【配套K12】2011中考数学一轮复习(几何篇)17.相似形的综合运用(一)

17.相似形的综合运用（一）
知识考点：
会综合运用相似三角形的有关概念、定理解答有关问题。

另外，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似的性质运用，是近几年中考的热点题型。

精典例题：
【例1】如图，已知，在边长为1的正方形ABCD 的一边上取一点E ，使AE ＝4
1
AD ，从AB 的中点F 作HF ⊥EC 于H 。

（1）求证：FH ＝FA ； （2）求EH ∶HC 的值。

证明：（1）连结EF ，FC ，在正方形ABCD 中，AD ＝AB ＝BC ，∠A ＝∠B ＝900
∵AE ＝
41AD ，F 为AB 的中点，∴BC
FB
AF AE =
∴△EAF ∽△FBC ，∴∠AEF ＝∠BFC ，∠EFA ＝∠CFB ∴∠EFC ＝900
，
2
1
=FC EF 又∵∠EFC ＝∠B ＝900
∴△EFC ∽△FBC
∴∠HEF ＝∠BFC ，∠ECF ＝∠BCF ∴∠AEF ＝∠HEF ，∠AFE ＝∠HFE ∴△EAF ≌△HEF ∴FH ＝FA
（2）由（1）得
2
1
=FC EF ，由（1）易证△EHF ∽△EFC ，从而可得EC EH EF ⋅=2，同理CE CH FC ⋅=2
，于是EH ∶HC ＝2
EF ∶2
FC ＝1∶4
变式：如图，在矩形ABCD 中，6
5
=BC AB ，点E 在BC 上，点F 在CD 上，且EC ＝
61BC ，FC ＝5
3
CD ，FG ⊥AE 于G ，。

求证：AG ＝4GE 。

（提示：证△ECF ∽△FDA 得EF ∶AF ＝1∶2，再证△EFG ∽△EAF
∽△FAG 即可）
【例2】已知，在△ABC 中，∠ACB ＝900
，过C 作CD ⊥AB 于D ，AD ＝m ，BD ＝n ，2
AC ∶
2BC ＝2∶1，又关于x 的方程012)1(24
1
22=-+--m x n x 的两实数根的差的平方小于
192，求整数m 、n 的值。

分析：如图，易证△ABC ∽△ADC ，2AC ∶2
BC ＝AD ∶BD ＝m ∶n ＝2∶1，即n m 2=，
再由方程两根差的平方小于192可得2
1
>
n ，又由判别式△≥0知n ≤2 ∴
2
1
＜n ≤2，又n 为整数，∴n ＝1，2 ∴m ＝2，n ＝1或m ＝4，n ＝2 例1图
B
娈式图
G
F
E D C
B
A
例2图
D
C
B A
13 F
E
D
C
B A
问题一图
13 F
E
D
C
B A G
问题一图
探索与创新：
【问题一】已知：如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF ⊥ EC 交AB 于F ，连结FC （AB ＞AE ）。

（1）△AEF 与△EFC 是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由。

（2）设
BC
AB
＝k ，是否存在这样的k 值，使得△AEF 与△BFC 相似，若存在，证明你的结论并求出k 的值；若不存在，说明理由。

解：（1）相似，如图
证明：延长FE 与CD 的延长线交于点G 。

在Rt △AEF 与Rt △DEG 中
∵E 是AD 的中点
∴AE ＝ED ，∠AEF ＝∠DEG ，∠A ＝∠EDG ∴△AFE ≌△DGE
∴E 为FG 的中点。

又CE ⊥FG ，∴FC ＝GC ∴∠CFE ＝∠G 。

∴∠AFE ＝∠EFC ，又
△AEF 与△EFC 均为直角三角形
∴△AEF ∽△EFC 。

（2）①存在。

如果∠BCF ＝∠AEF ，即k ＝
2
3
=BC AB 时，△AEF ∽△BCF 。

证明：当
2
3=BC AB 时，3=DE DC 。

∴∠ECG ＝300。

∴∠ECG ＝∠ECF ＝∠AEF ＝300
，∴
∠BCF ＝900
－600
＝300。

又△AEF 和△BCF 均为直角三角形。

∴△AEF ∽△BCF 。

②因为EF 不平行于BC ，∴∠BCF ≠∠AFE 。

∴不存在第二种相似情况。

跟踪训练：
一、填空题：
1、在Rt △ABC 中，∠BAC ＝900
，AD ⊥BC 于D ，AB ＝2，DB ＝1，则DC ＝ ，AD ＝ 。

2、在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝15，D 为AB 上一点，BD ＝
3
1
AB ，在AC 上取一点E ，得△ADE ，当AE 的长为 时，图中的两个三角形相似。

3、在Rt △ABC 中，AD 为斜边上的高，ABD ABC S S ∆∆=4，则AB ∶BC ＝ 。

二、选择题：
在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，CD ⊥AB 于D ，AB ＝a ，则DB ＝（ ） A 、
4a B 、3a C 、2a D 、4
3a 三、解答题：
1、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝900
，CD ⊥AB 于D ，为了求出AC ，在图中你能找出哪些适当的条件？
第1题图
A
C
D B 第2题图
F E
A C
D B
2、如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，E 是BC 上任意一点，EF ⊥AB 于F 。

求证：
EF CD AF AD AC ⋅+⋅=2。

3、如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，点M 在CD 上，DH ⊥BM 且与AC 的延长线交于点E 。

求证：
（1）△AED ∽△CBM ； （2）CD AC CM AE ⋅=⋅
第3题图
M H
F E
A
C D
B
第4题图
G F
E
A
C
D
B
4、已知，如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝900
，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，CE 的延长线交AB 于点F ，过点E 作EG ∥BC 交AB 于点G ，16=⋅AD AE ，
54=AB ，求EG 的长。

跟踪训练参考答案
一、填空题：
1、3，3；
2、10或
5
32
；3、1∶2； 二、选择题：A 三、解答题：
1、AD 、DC ；AB 、BC ；AD 、AB ；AD 、BD ；AB 、BD ；CD 、BD ；BD 、BC ；BC 、CD ；AD 、BC ；AB 、CD 等。

2、由△ADC ∽△ACB 得FB AD AF AD FB AF AD AB AD AC ⋅+⋅=+=⋅)(2
，又由△
ACD ∽△EBF 得EF CD FB AD ⋅=⋅，所以EF CD AF AD AC ⋅+⋅=2
3、略
4、4。