不等式的基本性质导学案(自动保存的)

2.1 不等式的基本性质 随堂练习1

姓名

不等式的一个等价关系（充要条件） 从实数与数轴上的点一一对应谈起

0>-⇔>b a b a

0=-⇔=b a b a 0<-⇔

例 1 的值的大小与（比较22)11++-a a a 解：

小结：步骤：作差—变形—判断—结论

练习1 已知x ≠0, 比较22)1(+x 与124++x x 的大小

解： 练习2

a b 和m a m b ++ （+∈R m b a ,,且a b <） 解：

例2 求证：x 2 + 3 > 3x

证：∵(x 2 + 3) - 3x = 04

3

)23(3)23()23(32222>+-=+-+-x x x

∴x 2 + 3 > 3x

例3 解关于x 的不等式（m-1）x >x+m

练习 解关于x 的不等式：)1(232≠+>+-a x a a ax ．

2.1 不等式的基本性质 课后巩固1

姓名

1 比较)5)(3(-+a a 与)4)(2(-+a a 的大小

2 已知0>>b a ，试比较2

222b a b a -+与b

a b

a -+的值的大小

此题作差后x 分大于0 ，等于0 ，小于0三种情况讨论差的符号

1． 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m

行走，另一半时间以速度n 行走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，如果m ≠ n ，问：甲乙两人谁先到达指定地点？ 解：设从出发地到指定地点的路程为S ，

甲乙两人走完全程所需时间分别是t 1, t 2， 则

：

21122,22t n

S

m S S n t

m t =+=+ 可得：

mn

n m S t n m S t 2)

(,221+=

+=

∴)

(2)()(2])(4[2)(22

221n m mn n m S mn n m n m mn S mn n m S n m S t t +--=++-=+-+=- ∵S , m , n 都是正数，且m ≠ n ，∴t 1 - t 2 < 0 即：t 1 < t 2 从而：甲先到到达指定地点。

3 设

x ∈R 且x ≠－1，比较1

1＋x

与1－x 的大小．

2． 已知a , b 都是正数，并且a ≠ b ，求证：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2 证：(a 5 + b 5 ) - (a 2b 3 + a 3b 2) = ( a 5 - a 3b 2) + (b 5 - a 2b 3 )

= a 3 (a 2 - b 2 ) - b 3 (a 2 - b 2) = (a 2 - b 2 ) (a 3 - b 3) = (a + b )(a - b )2(a 2 + ab + b 2)

∵a , b 都是正数，∴a + b , a 2 + ab + b 2 > 0

又∵a ≠ b ，∴(a - b )2 > 0 ∴(a + b )(a - b )2(a 2 + ab + b 2) > 0 即：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2

（提高题）若142=+y x ，比较22y x +与

20

1

的大小 提示 ：由已知得241y x -= 22y x +-20

1

=……

解：241y x -= 2

2y x +-201=……=05)15(2≥-y ∴22y x +≥20

1

（提高题）若R b a ∈,，求不等式b

a b a 1

1,

>>同时成立的条件 解：00011<⇒⎪⎭

⎪

⎬⎫

<-⇒>>-=-ab a b b a ab

a b b a （提高题）设R c b a ∈,,，0,0<=++abc c b a 求证

01

11>++c

b a 证：∵0=++

c b a ∴222c b a ++0222=+++bc ac ab 又∵0≠abc ∴222c b a ++>0 ∴0<++bc ac ab

∵

abc ca

bc ab c b a ++=

++111 0

11>++c

b a 4．已知a 、b 为正数，且a ≠b ，比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小．

解析： a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2) ＝a 2(a －b )－b 2(a －b ) ＝(a －b )(a 2－b 2) ＝(a －b )2(a ＋b ) ∵a ＞0，b ＞0且a ≠b ∴(a －b )2＞0，a ＋b ＞0 ∴(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＞0 即a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2

2.1 不等式的基本性质 随堂练习2

姓名

不等式的性质

1．性质1：如果b a >，c b > 那么

a b 和m

a m

b ++（传递性） 2．性质2如果b a >，那么

c b c a +>+ （加法性）

推论：如果b a >且d c >，那么d b c a +>+ （相加法则）

推论：如果b a >且d c <，那么d b c a ->- （相减法则）

3．性质3 如果b a >且0>c , 那么bc ac >

如果b a >且0>b a , 那么n n b a > )1(>∈n N n 且

2求证：如果0>>b a ，那么n n b a > )1(>∈n N n 且

练习 课本P 30页

1、 判断下列命题的真假：如果是真命题，请说明理由；如果是假命题，请举出反例． （1） 若b-a>-a ，则b>0； （2） 若b+a>a ，则b>0； （3） 若ab>0，则a>0且b>0； （4） 若a>b ，则22bc ac >； （5） 若22bc ac >，则a>b ；

（6） 若ab>c ，则b c a >

； （7） 若a>b ，则)0(22≠>c c

b

c a ；

（8） 若a>b ，c>d ，则a-d>b-c ．

2、 已知a

a

b 1

________________1；