2（x －3）≠0，x －3>0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x >3＋212或x <3－212，x >3且x ≠4，即3＋212<x <4或x >4，所以当3＋212<x <4或x >4时，z 为虚数．(3)由题意知⎩⎨⎧x 2－3x －3>1，x －3>1，得⎩⎨⎧x 2－3x －4>0，x >4，所以⎩⎨⎧x >4或x <－1，x >4，得x >4.即x >4时，z 表示的点在复平面的第一象限． 19．(本小题满分12分)已知z ＝1＋i ，a ，b 为实数． (1)若ω＝z 2＋3z －4，求|ω|；(2)若z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，求a ，b 的值．解析：(1)ω＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i ，所以|ω|＝ 2. (2)由条件，得（a ＋b ）＋（a ＋2）ii ＝1－i ，所以(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i ，所以⎩⎨⎧a ＋b ＝1，a ＋2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝2.20．(本小题满分12分)对于任意两个复数z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i(x 1，x 2，y 1，y 2∈R)，定义运算“”为：z 1z 2＝x 1x 2＋y 1y 2.设非零复数ω1，ω2在复平面对应的点分别为P 1，P 2，点O 为坐标原点，若ω1ω2＝0，则在△P 1OP 2中，求∠P 1OP 2的大小．解析：设点P 1(x 1，y 1)，点P 2(x 2，y 2)， ∵OP1→＝(x 1，y 1)，OP 2→＝(x 2，y 2)， 又∵w 1⊗w 2＝x 1x 2＋y 1y 2＝OP 1→·OP 2→＝0， ∴OP1→⊥OP 2，∴∠P 1OP 2＝90°. 21．(本小题满分12分)(2014·长沙高二检测)(1)求复数z ＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模．(2)如果log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，试求自然数m ，n .解析：(1)|z |＝（1＋cos α）2＋sin 2α＝2＋2cos α＝－2cos α2.(2)因为log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，所以式子log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i是实数，从而有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0， ①log 12（m ＋n ）>－1. ② 由①得m ＝0或m ＝3，当m ＝0时代入②得n <2，又m ＋n >0，所以n ＝1； 当m ＝3代入②得n <－1，与n 是自然数矛盾． 综上可得m ＝0，n ＝1.22．(本小题满分12分)设复数z 满足|z |＝5，且(3＋4i)z 在复平面上对应的点在第二、第四象限的角平分线上，|2z －m |＝52(m ∈R)，求z 和m 的值．解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 又|z |＝5，所以x 2＋y 2＝25.①因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(x ＋y i)＝(3x －4y )＋(4x ＋3y )i 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，所以它的实部与虚部互为相反数，即3x －4y ＋4x ＋3y ＝0，即y ＝7x .代入①，得x ＝±22，y ＝±722.所以z ＝22＋722i 或z ＝－22－722i. 当z ＝22＋722i 时，2z ＝1＋7i ，|1＋7i －m |＝52，即(1－m )2＋72＝50，解得m ＝0或m ＝2；当z ＝－22－722i 时，2z ＝－1－7i ，同理可解得m ＝0或m ＝－2.。

数学人教A选修22课时规范训练：3数系的扩充和复数的概念 含解析

数学人教A选修22课时规范训练：3数系的扩充和复数的概念 含解析

第三章 3.13.1.1基础练习1．若x ，y ∈R ，z ＝x ＋y i 是虚数，则有( ) A ．x ＝0，y ∈R B ．x ≠0，y ∈R C ．x ∈R ，y ＝0 D ．x ∈R ，y ≠0【答案】D【解析】当z 为虚数时，实部为实数，虚部不等于0.2．如果用C ，R 和I 分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C 为全集，那么有( ) A ．C ＝R ∪I B ．R ∩I ＝{0} C ．R ＝C ∩I D ．R ∩I ＝∅ 【答案】D【解析】复数系的构成是复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )． 表示如下：复数⎩⎪⎨⎪⎧实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数(a ＝0)，非纯虚数(a ≠0).故选D ．3．(2019年广东东莞模拟)若复数z 1＝sin 2θ＋icos θ，z 2＝cos θ＋i 3sin θ(θ∈R)，z 1＝z 2，则θ等于( )A ．k π(k ∈Z )B ．2k π＋π3(k ∈Z )C ．2k π＋π6(k ∈Z )D ．2k π±π6(k ∈Z )【答案】C【解析】由复数相等的定义可知⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ＝cos θ，cos θ＝3sin θ.∴cos θ＝32，sin θ＝12.∴θ＝π6＋2k π，k ∈Z .故选C.4．若复数z ＝1a ＋5＋(a 2＋2a －15)i 为实数，则实数a 的值是( )A ．3B ．－5C ．3或－5D ．－3或5【答案】A【解析】若复数z ＝1a ＋5＋(a 2＋2a －15)i 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋5≠0，a 2＋2a －15＝0，解得a ＝3.5．已知i 是虚数单位，则复数1－i 的虚部是______．【答案】－1【解析】由复数的概念知复数1－i的虚部是－1.6．下列说法：①a∈R，则a i是纯虚数；②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；③若z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0；④两个虚数不能比较大小．其中正确的序号是________．【答案】④【解析】①中，若a＝0，则a i＝0是实数；②中，a＋i与b＋i是虚数，不能比较大小；③中，z1＝i，z2＝1时，z21＋z22＝0，但z1≠z2；④正确．7．判断下列命题的真假．(1)－1的平方根只有一个；(2)i是1的4次方根；(3)i是方程x6－1＝0的根；(4)方程x3－x2＋x－1＝0的根只有一个．【解析】(1)∵(－i)2＝i2＝－1，∴－i也是－1的平方根，故(1)为假命题．(2)∵i2＝－1，∴i4＝i2·i2＝(－1)2＝1，故(2)为真命题．(3)i6－1＝i2·i2·i2－1＝(－1)3－1＝－2≠0，故(3)为假命题．(4)由x3－x2＋x－1＝0得(x2＋1)(x－1)＝0，∴x2＝－1或x＝1，即x＝±i或x＝1都是方程x3－x2＋x－1＝0的根，故(4)为假命题．8．(2017年陕西西安期中)已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i；当实数m取什么值时，复数z是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)实数0.【解析】(1)当且仅当m2＋2m－3＝0，解得m＝－3或m＝1，即m＝－3或m＝1时复数z是实数．(2)当且仅当m2＋2m－3≠0，解得m≠－3且m≠1，即m≠－3且m≠1时复数z是虚数．(3)当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ m (m －1)＝0，m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0，即m ＝0时，复数z ＝－3i 为纯虚数．(4)当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)＝0，m 2＋2m －3＝0，解得m ＝1，即m ＝1时，复数z ＝0.能力提升9．已知复数z ＝(a 2－1)＋(a －2)i(a ∈R )，则“a ＝1”是“z 为纯虚数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 【答案】A【解析】复数z ＝(a 2－1)＋(a －2)i(a ∈R )为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a －2≠0，即a ＝1或－1，所以“a ＝1”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件．10．若z ＝sin θ－35＋⎝⎛⎭⎫cos θ－45i 是纯虚数，则tan θ的值为( ) A ．±34B ．±43C ．－34D ．34【答案】C【解析】若z ＝sin θ－35＋⎝⎛⎭⎫cos θ－45i ，则sin θ－35＝0且cos θ－45≠0，即cos θ≠45，sin θ＝35.又cos θ＝±1－sin 2θ＝±45，所以cos θ＝－45，tan θ＝sin θcos θ＝－34. 11．设i 是虚数单位，若关于x 的方程x 2－(2＋i)x ＋1＋m i ＝0(m ∈R )有一实根为n ，则m ＝________.【答案】1【解析】关于x 的方程x 2－(2＋i)x ＋1＋m i ＝0(m ∈R )有一实根为n ，可得n 2－(2＋i)n ＋1＋m i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2－2n ＋1＝0，m －n ＝0，即m ＝n ＝1. 12．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i,8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}满足M ∩N ⊆M ，求实数a ，b 的值．【解析】依题意得(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ，① 或8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i.② 由①，解得a ＝－3，b ＝±2， 由②，解得a ＝±3，b ＝－2.综上，a ＝－3，b ＝2，或a ＝－3，b ＝－2或a ＝3，b ＝－2.。

高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：第三章 数系的扩充和复数的引入 章末复习 Word版含答案

高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：第三章 数系的扩充和复数的引入 章末复习 Word版含答案

章末复习1．复数的概念：(1)虚数单位i ；(2)复数的代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )；(3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数． 2．复数集复数a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数(b ＝0)⎩⎨⎧有理数⎩⎪⎨⎪⎧整数分数无理数(无限不循环小数)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)3．复数的四则运算，若两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R ) (1)加法：z 1＋z 2＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a 1－a 2)＋(b 1－b 2)i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ；(4)除法：z 1z 2＝(a 1a 2＋b 1b 2)＋(a 2b 1－a 1b 2)i a 22＋b 22＝a 1a 2＋b 1b 2a 22＋b 22＋a 2b 1－a 1b 2a 22＋b 22i(z 2≠0)； (5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况； (6)特殊复数的运算：i n (n 为正整数)的周期性运算； (1±i)2＝±2i ；若ω＝－12±32i ，则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.4．共轭复数与复数的模(1)若z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i ，z ＋z 为实数，z －z 为纯虚数(b ≠0)． (2)复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2， 且z ·z ＝|z |2＝a 2＋b 2. 5．复数的几何形式(1)用点Z (a ，b )表示复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，用向量OZ →表示复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，Z 称为z 在复平面上的对应点，复数与复平面上的点一一对应(坐标原点对应实数0)． (2)任何一个复数z ＝a ＋b i 一一对应着复平面内一个点Z(a ，b )，也一一对应着一个从原点出发的向量OZ →.6．复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义若复数z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→、OZ 2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数． (2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→、OZ 2→的终点，并指向Z 1的向量所对应的复数．题型一 分类讨论思想的应用当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论．分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数．当x ＋y i 没有说明x ，y ∈R 时，也要分情况讨论．例1 已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)当z 为实数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0a 2－1≠0∴⎩⎨⎧a ＝－1或a ＝6a ≠±1，∴当a ＝6时，z 为实数． (2)当z 为虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0a 2－1≠0，∴⎩⎨⎧a ≠－1且a ≠6a ≠±1，∴a ≠±1且a ≠6， 即当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0a 2－7a ＋6a 2－1＝0，a 2－1≠0∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6a ＝6且a ≠±1∴不存在实数a ，使z 为纯虚数． 跟踪演练1 当实数a 为何值时，z ＝a 2－2a ＋(a 2－3a ＋2)i.(1)为实数； (2)为纯虚数； (3)对应的点在第一象限内； (4)复数z 对应的点在直线x －y ＝0.解 (1)z ∈R ⇔a 2－3a ＋2＝0，解得a ＝1或a ＝2.(2)z 为纯虚数，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＝0，a 2－3a ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝2，a ≠1且a ≠2.故a ＝0. (3)z 对应的点在第一象限，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＞0，a 2－3a ＋2＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，或a ＞2，a ＜1，或a ＞2，∴a ＜0，或a ＞2. ∴a 的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)． (4)依题设(a 2－2a )－(a 2－3a ＋2)＝0， ∴a ＝2.题型二 数形结合思想的应用数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法．本章中，复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现．它们得以相互转化．涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等．例2 已知等腰梯形OABC 的顶点A 、B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC .求顶点C 所对应的复数z . 解设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，如图． ∵OA ∥BC ，|OC |＝|BA |， ∴k OA ＝k BC ，|z C |＝|z B －z A |，即⎩⎪⎨⎪⎧21＝y －6x ＋2，x 2＋y 2＝32＋42，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－5y 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－3y 2＝4.∵|OA |≠|BC |，∴x 2＝－3，y 2＝4(舍去)， 故z ＝－5.跟踪演练2 已知复数z 1＝i(1－i)3. (1)求|z 1|；(2)若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值． 解 (1)|z 1|＝|i(1－i)3|＝|i|·|1－i|3＝2 2.(2)如图所示，由|z |＝1可知，z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O (0,0)的圆，而z 1对应着坐标系中的点Z 1(2，－2)．所以|z －z 1|的最大值可以看成是点Z 1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知|z －z 1|max ＝|z 1|＋r (r 为圆半径)＝22＋1. 题型三 转化与化归思想的应用在求复数时，常设复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，把复数z 满足的条件转化为实数x ，y 满足的条件，即复数问题实数化的基本思想在本章中非常重要．例3 已知z 是复数，z ＋2i ，z 2－i 均为实数，且(z ＋a i)2的对应点在第一象限，求实数a 的取值范围．解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i 为实数，∴y ＝－2. 又z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i)＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i 为实数， ∴x ＝4.∴z ＝4－2i ，又∵(z ＋a i)2＝(4－2i ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i 在第一象限．∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>08(a －2)>0，解得2<a <6. ∴实数a 的取值范围是(2,6)．跟踪演练3 已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y . 解 设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则y ＝a －b i. 又(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ， ∴4a 2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＝4，a 2＋b 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋i ，y ＝1－i或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－i ，y ＝1＋i 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋i ，y ＝－1－i 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－i ，y ＝－1＋i. 题型四 类比思想的应用复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分子分母有理化，且要注意i 2＝－1. 在运算的过程中常用来降幂的公式有(1)i 的乘方：i 4k ＝1，i 4k ＋1＝i ，i 4k ＋2＝－1，i 4k ＋3＝－i(k ∈Z )； (2)(1±i)2＝±2i ；(3)设ω＝－12±32i ，则ω3＝1，ω2＝ω，1＋ω＋ω2＝0，1ω＝ω2，ω3n ＝1，ω3n ＋1＝ω(ω∈N *)等；(4)⎝⎛⎭⎫12±32i 3＝－1； (5)作复数除法运算时，有如下技巧：a ＋b i b －a i ＝(a ＋b i )i (b －a i )i ＝(a ＋b i )ia ＋b i ＝i ，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化． 例4 计算：(1)(1－i)⎝⎛⎭⎫－12＋32i (1＋i)；(2)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 014. 解 (1)法一 (1－i)⎝⎛⎭⎫－12＋32i (1＋i)＝⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＋12i －32i 2(1＋i) ＝⎝⎛⎭⎪⎫3－12＋3＋12i (1＋i)＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2 ＝－1＋3i.法二 原式＝(1－i)(1＋i)⎝⎛⎭⎫－12＋32i＝(1－i 2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝2⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝－1＋3i.(2)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 014＝(－23＋i )i (1＋23i )i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 1 007＝(－23＋i )i i －23－1i 1 007＝i －1－i ＝i －i ＝0. 跟踪演练4 计算：(2＋i )(1－i )21－2i ＋(1－i )－(1＋i )2i 5－1－i 2 0151－i .解 (2＋i )(1－i )21－2i ＋(1－i )－(1＋i )2i 5－1－i 2 0151－i＝(2＋i )·(－2i )1－2i ＋(1－i )－2i i －1＋i1－i＝2－4i 1－2i＋1－3i i －(1＋i )22＝2－(i ＋3)－i ＝－1－2i.高考对本章考查的重点1．对复数的概念的考查是考查复数的基础，要求准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念．2．对复数四则运算的考查可能性较大，要加以重视，其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；对于复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数．最后整理成a＋b i(a，b∈R)的结构形式．3．对复数几何意义的考查．在高考中一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义．。

高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.2 Word版含答案

高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.2 Word版含答案

3.1.2 复数的几何意义[学习目标]1．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系． 2．掌握实轴、虚轴、模等概念．3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法． [知识链接]1．下列命题中不正确的有________． (1)实数可以判定相等或不相等； (2)不相等的实数可以比较大小； (3)实数可以用数轴上的点表示； (4)实数可以进行四则运算； (5)负实数能进行开偶次方根运算； 答案 (5)2．实数可以用数轴上的点来表示，实数的几何模型是数轴．由复数的定义可知任何一个复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，都和一个有序实数对(a ，b )一一对应，那么类比一下实数，能否找到用来表示复数的几何模型呢？答案 由于复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应，所以可以用直角坐标系作为复数的几何模型． [预习导引] 1．复数的几何意义 (1)复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． (2)复数与点、向量间的对应①复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )――→对应复平面内的点Z (a ，b )；②复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )――→对应平面向量OZ →＝(a ，b )．2．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝a 2＋b 2.要点一 复数与复平面内的点例1 在复平面内，若复数z ＝(m 2－2m －8)＋(m 2＋3m －10)i 对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围． 解 复数z ＝(m 2－2m －8)＋(m 2＋3m －10)i 的实部为m 2－2m －8，虚部为m 2＋3m －10. (1)由题意得m 2－2m －8＝0. 解得m ＝－2或m ＝4.(2)由题意，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －8＜0m 2＋3m －10＞0，∴2<m <4.(3)由题意，(m 2－2m －8)(m 2＋3m －10)<0， ∴2<m <4或－5<m <－2.(4)由已知得m 2－2m －8＝m 2＋3m －10，故m ＝25.规律方法 复数实部、虚部分别对应了复平面内相应点的横坐标和纵坐标，在复平面内复数所表示的点所处位置，决定了复数实部、虚部的取值特征．跟踪演练1 实数m 取什么值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i (1)对应的点在x 轴上方；(2)对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上．解 (1)由m 2－2m －15>0，得m <－3，或m >5，所以当m <－3，或m >5时，复数z 对应的点在x 轴上方．(2)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋4＝0，得m ＝1，或m ＝－52，所以当m ＝1，或m ＝－52时，复数z 对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上． 要点二 复数的模及其应用例2 已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围． 解 法一 ∵z ＝3＋a i(a ∈R )，∴|z |＝32＋a 2， 由已知得32＋a 2<42，∴a 2<7，∴a ∈(－7，7)．法二 利用复数的几何意义，由|z |<4知，z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z ＝3＋a i 知z 对应的点在直线x ＝3上， 所以线段AB (除去端点)为动点Z 的集合． 由图可知：－7<a <7.规律方法 利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想；根据复数模的意义，结合图形，可利用平面几何知识解答本题． 跟踪演练2 求复数z 1＝3＋4i ，z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的大小．解 |z 1|＝32＋42＝5，|z 2|＝⎝⎛⎭⎫－122＋()－22＝32.∵5>32，∴|z 1|>|z 2|.要点三 复数的模的几何意义例3 设z ∈C ，满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？ (1)|z |＝2； (2)|z |≤3.解 法一 (1)∵复数z 的模等于2，这表明向量OZ →的长度等于2，即点Z 到原点的距离等于2，因此满足条件|z |＝2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以2为半径的圆． (2)满足条件|z |≤3的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以3为半径的圆及其内部． 法二 (1)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，(1)|z |＝2，∴x 2＋y 2＝4， ∴点Z 的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆． (2)|z |≤3，∴x 2＋y 2≤9.∴点Z 的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆及其内部．规律方法 例3的法一是根据|z |表示点Z 和原点间的距离，直接判定图形形状．法二是利用模的定义，把复数问题转化为实数问题来解决，这也是本章的一种重要思想方法． 跟踪演练3 已知a ∈R ，则复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 所对应的点的轨迹是什么？ 解 ∵a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3， －(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1， ∴z 的实部为正数，虚部为负数， ∴复数z 所对应的点在第四象限．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2)， 消去a 2－2a ，得y ＝－x ＋2(x ≥3)， ∴复数z 对应点的轨迹是一条射线， 其方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)．1．在复平面内，复数z ＝i ＋2i 2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 ∵z ＝i ＋2i 2＝－2＋i ，∴实部小于0，虚部大于0，故复数z 对应的点位于第二象限． 2．当0<m <1时，z ＝(m ＋1)＋(m －1)i 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 D解析 ∵0<m <1，∴m ＋1>0，－1<m －1<0，故对应的点在第四象限内．3．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．1＋2i D ．－1＋2i 答案 B解析 ∵A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点B (－2,1)，∴向量OB →对应的复数为－2＋i. 4．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为________． 答案 9解析 ∵z ＝(m －3)＋2m i 表示的点在直线y ＝x 上， ∴m －3＝2m ，解之得m ＝9.1．复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应．2．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑.一、基础达标1．复数z ＝3＋i 3对应的点在复平面第几象限( ) A ．一 B ．二 C ．三D ．四答案 D解析 由i 2＝－1，z ＝3－i ，对应点坐标为(3，－1)．2．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 复数z 在复平面内对应的点为Z (3m －2，m －1)．由23<m <1，得3m －2>0，m －1<0.所以点Z 位于第四象限．故选D. 3．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( ) A ．4＋8i B ．8＋2i C ．2＋4i D ．4＋i答案 C解析 A (6,5)，B (－2,3)，∵C 为AB 的中点，∴C (2,4)，∴点C 对应的复数为2＋4i ，故选C.4．已知复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，当a ＝0时，复平面内的点z 的轨迹是( ) A ．实轴 B ．虚轴 C ．原点 D ．原点和虚轴答案 B解析 a ＝0时，z ＝b i ，复平面内的点z 的轨迹是虚轴．5．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于________． 答案 －1＋3i解析 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限， 所以a <0，由|z |＝2知，a 2＋(3)2＝2，解得a ＝±1， 故a ＝－1，所以z ＝－1＋3i.6．若复数(－6＋k 2)－(k 2－4)i(k ∈R )所对应的点在第三象限，则k 的取值范围是________． 答案 2<k <6或－6<k <－2 解析 ∵z 位于第三象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2－6<0，4－k 2<0，∴2<k <6或－6<k <－2. 7．复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，求|z |. 解 ∵复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0.解得a ＝1，∴z ＝2i.∴|z |＝2. 二、能力提升8．若θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，5π4，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 ∵θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，5π4，∴cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0.∴选B.9．设A 、B 为锐角三角形的两个内角，则复数z ＝(cos B －tan A )＋tan B i 对应的点位于复平面的( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 B解析 因A 、B 为锐角三角形的两个内角，所以A ＋B ＞π2，即A ＞π2－B ，sin A ＞cosB ．cos B －tan A ＝cos B －sin Acos A ＜cos B －sin A ＜0，又tan B ＞0，所以点(cos B －tan A ，tan B )在第二象限，故选B.10．复数z ＝log 123＋ilog 3 12对应的点位于复平面内的第________象限．答案 三解析 log 123<0，log 3 12<0，∴z ＝log 123＋ilog 3 12对应的点位于复平面内的第三象限．11．当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点： (1)位于第四象限；(2)位于x 轴负半轴上； (3)在上半平面(含实轴)．解 (1)要使点位于第四象限，须⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0m 2＋3m －28<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m <3或m >5－7<m <4，∴－7<m <3. (2)要使点位于x 轴负半轴上，须⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－8m ＋15<0m 2＋3m －28＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3<m <5m ＝－7或m ＝4，∴m ＝4.(3)要使点位于上半平面(含实轴)，须m 2＋3m －28≥0， 解得m ≥4或m ≤－7.12．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°且复数z 的模为2，求复数z . 解根据题意可画图形如图所示： 设点Z 的坐标为(a ，b )， ∵|OZ →|＝|z |＝2，∠xOZ ＝120°， ∴a ＝－1，b ＝±3，即点Z 的坐标为(－1，3)或(－1，－3)，∴z ＝－1＋3i 或z ＝－1－3i. 三、探究与创新13．试研究方程x 2－5|x |＋6＝0在复数集上解的个数． 解 设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则原方程可化为 a 2－b 2－5a 2＋b 2＋6＋2ab i ＝0⇒⎩⎨⎧a 2－b 2－5a 2＋b 2＋6＝02ab ＝0， ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝±2，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝±3，b ＝0 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝±1， 即x ＝±2或x ＝±3或x ＝±i. 故方程在复数集上的解共有6个。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

章末检测一、选择题1．i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( ) A ．i ∈S B ．i 2∈S C ．i 3∈S D ．2i∈S答案 B2．z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件答案 A解析 因为z 1＝z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3m 2＋m －4＝－2，解得m ＝1或m ＝－2，所以m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件．3．(2013·天津改编)已知i 是虚数单位，m ，n ∈R ，且m ＋i ＝1＋n i ，则m ＋n im －n i ＝( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i答案 D解析 由m ＋i ＝1＋n i(m ，n ∈R )，∴m ＝1且n ＝1.则m ＋n i m －n i ＝1＋i 1－i ＝(1＋i )22＝i.4．已知a 是实数，a －i1＋i 是纯虚数，则a 等于( )A ．1B ．－1C ． 2D ．－ 2 答案 A 解析a －i 1＋i ＝(a －i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝(a －1)－(a ＋1)i2是纯虚数，则a －1＝0，a ＋1≠0，解得a ＝1.5．若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 等于( ) A ．－2＋i B ．2＋i C ．1－2i D ．1＋2i答案 B解析 ∵(x －i)i ＝y ＋2i ，x i －i 2＝y ＋2i ， ∴y ＝1，x ＝2，∴x ＋y i ＝2＋i.6．已知2＋a i ，b ＋i 是实系数一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，则p ，q 的值为( ) A ．p ＝－4，q ＝5 B ．p ＝4，q ＝5 C ．p ＝4，q ＝－5 D ．p ＝－4，q ＝－5 答案 A解析 由条件知2＋a i ，b ＋i 是共轭复数，则a ＝－1，b ＝2，即实系数一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根是2±i ，所以p ＝－[(2＋i)＋(2－i)]＝－4，q ＝(2＋i)(2－i)＝5.7．(2013·新课标Ⅰ)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45C ．4D ．45答案 D解析 因为复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，所以z ＝|4＋3i|3－4i ＝53－4i ＝5(3＋4i )25＝35＋45i ，故z 的虚部等于45，故选D.8．i 是虚数单位，若1＋7i2－i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则ab 的值是( )A ．－15B ．3C ．－3D ．15 答案 C 解析1＋7i 2－i＝(1＋7i )(2＋i )5＝－1＋3i ，∴a ＝－1，b ＝3，ab ＝－3.9．(2013·广东)若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( ) A ．(2,4) B ．(2，－4) C ．(4，－2) D ．(4,2)答案 C解析 z ＝2＋4i i ＝4－2i 对应的点的坐标是(4，－2)，故选C.10．已知f (n )＝i n －i －n (n ∈N *)，则集合{f (n )}的元素个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．无数个答案 B解析 f (n )有三个值0,2i ，－2i. 二、填空题11．复平面内，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是________． 答案 (3,4)解析 ∵z ＝m 2－4m ＋(m 2－m －6)i 所对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m <0m 2－m －6>0，解得3<m <4.12．(2013·天津)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________. 答案 1＋2i解析 由(a ＋i)(1＋i)＝b i 得a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，即a －1＝0，a ＋1＝b ，解得a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i. 13．下列说法中正确的序号是________．①若(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，其中x ∈R ，y ∈∁C R ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y1＝－(3－y )；②2＋i>1＋i ；③虚轴上的点表示的数都是纯虚数； ④若一个数是实数，则其虚部不存在；⑤若z ＝1i ，则z 3＋1对应的点在复平面内的第一象限．答案 ⑤解析 由y ∈∁C R ，知y 是虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y1＝－(3－y )不成立，故①错误；两个不全为实数的复数不能比较大小，故②错误；原点也在虚轴上，表示实数0，故③错误；实数的虚部为0，故④错误；⑤中z 3＋1＝1i 3＋1＝i ＋1，对应点在第一象限，故⑤正确．14．下列是关于复数的类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则； ②由实数绝对值的性质|x |2＝x 2类比得到复数z 的性质|z |2＝z 2；③已知a ，b ，∈R ，若a －b ＞0，则a ＞b 类比得已知z 1，z 2∈C ，若z 1－z 2＞0，则z 1＞z 2； ④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义． 其中推理结论正确的是________． 答案 ①④ 三、解答题15．设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当m 为何值时， (1)z 是实数？(2)z 是纯虚数？解 (1)要使复数z 为实数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－2或－1.即当m ＝－2或－1时，z 是实数．(2)要使复数z 为纯虚数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1m 2＋3m ＋2≠0，解得m ＝3.即当m ＝3时，z 是纯虚数．16．设f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈N )，求集合{x |x ＝f (n )}中元素的个数．解 ∵1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i ，∴f (n )＝i n ＋(－i)n .设k ∈N .当n ＝4k 时，f (n )＝2，当n ＝4k ＋1时，f (n )＝i 4k ·i ＋(－i)4k ·(－i)＝0， 当n ＝4k ＋2时，f (n )＝i 4k ·i 2＋(－i)4k ·(－i)2＝－2， 当n ＝4k ＋3时，f (n )＝i 4k ·i 3＋(－i)4k ·(－i)3＝0， ∴{x |x ＝f (n )}中有三个元素．17．(2013·山东德州期中)已知z ＝1＋i ，a ，b 为实数． (1)若ω＝z 2＋3z －4，求|ω|； (2)若z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，求a ，b 的值．解 (1)因为ω＝z 2＋3z －4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i ，|ω|＝(－1)2＋(－1)2＝ 2. (2)由条件z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，得(1＋i )2＋a (1＋i )＋b(1＋i )2－(1＋i )＋1＝1－i.即(a ＋b )＋(a ＋2)ii＝1－i∴(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝2. 18．设z 1是虚数，z 2＝z 1＋1z 1是实数，且－1≤z 2≤1.(1)求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围； (2)若ω＝1－z 11＋z 1，求证：ω为纯虚数．(1)解 设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，则z 2＝z 1＋1z 1＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝⎝⎛⎭⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫b －b a 2＋b 2i.因为z 2是实数，b ≠0，于是有a 2＋b 2＝1，即|z 1|＝1，还可得z 2＝2a .由－1≤z 2≤1，得－1≤2a ≤1，解得－12≤a ≤12，即z 1的实部的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12.(2)证明 ω＝1－z 11＋z 1＝1－a －b i 1＋a ＋b i ＝1－a 2－b 2－2b i(1＋a )2＋b 2＝－b a ＋1i.因为a ∈[－12，12]，b ≠0，所以ω为纯虚数．模块检测模块检测一、选择题1．“金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是( ) A ．完全归纳推理 B ．归纳推理 C ．类比推理 D ．演绎推理答案 B解析 由特殊到一般的推理为归纳推理．故选B. 2．(2013·浙江)已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)( ) A ．－3＋i B ．－1＋3i C ．－3＋3i D ．－1＋i 答案 B解析 (－1＋i)(2－i)＝－2＋i ＋2i ＋1＝－1＋3i ，故选B. 3．设f (x )＝10x ＋lg x ，则f ′(1)等于( ) A ．10 B ．10ln10＋lge C ．10ln10＋ln10D ．11ln10 答案 B解析 ∵f ′(x )＝10x ln10＋1x ln10，∴f ′(1)＝10ln10＋lge ，故选B.4．若大前提：任何实数的平方都大于0，小前提：a ∈R ，结论：a 2>0，那么这个演绎推理出错在( ) A ．大前提 B ．小前提 C ．推理形式 D ．没有出错 答案 A5．观察下列数表规律则数2007的箭头方向是( ) A.2007→↑ B ．↓2007→ C ．↑→2007 D ．→2007↓答案 D解析 因上行奇数是首项为3，公差为4的等差数列，若2007在上行，则2007＝3＋(n －1)·4⇒n ＝502∈N *.故2007在上行，又因为在上行奇数的箭头为→a n ，故选D.6．函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a ，b 的值为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4b ＝11 B ．⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4b ＝11C ．⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝5D ．以上都不对答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2－2ax －b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2a －b ＝01－a －b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4b ＝11.经检验a ＝3，b ＝－3不合题意，应舍去． 7．给出下列命题：①⎠⎛b a d x ＝⎠⎛ab d t ＝b －a(a ，b 为常数且a<b)；②⎠⎛0－1x 2d x ＝⎠⎛01x 2d x ；③曲线y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与直线y ＝0围成的两个封闭区域面积之和为2.其中正确命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 B解析 ⎠⎛ab d t ＝b －a ≠⎠⎛ba d x ＝a －b ，故①错．y ＝x 2是偶函数，其在[－1,0]上的积分结果等于其在[0,1]上的积分结果，故②对．对于③有S ＝2⎠⎛0πsin x d x＝4.故③错．故选B .8．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD ＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体A －BCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AOOM 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 面的重心类比几何体的重心，平面类比空间，AG GD ＝2类比AO OM＝3，故选C . 9．曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A .92e 2B ．4e 2C ．2e 2D ．e 2答案 D解析 ∵y ′＝12e 12x ，∴y ＝e 12x 在(4，e 2)处的切线斜率为12e 2.∴过点(4，e 2)的切线方程为y ＝12e 2x －e 2，它与x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)和(0，－e 2)， ∴S ＝12×2×e 2＝e 2.故选D .10．(2013·湖北)已知a 为常数，函数f(x)＝x(ln x －ax)有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则( ) A ．f(x 1)＞0，f(x 2)＞－12B ．f(x 1)＜0，f(x 2)＜－12C ．f(x 1)＞0，f(x 2)＜－12D ．f(x 1)＜0，f(x 2)＞－12答案 D解析 函数f(x)＝x(ln x －ax)有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则f ′(x)＝ln x －2ax ＋1有两个零点，即方程ln x ＝2ax －1有两个根，由数形结合易知0＜a ＜12且0＜x 1＜1＜x 2.因为在(x 1，x 2)上f(x)递增，所以f(x 1)＜f(1)＜f(x 2)，即f(x 1)＜－a ＜f(x 2)，所以f(x 1)＜0，f(x 2)＞－12.故选D .二、填空题11．若复数z 满足z(1＋i )＝1－i (i 是虚数单位)，则其共轭复数z ＝________. 答案 i解析 设z ＝a ＋b i ，则(a ＋b i )(1＋i )＝1－i ， 即a －b ＋(a ＋b)i ＝1－i .由⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1，a ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1.所以z ＝－i ，z ＝i . 12．通过类比长方形，由命题“周长为定值l 的长方形中，正方形的面积最大，最大值为l 216”，可猜想关于长方体的相应命题为________________．答案 表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为⎝⎛⎭⎫S 632解析 正方形有4条边，正方体有6个面，正方形的面积为边长的平方，正方体的体积为边长的立方．由正方体的边长为⎝⎛⎭⎫S 612，通过类比可知，表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为⎝⎛⎭⎫S 632.13．已知函数f(x)＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1有两个极值点x 1，x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，则f(－1)的取值范围是________． 答案 [3,12] 解析因为f(x)有两个极值点x 1，x 2，所以f ′(x)＝3x 2＋4bx ＋c ＝0有两个根x 1，x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－2)≥0，f ′(－1)≤0，f ′(1)≤0，f ′(2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧12－8b ＋c ≥0，3－4b ＋c ≤0，3＋4b ＋c ≤0，12＋8b ＋c ≥0，画出可行域如图所示．因为f(－1)＝2b －c ，由图知经过点A(0，－3)时，f(－1)取得最小值3，经过点C(0，－12)时，f(－1)取得最大值12，所以f(－1)的取值范围为[3,12]．14．如图所示的数阵中，第20行第2个数字是________．答案1191解析 设第n(n ≥2且n ∈N *)行的第2个数字为1a n，其中a 1＝1，则由数阵可知a n ＋1－a n ＝n ，∴a 20＝(a 20－a 19)＋(a 19－a 18)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝19＋18＋…＋1＋1＝19×202＋1＝191，∴1a 20＝1191.三、解答题15．(2013·青岛二中期中)(1)已知z ∈C ，且|z |－i ＝z ＋2＋3i(i 为虚数单位)，求复数z2＋i的虚部．(2)已知z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i(i 为虚数单位)，且z 1z 2为纯虚数，求实数a 的值．解 (1)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，代入方程|z |－i ＝z ＋2＋3i ， 得出x 2＋y 2－i ＝x －y i ＋2＋3i ＝(x ＋2)＋(3－y )i ，故有⎩⎨⎧x 2＋y 2＝x ＋23－y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4，∴z ＝3＋4i ，复数z2＋i ＝3＋4i 2＋i ＝2＋i ，虚部为1.(2)z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝3a －8＋(4a ＋6)i 25，且z 1z 2为纯虚数， 则3a －8＝0，且4a ＋6≠0，解得a ＝83.16．已知a ，b ，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，求证： (1)a 2＋b 2＋c 2≥13；(2)a ＋b ＋c ≤ 3.证明 (1)∵a 2＋19≥23a ，b 2＋19≥23b ，c 2＋19≥23c ，∴⎝⎛⎭⎫a 2＋19＋⎝⎛⎭⎫b 2＋19＋⎝⎛⎭⎫c 2＋19≥23a ＋23b ＋23c ＝23.∴a 2＋b 2＋c 2≥13. (2)∵a ·13≤a ＋132，b ·13≤b ＋132，c ·13≤c ＋132，三式相加得a 3＋b 3＋c 3≤12(a ＋b ＋c )＋12＝1，∴a ＋b ＋c ≤ 3. 17．是否存在常数a ，b ，使等式121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝an 2＋n bn ＋2对一切n ∈N *都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明．解 若存在常数a ，b 使等式成立， 则将n ＝1，n ＝2代入上式，有⎩⎪⎨⎪⎧13＝a ＋1b ＋2，13＋415＝4a ＋22b ＋2.得a ＝1，b ＝4，即有121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n 2＋n 4n ＋2对于一切n ∈N *都成立． 证明如下：(1)当n ＝1时，左边＝121×3＝13，右边＝1＋14×1＋2＝13，所以等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时等式成立，即 121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＝k 2＋k 4k ＋2， 当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k 2＋k 4k ＋2＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k ＋12k ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k ＋12k ＋3 ＝k ＋12k ＋1·2k 2＋5k ＋22(2k ＋3)＝k ＋12k ＋1·(2k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3) ＝(k ＋1)(k ＋2)4k ＋6＝(k ＋1)2＋(k ＋1)4(k ＋1)＋2，也就是说，当n ＝k ＋1时，等式成立， 综上所述，等式对任何n ∈N *都成立．18．(2013·广东)设函数f (x )＝(x －1)e x －kx 2(其中k ∈R )． (1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，求函数f (x )在[0，k ]上的最大值M .解 (1)当k ＝1时，f (x )＝(x －1)e x －x 2，f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2x ＝x e x －2x ＝x (e x －2)． 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化如下表由表可知，函数f (x )(2)f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2kx ＝x e x －2kx ＝x (e x －2k )，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln (2k )， 令g (k )＝ln(2k )－k ，则g ′(k )＝1k －1＝1－k k ＞0，所以g (k )在⎝⎛⎦⎤12，1上递增， 所以g (k )≤ln2－1＝ln2－lne ＜0， 从而ln (2k )＜k ，所以ln(2k )∈[0，k ]，所以当x ∈(0，ln(2k ))时，f ′(x )＜0； 当x ∈(ln(2k )，＋∞)时，f ′(x )＞0；所以M ＝max{f (0)，f (k )}＝max{－1，(k －1)e k －k 3} 令h (k )＝(k －1)e k －k 3＋1，则h ′(k )＝k (e k －3k )， 令φ(k )＝e k －3k ，则φ′(k )＝e k －3＜e －3＜0， 所以φ(k )在⎝⎛⎦⎤12，1上递减， 而φ⎝⎛⎭⎫12·φ(1)＝⎝⎛⎭⎫e －32(e －3)＜0， 所以存在x 0∈⎝⎛⎦⎤12，1使得φ(x 0)＝0，且当k ∈⎝⎛⎭⎫12，x 0时，φ(k )＞0，当k ∈(x 0,1)时φ(k )＜0， 所以h (k )在⎝⎛⎭⎫12，x 0上单调递增， 在(x 0,1)上单调递减．因为h ⎝⎛⎭⎫12＝－12e ＋78＞0，h (1)＝0， 所以h (k )≥0在⎝⎛⎦⎤12，1上恒成立， 当且仅当k ＝1时取得“＝”．综上，函数f (x )在[0，k ]上的最大值M ＝(k －1)e k －k 3.。

相关文档
最新文档