河北省保定市2019-2020学年高二上学期第二次月考试题 数学 Word版含答案
河北省保定市2024高三冲刺(高考数学)人教版考试(综合卷)完整试卷
河北省保定市2024高三冲刺（高考数学）人教版考试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题甲、乙等6人去三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人游览，若甲、乙两人不去同一景区游览，则不同的游览方法的种数为（）A．342B．390C．402D．462第(2)题设，是正数，曲线关于直线对称，若取得最小值，则该直线的方程为（）A．B．C．D．第(3)题已知函数，在上有且仅有2个极小值点，则实数的取值范围（）A．B．C．D．第(4)题已知函数，则（）A．-6B．0C．4D．6第(5)题已知集合，，则中元素的个数为（）A．3B．2C．1D．0第(6)题在复平面内，已知复数满足（为虚数单位），记对应的点为点对应的点为点，则点与点之间距离的最小值为（）A．B．C．D．第(7)题若函数，则（）A．的最小正周期为B．的图象关于点对称C．在上有最小值D．的图象关于直线对称第(8)题某公司为了解本公司的用电情况，统计了4天气温x（℃）与用电量y（度）之间的相关数据如下表所示：x9121518y60m3020若它们之间的线性回归方程为，则（）A．48B．50C．52D．54二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数的定义域为R，满足，当时，.对，下列选项正确的是（）A．，则m的最小值为B．，则m的值不存在C．，则D ．时，函数所有极小值之和大于2e第(2)题已知，则函数的图象可能是（）A．B．C．D．第(3)题据某地统计局发布的数据，现将8月份至12月份当地的人均月收入增长率数据制成如图所示的折线图，已知8月份当地的人均月收入为2000元，现给出如下信息，其中不正确的信息为（）A．9月份当地人均月收入为1980元B．10月份当地人均月收入为2040元C．11月份当地人均月收入与8月份相同D．这四个月中.当地12月份人均月收入最低三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴最合，终边与单位圆交于点，将角的终边绕原点逆时针方向旋转后与角的终边重合，则_________．第(2)题2022年11月29日，神舟十五号载人飞船成功发射升空，在飞船入轨后未来6个月里，空间站将逐步解锁、安装并测试15个科学实验机柜，开展涵盖空间科学研究与应用、航天医学、航天技术等领域的40余项空间科学实验和技术试验．已知此科学实验机柜在投入使用前会进行调试工作，现有8个科学实验机柜，其中包括5个A类型、3个B类型，两名调试员计划共抽取3个机柜进行调试，则至少有1人抽到B类型机柜进行调试的概率为______．第(3)题平面截半径为2的球O所得的截面圆的面积为，则球心O到平面的距离为___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数．（Ⅰ）当时，求在点处的切线方程；（Ⅱ）若，求函数的单调区间；（Ⅲ）若对任意的，在上恒成立，求实数的取值范围．第(2)题如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆上一点，且，.(1)求直线与平面所成角的大小；(2)求点到平面的距离.第(3)题已知函数(1)当时，求曲线在点处曲线的切线方程；(2)求函数的单调区间.第(4)题在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为,．(1)求的值；(2)若，求．第(5)题如图，在三棱柱中，平面平面.(1)若分别为的中点，证明：平面；(2)当直线与平面所成角的正弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值.。
江苏省东台市2021-2022学年九年级上学期第二次月考12月数学试题(Word版含答案)
2021～2022学年度秋学期第二次质量检测九年级数学试题满分：150分考试时间：120分钟一、选择题（本题共8小题，每题3分共24分）1.线段2cm、8cm的比例中项为（）cm．A．4B．8C．±4D．±82.某同学对数据16，20，20，36，5■，51进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（）A．众数B．平均数C．方差D．中位数3.如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）A．平移变换B．相似变换C．旋转变换D．对称变换4.若△ABC∽△DEF，它们的相似比为4：1，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．2：1B．4：1C．8：1D．16：15.对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣1C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点6.生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b 的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（）A．1.24米B．1.38米C．1.42米D．1.62米7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对8.运用你学习函数的经验，判断以下哪个函数的图象如图所示（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝二、填空题（本题共8小题，每题3分共24分）9.有5张完全同样的卡片，卡片正面分别写有“体艺节”、“端午节”、“教学节”、“中秋节”、“元宵节”，将这些卡片反面朝上，从中随机抽取一张，抽到写有中国传统节日的卡片的概率是．10.将二次函数y＝2x2的图象向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式为．11.计算一组数据的方差时，小明列了一个算式：S 2＝[（x 1﹣3）2+（x 2﹣3）2+…+（x 10﹣3）2]，则这组数据的平均数是 ．12.已知一圆锥的母线长为6cm ，底面圆的半径为3cm ，则此圆锥侧面展开图的面积为 ．13.如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于点F ，OE AC ⊥于点E ，若3OE =，5OB =，则CD 的长度是14.如图是一座截面图为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面l 为4米，则当水面下降2米时，水面宽度增加 米．15.在正方形网格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在4×4网格中（每个小正方形网格的边长为1）画格点三角形，它的三边比是1：：，这种三角形可以画若干个，其中面积的最大值等于 ． 16.设O 为坐标原点，点A 、B 为抛物线241x y =上的两个动点，且OA ⊥OB ．连接点A 、B ，过O 作OC ⊥AB 于点C ，则点C 到y 轴距离的最大值三、简答题（本题共11小题，满分102分） 17.(本题满分8分)(1)解方程3（x ﹣4）＝x （x ﹣4）(2)计算已知a ：b ：c ＝9：11：15，且a +b +c ＝70，求a 的值． 18.(本题满分8分)防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了A 、B 、C 三个测温通道，某天早晨，该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园． （1）小明从A 测温通道通过的概率是 ；（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率．19.(本题满分8分)“疫情未结束，防疫不放松”．为增强防疫意识，某校举行了疫情防护知识竞赛活动，现随机抽取该校甲、乙两班各10名同学的测试成绩进行整理、描述和分析，如图所示：（1）两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示，请补充完整．班级平均数中位数众数方差甲83.78613.21乙83.78246.21（2）根据上述数据，请从两个不同角度评价甲班与乙班掌握防疫知识的情况．20.(本题满分8分)如图，已知．（1）添加条件（答案不唯一，写出一个即可），使得△ABC∽△ADE；（2）由（1），你还能得到哪两个三角形相似？说明理由．21.(本题满分8分) 已知关于x的方程2mx2﹣（5m﹣1）x+3m﹣1＝0．（1）求证：无论m为任意实数，方程总有实数根．（2）如果这个方程的根的判别式的值等于1，求m的值．22.(本题满分8分)已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）直接写出这个函数的顶点坐标为，与x轴的交点坐标为；（2）在平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象；（3）①写出一个此二次函数的性质；②当0≤x≤3时，y的取值范围是．23.(本题满分10分) 如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°， CE ⊥AD ，垂足为E ． （1）求证：CD 2＝DE •AD ；（2）若D 是BC 的中点，判断∠BED 与∠ABC 是否相等，并说明理由．24.(本题满分8分)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠ABC 的平分线与AC 相交于点D ，与⊙O 过点A 的切线相交于点E ． （1）猜想△EAD 的形状，并证明你的猜想； （2）求证:BAE ∆∽BCD ∆（3）若AB ＝4，AD ＝3，求BD 的长．25.(本题满分10分)为了落实国务院惠农的指示精神，最近市政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为40元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量y （千克）与售价x （元/千克）有如下关系：y ＝﹣2x +200．设这种产品每天的销售利润为w （元）． （1）求w 与x 之间的函数关系式；（2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于80元/千克，该农户想要每天获得1000元的销售利润，销售价应定为多少元？26.(本题满分12分)如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0），点C（0，3），连接AC，点P是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上位于第一象限内的一点.（1）求二次函数的表达式；（2）连接PB、PC，求△PBC面积的最大值；（3）过点P作PQ∥AC，交直线BC于点Q，若PQ＝AC，求点P的坐标．;27.(本题满分14分)【教材呈现】如图是苏科版九年级下册数学教材第92页的第17题．一块直角三角形木板，它的一条直角边AC长为1.5m，面积为1.5m2．甲乙两人分别按图1、图2把它加工成一个正方形的桌面，请说明哪个正方形的面积较大．【解决问题】（1）记图1、图2中的正方形面积分别为S1，S2，则S1S2．（填“＞”、“＜”或“＝”）．【问题变式】若木板形状是锐角三角形A1B1C1．某数学兴趣小组继续思考：按图3、图4、图5三种方式加工，分别记所得的正方形面积为S3、S4、S5，哪一个正方形的面积最大呢？（2）若木板的面积S 仍为1.5m 2．小明：记图3中的正方形为“沿B 1C 1边的内接正方形”，图4中的正方形为“沿A 1C 1边的内接正方形”，依此类推．以图3为例，求“沿B 1C 1边的内接正方形DEFG ”的面积．设EF ＝x ，B 1C 1＝a ，B 1C 1边上的高A 1H ＝h ，则S ＝ah ．由“相似三角形对应高的比等于相似比”易得x ＝；同理可得图4、图5中正方形边长，再比较大小即可．小红：若要内接正方形面积最大，则x 最大即可；小莉：同一块木板，面积相同，即S 为定值，本题中S ＝1.5，因此，只需要a +h 最小即可．我们可以借鉴以前研究函数的经验， 令y ＝a +h ＝a +＝a +（a ＞0）．下面来探索函数y ＝a +（a ＞0）的图象和性质．①根据如表，画出函数的图象：（如图6）a … 1 23 4… y…1296433 44…②观察图象，发现该函数有最小值，此时a 的取值 ； A ．等于2；B ．在1～之间；C ．在～之间；D ．在～2之间．（3）若在△A 1B 1C 1中（如图7），A 1B 1＝5，A 1C 1＝，高A 1H ＝4．①结合你的发现，得到S 3、S 4、S 5的大小关系是 （用“＜”连接）． ②小明不小心打翻了墨水瓶，已画出最大面积的内接正方形的△A 1B 1C 1原图遭到了污损，请用直尺和圆规帮他复原△A 1B 1C 1．（保留作图痕迹，不写作法）九年级数学参考答案1.A2.D3.B4.B5.C6.A7.C8.C9.53 10.3)2(22+-=x y 11.3 12.π18 13.548 14.424- 15.2516.217.(1) 解：∵3（x ﹣4）＝x （x ﹣4）， ∴3（x ﹣4）﹣x （x ﹣4）＝0， 则（x ﹣4）（3﹣x ）＝0， ∴x ﹣4＝0或3﹣x ＝0，解得x 1＝4，x 2＝3，…………………4分 (2)∵a ：b ：c ＝9：11：15，∴设a ＝9x ，b ＝11x ，c ＝15x ，…………………2分 ∵a +b +c ＝70， ∴9x +11x +15x ＝70， 解得：x ＝2，故a ＝9x ＝18．…………………4分18. 解：（1）小明从A 测温通道通过的概率是，故答案为：；…………………3分（2）列表格如下：A B C A A ，A B ，A C ，A B A ，B B ，B C ，B CA ，CB ，CC ，C…………………6分由表可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小丽从同一个测温通道通过的有3种可能，…………………7分所以小明和小丽从同一个测温通道通过的概率为＝．…………………8分19.(1)解：（1）将甲班成绩重新排列为：75、81、82、83、84、85、86、86、86、89，所以甲班成绩的中位数为＝84.5（分）；乙班成绩出现次数最多的是81分，出现3次，所以乙班成绩的众数为81分，故答案为：84.5，81；…………………4分（2）答案不唯一，合理即可．如：①因为甲班学生的方差低于乙班学生，所以甲班学生的成绩相对整齐；②从众数（或中位数）来看，甲班成绩比乙班要高，所以甲班的成绩好于乙班；③甲班和乙班的平均成绩相同，说明他们的水平相当．…………………8分20.解：（1）添加的条件是∠BAC＝∠DAE，理由是：∵＝，∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE，故答案为：∠BAC＝∠DAE；…………………2分（2）△AOE∽△COD，理由是：∵△ABC∽△ADE，∴∠E＝∠C，∵∠AOE＝∠COD（对顶角相等），∴△AOE∽△COD．…………………8分21.（1）证明：①当m＝0时，该方程是关于x的一元一次方程，符合题意；………2分②关于x的一元二次方程2mx2﹣（5m﹣1）x+3m﹣1＝0．∵Δ＝（5m﹣1）2﹣8m（3m﹣1）＝（m﹣1）2≥0，∴无论m为任何实数，方程总有实根．…………………4分（2）解：由题意得，Δ＝（m﹣1）2＝1，解得m1＝0，m2＝2，而m≠0，∴m＝2．…………………8分22.解：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；故答案为（2，﹣1）；（1，0），（3，0）；…………………2分（2）当x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），如图，…………………4分（3）①x＞2时，y随x的增大而增大；②当0≤x≤3时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．故答案为x＞2时，y随x的增大而增大；﹣1≤y≤3．…………………8分23. 证明（1）∵CE⊥AD，∴∠CED＝∠ACB＝90°，∵∠CDE＝∠ADC，∴△CDE∽△ADC，∴CD：AD＝DE：CD，∴CD2＝DE•AD．…………………5分（2）∠BED＝∠ABC…………………6分∵D是BC的中点，∴BD＝CD；∵CD2＝DE•AD，∴BD2＝DE•AD∴BD：AD＝DE：BD；又∵∠ADB＝∠BDE，∴△BDE∽△ADB，∴∠BED ＝∠ABC ．…………………10分24.（1）猜想：△EAD 是等腰三角形．…………………1分证明：∵BE 平分∠ABC ， ∴∠1＝∠2， ∵AB 为直径， ∴∠C ＝90°， ∴∠2+∠3＝90°， ∵AE 为切线 ∴AE ⊥AB ， ∴∠E +∠1＝90°， ∴∠E ＝∠3， 而∠4＝∠3， ∴∠E ＝∠4， ∴AE ＝AD ，∴△EAD 是等腰三角形．…………………3分 （2）解：∵∠2＝∠1，︒=∠=∠90BCD BAE ∴Rt △BCD ∽Rt △BAE ，…………………5分 (3) ∵Rt △BCD ∽Rt △BAE ， ∴CD ：AE ＝BC ：AB ， 即，设CD ＝3x ，BC ＝4x ，则BD ＝5x ， 在Rt △ABC 中，AC ＝AD +CD ＝3x +3， ∵（4x ）2+（3+3x ）2＝42，解得x 1＝，x 2＝﹣1（舍去），∴BD ＝5x ＝．…………………8分25. 解：（1）由题意得，解得：40＜x ＜100， w ＝销售量×单件产品利润＝（﹣2x +200）•（x ﹣40），w 与x 之间的函数关系式是w ＝﹣2x 2+280x ﹣8000（40＜x ＜100）；…………………3分（2）由①可知，w ＝﹣2x 2+280x ﹣8000＝﹣2（x ﹣70）2+1800，当x ＝70时，w ＝1800，答：当售价定为70元时，每天的销售利润最大，最大利润为1800元；……………6分（3）由题意得，W ＝﹣2（x ﹣70）2+1800＝1000，解得，x 1＝50，x 2＝90＞80（舍去），答：售价应定为50元．…………………10分26.解：（1）把A （﹣1，0），点B （3，0），点C （0，3），代入二次函数y ＝ax 2+bx +c 中， 得，解得，二次函数的表达式为y ＝﹣x 2+2x +3；…………………4分(2)过P 作PM ∥y 轴，交BC 于M ，设P （p ，322++-p p ），直线BC 解析式为y=-x+3，则M （p ，-p+3）PM=322++-p p )3(+--p =p p 32+-=49)23(2+--p ∴49max =S …………………8分 （3）过点P ，A 分别作y 轴得平行线与直线BC 交于点M ，N ．如图1.易证△ACN ∽△PQM ，则，直线BC 得解析式为y ＝3﹣x ，则N （﹣1，4），由AN＝4，得PM＝2，设P点得横坐标为a，则M（a，3﹣a），P（a，﹣a2+2a+3），得PM＝﹣a2+2a+3﹣（3﹣a）＝﹣a2+3a，令，﹣a2+3a＝2，解得a＝1或a＝2，故P为（1，4）或（2，3）．…………………12分27.解：（1）由AC长为1.5m，△ABC的面积为1.5m2，可得BC＝2m，如图①，设加工桌面的边长为xcm，∵DE∥CB，∴＝，即＝，解得：x＝（m）；如图②，设加工桌面的边长为ym，过点C作CM⊥AB，分别交DE、AB于点N、M，∵AC＝1.5m，BC＝2m，∴AB＝＝＝2.5（m），∵△ABC的面积为1.5m2，∴CM＝m，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴＝，即＝，解得：y＝，∴x＞y，即S1＞S2，故答案为：＞．…………………2分（2）①函数图象如图6所示：…………………5分②观察图象，发现该函数有最小值，此时a的取值～2之间．故选D．…………………8分（3）①由（2）可知，S5＜S4＜S3．故答案为：S5＜S4＜S3．…………………11分②如图7，△A1B1C1即为所求作．…………………14分。
2024-2025学年河北省保定市安国中学高二(上)第二次月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年河北省保定市安国中学高二（上）第二次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设点A(2,3,−4)在xOy平面上的射影为B，则|OB|等于( )A. 29B. 5C. 25D. 132.若直线l:x+my+1=0的倾斜角为5π6，则实数m值为( )A. 3B. −3C. 33D. −333.若双曲线x29−y211=1的右支上一点P到右焦点的距离为9，则P到左焦点的距离为( )A. 3B. 12C. 15D. 3或154.点P(x,y)是直线2x+y+4=0上的动点，PA，PB是圆C：x2+(y−1)2=1的两条切线，A，B是切点，则三角形PAB周长的最小值为( )A. 4+5B. 5+5C. 4+455D. 4+255.如图，在直三棱柱ABC−AB1C1中，AC=2，BC=3，CC1=4，∠ACB=90°，则BC1与A1C所成的角的余弦值为( )A. 3210B. 8210C. 30525D. 85256.“a=3”是“直线l1：(a−1)x+2y+1=0与直线l2：3x+ay−1=0平行”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件7.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2−4y+3=0，若直线y=kx−1上存在点P，使以P点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的取值范围是( )A. (−∞,−14]∪[14,+∞)B. (−∞,− 52]∪[ 52,+∞)C. (−∞,− 52)∪( 52,+∞)D. (−∞,−12]∪[12,+∞)8.已知曲线C ：(x 2+y 2)2=9(x 2−y 2)是双纽线，则下列结论正确的是( )A. 曲线C 的图象不关于原点对称B. 曲线C 经过4个整点(横、纵坐标均为整数的点)C. 若直线y =kx 与曲线C 只有一个交点，则实数k 的取值范围为(−∞,−1]D. 曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过3二、多选题：本题共3小题，共18分。
河北省保定市部分高中2024-2025学年高二上学期开学考试 数学含答案
高二数学考试（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A 版必修第二册，选择性必修第一册第一章.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足1i 1iz=--+，则z =（）A.22i+ B.22i-- C.2i- D.2i2.已知ABC 的三个顶点分别为()()()1,2,3,1,5,A B C m ，且π2ABC ∠=，则m =（）A.2B.3C.4D.53.若{},,a b c是空间的一个基底，则下列向量不共面的为（）A.,,2a b a b +B.,,a a b a c++C.,,a a c c-D.,,2b c a c a b c++++4.已知平面α的一个法向量为()1,2,2n =-，点M 在α外，点N 在α内，且()1,2,1MN =- ，则点M 到平面α的距离d =（）A.1B.2C.3D.25.续航能力关乎无人机的“生命力”，太阳能供能是实现无人机长时续航的重要路径之一.某大学科研团队利用自主开发的新型静电电机，成功研制出仅重4.21克的太阳能动力微型无人机，实现纯自然光供能下的持续飞行.为激发同学们对无人机的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，8名参赛学生的成绩依次为65,95,75,70,95,85,92,80，则这组数据的上四分位数（也叫第75百分位数）为（）A.93B.92C.91.5D.93.56.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan B b ==，则2()a c ac+=（）A.6B.4C.3D.27.某人忘记了一位同学电话号码的最后一个数字，但确定这个数字一定是奇数，随意拨号，则拨号不超过两次就拨对号码的概率为（）A.15B.25C.35 D.9208.已知圆锥1A O 在正方体1111ABCD A B C D -内，2AB =，且1AC 垂直于圆锥1AO 的底面，当该圆锥的底面积最大时，圆锥的体积为（）C.2D.3二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知,m n 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题为真命题的有（）A.若m ∥,n α∥α，则m ∥nB.若,m n αα⊥⊂，则m n ⊥C.若,m m n α⊥⊥，则n α⊂或n ∥αD.若m ∥,,m n α相交，则n ∥α10.已知事件,,A B C 两两互斥，若()()()135,,4812P A P A B P A C =⋃=⋃=，则（）A.()12P B C ⋂= B.()18P B =C.()724P B C ⋃=D.()16P C =11.已知厚度不计的容器是由半径为2m ，圆心角为π2的扇形以一条最外边的半径为轴旋转π2得到的，下列几何体中，可以放入该容器中的有（）A.棱长为1.1m 的正方体B.底面半径和高均为1.9m 的圆锥C.棱长均为2m 的四面体D.半径为0.75m 的球三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.《九章算术》中将正四棱台称为方亭，现有一方亭111111,33ABCD A B C D AB A B -==，体积为13，则该方亭的高是__________.13.在空间直角坐标系Oxyz 中，()()()4,0,0,0,2,0,0,0,4,A B C D 为AB 的中点，则异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为__________.14.在ABC 中，点D 在BC 边上，2,,BC BAD CAD AB AC AD AB AC AD ∠∠==⋅=⋅+⋅，则ABC 的外接圆的半径为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）某高中为了解本校高二年级学生的体育锻炼情况，随机抽取100名学生，统计他们每天体育锻炼的时间，并以此作为样本，按照[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.已知样本中休育锻炼时间在[50,60)内的学生有10人.（1）求频率分布直方图中a 和b 的值；（2）估计样本数据的中位数和平均数（求平均数时，同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）.16.（15分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知()sin cos 1cos sin ,1C B a C B b =->.（1）证明：1cos C b=.（2）若2,a ABC = 的面积为1，求c .17.（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 是边长为60,BAD PA PB PD ∠====，且PE ⊥平面ABCD ，垂足为E .（1）证明：BC ⊥平面PBE .（2）求直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值.18.（17分）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知1AB =，点,,E F G 分别在棱111,,BB CC DD 上，且,,,A E F G 四点共面，,BAE DAG ∠α∠β==.（1）若AE AG =，记平面AEFG 与底面ABCD 的交线为l ，证明：BD ∥l .（2）若π4αβ+=，记四边形AEFG 的面积为S ，求S 的最小值.19.（17分）给定平面上一个图形D ，以及图形D 上的点12,,,n P P P ，如果对于D 上任意的点P ，21ni i PP =∑为与P 无关的定值，我们就称12,,,n P P P 为关于图形D 的一组稳定向量基点.（1）已知()()()1231230,0,2,0,0,2,P P P PP P 为图形D ，判断点123,,P P P 是不是关于图形D 的一组稳定向量基点；（2）若图形D 是边长为2的正方形，1234,,,P P P P 是它的4个顶点，P 为该正方形上的动点，求1223341PP P P P P PP ++- 的取值范围；（3）若给定单位圆E 及其内接正2024边形122024,PP P P 为该单位圆上的任意一点，证明122024,,,P P P 是关于圆E 的一组稳定向量基点，并求202421i i PP =∑的值.高二数学考试参考答案1.C 因为1i 1iz=--+，所以2(1i)2i z =-+=-.2.D 因为()()2,1,2,1,BA BC m BA BC =-=-⊥ ，所以()410BA BC m ⋅=-+-=，解得5m =.3.B 因为()22a a b b =+- ，所以,,2a b a b + 共面；{},,a b c 是空间的一个基底，假设,,a a b a c ++ 共面，则存在不全为零的实数,s t ，使得()()a s a b t a c =+++ ，即()a s t a sb tc =+++，则1,0s t s t +===，无解，故,,a a b a c ++不共面；因为()a a c c =-+ ，所以,,a a c c - 共面；因为()()2a b c b c a c ++=+++ ，所以,,2b c a c a b c ++++ 共面.4.A 14213MN n d n ⋅--+===.5.D8名学生的成绩从低到高依次为65,70,75,80,85,92,95,95，且875%6⨯=，故上四分位数为929593.52+=.6.B因为tan B =，所以2π3B =，由余弦定理可得222222cos 3b a c ac B a c ac ac =+-=++=，即2()4a c ac +=，故2()4a c ac+=.7.B 设{i A =第i 次拨号拨对号码},1,2i =.拨号不超过两次就拨对号码可表示为112A A A +，所以拨号不超过两次就拨对号码的概率为()()()11211214125545P A A A P A P A A +=+=+⨯=.8.C 如图所示，取111111,,,,,AB AD DD D C C B B B 的中点，分别记为M ，,,,,N E F P G ，连接111,,,,,,,B D BD EF FP PG GM MN NE .根据正方体的性质易知六边形MNEFPG 为正六边形，此时1A C 的中点O 为该正六边形的中心，且1A C ⊥平面MNEFPG ，当圆锥底面内切于正六边形MNEFPG 时，该圆锥的底面积最大.设此时圆锥的底面圆半径为r，因为11B D ==，所以1112FP B D ==，所以22r FP ==，圆锥的底面积23ππ2S r ==，圆锥的高1122AO ==，所以圆锥的体积1113π3322V S A O =⋅=⨯=.9.BC 对于A ，若m ∥,n α∥α，则直线,m n 可能相交或平行或异面，故A 错误.对于B ，若,m n αα⊥⊂，则m n ⊥，故B 正确.对于C ，若,m m n α⊥⊥，则n ∥α或n α⊂，故C 正确.对于D ，若m ∥,,m n α相交，则n ∥α或n 与α相交，故D 错误.10.BCD因为事件,,A B C 两两互斥，所以()()()0P B C P A B P A C ⋂=⋂=⋂=，故A 错误.由()()()()1348P A B P A P B P B ⋃=+=+=，得()18P B =，故B 正确.由()()()()15412P A C P A P C P C ⋃=+=+=，得()16P C =，故D 正确.因为()()()1178624P B C P B P C ⋃=+=+=，所以C 正确.11.AC 设扇形所在圆的半径为R ，对于A ，设正方体的棱长为a ，如图1，则可容纳的最长对角线max 2OA R ===，解得max 1.15 1.1a =≈>，故A 正确.对于C ，如图2，取三段14圆弧的中点,,B C D ，则四面体OBCD 的棱长均为2m ，所以可以容纳，故C 正确.对于B ，如图2，同选项C 的分析，BCD 的外接圆半径为1.93<，所以不可以容纳，故B 错误.对于D ，如图3，4，设球的半径为r ，其中图4是图3按正中间剖开所得的轴截面，可知圆O '与圆O 内切，2O M OO r r r =+=++''10.7320.75r=-≈<，所以不可以容纳，故D错误.12.3设正四棱台的高为h.因为1133AB A B==，所以方亭1111ABCD A B C D-的体积()()221111331333V h S S h=⋅+=⋅+⨯+=下上，解得3h=.13.15依题意可得()()()2,1,0,2,1,0,0,2,4D OD BC==-，则1cos,5BC ODBC ODBC OD⋅==-，故异面直线BC与OD所成角的余弦值为15.14.233设2BAC∠θ=，因为BAD CAD∠∠=，所以BAD CAD∠∠θ==.由ABC ABD ADCS S S=+，得111sin2sin sin222AB AC AD AB AD ACθθθ⋅=⋅+⋅，即()sin2sinAB AC AD AB AD ACθθ⋅=⋅+⋅，又AB AC AD AB AC AD⋅=⋅+⋅，所以sin2sinθθ=，即2sin cos sinθθθ=，又02πθ<<，所以π2θ<<，所以sin0θ>，则1cos2θ=，所以π3θ=，所以2π23BAC∠θ==，则ABC外接圆的半径232sin3BCRBAC∠===.15.解：（1）由题意可知，学生每天体育锻炼的时间在[50，60）内的频率为100.1100=，则0.10.0110a==，由各组频率之和为1，可知()0.0050.010.02520.005101b+++⨯+⨯=，解得0.03b=.（2）前3组的频率之和为()0.0050.010.03100.450.5,++⨯=<前4组的频率之和为0.450.025100.70.5+⨯=>，所以样本数据的中位数在第4组，设为x，所以()0.45700.0250.5x+-⨯=，解得72x=，估计样本数据的中位数是72分钟.估计平均数是()()45950.05550.1650.375850.2572+⨯+⨯+⨯++⨯=分钟. 16.（1）证明：因为()sin cos 1cos sin C B a C B =-，所以sin cos cos sin cos sin C B C B a C B +=，即()cos sin sin a C B C B =+.根据πB C A +=-，得()sin sin C B A +=，所以cos sin sin a C B A =，由正弦定理得cos ab C a =，所以cos 1b C =，从而1cos C b=.（2）解：由（1）可得1sin C b==.因为ABC 的面积为1，所以1sin 12ab C b b=⋅=，解得22b C ==.又2a =，所以由余弦定理得c ==.17.（1）证明：连接,DE BD ，因为PA PB PD PE ===⊥平面ABCD ，所以EA EB ED ==.又四边形ABCD 是菱形，60BAD ∠= ，所以ABD 是正三角形，所以30EBD ∠= .由AB BD BC CD ===，得BCD 是正三角形，60DBC ∠= .所以90EBC EBD DBC ∠∠∠=+= ，即BC BE ⊥.由PE ⊥平面ABCD ，可得BC PE ⊥.因为PE BE E ⋂=，所以BC ⊥平面PBE .（2）解：以E 为坐标原点，,EB EP的方向分别为,y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.因为AB =，所以2,3BE AE PE ====则())()(()(()0,2,0,1,0,2,0,0,0,,,0,2,,B AC P BC BP AC --=-=-=-.设(),,m x y z = 是平面PBC 的一个法向量，由0,0,m BC m BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0,20,y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩取1z =，可得()m =.设直线AC 与平面PBC 所成的角为θ，则sin 6m AC m AC θ⋅=== ，即直线AC 与平面PBC所成角的正弦值为6.18.（1）证明：连接EG ，因为,,90AE AG AB AD ABE ADG ∠∠==== ，所以ABE ADG ≅ ，则BE DG =.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，易知BE ∥DG ，所以四边形BDGE 是平行四边形，从而BD ∥GE .又BD ⊄平面AEFG ，所以BD ∥平面AEFG .又BD ⊂平面ABCD ，平面ABCD ⋂平面AEFG l =，所以BD ∥l .（2）解：易证四边形AEFG 为平行四边形.以A 为坐标原点，AB ，1,AD AA的方向分别为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.()()1,0,tan ,0,1,tan E G αβ，则()()1,0,tan ,0,1,tan AE AG αβ==，cos AE AG EAG AE AG ∠⋅==，sin S AE AG EAG ∠==S =因为π4αβ+=，所以()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==-，整理得tan tan 1tan tan αβαβ+=-.由()tan tan 1tan tan tan ,tan 0,1αβαβαβ+=-∈ ，可得0tan tan 3αβ<- .S =，易知()2f x x =-42x +在(0,3-上单调递减，所以当tan tan 3αβ=-min S =，当且仅当tan tan 1αβ==-时，S .19.解：（1）点()()()1230,0,2,0,0,2P P P 不是关于D 的一组稳定向量基点.理由如下：当P 与()10,0P 重合时，有2221238PP PP PP ++= ，当P 与()22,0P 重合时，有222123128PP PP PP ++=≠ ，故()()()1230,0,2,0,0,2P P P 不是关于D 的一组稳定向量基点.（2）因为12233411414PP P P P P PP PP PP PP ++-=-= ，所以12233414PP P P P P PP PP ++-=，当P 与2P 重合时，4PP取得最大值，当P 与4P 重合时，4PP取得最小值0，所以1223341PP P P P P PP ++-的取值范围为0,⎡⎣.（3）设单位圆E 的圆心为O ，所以()2024202420242222221220241112024||2.i l i i i PP OP OPOP OP OP OP OP OP ====-=++++-⋅∑∑∑因为多边形122024PP P 是正2024边形，所以20242024110,0.i l i i OP OP OP ===⋅=∑∑又1i OP OP == ，所以2024214048i i PP ==∑ ，故122024,,,P P P 是关于圆E 的一组稳定向量基点，且.2024214048l i P ==∑.。
河北省保定市六校联盟2023-2024学年高二上学期期中考试 数学含解析
六校联盟高二年级期中联考数学（答案在最后）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线a 的一个方向向量是()1,0,1m =，平面α的一个法向量是()3,1,3n =-，则直线a 与平面α所成的角为（）A.0︒B.45︒C.60︒D.90︒2.过圆22:260C x y x y +--=的圆心且与直线124x y+=垂直的直线的方程是（）A.210x y --=B.270x y +-=C.250x y -+= D.50x y +-=3.已知直线方程为sin30cos3050x y +︒-︒=，则该直线的倾斜角为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒4.已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右焦点为F ，直线210y x =-过点F ，且与双曲线只有一个公共点，则下列说法正确的是（）A.双曲线E 的方程为221520x y -= B.双曲线E 的离心率为62C.双曲线ED.双曲线E 的顶点坐标为()5,0±5.加斯帕尔⋅蒙日是1819 世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）.当椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>时，蒙日圆方程为2222x y a b +=+.已知长方形G 的四边均与椭圆22:143x y M +=相切，则下列说法错误的是（）A.椭圆M 的离心率为12B.若G 为正方形，则G 的边长为C.椭圆M 的蒙日圆方程为227xy +=D.长方形G 的面积的最大值为146.已知椭圆C :2212516x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在椭圆C 上，则12MF F △的内切圆半径的取值范围为（）A.(]0,3 B.(]0,1 C.40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦7.定义：设{}123,,a a a是空间的一个基底，若向量123p xa ya za =++，则称实数组(),,x y z 为向量p在基底{}123,,a a a下的坐标.已知{},,a b c 是空间的单位正交基底，(){}2,,2a b b b c -- 是空间的另一个基底.若向量p 在基底(){}2,,2a b b b c -- 下的坐标为()1,2,1-，则向量p在基底{},,a b c 下的模长为（）A.3B.C.9D.68.下列命题中，是假命题的是（）①若直线220x ay +-=与直线()120a x ay -++=平行，则a 的值为32或0；②若,A B 为双曲线2219y x -=上两点，则()1,1可以是线段AB 的中点；③经过任意两个不同的点()()111222,,,P x y P x y 的直线都可以用方程()()()()121121y y x x x x y y --=--表示；④向量()()1,2,,1,2,1a b λ=-=--的夹角为钝角时，实数λ的取值范围是5λ>-.A.①④B.③④C.①②④D.②④二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题中是假命题的是（）A.若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},2,a b b c a c a ++++不能构成空间的另一个基底B.若非零向量a 与平面α内一个非零向量平行，则a所在直线与平面α也平行C.若平面,αβ的法向量分别为()()120,1,3,1,0,3n n ==，则//αβD.已知v 为直线l 的方向向量，1n为平面α的法向量，则1//v n l α⊥⇔10.若点M 是圆22:(2)1C x y -+=上任意一点，则点M 到直线30kx y +-=的距离可以为（）A.0B.32C.3D.511.已知椭圆22:1925x y C +=的两个焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，则以下说法正确的是（）A.若过1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，则2ABF △的周长为12B.椭圆C 上存在点P ，使得120PF PF ⋅=C.若P 为椭圆C 上一点，且1PF 与2PF 的夹角为60︒，则12PF F △的面积为D.若P 为椭圆C 上一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点,P Q 之间的最大距离是912.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ADC ∠=︒，PAD 为正三角形，O 为AD 的中点，且平面PAD ⊥平面,ABCD M 是线段PC 上的一点，则以下说法正确的是（）A .OM PD⊥B.OM BC⊥C.若点M 为线段PC 的中点，则直线//OM 平面PABD.若13PM PC =，则直线AM 与平面PAB 所成角的余弦值为10三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在空间直角坐标系Oxyz 中，())0,1,2,AM AN ==，则点M 到直线AN 的距离为__________.14.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22680x y x +-+=相切，则双曲线的离心率为__________.15.如图，已知一个二面角的平面角为120︒，它的棱上有两个点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，AC =，BD =，CD =，则线段AB 的长为__________.16.某地发生地震，呈曲线形状的公路EF 上任意一点到A 村的距离比到B 村的距离远4km ，B 村在A 村的正东方向6km 处，C 村在A 村的北偏东60︒方向处，为了救援灾民，救援队在曲线EF 上的M 处收到了一批救灾药品，现要向B C ､两村转运药品，那么从M 处到B 、C 两村的路程之和的最小值为__________km .四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知()()2,0,2,0A B -，动点M 与点A 的距离是它与点B 倍.（1）求点M 的轨迹方程；（2倍改成(0)k k >倍，求点M 的轨迹.18.已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=上的任意一点到两个焦点的距离之和为3，过点()1,1P 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，且满足0PA PB +=，若M 为直线AB 上任意一点，O 为坐标原点，求OM 的最小值.19.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1CC 的中点.（1）求证：BD ⊥平面1A AE ；（2）求点B 到平面1AB E 的距离；（3）求平面1AB E 和底面1111D C B A 夹角的正弦值.20.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中，ABC 满足AC BC =，顶点(1,0)A -、(1,2)B ，且其“欧拉线”与圆()222:5(0)M x y r r ++=>相切.（1）求ABC 的“欧拉线”方程；（2）若圆M 与圆22()2x y a +-=有公共点，求a 的范围；（3）若点(),x y 在ABC 的“欧拉线”2222222(2)x y x y x y +--+-+.21.已知圆P 与直线2x =相切，圆心P 在直线0x y +=上，且直线20x y --=被圆P 截得的弦长为22.（1）求圆P 的方程；（2）若直线:4l y kx =-与圆P 交于不同的两点,C D ，且30PCD ∠=︒，求直线l 的斜率；（3）若点Q 是直线1:40l x y --=上的动点，过Q 作圆P 的两条切线,QM QN ，切点分别为,M N ，求四边形PMQN 面积的最小值.22.已知点A 在曲线22:186x y C +=上，O 为坐标原点，若点B 满足2OA = ，记动点B 的轨迹为Γ.（1）求Γ的方程；（2）设Γ的右焦点为F ，过点F 且斜率不为0的直线l 交椭圆Γ于,P Q 两点，若MF 与x 轴垂直，且M 是MF 与Γ在第一象限的交点，记直线MP 与直线MQ 的斜率分别为12,k k ，当120k k +=时，求MPQ 的面积.六校联盟高二年级期中联考数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线a 的一个方向向量是()1,0,1m =，平面α的一个法向量是()3,1,3n =-，则直线a 与平面α所成的角为（）A.0︒B.45︒C.60︒D.90︒【答案】A 【解析】【分析】由直线与平面所成角的向量计算公式计算可得.【详解】已知直线a 的方向向量是()1,0,1m = ，平面α的一个法向量是()3,1,3n =-，设直线a 与平面α所成角为θ，则π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以·sin cos ,0m n m n m nθ====，所以0θ︒=，故直线a 与平面α所成角为0︒.故选：A .2.过圆22:260C x y x y +--=的圆心且与直线124x y+=垂直的直线的方程是（）A.210x y --=B.270x y +-=C.250x y -+=D.50x y +-=【答案】C【解析】【分析】求出圆的圆心，直线斜率，通过点斜式求直线方程【详解】因为圆22:260C x y x y +--=，即()()221310x y -+-=，所以圆心为()1,3，又直线124x y +=的斜率为2-，所以所求直线的斜率为12，∴所求直线的方程为()1312y x -=-，即250x y -+=.故选：C3.已知直线方程为sin30cos3050x y +︒-︒=，则该直线的倾斜角为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒【答案】D 【解析】【分析】先求出直线的斜率，进而可求出倾斜角.【详解】直线sin30cos3050x y +︒-︒=的斜率sin 30cos303k ︒=-=-︒，所以该直线的倾斜角为150︒.故选：D.4.已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右焦点为F ，直线210y x =-过点F ，且与双曲线只有一个公共点，则下列说法正确的是（）A.双曲线E 的方程为221520x y -=B.双曲线E 的离心率为2C.双曲线ED.双曲线E 的顶点坐标为()5,0±【答案】A 【解析】【分析】根据直线与曲线有且只有一个公共点可知渐近线方程，再根据焦点坐标可得双曲线方程，进而判断各选项.【详解】由直线210y x =-过点F ，得()5,0F ，5c =，所以2225a b +=，又直线210y x =-与双曲线只有一个公共点，当直线210y x =-与双曲线渐近线平行时，2ba=，可得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，双曲线方程为221520x y -=，当直线与双曲线渐近线不平行时，联立直线与双曲线22221210x y a b y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得()22222224401000b a x a x a b a -++-=，()()()222222240441000a b a a b a ∆=---=，即2241000a b -++=，又2225a b +=，则25750a +=，无解，所以双曲线方程为221520x y -=，A 选项正确；离心率c e a ===B 选项错误；顶点坐标为()，D 选项错误；实轴长为2a =C 选项错误；故选：A.5.加斯帕尔⋅蒙日是1819 世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）.当椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>时，蒙日圆方程为2222x y a b +=+.已知长方形G 的四边均与椭圆22:143x y M +=相切，则下列说法错误的是（）A.椭圆M 的离心率为12B.若G 为正方形，则G 的边长为25C.椭圆M 的蒙日圆方程为227xy +=D.长方形G 的面积的最大值为14【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆方程可求得离心率，知A 正确；根据蒙日圆方程定义可知C 正确；结合长方形G 的对角线长和基本不等式可求得BD 错误.【详解】对于A ，由椭圆M 方程知：2a =，3b =221c a b =-=，∴椭圆M 的离心率12c e a ==，A 正确；对于BC ，由A 知：椭圆M 对应的蒙日圆方程为：227xy +=，正方形G 是圆227x y +=的内接正方形，∴正方形G 对角线长为圆的直径27，∴正方形G ()227142=，B 错误，C 正确；对于D ，设长方形G 的长和宽分别为,m n ，长方形G 的对角线长为圆的直径27，2228m n ∴+=，∴长方形G 的面积22142m n S mn +=≤=（当且仅当14m n ==，即长方形G 的面积的最大值为14，D 正确.故选：B.6.已知椭圆C :2212516x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在椭圆C 上，则12MF F △的内切圆半径的取值范围为（）A.(]0,3 B.(]0,1 C.40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D.30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】寻找12MF F △的内切圆半径与三角形面积之间的关系，根据12MF F △面积的取值范围可以得到12MF F △的内切圆半径的取值范围.【详解】设12MF F △的内切圆半径为r ，椭圆方程为22221x y a b+=，则5a =，4b =，2229c a b =-=，即3c =，又()()1212121122822=++=+=△MF F S PF PF F F r a c r r ，所以1218=△MF F r S ，由于1212110641222<≤⋅=⨯⨯=△MF F S b F F ，所以302<≤r .故选：D7.定义：设{}123,,a a a 是空间的一个基底，若向量123p xa ya za =++ ，则称实数组(),,x y z 为向量p在基底{}123,,a a a下的坐标.已知{},,a b c 是空间的单位正交基底，(){}2,,2a b b b c -- 是空间的另一个基底.若向量p 在基底(){}2,,2a b b b c -- 下的坐标为()1,2,1-，则向量p在基底{},,a b c 下的模长为（）A.3B.C.9D.6【答案】A 【解析】【分析】根据基底的定义结合题意直接求解即可【详解】由题意得向量p 在基底(){}2,,2a b b b c --下的坐标为：()1,2,1-，则()22222p a b b b c a b c =--+-=--，所以向量p 在{},,a b c下的坐标为：()2,2,1--，3=，故A 项正确.故选：A.①若直线220x ay +-=与直线()120a x ay -++=平行，则a 的值为32或0；②若,A B 为双曲线2219y x -=上两点，则()1,1可以是线段AB 的中点；③经过任意两个不同的点()()111222,,,P x y P x y 的直线都可以用方程()()()()121121y y x x x x y y --=--表示；④向量()()1,2,,1,2,1a b λ=-=--的夹角为钝角时，实数λ的取值范围是5λ>-.A.①④B.③④C.①②④D.②④【答案】C 【解析】【分析】0a =时，两直线重合，①错误，利用点差法计算直线方程，与双曲线无交点，②错误，考虑12x x =和12x x ≠两种情况得到③正确，1λ=时不成立，④错误，得到答案.【详解】对①：当0a =时，直线220x ay +-=与直线()120a x ay -++=重合，错误；对②：若成立，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线斜率存在设为k ，则221119y x -=，222219y x -=，相减得到()()()()1212121209y y y y x x x x +-+--=，即2209k-=，解得9k =，直线AB ：98y x =-，229819y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得到272144730x x -+=，无解，错误；对③：当12x x =时，直线方程为1x x =；当12x x ≠时，直线方程为()211121y y y y x x x x --=--，两种情况可以合并为：()()()()121121y y x x x x y y --=--，正确；对④：当1λ=时，()()1,2,1,1,2,1a b =-=--，a b =- ，夹角为π，错误；故选：C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.A.若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},2,a b b c a c a ++++不能构成空间的另一个基底B.若非零向量a 与平面α内一个非零向量平行，则a所在直线与平面α也平行C.若平面,αβ的法向量分别为()()120,1,3,1,0,3n n ==，则//αβD.已知v 为直线l 的方向向量，1n 为平面α的法向量，则1//v n l α⊥⇔【答案】BCD 【解析】【分析】由()()2a b b c a c a +=++-+可判断选项A ；利用空间位置关系的向量证明判断B ，C ，D.【详解】选项A.设()()2a b x b c a y c a +=++++,即()()()1210x y a x b x y c --+--+= 由{},,a b c 为空间的一个基底，即,,a b c不共面，则101200x x y x y -=⎧⎪--=⎨⎪+=⎩，解得1,1x y ==-即()()2a b b c a c a +=++-+ ，所以,2,a b b c a c a ++++共面，即不能构成空间的另一个基底，故选项A 正确.选项B.若非零向量a与平面α平行，则所在直线可能与平面α平行，也可能在平面α内，选项B 不正确；选项C.显然向量()()120,1,3,1,0,3n n ==不共线，因此平面,αβ不平行，选项C 不正确；选项D.由1v n ⊥，得直线l 与平面α平行，也可能直线l 在平面α内，选项D 不正确；故选：BCD10.若点M 是圆22:(2)1C x y -+=上任意一点，则点M 到直线30kx y +-=的距离可以为（）A.0B.32C.3D.5【答案】ABC 【解析】【分析】根据圆上动点到过定点直线的距离最大为：圆心到定点的距离加上半径；当直线与圆相交时有最小距离0，从而可判断求解.【详解】由题意得：圆心()2,0C ，半径：1r =，直线30kx y +-=过定点：()0,3P ，当圆心与定点P 的连线垂直直线时，M到直线有最大的距离且为：11CP r +=+=，当直线与圆相交时有最小距离0，故M到直线的距离范围为：01d ≤≤+故选项ABC 符合题意，D 项不符合题意.故选：ABC.11.已知椭圆22:1925x y C +=的两个焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，则以下说法正确的是（）A.若过1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，则2ABF △的周长为12B.椭圆C 上存在点P ，使得120PF PF ⋅=C.若P 为椭圆C 上一点，且1PF 与2PF 的夹角为60︒，则12PF F △的面积为D.若P 为椭圆C 上一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点,P Q 之间的最大距离是9【答案】BC 【解析】【分析】根据2ABF △的周长为4a 即可判断A ；设()[],,5,5P x y x ∈-，根据120PF PF ⋅=求出P 点的坐标即可判断B ；根据椭圆的定义结合余弦定理求出12PF PF 即可判断C ；求出OP 的最大值，再根据max max 1PQ OP =+即可判断D.【详解】设椭圆C 的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则22225,9,16a b c ===，所以5,3,4a b c ===，对于A ，过1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，则2ABF △的周长为420a =，故A 错误；对于B ，可取()()120,4,0,4F F -，设()[],,5,5P x y y ∈-，则221925x y +=，所以229925x y =-，则()()12,4,,4PF x y PF x y =---=--，所以222221291616916702525PF PF x y y y y ⋅=+-=-+-=-= ，解得[]575,54y =±∈-，所以椭圆C 上存在点P ，使得120PF PF ⋅=，故B 正确；对于C ，由题意可得1212210,28PF PF a F F c +====，在12PF F △中，由余弦定理得2221212122cos60F F PF PF PF PF =+-︒，即()21212126431003PF PF PF PF PF PF =+-=-，所以1212PF PF =，所以12PF F △的面积为121sin 602PF PF ︒=C 正确；对于D ，设()[],,5,5P x y x ∈-，则221925x y +=，所以229925x y =-，则OP ==因为[]5,5y ∈-，所以[]20,25y ∈，所以[]3,5OP =，所以max max 16PQ OP =+=，故D 错误.故选：BC.12.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ADC ∠=︒，PAD 为正三角形，O 为AD 的中点，且平面PAD ⊥平面,ABCD M 是线段PC 上的一点，则以下说法正确的是（）A.OM PD ⊥B.OM BC⊥C.若点M 为线段PC 的中点，则直线//OM 平面PABD.若13PM PC =，则直线AM 与平面PAB所成角的余弦值为10【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，由线面垂直的判断定理即可判断AB ，由线面平行的判定定理即可判断C ，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可判断D.【详解】连接OC ，因为底面ABCD 是边长为2的菱形，60ADC ∠=︒，又PAD 为正三角形，O 为AD 的中点，所以AD PO ⊥，AD CO ⊥，又PO CO O = ，,PO CO ⊂平面POC ，所以AD ⊥平面POC ，又OM ⊂平面POC ，所以AD OM ⊥，又//AD BC ，所以OM BC ⊥，故B 正确；当点M 为线段PC 的中点时，取BP 的中点N ，连接,MN AN ，则//MN BC ，且12MN BC =，又O 为AD 的中点，底面ABCD 是边长为2的菱形，所以//AO BC ，且12AO BC =，所以//MN AO ，且MN AO =，所以四边形AOMN 为平行四边形，所以//OM AN ，又OM ⊄平面PAB ，AN ⊂平面PAB ，所以//OM 平面PAB ，故C 正确；因为平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD 为正三角形，O 为AD 中点，所以PO AD ⊥，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ，且OC ⊂平面ABCD ，所以PO OC ⊥，又OD OC ⊥，OD OP O ⋂=，,OD OP ⊂平面OPD ，所以OC ⊥平面OPD ，又PD ⊂平面OPD ，所以OC PD ⊥，显然PD 与平面OPC 不垂直，故当点M 运动到点C 位置时，才有OM PD ⊥，故A错误；建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()(0,0,0,1,0,0,2,,0,,0,0,O A B C P ，又13PM PC =，所以0,,33M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则1,,33AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()AB =，(AP =- ，设平面PAB 的法向量为(),,n x y z =，则0n AB x n AP x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令x =，则1,1y z =-=，所以)1,1n =-，设直线AM 与平面PAB 的夹角为θ，则sin cos ,10n AM n AM n AMθ⋅=<>==⋅，则310cos 10θ==，所以直线AM 与平面PAB所成角的余弦值为10，故D 正确；故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在空间直角坐标系Oxyz 中，())0,1,2,AM AN ==，则点M 到直线AN 的距离为__________.【答案】2【解析】【分析】先求出AM 在AN上的投影向量的模长，然后利用勾股定理求解即可【详解】AM 在AN 上的投影向量的模长32AN AM d AN⋅==.则点M 到直线AN的距离为112==故答案为：11214.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22680x y x +-+=相切，则双曲线的离心率为__________.【答案】4【解析】【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再表示出渐近线方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可得到3c b =，即可求出离心率.【详解】圆22680x y x +-+=即()2231x y -+=，圆心为()3,0，半径1r =，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，依题意1d ==，即3c b =，又222c a b =+，所以a =，所以离心率324c e a ===.故答案为：415.如图，已知一个二面角的平面角为120︒，它的棱上有两个点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AC =，BD =，CD =，则线段AB 的长为__________.【答案】2【解析】【分析】过点A 作//AF BD ，且AF BD ==，在ACF △利用余弦定理可得CF =，再在CDF 中利用勾股定理求解.【详解】过点A 作//AF BD，且AF BD ==，则四边形ABDF 为平行四边形，DF AB ∴=，又BD AB ⊥ ，AF AB ∴⊥，AC AB ⊥ ，CAF ∴∠即为二面角的平面角，即120CAF ∠=︒，在ACF △中，(2222212cos 2142CF CA AF CA AF CAF ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+--= ⎪⎝⎭，即CF =又AC AF A ⋂=，AC ，AF ⊂平面ACF ，AB ∴⊥平面ACF ，CF ⊂Q 平面ACF ,AB CF ∴⊥，FD CF ⊥，在CDF 中，(222224DF CD CF =-=-=，即2AB DF ==，故答案为：2.16.某地发生地震，呈曲线形状的公路EF 上任意一点到A 村的距离比到B 村的距离远4km ，B 村在A 村的正东方向6km 处，C 村在A 村的北偏东60︒方向处，为了救援灾民，救援队在曲线EF 上的M 处收到了一批救灾药品，现要向B C ､两村转运药品，那么从M 处到B 、C 两村的路程之和的最小值为__________km .【答案】4-【解析】【分析】根据题意建立直角坐标系，结合双曲线定义可知曲线EF 的轨迹为双曲线的右支，从而求得其轨迹方程，结合图像得到4MB MC AC +≥-，由此得解.【详解】如图，以AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，由题意得46MA MB -=<，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支，故24,2,26,3,a a c c b =====所以曲线EF 的轨迹方程为221(0)45x y x -=>，因为AC =所以244MB MC MC MA a AC +=+-≥-=，当且仅当,,A M C 共线时，等号成立，所以从M 处到B 、C 两村的路程之和的最小值为()4km .故答案为：634-.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知()()2,0,2,0A B -，动点M 与点A 的距离是它与点B 2倍.（1）求点M 的轨迹方程；（22倍改成(0)k k >倍，求点M 的轨迹.【答案】（1）22(6)32x y -+=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）设点M 的坐标，利用两点之间的距离公式列出等式化简即可；（2）设点M 的坐标，利用两点之间的距离公式列出等式化简，化简过程中注意二次项系数为0的情况.【小问1详解】设点M 的坐标为(),x y ，由2MA =，2222(2)2(2)x y x y ++=-+221240x x y -++=，即22(6)32x y -+=.【小问2详解】设点M 的坐标为(),x y ，由MA k MB =，得2222(2)(2)x y x y ++=-+化简得()()()()2222221411410kxk x k y k -+++-+-=，当1k =时，方程为0x =，可知点M 的轨迹是线段AB 的垂直平分线；当0k >且1k ≠时，方程可化为()()2222222211611k k x y k k ⎡⎤+⎢⎥++=-⎢⎥-⎣⎦，点M 的轨迹是以()2221,01k k ⎛⎫+ ⎪ ⎪-⎝⎭为圆心，半径为241kk -的圆.18.已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=上的任意一点到两个焦点的距离之和为3，过点()1,1P 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，且满足0PA PB +=，若M 为直线AB 上任意一点，O 为坐标原点，求OM 的最小值.【答案】2105.【解析】【分析】先求出椭圆方程，再利用点差法得到直线AB 的方程，利用点到直线距离公式求出答案.【详解】由题意得23c a a ==，解得2,a c b ====，所以椭圆方程为22162y x +=，因为221121623+=<，所以()1,1P 在椭圆内，所以直线AB 与椭圆总有两个交点，因为0PA PB += ，所以点P 为线段AB 的中点，设()()1122,,,A x y B x y ，则12122,2x x y y +=+=，22112222162162y x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以22222121062y y x x --+=，所以()()()()2121212130y y y y x x x x +-++-=，所以()()2121260y y x x -+-=，即()()212130y y x x -+-=，所以21213y y x x -=--，所以直线AB 为()131y x -=--，即340x y +-=，因为M 为直线AB 上任意一点，所以OM 的最小值为点O 到直线AB的距离5d ==.19.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1CC 的中点.（1）求证：BD ⊥平面1A AE ；（2）求点B 到平面1AB E 的距离；（3）求平面1AB E 和底面1111D C B A 夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）23（3）3【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明线线垂直，再由线面垂直的判定定理得证；（2）利用向量法求点面距离；（3）利用向量法求两个平面的夹角.【小问1详解】以点1D 为坐标原点，11111,,D A D C D D 所在直线分别为x 轴、y 轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()()()11111,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,1,1,1,1,0,1,1A B C D A B C ，()10,0,1,0,1,2D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()()111,1,0,0,0,1,1,1,2DB A A AE ⎛⎫===-- ⎪⎝⎭ ，所以10,0DB A A DB AE ⋅=⋅= ，所以1,BD AA BD AE ⊥⊥，又1AA AE A ⋂=，1,AA AE ⊂平面1A AE ，因此BD ⊥平面1A AE .【小问2详解】平面1AB E 的法向量为()123,,m x x x =，()1110,1,1,1,0,2B A B E ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，则1231130,10,2m B A x x m B E x x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩取11x =，可得()1,2,2m =，又()10,0,1B B = ，则点B 到平面1AB E 的距离为123B B m d m ⋅== .【小问3详解】设平面1AB E 和底面1111D C B A 夹角为θ，因为平面1111D C B A 的一个法向量为()0,0,1n = ，所以2cos ,3m n m n m n ⋅== ，故3sin θ=，所以平面1AB E 和底面1111D C B A 夹角的正弦值为3.20.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中，ABC 满足AC BC =，顶点(1,0)A -、(1,2)B ，且其“欧拉线”与圆()222:5(0)M x y r r ++=>相切.（1）求ABC 的“欧拉线”方程；（2）若圆M 与圆22()2x y a +-=有公共点，求a 的范围；（3）若点(),x y 在ABC 的“欧拉线”.【答案】（1）10x y +-=（2）a ⎡∈⎣（3）2【解析】【分析】（1）根据题意，得出等腰三角形欧拉线为底边上的垂直平分线，利用点斜式求出直线方程；（2）因两圆有公共点，利用两圆的圆心距与半径的关系求出的范围（3）依题意，转化为直线上的动点到两定点的距离之和的最小值，根据点关于直线对称求出对称点即可得结果.【小问1详解】因为AC BC =，所以ABC 是等腰三角形，由三线合一得：ABC 的外心、重心、垂心均在边AB 的垂直平分线上，设ABC 的欧拉线为l ，则l 过AB 的中点，且与直线AB 垂直，由()()1,01,2A B -､可得：AB 的中点1102,22D -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()()200,1,111AB D k -==--，所以1l k =-，故l 的方程为10x y +-=.【小问2详解】因为l 与圆222:(5)M x y r ++=相切，故r ==圆22()2x y a +-=的圆心坐标为()0,a，半径1r =，则要想圆M 与圆22()2x y a +-=有公共点，只需两圆圆心的距离小于等于半径之和，大于等于半径之差的绝对值，故≤≤a ⎡∈⎣.【小问3详解】，所以该式子是表示点(),x y 到点()1,1、点()2,0的距离之和，又10x y +-=，所以上述式子表示直线10x y +-=上的点(),x y 到点()1,1E 、点()2,0F 的距离之和的最小值.设点()1,1E 关于直线10x y +-=的对称点为(),G s t ，则有11,11110,22t s s t -⎧=⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩解得00s t =⎧⎨=⎩，即()0,0G .所以2FG =，所以直线10x y +-=上的点(),x y 到点()1,1E 、点()2,0F 的距离之和的最小值为2FG =.21.已知圆P 与直线2x =相切，圆心P 在直线0x y +=上，且直线20x y --=被圆P截得的弦长为.（1）求圆P 的方程；（2）若直线:4l y kx =-与圆P 交于不同的两点,C D ，且30PCD ∠=︒，求直线l 的斜率；（3）若点Q 是直线1:40l x y --=上的动点，过Q 作圆P 的两条切线,QM QN ，切点分别为,M N ，求四边形PMQN 面积的最小值.【答案】（1）224x y +=（2）（3）4【解析】【分析】（1）根据条件可知圆心坐标为(),P a a -，结合圆与直线2x =相切得到半径，再利用弦长公式求解即可；（2）由（1）可知点P 即为原点，根据条件得到原点O 到直线l 的距离，利用点到直线距离公式求解即可；（3）根据当1PQ l ⊥时，PQ 最小，此时四边形PMQN 的面积最小进行求解.【详解】（1）设圆P 的圆心为(),P a a -，半径为r ，因为圆P 与直线2x =相切，所以2r a =-.又直线20x y --=被圆P 截得的弦长为，=0,2,a r =⎧⎨=⎩即圆心坐标为()0,0,2r =，所以圆P 的方程为224x y +=.（2）依题意，P 即为坐标原点,2O OC OD ==，且30OCD ∠= ，则点()0,0O 到CD 的距离为1，于1=，解得k =，所以直线l 的斜率为（3）由切线长定理可得QM QN =，又因为PM PN =，所以PMQ PNQ ≅ ，所以四边形PMQN 的面积22PMQ S S PM MQ MQ ==⋅= ，因为||MQ =1QP l ⊥时，QP 取最小值，且min ||QP ==，所以四边形PMQN 的面积的最小值为4S ==.22.已知点A 在曲线22:186x y C +=上，O 为坐标原点，若点B 满足OA = ，记动点B 的轨迹为Γ.（1）求Γ的方程；（2）设Γ的右焦点为F ，过点F 且斜率不为0的直线l 交椭圆Γ于,P Q 两点，若MF 与x 轴垂直，且M 是MF 与Γ在第一象限的交点，记直线MP 与直线MQ 的斜率分别为12,k k ，当120k k +=时，求MPQ 的面积.【答案】（1）22143x y +=（2）8【解析】【分析】（1）设()(),,,A A B x y A x y，根据OA = ，把B 点的坐标用A 点的坐标表示，再代入曲线22:186x y C +=即可得解；（2）设直线l 的方程为()()()112210,1,,1,x my m P my y Q my y =+≠++，联立方程，利用韦达定理求出1212,y y y y +，再结合120k k +=可求出m ，即可得直线l 的方程，进而可求出三角形的面积.【小问1详解】设()(),,,A A B x y A x y ，因为点A 在曲线22:186x y C +=上，所以22186A A x y +=，因为OA =，所以A A x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，代入22186A A x y +=可得22(2)(2)186+=，即22143x y +=，即Γ的方程为22143x y +=；【小问2详解】由（1）知，Γ的右焦点为()1,0F ，令1x =，则21143y +=，解得32y =±，所以31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，据题意设直线l 的方程为()()()112210,1,,1,x my m P my y Q my y =+≠++，则121212112233232322,22y y y y k k my my my my ----====，于是由120k k +=得12122323022y y my my --+=，化简得()()121243*y y y y =+，由221,34120x my x y =+⎧⎨+-=⎩，消去x 整理，得()2234690m y my ++-=，()()222Δ(6)363414410m m m =++=+>，由根与系数的关系得12122269,3434m y y y y m m +=-=-++，代入()*式得：2218363434m m m -=-++，解得2m =，所以直线l 的方程为210x y --=，方法一：()2121239Δ14421720,,416y y y y =+=+=-=-，所以154PQ ===，点M 到直线l的距离355d ==，所以1115359522458MPQ S PQ d ==⨯⨯= .方法二：由题意可知1324MPQ MPF MQF P Q P Q S S S MF x x x x =+=-=- ，210x y --=代入2234120x y +-=消去y ，得242110x x --=，所以()2111Δ(2)44111800,,024P Q P Q x x x x =--⨯⨯-=>+==-<，所以33448MPQ P Q S x x =-=== .【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；,x y所满足（3）相关点法：用动点Q的坐标x、y表示相关点P的坐标0x、0y，然后代入点P的坐标()00的曲线方程，整理化简可得出动点Q的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一参数t得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.。
第10讲 直线的倾斜角与斜率(学生版)-2023年新高二暑期数学衔接(新人教版)
第10讲直线的倾斜角与斜率【学习目标】1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式3.能根据斜率判定两条直线平行或垂直【基础知识】一、直线的倾斜角1.当直线l 与x 轴相交时,我们以x 轴为基准,x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.2.规定:当直线l 与x 轴平行或重合时,直线l 的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°二、直线的方向向量1.直线P 1P 2上的向量 以及与它平行的向量都是直线的方向向量.2.若P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)是直线P 1P 2上的两点,则直线P 1P 2的一个方向向量的坐标为()2121,x x y x --三、直线的斜率1.一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k 表示,即k =tan α(α≠90°).2.所有的直线都有倾斜角,但不是所有的直线都有斜率,倾斜角是90°的直线没有斜率.3.过两点的直线的斜率公式经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式是k =2121y y x x --.4.直线的方向向量与斜率的关系(1)经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线,其方向向量为12P P =(x 2-x 1,y 2-y 1)=(x 2-x 1) ,因此,当直线的斜率k 存在时,直线的一个方向向量的坐标为(1,k ).(2)当直线的一个方向向量的坐标为(x ,y )(x ≠0)时,直线的斜率k =y x.四、两条直线(不重合)平行的判定类型斜率存在斜率不存在图示对应关系l1∥l2⇔k1=k2两直线斜率都不存在⇒l1∥l2五、两条直线垂直的判定类型斜率都存在有直线斜率不存在图示对应关系l1⊥l2⇔k1k2=-11l斜率不存在，2l斜率为0⇒l1⊥l2【考点剖析】考点一：求直线的倾斜角例1．若直线1l与直线2l垂直，直线1l的斜率为33-，则直线2l的倾斜角为______．考点二：求直线倾斜角的范围例2．已知直线斜率为k，且13k-≤≤，那么倾斜角α的取值范围是()．A．ππ3π0,,324⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B．π3π0,,π34⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C．ππ3π0,,624⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D．π3π0,,π64⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭考点三：求直线的斜率例3．经过两点(0,1)A -,(2,4)B 的直线的斜率为()A ．32B ．52C ．25D ．32考点四：求直线斜率的范围例4．已知两点()2,3A -，()3,2-B ，直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是()A ．144k -≤≤-B ．4k ≤-或14k ≥-C ．344k -≤≤D ．344k -≤≤考点五：两直线平行问题例5．若直线1l 与直线2l 平行，直线1l 的斜率为2l 的倾斜角为___________.考点六：两直线垂直问题例6．已知直线1l 经过()3,A a ，()2,3B a -，直线2l 经过点()2,3C ，()1,2D a -．如果12l l ⊥，求a 的值．【真题演练】1.(2022学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学高二下学期开学考试)直线12l l ⊥，若1l 的倾斜角为30°，则2l 的斜率为()AB ．CD ．2.(2022学年江苏省镇江市第一中学高二上学期期末)若倾斜角为3π的直线过(A ，()2,B a 两点，则实数=a ()A ．2B C ．D ．3.(2022学年江西省南昌市实验中学高二12月月考)经过点(P 、()4,0Q 两点的直线l 的倾斜角α为()A ．90ºB ．120ºC ．135ºD ．150º4.(多选)(2022学年湖南省怀化市第五中学高二上学期期中)在下列四个命题中，错误的有()A ．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B ．直线的倾斜角的取值范围是[0，π]C ．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为45度D ．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα5.(多选)(2022学年黑龙江省七台河市勃利县高级中学高二上学期期中)已知经过点(20)A -，和点(13)B a ，的直线1l 与经过点(01)P -，和点(2)Q a a -，的直线2l 互相垂直，则实数=a ()．A ．1-B ．0C ．1D ．26.(2022学年上海市控江中学高二下学期期中)设a ∈R ，若直线l 经过点(,2)A a ､(1,3)B a +，则直线l 的斜率是___________.7.(2022学年四川省绵阳市南山中学高二上学期10月月考)若三点()3,1A ，()2,B b ，()8,11C 在同一条直线上，则实数b =___________.8.(2022学年河北省石家庄十二中高二上学期期中)已知两点()()1,2,,3A B m -，求：(1)直线AB 的斜率k ；(2)已知实数1m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，求直线AB 的倾斜角α的范围.【过关检测】1.(河北省保定市2022学年高二上学期期末)若直线l 经过()1,0A ，(B 两点，则直线l 的倾斜角为()A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π2.以点()1,1A -，()2,1B -，()1,4C 为顶点的三角形是()．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形3．(2022学年湖北省荆州市八县市高二上学期期末)直线12,l l 的斜率是方程220x x --=的两根，则1l 与2l 的位置关系是()A ．平行B ．重合C ．相交但不垂直D ．垂直4．(2022学年河北省唐山市滦南县第一中学高二上学期10月月考)过点()1,2P -的直线l 与x 轴､y 轴分别交于,A B 两点，且P 恰好是AB 的中点，则AB 的斜率为()A ．12B ．12-C ．2-D ．25.(2020-2021学年内蒙古包头市第四中学高二上学期月考)设点(3,5)A -，(2,2)B --，直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是()A ．1k ³或3k ≤-B ．31k -≤≤C ．13k -≤≤D ．以上都不对6．(多选)下列四个命题中，错误的有()A ．若直线的倾斜角为θ，则sin 0θ>B ．直线的倾斜角θ的取值范围为0θπ≤<C ．若一条直线的倾斜角为θ，则此直线的斜率为tan θD ．若一条直线的斜率为tan θ，则此直线的倾斜角为θ7.(多选)如果直线l 过原点(0，0)且不经过第三象限，那么l 的倾斜角α可能是()A ．0°B ．120°C ．90°D ．60°8.(2022学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高二上学期11月期中)如图所示，直线1l 的频斜角130α=，直线12l l ⊥，则直线2l 的斜率为________．9．在△ABC 中，已知A (3，﹣2)，B (1，﹣3)，C (1，1).(1)求直线AB ，AC ，BC 的斜率；(2)判断直线AC 的倾斜角是锐角还是钝角或直角.--、(3,0)、(5,6)，求该平行四边形的第四个顶点坐标．10.已知一平行四边形的三个顶点坐标分别为(1,2)。
河北省保定市定兴中学2022高二数学下学期第二次月考(4月线上测试)试题
河北省保定市定兴中学2022高二数学下学期第二次月考（4月线上测试）试题卷I（选择题共 60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，计60分。
在每小题给出的四个选项中，只有1个选项符合题意）1．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数2．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．14B．π8C．12D．π43.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A.516B.1132C.2132D.11165.（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为A．12 B．16 C．20 D．246．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A．中位数 B．平均数 C．方差D．极差7．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.88.在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布2(1,)(0)Nσσ>，若(01)0.4Pξ<<=，则(02)Pξ<<= A．0.4B．0.8 C．0.6D．0.29．同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则X的数学期望是A．1B．2 C．32D．5210．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x，方差为2s，则A．270,75x s=<B．270,75x s=>C．270,75x s><D．270,75x s><11．已知51(1)(2)axx x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为A．80-B．40-C．40D．8012．已知曲线e lnxy a x x=+在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则A．e1a b==-，B．a=e，b=1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-卷II （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡对应题号后的横线上）13.在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再取到不合格品的概率为________.14.从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，任取2个数字，一共可以组成______个没有重复数字的四位数．(用数字作答)15.从一批含有13件正品、2件次品的产品中不放回地抽取3次,每次抽取1件,设抽取的次品数为ξ,则E(5ξ+1)= .16.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互，则甲队以4∶1获胜的概率是________．（用小数作答．．．．．） 三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（10分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．18.（12分）有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上0,1,2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x ，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y ，令X ＝x ·y. 求：(1)X 所取各值的概率； (2)随机变量X 的均值与方差.19．（12分）设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++≥∈N ．已知23242a a a =．（1）求n 的值；（2）设(1na +=+*,ab ∈N ，求223a b -的值．20．（12 分）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束． （1）求P （X=2）；（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率．21．（12分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互．（1）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望； （2）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率．22.（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为(01)p p <<，且各件产品是否为不合格品相互． （1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ,求()f p 的最大值点0p ；（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用． （i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求)(X E ;（ii ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？高二线上测试数学参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，计60分。
河北省保定市2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)
如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！2019—2020学年度第一学期期末调研考试高二数学试题注意事项:1.本试卷满分150分,考试时间120分钟.2.答卷前,考生务必将自己的姓名､学号､学校､考试科目填写清楚.3.参考公式:最小二乘法求线性回归方程系数公式:()()()121nii i nii xx y ybxx==--=-∑∑$1221ni ii ni i x y nx yx nx==-=-∑∑,a y bx =-$$,回归直线方程y bx a =+$$$.一､选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.设命题p :0x ∀>,ln 1x x ≤-,则p ⌝为( ) A. 0x ∀>,ln 1x x >- B. 0x ∀≤,ln 1x x ≥- C. 00x ∃>00ln 1x x >- D. 00x ∃≤,00ln 1x x >-【答案】C 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题的否定，写出p ⌝，从而得到答案. 【详解】因为命题p :0x ∀>，ln 1x x ≤-， 所以p ⌝00x ∃>，00ln 1x x >-，故选：C.【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于简单题. 2.若复数z 满足201920201zi i i=++,则z =( ) A. i B. 2iC. 1D. 2【答案】D 【解析】【分析】对复数z 进行计算化简，得到答案. 【详解】201920201zi i i=++ ()()100910102018202022i iii ii=⋅+=⋅+1i =-+所以()()21112z i i i =+-+=-=故选：D.【点睛】本题考查复数的综合运算，属于简单题.3.已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =（ ） A. 4 B. 2C. 1D. 8【答案】C 【解析】点A 到抛物线的准线：14x =-的距离为：014d x =+，利用抛物线的定义可得：001544x x +=， 求解关于实数0x 的方程可得：01x =. 本题选择C 选项.【此处有视频，请去附件查看】4.一正方体的棱长为2,且每个顶点都在球O 的表面上,则球O 的半径为( )B. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方体的棱长，求出其外接球的直径再得到其半径.【详解】因为正方体的棱长为2，且每个顶点都在球O 的表面上， 所以得到其外接球O 的直径为=所以球O 故选：A.【点睛】本题考查求正方体的外接球的半径，属于简单题.5.甲､乙两人去某公司面试,二人各自等可能地从A ､B 两个问题中选择1个回答,则他们都选择到A 题的概率为( ) A.12B.13C.23D.14【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列出所有的情况，然后得到符合要求的情况，根据古典概型公式，得到答案. 【详解】由题意，甲、乙选择的问题，共有(),A A ，(),A B ，(),B A ，(),B B ，四种情况， 其中都选到A 题的情况只有1种，即(),A A ， 根据古典概型公式，得到概率为14P =. 故选：D.【点睛】本题考查求古典概型的概率，属于简单题.6.设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ,2F ,若双曲线上存在一点P ,使212PF F π∠=,且124PF PF =,则双曲线的离心率为( )【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，结合124PF PF =，得到1PF 和2PF ，然后根据勾股定理，得到,a c 的关系，从而得到双曲线的离心率.【详解】因为点P 在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上，且124PF PF =，所以122PF PF a -=， 所以183a PF =，223aPF =，因为212PF F π∠=，所以2222121PF F F PF +=即()22228233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得22159c a =，所以离心率3e ==. 故选：C.【点睛】本题考查双曲线的定义，根据几何关系求双曲线的离心率，属于简单题. 7.设函数()()ln 0xf x ae x a =-≠在点1x =处的切线为l ,则l 在y 轴上的截距为( )A. 1B. 2C. aeD. 1ae -【答案】A 【解析】 【分析】求导得到()f x '，代入1x =，得到切线斜率，结合切点，得到切线方程， 从而得到其在y 轴上的截距.【详解】因为函数()()ln 0xf x ae x a =-≠，所以()1xf x ae x'=-， 代入1x =，得1k ae =-， 而()1f ae =，所以()f x 在1x =处的切线l 的方程为：()()11y ae ae x -=--，整理得()11y ae x =-+， 令0x =，得1y = 所以l 与y 轴的截距为1. 故选：A.【点睛】本题考查根据导数的几何意义求在一点的切线，属于简单题.8.已知p :指数函数()3xy a =-在R 上单调递减,q :1222m a m <<+,若p 是q 的必要不充分条件,则实数m 的取值范围是( ) A. ()3,4B. 37,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.37,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到命题p 中a 的范围，根据p 是q 的必要不充分条件，得到关于m 的不等式组，得到m 的范围.【详解】因为命题p :指数函数()3xy a =-在R 上单调递减，所以031a <-<，即34a <<， 命题q :1222m a m <<+， 因为p 是q 的必要不充分条件所以231242m m ≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩，解得3274m m ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩所以m 的范围为37,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B.【点睛】本题考查根据指数函数的单调性求参数范围，根据必要不充分条件求参数的范围，属于简单题.9.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,对于以下三个命题:①直线1A B 与直线AC 所成角的大小为60︒; ②直线1A B 与平面1111D C B A 所成角大小为30°; ③直线1BC 与平面11A ACC 所成角大小为30°. 其中真命题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C 【解析】 【分析】根据异面直线所成的角，线面角对三个命题进行判断，从而得到答案. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，11A D BC P 且11A D BC =， 所以11A D CB 为平行四边形， 所以11A B D C P所以直线1A B 与直线AC 所成角等于直线1D C 与直线AC 所成角， 即1D CA ∠，而11,,D C CA AD 是正方体的面对角线，所以相等， 所以1D AC ∆为等边三角形，故160D CA ∠=︒， 故①正确.在正方体1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面1111D C B A ，所以直线1A B 与平面1111D C B A 所成角为1145BA B ∠=︒， 故②错误.连接BD 交AC 于M ，则BD AC ⊥，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ， 所以1AA BD ⊥，1,AA AC ⊂平面11A ACC ，1AA AC A =I ，所以BD ⊥平面11A ACC ，所以1MC B ∠为直线1BC 与平面11A ACC 所成角， 在直角三角形1MC B 中，11122MB BD BC ==， 所以130MC B ∠=︒所以直线1BC 与平面11A ACC 所成角大小为30°. 故③正确. 故选：C.【点睛】本题考查求异面直线所成的角，求直线与平面所成的角，属于中档题. 10.已知函数()29ln 3f x x x x =-+在其定义域内的子区间()1,1m m -+上不单调,则实数m 的取值范围为( ) A. 13,22⎛⎫⎪⎝⎭B. 31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】 【分析】对()f x 求导得到()f x '，然后利用导数得到()f x 的单调区间，根据()f x 在()1,1m m -+上不单调，从而得到关于m 的不等式，得到答案. 【详解】因为()29ln 3f x x x x =-+所以()923f x x x'=-+ 令()0f x '=，即9230x x-+=， 解得32x =或3x =-（舍） 所以30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减， 3,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增， 而()f x 在区间()1,1m m -+上不单调， 所以3112m m -<<+ 解得1522m <<， 因为()1,1m m -+是函数()f x 定义域内的子区间， 所以10m -≥，即m 1≥， 所以m 的范围为51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故选：D.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，根据函数的单调性求参数的范围，属于中档题.11.若关于x 430kx k +-=有且只有两个不同的实数根,则实数k 的取值范围是( ) A. 55,126⎛⎫⎪⎝⎭ B. 23,34⎛⎤⎥⎝⎦C. 50,12⎛⎤⎥⎝⎦D.53,124纟çúçú棼【答案】D 【解析】 【分析】方程转化为()43k x =-+由且只有两个不同的实数根，看成y =与()43y k x =-+有且只有两个不同的交点，即过()4,3的直线与以()2,0为圆心，2为半径的半圆有且只有两个交点，从而得到斜率k 的范围.430kx k +-=有且只有两个不同的实数根，()43k x =-+有且只有两个不同的实数根，即y =与()43y k x =-+有且只有两个不同的交点，即过()4,3的直线与以()2,0为圆心，2为半径的半圆有且只有两个交点， 当直线与半圆相切时，圆心()2,0到直线430kx y k --+=的距离为22=，解得512k =， 当直线过()0,0时，斜率为34， 所以k 的取值范围为53,124纟çúçú棼. 故选：D.【点睛】本题考查根据直线与圆相切求斜率的值，函数与方程，属于中档题.12.已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有公共焦点,左､右焦点分别为1F ,2F ,且两条曲线在第一象限的交点为P ,12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形,若18PF =,椭圆与双曲线的离心率分别为1e ,2e ,则12e e ⋅的取值范围是( ) A. 1,9⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. 1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭C. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D.5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c ，1PF m =，2PF n =，()m n >，由条件可得8m =，2n c =，再由椭圆和双曲线的定义可得14a c =+，24a c =-，4c <，运用三角形三边关系，求得c 的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围.【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为c ，1PF m =，2PF n =，()m n >，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若18PF =，则8m =，2n c =，由椭圆的定义可得12m n a +=， 由双曲线的定义可得22m n a -=， 即有14a c =+，24a c =-，根据三角形三边关系可得2248c c c +=>，即2>c ， 所以24c <<，根据离心率公式可得212122122116161c c c e e a a c c ⋅=⋅==--，因为24c <<，所以21614c<<， 则有2111631c >-，所以12e e ⋅的取值范围为1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义，考查离心率的求法，三角形的三边关系，属于中档题.二､填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把最简答案填在答题卡的横线上) 13.已知1x =是函数()2af x x x=+的极值点,则实数a 的值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】对()f x 求导，得到()f x '，根据1x =是函数()f x 极值点，从而得到()10f '=，得到a 的值.【详解】函数()2af x x x=+， 所以()22af x x x'=-+， 因为1x =是()f x 的极值点， 所以()10f '=，即20a -+= 所以2a =. 故答案为：2.【点睛】本题考查根据函数的极值点求参数的值，属于简单题.14.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,则点B 到平面11A B CD 的距离为______.【解析】 【分析】连接1BC 交1B C 于M ，通过线面垂直的判定，得到BM ⊥平面11A B CD ，根据正方体的棱长，得到点B 到平面11A B CD 的距离.【详解】连接1BC 交1B C 于M ，因为正方体1111ABCD A B C D -，所以面11B C CB 为正方形， 所以11B C BC ⊥，在正方体1111ABCD A B C D -中，11A B ⊥平面11B C CB ， 而1BC ⊂平面11B C CB ， 所以111A B BC ⊥111,B C A B ⊂平面11A B CD ，1111=B C A B B I所以1BC ⊥平面11A B CD ，所以BM 为点B 到平面11A B CD 的距离， 又因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2， 所以B 到平面11A B CD 的距离为2. 故答案为：2.【点睛】本题考查线面垂直的判定，求点到平面的距离，属于简单题.15.已知椭圆C :2212x y +=,点P 是椭圆C 上的一个动点,满足21OP PF ⋅≥-u u u r u u u u r (O 为坐标原点,2F 为椭圆的右焦点),则点P 的横坐标的取值范围是______.【答案】2⎡⎣【解析】 【分析】设点P (),x y ，根据21OP PF ⋅≥-u u u r u u u u r，得到,x y 的关系，代入椭圆方程，得到关于x 的不等式，解得x 的范围，结合椭圆上点的横坐标范围，得到答案.【详解】椭圆C :2212x y +=，2F 为椭圆的右焦点，所以()21,0F设点P (),x y ，所以(),OP x y =uu u r，()21,PF x y =--u u u u r ，由21OP PF ⋅≥-u u u r u u u u r ，得221x x y --≥-又因(),P x y 在椭圆C :2212x y +=上，所以2212x y =-，所以22121x x x --+≥-，解得02x ≤≤，因为因(),P x y 在椭圆C :2212x y +=上，所以x ≤≤，所以点P 的横坐标的取值范围是⎡⎣.故答案为：⎡⎣.【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，椭圆上点的范围，属于中档题. 16.已知函数()sin 1f x x =-,()ln 2ag x x x =-,若对任意1x R ∈都存在()21,x e ∈使()()12f x g x <成立,则实数a 的取值范围是______.【答案】()2,e +∞ 【解析】 【分析】根据题意，得到()()max max f x g x <，从而转化为存在()1,x e ∈，使ln 02ax x ->，判断出0a >，从而分离出a ，利用导数得到ln xy x=在()1,x e ∈的范围，再得到关于a 的不等式，解得a 的范围.【详解】对任意1x R ∈都存在()21,x e ∈使()()12f x g x <成立， 所以得到()()max max f x g x <，而()sin 1f x x =-，所以()max 0f x =， 即存在()1,x e ∈，使ln 02ax x ->， 此时ln 0x >，0x >， 所以0a >， 因此将问题转化为 存在()1,x e ∈，使2ln x a x<成立， 设()ln xh x x =，则()max 2h x a<， ()21ln xh x x-'=， 当()1,x e ∈，()0h x '>，()h x 单调递增， 所以()()1h x h e e<=， 即21a e<，所以2a e >， 所以实数a 的取值范围是()2,e +∞. 故答案为：()2,e +∞.【点睛】本题考查根据不等式的恒成立和存在性问题，利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题.三､解答题(解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤)17.有人收集了七月份的日平均气温t (摄氏度)与某冷饮店日销售额y (百元)的有关数据,为分析其关系,该店做了五次统计,所得数据如下:由资料可知,y 与t 成线性相关关系.(1)求出y 关于t 的线性回归方程$$y bta =+$; (2)根据所求回归直线方程预测日平均气温为38摄氏度时该冷饮店的日销售情况. 【答案】（1）$1.232.4y t =-.（2）1320元. 【解析】 【分析】（1）根据表中数据得到t 和y ，再计算出b $和$a ，从而得到线性回归方程；（2）代入38t =到回归方程，得到该冷饮店的日销售额. 【详解】解:(1)由表中数据得:33t =，7.2y =，∵()()5112iii tty y =--=∑，()52ii 1tt10=-=∑，所以 1.2b=$. ∴$7.2 1.23332.4ay bt =-=-⨯=-$， ∴$1.232.4y t =-.(2)将38t =代入回归方程，得$1.23832.413.2y =⨯-=， 故预测日平均气温为38摄氏度时该冷饮店的销售额为1320元.【点睛】本题考查求线性回归方程，根据线性回归方程进行估计，属于简单题. 18.已知圆C 的圆心在x 轴上,在y 轴上截得的弦长为6,且过点()1,4P . (1)求圆C 的方程;(2)过()1,2Q -做两条与圆C 相切的直线,切点分别为M ,N ,求直线MN 的方程.【答案】（1）()22425x y -+=.（2）5250x y -+=. 【解析】 【分析】（1）设圆心(),0C a ，根据几何关系得到a 的方程，从而得到圆心坐标，再求出PC ，得到半径，从而得到圆C 方程；（2）过Q 点的直线1x =-为圆C 的切线，得到点M 坐标，根据几何关系，得到MN 的斜率，从而得到直线MN 的方程. 【详解】解:(1)设圆心(),0C a ，因为圆心到y 轴的距离为a ，PC r =，圆在y 轴上截得弦长为6， 由几何关系得()()22223104a a +=-+-， 解得4a =，圆心()4,0C ，半径5PC ==，所以圆C 的方程为()22425x y -+=.(2)由已知得过Q 点的直线1x =-为圆C 的切线，易得切点()1,0M -， 因为()4,0C ，()1,2Q -，所以25QC k =-， 由几何关系知QC MN ⊥，即1QC MN k k ⋅=- 所以得52MN k =， 由点斜式得直线MN 方程为()5012y x -=+， 即5250x y -+=.【点睛】本题考查根据圆的弦长求圆的方程，过圆外一点求切线方程，属于简单题. 19.河北省高考改革后高中学生实施选课走班制,若某校学生选择物理学科的人数为800人,高二期中测试后,由学生的物理成绩,调研选课走班制学生的学习情况及效果,为此决定从这800人中抽取n 人,其频率分布情况如下:(1)计算表格中n ,a ,b 的值;(2)为了了解成绩在[)70,80,[)100,110分数段学生的情况,先决定利用分层抽样的方法从这两个分数段中抽取6人,再从这6人中随机抽取2人进行面谈,求2人来自不同分数段的概率.【答案】（1）100n =,24a =,0.15b =.（2）815. 【解析】 【分析】（1）根据频率的定义，求出n ，再根据[)80,90分数段的频率得到a ，根据[)90,100分数段的频数得到b ；（2）根据[)70,80，[)100,110分数段学生的人数，利用分层抽样，得到所抽取的人数，列出从其中抽取2人的情况，根据古典概型的概率公式，得到答案. 【详解】解:(1)因为[)50,60分数段的频数为8，频率为0.08， 所以81000.08n ==， [)80,90分数段的频率为0.24所以1000.2424a =⨯=，[)90,100分数段的频数为15，所以150.15100b ==. (2)[)70,80，[)100,110分数段学生的分别为20人，10人， 用分层抽样的方法抽取6人，则[)70,80分数段抽取学生为4人，记为1A ，2A ，3A ，4A ；[)100,110分数段抽取学生为2人，记为1B ，2B .从这6人中随机抽取2人，所有可能的结果共有15种，它们是{}12,A A ，{}13,A A ，{}14,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}23,A A ，{}24,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}34,A A ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}41,A B ，{}42,A B ，{}12,B B .又因为所抽取2人来自不同分数段的结果有8种，即{}11,A B ，{}12,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}41,A B ，{}42,A B ， 故所求的概率为815. 【点睛】本题考查补全频率分布表，分层抽样的特点，古典概型求概率，属于简单题. 20.如图在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,4=AD ,2AB =,平面PAD ⊥平面ABCD ,PAD ∆为等腰直角三角形,且2PAD π∠=,O 为底面ABCD 的中心.(1)求异面直线PO 与AD 所成角的余弦值; (2)若E 为PD 中点,F 在棱PA 上,若FAPAλ=,[]0,1λ∈,且二面角O EF D --的正弦值5求实数λ的值. 【答案】（1）2121.（2）12λ=.【解析】 【分析】（1）根据面PAD ⊥面ABCD ，PA AD ⊥，得到PA ⊥面ABCD ，以A 为原点建立空间直角坐标系，得到PO uuu r ，AD u u u r的坐标，根据向量夹角公式，得到异面直线PO 与AD 所成角的余弦值；（2）设FAPAλ=，从而得到F 点坐标，结合（1）取平面PAD 的法向量m u r ，求出平面OEF 的法向量为n r，通过法向量表示出二面角O EF D --的余弦值，根据其正弦，列出关于λ的方程，求出λ的值. 【详解】（1）∵PAD ∆为等腰直角三角形， ∴PA AD ⊥，∵面PAD ⊥面ABCD ，面PAD I 面ABCD AD =，PA ⊂面PAD ∴PA ⊥面ABCD ，∵底面ABCD 为矩形， 所以AB ，AD ，AP 三条线两两垂直.以A 为原点，AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 知()0,0,0A ，()2,0,0B ，()1,2,0O ，()0,4,0D ，()0,0,4P ，()1,2,4PO =-u u u r ，()0,4,0AD =u u u r，cos ,PO AD PO AD PO AD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r21==， 所以异面直线PO 与AD 所成角的余弦值为21. （2）结合（1）知()0,2,2E ，AB ⊥面PAD ，取平面PAD 的法向量()1,0,0m =u r.∵FAPAλ=，[]0,1λ∈，4PA =， ∴4FA λ=，∴()0,0,4F λ，设平面OEF 的法向量为(),,n x y z =r， 又()1,0,2OE =-u u u r ，()1,2,4FO λ=-u u u r， 00OE n FO n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v，即20240x z x y z λ-+=⎧⎨+-=⎩， 令2x =，得()2,21,1n λ=-r，又因为二面角O EF D--，所以cos ,m n =u r r ，而()2cos ,4211m n m n m n λ⋅==⋅+-+u r r u r r u r r ， 即()22554211λ=+-+， 解得12λ=.【点睛】本题考查空间向量求异面直线所成的夹角，根据二面角求参数的值，属于中档题.21.已知函数()ln f x ax x =+,()11x g x e-=-.(1)讨论函数()y f x =的单调性;(2)若不等式()()f x g x a ≤+在[)1,x ∈+∞上恒成立,求实数a 的取值范围.【答案】（1）0a ≤时，函数()f x 在()0,∞+单调递增，无减区间； 0a >时，函数()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递减. （2）0a ≤【解析】【分析】（1）对()f x 求导得到()f x '，分0a ≥和0a <进行讨论，判断出()f x '的正负，从而得到()f x 的单调性；（2）设函数()1ln 1x e x ax F x a -=---+，分0a ≥和0a <进行讨论，根据()F x 的单调性和零点，得到答案.【详解】解:（1）函数()f x 定义域是()0,∞+，()11ax f x a x x +'=+=，当0a ≥时，()0f x '>，函数()f x 在()0,∞+单调递增，无减区间；当0a <时，令()0f x '=，得到10ax +=，即1x a =-， 所以10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0f x '>，()f x 单调递增，1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<，()f x 单调递减，综上所述，0a ≤时，函数()f x 在()0,∞+单调递增，无减区间；0a >时，函数()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递减.（2）由已知1ln 10x e x ax a ----+≥在1x ≥恒成立，令()1ln 1x e x ax F x a -=---+，1x ≥，可得()10F =，则()11x F x e a x -'=--，()1210x F x e x -''=+>所以()F x '在[)1,+∞递增，所以()()1F x F a ''≥=-，①当0a ≤时，()0F x '≥，()F x 在[)1,+∞递增，所以()()10F x F ≥=成立，符合题意.②当0a >时，()10F a '=-<，当()ln 11x a =++时，()11110F x a a x x'=+--=->， ∴()01,x ∃∈+∞，使()0F x '=，即()01,x x ∃∈时()0F x '<， ()F x 在()01,x 递减，()()10F x F <=，不符合题意.综上得0a ≤.【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调性，根据导数解决不等式恒成立问题，属于中档题.22.设1F ,2F 分别为椭圆C :()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点,已知椭圆C 上的点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭到焦点1F ,2F 的距离之和为4.(1)求椭圆C 的方程;(2)过点2F 作直线交椭圆C 于M ,N 两点,线段MN 的中点为P ,连结OP 并延长交椭圆于点()00,Q x y (O 为坐标原点),若2OF ,OQ ,MN 等比数列,求线段MN 的方程.【答案】（1）22143x y +=.（2）()12y x =±-. 【解析】【分析】（1）根据椭圆定义，代入点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，得到a 和b ，从而得到椭圆方程；（2）根据（1）得到21OF =，根据题意得到22OQ OF MN MN =⋅=，当直线MN 斜率不存在时，说明不成立，当直线MN 斜率存在，设为()()10y k x k =-≠，与椭圆联立得到12x x +，12x x ，再得到P 点坐标，求出OP 方程，得到2OQ ，利用弦长公式，得到MN ，从而得到关于k 的方程，解得k 值，得到MN 的方程.【详解】解:（1）因为椭圆C 上的点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭到焦点1F ，2F 的距离之和为4所以24a =，即2a =， 将点31,2⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆方程得22231212b ⎛⎫⎪⎝⎭+=，得23b =， 故椭圆方程为22143x y +=.（2）因为222431c a b =-=-=，所以焦点1F ､2F 的坐标分别为()1,0-和()1,0，21OF =， 因为2OF ，OQ ，MN 成等比数列， 所以22OQ OF MN MN =⋅=.①当直线MN 斜率不存在时，则所求方程为1x =，3NM =，2OQ =. 显然不符合题意.②当直线MN 斜率存在，并设直线MN 方程为()()10y k x k =-≠， 代入22143x y +=得()22224384120k x k x k +-+-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+， 所以21224234x x kk +=+，12122232234y y x x kk k ++-==-+，即P 点坐标为22243,3434k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 所以可得直线OP 方程为:34y x k =-， 代入椭圆方程解得22021634k x k =+，202934y k =+， 故22291634O k k Q +=+，又因为()2212134k MN k +==+，代入22OQ OF MN MN =⋅=，得()22221219163434k k k k ++=++，解得2k =±，故直线MN 的方程为)12y x =±-.【点睛】本题考查求椭圆方程，直线与椭圆的交点，弦长公式，属于中档题.。
2019-2020学年河北省保定市高二(上)第二次月考数学试卷
2019-2020学年河北省保定市高二（上）第二次月考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 下列说法错误的是（）A.正方体的体积与棱长之间的关系是函数关系B.人的身高与视力之间的关系是相关关系C.汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程成负相关关系D.数学成绩与语文成绩之间没有相关的关系【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据题意知A是函数关系，C是负相关关系，D没有关系，进而求解．【解答】A：正方体的体积V与棱长a之间的关系为V＝a3，是函数关系，故A正确；B：人的身高与视力之间无任何关系，故B错；C：汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程成负相关关系，故C正确；D：数学成绩与语文成绩之间没有相关的关系，故D正确；2. 频率分布直方图中每个矩形的面积所对应的数字特征是（）A.频数B.众数C.平均数D.频率【答案】D【考点】频率分布直方图【解析】由频率分布直方图的矩形面积的几何意义可以得到结论．【解答】由频率分布直方图，可得样本频率分布直方图中的小矩形的面积就是对应组的频率，3. 某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150，120，180，150个销售点．公司为了调查产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本．按照分层抽样的方法抽取样本，则丙地区抽取的销售点比乙地区抽取的销售点多（）A.5个B.8个C.10个D.12个【答案】C【考点】分层抽样方法【解析】计算出抽样比，根据各层的人数，即可得到每一层抽取的人数．【解答】依题意，四个地区共有150+120+180+150＝600人，从中抽取100人，所以抽样比为100600=16，所以丙地区抽取的销售点有180×16=30个，乙地区抽取的销售点有120×16=20个，故丙地区抽取的销售点比乙地区抽取的销售点多30−20＝10个，4. 学校将5个不同颜色的奖牌分给5个班，每班分得1个，则事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是（）A.对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D.不是互斥事件【答案】C【考点】互斥事件与对立事件【解析】事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”能同时不发生，但是不能同时发生．所以两事件为互斥但不对立事件．【解答】学校将5个不同颜色的奖牌分给5个班，每班分得1个．事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”能同时不发生，但是不能同时发生．∴两事件为互斥但不对立事件．5. 已知样本数据x1，x2，……，x n的平均数是5，则新的样本数据2x1+5，2x2+ 5，……，2x n+5的平均数为（）A.5B.7C.10D.15【答案】D【考点】众数、中位数、平均数【解析】利用平均数公式，求出即可．【解答】x1+x2+...+x n＝5n，2x1+5+2x2+5+...+2x n+5＝2⋅(5n)+5n＝15n，所以新的样本数据2x1+5，2x2+5，2x n+5的平均数为15，6. 学校医务室对本校高一1000名新生的视力情况进行跟踪调查，随机抽取了100名学生的体检表，得到如图的频率分布直方图．若直方图的后四组的频数成等差数列，则估计高一新生中视力在4.8以下的人数为（）A.600B.390C.610D.510【答案】C【考点】频率分布直方图【解析】由频率分布直方图求出第一组有3人，第二组有7人，第三组有27人，再由后四组的频数成等差数列，求出后四组的频数分别为：27，24，21，18，从而视力在4.8以下的=0.61，由此能估计高一新生中视力在4.8以下的人数．频率为：3+7+27+24100【解答】由频率分布直方图得：第一组有100×0.015×0.2＝3人，第二组有100×0.35×0.2＝7人，第三组有100×1.35×0.2＝27人，后四组的频数成等差数列，故后四组的频数分别为：27，24，21，18，∴视力在4.8以下的频率为：3+7+27+24=0.61，100∴估计高一新生中视力在4.8以下的人数为1000×0.61＝610．7. 研究表明某地的山高y(km)与该山的年平均气温x(o C)具有相关关系，根据所采集的数据得到线性回归方程y^=−2x+60，则下列说法错误的是（）A.年平均气温为0o时该山高估计为60kmB.该山高为72km处的年平均气温估计为60∘CC.该地的山高y与该山的年平均气温x的正负相关性与回归直线的斜率的估计值有关D.该地的山高y与该山的年平均气温x成负相关关系【答案】B【考点】求解线性回归方程【解析】取x＝0求得y值判断A；取y＝72求得x值判断B；由线性回归方程的回归系数判断C与D．【解答】由线性回归方程y^=−2x+60，取x＝0，得y＝60，可知年平均气温为0o时该山高估计为60km，故A正确；取y＝72，得72＝−2x+60，即x＝−6，可知该山高为72km处的年平均气温估计为−6∘C，故B错误；该地的山高y与该山的年平均气温x的正负相关性与回归直线的斜率的估计值有关，故C正确；由回归直线的斜率为负值，得该地的山高y与该山的年平均气温x成负相关关系，故D正确．8. 甲、乙、丙三家企业产品的成本分别为10000，12000，15000，其成本构成如下图所示，则关于这三家企业下列说法错误的是（）A.成本最大的企业是丙企业B.费用支出最高的企业是丙企业C.支付工资最少的企业是乙企业D.材料成本最高的企业是丙企业【答案】C【考点】进行简单的合情推理【解析】直接根据图中数据计算对应结果即可求出结论．【解答】甲企业支付工资为：10000×35%＝3500；乙企业支付工资为：12000×30%＝3600；丙企业支付工资为：15000×25%＝3750；故甲企业支付的工资最少．9. 一个袋子中有红、黄、蓝、绿四个小球，有放回地从中任取一个小球，将“三次抽取后，红色小球，黄色小球都取到”记为事件M，用随机模拟的方法估计事件M发生的概率．利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表红、黄、蓝、绿四个小球，以每三个随机数为一组，表示取小球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：由此可以估计事件发生的概率为（）A.29B.13C.518D.23【答案】B【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】根据题意数字0和1都出现即为事件M发生，18组随机数中有6组数字0和1都出现，再利用古典概型的概率计算公式即可算出结果．【解答】∵将“三次抽取后，红色小球，黄色小球都取到”记为事件M，∴数字0和1都出现即为事件M发生，∵18组随机数中有6组数字0和1都出现，∴事件M发生的概率为：618=13，10. 某校从高一（1）班和（2）班的某次数学考试（试卷满分为10的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示．若分别从（1）班、（2）班的样本中各取一份，则（2）班成绩更好的概率为（）A.16 36B.1736C.12D.1936【答案】C【考点】茎叶图【解析】由题意求出从（1）班、（2）班的样本中各取一份共有6×6＝36种不同情况，再用列举法求出（2）班成绩更好的情况，计算所求的概率值．【解答】其中（2）班成绩更好的情况是：(67, 68)，(67, 72)，(67, 73)，(67, 85)，(67, 89)，(67, 93)，(76, 85)，(76, 89)，(76, 93)，(78, 85)，(78, 89)，(78, 93)，(82, 85)，(82, 89)，(82, 93)，(85, 89)，(85, 93)，(92, 93)共18种（1）所以所求的概率为P=1836=12．故选：C．11. 已知一组数据丢失了其中一个，另外六个数据分别是10，8，8，11，16，8，若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为（）A.12B.20C.25D.27【答案】D【考点】众数、中位数、平均数等差数列的通项公式【解析】设出未知数，根据这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，列出等式关系，因为所写出的结果对于x的值不同所得的结果不同，所以要讨论x的三种不同情况，从而求出所求．【解答】设这个数字是x，则平均数为61+x7，众数是8，若x≤8，则中位数为8，此时61+x7=8，∴x＝−5，若8<x<10，则中位数为x，此时2x=61+x7+8，x＝9，若x≥10，则中位数为10，2×10＝8+61+x7，x ＝23，所有可能值为−5，9，23，其和为27．12. 若点集A ={(x,y)|x 2+y 2≤14},B ={(x,y)||x|+|y|≤1}，设点集M ＝{(x, y)|xx 1+x 2, yy 1+y 2, (x 1, y 1)∈A, (x 2, y 2)∈B}．现向区域M 内任投一点，则该点落在区域B 内的概率为（ ） A.2+2√2+π4B.4+2√2+πC.212+πD.2+√2+π【答案】 A【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】根据题意求出集合M 对应的面积，以及集合B 对应得到面积，即根据几何概型公式求出即可． 【解答】依题意，集合A 表示以原点为圆心，以12为半径的圆周及其内部， 集合B 表示如图的正方形区域，面积为12×1×1×4=2， 集合M 中，{x 1=x −x 2y 1=y −y 2 ，带入x 2+y 2≤14，得(x −x 2)2+(y −y 2)2≤14，集合M 的面积为B 区域的面积2，外面四个小矩形的面积4×12×√2=2√2，和四个扇形面积14π的和， 即2+2√2+π4，故根据几何概型公式，向区域M 内任投一点，则该点落在区域B 内的概率为2+2√2+π4，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．从四双不同的袜子中，任取五只，其中至少有两只袜子是一双，这个事件是________（填“必然”、“不可能”或“随机”）事件． 【答案】 必然 【考点】 随机事件 【解析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于那一种类别．根据实际情况即可解答． 【解答】根据题意，4双袜子共8只，从中任取5只，先不同的袜子取4只，剩下一只必然和前面取的四只成为一双，所以是必然事件，若执行如图所示的程序框图，则输出的i＝________．【答案】5【考点】程序框图【解析】模拟程序的运行过程，即可得出结束循环后输出的i值．【解答】模拟程序的运行，可得m＝4，i＝1，a＝4；不满足条件a>65，执行循环体，i＝3，a＝43＝64；不满足条件a>65，执行循环体，i＝5，a＝45＝1024；满足条件a>65，结束循环，输出i＝5．已知样本5，6，7，m，n的平均数是6，方差是125，则mn＝________ 【答案】31【考点】极差、方差与标准差【解析】根据题意，列出两个m，n的方程，解方程组即可．【解答】5+6+7+m+n＝30，m+n＝12，1 5[(5−6)2+(6−6)2+(7−6)2+(m−6)2+(n−6)2]=125，化简得m2+n2＝82，所以2mn＝(m+n)2−82＝62，即mn＝31，为了了解某地高一学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），则x＝________，估计该地学生跳绳次数的中位数是________．【答案】0.015,122【考点】频率分布直方图【解析】根据频率和为1，即直方图中个小长方形的面积和为1即可得到x值；根据中位数前后频率均为0.5即可得到中位数．【解答】由(0.004+0.019+0.022+0.025+x+0.01+0.005)×10＝1，解得x＝0.015，∴直方图中x的值为0.015，∵(0.004+0.019+0.022)×10＝0.45<0.5，∴中位数在[120, 130)内，设中位数为a，则(0.004+0.019+0.022)×10+(a−120)×0.025＝0.5，解得a＝122，即中位数为122，三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．甲、乙两人进行围棋比赛，记事件A为“甲获得比赛胜利或者平局”，事件B为“乙获得比赛的胜利或者平局”，已知P(A)＝0.7，P(B)＝0.4．（1）求甲获得比赛胜利的概率；（2）求甲、乙两人获得平局的概率．【答案】甲获得比赛胜利的概率P1＝1−P(B)＝1−0.4＝0.6．甲、乙两人获得平局的概率为P2＝P(A)−P1＝0.7−0.6＝0.1．【考点】互斥事件的概率加法公式【解析】（1）甲获得比赛胜利的概率：即事件B的互斥事件P1＝1−P(B)；（2）甲、乙两人获得平局的概率：事件A表示甲获得胜利或平局P A，而由（1）可以得出甲获得胜利的概率P1，P2＝P(A)−P1；【解答】甲获得比赛胜利的概率P1＝1−P(B)＝1−0.4＝0.6．甲、乙两人获得平局的概率为P2＝P(A)−P1＝0.7−0.6＝0.1．参加某高中十佳校园主持人比赛的甲、乙选手得分的茎叶统计图如图所示．（1）比较甲、乙两位选手的平均数；（2）分别计算甲、乙两位选手的方差，并判断成绩更稳定的是哪位．【答案】=84；根据表中的数据，计算甲的平均数为x1=78+81+84+85+925=84；乙的平均数为x2=76+77+80+93+945则x=x2；．1×[(78−84)2+(81−84)2+(84−84)2+(85−84)2+(92−甲的方差为S12=1584)2]=22；×[(76−84)2+(77−84)2+(80−84)2+(93−84)2+(94−乙的方差为S22=1584)2]=62；∴S12<S22，因此甲比乙稳定．【考点】茎叶图【解析】；（1）根据表中的数据，直接求出甲、乙的平均数x=x1+x2+⋯+x nn（2）方差S2=(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(x n−x)2；n【解答】=84；根据表中的数据，计算甲的平均数为x1=78+81+84+85+925=84；乙的平均数为x2=76+77+80+93+945则x=x2；．1×[(78−84)2+(81−84)2+(84−84)2+(85−84)2+(92−甲的方差为S12=1584)2]=22；×[(76−84)2+(77−84)2+(80−84)2+(93−84)2+(94−乙的方差为S22=1584)2]=62；∴S12<S22，因此甲比乙稳定．（1）从区间[1, 10]内任意选取一个实数x，求x2−6x−16≤0的概率；（2）从区间[1, 12]内任意选取一个整数x，求ln(x−2)<2的概率．【答案】因为x2−6x−16≤0⇒−2≤x≤8；∵1≤x≤10；∴1≤x≤8；∴8−110−1=79；∵ln(x−2)<2⇒2<x<e2+2；则在区间[1, 12]内满足ln(x−2)<2的整数为3，4，5，6，7，8，9，共有7个，故由古典概型可知，所求概率为712．【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】（1）求解不等式x2−6x−16≤9可得x的范围再利用几何概型即可求解；（2）求解对数不等式ln(x−2)<2可得满足的x的范围，得到整数个数，再由古典概型概率计算公式求得答案．【解答】因为x2−6x−16≤0⇒−2≤x≤8；∵1≤x≤10；∴1≤x≤8；∴8−110−1=79；∵ln(x−2)<2⇒2<x<e2+2；则在区间[1, 12]内满足ln(x−2)<2的整数为3，4，5，6，7，8，9，共有7个，故由古典概型可知，所求概率为712．为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图．若尺寸落在区间(x−2s, x+2s)之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中x，s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得：s≈15（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．（1）若一个零件的尺寸是100cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件；（2）工厂利用分层抽样的方法从样本的前3组中抽出6个零件，标上记号，并从这6个零件中再抽取2个，求再次抽取的2个零件中恰有1个尺寸不超过50cm的概率．【答案】x=35×10×0.005+45×10×0.010+55×10×0.015+65×10×0.030+75×10×0.020+85×10×0.015+95×10×0.005＝66.5．x+2s＝66.5+30＝96.5，x−2s＝66.5−30＝36.5，100>96.5，所以该零件属于“不合格”的零件；按照分层抽样抽取6个零件时，第一组抽1个，记为A，第二组抽2个，记为B，C，第三组抽取3个记为D，E，F，从这6个零件中抽取2个零件共有15种情况分别为(A, B)，(A, C)，(A, D)，(A, E)，(A, F)，(B, C)，(B, D)，(B, E)，(B, F)，(C, D)，(C, E)，(C, F)，(D, E)，(D, F)，(E, F)，其中再次抽取的2个零件中恰有1个尺寸不超过50cm的有9种，分别为(A, D)，(A, E)，(A, F)，(B, D)，(B, E)，(B, F)，(C, D)，(C, E)，(C, F)，根据古典概型的概率公式可得P=915=35．【考点】分层抽样方法频率分布直方图【解析】（1）根据频率分布直方图求出x，进而得到x−2s，x+2s，作出判断即可；（2）分别列举出所有可能的基本事件个数和再次抽取的2个零件中恰有1个尺寸不超过50cm包含的基本事件个数，代入古典概型的概率公式即可．【解答】x=35×10×0.005+45×10×0.010+55×10×0.015+65×10×0.030+75×10×0.020+85×10×0.015+95×10×0.005＝66.5．x+2s＝66.5+30＝96.5，x−2s＝66.5−30＝36.5，100>96.5，所以该零件属于“不合格”的零件；按照分层抽样抽取6个零件时，第一组抽1个，记为A，第二组抽2个，记为B，C，第三组抽取3个记为D，E，F，从这6个零件中抽取2个零件共有15种情况分别为(A, B)，(A, C)，(A, D)，(A, E)，(A, F)，(B, C)，(B, D)，(B, E)，(B, F)，(C, D)，(C, E)，(C, F)，(D, E)，(D, F)，(E, F)，其中再次抽取的2个零件中恰有1个尺寸不超过50cm的有9种，分别为(A, D)，(A, E)，(A, F)，(B, D)，(B, E)，(B, F)，(C, D)，(C, E)，(C, F)，根据古典概型的概率公式可得P=915=35．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，已知每售出一箱酸奶的利润为50元，当天未售出的酸奶降价处理，以每箱亏损10元的价格全部处理完．若供不应求，可从其它商店调拨，每销售1箱可获利30元．假设该超市每天的进货量为14箱，超市的日利润为y元．为确定以后的订购计划，统计了最近50天销售该酸奶的市场日需求量，其频率分布表如所示．（1）求a ，b ，m ，n ，p 的值；（2）求y 关于日需求量x(10≤x ≤20)的函数表达式；（3）以50天记录的酸奶需求量的频率作为酸奶需求量发生的概率，估计日利润在区间[580, 760]内的概率．【答案】a ＝50×0.16＝8，b =1250=0.24，m ＝50×0.3＝15．n ＝50−8−12＝10，p =1050=0.2．超市的日利润y 关于日需求量x 的函数的关系式为：y ={50×14+30×(x −14)(14≤x ≤20)50x −10×(14−x)(10≤x <14)， 即y ={30x +280(14≤x ≤20)60x −140(10≤x <14)． 当x ＝14时，30×14+280＝60×14−140＝700．显然y ={30x +280(14≤x ≤20)60x −140(10≤x <14)，在区间[10, 20]上单调递增． 令60x −140＝580，解得x ＝12．令30x +280＝760，解得x ＝16．故所求的频率为0.24+0.30＝0.54．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）直接利用频率分布表的应用求出相关的值．（2）利用已知条件求出分段函数的关系式．（3）根据已知的关系式求出频率和频数．【解答】a ＝50×0.16＝8，b =1250=0.24，m ＝50×0.3＝15．n ＝50−8−12＝10，p =1050=0.2．超市的日利润y 关于日需求量x 的函数的关系式为：y ={50×14+30×(x −14)(14≤x ≤20)50x −10×(14−x)(10≤x <14)， 即y ={30x +280(14≤x ≤20)60x −140(10≤x <14)． 当x ＝14时，30×14+280＝60×14−140＝700．显然y ={30x +280(14≤x ≤20)60x −140(10≤x <14)，在区间[10, 20]上单调递增． 令60x −140＝580，解得x ＝12．令30x +280＝760，解得x ＝16．故所求的频率为0.24+0.30＝0.54．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费对年销售量（单位：t ）的影响．该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费x （万元）和年销售量y （单位：t ）具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值．（1）根据表中数据建立年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程；（2）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝y −0.05x 2−1.85，根据（1）中的结果回答下列问题：①当年宣传费为10万元时，年销售量及年利润的预报值是多少？②估算该公司应该投入多少宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大． 附：回归方程y ^=b ^x +a ^中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^=∑−i=1n xiyi nxy∑ n i=1x i 2−nx 2=∑ n i=1(x i −x)(y i −y)∑ n i=1(x i −x)2,a ^=y −b ^x 参考数据：∑=i=15 xiyi 88.5,∑ 5i=1x i 2=90．【答案】x =2+3+4+5+65=4，y =2.5+3+4+4.5+65=4． b ^=88.5−5×4×490−5×42=0.85，a ^=4−0.85×4=0.6．∴ y 关于x 的线性回归方程为y ^=0.85x +0.6；①由（1）知，当x ＝10时，年销售量y 的预报值y ＝0.85×10+0.6＝9.1， 年利润z 的预报值z ＝9.1−0.05×100−1.85＝2.25；②z ＝0.85x +0.6−0.05x 2+0.85x −1.25，∴ z x =−(0.05x +1.25x )+0.85， ∵ 0.05x +1.25x ≥2√0.05x ⋅1.25x =0.5，当且仅当0.05x =1.25x ，即x ＝5时取等号． ∴ z x =−(0.05x +1.25x )+0.85≤−0.5+0.85=0.35．∴ 该公司应该投入5万元宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大．【考点】求解线性回归方程【解析】（1）由已知求得b ^与a ^的值，则线性回归方程可求；（2）①在（1）中求得的线性回归方程中，取x ＝10求得y 值，进一步得到年利润z 的预报值；②写出年利润与年宣传费的比值的函数式，利用基本不等式求最值．【解答】x =2+3+4+5+65=4，y =2.5+3+4+4.5+65=4． b ^=88.5−5×4×490−5×42=0.85，a ^=4−0.85×4=0.6．∴y关于x的线性回归方程为y^=0.85x+0.6；①由（1）知，当x＝10时，年销售量y的预报值y＝0.85×10+0.6＝9.1，年利润z的预报值z＝9.1−0.05×100−1.85＝2.25；②z＝0.85x+0.6−0.05x2+0.85x−1.25，∴zx =−(0.05x+1.25x)+0.85，∵0.05x+1.25x ≥2√0.05x⋅1.25x=0.5，当且仅当0.05x=1.25x，即x＝5时取等号．∴zx =−(0.05x+1.25x)+0.85≤−0.5+0.85=0.35．∴该公司应该投入5万元宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大．。
保定市民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
保定市民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知在数轴上0和3之间任取一实数，则使“2log 1x <”的概率为（ ） A ．14 B ．18 C ．23 D ．1122． 函数f （x ）=，则f （﹣1）的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43． 已知集合A={y|y=x 2+2x ﹣3}，，则有（ ）A ．A ⊆BB ．B ⊆AC ．A=BD ．A ∩B=φ 4． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c，若﹣+1=0，则角B 的度数是（ ）A ．60°B ．120°C ．150°D ．60°或120°5． 已知函数f （x ）=a x ﹣1+log a x 在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为a ，则实数a 为（ ） A．B．C ．2D ．46． 将函数)63sin(2)(π+=x x f 的图象向左平移4π个单位，再向上平移3个单位，得到函数)(x g 的图象， 则)(x g 的解析式为（ ）A ．3)43sin(2)(--=πx x g B ．3)43sin(2)(++=πx x g C ．3)123sin(2)(+-=πx x g D ．3)123sin(2)(--=πx x g【命题意图】本题考查三角函数的图象及其平移变换理论，突出了对函数图象变换思想的理解，属于中等难度.7． 已知函数(5)2()e22()2xf x x f x x f x x +>⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩，则(2016)f -=（ ） A ．2e B ．e C ．1 D ．1e【命题意图】本题考查分段函数的求值，意在考查分类讨论思想与计算能力．8． 如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为4，点E ，F 分别是线段AB ，C 1D 1上的动点，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，且满足点P 到点F 的距离等于点P 到平面ABB 1A 1的距离，则当点P 运动时，PE 的最小值是（ ）A ．5B ．4C ．4D ．29． 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.xy e -= B.3y x = C.ln y x = D.y x =10．若偶函数f （x ）在（﹣∞，0）内单调递减，则不等式f （﹣1）＜f （lg x ）的解集是（ ）A ．（0，10）B ．（，10）C ．（，+∞）D ．（0，）∪（10，+∞）11．如图是某几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间的距离的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．32D ．3312．在抛物线y 2=2px （p ＞0）上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（ ）A ．x=1B ．x=C ．x=﹣1D ．x=﹣二、填空题13．已知圆O ：x 2+y 2=1和双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）．若对双曲线C 上任意一点A （点A 在圆O外），均存在与圆O 外切且顶点都在双曲线C 上的菱形ABCD ，则﹣= ．14．二项式展开式中，仅有第五项的二项式系数最大，则其常数项为 ．15．图中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则h =__________.16．已知三棱锥ABC D -的四个顶点均在球O 的球面上，ABC ∆和DBC ∆所在的平面互相垂直，3=AB ，3=AC ，32===BD CD BC ，则球O 的表面积为 .17．设集合 {}{}22|27150,|0A x x x B x x ax b =+-<=++≤,满足A B =∅,{}|52A B x x =-<≤,求实数a =__________.18．若非零向量，满足|+|=|﹣|，则与所成角的大小为 ．三、解答题19．如图，已知几何体的底面ABCD 为正方形，AC ∩BD=N ，PD ⊥平面ABCD ， PD=AD=2EC ，EC ∥PD ．（Ⅰ）求异面直线BD 与AE 所成角： （Ⅱ）求证：BE ∥平面PAD ；（Ⅲ）判断平面PAD 与平面PAE 是否垂直？若垂直，请加以证明；若不垂直，请说明理由．20．本小题满分12分如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，点E 、F 分别在边CD 、CB 上．点E 与点C 、D 不重合，EF AC ⊥，EF AC O =，沿EF 将CEF ∆翻折到PEF ∆的位置，使平面PEF ⊥平面ABFED ．Ⅰ求证：BD ⊥平面POA ；Ⅱ记三棱锥P ABD -的体积为1V ，四棱锥P BDEF -的体积为2V ，且1243V V =，求此时线段PO 的长．21．我市某校某数学老师这学期分别用m ，n 两种不同的教学方式试验高一甲、乙两个班（人数均为60人，入学数学平均分和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样）．现随机抽取甲、乙两班各20名的数学期末考试成绩，并作出茎叶图如图所示．PABCDOEF FEO DCA（Ⅰ）依茎叶图判断哪个班的平均分高？（Ⅱ）现从甲班所抽数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，用ξ表示抽到成绩为86分的人数，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，作出分类变量成绩与教学方式的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”下面临界值表仅供参考：P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）22．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD=5，AB=7，BD=8，∠BCD=135°．（1）求∠BDA的大小（2）求BC的长．23．2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策．为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取7080100位，得到数据如表：70后公民中随机抽取3位，记其中生二胎的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）根据调查数据，是否有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由． 2.0722.7063.8415.024（参考公式：，其中n=a+b+c+d ）24．（本题满分15分）正项数列}{n a 满足121223+++=+n n n n a a a a ，11=a ． （1）证明：对任意的*N n ∈，12+≤n n a a ；（2）记数列}{n a 的前n 项和为n S ，证明：对任意的*N n ∈，32121<≤--n n S ．【命题意图】本题考查数列的递推公式与单调性，不等式性质等基础知识，意在考查推理论证能力，分析和解决问题的能力.保定市民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题1． 【答案】C 【解析】试题分析：由2log 1x <得02x <<,由几何概型可得所求概率为202303-=-.故本题答案选C. 考点：几何概型．2． 【答案】A【解析】解：由题意可得f （﹣1）=f （﹣1+3）=f （2）=log 22=1 故选：A【点评】本题考查分度函数求值，涉及对数的运算，属基础题．3． 【答案】B【解析】解：∵y=x 2+2x ﹣3=（x+1）2﹣4，∴y ≥﹣4． 则A={y|y ≥﹣4}． ∵x ＞0，∴x+≥2=2（当x=，即x=1时取“=”），∴B={y|y ≥2}， ∴B ⊆A ． 故选：B ．【点评】本题考查子集与真子集，求解本题，关键是将两个集合进行化简，由子集的定义得出两个集合之间的关系，再对比选项得出正确选项．4． 【答案】A【解析】解：根据正弦定理有： =，代入已知等式得：﹣+1=0，即﹣1=，整理得：2sinAcosB ﹣cosBsinC=sinBcosC ， 即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin （B+C ）， 又∵A+B+C=180°， ∴sin （B+C ）=sinA ，可得2sinAcosB=sinA ， ∵sinA ≠0，∴2cosB=1，即cosB=， 则B=60°． 故选：A ．【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．5． 【答案】A【解析】解：分两类讨论，过程如下：①当a ＞1时，函数y=a x ﹣1 和y=log a x 在[1，2]上都是增函数， ∴f （x ）=ax ﹣1+log a x在[1，2]上递增，∴f （x ）max +f （x ）min =f （2）+f （1）=a+log a 2+1=a ，∴log a 2=﹣1，得a=，舍去；②当0＜a ＜1时，函数y=a x ﹣1 和y=log a x 在[1，2]上都是减函数， ∴f （x ）=ax ﹣1+log a x在[1，2]上递减，∴f （x ）max +f （x ）min =f （2）+f （1）=a+log a 2+1=a ，∴log a 2=﹣1，得a=，符合题意； 故选A ．6． 【答案】B【解析】根据三角函数图象的平移变换理论可得，将)(x f 的图象向左平移4π个单位得到函数)4(π+x f 的图象，再将)4(π+x f 的图象向上平移3个单位得到函数3)4(++πx f 的图象，因此=)(x g 3)4(++πx f3)43sin(23]6)4(31sin[2++=+++=πππx x .7． 【答案】B【解析】(2016)(2016)(54031)(1)f f f f e -==⨯+==，故选B ． 8． 【答案】 D【解析】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴， 建立空间直角坐标系，设AE=a ，D 1F=b ，0≤a ≤4，0≤b ≤4，P （x ，y ，4），0≤x ≤4，0≤y ≤4，则F （0，b ，4），E （4，a ，0），=（﹣x ，b ﹣y ，0），∵点P 到点F 的距离等于点P 到平面ABB 1A 1的距离，∴当E 、F 分别是AB 、C 1D 1上的中点，P 为正方形A 1B 1C 1D 1时， PE 取最小值，此时，P （2，2，4），E （4，2，0），∴|PE|min ==2．故选：D ．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系、空间向量的运算等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力、空间想象能力，考查数形结合、转化与化归等数学思想方法及创新意识．9． 【答案】B【解析】试题分析：对于A ，xy e =为增函数，y x =-为减函数，故xy e -=为减函数，对于B ，2'30y x =>，故3y x =为增函数，对于C ，函数定义域为0x >，不为R ，对于D ，函数y x =为偶函数，在(),0-∞上单调递减，在()0,∞上单调递增，故选B.考点：1、函数的定义域；2、函数的单调性.10．【答案】D【解析】解：因为f （x ）为偶函数，所以f （x ）=f （|x|），因为f （x ）在（﹣∞，0）内单调递减，所以f （x ）在（0，+∞）内单调递增，由f （﹣1）＜f （lg x ），得|lg x|＞1，即lg x ＞1或lg x ＜﹣1，解得x ＞10或0＜x ＜．故选：D ． 【点评】本题考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，在解对数不等式时注意对数的真数大于0，是个基础题．11．【答案】D 【解析】试题分析：因为根据几何体的三视图可得，几何体为下图,,AD AB AG 相互垂直，面AEFG ⊥面,//,3,1ABCDE BC AE AB AD AG DE ====,根据几何体的性质得：AC GC ==GE ==4,BG AD EF CE ====,所以最长为GC =考点：几何体的三视图及几何体的结构特征．12．【答案】C【解析】解：由题意可得抛物线y 2=2px （p ＞0）开口向右， 焦点坐标（，0），准线方程x=﹣，由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为4的点到准线的距离等于5， 即4﹣（﹣）=5，解之可得p=2 故抛物线的准线方程为x=﹣1． 故选：C ．【点评】本题考查抛物线的定义，关键是由抛物线的方程得出其焦点和准线，属基础题．二、填空题13．【答案】 1 ．【解析】解：若对双曲线C 上任意一点A （点A 在圆O 外）， 均存在与圆O 外切且顶点都在双曲线C 上的菱形ABCD ， 可通过特殊点，取A （﹣1，t ），则B （﹣1，﹣t ），C （1，﹣t ），D （1，t ）， 由直线和圆相切的条件可得，t=1．将A （﹣1，1）代入双曲线方程，可得﹣=1．故答案为：1．【点评】本题考查双曲线的方程和运用，同时考查直线和圆相切的条件，属于基础题．14．【答案】 70 ． 【解析】解：根据题意二项式展开式中，仅有第五项的二项式系数最大，则n=8，所以二项式=展开式的通项为T r+1=（﹣1）r C 8r x 8﹣2r 令8﹣2r=0得r=4 则其常数项为C 84=70故答案为70．【点评】本题考查二项式定理的应用，涉及二项式系数的性质，要注意系数与二项式系数的区别．15．【答案】 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体为三棱锥，其中侧棱VA ⊥底面ABC ，且ABC ∆为直角三角形，且5,,6AB VA h AC ===，所以三棱锥的体积为115652032V h h =⨯⨯⨯==，解得4h =.考点：几何体的三视图与体积.16．【答案】16π【解析】如图所示，∵222AB AC BC +=，∴CAB ∠为直角，即过△ABC 的小圆面的圆心为BC 的中点O '，ABC △和DBC △所在的平面互相垂直，则球心O 在过DBC △的圆面上，即DBC △的外接圆为球大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球半径为2R =，球的表面积为24π16πS R ==17．【答案】7,32a b=-=【解析】考点：一元二次不等式的解法；集合的运算.【方法点晴】本题主要考查了集合的综合运算问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的解法、集合的交集和集合的并集的运算、以及一元二次方程中韦达定理的应用，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，同时考查了转化与化归思想的应用，其中一元二次不等式的求解是解答的关键. 18．【答案】90°．【解析】解：∵∴=∴∴α与β所成角的大小为90°故答案为90°【点评】本题用向量模的平方等于向量的平方来去掉绝对值．三、解答题19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）PD⊥平面ABCD，EC∥PD，∴EC⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，∴EC⊥BD，∵底面ABCD为正方形，AC∩BD=N，∴AC⊥BD，又∵AC∩EC=C，AC，EC⊂平面AEC，∴BD⊥平面AEC，∴BD⊥AE，∴异面直线BD与AE所成角的为90°．（Ⅱ）∵底面ABCD为正方形，∴BC∥AD，∵BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BC∥平面PAD，∵EC∥PD，EC⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴EC∥平面PAD，∵EC∩BC=C，EC⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，∴∴平面BCE∥平面PAD，∵BE⊂平面BCE，∴BE∥平面PAD．（Ⅲ）假设平面PAD与平面PAE垂直，作PA中点F，连结DF，∵PD⊥平面ABCD，AD CD⊂平面ABCD，∴PD⊥CD，PD⊥AD，∵PD=AD，F是PA的中点，∴DF⊥PA，∴∠PDF=45°，∵平面PAD⊥平面PAE，平面PAD∩平面PAE=PA，DF⊂平面PAD，∴DF⊥平面PAE，∴DF⊥PE，∵PD⊥CD，且正方形ABCD中，AD⊥CD，PD∩AD=D，∴CD⊥平面PAD．又DF⊂平面PAD，∴DF⊥CD，∵PD=2EC，EC∥PD，∴PE 与CD 相交， ∴DF ⊥平面PDCE ， ∴DF ⊥PD ，这与∠PDF=45°矛盾，∴假设不成立即平面PAD 与平面PAE 不垂直．【点评】本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的运用．考查了学生推理能力和空间思维能力．20．【答案】【解析】Ⅰ证明：在菱形ABCD 中， ∵BD AC ⊥，∴BD AO ⊥． ∵EF AC ⊥，∴PO EF ⊥， ∵平面PEF ⊥平面ABFED ，平面PEF 平面ABFED EF =，且PO ⊂平面PEF ，∴PO ⊥平面ABFED ，∵BD ⊂平面ABFED ，∴PO BD ⊥．∵AO PO O =，∴BD ⊥平面POA ．Ⅱ设AOBD H =．由Ⅰ知，PO ⊥平面ABFED ，∴PO 为三棱锥P ABD -及四棱锥P BDEF -的高，∴1211,33ABD BFED V S PO V S PO ∆=⋅=⋅梯形，∵1243V V =，∴3344ABD CBD BFED S S S ∆∆==梯形，∴14CEF CBD S S ∆∆=，∵,BD AC EF AC ⊥⊥，∴//EF BD ，∴CEF ∆∽CBD ∆． ∴21()4CEF CBD S CO CH S ∆∆==，∴111222CO CH AH ===⨯∴PO OC ==21．【答案】【解析】【专题】综合题；概率与统计．【分析】（Ⅰ）依据茎叶图，确定甲、乙班数学成绩集中的范围，即可得到结论；（Ⅱ）由茎叶图知成绩为86分的同学有2人，其余不低于80分的同学为4人，ξ=0，1，2，求出概率，可得ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据成绩不低于85分的为优秀，可得2×2列联表，计算K 2，从而与临界值比较，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图知甲班数学成绩集中于60﹣9之间，而乙班数学成绩集中于80﹣100分之间，所以乙班的平均分高┉┉┉┉┉┉（Ⅱ）由茎叶图知成绩为86分的同学有2人，其余不低于80分的同学为4人，ξ=0，1，2P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==┉┉┉┉┉┉则随机变量ξ的分布列为ξ0 1 2P数学期望Eξ=0×+1×+2×=人﹣┉┉┉┉┉┉┉┉（Ⅲ）2×2列联表为甲班乙班合计优秀 3 10 13不优秀17 10 27合计20 20 40┉┉┉┉┉K2=≈5.584＞5.024因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关．┉┉【点评】本题考查概率的计算，考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，属于中档题．22．【答案】【解析】（本题满分为12分）解：（1）在△ABC中，AD=5，AB=7，BD=8，由余弦定理得…=…∴∠BDA=60°…（2）∵AD⊥CD，∴∠BDC=30°…在△ABC中，由正弦定理得，…∴．…23．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由已知得该市70后“生二胎”的概率为=，且X～B（3，），P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴E（X）=3×=2．（Ⅱ）假设生二胎与年龄无关，K2==≈3.030＞2.706，所以有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”．24．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.。
2022-2023学年河北省保定市部分学校高二上学期第一次月考数学试题(解析版)
2022-2023学年河北省保定市部分学校高二上学期第一次月考数学试题一、单选题 1．42i1i+=+（ ） A ．3i -- B ．3i -+ C ．3i - D ．3i +【答案】C【分析】由题意，根据复数的除法与乘法，可得答案. 【详解】42i (42i)(1i)(2i)(1i)3i 1i (1i)(1i)++-==+-=-++-． 故选：C.2．无论实数k 取何值，直线20kx y ++=都过定点，则该定点的坐标为（ ） A ．(0,2)- B ．(0,2) C ．(2,0) D ．(2,0)-【答案】A【分析】由赋值法求解【详解】令0x =，解得2y =-，则直线20kx y ++=过定点(0,2)-． 故选：A3．若{,,}a b c 构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ） A ．,2,a b a c b c --- B ．2,,22b c a b a b c +--- C ．2,2,2a b a c b c +-+ D ．23,,a b c a b a c ++++【答案】B【分析】由题意，根据空间向量的运算，结合平面向量基本定理，可得答案.【详解】对于A ，设,x y ，使得()()2a b x a c y b c -=-+-，则()2a b xa yb x y c -=+-+， 即()2110x y x y ⎧=⎪=-⎨⎪-+=⎩，该方程无解，故A 错误； 对于B ，设,x y ，使得()()222b c x a b y a b c +=-+--，则()()222b c x y a x y b yc +=+-+-，即()02122x y x y y +=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，故B 正确；对于C ，设,x y ，使得()()222a b x a c y b c +=-++，则()222a b xa yb y x c +=++-，即21220x y y x =⎧⎪=⎨⎪-=⎩，该方程无解，故C 错误；对于D ，设,x y ，使得()()23a b c x a b y a c ++=+++，则()23a b c x y a xb yc ++=+++，即123x y x y +=⎧⎪=⎨⎪=⎩，该方程无解，故D 错误；故选：B.4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为,AB BC 的中点，则（ ）A ．1BD ⊥平面1B EF B ．BD ⊥平面1B EFC ．11A C 平面1B EFD ．1AD平面1B EF【答案】C【分析】以点D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面1B EF 的法向量，结合法向量对选项逐一判断即可.【详解】以点D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设2AB =，则()()()()()()()11112,2,2,2,1,0,1,2,0,2,2,0,2,0,2,0,2,2,0,0,2B E F B A C D .()()()()11111,1,0,0,1,2,2,2,2,2,2,0,(2EF EB BD DB AC =-==--==-，()12,0),2,0,2DA =.设平面1B EF 的一个法向量为(),,m x y z =，则1020m EF x y m EB y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩取(2,2,1)m =-，因为1BD 与m 不平行，所以1BD 与平面1B EF 不垂直，A 错误； 因为DB 与m 不平行，所以BD 与平面1B EF 不垂直，B 错误； 因为110AC m ⋅=，且线在面外，所以11A C 平面1B EF ，C 正确；因为120DA m ⋅=≠，所以1A D 与平面1B EF 不平行，D 错误 5．如图，在四面体OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，且11,24OE EA BF BC ==，则EF =（ ）A ．131344a b c -+B ．131344a b c ++C ．131344a b c --+D ．131344a b c -++ 【答案】D【分析】利用空间向量基本定理求解出3144OF b c =+，从而求出131344EF OF OE a b c =-=-++.【详解】因为14BF BC =，所以1131()4444OF OB BF OB BC OB OC OB b c =+=+=+-=+，又1123OE EA a ==，所以131344EF OF OE a b c =-=-++． 故选：D6．甲、乙两名同学进行投篮训练，已知甲同学每次投篮命中的概率为13，乙同学每次投篮命中的概率为12，两名同学每次投篮是否命中相互独立．若甲、乙分别进行2次投篮，则他们命中的次数之和不少于2的概率为（ ） A ．12B ．59C ．23D ．34【答案】B【分析】可先计算出两人命中次数为0次和1次的概率，从而利用对立事件概率公式计算出他们命中的次数之和不少于2的概率.【详解】由题可知，他们命中的次数为0的概率为2211133229⨯⨯⨯=；命中的次数为1的概率为22112111212133232213⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯-⨯+⨯⎛⎫ ⎪⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故他们命中的次数之和不少于2的概率为1151939--=．故选：B7．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，124AA AB ==，E 是1BB 的中点，F 是11A C 的中点，若点G 在直线1CC 上，且BG ∥平面AEF ，则1AG =（ ）A ．22B 5C ．210D 11【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，求出平面AEF 的法向量，设出(0,0,)G a ，利用0BG m ⋅=求出a 的值，从而求出1AG 的模长，求出答案. 【详解】如图：以C 为原点，CB ，1CC 所在的直线分别为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系C xyz -，则131(3,1,0),(3,1,4),(0,2,2),,,4,(0,2,0)22A A E F B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．由题可设(0,0,)G a ，则31(3,1,2),,,4,(0,2,)22AE AF BG a ⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭． 设平面AEF 的法向量(,,)m x y z =，则320314022m AE x y z m AF x y z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩， 令3x =，则93,55y z ==，得933,,55m ⎛⎫= ⎪⎝⎭．由932055aBG m ⋅=-⨯+=，得6a =， 则1(3,1,2)AG =--，2221(3)(1)222AG =-+-+=， 即122AG =． 故选：A8．如图，已知两点11(11,0),0,2A B ⎛⎫⎪⎝⎭，从点(1,0)P 射出的光线经直线AB 上的点M 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 上的点N 反射后又回到点P ，则直线MN 的方程为（ ）A ．4330x y --=B ．4340x y ++=C ．3430x y -+=D ．4340x y -+=【答案】D【分析】分别求出点P 关于直线2110x y +-=与y 轴的对称点，从而得到结果. 【详解】由题意易得AB 所在的直线方程为2110x y +-=， 设点P 关于直线:2110AB x y +-=的对称点1(,)A a b ，则0111210211022b a a b ⎧-⎛⎫⨯-=- ⎪⎪⎪-⎝⎭⎨++⎪+⨯-=⎪⎩，解得5a =，8b =， 点P 关于直线AB 对称的点为1(5,8)A ，点P 关于y 轴对称的点为2(1,0)A -． 直线MN 即直线12A A ，则直线MN 的方程为8(1)51y x =++，即434=0x y -+． 故选：D二、多选题9．已知直线12:210,:(1)10l mx y l x m y ++=+++=，则下列结论正确的是（ ） A ．若12l l ∥，则2m =-B ．若12l l ∥，则1m =或2m =-C ．若12l l ⊥，则23m =-D ．若12l l ⊥，则23m =【答案】AC【分析】根据两直线平行列出方程，求出1m =或2m =-，经检验，1m =不合要求；再根据两直线垂直列出方程，求出23m =-.【详解】令(1)20m m +-=，解得：1m =或2m =-．当1m =时，1l 与2l 重合；当2m =-时，12l l ∥．A 正确，B 错误．若12l l ⊥，则2(1)0m m ++=，解得23m =-，C 正确，D 错误．故选：AC10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，11AC AC O ⋂=，则（ ） A ．21AA BC a ⋅= B ．211AA BC a ⋅= C ．211AA BD a ⋅= D ．21AA BO a ⋅=【答案】BC【分析】由空间向量数量积运算律对选项逐一判断 【详解】如图：对于A ，因为1AA BC ⊥，所以10AA BC ⋅=，故A 错误．对于B ，()221111111AA BC BB BB B C BB a ⋅=⋅+==，故B 正确．对于C ，()221111111AA BD BB BB B D BB a ⋅=⋅+==，故C 正确．对于D ，21111122AA BO AA BD a ⋅=⋅=，故D 错误． 故选：BC11．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，22221,,sin 3sin sin b a c b ac B A C =+-==，则（ ）A ．π3B = B ．13ac =C ．ABC 3．ABC 的周长21 【答案】ABD【分析】利用正余弦定理和已知条件，解三角形，验证各个选项.【详解】由222a cb ac +-=，有2221cos 22a cb B ac +-==，得π3B =，选项A 正确． 因为2sin 3sin sin B A C =，由正弦定理有23b ac =，1b =，得13ac =，选项B 正确．ABC 的面积为11133sin 223ac B =⨯=C 错误． 因为222 a c b ac +-=，由余弦定理22221()3b a c ac a c ac ==+-=+-， 解得2a c +=ABC 2+1，选项D 正确. 故选：ABD12．很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体．如图，这是一个棱数为242方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得，则下列各选项正确的是（ ）A ．该半正多面体的体积为203B ．A ，C ，D ，F 四点共面C ．该半正多面体外接球的表面积为12πD ．若点E 为线段BC 上的动点，则直线DE 与直线AF 所成角的余弦值的取值范围为122⎡⎢⎣⎦【答案】ABD【分析】A 选项，将该半正多面体补成正方体，从而求出正方体的体积，减去8个三棱锥的体积，求出答案；B 选项，求出补成的正方体的外接球的半径即为该半正多面体的半径，从而求出外接球体积；C 选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量共面定理进行求解；D 选项，设出点E 的坐标，用空间向量表达出直线DE 与直线AF 所成角的余弦值， 换元后，使用二次函数的取值范围求出直线DE 与直线AF 所成角的余弦值的取值范围. 【详解】2棱长为2．该半正多面体的体积112088111323V =-⨯⨯⨯⨯⨯=，A 正确．该半正多面体的外接球球心即正方体的外接球球心．设正方体的外接球球心为M ， 则该半正多面体的外接球半径2222R MF ===为24π8πR =，C 错误．建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,1,0),(2,2,1),(1,0,2),(0,1,2)A F B C ， (1,2,2),(0,1,1),(1,1,0),(1,0,1)D AF CD FD ===-．设AF xCD yFD =+，可解得1x y ==，则AF ，CD ，FD 共面，即A ，C ，D ，F 四点共面，B 正确．又(1,1,0)BC =-，设(,,0)BE BC λλλ==-，所以[0,1]λ∈，则(1,,2),(,2,0)E DE λλλλ-=--．22221(2)cos ,2(2)2(2)22(2)AF DEAF DE AF DE λλλλλ⋅-〈〉===-+-+⨯+-21122212(2)λλ=++--111,22t λ⎡⎤=∈--⎢⎥-⎣⎦， 则2cos ,2221AF DE t t 〈〉=++因为21221,12t t ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，所以21cos ,2AF DE ⎡⎤〈〉∈-⎢⎥⎣⎦， 故直线DE 与直线AF 所成角的余弦值的取值范围为122⎡⎢⎣⎦，．D 正确．故选：ABD三、填空题13．已知向量(2,,6),(3,6,)a x b y ==，若a b ∥，则x y +=__________． 【答案】13【分析】由空间向量平行的坐标表示求解 【详解】因为a b ∥，所以2636x y==，解得4,9x y ==，则13x y +=． 故答案为：1314．某环境监测部门收集了当地一周内的空气质量指数（AQI ），分别为65，71，67，89，78，91，102，则这组数据的第70百分位数为__________． 【答案】89【分析】根据百分位数的计算即可求解.【详解】将这组数据从小到大排序依次为65，67，71，78，89，91，102，因为770%49⨯=．，所以这组数据的第70百分位数为第5个数据，即89． 故答案为：8915．若等边三角形的一条中线所在直线的斜率为1，则该等边三角形的三边所在直线的斜率之和为___________. 【答案】3【分析】根据题意得到该等边三角形的三边所在直线的倾斜角，进而求出三边所在直线的斜率，求出和即可.【详解】因为一条中线所在直线的斜率为1，所以此中线所在直线的倾斜角为45， 可得该等边三角形的三边所在直线的倾斜角分别为75,15,135， 因为tan1351︒=-，()31333tan 75tan 45302333313++︒=︒+︒===+--，()31333tan15tan 45302333313--︒=︒-︒===-++， 即该等边三角形的三边所在直线的斜率分别为23,23,1+--， 所以该等边三角形的三边所在直线的斜率之和为3. 故答案为：316．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且1EF A E ⊥．若2AB =，1AD =，13AA =，则1B F 的最小值为__________．【答案】2【分析】建立空间直角坐标系，设(2,0,)E m ，(0,1,)F n ，0m ≥，0n ≥，表示出1A E ，EF ，根据垂直得到10A E EF ⋅=，即可得到21mn m =+，再分0m =和0m ≠两种情况讨论，最后利用基本不等式计算可得．【详解】解：以点1C 为坐标原点，11C D ，11C B ，1C C 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系1C xyz -，则1(2,1,0)A ，设(2,0,)E m ，(0,1,)F n ，30m ≥≥，30n ≥≥，则1(0,1,)A E m =-，(2,1,)EF n m =--．因为1EF A E ⊥，所以10A E EF ⋅=，即1()0m n m -+-=，化简得21mn m =+． 当0m =时，显然不符合题意当0m >时112n m m m m=+≥⋅，当且仅当1m m =，即1m =时等号成立． 故1B F 的最小值为2．故答案为：2四、解答题17．已知坐标平面内三点(2,2),(2,1),(1,1)A B C ----．(1)求ABC 中AB 边上的高所在的直线方程；(2)若A ，B ，C ，D 可以构成平行四边形，且点D 在第一象限，求点D 的坐标．【答案】(1)430x y ++=(2)(3,2)【分析】作图，根据斜率公式和点斜式直线方程即可求解.【详解】(1)由题易知14AB k =，则高所在的直线的斜率为4-， 故所求直线方程为14(1)y x -=-+，即430x y ++=；(2)如图，当点D 在第一象限时，,AB CD AC BD k k k k == 设(,)D x y ，则121221121122y x y x -+-⎧=⎪⎪++⎨++⎪=⎪-+-⎩ ，解得3,2x y ==，故点D 的坐标为(3,2)； 18．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 是11A D 的中点，且1222AB AD AA ===．(1)过点A ，C ，E 的截面与棱11C D 交于点F ，求1D F 的长度；(2)求点1B 到平面ACE 的距离．【答案】(1)11D F =6【分析】（1）由线面平行的性质得线线平行，根据向量共线即可求解，（2）建立空间直角坐标系，根据向量法求解点面距离即可.【详解】(1)在长方体1111ABCD A B C D -中，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 则11(1,0,0),(1,2,1),,0,1,(0,2,0),(0,0,0)2A B E C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭．连接EF ，在长方体1111ABCD A B C D -中，AC ∥平面1111D C B A ，AC ⊂平面ACE , 平面ACE 平面1111A B C D EF =，所以AC EF ∥．设1D F a =，则1(0,,1),,,0,(1,2,0)2F a EF a AC ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭． 因为EF AC ∥，所以122a =，解得1a =． 故11D F =．(2)11(0,2,1),,0,1,(1,2,0)2AB AE AC ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭． 设平面ACE 的法向量为()111,,m x y z =，则111110,220,x z x y ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩令11y =，得(2,1,1)m = 则点1B 到平面ACE 的距离 1||362||6AB m d m ⋅===． 19．为进一步增强疫情防控期间群众的防控意识，使广大群众充分了解新冠肺炎疫情防护知识，提高预防能力，做到科学防护，科学预防．某组织通过网络进行新冠肺炎疫情防控科普知识问答．共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成[[[[4050)5060)6070)7080)8090)[]0[9010，，，，，，，，，，，这六组，制成如图所示的频率分布直方图．(1)求图中a 的值，并估计这100人问答成绩的平均数；（同一组数据用该组数据的中点值代替）(2)用分层随机抽样的方法从问答成绩在[6080)，内的人中抽取一个容量为5的样本，再从样本中任意抽取2人，求这2人的问答成绩均在[7080)，内的概率． 【答案】(1)0.015a =；72(2)310 【分析】（1）由频率之和为1即可求解a ,由平均数的计算公式即可求解平均数，（2）根据列举法即可求解古典概型的概率.【详解】(1)由图可知，10(20.0050.020.0250.03)1a ⨯⨯++++=，解得0.015a =． 这100人问答成绩的平均数约为450.05550.15650.2750.3850.25950.0572⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．(2)用分层随机抽样的方法从问答成绩在[6080)，内的人中抽取一个容量为5的样本，则问答成绩在[6070)，内的有25223⨯=+人，分别记为A ，B ；问答成绩在[70,80)内的有35323⨯=+人分别记为a ，b ，c ． 从中任意抽取2人，则实验的样本空间{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}A B A a A b A c B a B b B c a b a c b c Ω=，共有10个样本点． 设事件A 为2人的问答成绩均在[70,80)内的概率，则{(,),(,),(,)}A a b a c b c =， 所以这2人的间答成绩均在[70,80)内的概率3()10P A =． 20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PD DC =，E ，F 分别是AD ，PB 的中点．(1)证明：EF ∥平面PCD ．(2)求直线P A 与平面CEF 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析3【分析】（1）由平行四边形可得线线平行，进而由线面平行的判定定理即可求证，（2）建立空间直角坐标系，由向量法即可求解线面角.【详解】(1)如图，设M 为PC 的中点，连接FM ，MD ．因为F ，M 分别为PB ，PC 的中点，所以1,2FM BC FM BC =∥． 在正方形ABCD 中，1,2DE BC DE BC =∥，所以,DE FM DE FM =∥． 所以四边形DEFM 为平行四边形，DM EF ∥．因为DM ⊂平面PCD ，EF ⊄平面PCD ，所以EF ∥平面PCD ．(2)以D 为原点，以DA ，DC ，DP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设2PD DC ==，则(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,0,0),(1,1,1)A C P E F ，(0,1,1),(1,2,0),(2,0,2)EF EC AP ==-=-．设平面CEF 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,EF n EC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,20,y z x y +=⎧⎨-+=⎩令2x =，则(2,1,1)n =-． 设直线P A 与平面CEF 所成角为θ， 则3sin |cos ,|||2|||AP n AP n AP n θ⋅=〈〉==， 故直线P A 与平面CEF 3 21．已知直线20l x my m +--=：与x ，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且AOB 的面积为4． (1)求m 的值；(2)若(2,1)P ，点E ，F 分别在线段OA 和OB 上，且APE BPF S S =△△，求PE PF ⋅的取值范围．【答案】(1)2m =(2)(5,5]-【分析】（1）由题意，求解与坐标轴的交点，结合三角形的面积公式，可得答案；（2）由（1）可得点的坐标，根据面积关系，转化边长的关系，设出点的坐标，整理数量积的函数关系，可得答案.【详解】(1)令0x =，得20m y m +=>；令0y =，得20x m =+>． 所以2(2,0),0,m A m B m +⎛⎫+ ⎪⎝⎭．12(2)42AOB m S m m +=+⋅=△，解得2m =． (2)由（1）可得(4,0),(0,2)A B ，易得P 为AB 的中点，则||||=AP BP ．||25||5sin ,sin ||5||5OB OA A B AB AB ====． 因为APE BPF S S =△△，所以11||||sin ||||sin 22AE AP A BF BP B =，则2||||,2||||AE BF OE OF ==．设2||||2,[0,2)OE OF x x ==∈，则(0,),(2,0)E x F x ，(2,1),(22,1),2(22)(1)55(5,5]PE x PF x PE PF x x x =--=--⋅=----=-+∈-． 故PE PF ⋅的取值范围为(5,5]-．22．在三棱柱ABC DEF -中，229060BC BE AB ABE ABC EBC ===∠=∠=︒∠=︒，，，G 是线段EF 上的动点．(1)求三棱锥G ABC -的体积；(2)求平面ACG 与平面ABED 所成锐二面角余弦值的最大值．【答案】3(2)12【分析】（1）由90ABE ABC ∠=∠=︒结合线面垂直的判定可得AB ⊥平面BCGE ，再由面面垂直的判定可得平面ABC ⊥平面BCGE ，过点G 作GM BC ⊥，垂足为M ，过点E 作EH BC ⊥，垂足为H ，可得GM EH =，从而可求出三棱锥G ABC -的体积； （2）以H 为坐标原点，HC 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -，设,[0,2]EG a a =∈，利用空间向量表示平面ACG 与平面ABED 夹角的余弦值，从而可求出其最大值.【详解】(1)因为90ABE ABC ∠=∠=︒，所以AB BE AB BC ⊥⊥，． 因为BE BC B =，,BE BC ⊂平面BCGE ，所以AB ⊥平面BCGE ．因为AB 平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ．过点G 作GM BC ⊥，垂足为M ．因为GM ⊂平面BCGE ，所以GM ⊥平面ABC ，点G 到平面ABC 的距离即GM 的长度． 过点E 作EH BC ⊥，垂足为H ，则sin 603GM EH EB ==⋅︒=． 11131233323G ABC ABC V S GM -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△． (2)以H 为坐标原点，HC 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -．设,[0,2]EG a a =∈，则(1,1,0),(1,0,0),(1,0,0),3),(3)A B C E G a --， (2,1,0),(1,1,3),(0,1,0),(1,0,3)AC AG a AB BE =-=+-=-=． 设平面ACG 的法向量为()111,,n x y z =，则11111(1)3020n AG a x y z n AC x y ⎧⋅=+-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩， 取13x (3,23,1)n a =-．设平面ABED 的法向量为()222,,m x y z =，则22200m AB y m BE x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩，取2x (3,0,1)m =-． 故cos ,||||215m n m n m n ⋅==令1,[1,1]t a t =-∈-，则cos ,m n ==． 因为210,150t t -≤+>，所以21015t t -≤+12≤． 故平面ACG 与平面ABED 所成锐二面角的余弦值的最大值为12.。
河北省保定市2019-2020学年高二上学期11月月考数学试题(教师版)
高二月考数学第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列说法错误的是( )A. 正方体的体积与棱长之间的关系是函数关系B. 人的身高与视力之间的关系是相关关系C. 汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程成负相关关系D. 数学成绩与语文成绩之间没有相关的关系 【答案】B 【解析】 【分析】根据相关关系及函数关系的定义判断。
【详解】正方体的体积与棱长之间的关系是函数关系，故A 正确；人的身高与视力之间不具有相关关系，故B 错误；汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程成负相关关系，故C 正确；数学成绩与语文成绩之间不具有相关关系，故D 正确； 故选：B ．【点睛】判断两个变量间的关系是函数关系还是相关关系的关键是判断两个变量之间的关系是否是确定的，若确定的则是函数关系；若不确定，则是相关关系． 2.频率分布直方图中每个矩形的面积所对应的数字特征是( ) A. 频数 B. 众数C. 平均数D. 频率【答案】D 【解析】 【分析】根据频率分布直方图概念进行判断。
【详解】频率分布直方图中每个矩形的面积==⨯频率组距频率组距故所对应的数字特征是为这一组所对应的频率.故选：D【点睛】本题考查频率分布直方图的概念，属于基础题。
3.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150，120，180，150个销售点.公司为了调查产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本.按照分层抽样的方法抽取样本，则丙地区抽取的销售点比乙地区抽取的销售点多( ) A. 5个 B. 8个C. 10个D. 12个【答案】C 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义，计算出丙、乙两地区抽取的销售点的数量，即可得到答案。
【详解】由题意乙地区抽取12010020600⨯= （个） 丙地区抽取18010030600⨯= （个） 302010-=（个）丙地区抽取的销售点比乙地区抽取的销售点多10个； 故选：C【点睛】本题考查分层抽样的概念，属于基础题。
河北省保定市2019_2020学年高二数学上学期第三次月考试题
河北省保定市2019-2020学年高二数学上学期第三次月考试题一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1.已知(1,4)A ，(3,2)B -，直线:20l ax y ++=，若直线l 过线段AB 的中点，则a =（ ）A. -5B. 5C. -4D. 42．从某高中随机选取5名高二男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程$$0.56y x a =+，据此模型预报身高为172 cm 的高二男生的体为（ ）A.70.09B.70.12C.70.55D.71.053．已知向量a =（1，1，0），b =（﹣1，0，2），且ka +b 与2a -b 互相垂直，则k 的值是（ ）A ．1B ． 1 5C ． 3 5D ． 7 5 111111ABCD A B C D 2A B B C 4 .正方体—所有棱长均为，则异面直线与所成角的正弦值为（）311AB C D 02245．某公司10位员工的月工资（单位：元）为1210,,x x x L ，其均值和方差分别为x 和2s ，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差是（ ）A ．22,100x s +B ．22100,100x s ++ C ．2,x s D ．2100,x s + 6.若直线:40l x y -+=被圆222(1)(3):C x y r -+-=截得的弦长为4，则圆C 的半径为（ ）A. 2B. 2C. 6D. 6 7.由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为( )A ．1B ．2 2 C.7 D ．38公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ） （参考数据：732.13≈,,2588.015sin ≈︒1305.05.7sin ≈︒）A ．12B ．24C ．36D ．4810.已知点(, 6)A m m +，(2, 8)B m m ++，若圆22:44100C x y x y +---=上存在不同的两点,P Q ，使得PA PB ⊥，且QA QB ⊥，则m 的取值范围是（ ）A. (27,27)---+B. (7,7)-C.(26,26)---+ D. (6,6)-D-ABC DC ABC DC=1ABC 2⊥∆11 如图，三棱锥中，平面，，，且为边长等于的正三角形，则DA 与平面DBC 所成角的251552正弦值为( )A B C D 5555二．选择题（共4小题，每小题5分，共20分）13.已知直线1:3210l x y -+=与2:3220l x y -+=，则1l 与2l 之间距离为___．14.过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，9.,A B C D a b a b a ba b a b a b a b b a b a b αβαααβαβαββαααβαβ⊥⊥⊄P P P P P P P P P P P P P 已知为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ) 若，，则若，， 则若，，，，则若，，，则12D-ABC 2 A 3 B42 C 6 D82ππππ已知三棱锥所有棱长都是，则三棱锥的外接球的表面积为（）则直线AB 的方程为______________________. 15.如图，A 点是⊙O 上直径MN 所分的半圆的一个三等分点，B 点是弧AN 的中点，P 点是MN 上一动点，⊙O 的半径为3，则AP+BP 的最小值为_________.16.正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是棱BC ，DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，那么|CE |＋|DF |＝__________.三 解答题17．（10分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？18（12分）2SA=6.1A A 如图，圆锥底面半径为，母线长（）求该圆椎的体积（2）若用细绳从底面圆上点绕圆锥一周后回到处，则此时细绳的最短长度为多少？19（本题12分）已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=25及直线l ：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4．（m ∈R ）（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交；（2）求直线l 与圆C 所截得的弦长的最短长度及此时直线l 的方程．20. （12分）在四棱锥P ABCD -中，,AB AD CD AB ⊥∕∕，PD ⊥底面ABCD ，2AB AD =，直线PA 与底面ABCD 所成的角为60︒，M N 、分别是PA PB 、的中点．（1）求证：直线MN ∕∕平面PDC ；（2）若90CND ∠=︒，求证：直线DN ⊥平面PBC ；（3）若2AB =，求棱锥B PAC -的体积．21. （12分） 如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为菱形，底面ABC ∆是等腰直角三角形，01190,BAC A B B C ∠=⊥.（1）求证：直线AC ⊥直线1BB ；（2）若直线1BB 与底面ABC 成的角为60°，求二面角1A BB C --的余弦值．22. （12分）已知圆222()():M x a y a r ++-=的圆心M 在直线y x =上，且直线34150x y +-=与圆M 相切.（1）求圆M 的方程；（2）设圆M 与x 轴交于,A B 两点，点P 在圆M 内，且2||||||PM PA PB =⋅.记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k 的取值范围高二数学月考答案选择 BBDAD,CCB C A, BA 填空 13 2310x y +-= 32 2 17．（本小题满分10分）（1）由()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=得：0.0075x =，所以直方图中x 的值是0.0075 ………………2分 （2）月平均用电量的众数是2202402302+=因为()0.0020.00950.011200.450.5++⨯=<，所以月平均用电量的中位数在[)220,240内，设中位数为a ，由()()0.0020.00950.011200.01252200.5a ++⨯+⨯-=得：224a =，所以月平均用电量的中位数是224 ………………6分（3）月平均用电量为[)220,240的用户有0.01252010025⨯⨯=户，月平均用电量为[)240,260的用户有0.00752010015⨯⨯=户，月平均用电量为[)260,280的用户有0.0052010010⨯⨯=户，月平均用电量为[]280,300的用户有0.0025201005⨯⨯=户， 抽取比例11125151055==+++，所以月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取12555⨯=户 ………………10分 1819 解：（1）直线方程l ：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4，可以改写为m （2x+y ﹣7）+x+y ﹣4=0，所以直线必经过直线2x+y ﹣7=0和x+y ﹣4=0的交点．由方程组解得 即两直线的交点为A （3，1），又因为点A （3，1）与圆心C （1，2）的距离，所以该点在C 内，故不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交． （2）连接AC ，当直线l 是AC 的垂线时，此时的直线l 与圆C 相交于B 、D ．BD 为直线l 被圆所截得的最短弦长．此时，，所以．即最短弦长为．又直线AC 的斜率，所以直线BD 的斜率为2．此时直线方程为：y ﹣1=2（x ﹣3），即2x ﹣y ﹣5=0．20（1）由M 、N 是PA 、PB 中点，结合三角形中位线定理得MN ∥AB ，从而MN ∥CD ，由线面平行的判定定理证得MN ∥平面PDC ；（2）由DN ⊥PB ，DN CN ⊥，利用线面垂直判定定理得直线DN ⊥平面PBC ；（3）用等体积法，求V P ﹣ABC 相应的高PD 和底面积，再用体积公式即可．【详解】（1）证明：连接,,MN MD NC ，∵M N 、是PA PB 、中点，∴MN AB ∕∕，从而MN CD ∕∕．∵MN 在平面PDC 外，CD 在平面PDC 内，∴直线MN ∕∕平面PDC ；（2）证明：∵,2AB AD AB ⊥=，∴3BD AD =．∵PD ⊥底面ABCD ，直线PA 与底面ABCD 成60︒角，∴3PD AD =．∴PD BD =． ∵N 是PB 的中点，∴DN PB ⊥．∵90CND ∠=︒， ∴DN CN ⊥．∵PB CN 、相交于一点N ，∴直线DN ⊥平面PBC ；（3）111233323B PAC P ABC ABC V V S PD AB AD PD --∆==⋅=⋅⋅⋅=．21. （1）证明：连接1AB ，因为，侧面11AA B B 为菱形，所以11AB A B ⊥，又1AB 与1BC 相互垂直，111AB B C B =I ，∴1A B ⊥平面1AB C ，…………………2分∴1A B AC ⊥，又1,AC AB AB A B B ⊥=I ，∴AC ⊥平面11AA B B ，…………………4分∵1BB ⊂平面11AA B B ，所以直线AC ⊥直线1BB ．…………………6分（2）由（1）知，平面ABC ⊥平面11AA B B ，由1B 作AB 的垂线，垂足为D ，则⊥D B 1平面ABC ，∴0160B BA ∠=，∴D 为AB 的中点，过A 作1DB 的平行线，交11A B 于E 点，则AE ⊥平面ABC ，…………………8分 建立如图所示的空间直角坐标系，设2AB =，则()0,2,0AC =u u u r为平面1AB B 的一个法向量，则()()2,0,0,0,2,0B C ， 22（1）因为圆M 的圆心(,)M a a -在直线y x =上，所以a a -=，即0a =， 因为直线34150x y +-=与圆M 相切，所以22334r ==+，故圆M 的方程为229x y +=. （2）由（1）知，圆心(0,0)M ，(3,0)A -，(3,0)B .设(,)P x y ，因为点P 在圆M 内，所以229x y +<.因为2||||||PM PA PB =⋅，所以222222(3)(3)x y x y x y +=++-+，所以22229x y -=.因为直线PA ，PB斜率分别为1k ，2k ，所以13y k x =+，23y k x =-，则221222229919218218y x k k x x x -===+---.因为22222299x y x y ⎧-=⎨+<⎩，所以292724x ≤<， 所以221192189x -<≤--，则29110218x -<+≤-. 故12k k 的取值范围为(1,0]-.。
河北省保定市2019_2020学年高二数学上学期第四次月考试题文
河北省保定市2019-2020学年高二数学上学期第四次月考试题 文（考试时间：120分钟 分值：150分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.定义集合运算：A ☆B =22{|,,}z z x y x A y B =-∈∈.设集合{1,2}A =，{1,0}B =-，则集合A ☆B 的元素之和为（ ）A ．2B ．1C ．3D ．42.抛物线214y x =的准线方程是（ ） A ．1x = B ．1y = C.1x =- D ．1y =-3.已知R b a ∈,，ia bii +-=-21322019，若复数z 满足||a bi +=（ ）A. 5B. 52C.53D. 544.设5sinπ=a ，3log2=b ，3241⎪⎭⎫ ⎝⎛=c ，则（ ）A .b a c << B.b c a << C. c a b << D. a b c << 5.两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，窗 口 1 2 过道 3 4 5 窗 口6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … …A. 48，49B. 62，63C. 75，76D. 84，856.函数ln ||x y x=的图像大致为（ ）A ．B ． C. D ．7.若函数32()91f x x ax x =+-+在区间(－1,2)上是单调函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．334a -≤≤-B ．3a <或34a >-C ． 3a ≤或34a ≥-D ．334a -<<-8.已知函数()xf x x ae =+，则“1a >-”是“曲线()y f x =存在垂直于直线20x y +=的切线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9.下列函数中，既是奇函数又具有零点的是（ ）A ．()x f x x=B ．())lnf x x =C ．()x x x x e e f x e e --+=-D ．|4||3|1)(2x x x x f -++-=10.定义在R 上的函数()f x 满足(2)()1f x f x +=-，当(0,1)x ∈时，()3xf x =，则3(log 162)f =（ ） A ．32 B ．43 C ．2 D ．1211.曲线(0)bxy ae a =>作线性变换后得到的回归方程为10.6u x =-，则函数2y x bx a =++的单调递增区间为（ ）A ．(0,+∞)B ．(1,+∞)C ．1(,)2+∞D ．3(,)10+∞12.点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右支上，其左、右焦点分别为F 1，F 2，直线PF 1与以坐标原点O 为圆心，a 为半径的圆相切于点A ，线段PF 1的垂直平分线恰好过点F 2，则双曲线的离心率为（ ） A ．32 B ．43 C.2 D ．53二、填空题（每空5分，共20分）。
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高二月考数学
考生注意：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：人教A版必修3。
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法错误的是
A.正方体的体积与棱长之间的关系是函数关系
B.人的身高与视力之间的关系是相关关系
C.汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程成负相关关系
D.数学成绩与语文成绩之间没有相关的关系
2.频率分布直方图中每个矩形的面积所对应的数字特征是
A.频数
B.众数
C.平均数
D.频率
3.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150，120，180，150个销售点。
公司为了调查产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本。
按照分层抽样的方法抽取样本，则丙地区抽取的销售点比乙地区抽取的销售点多
A.5个
B.8个
C.10个
D.12个
4.学校将5个不同颜色的奖牌分给5个班，每班分得1个，则事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是
A.对立事件
B.不可能事件
C.互斥但不对立事件
D.不是互斥事件
5.已知样本数据x1，x2，，x n的平均数是5，则新的样本数据2x1＋5，2x2＋5，，2x n＋5的平均数为
A.5
B.7
C.10
D.15
6.学校医务室对本校高一1000名新生的视力情况进行跟踪调查，随机抽取了100名学生的体检表，得到的频率分布直方图如图所示，若直方图的后四组的频率成等差数列，则估计高一
新生中视力在4.8以下的人数为
A.610
B.390
C.600
D.510
7.研究表明某地的山高y(km)与该山的年平均气温x(o C)具有相关关系，根据所采集的数据得
到线性回归方程ˆ260y x =-+，则下列说法错误．．
的是 A.年平均气温为0o 时该山高估计为60km
B.该山高为72km 处的年平均气温估计为60°C
C.该地的山高y 与该山的年平均气温x 的正负相关性与回归直线的斜率的估计值有关
D.该地的山高y 与该山的年平均气温x 成负相关关系
8.甲、乙、丙三家企业产品的成本分别为10000，12000，15000，其成本构成如下图所示，则关于这三家企业下列说法错误的是
A.成本最大的企业是丙企业
B.费用支出最高的企业是丙企业
C.支付工资最少的企业是乙企业
D.材料成本最高的企业是丙企业
9一个袋子中有红、黄、蓝、绿四个小球，有放回地从中任取一个小球，将“三次抽取后，红色小球，黄色小球都取到”记为事件M ，用随机模拟的方法估计事件M 发生的概率.利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表红、黄、蓝、绿四个小球，以每三个随机数为一组，表示取小球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
由此可以估计事件M 发生的概率为 A.29 B.13 C.518 D.23
10.某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试(试卷满分为100分)的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示。
若分别从(1)班、(2)班的样本中各取一份，则(2)班成绩更好的概率为
A.1636
B.1736
C.12
D.1936
11.已知一组数据丢失了其中一个，另外六个数据分别是10，8，8，11，16，8，若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为
A.12
B.20
C.25
D.27
12.若点集221
{(,)},{(,)1}4
A x y x y
B x y x y =+≤=+≤，设点集 12121212{(,),,(,),(,)}M x y x x y y y x x A y y B =+=+∈∈。
现向区域M 内任投一点，则该点落在区域B 内的概率为 A.2
22π
+ C.212π+ 第II 卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
把答案填在答题卡中的横线上。
13.从四双不同的袜子中，任取五只，其中至少有两只袜子是一双，这个事件是 (填“必然”、“不可能”或“随机”)事件。
14.若执行如图所示的程序框图，则输出的i ＝ .
15.已知样本5，6，7，m，n的平均数是6，方差是12
5
，则mn＝
16.为了了解某地高一学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，则x＝，估计该地学生跳绳次数的中位数是.(本题第一空2分，第二空3分)
三、解答题：本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)
甲、乙两人进行围棋比赛，记事件A为“甲获得比赛胜利或者平局”，事件B为“乙获得比赛的胜利或者平局”，已知P(A)＝0.7，P(B)＝0.4。
(1)求甲获得比赛胜利的概率；
(2)求甲、乙两人获得平局的概率。
18.(12分)
参加某高中十佳校园主持人比赛的甲、乙选手得分的茎叶统计图如图所示。
(1)比较甲、乙两位选手的平均数；
(2)分别计算甲、乙两位选手的方差，并判断成绩更稳定的是哪位。
19.(12分)
(1)从区间[1，10]内任意选取一个实数x ，求x 2－6x －16≤0的概率；
(2)从区间[1，12]内任意选取一个整数x ，求ln(x －2)<2的概率。
20.(12分)
为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图。
若尺寸落在区间(2,2x s x s -+)之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中x ，s 分别为样本平均数和样本标准差，计算可得：s ≈15(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)。
(1)若一个零件的尺寸是100cm ，试判断该零件是否属于“不合格”的零件；
(2)工厂利用分层抽样的方法从样本的前3组中抽出6个零件，标上记号，并从这6个零件中再抽取2个，求再次抽取的2个零件中恰有1个尺寸不超过50cm 的概率。
21.(12分)
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，已知每售出一箱酸奶的利润为50元，当天未售出的酸奶降价处理，以每箱亏损10元的价格全部处理完。
若供不应求，可从其它商
店调拨，每销售1箱可获利30元。
假设该超市每天的进货量为14箱，超市的日利润为y 元。
为确定以后的订购计划，统计了最近50天销售该酸奶的市场日需求量，其频率分布表如图所示。
(1)求a ，b ，m ，n ，p 的值；
(2)求y 关于日需求量x(10≤x ≤20)的函数表达式；
(3)以50天记录的酸奶需求量的频率作为酸奶需求量发生的概率，估计日利润在区间[580，760]内的概率。
22.(12分)
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费对年销售量(单位：t)的影响。
该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费x(万元)和年销售量y(单位：t)具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值。
(1)根据表中数据建立年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程；
(2)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝y －0.05x 2－1.85，根据(1)中的结果回答下列问题：
①当年宣传费为10万元时，年销售量及年利润的预报值是多少?
②估算该公司应该投入多少宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大。
附：回归方程ˆˆˆy
bx a =+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
1
122
211 ()()ˆˆˆ,()n n i i i i
i i n n i i i i x y nx y x x y y b a y bx x nx x x ====---===---∑∑∑∑ 参考数据：
55
211
88.5,90i i i i i x y x ====∑∑。