流体力学第二版(蔡增基)第六章

§ 6-1流体微团运动分析 刚体的一般运动可以分解为移动和转动两部分。 流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变形。
因此，任一流体微团在运动过程中不但与刚体一样可以移动 和转动，而且还会发生变形运动。所以，在一般情况下流体 微团的运动可以分解为移动、转动和变形运动三部分。
一、表示流体微团运动特征的速度表达式
左侧中心点沿x方向的流速为：
u x左 u x u x dx x 2
dz dy
u x dx x 2
dx
u x右 u x 右侧中心点沿x方向的流速为：
dt时间内沿x方向流入和流出的净体积流量为：
dQx (u x
dQx u x dxdydz dt x
所以 z 1 (
u y
2 x x y 0

ux 1 ) (k k ) k y 2
0
线变形速度 xx u x 角变形速度 xy
x 1 u y ux 1 ( ) (k k ) 0 2 x y 2
yy zz 0
对于不可压缩流体，dt时间内流入和流出微元控制体的净 体积流量之和应为0。
ux u y uz dQx dQy dQz ( ) dxdydz dt 0 x y z ux u y uz 即 0 x y z
—多维流动的不可压缩流体的连续性方程。对于定常和 非定常流动都适用。
B
uy
A
o u x
dx
D
u x dx A点： u x u x x 2 u dy B点：u x u x x y 2 u x dx C点： u x u x x 2 u x dy D点：u x u x y 2
在运动流体中，在时刻t任取 dy 一正方形流体微团，其边长分别 C 为dx、dy，设O 点的速度分量分别 为ux、uy、其他各点的速度均可利 用泰勒级数展开并略去二阶及以 上无穷小量得到：
2 x
2

2 y
2

2 z
2
0
上式称为拉普拉斯方程，满足拉普拉斯方程的函数称 为调和函数。所以不可压缩流体的速度势函数是一个调和 函数。
2、平面问题
在不可压缩流体平面流动中，连续性方程为：
ux u y 0 x y
旋转角速度也只有ωz分量，如果ωz 为零，即：
u x u z z x
u y u z y z
根据数学分析可知：上式成立是 u xdx u y dy u z dz 成为 称为速度势 某一函数 ( x， y， z ) 的全微分的充要条件。 函数，简称速度势。
此时，速度势函数与速度的关系：
d u xdx u y dy u z dz
1 u u 1 u u ( x z )dz ( x z )dz 2 z x 2 z x
ux ux0 xxdx dy dy dz dz z xz y xy
u x u x0 xxdx xydy xzdz y dz z dy
②是否存在速度势函数?若存在，求出其表达式。 【解】（1）由不可压流体平面流动的连续性方程
ux u y (4 x) (4 y) 0 x y x y
该流动满足连续性方程。 （2）由于是平面流动
x y 0
1 u y u x 1 4 y 4 x z 0 2 x y 2 x y 该流动为无旋流动，存在速度势函数。
第六章 不可压缩流体的多维流动
§6-1 流体微团运动分析
§6-2 有旋流动
§6-3 不可压缩流体连续性微分方程 §6-4 无旋流动
流体由于具有易流动特性，因此流体的运动要比刚体的 运动复杂得多。在流体运动中，有旋流动和无旋流动是流体 运动的两种类型。由流体微团运动分析可知，有旋流动是指 流体微团旋转角速度 0 的流动，无旋流动是指 0 的 流动。 实际上，黏性流体的流动大多数是有旋流动，而且有时 是以明显的旋涡形式出现的，如桥墩背流面的旋涡区，船只 运动时船尾后形成的旋涡等等。工程中大量存在着的紊流运 动，更是充满着尺度不同的大小旋涡。
u y dx uy uy x 2 u y dy uy uy y 2 u y dx uy uy x 2 u y dy uy uy y 2
由速度表达式可见，微团上每一点的速度都包含中心点的 速度以及由于坐标位置不同引起的速度增量两个组成部分。
根据全微分理论，势函数 的全微分可写成
d dx dy dz x y z ux uz uy x z y
于是得
流体不论是可压缩流体还是不可压缩流体，也不论是 定常流动还是非定常流动，只要满足无旋流动条件，必然 存在速度势函数。
把中心点的速度ux和uy定义为流体微团的平移速度。
dy
C
2.角变形
由A点C点y方向的速度表达式
u y dx uy uy x 2 u y dx uy uy x 2 u y
由于微团上的A点和C点y方向有速度差
，BD直线也绕O点旋转。但旋转角度不同。
后微团沿y方向发生变形。所以AOC直线绕O点发生旋转。同样
如图（a）所示，虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由 于微团本身不旋转，故它是无旋流动；
在图 (b)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕 自身轴线旋转，故它是有旋流动。
有旋流动
a
无旋流动
b 流体微团运动
判断流体微团无旋流动的条件是：流体中每一个流体微 团都满足 0
x y z
由于
由速度势函数的全微分得：
d u xdx u y dy 4 xdx 4 ydy
积分
2( x 2 y 2 ) C
o
D
E
ux ux0 dux u y u y 0 duy uz uz 0 duz
M
M0
将速度分量展开
ux ux0 dux
ux ux0 u x u u dx x dy x dz x y z
u x 1 u x u y 1 u x u y ux ux0 dx ( )dy ( )dy x 2 y x 2 y x
o
D
C
E
把对角线EOF的旋转角速度定义为整个流 E' 体微团在xoy面的旋转角速度，用 z 表示。
1 u y u x 2 y x 1 u u y x z 2 z x
EOF的旋转角速度可看成是AOC和BOD角速度的平均：
u x dx u dx )dydz dt (u x x )dydz dt x 2 x 2
同理 dt时间内沿y方向流入和流出的净体积流量为：
dQy u y y dxdydz dt
dt时间内沿z方向流入和流出的净体积流量为：
dQz u z dxdydz dt z
C
扩展到三维流动
xz zx
yz zy
一般情况下，流体微团的运动由以上四种情况组合而成 ，已知任意点M0的速度分量，ux0，uy0，uz0，流体微团内任 意点的速度可写为：
1 ux uz 2 z x 1 u z u y 2 y z
u y x u x y
平面流动为无旋流动。
平面无旋流动的速度势函数为： d u xdx u y dy 平面无旋流动的拉普拉斯方程：
2 x
2

2 y
2
0
【例2】有一不可压流体平面流动的速度分布为
u x 4 x，u y 4 y； dy 1.线变形 ux y 2 由于微团上的A点和C点x方向有速 B 度差，一段时间后沿x方向发生变形。 单位时间，单位长度的线变形称为 uy 线变形速度。线变形速度用 xx ， A yy o u x u x 表示： dx dt u x x xx dx D dx dt x u y u z yy 扩展到空间 zz y z
§ 6-4 无旋流动 一、速度势函数 1、空间问题 在流场中流体微团的旋转角速度ω在任意时刻处处为零 的流动称为无旋流动，无旋流动也称为有势流动。
1 u y u x z 2 y x 0
u y x

u x y
1 u u y x z 0 2 z x u y 1 u z 0 x 2 y z
xz yz 0
§ 6-2 有旋流动 一、有旋流动和无旋流动的定义 流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋 转来决定的。 流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通 过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动。 如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线旋转， 则称为无旋流动。 这里需要说明的是，判断流体流动是有旋流动还是无旋 流动，仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决 定，而与流体微团的运动轨迹无关。
z
u y
1 u y u x 2 y x

则有
ux , x y
u x u z , z x
u y u z y z
§ 6-3不可压缩流体连续性微分方程
和一元流连续性方程相似，在流场中选取边长为dx、dy、 dz正六面微元控制体。 设控制体中心的坐标为x、y、z，中 心点的速度为ux、uy、uz。
B
x
dx ，一段时间
角速度方向规定逆时针为正。 u y dx u y AOC的旋转角速度为： x dx x

uy
A
dy
C
o u x
dx
D