随机信号分析实验

实验一 随机序列的产生及数字特征估计
一、实验目的
1、学习和掌握随机数的产生方法；
2、实现随机序列的数字特征估计。

二、实验原理
1. 随机数的产生
随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列（样本值序列）。

进行随机信号仿真分析时，需要模拟产生各种分布的随机数。

在计算机仿真时，通常利用数学方法产生随机数，这种随机数称为伪随机数。

伪随机数是按照一定的计算公式产生的，这个公式称为随机数发生器。

伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性，但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的，与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。

(0，1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。

(0，1)均匀分布指的是在[0，1]区间上的均匀分布，即U(0，1)。

实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0，1)均匀分布随机数，通常采用的方法为线性同余法，公式如下：
N
y x N ky Mod y y n n n n /))((110===-， （1.1）
序列{}n x 为产生的(0，1)均匀分布随机数。

下面给出了上式的3组常用参数： (1) 7101057k 10⨯≈==，周期，N ；
(2) （IBM 随机数发生器）8163110532k 2⨯≈+==，周期，N ； (3) （ran0）95311027k 12⨯≈=-=，周期，N ；
由均匀分布随机数，可以利用反函数构造出任意分布的随机数。

定理1.1 若随机变量X 具有连续分布函数F X (x)，而R 为(0，1)均匀
分布随机变量，则有
)(1R F X x -= （1.2）
由这一定理可知，分布函数为F X (x)的随机数可以由(0，1)均匀分布随机数按上式进行变换得到。

2. MATLAB 中产生随机序列的函数
(1) (0，1)均匀分布的随机序列 函数：rand
用法：x = rand(m,n)
功能：产生m ×n 的均匀分布随机数矩阵。

(2) 正态分布的随机序列 函数：randn
用法：x = randn(m,n)
功能：产生m ×n 的标准正态分布随机数矩阵。

如果要产生服从2N(,)μσ分布的随机序列，则可以由标准正态随机序列产生。

(3) 其他分布的随机序列
MATLAB 上还提供了其他多种分布的随机数的产生函数，下表列出了部分函数。

MATLAB 中产生随机数的一些函数
表1.1 MATLAB 中产生随机数的一些函数
3、随机序列的数字特征估计
对于遍历过程，可以通过随机序列的一条样本函数来获得该过程的统计特性。

这里我们假定随机序列X (n)为遍历过程，样本函数为x(n)，其中n=0,1,2，…，N-1。

那么，X (n)的均值、方差和自相关函数的估计为
利用MATLAB 的统计分析函数可以分析随机序列的数字特征。

(1) 均值函数
函数：mean
用法：m = mean(x)
功能：返回按上面第一式估计X (n)的均值，其中x为样本序列x(n)。

(2) 方差函数
函数：var
用法：sigma2 = var(x)
功能：返回按上面第二式估计X (n)的方差，其中x为样本序列x(n)，这一估计为无偏估计。

(3) 互相关函数
函数：xcorr
用法：c = xcorr(x,y)
c = xcorr(x)
c = xcorr(x,y,'opition')
c = xcorr(x,'opition')
功能：xcorr(x,y)计算X (n)与Y(n)的互相关，xcorr(x)计算X (n)的自相关。

option 选项可以设定为：
'biased' 有偏估计，即
(1.6)
'unbiased' 无偏估计，即按(1.5)式估计。

'coeff' m = 0 时的相关函数值归一化为1。

'none' 不做归一化处理。

三、实验内容
1.采用线性同余法产生均匀分布随机数1000个，计算该序列均值和方差与理论值之间的误差大小。

改变样本个数重新计算。

实验代码：
num=input('Num=');
N=2^31;
k=2^16+3;
Y=zeros(1,num);
X=zeros(1,num);
Y(1)=1;
for i=2:num
Y(i)=mod(k*Y(i-1),N);
end
X=Y/N;
a=0;
b=1;
m0=(a+b)/2;
sigma0=(b-a)^2/12;
m=mean(X);
sigma=var(X);
delta_m=abs(m-m0);
delta_sigma=abs(sigma-sigma0);
plot(X,'k');
xlabel('n');
ylabel('X(n)');
实验结果：
(1) Num=1000时：
delta_m=0.0110，delta_sigma=0.0011
(2) Num=5000时：
delta_m =2.6620e-04，delta_sigma =0.0020
实验结果分析：
样本越大，误差越小，实际值越接近理论值。

2. 参数为的指数分布的分布函数为
x x e F λ--=1
利用反函数法产生参数为0.5 的指数分布随机数1000 个，测试其方差和相关函数。

实验代码： R=rand(1,1000); lambda=0.5;
X=-log(1-R)/lambda; DX=var(X); [Rm,m]=xcorr(X); subplot(211);
plot(X,'k');xlabel('n');ylabel('X(n)'); subplot(212);
plot(m,Rm,'k');xlabel('m');ylabel('R(m)');
实验结果：
实验结果分析：
方差的实际值为4.1201，理论值为1/(0.5^2)=4，基本一致。

3.产生一组N(1，4)分布的高斯随机数（1 000个样本），估计该序列的均值、方差和相关函数。

实验代码：
X=normrnd(1,2,[1,1000]);
Mx=mean(X);Dx=var(X);
[Rm,m]=xcorr(X);
subplot(211);
plot(X,'k');xlabel('n');ylabel('X(n)');
subplot(212);
plot(m,Rm,'k');xlabel('m');ylabel('R(m)');
实验结果：
实验结果分析：
实验中的均值为0.9937，方差为3.8938。

理论上均值为1，基本一致。

四、实验心得体会
通过这次实验，我学习和掌握了随机数的产生方法、实现随机序列的数字特征估计，并用MATLAB产生相应的图形，更直观的了解了相关的知识。

本次实验的难点在于用线性同余法产生随机序列，多次试验后终于攻克了难关。