2.1-2.3 逻辑代数的基本运算
逻辑代数的基本概念与基本运算
逻辑代数的基本概念与基本运算1. 引言逻辑代数是数学中的一个分支，它主要研究逻辑关系、逻辑运算和逻辑函数等内容。
逻辑代数作为数理逻辑的一个重要工具，不仅在数学、计算机科学等领域具有重要的应用，同时也在现实生活中扮演着重要的角色。
本文将介绍逻辑代数的基本概念与基本运算，帮助读者更好地理解逻辑代数的基本原理和运算规则。
2. 逻辑代数的基本概念逻辑代数是一种用于描述逻辑运算的代数体系，它主要包括逻辑变量、逻辑常量、逻辑运算和逻辑函数等基本概念。
2.1 逻辑变量逻辑变量是逻辑代数中的基本元素，通常用字母表示，表示逻辑命题的真假值。
在逻辑代数中，逻辑变量通常只能取两个值，即真和假，分别用1和0表示。
2.2 逻辑常量逻辑常量是逻辑代数中表示常量真假值的符号，通常用T表示真，用F 表示假。
逻辑常量在逻辑运算中扮演着重要的角色。
2.3 逻辑运算逻辑运算是逻辑代数中的基本运算，包括与、或、非、异或等运算。
逻辑运算主要用于描述不同命题之间的逻辑关系，帮助我们进行逻辑推理和逻辑计算。
2.4 逻辑函数逻辑函数是逻辑代数中的一种特殊函数，它描述了不同逻辑变量之间的逻辑关系。
逻辑函数在逻辑代数中具有重要的地位，它可以通过逻辑运算表达逻辑命题之间的关系，是描述逻辑代数系统的重要工具。
3. 逻辑代数的基本运算逻辑代数的基本运算包括与运算、或运算、非运算、异或运算等。
这些基本运算在逻辑代数中有着严格的规则和性质，对于理解逻辑代数的基本原理和进行逻辑推理具有重要的意义。
3.1 与运算与运算是逻辑代数中的基本运算之一，它描述了逻辑与的关系。
与运算的运算规则如下：- 真与真为真，真与假为假，假与假为假。
与运算通常用符号“∧”表示，A∧B表示命题A与命题B的逻辑与关系。
3.2 或运算或运算是逻辑代数中的基本运算之一，它描述了逻辑或的关系。
或运算的运算规则如下：- 真或真为真，真或假为真，假或假为假。
或运算通常用符号“∨”表示，A∨B表示命题A与命题B的逻辑或关系。
逻辑代数基础
其真值表如表2.2.4所示
表2.2.4 与非逻辑真值表
输入 输出
A
BY
0
01
0
11
1
01
1
10
其逻辑规律服从“有0出1， 全1才出0”
实现与非运算用与非门电路来 实现，如图2.2.7所示
5. 或非（NOR）运算
表2.2.4 与非逻辑真值表
输入 输出
A
BY
0
01
0
11
1
01
1
10
或非运算是先或运 算后非运算的组合。以 二变量A、B为例，布尔 代数表达式为：
其真值表如表2.2.7所示 其门电路的逻辑符号如图2.2.11 所示
表2.2.7 同或逻辑真值表
输入 输出
A
BY
A B
= YA B
Y
0
01
0
10
1
00
图2.2.11 同或门逻辑符号
1
11
逻辑符号国标
2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式
2.3.1 基本公式
表2.3.1为逻辑代数的基本公式，也叫布尔恒等式 表2.3.1 逻辑代数的基本公式
c. 非非律： (A) A
d. 吸收律：A + A B = A A (A+B) = A
e. 摩根定律： (AB) A B (A B) A B
注：以上定律均可由真值表验证
链接B
2.3.2 若干常用公式
表2.3.2为常用的一些公式
表2.3.2 常用公式
序号
公
式
21
A AB A
22 A AB A B
故： (ABC) A B C
逻辑代数的三个基本运算
逻辑代数的三个基本运算逻辑代数是一种数学分支，研究命题和命题之间的逻辑关系。
它主要包括命题逻辑和谓词逻辑两个部分。
在逻辑代数中，有三个基本运算，即合取、析取和否定。
接下来，我将一步一步回答有关逻辑代数的这三个基本运算的问题。
一、合取运算（AND）合取运算，也称为与运算，用∧（圆圈上有一个小竖杠）表示。
在逻辑代数中，合取运算指的是将两个或多个命题连接起来，当且仅当这些命题都为真时，合取命题才为真。
1. 合取命题的真值表首先，我们可以通过真值表来表示合取命题。
假设有两个命题P和Q，可以通过以下真值表来表示合取命题：P Q P∧QT T TT F FF T FF F F从上表可以看出，当且仅当P和Q的值均为真时，合取命题才为真。
2. 合取的代数表达式除了使用真值表，我们还可以使用代数表达式来表示合取命题。
例如，我们可以用“P ∧Q”来表示“P和Q的合取”。
在逻辑代数中，合取的代数表达式遵循以下规则：- 合取满足交换律：P ∧Q = Q ∧P- 合取满足结合律：(P ∧Q) ∧R = P ∧(Q ∧R)- 合取满足吸收律：P ∧(P ∨Q) = P二、析取运算（OR）析取运算，也称为或运算，用∨（有一个小竖杠在圆圈顶部）表示。
在逻辑代数中，析取运算是将两个或多个命题连接起来，当且仅当这些命题中至少有一个为真时，析取命题才为真。
1. 析取命题的真值表与合取运算类似，我们可以使用真值表来表示析取命题。
假设有两个命题P和Q，可以通过以下真值表来表示析取命题：P Q P∨QT T TT F TF T TF F F从上表可以看出，只有当P和Q的值至少有一个为真时，析取命题才为真。
2. 析取的代数表达式类似于合取运算，我们可以使用代数表达式来表示析取命题。
例如，我们可以用“P ∨Q”来表示“P或Q的析取”。
在逻辑代数中，析取的代数表达式遵循以下规则：- 析取满足交换律：P ∨Q = Q ∨P- 析取满足结合律：(P ∨Q) ∨R = P ∨(Q ∨R)- 析取满足分配律：P ∨(Q ∧R) = (P ∨Q) ∧(P ∨R)三、否定运算（NOT）否定运算，也称为非运算，用¬表示。
(完整版)逻辑代数的运算规则
逻辑代数的运算规则逻辑代数的基本定律逻辑代数的三个规则1、代入规则在任一逻辑等式中，如果将等式两边所有出现的某一变量都代之以一个逻辑函数，则此等式仍然成立，这一规则称之为代入规则。
2、反演规则已知一逻辑函数F，求其反函数时，只要将原函数F中所有的原变量变为反变量，反变量变为原变量；“＋”变为“·”,“·”变为“＋”；“0”变为“1”；“1”变为“0”。
这就是逻辑函数的反演规则。
3、对偶规则已知一逻辑函数F，只要将原函数F中所有的“＋”变为“·”,“·”变为“＋”；“0”变为“1”；“1”变为“0”，而变量保持不变、原函数的运算先后顺序保持不变，那么就可以得到一个新函数，这新函数就是对偶函数F'。
其对偶与原函数具有如下特点：1.原函数与对偶函数互为对偶函数；2.任两个相等的函数，其对偶函数也相等。
这两个特点即是逻辑函数的对偶规则。
逻辑运算的常用公式逻辑代数的总结基本逻辑运算：与（或称“积”）---符号（&、?、无、∧、∩）或（或称“和”）---符号（| 、＋、∨、∪）非（或称“反”）---符号（! 、）1、基本运算法则：0-1律：0?A=0 0＋A=11?A=A 1＋A=A同一律：A?A=A A＋A=A互补律：A?A=0 A＋A=0反演律A?B =A＋B A＋B=A?B还原律A =A√⊕⊙？?＋A=02、常用公式交换律：A?B=B?A A+B=B+A结合律：A?(A?B)=(A?B)?C A＋(A＋B)=(A＋B)＋C 分配律：A?(A＋B)=A?B＋A?C A＋(A?B)=(A＋B)?(A＋C) 吸收律：A?(A+B)=AB A+(A?B)=ABA?B+(A?B)=A (A+B)?(A+B)=A。
逻辑代数的基本定理基本规则逻辑函数简化(18)
1、化简为最简与或表达式
乘积项最少、并且每个乘积项中的变量也最少的与 或表达式。
Y A B E A B A C A C E B C B C D A B A C B C A B A C
最简与或表达式
14
2、最简与非-与非表达式
非号最少、并且每个非号下面乘积项中的变量也最少的与非 -与非表达式。 ②用摩根定律去 Y A B A C A B A C A B A C 掉下面的非号 ①在最简与或表达式的基础上两次取反
A ( B C ) AB AC
( A B ) ( A B ) A
A BC ( A B )( A C )
注意：1、在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运 算的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最 后非运算，否则容易出错。
2、F的对偶式F’与反函数F不同，在求F’时不要求将 原变量和反变量互换，所以一般情况下，F’ ≠ F，只有在特殊情 况下才相等。
Y A B C D E
Y ( A B )( C D E )
Y A B C D E
8
பைடு நூலகம் P21 表2.3.4
对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函 数也相等。利用对偶规则 , 可以使要证明及要记忆的公式数目减 少一半。例如：
A B A B A
F与/或
与非/与
反演规则
两次求反 一次摩根定律
再用 一次摩根定律
再用 一次摩根定律
18
非 运 算 ： 1 0
0 1
3
（2）逻辑代数的基本定律
重点强调
P21 表2.3.4
《数字电子技术基础》读书笔记02逻辑代数基础
《数字电子技术基础》读书笔记02 逻辑代数基础2.1从布尔代数到逻辑代数1849年英国数学家乔治布尔(George Boole)提出布尔代数，使用数学方法进行逻辑运算。
把布尔代数应用到二值逻辑电路中，即为逻辑代数。
2.2逻辑代数中的运算(想想初等代数中的加减乘除)2.2.1三种基本运算与(AND)：逻辑乘，Y=A B或(OR)：逻辑加，Y=A+B非(NOT)：逻辑求反，Y=Aˊ简单逻辑运算(与、或、非)的两套图形符号，均为IEEE(国际电气与电子工程师协会)和IEC(国际电工协会)认定。
上排为国外教材和EDA软件中普遍使用的特定外形符号；下排为矩形符号。
2.2.2复合逻辑运算(都可以表示为与、或、非的组合)与非(NAND)：先与后非，与的反运算，Y=(A B)ˊ或非(NOR)：先或后非，非的反运算，Y=(A+B)ˊ与或非(AND-NOR)：先与再或再非，Y=(A B+C D)ˊ异或(Exclusive OR)：Y=A⊕B=A Bˊ+AˊB A和B不同，Y为1；A和B相同，Y为0。
当A与B相反时，A Bˊ和AˊB，肯定有一个结果为1，则Y为1。
同或(Exclusive NOR)：Y=A⊙B=A B+AˊBˊA和B相同，Y为1；A和B不同，Y为0。
当A与B相同时，A B和AˊBˊ，肯定有一个结果为1，则Y为1。
同或与同或互为反运算，即两组运算，只要输入相同，一定结果相反。
A⊕B=(A⊙B)ˊA⊙B=(A⊕B)ˊ复合逻辑运算的图像符号和运算符号。
2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1基本公式(见对偶定理)2.3.2若干常用公式(见逻辑函数化简方法之公式化简法)2.4逻辑代数的基本定理2.4.1代入定理(相当于初等代数中的换元)任何一个包含逻辑变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式依然成立。
2.4.2反演定理对于任意一个逻辑式Y，若将其中所有的""换成"+"，"+"换成""，"0"换成"1"，"1"换成"0"，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是Yˊ。
逻辑代数基本运算法则
逻辑代数基本运算法则
逻辑代数是一种基于二进制数和逻辑操作的数学体系，在逻辑代数中有一些基本的运算法则，包括：
1. 交换律：对于逻辑运算符∧和∨，交换运算顺序不改变运算结果，即A∧B = B ∧A，A∨B = B∨A。
2. 结合律：对于逻辑运算符∧和∨，运算可以按照任意顺序进行，结果相同。
即(A∧B)∧C = A∧(B∧C)，(A∨B)∨C = A∨(B∨C)。
3. 分配律：对于逻辑运算符∧和∨，分配律成立，即A∧(B∨C) = (A∧B)∨(A∧C)，A∨(B∧C) = (A∨B)∧(A∨C)。
4. 吸收律：对于逻辑运算符∧和∨，吸收律成立，即A∨(A∧B) = A，A∧(A∨B) = A。
5. 否定律：对于逻辑运算符¬，否定律成立，即¬A = 1 - A，¬¬A = A。
6. 互补律：对于逻辑运算符∧和∨，互补律成立，即A∧¬A = 0，A∨¬A = 1。
以上是逻辑代数的基本运算法则，这些法则在进行逻辑运算时非常有用，可以帮助简化逻辑表达式和证明逻辑等式的真值。
一逻辑代数的三个基本运算
＝∑m (3,5,6,7)
最小项得简写形式
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逻辑代数中的三个重要规则
代入规则
可以扩大基本定律的应用
任何一个含有变量X的等式，如果将所有出现X的 位置都 1、不能破坏原式的运算顺序－先括号后与、或 代之以一个函数F, 则等式仍然成立。 2 、不属于单变量上的非号应保留 用于快速的求一个函数的反函数 反演规则 号,将“+”号变为“ ·、 ”号 ,常量“0”变为“1”,“1”变为 性质： 1 F与 F*互为对偶函数 1 、不能破坏原式的运算顺序－先括号后与、或 “0” ,原变量变为反变量 ,反变量变为原变量,便可求得F的反演 2、任何函数均存在对偶函数 2、不属于单变量上的非号应保留 式。 3、若F=G成立，则F*=G*成立 用于逻辑关系的证明 对偶规则
最小项
与项 :
ABC B C A C
三变量最小项（标准与项） : 与或表达式：
A B C
A B C A BC
F =AB + AC + ABC
最小项表达式： F AB C A B C A BC ABC 最小项通常用符号mi来表示。
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三变量的最小项
（1）最小项 最小项定义：
n个变量的最小项是含n个变量的“与项”，其中每 个变量都以原变量或反变量的形式出现一次。
1个变量 最小项
A A
2个变量 最小项 AB AB AB AB 3个变量 最小项 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
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冗余律
AB A C BC AB A C
数字电子技术基础 第2章
证明若干常用公式
21、A+A ·B=A 证明：A(1+B)=A 22、A+A’ ·B=A+B 证明：利用分配律，(A+A’).(A+B)=1.(A+B) 23、A ·B+A ·B’=A 证明：A.(B+B’)=A.1 24、A ·(A+B)=A 证明：A.A+A.B=A+A.B=A(1+B)=A.1=A
1.2 逻辑式列出真值表
将输入变量取值的所有组合状态逐一代入逻辑式求出函数值， 就得到真值表。
例 2.5.2 P32-33
五、各种表示方法间的相互转换
2、逻辑函数式与逻辑图 的相互转换
2.1 给定逻辑函数式转换 为相应的逻辑图
用逻辑图形符号代替逻辑 函数式中的逻辑运算符号 并按运算顺序将它们连接 起来。
1、真值表与逻辑函数式的相互转换 1.1 由真值表写出逻辑函数式
1）找出真值表中使逻辑函数Y=1的那些输入变量取值的组合。 2）每组输入变量取值的组合对应一个乘积项，其中取值为1的
写入原变量，取值为0的写入反变量。 3）将这些乘积项相加，即得Y的逻辑函数式。 例 2.5.1 P32
IEC （International Electrotechnical Commission，国 际电工协会）
异或，同或
异或：
输入A,B 不同时，输出Y为1；输入A,B 相同时，输 出Y为0。
Y=A⊕ B=A· B’+A’ · B
或：
输入A,B 不同时，输出Y为0；输入A,B 相同时，输 出Y为1。
证明若干常用公式
25、A ·B+A’ ·C+B ·C=A ·B+A’ ·C 证明：=A.B+A’.C+B.C(A+A’) =A.B+A’.C+A.B.C+A’.B.C =A.B(1+C)+A’.C.(1+B)=A.B+A’.C 同样可证明：A ·B+A’ ·C+B CD=A ·B+A’ ·C 26、A ·(A ·B)’=A ·B’; A’ ·(A·B)’=A’ 证明：A.(A’+B’)=A.A’+A.B’=A.B’
逻辑代数的基本运算
2.1 逻辑代数
❖
Y=A·B或Y=AB
(2-1)
❖ 式中的小圆点“·”表示A,B的与运算，又叫逻辑乘。在不致引起混淆的 前提下乘号“·”可以被省略，而写成Y = AB。在有些文献里，用符号∧、 ∩表示与运算请读者注意。在电路中，与逻辑的逻辑符号如图2-1(b)所 示。
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(2-7)
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2.1 逻辑代数
❖ 5.与或非运算
❖ 这是一个很典型的组合逻辑运算，从字面上也可以看出，它是与运算、 或运算和非运算3种逻辑运算的组合。如图2-8所示是其逻辑符号，如图 2-9所示是其等效逻辑电路图
❖ 逻辑表达式为
❖
Y AB CD
(2-8)
❖ 真值表如表2-11所示。
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2.1 逻辑代数
❖ 仿照前面的方法，用0和1表示的或逻辑真值表如表2-4所示，用逻辑表 达式描述可写为
❖
Y=A+B
(2-2)
❖ 式中的符号“+”表示A,B的或运算，也称为逻辑加。在有些文献里，用
符号∨, ∪表示或运算，请读者注意。在电路中或逻辑的逻辑符号如图2-
2(b)所示。
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内，就判断为1(或0)状态。 ❖ 3.正、负逻辑的规定 ❖ 用“1"表示高电平，用“0"表示低电平
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第二节 逻辑代数的基本定律 和逻辑函数的化简
❖ 一、逻辑代数的基本公式
❖ 1.变量和常量的关系定律 ❖ (1)0、1律 ❖ A+0=A ❖ A+1=1 ❖ A·0=0 ❖ A·1=A ❖ (2)互补律 A+A=1 A·A=0
2.1 逻辑代数
逻辑代数及其应用基础知识讲解
公式（12a）的证明（公式推导）：
左 A AB ( A A)(A B) 1( A B) A B 右
2.2 代入定理及其应用
• 代入定理
------在任意一个包含变量A的等式中，若用任何一个逻 辑式代替等式中的A，则等式仍然成立。
代入定理
• 应用举例： 式（8a） 式 A A 1
可将任何一个函数化为 mi
• 例：
Y ( A, B,C ) ABC AC BC ABC AC(B B) BC( A A) ABC ABC ABC ABC ABC m3 m6 m4 m5 m1
m(1,3,4,5,6)
2. 逻辑函数式的最小项之和形式：
2. 逻辑函数最小项之和的形式：
• 例：
Y ( A, B,C, D) ( AD AD BD CD) ( AD) ( AD) (BD) (CD) ( A D) ( A D) (B D) (C D) ABD ACD ABD(C C) ACD(B B) ABCD ABCD ABCD ABCD
为1时都使Y=1，所以
1 0 0 1 ABC 1
1 010 Y ( A, B,C) ABC ABC ABC 1 1 0 0
1 110
• 真值表 逻辑式：
1. 从真值表中找出所有使函数值等于1 的输入变量取 值。
2. 上述的每一组变量取值下，都会使一个乘积项的值 为1。在这个乘积项中，取值为1的变量写入原变量， 取值为0的写入反变量。
• 波形图
真值表
例：将波形图上不同时间段中A、B、C与Y的取值对应
逻辑函数式的标准形式：最小项之和
1. 最小项及其性质
最小项 m： • m是乘积项 • 包含n个输入变量 • n个输入变量都以原变量或反变量的形式在m中
第二章 逻辑代数基础
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第2章
2.3 复 合 逻 辑
1.与非逻辑
F = AB
2.或非逻辑 F = A+B
3. 与或非逻辑
F = AB+CD
A &F
A
F
B
B
与非门
A
F
≥1
B
或非门
A
B&
F
C
D
与或非门
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第2章
2.3 复 合 逻 辑
4.异或逻辑—相同为‘0’，相异为‘1’
F = A B =A B + A B
A） F1= [( A+ B) •C + D]( A+ C)
B） F2= A•B •C •D •E
[例2] 求下列函数的对偶函数 A）F1= AB+ C •D + AC B） F2= A+ B + C + D + E
A） F1*=[( A+ B) •C + D]( A+ C)
B） F2*=A•B •C •D •E
n个变量有2n个最小项，记作mi 3个变量有23（8）个最小项
n个变量的最小项，有n个相邻项
最小项 ABC ABC ABC ABC A BC A BC AB C ABC
二进制数 000 001 010 011 100 101 110 111
十进制数 0 1 2
3
45 67
编号
m0 m1 m2
m3
m4 m5
A⊕A⊕A⊕A⊕…⊕A = ? A (A的个数为奇数）
An-1⊕An-2⊕…⊕A0 = ?
0 (Ai中‘1’的个数为偶数) 1 (Ai中‘1’的个数为奇数）
2.1-2.3基本逻辑运算和规则
逻辑运算又称布尔运算
布尔用数学方法研究逻辑问题，成功地建立了逻辑 演算。他用等式表示判断，把推理看作等式的变换。
逻辑运算 (logical operators) 通常用来测试真假值 作用：
最常见到的逻辑运算就是循环的处理，用来判 断是否该离开循环或继续执行循环内的指令。
基本概念
1.逻辑常量：逻辑常量只有两个，即0和1，用来表示两 个对立的逻辑状态。
常用符号
A
0 1
F
1 0
用“——”表示“非”. （逻辑否定）
复合逻辑
复合逻辑运算和复合门
与非 F AB
A B A B A B
&
或非 F A B
A B A B A B
与或非
F AB CD
F F
1
F F
A B C D
& 1
F
F
F
异或运算
F AB AB A B
异或逻辑运算真值表
逻辑符号：
A B A B A B A B A B A B
1
F
A
0 0 1 1
B
0 1 0 1
F
0 1 1 0
相同为 0 不同为 1 逻辑符号：
F
F
同或运算 F AB AB A B
同或逻辑运算真值表
F
A
0 0 1 1
B
0 1 0 1
F
1 0 0 1
F
不同为0 相同为1
1、与运算（逻辑乘）
A E B F
表达式： 逻辑符号：
F A B AB
A B A B A B
&
F F
逻辑代数基本公式及定律
一、基本定律
或运算规则:
0+0=0 ，0+1=1 ，1+0=1，1+1=1
A 0 A , A 1 1, A A A, A A 1
与运算规则:
0•0=0
非运算规则:
0•1=0
1 0
1•0=0
0 1
1•1=1
（2）
求证: （分配律第2条） A+BC=(A+B)(A+C) 证明: 右边 =(A+B)(A+C) =AA+AB+AC+BC =A +A(B+C)+BC ; 分配律 ; 结合律 , AA=A
=A(1+B+C)+BC ; 结合律 =A • 1+BC ; 1+B+C=1 =A+BC =左边 ; A • 1=A
（3）
五、德 摩根定理(反演律） （De Morgan)
AB A B A B AB
1 2
证明： 真值表法、 穷举法
推广到多变量：
ABC A B C
A B C ABC
说明：两个（或两个以上）变量的与非（或非） 运算等于两个（或两个以上）变量的非或（非 与）运算。
证明：
A· A· B=A
A· A· B = A·(A+B) =A · B
(A+B)=A A· A· B= A· A· A· B= ?
A × A √ A· B A· B × ×
（9）
§ 2.4 逻辑代数的基本定理
2.4.1 代入定理
内容：在任何一个包含变量A的逻辑等式中， 若以另外一个逻辑式代替式中所有的变量A， 则等式仍然成立。
逻辑代数的基本运算
AB
1 1 1 0
A B
1 1 1 0
A B
1 0 0 0
AB
1 0 0 0
第2章 逻辑代数基础
2.2.2 三个重要规则
1. 代入规则
任何一个逻辑等式，如果将等式两边所出现的某一变量都
代之以同一逻辑函数，则等式仍然成立，这个规则称为代入 规则。 由于逻辑函数与逻辑变量一样，只有0、1两种取值， 所以代入规则的正确性不难理解。运用代入规则可以扩大基 本定律的运用范围。
AB= AB
A B= A B A =A
第2章 逻辑代数基础
1.变量和常量的关系 0-1律、自等律、重叠律和互补律都是属于变量和常量 的关系式。由于逻辑常量只有0、1两种取值，因此逻辑变 量与常量的运算结果可直接根据三种基本逻辑运算的定义
推出。这些定律也称为公理，可以用来证明其他公式。
第2章 逻辑代数基础
例如，已知乘对加的分配律成立，即 A(B+C)=AB+AC ，
根据对偶规则有，A+BC=(A+B)(A+C)，即加对乘的分配律
也成立。
第2章 逻辑代数基础
2.2.3 若干常用公式
1. 合并律 证：
AB AB A
AB+A B =A （B+ B ） =A 1=A
在逻辑代数中，如果两个乘积项分别包含了互补的 两个因子(如B和B)， 而其它因子都相同，那么这两个乘 积项称为相邻项。 合并律说明，两个相邻项可以合并为一项， 消去
互补量。
第2章 逻辑代数基础
表 2.2.3 若干常用公式
名称 合并律 1 吸收律○ 2 吸收律○ 3 吸收律○
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7
8 9
0111
1000 1001
1010
1011 1100
1101
1110 1111
1100
1101 1111
1111
1110 1010
其中8421码也称BCD码（ Binary-Coded-Decimal）
二、格雷码
格雷码（Gray码）也称循环码，反射码。
特点：1.每一位的状态变化都按一定的顺序循环。
0 0
1
0 1
0
1
1
逻辑符号
A B ≥1
A Y B Y A B ＋ Y
3. “非”逻辑
R
E A Y
真值表
A 0 1
Y 1 0
A条件具备时 ，事件 Y不发生；A不具 备时，事件Y一定发生。 逻辑式 逻辑符号
A 1
Y A'
Y
A
Y
A
Y
4. 几种常用的逻辑运算
“与”、“或”、“非”是三种基本的 逻辑运算，任何其它的逻辑运算都可以 以它们为基础表示。
变量A和包含A的和相乘时，其结果等于 A，即可以将和消掉。
(25) AB A' C BC AB A' C
证明： AB A' C BC 1 吸收
AB A' C ( A A) BC AB A' C ABC A' BC
AB A' C
若两个乘积项中分别包含 A和A’ 两个因子，
而这两个乘积项的其余因子组成第三个 乘积项时，则第三个乘积项能消去。
AB A' C BCD AB A' C
(26 ) A( AB)' AB' A' ( AB)' A'
证明： A( AB)' A( A' B ' ) AB' A' ( AB)' A' ( A' B ' ) A' A' B ' A'
三种基本运算：与（AND）、 或（OR）、非（NOT）
1. “与”逻辑
A
B
Y 灭 灭 灭 亮
断 断
通 通
断 通
断 通
A、B条件都具备时，事件Y才发生。
逻辑代数的描述方法
A 断 断 通 通 B 断 通 断 通 Y 灭 灭 灭 亮 A 0 0 1 B 0 1 0 Y 0 0 0 1
真值表
1
1
用0表示开关断开、1表示开关闭合 用0表示灯灭、1表示灯亮
小结： 掌握逻辑代数的基本公式和常用公式。
（21）A+AB=A 证明： A+A • B
=A •(1+B)
=A • 1
在两个乘积项相加时， 若其中一项以另一项 为因子，则该项是多 余的，可以删去。
=A 利用运算规则可以对逻辑式进行化简。
例如： AB CD ABD( E F ) AB CD 被吸收
(22) A A' B A B
当A和一个乘积项的非相乘，且A为乘积项的因子 时，则这个因子可以可以消去。 当A’和一个乘积项的非相乘，且A为乘积项的因 子时，其结果就等于A’。
逻辑代数的常用公式
(21) A AB A (22) A A' B A B (23) AB AB' A (24) A( A B) A (25) AB A' C BC AB A' C AB A' C BCD AB A' C (26) A ( AB)' AB' A'( AB)' A'
例：用二进制补码运算求出
13＋10 、13－10
解：
13 0 01101 10 0 01010 23 0 10111
13 0 01101 10 1 10110 3 0 00011
结论：将两个加数的符号位和来自最高数值 位的进位相加结果就是和的符号
1.5 几种常用的编码
一、十进制代码 几种常用的十进制代码
0000
0001 0010 0011 0100 0101
6 7
0110 0111
0101 0100
14 15
1110 1111
1001 1000
三、美国信息交换标准代码（ASCII)
ASCII为一组七位二进制代码，共128个
应用：计算机和通讯领域
小结
基本要求： 1. 掌握数制转换方法； 2. 掌握原码、补码的概念。 3. 掌握BCD码的构成。
数字电子技术基础
河北科技大学信息学院
内容回顾
几种常用的数制 十进制，二进制，八进制，十六进制
任意进制数 展开式的普遍形式：
D Ki N i
不同数制间的转换
二进制
十进制
二进制
二进制
十六进制
八进制
十六进制
十进制
二进制数的原码、反码、补码： 原码：带符号位的二进制数，正数的符号位为0， 负数的符号位为1。 反码：正数的反码和它的原码相同 负数的反码 = 原码的数值位逐位求反 补码：正数的补码和它的原码相同 负数的补码 = 原码的数值位逐位求反+1
0
1
0
0 1 0
A' B
0
1 0 0
AB' A' B
0
1 1 0
0
0 1 1
0
1 0 1
1
0
0 (A的个数为偶数) A A A A A (A的个数为奇数)
2.3.2 逻辑代数的常用公式
(21) A AB A (22) A A' B A B (23) AB AB' A (24) A( A B) A (25) AB A' C BC AB A' C AB A' C BCD AB A' C (26) A ( AB)' AB' A'( AB)' A'
④异或逻辑
当A，B不相同时输出Y为1；而A，B相同时 输出Y为0，即“相异为1，相同为0”。 A B Y
0 0 1 1
Y AB' A' B
0 1 0 1
0 1 1 0
⑤同或逻辑
当A，B相同时输出Y为1；当A，B不同时 输出Y为0 ，即“相异为0，相同为1” 。 A B Y
0 0 1 1
Y AB A' B'
证明： A A' B ( A A' )( A B)
A B
两个乘积相加时，如果一项取反后是另一项 的因子，则此因子是多余的，可以消去。
(23) AB AB' A
当两个乘积项相加时，若它们分别包含B和B’ 两个因子而其他因子相同，则两项定能合并，且 可将B和B’消去。
(24) A( A B) A
0 1 0 1
1 0 0 1
2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式
2.3.1 基本公式
逻辑代数的基本公式见下表
1 2 3 4 5
0· A=0 A· 1=A
11 12 13 14 15
A+1=1 A+0=A
A A A
A A A
A A' 1 A+B=B+A A+(B+C)=(A+B)+C A+B • C=(A+B)(A+C)
①与非逻辑
A
0
B
0
Y
1 1 1
0
1 1
1
0 1
0
②或非逻辑
A
0 0 1 1
B
0 1 0 1
Y
1 0 0 0
③与或非逻辑
A B C D Y
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0
十进制数 0 1 2 3 4 5 6 8421码 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 余3码 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 2421码 0000 0001 0010 0011 0100 1011 1100 5211码 0000 0001 0100 0101 0111 1000 1001 余3循环码 0010 0110 0111 0101 0100 1100 1101
摩根定理
( A B )' A' B '
可以用列真值表的方法证明：
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 AB 0 0 0 1
(AB)'
A'
1 1 0 0
B'
A' B'
1 1 1 0
1 0 1 0
1 1 1 0
【例】用列真值表的方法证明：
A B AB' A' B
A
B
A B AB'
逻辑代数的描述方法 真值表
A 0 0 1
1
逻辑式
Y
0 0 0 1
B 0 1 0
1
Y=A•B或AB
逻辑符号
A B
&
Y A B
A Y B
Y
2. “或”逻辑