人教A版高中数学必修4同步课件-三角函数模型的简单应用

[变式训练] 下表是芝加哥 1951－1981 年月平均气
温(单位：华氏)．
月份
平均气 温
123456 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6
月份 7 8 9 10 11 12 以月平份均 温为气x 轴7，3.0x＝7月1.份9 －614，.7以平53均.5气3温9为.8 y 2轴7.．7 (1)描出散点图．
类型 2 三角函数模型的简单实际应用 [典例 2] 已知某地一天从 4 点到 16 点的温度变化曲 线近似满足函数 y＝10sinπ8x－54π＋20，x∈[4，16]． (1)求该地区这一段时间内的最大温差． (2)若有一种细菌在 15℃到 25℃之间可以生存，那么 在这段时间内，该细菌能生存多长时间？ 解：(1)x∈[4，16]，则π8x－54π∈－34π，34π.
由函数解析式易知，当π8x－54π＝π2 ，即 x＝14 时， 函数取最大值，最大值为 30，即最高温度为 30℃，当π8x －54π＝－π2，即 x＝6 时，函数取最小值，最小值为 10， 即最低温度为 10℃，所以最大温差为 30－10＝20(℃)．
(2)令 10sinπ8x－54π＋20＝15，可得 sinπ8x－54π＝－ 12，而 x∈[4，16]，所以 x＝236.
(2)用正弦曲线去拟合这些数据．
(3)这个函数的周期是多少？ (4)估计这个正弦曲线的振幅 A. (5)选择下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？ ①Ay ＝cos π6x； ②y－A46＝cos π6x； ③y－－A46＝cosπ6x； ④y－A26＝sinπ6x. 解：(1)(2)如图所示．
(1)试画出散点图； (2)观察散点图，从 y＝ax＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b，y ＝Acos(ωt＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟 合模型的解析式．
解：(1)散点图如图所示．
(2)由散点图可知，选择 y＝Asin(ωt＋φ)＋b 函数模型 较为合适．
由图可知，A＝1.4－2 0.6＝25，T＝12， b＝1.4＋2 0.6＝1.
则 ω＝21π2＝π6，y＝25sinπ6t＋φ＋1. 把 t＝0 代入，得π6×0＋φ＝0，即 φ＝0. 所以 y＝25sin π6t＋1(0≤t≤24)．
归纳升华 处理曲线拟合与预测问题的常用步骤
1．根据原始数据，画出散点图； 2．通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即 拟合直线或拟合曲线； 3．求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式； 4．利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测， 以便为决策和管理提供依据．
2．三角函数模型构建的步骤： (1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重 复现象； (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合； (3)利用三角函数模型解决实际问题； (4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验． 3．一般地，所求出的函数模型只能近似地刻画实际 情况，因此应特别注意自变量的取值范围.
(3)1 月份的气温最低为 21.4，7 月份的气温最高为 73.0， 根据图知，T2＝7－1＝6，所以 T＝12.
(4)2A＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6， 所以 A＝25.8. (5)因为 x＝月份－1， 所以不妨取 x＝2－1＝1，y＝26.0， 代入①，得Ay ＝2265..08＞1≠cos π6，所以①错误； 代入②，得y－A46＝26.205－.846＜0≠cos π6；所以②错误；
第一章 三角函数
1．6 三角函数模型的简单应用 [学习目标] 1.了解三角函数是描述周期性变化现象 的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题 (重点)． 2.通过观察、分析已知数据，能建立三角函数 模型来刻画实际问题并解决实际问题(重点、难点)．
[知识提炼·梳理] 1．三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学 模型，可以用来研究很多问题，在刻画变化规律、预测 其未来方面发挥着重要作用． 2．y＝|sin x|的最小正周期为 π，y＝|tan x|的最小正 周期为 π．
2.如图是一向右传播的绳波在某一
时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，
乙的位置将移至( )
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
解析：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为
半个周期．
答案：C
3．电流强度 I(A)随时间 t(s)变化的关系式是 I＝
5sin100πt＋π3，则当 t＝2010s 时，电流强度 I 为(
令 10sinπ8x－54π＋20＝25，可得 sinπ8x－54π＝12， 而 x∈[4，16]，所以 x＝334. 故该细菌在这段时间内能存活334－236＝83(小时)．
归纳升华 解三角函数应用问题的基本步骤
[变式训练] 如图所示，某港口一天 6 时到 18 时的 水深变化曲线近似满足函数 y＝3sinπ6x＋φ＋k.据此函数 可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
3．三角函数模型的建立程序
温馨提示 实际问题中，变量常常有一定范围．因此， 归结为数学模型后，要注意标出自变量的限制范围．
[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角函数模型是描述周期变化现象的重要函数模 型．( ) (2)在研究具体问题时，我们常常利用搜集到的数据， 作出相应的“散以 2π 为周期的波浪形曲 线．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)×
A．5
B．6
C．8
D．10
解析：根据图象得函数的最小值为 2，有－3＋k＝2，
k＝5，最大值为 3＋k＝8.
答案：C
类型 3 数据拟合问题 [典例 3] 某“海之旅”表演队在一海滨区域进行集 训，该海滨区域的海浪高度 y(米)随着时间 t(0≤t≤24，单 位：时)而周期性变化．为了了解变化规律，该队观察若 干天后，得到每天各时刻 t 的浪高数据的平均值如下表： t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.4 1.0
)
A．5 A
B．2.5 A
C．2 A
D．－5 A
解析：当 t＝2100时，I＝5sinπ2＋π3＝5cos π3＝2.5. 答案：B
4．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置 O 的距
离 s(厘米)和时间 t(秒)的函数关系为 s＝3sinπ2t＋π3， 那 么单摆来回摆的振幅为________厘米，一次所需的时间为 ________秒．
解：(1)由题图知，A＝300. T＝610－－3100＝510， 所以 ω＝2Tπ＝100π. 因为－3100，0是该函数图象的第一个点(五点作图法)， 所以－ωφ＝－3100， 所以 φ＝3ω00＝π3，
所以 I＝300sin100πt＋π3(t≥0)． (2)问题等价于 T≤1100， 即2ωπ≤1100， 所以 ω≥200 π， 所以最小的正整数 ω 为 629.
同理④错误．所以③最适合这些数据．
1．常见的三角函数应用题的三种类型： (1)给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给 模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题． (2)给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函 数模型，再解决其他问题． (3)整理一个实际问题的调查数据，根据数据作出散 点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律 的函数模型，进一步用函数模型来解决问题．
类型 1 三角函数在物理中的应用 [典例 1] 已知如图所示是电流强度 I 与时间 t 的关系 I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0) 的图象． (1)试根据图象写出 I＝Asin(ωt＋φ)的解析式． (2)为了使 I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)中 t 在任意一段 1100秒的时间内电流强度 I 能同时取得最大值 A 与最小值 －A，那么正整数 ω 的最小值是多少？
解析：因为 s＝3sinπ2t＋π3， 所以振幅为 A＝3(厘米)，周期 T＝2ππ＝4(秒)．
2 答案：3 4
5．已知某种交变电流 I(A)随时间 t(s)的变化规律可 以拟合为函数 I＝5 2sin100πt－π2，t∈[0，＋∞)，则这 种交变电流的频率为________．
解析：周期 T＝510 s，所以频率为每秒 50 次． 答案：50
归纳升华 1．常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械 波等，其共同的特点是具有周期性． 2．明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频 率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函 数知识结合解题．
[变式训练] 如图所示为一简谐运动的图象，则下列 判断正确的是( )
A．该质点的振动周期为 0.7 s B．该质点的振幅为 5 cm C．该质点在 0.1 s 和 0.5 s 时的振动速度最大 D．该质点在 0.3 s 和 0.7 s 时的速度为零 解析：振动周期为 2×(0.7－0.3)＝0.8 s，故 A 错误； 该质点的振幅是 5 cm，故 B 对；该质点在 0.1 s、0.5 s 时 速度为 0，在 0.3 s，0.7 s 时速度最大． 答案：B