【配套K12】2011中考数学一轮复习(几何篇)17.相似形的综合运用(一)
中考数学一轮复习精品讲义 相似 人教新课标版
第二十七章相似本章小结小结1 本章概述本章内容是对三角形知识的进一步认识，是通过许多生活中的具体实例来研究相似图形．在全等三角形的基础上，总结出相似三角形的判定方法和性质，使学过的知识得到巩固和提高．在学习过程中，通过大量的实践活动来探索三角形相似的条件，并应用相似三角形的性质及判定方法来研究和解决实际问题．在研究相似三角形的基础上学习位似图形，知道位似变换是特殊的相似变换．小结2 本章学习重难点【本章重点】通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于相似比的平方．了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件．【本章难点】通过具体实例观察和认识生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题．【学习本章应注意的问题】通过生活中的实例认识物体和图形的相似，探索并认识相似图形的特征，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例以及面积的比与相似比的关系，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题，了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小，会建立坐标系描述点的位置，并能表示出点的坐标．小结3 中考透视图形的相似在中考中主要考查：(1)了解比例的基本性质，了解线段的比及成比例线段．(2)认识相似图形，了解相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于相似比的平方．(3)了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件，能利用图形的相似解决一些实际问题．(4)了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小．相似是平面几何中重要的内容，在近几年的中考中题量有所增加，分值有所增大，且题型新颖，如阅读题、开放题、探究题等．由于相似图形应用广泛，且与三角形、平行四边形联系紧密，估计在今后中考的填空题、选择题中将会注重相似三角形的判定与性质等基础知识的考查，并在解答题中加大知识的横向与纵向联系．具体考查的知识点有相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用、图形的放大与缩小等．知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 比例线段【专题解读】解决有关比例线段的问题时，常常利用三角形相似来求解．例1 如图27－96所示，A，B，D，E四点在⊙O上，AE，BD的延长线相交于点C，AE＝8，OC＝12，∠EDC＝∠BAO．(1)求证CD CE AC CB=；(2)计算CD·CB的值，并指出CB的取值范围．分析利用△CDE∽△CAB，可证明CD CE AC CB=．证明：(1)∵∠EDC＝∠BAO，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAB，∴CD CE AC CB=.解：(2)∵AE＝8，OC＝12，∴AC＝12+4＝16，CE=12－4＝8．又∵CD CE AC CB=，∴CD·CB＝AC·CE＝16×8＝128．连接OB，在△OBC中，OB＝12AE＝4，OC=12，∴8＜BC＜16．【解题策略】将证CD CEAC CB=转化为证明△CDE∽△CAB.专题2 乘积式或比例式的证明【专题解读】证明形如22a cb d=，33a cb d=或abcdef=1的式子，常将其转化为若干个比例式之积来解决．如要证22a cb d=，可设法证a cb x=，a xb d=，然后将两式相乘即可，这里寻找线段x便是证题的关键。
中考数学一轮复习相似图形复习课件
A.4个
C
B. 5个
D
C. 6个B
E
A
F
D. 7个
▪ 3．如果在△ABC中，点D、 E、F分别为BC、AC、AB的 中 点 ， AB ＝ 5 ， BC ＝ 12 ， AC＝13，那么△DEF的周长 ＝ _______1_5__ ， 面 积 ＝ ______7_._5__．
5某生活小区开辟了一块矩形绿草地，并画 了甲、乙两张规划图，其比例尺分别为
把它裁剪成一个正方形材料备用，使正方形
的 一 边 在 BC 上 ， 其 余 两 个 顶 点 分 别 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ AB 、 AC上，问这个正方形材料的边长是多少？
图4—8—5
解：设这个正方形材料的边长 为x cm
则△PAN的边PN上的高为（8 －x） cm
∵由已知得：△APN∽△ABC ∴=，即=解得：x=4.8
∴a:b=b:c ∴b2=ac
b a
A
B
8.BD,CE是△ABC的高，直线DG⊥BC,且与 直线BA,CE,BC相交于H,F,G.
求证：GD2=GF•GH分析：
H
A
E
D
∵△BGD∽△DGC ∴DG:CG=BG:DG ∴DG2=BG •CG ∵△BGH∽△FGC ∴GH:GC=BG:GF ∴BG •CG=GH •GF
相似多边形的对应边成比 例，对应角相等；对应边 成比例，对应角相等的两 个多边形是相似多边形
相
似
图
形
相似多 边形
相似三角形
相似三角形的 判定方法和性 质 三角形中位线
梯形中位线
三角形重心
坐标表示物体的 位置
坐标与图形的 运动
定义 ：
对应角相等，对应边成比例的三角形叫相似三角形.
[推荐学习]2011中考数学一轮复习(几何篇)17.相似形的综合运用(一)
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17.相似形的综合运用（一）知识考点：会综合运用相似三角形的有关概念、定理解答有关问题。
另外，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似的性质运用，是近几年中考的热点题型。
精典例题：【例1】如图，已知，在边长为1的正方形ABCD 的一边上取一点E ，使AE ＝41AD ，从AB 的中点F 作HF ⊥EC 于H 。
（1）求证：FH ＝FA ； （2）求EH ∶HC 的值。
证明：（1）连结EF ，FC ，在正方形ABCD 中，AD ＝AB ＝BC ，∠A ＝∠B ＝900∵AE ＝41AD ，F 为AB 的中点，∴BCFBAF AE =∴△EAF ∽△FBC ，∴∠AEF ＝∠BFC ，∠EFA ＝∠CFB ∴∠EFC ＝900，21=FC EF 又∵∠EFC ＝∠B ＝900∴△EFC ∽△FBC∴∠HEF ＝∠BFC ，∠ECF ＝∠BCF ∴∠AEF ＝∠HEF ，∠AFE ＝∠HFE ∴△EAF ≌△HEF ∴FH ＝FA（2）由（1）得21=FC EF ，由（1）易证△EHF ∽△EFC ，从而可得EC EH EF ⋅=2，同理CE CH FC ⋅=2，于是EH ∶HC ＝2EF ∶2FC ＝1∶4变式：如图，在矩形ABCD 中，65=BC AB ，点E 在BC 上，点F 在CD 上，且EC ＝61BC ，FC ＝53CD ，FG ⊥AE 于G ，。
求证：AG ＝4GE 。
（提示：证△ECF ∽△FDA 得EF ∶AF ＝1∶2，再证△EFG ∽△EAF∽△FAG 即可）【例2】已知，在△ABC 中，∠ACB ＝900，过C 作CD ⊥AB 于D ，AD ＝m ，BD ＝n ，2AC ∶2BC ＝2∶1，又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 的两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值。
分析：如图，易证△ABC ∽△ADC ，2AC ∶2BC ＝AD ∶BD ＝m ∶n ＝2∶1，即n m 2=，再由方程两根差的平方小于192可得21>n ，又由判别式△≥0知n ≤2 ∴21＜n ≤2，又n 为整数，∴n ＝1，2 ∴m ＝2，n ＝1或m ＝4，n ＝2例1图B娈式图GFE D CBA例2图DCB A13 FEDCB A问题一图13 FEDCB A G问题一图探索与创新：【问题一】已知：如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF ⊥ EC 交AB 于F ，连结FC （AB ＞AE ）。
人教中考数学《相似的综合》专项训练及详细答案
一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：y=x2+2x+1=（x+1）2的图象沿x轴翻折，得y=﹣（x+1）2，把y=﹣（x+1）2向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得y=﹣x2+4，∴所求的函数y=ax2+bx+c的解析式为y=﹣x2+4（2）解：∵y=x2+2x+1=（x+1）2，∴A（﹣1，0），当y=0时，﹣x2+4=0，解得x=±2，则D（﹣2，0），C（2，0）；当x=0时，y=﹣x2+4=4，则B（0，4），从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：△ACB，△ADB，△CDB，∵AC=3，AD=1，CD=4，AB= ，BC=2 ，BD=2 ，∴△BCD为等腰三角形，∴构造的三角形是等腰三角形的概率=（3）解：存在，易得BC的解析是为y=﹣2x+4，S△ABC= AC•OB= ×3×4=6，M点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2），①当N点在AC上，如图1，∴△AMN的面积为△ABC面积的，∴（m+1）（﹣2m+4）=2，解得m1=0，m2=1，当m=0时，M点的坐标为（0，4），N（0，0），则AN=1，MN=4，∴tan∠MAC= =4；当m=1时，M点的坐标为（1，2），N（1，0），则AN=2，MN=2，∴tan∠MAC= =1；②当N点在BC上，如图2，BC= =2 ，∵BC•AN= AC•BC，解得AN= ，∵S△AMN= AN•MN=2，∴MN= = ，∴∠MAC= ；③当N点在AB上，如图3，作AH⊥BC于H，设AN=t，则BN= ﹣t，由②得AH= ，则BH= ，∵∠NBG=∠HBA，∴△BNM∽△BHA，∴，即，∴MN= ，∵AN•MN=2，即•（﹣t）• =2，整理得3t2﹣3 t+14=0，△=（﹣3 ）2﹣4×3×14=﹣15＜0，方程没有实数解，∴点N在AB上不符合条件，综上所述，tan∠MAN的值为1或4或【解析】【分析】（1）将y=x2+2x+1配方成顶点式，根据轴对称的性质，可得出翻折后的函数解析式，再根据函数图像平移的规律：上加下减，左加右减，可得出答案。
相似与全等综合运用
相似及解直角三角形（一）知识要点知识点1 三角形的边、角关系①三角形任何两边之和大于第三边；②三角形任何两边之差小于第三边；③三角形三个内角的和等于180°；④三角形三个外角的和等于360°；⑤三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；⑥三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
知识点2 三角形的主要线段和外心、内心①三角形的角平分线、中线、高；②三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到各顶点的距离相等；③三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三边的距离相等；④连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
知识点3等腰三角形等腰三角形的识别：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）；③三边相等的三角形是等边三角形；④三个角都相等的三角形是等边三角形；⑤有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
等腰三角形的性质：①等边对等角；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；③等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴；④等边三角形的三个内角都等于60°。
知识点4直角三角形直角三角形的识别：①有一个角等于90°的三角形是直角三角形；②有两个角互余的三角形是直角三角形；③勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
直角三角形的性质：①直角三角形的两个锐角互余；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ③勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
知识点5 全等三角形定义、判定、性质 知识点6 相似三角形⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧三条对应边的比相等两个对应角相等夹角相等两对应边的比相等判定方法定义相似三角形,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫相似比平方面积比等于相似比周长比对应高的比对应边的比相似三角形的性质【典型例题】例1. （1）已知：等腰三角形的一边长为12，另一边长为5，求第三边长。
中考数学一轮复习专题解析—相似三角形
中考数学一轮复习专题解析—相似三角形复习目标1.了解相似图形和相似三角形的概念。
2.掌握三角形相似的判定方法和性质并学会运用。
考点梳理一、相似图形1.形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.2.比例线段的相关概念如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nm b a =，或写成n m b a ::=． 注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位． 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注意：(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．(2)比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． 3. 比例的性质基本性质：(1)bc ad d c b a =⇔=::；(2)b a c b c c a ⋅=⇔=2::．注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a b c d a c d c b d b ad b c a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 反比性质(把比的前项、后项交换)：cd a b d c b a =⇒=． 合比性质：dd c b b a d c b a ±=±⇒=． 注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a c c d a a b d c b a 等等． 等比性质： 如果)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．4.比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边．5.黄金分割把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB 例1．如果0ab cd =≠，则下列正确的是（ ）A ．::a c b d =B ．::a d c b =C ．::a b c d =D ．::d c b a = 【答案】B【分析】根据比例的基本性质，列出比例式即可．【详解】解：∵0ab cd =≠，∵::a d c b =，故选：B ．例2．两个相似多边形的一组对应边的长分别为6cm ，9cm ，那么它们的相似比为（ ）A ．23B C ．49 D ．94【答案】A【分析】根据相似多边形的性质求解即可；【详解】两个相似多边形一组对应边的长分别为6cm ，9cm ，∵它们的相似比为：6293=．故选A ．二、相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∵”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注意：∵对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．∵顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．∵两个三角形形状一样，但大小不一定一样．∵全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．三、相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∵ABC ∆．(2)对称性：若ABC ∆∵'''C B A ∆，则'''C B A ∆∵ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∵C B A '∆''，且C B A '∆''∵C B A ''''''∆，则ABC ∆∵C B A ''''''∆．四、相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：五、三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
【配套K12】2011中考数学一轮复习(几何篇)18.相似形的综合运用(二)
18.相似形的综合运用（二）知识考点：本节知识包括综合运用三角形相似的性质与判定定理，这是中考的必考内容，另外，以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型。
精典例题：【例1】如图已知，△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，AC ＝4，PQ ∥AB ，P 点在AC 上（与点A 、C 不重合），Q 点在BC 上。
（1）当△PQC 的面积与四边形PABQ 的面积相等时，求CP 的长。
（2）当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长。
（3）试问：在AB 上是否存在点M ，使得△PQM 为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ 的长。
解：（1）∵PABQ PQ C S S 四边形=∆，∴2:1:=∆∆ABC PQ C S S 又∵PQ ∥AB ，∴△PQC ∽△ABC ∴212=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆AC PC S S ABCPQC ，∴821422=⨯=PC故22=PC（2）∵△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等∴PC ＋CQ ＝PA ＋AB ＋QB ＝21（△ABC 的周长）＝6 又∵PQ ∥AB ，∴CB CQ CA CP =，即364CP CP -=，解得724=CP例1图1QPCBA 例1图2 例1图3（3）①依题意得（如图2）当∠MPQ ＝900，PM ＝PQ 时，由勾股定理的逆定理得∠C＝900，∴△ABC 的AB 边上的高为512，设PM ＝PQ ＝x ∵PQ ∥AB ，△CPQ ∽△CAB ，∴5125125xx -=，解得3760=x ，即3760=PC当090='∠QP M ，M Q QP '=时，同理可得3760=PC ②依题意得（如图3）当∠PMQ ＝900，MP ＝MQ 时，由等腰直角三角形的性质得：M到PQ 的距离为21PQ ，设PQ ＝x ，由PQ ∥AB 可得△CPQ ∽△CAB ，所以有： 5215125x x -=，解得49120=x ，即49120=PQ 【例2】如图，△ABC ≌△C B A '''，∠C ＝∠C '＝900，AC ＝3cm ，B A ''＝5cm ，先将△ABC 和△C B A '''完全重合，再将△ABC 固定，△C B A '''沿CB 所在的直线向左以每秒1cm 的速度平行移动，设移动x 秒后，△ABC 与△C B A '''的重叠部分的面积为y cm 2，则y 与x 之间的函数关系式为 ， 秒后重叠部分的面积为83cm 2。
中考数学全景透视一轮复习学案：相似图形
（二）：【课前练习】
1.已知
x x y =3，那么 的值是____________ y y
AC CB ≈0．6 18，那么 的近似值是_______ AB AC
2.已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点，带
3.已知三个数 1，2， 3 ，请你再添上一个（只填一个）数，使它们能构成一个比 例式，则这个数是 。
a m 那么就说这两条线段的比是 a：b=m：n，或写成 = ，和数的一样，两条线 b n
段的比 a、b 中，a 叫做比的前项 b 叫做比的后项． 注意：①针对两条线段；②两条线段的长度单位相同，但与所采用的单位无关； ③其比值为一个不带单位的正数． （2）线段成比例及有关概念的意义：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另 外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，已知四条
a c 线段 a、b、c、d，如果 = 或 a：b=c：d，那么 a、b、c、d 叫做成比例的项， b d
线段 a、d 叫做比例外项，线段 b、d 叫做比例内项，线段 d 叫做 a、b、c 的第
四比例项，当比例内项相同时，即 和 c 的比例中项． （3）比例的性质，
a b 或 a：b=b：c，那么线段 b 叫做线段 a b c
①基本性质：如果 a：b=c：d，那么 ad=bc；反之亦成立。 ②合比性质：若 = ，则
a b c d
ab cd b d
③等比性质：若
a c e m ，则 … （b d f … +n 0 ） b d f n
a c e … +m a b d f … +n b
三：【课后训练】
1.下列各组线段中．能成比例的是（ ） A．3，6，7，9 B．2，5，6，8 C．3，6，9，18 D．1，2，3，4
备战中考数学——相似的综合压轴题专题复习及答案解析
备战中考数学——相似的综合压轴题专题复习及答案解析一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P 是MN上一点，求△PDC周长的最小值．【答案】（1）解：结论：CF=2DG．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，∵DE=AE，∴AD=CD=2DE，∵EG⊥DF，∴∠DHG=90°，∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，∴∠CDF=∠DEG，∴△DEG∽△CDF，∴ = = ，∴CF=2DG（2）解：作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG= ，EG= ，DH= = ，∴EH=2DH=2 ，∴HM= =2，∴DM=CN=NK= =1，在Rt△DCK中，DK= = =2 ，∴△PCD的周长的最小值为10+2 ．【解析】【分析】（1）结论：CF=2DG．理由如下：根据正方形的性质得出AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，根据中点的定义得出AD=CD=2DE，根据同角的余角相等得出∠CDF=∠DEG，从而判断出△DEG∽△CDF，根据相似三角形对应边的比等于相似比即可得出结论；（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK，由题意得CD=AD=10，ED=AE=5，DG=，EG=，根据面积法求出DH的长，然后可以判断出△DEH相似于△GDH，根据相似三角形对应边的比等于相似比得出EH=2DH=，再根据面积法求出HM的长，根据勾股定理及矩形的性质及对称的性质得出DM=CN=NK= 1，在Rt△DCK中，利用勾股定理算出DK的长，从而得出答案。
中考数学一轮复习 基础考点及题型 专题24 相似形(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
专题24 相似形考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一相似图形及比例线段相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.相似多边形：若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。
特征：对应角相等，对应边成比例。
比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．【基础题型】1．（2019·某某中考模拟）如果a：b＝3：2，且b是a、c的比例中项，那么b：c等于（）A．4：3 B．3：4 C．2：3 D．3：2【答案】D【详解】解：∵a：b=3：2，b是a和c的比例中项，即a：b=b：c，∴b：c=3：2．故选：D．2．（2019·某某中考模拟）下列四条线段能成比例线段的是（）A．1，1，2，3 B．1，2，3，4 C．2，2，3，3 D．2，3，4，5【答案】C【解析】A选项中，因为1：1≠2：3，所以A中的四条线段不是成比例线段；B选项中，因为1：2≠3：4，所以B中的四条线段不是成比例线段；C选项中，因为2：2=3：3，所以C中的四条线段是成比例线段；D选项中，因为2：3≠3：4，所以D中的四条线段不是成比例线段.故选C.3．（2018·某某中考模拟）若xx+x =35，则xx等于（）A．32B．38C．23D．85【答案】A【详解】根据比例的基本性质得：5x=3（x+y），即2x=3y，即得xx =32，故选A．4．（2019·某某中考模拟）下列图案中花边的内外边缘（每个图形边缘等宽）所围成的图形不相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】A 、两个不等边三角形形状相同，符合相似形的定义，故A 选项不符合要求；B 、两个等边三角形形状相同，符合相似形的定义，故B 选项不符合要求；C 、两个正方形形状相同，符合相似形的定义，故C 选项不符合要求；D 、两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故D 选项符合要求， 故选D ．5．（2019·某某中考真题）若x :x =3:4，且x +x =14，则2x −x 的值是（ ） A ．4 B ．2C ．20D ．14【答案】A 【详解】解：由a ：b ＝3：4x :x =3:4知34b a =， 所以43ab =． 所以由x +x =14得到：4143aa +=， 解得x =6． 所以x =8．所以22684a b -=⨯-=． 故选：A ． 【考查题型汇总】考查题型一 利用平行线分线段成比例定理求线段长度1．（2019·某某中考模拟）如图，在△xxx 中，D 、E 分别在边AB 、AC 上，xx //xx ，xx //xx 交AB 于F ，那么下列比例式中正确的是()A ．xx xx =xxxx B ．xx xx =xxxxC ．xx xx =xxxxD ．xx xx =xxxx【答案】C 【详解】A 、∵EF ∥CD ，DE ∥BC ，∴xx xx =xx xx ，xx xx =xx xx ，∵CE≠AC，∴xx xx ≠xxxx ，故本选项错误；B 、∵EF ∥CD ，DE ∥BC ，∴xxxx =xxxx ，xxxx =xxxx ，∴xxxx =xxxx ，∵AD≠DF，∴xxxx ≠xxxx ，故本选项错误； C 、∵EF ∥CD ，DE ∥BC ，∴xxxx =xxxx ，xxxx =xxxx ，∴xxxx =xxxx ，故本选项正确；D 、∵EF ∥CD ，DE ∥BC ，∴xxxx =xxxx ，xxxx =xxxx ，∴xxxx =xxxx ，∵AD≠DF，∴xxxx ≠xxxx ，故本选项错误. 故选C.2．（2019·某某中考模拟）如图，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，下列条件中能够判定DE ∥BC 的是（ ）A ．xx xx =xxxx B ．xx xx =xxxxC ．xx xx =xxxxD ．xx xx =xxxx【答案】D 【详解】A ．由xx xx =xxxx ，不能得到DE ∥BC ，故本选项不合题意； B ．由xxxx =xxxx ，不能得到DE ∥BC ，故本选项不合题意； C ．由xxxx =xxxx ，不能得到DE ∥BC ，故本选项不合题意； D ．由xxxx =xxxx ，能得到DE ∥BC ，故本选项符合题意；故选D ．3．（2019·某某中考模拟）在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，如果AD ＝2，BD ＝3，那么由下列条件能够判定DE ∥BC 的是( ) A ．xxxx ＝23 B ．xxxx ＝25C ．xxxx ＝23D ．xxxx ＝25【答案】D 【详解】解：当xxxx =xxxx 或xxxx =xxxx 时, DE ∥BD ,即xxxx =23或xxxx =25.所以D 选项是正确的.4．（2017·某某中考模拟）如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB ＝3∶5，那么CF ∶CB 等于( )A ．5∶8B ．3∶8C ．3∶5D ．2∶5【答案】A 【解析】∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴xx xx =xx xx =35，xx xx =xxxx ， ∴xxxx =35， ∴xxxx =53，∴xxxx +xx =53+5，即xxxx =58. 故选A.5．（2018·某某省某某市鄞州实验中学中考模拟）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，DE ∥BC ，已知AE=6，AD DB 34，则EC 的长是A ．4.5B ．8 C. 10.5 D ．14【答案】B 。
专题17相似(课件)-备战2025年中考数学一轮复习课件与题型归纳专练(全国通用)
A
B
C
D
E
F
3.如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；4.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相 等，那么这两个三角形相似.
作位似图形的步骤
强化训练
谢谢观看！
外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外.内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上.
位似图形的分类
位似图形的性质
位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接截取点.
若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项.
如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项.
比例的基本性质
①如果a：b=c：d，那么ad=bc ；②如果a：b=b：c，那么。
判定三角形相似的思路：
有平行截线
判定定理
有一对等角
找另一对等角或找夹边成比例
有两边对应成比例
找夹角相等或第三边成比例或有一对直角
直角三角形
找一对锐角相等或斜边直角边对应成比例
中考数学考点解析立体几何中的相似与全等的应用
中考数学考点解析立体几何中的相似与全等的应用在中考数学中，立体几何是一个重要的考点。
其中，相似与全等是立体几何中常见的应用概念。
本文将对中考数学中关于相似与全等的应用进行解析，并且提供相关例题进行讲解。
一、相似与全等的定义相似：对于两个图形来说，如果它们的形状相同但尺寸可以不同，那么我们就可以说这两个图形相似。
全等：对于两个图形来说，如果它们的形状和尺寸都完全相同，那么我们就可以说这两个图形全等。
二、相似与全等的判定方法相似判定方法：1. AAA准则：如果两个三角形的对应的角分别相等，那么可以判定它们相似。
2. AA准则：如果两个三角形的一个角相等，并且对应的两边成比例，那么可以判定它们相似。
3. SSS准则：如果两个三角形的对应的边分别成比例，那么可以判定它们相似。
全等判定方法：1. SSS准则：如果两个三角形的对应的边分别相等，那么可以判定它们全等。
2. SAS准则：如果两个三角形的一个角相等，并且对应的两边分别相等，那么可以判定它们全等。
三、相似与全等的应用1. 相似的应用：相似三角形的应用非常广泛。
在几何图形的放缩、测量以及投影等问题中，相似三角形的性质可以帮助我们解决一些实际问题。
例如，当我们需要放大或缩小一个图形时，可以利用相似三角形的性质，通过测量和比例计算来确定对应的尺寸。
另外，当我们进行物体的投影或放影时，也常常用到相似三角形的原理。
2. 全等的应用：全等三角形的应用同样非常重要。
在几何形体的构造、证明以及计算问题中，全等三角形的性质可以帮助我们推导出一些结论。
例如，当我们需要证明两个三角形相等时，可以通过找到两个三角形的对应的边和角都相等来得出结论。
此外，全等三角形的计算问题中，通过已知一些三角形的边长或角度，可以利用全等三角形的性质来求解其他未知的尺寸。
四、示例解析为了帮助读者更好地理解相似与全等的应用，以下是两个示例题的解析：题目1：已知△ABC中，∠A=60°，AB=BC=10cm，D为AC边的中点，连接BD，求△ABD和△CBD的面积比。
2011年中考数学一轮复习第16讲 相似图形(含答案)
内容2011年中考数学一轮复习第16讲相似图形(含答案)第十六讲相似图形知识梳理知识点1：相似图形的性质例2：两个相似三角形周长的比为2:3，则其对应的面积比为___________.思路点拨：相似三角形的周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方，所以面积之比也等于周长之比的平方，因为两个相似三角形周长的比为2:3，所以对应的面积比为4:9答案：4:9练习：1、如图1，已知D、E分别是的AB、 AC边上的点，且那么等于（）A．1 : 9 B．1 : 3 C．1 : 8 D．1 : 22.如图，中，直线交于点交于点交于点若则．答案：1. B 2.最新考题1.（2009年杭州市）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（）A．只有1个 B．可以有2个C．有2个以上但有限 D．有无数个2. （2009年湖州）如图，在正三角形中，，，分别是，，上的点，，，，则的面积与的面积之比等于（）A．1∶3 B．2∶3 C．∶2 D．∶33.（2009年日照市）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是．答案：1. B 2. A 3.或2；知识点2：相似图形的判定例1：在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB 的面积为，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．思路点拨：本题考查相似三角形的判定和性质，解题时先根据题意得出两三角形相似及相似比，然后利用它们的面积比等于相似比的平方得出结果。
答案：B例2：已知如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，那么AB＝思路点拨：本题主要考查相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识。
因为AB⊥BD，ED⊥BD，所以∠B＝∠D＝90°，∠A＋∠ACB＝90°，又因为AC⊥CE，即∠ECD＋∠ACB＝90°，所以∠A＝∠ECD，所以△ABC∽△CDE，故，易求出AB＝4。
教育最新K122011中考数学一轮复习(几何篇)16.相似三角形(二)
16.相似三角形（二）知识考点：本节知识主要包括相似三角形、相似多边形的性质及应用精典例题：【例1】如图，在△ABC 中，AB ＝14cm ，95=BD AD ，DE ∥BC ，CD ⊥AB ，CD ＝12cm ，求△ADE 的面积和周长。
分析：由AB ＝14cm ，CD ＝12cm 得ABC S ∆＝84，再由DE ∥BC 可得△ABC ∽△ADE ，有2⎪⎭⎫⎝⎛=∆∆AB AD S S ABC ADE 可求得ADE S ∆，利用勾股定理求出BC 、AC ，再用相似三角形的性质可得△ADE 的周长。
答案：△ADE 的面积为775cm 2，周长为15 cm 。
例1图EDCBA例2图Q PM F ED C B A变式1图P N MCB A【例2】如图，正方形DEMF 内接于△ABC ，若1=∆ADE S ，4=D EFM S 正方形，求ABC S ∆ 分析：首先利用正方形的面积求出其边长，过A 点作AQ ⊥BC 于Q ，交DE 于P ，利用ADE S ∆可得AP 及AQ 的长，再由△ADE ∽△ABC 求出BC ，从而求得ABC S ∆。
解：∵正方形的面积为4，∴DE ＝MF ＝2。
过A 点作AQ ⊥BC 于Q ，交DE 于P ∵1=∆ADE S ，∴AP ＝1 ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴BCDEAQ AP =，即BC 231=∴BC ＝6，故ABC S ∆＝9变式1：如图，已知菱形AMNP 内接于△ABC ，M 、N 、P 分别在AB 、BC 、AC 上，如果AB＝21 cm ，CA ＝15 cm ，求菱形AMNP 的周长。
答案：35 cm变式2：如图，在△ABC 中，有矩形DEFG ，G 、F 在BC 上，D 、E 分别在AB 、AC 上，AH ⊥BC 交DE 于M ，DG ∶DE ＝1∶2，BC ＝12 cm ，AH ＝8 cm ，求矩形的各边长。
变式2图HMD E F GCBA例3图问题一图PNMD B A答案：724 cm ，748 cm 【例3】如图，已知P 为△ABC 内一点，过P 点分别作直线平行于△ABC 的各边，形成小三角形的面积1S 、2S 、3S ，分别为4、9、49，求△ABC 的面积。
数学中考一轮复习：图形相似-相似三角形的综合应用
初中数学相似三角形的综合应用考点考纲要求分值考向预测相似的综合应用1. 理解并掌握与相似有关的定理、定义、掌握相似多边形性质、位似定义性质，能够作出位似图形；2. 掌握相似三角形的实际应用；3. 利用相似解决综合性问题，能够利用相似变换解决分类讨论问题。
10～15分本类问题主要以位似作图、相似变换与相似的综合应用为主，位似作图通常会在综合网格作图题中出现一步应用，分值不大，相似的变换与综合应用，基本每个省市的压轴题都有本部分知识，难度大，分值高，要注意学习和掌握。
一、与相似有关的定理1. 黄金分割：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），如果，即AC2=AB×BC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。
其中≈0.618。
小知识：黄金分割的几何作图：（只要求理解）已知：线段AB。
求作点C，使C是线段AB的黄金分割点。
作法：①过点B作BD⊥AB，使；②连接AD，在DA上截取DE=DB；③在AB上截取AC=AE，则点C就是所求作的线段AB的黄金分割点。
2. 射影定理：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似。
CD2=AD·BD，AC2=AD·AB，BC2=BD·BA（以上内容均可由图中三个直角三角形相似转化而成，在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用。
）【随堂练习】在直角△ABC中，AD是斜边BC上的高，BD=4，CD=9，则AD= 。
答案：解：∵△ABC是直角三角形，AD是斜边BC上的高，∴AD2=BD•CD（射影定理），∵BD=4，CD=9，∴AD=6。
思路分析：根据直角三角形中的射影定理来做：AD2=BD•CD。
二、几种特殊三角形的相似关系（1）两个全等三角形一定相似。
（2）两个等腰直角三角形一定相似。
（3）两个等边三角形一定相似。
（4）顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
中考数学一轮综合复习同步讲义(第12课相似形)
第12课 相似形⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧ ⎝⎛⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧射影定理：位似比等于相似形的判定：相似形的性质：相似形中考真题练习1.如图,等边△ABC 的边长为3,P 为BC 上一点,且BP=1,D 为AC 上一点,若∠APD=600，则CD 的长为（ ）A.32B.23C.12D.34第1题图 第2题图 第3题图2.如图,在55⨯方格纸中,将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么,下面的平移方法中，正确的是（ ） A.先向下平移3格，再向右平移1格 B.先向下平移2格，再向右平移1格C.先向下平移2格，再向右平移2格D.先向下平移3格，再向右平移2格3.如图,在△ABC 中,∠C=900,∠B=600,D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于E ，CD=2,DE=1，则BC 长为（ ）43323434.在△ABC 和△DEF 中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,如果△ABC 的周长是16，面积是12，那么△DEF 的周长、面积依次为（ ）A.8，3B.8，6C.4，3D.4，65.如图,在长为8 cm 、宽为4 cm 的矩形中,截去一个矩形,使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似,则留下矩形的面积是（ ）A.2cm 2B.4cm 2C.8cm 2D.16cm 2第5题图 第6题图 第7题图6.如图,小东用长为3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度,移动竹竿,使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时,竹竿与这一点相距8m 、与旗杆相距22m,则旗杆的高为（ ）A.12mB.10mC.8mD.7m7.如图,已知点E,F 分别是△ABC 中AC,AB 边的中点,BE,CF 相交于点G,FG=2,则CF 的长为（ ）A.4B.4.5C.5D.68.如图,Rt △ABAC 中,AB ⊥AC,AB=3,AC=4,P 是BC 边上一点,作PE ⊥AB 于E,PD ⊥AC 于D,设BP=x,则PD+PE=（ ） A.35x + B.45x- C.72 D.21212525x x -第8题图 第9题图 第10题图9.如图，将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB 绕O 点顺时针旋转900得△A /OB /．已知∠AOB=300，∠B=900，AB=1，则B /点的坐标为( ) A.33()22 B.33(22 C.13(22D.31)2210.如图,D 是△ABC 的边BC 上一点,已知AB=4,AD=2,∠DAC=∠B,若△ABD 的面积为a ，则△ACD 的面积为（ ）A.aB.a 21C.a 31D.a 32 11.在直角坐标系中,已知O(0,0),A(2,0),B(0,4),C(0,3)，D 为x 轴上一点.若以D 、O 、C 为顶点的三角形与△AOB 相似,这样的D 点有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个12.如图,点A ，B ，C ，D 为⊙O 上四个点,AC 平分∠BAD,AC 交BD 于E,CE=4,CD=6,则AE 长为（ ）A.4B.5C.6D.7 第12题图 第13题图 第14题图13.如图,给出下列条件：①B ACD ∠=∠；②ADC ACB ∠=∠；③AC AB CD BC =；④2AC AD AB =． 其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为（ ）A.1B.2C.3D.414.如图,B 是O ⊙的直径,点C 在圆上,CD AB DE BC ⊥，∥，则图中与ABC △相似的三角形的个数有（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个15.如图,在Rt △ABC 中，∠ACB=900，D 是AB 的中点,过D 点作AB 的垂线交AC 于点E ，BC=6，sinA=35，则DE= ．第15题图 第16题图 第17题图 16.如图,用三个全等的菱形ABGH 、BCFG 、CDEF 拼成平行四边形ADEH,连接AE 与BG 、CF 分别交于P 、Q,若AB=6,则线段BP 长为 .17.如图,正方形ABCD 的边长为2,AE=EB,MN=1,线段MN 的两端在CB 、CD 上滑动,当CM= 时,△AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似.18.如图,甲、乙两楼相距20米,甲楼高20米,小明站在距甲楼10米的A 处目测得点A 与甲、乙楼顶B,C 刚好在同一直线上,若小明的身高忽略不计,则乙楼的高度是 米．第18题图 第19题图 第20题图 19.如图,P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点,E 、F 分别为PB 、PC 的中点,ΔPEF 、ΔPDC 、ΔPAB 的面积分别为S 、S 1、S 2.若S=2，则S 1+S 2=20.在□ABCD 中，E 在DC 上，若DE:EC=1:2,则BF:BE= ． 21.如图,Rt ABC △中,90ACB ∠=°，直线EF BD ∥，交AB 于点E 交AC 于点G 交AD 于点F, 若13AEG EBCG S S =△四边形，则CF AD= ．第21题图 第22题图 第23题图 22.如图,△OAB 的顶点B 的坐标为（4,0），把△OAB 沿x 轴向右平移得到△CDE 如果CB=1那么OE 的长为 ．23.如图,正方形OEFG 和正方形ABCD 是位似形,点F 的坐标为（1,1），点C 的坐标为（4,2），则这两个正方形位似中心的坐标是 ．24.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC 是边长为2的正方形,顶点A 、C 分别在x ，y 轴的正半轴上.点Q 在对角线OB 上,且QO=OC,连接CQ 并延长CQ 交边AB 于点P.则点P 的坐标为第24题图 第25题图25.锐角△ABC 中,BC=6,,12=∆ABC S 两动点M 、N 分别在边AB 、AC 上滑动,且MN ∥BC,以MN 为边向下作正方形MPQN,设其边长为x,正方形MPQN 与△ABC 公共部分的面积为y （y>0）,当x= ,公共部分面积y 最大,y 最大值= ,26.如图,在△ABC 中,已知DE ∥BC,AD=4,DB=8,DE=3，（1）求AD AB的值;（2）求BC 的长.27.如图,△ABC内接于⊙O,AD是△ABC的边BC上的高,AE是⊙O的直径,连接BE，△ABE与△ADC相似吗？请证明你的结论．28.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AD,DC上,ABE DEF△∽△,AB=6,AE=9,DE=2,求EF的长．29.如图,AB与CD交于E,AE=EB,CE=ED,D为线段FB中点,CF与AB交于点G,若CF=15cm,求GF之长．30.小明想利用太阳光测量楼高,他带着皮尺来到一栋楼下,发现对面墙上有这栋楼的影子,针对这种情况,他设计了一种测量方案,具体测量情况如下：如示意图,小明边移动边观察,发现站到点E处时,可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠,且高度恰好相同.此时,测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2m,CE=0.8m,CA=30m（点A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB（结果精确到0.1m）．31.如图,AC是圆O的直径,AC=10厘米,PA,PB是圆O的切线,A,B为切点,过A作AD⊥BP,交BP于D点,连结AB、BC.(1)求证△ABC∽△ADB; (2)若切线AP的长为12厘米,求弦AB的长.32.已知在△ABC中,∠ABC=900，AB=3,BC=4.点Q是线段AC上的一个动点,过点Q作AC的垂线交线段AB （如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．（1）当点P在线段AB上时,求证：△APQ∽△ABC；（2）当△PQB为等腰三角形时,求AP的长．33.操作:如图,在正方形ABCD中,P是CD上一动点（与C、D不重合），使三角板的直角顶点与点P重合,并且一条直角边始终经过点B,另一直角边与正方形的某一边所在直线交于点E．探究：①观察操作结果,哪一个三角形与△BPC相似,写出你的结论，（找出两对即可）；并选择其中一组说明理由；②当点P位于CD的中点时,直接写出①中找到的两对相似三角形的相似比和面积比．34.如图,M为线段AB的中点,AE与BD交于点C,∠DME=∠A=∠B=α,且DM交AC于F,ME交BC于G．(1)写出图中三对相似三角形,并证明其中的一对;(2)连结FG,如果α=450，AB=42,AF=3,求FG长．35.在直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为（2,2），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A 两点），过点C作CD⊥x轴,垂足为D,以CD为边在右侧作正方形CDE F.连接AF并延长交x轴的正半轴于点B,连接OF,设OD=t.⑴求tan∠FOB的值；⑵用含t的代数式表示△OAB的面积S；⑶是否存在点C,使以B，E，F为顶点的三角形与△OFE相似,若存在,请求出所有满足要求的B点的坐标；若不存在,请说明理由．第12课 相似三角形测试题日期： 月 日 满分：100分 时间：20分钟 姓名： 得分：1.若△ABC ∽△DEF,△ABC 与△DEF 的相似比为2:3,则S △ABC :S △DEF 为（ ）A.2:3B.4:9C.2:3D.3:22.若一个图形的面积为2,那么将它与成中心对称的图形放大为原来的两倍后的图形面积为（ ）A.8B.6C.4D.23.如图,△ABC 和△GAF 是两个全等的等腰直角三角形,图中相似三角形(不包括全等)共有( )A.1对B.2对C.3对D.4对第3题图 第4题图 第5题图4.如图,在△ABC 中,点D 、E 分别在AB 、AC 上,AD=3,DB=2,DE ∥BC,则DE:BC 的值是（ ）A.23B.32C.49 D.53. [来%源: 5.如图,在△ABC 中,M 、N 分别是边AB 、AC 的中点,则△AMN 的面积与四边形MBCN 的面积比为( ) A.12 B.13 C.14 D.23 6.如图,△DEF 是由△ABC 经过位似变换得到的,点O 是位似中心,D,E,F 分别是OA,OB,OC 的中点,则△DEF 与△ABC 的面积比是（ ）A.1:2B.1:4C.1:5D.1:6第6题图 第7题图 第8题图7.如图,小明在打网球时,使球恰好能打过网,而且落点恰好在离网6米的位置上,则球拍击球的高度h 为（ ）A.815B.1C.43D.85 8.如图,已知等边三角形ABC 的边长为2，DE 是它的中位线，则下面四个结论:①DE=1;②AB 边上的高为3;③△CDE ∽△CAB;④△CDE 的面积与△CAB 面积之比为1:4.其中正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个9.如图,菱形ABCD 中,点M,N 在AC 上,ME ⊥AD,NF ⊥AB.若NF=NM=2,ME=3,则AN =( )A.3B.4C.5D.610.如图,△ABC 中,AB>AC,D,E 两点分别在边AC,AB 上,且DE 与BC 不平行.请填上一个．．你认为合适的条件： ，使ADE ABC △∽△．（不再添加其他的字母和线段）第10题图 第11题图 第12题图 第13题图11.如图,在△ABC 中,DE ∥BC,如果DE=1,BC=4,那么△ADE 与△ABC 面积的比是 ．[来~&源:中^1212.如图,在边长为9的正三角形ABC 中,BD=3,∠ADE=600，则AE 的长为13.在平行四边形ABCD 中,E 在DC 上,若DE ：EC=1:2,则BF ：BE=14.如图,已知AD 为△ABC 的角平分线，//DE AB 交AC 于E ，如果23AE EC =，那么AB AC = 第14题图 第15题图 第16题图15.将一副三角尺如图所示叠放在一起，则ECBE 的值是 ． 16.甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米,一天晚上,当小华走到距路灯乙底部5米处时,发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部.已知小华的身高为 1.5米,那么路灯甲的高为 米．17.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,按要求画出△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2；（1）先作△ABC 关于直线成轴对称的图形,再向上平移1个单位,得到△A 1B 1C 1；（2）以图中的O 为位似中心,将△A 1B 1C 1作位似变换且放大到原来的两倍,得到△A 2B 2C 2．18.已知,如图,点D 、E 分别在线段AC 、AB 上,AB AE AC AD ⋅=⋅.(1)求证:△AEC ∽△ADB;(2)AB=4,DB=5,sinC=31,求ABD S ∆.19.如图,在平行四边形ABCD 中,过点B 作BE ⊥CD 于E ，F 为AE 上一点,且∠BFE=∠C ．（1）求证:△ABF ∽△EAD ；（2）若AB=5,AD=3,∠BAE=30°，求BF 的长．甲小华。
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17.相似形的综合运用（一）
知识考点：
会综合运用相似三角形的有关概念、定理解答有关问题。
另外，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似的性质运用，是近几年中考的热点题型。
精典例题：
【例1】如图，已知，在边长为1的正方形ABCD 的一边上取一点E ，使AE ＝4
1
AD ，从AB 的中点F 作HF ⊥EC 于H 。
（1）求证：FH ＝FA ； （2）求EH ∶HC 的值。
证明：（1）连结EF ，FC ，在正方形ABCD 中，AD ＝AB ＝BC ，∠A ＝∠B ＝900
∵AE ＝
41AD ，F 为AB 的中点，∴BC
FB
AF AE =
∴△EAF ∽△FBC ，∴∠AEF ＝∠BFC ，∠EFA ＝∠CFB ∴∠EFC ＝900
，
2
1
=FC EF 又∵∠EFC ＝∠B ＝900
∴△EFC ∽△FBC
∴∠HEF ＝∠BFC ，∠ECF ＝∠BCF ∴∠AEF ＝∠HEF ，∠AFE ＝∠HFE ∴△EAF ≌△HEF ∴FH ＝FA
（2）由（1）得
2
1
=FC EF ，由（1）易证△EHF ∽△EFC ，从而可得EC EH EF ⋅=2，同理CE CH FC ⋅=2
，于是EH ∶HC ＝2
EF ∶2
FC ＝1∶4
变式：如图，在矩形ABCD 中，6
5
=BC AB ，点E 在BC 上，点F 在CD 上，且EC ＝
61BC ，FC ＝5
3
CD ，FG ⊥AE 于G ，。
求证：AG ＝4GE 。
（提示：证△ECF ∽△FDA 得EF ∶AF ＝1∶2，再证△EFG ∽△EAF
∽△FAG 即可）
【例2】已知，在△ABC 中，∠ACB ＝900
，过C 作CD ⊥AB 于D ，AD ＝m ，BD ＝n ，2
AC ∶
2BC ＝2∶1，又关于x 的方程012)1(24
1
22=-+--m x n x 的两实数根的差的平方小于
192，求整数m 、n 的值。
分析：如图，易证△ABC ∽△ADC ，2AC ∶2
BC ＝AD ∶BD ＝m ∶n ＝2∶1，即n m 2=，
再由方程两根差的平方小于192可得2
1
>
n ，又由判别式△≥0知n ≤2 ∴
2
1
＜n ≤2，又n 为整数，∴n ＝1，2 ∴m ＝2，n ＝1或m ＝4，n ＝2 例1图
B
娈式图
G
F
E D C
B
A
例2图
D
C
B A
13 F
E
D
C
B A
问题一图
13 F
E
D
C
B A G
问题一图
探索与创新：
【问题一】已知：如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF ⊥ EC 交AB 于F ，连结FC （AB ＞AE ）。
（1）△AEF 与△EFC 是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由。
（2）设
BC
AB
＝k ，是否存在这样的k 值，使得△AEF 与△BFC 相似，若存在，证明你的结论并求出k 的值；若不存在，说明理由。
解：（1）相似，如图
证明：延长FE 与CD 的延长线交于点G 。
在Rt △AEF 与Rt △DEG 中
∵E 是AD 的中点
∴AE ＝ED ，∠AEF ＝∠DEG ，∠A ＝∠EDG ∴△AFE ≌△DGE
∴E 为FG 的中点。
又CE ⊥FG ，∴FC ＝GC ∴∠CFE ＝∠G 。
∴∠AFE ＝∠EFC ，又
△AEF 与△EFC 均为直角三角形
∴△AEF ∽△EFC 。
（2）①存在。
如果∠BCF ＝∠AEF ，即k ＝
2
3
=BC AB 时，△AEF ∽△BCF 。
证明：当
2
3=BC AB 时，3=DE DC 。
∴∠ECG ＝300。
∴∠ECG ＝∠ECF ＝∠AEF ＝300
，∴
∠BCF ＝900
－600
＝300。
又△AEF 和△BCF 均为直角三角形。
∴△AEF ∽△BCF 。
②因为EF 不平行于BC ，∴∠BCF ≠∠AFE 。
∴不存在第二种相似情况。
跟踪训练：
一、填空题：
1、在Rt △ABC 中，∠BAC ＝900
，AD ⊥BC 于D ，AB ＝2，DB ＝1，则DC ＝ ，AD ＝ 。
2、在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝15，D 为AB 上一点，BD ＝
3
1
AB ，在AC 上取一点E ，得△ADE ，当AE 的长为 时，图中的两个三角形相似。
3、在Rt △ABC 中，AD 为斜边上的高，ABD ABC S S ∆∆=4，则AB ∶BC ＝ 。
二、选择题：
在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，CD ⊥AB 于D ，AB ＝a ，则DB ＝（ ） A 、
4a B 、3a C 、2a D 、4
3a 三、解答题：
1、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝900
，CD ⊥AB 于D ，为了求出AC ，在图中你能找出哪些适当的条件？
第1题图
A
C
D B 第2题图
F E
A C
D B
2、如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，E 是BC 上任意一点，EF ⊥AB 于F 。
求证：
EF CD AF AD AC ⋅+⋅=2。
3、如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，点M 在CD 上，DH ⊥BM 且与AC 的延长线交于点E 。
求证：
（1）△AED ∽△CBM ； （2）CD AC CM AE ⋅=⋅
第3题图
M H
F E
A
C D
B
第4题图
G F
E
A
C
D
B
4、已知，如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝900
，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，CE 的延长线交AB 于点F ，过点E 作EG ∥BC 交AB 于点G ，16=⋅AD AE ，
54=AB ，求EG 的长。
跟踪训练参考答案
一、填空题：
1、3，3；
2、10或
5
32
；3、1∶2； 二、选择题：A 三、解答题：
1、AD 、DC ；AB 、BC ；AD 、AB ；AD 、BD ；AB 、BD ；CD 、BD ；BD 、BC ；BC 、CD ；AD 、BC ；AB 、CD 等。
2、由△ADC ∽△ACB 得FB AD AF AD FB AF AD AB AD AC ⋅+⋅=+=⋅)(2
，又由△
ACD ∽△EBF 得EF CD FB AD ⋅=⋅，所以EF CD AF AD AC ⋅+⋅=2
3、略
4、4。