连续系统离散化处理基本方法

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连续系统模型的离散化处理方法

只要T不变，三个系数均不变，可以在仿真前预先计算好，这样就减少了以后的计算工作量。加入一个理想滤波器,保留输入信号主频段,滤掉附加的频谱分量,不失真
在离散化后，模型精度变差，可能不稳定。
S域到Z域的最基本映射关系是：Z=e （T— TS 数值积分法：将微分方程转换成差分方程，这中间是一步步离散，每一步离散都用到连续系统的原模型，这样的速度就慢了。
TeAT
m T
T eATA Bd
0
xKTTTxKTmTUKT
x(k1) TxkmTUk
B 当输入函数u（KT）在两采样点间线性变化时（一阶保持）
uuKTukT
p
T
TeATABd
0
xkTTTxkTmTUkTpTUkT
xk1TxkmTUkpTUk
当连续系统状态方程系数A、B已知时，
可求出……
此法相比于数值积分法；只要T不变，三个系数均不变，可以在仿真前预先计算好，这样就减少了以后的计算工作量。
2 典型环节的离散状态方程
A 积分环节：G（S）=K/S f1=x2 ; f2=x3 ;
依据各环节的连接关系及外部作用函数稳定性不及双线性替换法，Ts或信号重构器选择不当，离散模型的稳定性变差
二、Z域离散相似方法
1 基本方法
G z
y z u z
z G h s G s
1
z
s a
z exp( aT )
e TS 1 z
1 z
s
z 1
1
Tz
s* s
( z 1 )( z 1 )
Gz
yz uz
zGh
sGs
Gs k
sa
Gh
s
1

第6章连续系统的离散化方法及近似解

第6章连续系统的离散化方法及近似解在连续系统中，我们经常需要将其离散化为离散系统以便于分析和求解。

离散化方法能够将连续系统的微分方程转化为差分方程，从而得到近似解。

本章将介绍连续系统的离散化方法及近似解的计算。

连续系统的离散化方法有许多种，常见的有Euler方法、Runge-Kutta方法和有限差分方法等。

其中，Euler方法是最简单和最基础的离散化方法，其基本思想是将连续时间轴划分为若干个小时间间隔，并用差分逼近连续系统的导数。

具体地，对于一阶常微分方程：\[\frac{{dy}}{{dt}} = f(y, t)\]可以使用Euler方法将其离散化为：\[y_{n+1} = y_n + h \cdot f(y_n, t_n)\]其中，$y_n$是时间点$t_n$的近似解，$h$是时间步长。

Runge-Kutta方法是一种更精确的离散化方法，其基本思想是利用多个中间步骤来更准确地逼近连续系统的导数。

常见的是四阶Runge-Kutta 方法，其公式为：\[y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6} \cdot (k_1 + 2k_2 + 2k_3 +k_4)\]其中\[k_1=f(y_n,t_n)\]\[k_2 = f(y_n + \frac{h}{2}k_1, t_n + \frac{h}{2})\]\[k_3 = f(y_n + \frac{h}{2}k_2, t_n + \frac{h}{2})\]\[k_4 = f(y_n + hk_3, t_n + h)\]这样可以得到更准确的近似解。

有限差分方法是一种常用的离散化方法，其基本思想是将连续的导数用差分逼近。

以二阶偏微分方程为例，该方程的一般形式为：\[\frac{{\partial^2u}}{{\partial x^2}} +\frac{{\partial^2u}}{{\partial y^2}} = f(x, y)\]可以使用中心差分公式将其离散化为：\[\frac{{u_{i+1,j} - 2u_{i,j} + u_{i-1,j}}}{{\Delta x^2}} + \frac{{u_{i,j+1} - 2u_{i,j} + u_{i,j-1}}}{{\Delta y^2}} =f_{i,j}\]其中，$u_{i,j}$ 是近似解在网格点 $(i, j)$ 处的值，$\Delta x$ 和 $\Delta y$ 分别是网格在 $x$ 和 $y$ 方向的步长，$f_{i,j}$ 是离散化后的右侧函数。

连续传递函数离散化的方法与原理

连续传递函数离散化的方法与原理连续传递函数离散化是将连续时间域中的传递函数转换为离散时间域中的传递函数的过程。

在控制系统设计中，离散化是非常重要的一步，因为大多数数字控制器本质上只能处理离散的输入和输出信号。

离散化方法的选择对系统的稳定性、性能和可实现性都有很大的影响。

离散化方法分为两大类：时域方法和频域方法。

时域方法根据传递函数的时间响应，或者根据传递函数的微分方程进行转换。

频域方法通过拉普拉斯变换和z变换之间的等价关系进行转换。

时域离散化方法：1. 脉冲响应不变法（Impulse Invariance Method）：这是最常用的离散化方法之一、它通过将连续时间系统的脉冲响应对应到离散时间系统的单位冲激响应上来实现离散化。

该方法的原理是保持连续系统和离散系统的单位冲激响应相同，从而尽可能保持系统的动态特性。

2. 零阶保持法（Zero Order Hold Method）：这个方法假设连续时间系统在每个采样周期内是恒定的，即将采样周期内的连续时间系统输出等效为一个恒定值。

这个方法的原理是根据离散系统的输出间隔和连续时间系统的采样间隔，使用插值方法得到离散系统的输出值。

3. 一阶保持法（First Order Hold Method）：这个方法在零阶保持法的基础上改进，考虑了连续时间系统在每个采样周期内的变化趋势。

它假设连续时间系统在每个采样周期内是线性变化的。

通过插值方法得到离散系统的输出值。

4. 向后微分法（Backward Difference Method）：这个方法根据连续时间系统微分方程中的向后差分近似来实现离散化。

它假设离散时间系统输出的变化率等于连续时间系统输出的变化率。

频域离散化方法：1. 频率响应匹配法（Frequency Response Matching Method）：这个方法将连续时间系统和离散时间系统的频率响应函数进行匹配，使它们在一定频率范围内的增益和相位相近。

通过频率响应函数的等价性，可以使用拉普拉斯变换和z变换之间的关系得到离散时间系统的传递函数。

连续系统离散化方法

其中 y ( kT ) 为到 kT 时刻的阴影总面积。对式（5.15）进行 Z 变换，并整理得到
Y ( z ) T 1 + z −1 = X ( z ) 2 1 − z −1
（5.16）
图 5-5 梯形面积近似积分
D( z ) = D( s )
由式（5.16），也可得双线性变换：
s=
2 1− z −1 T 1+ z −1
3、双线性变换法
双线性变换法又称突斯汀（Tustin）法，是一种基于梯形积分规则的数字积分变换方法。由 Z 变换定义 z = e ，将 e 改写为如下形式：
Ts Ts
第 2 章计算机控制系统的信号转换
Ts
21
eTs =
e2 e
− Ts 2
（5.12）
然后将分子和分母同时展成泰勒级数，取前两项，得：
Ts 2 z= Ts 1− 2 1+
由上式计算出 s ，得双线性变换公式。
（5.13）
s=
2 1 − z −1 T 1 + z −1
T [ x[(k − 1)T ] + x( kT )] 2
（5.14）
另外，由图 5-5 所示的梯形面积近似积分可得
y (kT ) = y[(k − 1)T ] +
（5.15）
s=Biblioteka z −1 T(5.11）
另外还可将 z 级数展开：
z = eTs = 1 + Ts +
T 2s2 + ... 2
20
第 2 章计算机控制系统的信号转换
取一阶近似 z ≈ 1 + Ts ，也可得到：
s=
z −1 T

控制系统仿真及MATLAB语言-连续系统的离散化方法

tyode45?rigid?0120结果如图图中数值算法的稳定性特征根在数值算法的选择原则matlab提供了微分方程数值求解的一般方法作为仿真算法的使用者而应关心各种方法在使用中会出现的问题精度受算法和影响截断误差计算速度受算法和影响算法简单速度就快些
第四章连续系统的离散化方法
2021/4/10
1
ba12
a2
a2
1 12
a2b1 1 2
三个方程，四个未知数，解不唯一
2各021/个4/10系数的几种取法——见书上。
12
3) r=4时，四阶龙格库塔公式-最常用：
h
xk 1
xk
( 6
K1
2K2
2K3
K4
)
K1 f tk ,xk
K2
K3
f f
tk
tk
h 2
,
xk
h 2 , xk
2 病态系统中绝对值最小的特征值对应于系统动态性能解中瞬态分量衰减最慢的部分，它决定了整个系统的动态过渡过程时间的长短。一般与系统中具有最小时间常数Tmax的环节有关，要求计算步长h取得很大。
3 对于病态问题的仿真需要寻求更加合理的算法，以解决病态系统带来的选取计算步长与计算精度，计算时间之间的矛盾。
在仿真中，对于n阶系统，状态方程可以写成一阶微分方程
xi ai1x1 ai2 x2 ain xn biu fi (t, x1, x2, x3, , xn )(i 1, 2, , n)
2021/4/10
14
根据四阶龙格-库塔公式,有
T=tk+h时刻的xi值
T=tk时刻的xi值
xk 1 i
2021/4/10 K3 [k13

计算机控制06离散化设计与连续化设计方法

计算机控制06离散化设计与连续化设计方法离散化设计方法是指将连续系统离散化为离散系统的设计方法。

在离散化设计中，连续系统的时间和状态被离散化成一系列离散时间和状态。

离散化设计的基本原理是将连续时间转换为离散时间，将连续状态转换为离散状态。

离散化设计的方法主要包括离散化采样和离散化控制。

离散化采样是指将连续时间变量转换为离散时间变量的方法。

常见的采样方式有周期采样和非周期采样。

周期采样是指以固定时间间隔对连续时间进行采样，而非周期采样是指根据需要对连续时间进行不规则的采样。

离散化采样的目的是为了得到连续系统在离散时间点上的状态。

离散化控制是指将连续控制转换为离散控制的方法。

离散化控制的关键是将连续时间域的控制器转换为离散时间域的控制器，以实现对离散系统的控制。

离散化控制的常用方法包括脉冲响应、零阶保持和减少模型等。

离散化设计方法在很多领域都有应用。

在工业领域，离散化设计可以应用于过程控制系统、机器人控制系统和自动化生产线等。

在交通系统中，离散化设计可以应用于交通信号控制系统和车辆路线规划等。

在电力系统中，离散化设计可以应用于电力系统调度和电网控制等。

离散化设计方法可以提高系统的控制性能和稳定性，并且可以减少系统的复杂度和计算量。

连续化设计方法是指将离散系统连续化的设计方法。

在连续化设计中，离散系统的时间和状态被连续化为连续时间和状态。

连续化设计的基本原理是将离散时间转换为连续时间，将离散状态转换为连续状态。

连续化设计的方法主要包括插值方法和逼近方法。

插值方法是指根据已有离散数据点的值，通过插值技术推导出在两个离散数据点之间的连续数据点的值。

插值方法的常见技术有线性插值、多项式插值和样条插值等。

插值方法的目的是为了得到在离散系统状态之间的连续状态。

逼近方法是指通过逼近离散时间的函数来表示离散状态之间的连续状态。

逼近方法的常见技术有函数逼近、泰勒展开和傅里叶级数展开等。

逼近方法的目的是为了得到在离散系统状态之间的连续时间。

连续系统的离散化方法课件

离散化方法的意义
精确性
离散化方法可以提供对连续系统的精确近似，特别是在计算机仿真和数字控制系统中。
可计算性
离散化方法可以将不可计算的分析转化为可计算的形式，便于进行数值计算和控制器设计。
离散化方法的应用场景
01
02
03
数字控制
在数字控制系统中，连续系统的离散化是必要的步骤，以便在数字计算机上进行数值计算和控制。
小波基选择
常用的小波基包括Haar小波、Daubechies小波、Morlet 小波等。
误差分析
小波变换法的误差主要来自于变换误差和离散化误差。
05
离散化方法的评估与优化
评估离散化方法优劣的标准
01
02
03
04
精度
离散化方法是否能准确代表原连续系统。
稳定性
离散化方法在一定参数变化范围内是否能保持稳定。
状态空间模型
用状态变量和输入、输出变量描述连续系统的动态特性。
状态空间模型通常形式为：`x'(t) = Ax(t) + Bu(t)` 和 `y(t) = Cx(t) + Du(t)`，其中 `x(t)` 表示系统状态，`u(t)` 表示系统输入，`y(t)` 表示系统输出，`A`, `B`, `C`, `D` 是系数矩阵。
化率。
通过求解 ODE，可以得到系统在任意时刻的状态。
传递函数
表示连续系统在输入和输出之间的传递特性。
传递函数通常形式为：`G(s) = Y(s) / U(s)`，其中 `Y(s)` 和 `U(s)` 分别是输出和输入的拉普拉斯变换，`s` 是复变
量。
通过分析传递函数的零点、极点和增益，可以得到系统的稳定性和性能特性。

tustin离散化方法

Tustin方法（也称为Bilinear变换或双线性变换）是一种用于将连续时间系统（模拟系统）离散化为离散时间系统的方法之一。

它是一种广泛使用的数值方法，尤其适用于将连续时间系统转换为数字控制系统。

Tustin方法的离散化步骤如下：1. 连续时间系统：首先，考虑一个具有传递函数H(s)的连续时间系统，其中s是复变量。

传递函数通常具有以下形式：H(s)=N(s) D(s)其中，N(s)和D(s)是多项式，表示系统的分子和分母。

2. 替换s：使用Tustin方法，我们将s替换为离散时间z上的特定映射。

Tustin方法使用双线性变换：s=2Tz−1 z+1其中，T是采样时间。

3. 替换H(s)：将s替换为上述表达式，得到离散时间系统的传递函数：H(z)=N(2Tz−1z+1) D(2Tz−1z+1)4. 优化H(z)：通常，为了方便分析和实现，可以对H(z)进行代数化简，例如通过因式分解或部分分数展开。

5. 数字实现：将H(z)转换为数字控制系统的形式，例如差分方程或脉冲响应。

示例：假设有一个连续时间系统的传递函数为：H(s)=s+1s2+3s+2采样时间T为 0.1 秒，应用Tustin方法：s=2Tz−1 z+1将其代入传递函数，进行代数化简，最终得到离散时间系统的传递函数。

这就是Tustin方法的基本过程。

它是一种将连续时间系统转换为离散时间系统的常用方法，具有一定的数值稳定性和频率响应特性。

在数字控制系统设计中，经常使用这样的方法来进行系统离散化。

连续时间系统状态方程的离散化

1 −2T 1/ 2(1−e ) 4(2T+e −1) dt= 1 −2t e (1−e−2T) 2
说明：（1）当T选定后（如T＝0.5秒）G(t)和 H(t)都是确定的系数矩阵 (2)离散化后得状态方程，可按递推法或 Z变换法求出解
x(k ) = Φ (k ) x(0) + ∑ Φ (k − j − 1) Hu ( j )
2.6
连续时间系统状态方程的离散化－需先将其状态方程化为离散方程
(1)用计算机对连续时间系统状态方程求解
（2）对连续受控对象进行计算机在线控制－受控对象模型离散化
ɺ x = Ax + Bu y = Cx
假设：(1)t=kT,T为采样周期，且很小,k=0,1,2…为一正整数（2）u(t)只在采样时离散化，即在 kt≤t≤(k+1)T,u(t)=u(kT)=常数，0阶保持一、线性定常系统状态方程的离散化－（按非齐次状态方程解，求出）线性定常系统状态方程的解为： t x ( t ) = Φ ( t − t 0 ) x ( t 0 ) + ∫ Φ ( t − τ)Bu (τ)dτ
方法1、线性定常系统离散化
1 1− e−t (1)a、e = L [sI − A] = −t 0 e −T ∗ AT 1 1− e b、G (t) = e = −T 0 e T + e−T −1 T AT T 1 1− e−t 0 ∗ c、H (T)∫0 e Bdt= ∫0 −t 1dt = −T 0 e 1− e d、x[(k +1)T] = G∗(T)x(kT) + H∗(T)u(kT) 1 1− e−T x1(kT) T + e−T −1 = −T x (kT) + −T u(kT) 1− e 0 e 2

计算机仿真技术基础第4章连续系统模型的离散化处理方法

1 S2
Z 1 TZ
Z • Z 12
T Y(Z) Z 1 U(Z)
Ｚ反变换得差分方程：
y(n 1) y(n) Tu(n)
２）选用一阶保持器
Gh ( S )
T 1 TS 1
e TS S
2
离散化传递函数 G(Z ) Gh(S )G(S )
T
1
TS
1
e TS S
2
1
S
Y CX DU
t
状态方程的解 X (t) (t)X (0) (t )Bu( )d
采用零阶保持器对状态空间表达0式进行离散化处
理
u(t )
u(k )
零阶保持器
u~(k )
x Ax Bu
x
~x
对e A于T X连(K续T解)
eX A( t()K1)T( tX) X(0(0))
t
根据Ｚ变换理论，Ｓ域到Ｚ域的最基本的
映射关系是：
Z
eTs
或
s 1 ln Z T
其中Ｔ是采样周期
若直接将这个映射关系代入Ｇ(S)得到G(Z)将会很复杂，不便于计算，实际应用中是利用Ｚ变换理论的基本映射关系进行简化处理，得到近似的离散模型。
4.1.1 简单替换法
由幂级数展开式：
eTx 1 Tx (Tx)2 (Tx)n
y(n 1) y(n) T [u(n 1) u(n)] 2
4.2 离散相似法
4.2.1 离散相似法的概念
离散相似法将连续系统模型处理成与之等效的离散模型的一种方法。设计一个离散系统模型，使其中的信息流与给定的连续系统中的信息流相似。或者是根据给定的连续系统数学模型，通过具体的离散化方法，构造一个离散化模型，使之与连续系统等效。

连续函数离散化

连续函数离散化 Prepared on 22 November 2020连续函数离散化替换法传递函数是控制系统应用最广泛的模型描述形式，连续系统为Ｓ域的传递函数G(S)，离散系统为Ｚ域的脉冲传递函数G(Z)。

替换法的基本思想：对给定的连续系统模型G(S)，设法找到Ｓ域到Ｚ域的某种映射关系，将Ｓ域的变量映射到Ｚ平面上，由此得到与连续系统G(S)相对应的离散系统的脉冲传递函数G(Z)。

然后，再由G(Z)通过Ｚ反变换得到系统的时域离散模型——差分方程，从而快速求解。

根据Ｚ变换理论，Ｓ域到Ｚ域的最基本的映射关系是：Ts e Z =或Z Ts ln 1= 其中Ｔ是采样周期若直接将这个映射关系代入G(S)得到G(Z)将会很复杂，不便于计算，实际应用中是利用Ｚ变换理论的基本映射关系进行简化处理，得到近似的离散模型。

简单替换法由幂级数展开式： +++++=!!212n x x x e nx取近似式：Ts e Z Ts +≈=1或：TZ s 1-= 用此式代入G(S)就得到G(Z)，这就是简单替换法，又称Euler 法。

例：二阶连续系统s s s U s Y s G 50400)()()(2+==，001.0=T 解：简单替换法TZ s 1-=代入G(s) 001.0=T 代入双线性替换法取近似式：2121Ts Tse Z Ts -+==或)1()1(2+-=Z T Z s 用此式代入G(S)就得到G(Z)，这就是双线性替换法，又称Tustin 变换。

相当于数值积分法中的梯形法，有较好的性能。

例：二阶连续系统ss s U s Y s G 50400)()()(2+==，001.0=T 用双线性替换法建立差分方程。

解：双线性替换：)1()1(2+-=z T z s 代入G(s) 001.0=T 代入域离散相似法离散相似法将连续系统模型处理成与之等效的离散模型的一种方法。

设计一个离散系统模型，使其中的信息流与给定的连续系统中的信息流相似。

连续系统模型的离散化处理方法课件

离散系统模型
离散系统模型是指系统的状态变化在时间上是离散的，即只在特定的时间点上发生变化。其输入和输出信号也是离散的。这种模型通常用差分方程进行描述。
离散化的定义及其必要性
离散化定义
离散化是将连续时间信号或系统转换为离散时间信号或系统的过程。它涉及对连续信号的采样以及将微分方程转换为差分方程。
数值积分法
数值积分法使用数值方法求解微分方程的解，并将连续时间微分方程转换为离散时间差分方程。常用的数值积分法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
z变换法
z变换法是一种在复平面上进行的离散化方法。它通过将连续时间信号的拉普拉斯变换转换为z变换，将连续系统的传递函数转换为离散系统的传递函数。
02
常用的连续系统模型离散化方法
03
提高精度的方法
为了提高离散系统的精度，可以采用更小的离散化步长，使用更高阶的数值积分方法，或者采用自适应离散化技术等。此外，还可以通过增加离散点的数量和优化插值方法来实现更高精度的离散化。
效率问题
效率定义
离散化对效率的影响
提高效率的方法
效率问题涉及离散化过程的计算复杂度和计算资源消耗。
改进型龙格-库塔法
针对经典四阶龙格-库塔法的不足进行改进，如变步长龙格-库塔法等，以提高数值解的精度和稳定性。
牛顿法
基本牛顿法
利用泰勒级数展开，将非线性方程线性化，通过迭代求解线性方程组来逼近非线性方程的解。该方法收敛速度快，但初始值选取对结果影响较大。
牛顿-拉夫逊法
结合牛顿法和拉夫逊法的特点，通过迭代过程中修改雅可比矩阵，提高求解速度和精度。该方法适用于大规模非线性系统的求解。
THANKS。
保持稳定性的方法
常用的保持稳定性的方法包括选择合适的离散化步长、使用稳定性更好的数值积分方法等。此外，还可以通过引入阻尼项或者采用隐式离散化方案来提高离散系统的稳定性。

连续系统离散化方法

连续系统离散化方法连续系统离散化方法是一种常用的数值计算方法，它将连续系统转化为离散系统，从而使得计算机可以进行处理。

本文将从离散化方法的定义、应用、实现以及优缺点等方面进行介绍。

一、离散化方法的定义离散化方法是指将连续系统转化为离散系统的过程。

在计算机中，所有的数值都是离散的，而实际上很多系统是连续的，比如电路、机械系统、化学反应等等。

离散化方法就是将这些连续系统转化为可以在计算机中处理的离散系统。

离散化方法可以通过采样和量化来实现。

二、离散化方法的应用离散化方法在很多领域都有应用，比如电路设计、控制系统设计、信号处理等等。

在电路设计中，离散化方法可以将连续电路转化为数字电路，从而实现数字信号的处理。

在控制系统设计中，离散化方法可以将连续控制器转化为数字控制器，从而实现数字化自动控制。

在信号处理中，离散化方法可以将连续信号转化为数字信号，从而实现对信号的数字处理。

三、离散化方法的实现离散化方法的实现可以通过采样和量化来实现。

采样是指对连续信号进行离散化，将其转化为一系列的采样值。

量化是指对采样值进行离散化，将其转化为一系列的离散数值。

采样和量化的具体实现方式包括正弦采样、脉冲采样、最大值采样、平均值采样等等。

量化的具体实现方式包括线性量化、对数量化、非线性量化等等。

四、离散化方法的优缺点离散化方法的优点是可以将连续系统转化为离散系统，从而可以在计算机中进行处理。

离散系统具有稳定性、可控性、可观性等优点。

离散化方法的缺点是会引入误差，因为离散化过程中会丢失一些信息。

此外，离散化方法需要选取适当的采样周期和量化精度，否则会影响系统的性能。

离散化方法是一种常用的数值计算方法，它将连续系统转化为离散系统，从而使得计算机可以进行处理。

离散化方法的应用广泛，包括电路设计、控制系统设计、信号处理等等。

离散化方法的实现可以通过采样和量化来实现。

离散化方法既有优点，又有缺点，需要在具体应用中对其进行合理的选择和设计。

34 线性连续系统状态空间模型的离散化

近似法的计算结果为
2. 当T=0.001s时,精确法的计算结果为
近似法的计算结果为
近似离散化方法(6/6)—例3-12
从上述计算结果可知,近似离散法只适用于较小的采样周期。
线性时变连续系统的离散化(1/6)
3.4.2 线性时变连续系统的离散化
线性时变连续系统状态空间模型的离散化,实际上是指在指定的采样周期T下,将连续系统的状态方程
离散系统的工作状态可以分为以下两种情况。 ➢ 整个系统工作于单一的离散状态。 ✓ 对于这种系统,其状态变量、输入变量和输出变量全部是离散量,如现在的全数字化设备、计算机集成制造系统等。 ➢ 系统工作在连续和离散两种状态的混合状态。 ✓ 对于这种系统,其状态变量、输入变量和输出变量既有连续时间型的模拟量,又有离散时间型的离散量，如连续被控对象的采样控制系统就属于这种情况。
线性连续系统状态空间模型的离散化(5/5)
➢ 采样周期T的选择满足申农(Shannon)采样定理,即 ✓ 采样频率2/大于2倍的连续信号x(k)的上限频率。
满足上述条件和假设,即可推导出连续系统的离散化的状态空间模型。 ➢ 下面分别针对 ✓ 线性定常连续系统和 ✓ 线性时变连续系统讨论离散化问题。
线性连续系统状态空间模型的离散化(2/5)
➢ 对于第2种情况的系统,其状态方程既有一阶微分方程组又有一阶差分方程组。
✓ 为了能对这种系统运用离散系统的分析方法和设计方法,要求整个系统统一用离散状态方程来描述。 ❖由此,提出了连续系统的离散化问题。
✓ 在计算机仿真、计算机辅助设计中利用数字计算机分析求解连续系统的状态方程,或者进行计算机控制时,都会遇到离散化问题。
图33连续系统离散化的实现线性连续系统状态空间模型的离散化45线性连续系统的时间离散化问题的数学实质就是在一定的采样方式和保持方式下由系统的连续状态空间模型来导出等价的离散状态空间模型并建立起两者的各系数矩阵之间的关系为使连续系统的离散化过程是一个等价变换过程必须满足如下条件和假设

第四章连续系统的离散化方法

将 K1 K 2 代入式
f f x1 x0 a1hf (t0 , x0 ) a2 h[ f (t0 , x0 ) b1h b2 hK1 ] t t t0 x x x0
a1 a2 1, a2b1 1 1 , a2b2 2 2
比较各项系数得
待定系数个数超过方程个数，必须先设定一个系数，然后即可求得其参数。一般有以下几种取法： 1、 a1 0, a2 1, b1 b2
1
K 2 变化，而是取两者平均值 K h x1 x0 hK x0 ( K1 K 2 ) 2 h x1 x0 ( f 0 f1 ) 2
f
f0 f1
K1 K 2 2
求得校正点，即：
。
0
t0
t1
t
四阶龙格－库塔法的计算公式为：
K1 f (tk , xk )
h xk 1 xk ( K1 2 K 2 2 K 3 K 4 ) 6
x1 x0 hf (t0 , x0 )
其一般公式为
xk 1 xk hf (tk , xk )
f1
f
f0
c
0
t0
t1
t
h2 h3 (2) h k ( k 1) Rn f (t0 , x0 ) f (t0 , x0 ) f (t0 , x0 ) 称为截断误差 2! 3! k! 例4－1 用欧拉法求下述微分方程的数值解。
h h K 2 f (tk , xk K1 ) 2 2 h h K3 f (tk , xk K 2 ) 2 2 K 4 f (tk h, xk hK 3 )
X AX BU
对于用状态方程表示的高阶线性系统 Y CX

连续系统模型的离散化处理方法

计算各环节输出量
打印间隔到否 N
打印Yn+1 计算次数到否 N
结束
*
31
五、离散相似模型的精度与稳定性
离散相似模型只能等效于原来的连续系统其精度受采样周期和信号重构器性能的影响信号重构器存在一定程度的幅值减小和相位
滞后在离散化后，模型精度变差，可能不稳定。
*
32
1 采样周期对精度的影响
Tmin—系统中反应最快的那个闭环子系统的最小时间常数
*
34
2 信号重构器对仿真模型精度的影响
加入一个理想滤波器,保留输入信号主频段,滤掉附加的频谱分量,不失真
理想滤波器不存在,一般用零阶、一阶、三角保持器来近似
3 离散相似模型的稳定性
稳定性不及双线性替换法，Ts或信号重构器选择不当，离散模型的稳定性变差
*
22
离散模型
C 惯性环节
*
23
D 超前-滞后环节
*
24
四、采用离散化模型的系统仿真
把各个环节有机地连接起来。 1 连接矩阵（面向结构图）
1
2
-
-
4
6
5
3 -
a
*
25
*
26
*
27
连接方程
U=w yK U—输入向量 YK—输出向量 W—连接矩阵
*
28
2 仿真计算过程
基本计算单元：各环节的离散化模型
两种形式：传递函数的离散化相似处理— 离散传递函数；连续状态方程的离散相似处理—离散化状态方程
*
11
二、Z域离散相似方法
1 基本方法

*
12
Z反变换得差分模型
*

z变换形式离散化的几种方式

z变换形式离散化的几种方式
在连续系统离散化中，常用的有后向差分离散化方式和双向差分离散化方式。

下面以后向差分离散化为例进行说明，其曲线的斜率表示为：$\frac{T_s}{n}$，这种离散化表示成z变换形式就是：$Z[x(n)]=\frac{X(z)}{z^{nT_s}}$，其中，$T_s$为系统采样时间。

通过对连续系统表达式进行拉普拉斯变换，可以得到理想状态下的PID控制器表达式。

为了在控制器或者计算机系统中实现PID计算，必须将该表达式离散化为离散系统。

将后向差分Z变换表达式带入连续系统拉普拉斯变换表达式，得到增量式PID的差分表达式，其中$K_p$为比例系数、$T_i$为积分时间、$T_d$为微分时间、$T_s$为系统采样时间。

总之，z变换形式离散化的方式有很多种，在实际应用中需要根据具体情况选择合适的方法。

连续系统离散化方法

连续系统离散化方法一、概述连续系统离散化方法是一种将连续系统转化为离散系统的方法，常用于控制系统的设计和分析。

该方法可以将一个无限维度的连续系统转化为有限维度的离散系统，使得控制器设计和分析变得更加简单和可行。

二、连续系统模型在开始进行连续系统离散化的过程中，需要先建立一个连续系统模型。

通常情况下，这个模型可以由微分方程或者差分方程来表示。

三、离散化方法1. 时域离散化方法时域离散化方法是最基本的离散化方法之一。

它通过将时间轴上的信号进行采样，从而将一个连续时间信号转换为一个离散时间信号。

这个过程中需要确定采样周期以及采样点数目等参数。

2. 频域离散化方法频域离散化方法是一种利用傅里叶变换将一个连续时间信号转换为一个频域信号，然后再对该频域信号进行采样得到一个离散时间信号的方法。

这个过程中需要确定采样频率以及采样点数目等参数。

3. 模拟器法模拟器法是一种将连续系统转化为离散系统的方法。

这个方法的核心思想是利用一个数字模拟器来模拟连续系统的行为，从而得到一个离散时间信号。

4. 差分方程法差分方程法是一种将连续系统转化为离散系统的方法。

这个方法的核心思想是利用微分方程在离散时间点上进行近似，从而得到一个差分方程。

四、误差分析在进行离散化过程中，会产生一定的误差。

因此，需要对误差进行分析和评估，以确保离散化后的结果与原始连续系统相近。

五、应用实例1. 机械控制系统机械控制系统中通常需要对连续时间信号进行采样和处理。

通过使用离散化方法，可以将连续信号转换为数字信号，并且可以在数字域上进行控制器设计和分析。

2. 电力电子控制系统电力电子控制系统中通常需要对高频信号进行处理。

通过使用频域离散化方法，可以将高频信号转换为数字信号，并且可以在数字域上进行控制器设计和分析。

六、总结连续系统离散化方法是一种将连续系统转化为离散系统的方法。

通过使用不同的离散化方法，可以将连续时间信号转换为数字信号，并且可以在数字域上进行控制器设计和分析。

连续系统的离散化方法及近似解课件

差分方程
离散化后的控制系统可以用差分方程来描述，差分方程是连续时间微分方程在离散时间域上的对应形式。通过求解差分方程，可以得到离散控制系统的输出响应。
Z变换
Z变换是离散时间信号和系统分析的重要工具，它可以将差分方程转换为代数方程，从而简化离散系统的分析和设计。
电路模拟中的离散化方法及近似解应用
离散系统
离散系统是指系统状态在时间上是离散的，即系统的状态变量只在某些特定的时刻有定义，且在这些时刻间不发生变化。
连续系统与离散系统的区别与联系
区别
连续系统和离散系统最主要的区别在于时间的连续性。连续系统的时间变量是连续的，而离散系统的时间变量是离散的。
联系
两者之间存在密切的联系。实际上，许多连续系统可以通过离散化方法转化为离散系统进行处理，这是因为数字计算机在处理问题时，只能处理离散的时间信号。反之，离散系统的某些理论和方法也可以用来处理连续系统。
连续系统的离散化方法及近似解课件
目录
• 连续系统与离散系统概述 • 连续系统的离散化方法 • 离散系统的近似解法 • 连续系统离散化及近似解的应用案例 • 实验与仿真
01
连续系统与离散系统概述
连续系统与离散系统的定义
连续系统
连续系统是指系统状态在时间上是连续的，即系统的状态变量在任何时刻都有定义且随时间连续变化。
感谢观看
前向差分法：前向差分法使用当前时刻及其前一时刻的输入信号来近似计算下一时刻的输出信号。这种方法简单直观，但离散化误差相对较大。
后向差分法：后向差分法使用当前时刻及其下一时刻的输入信号来近似计算当前时刻的输出信号。相比前向差分法，后向差分法具有较小的离
散化误差。
以上内容即为连续系统的离散化方法及近似解课件的部分内容。在实际应用中，可以根据具体需求和场景，选择合适的离散化方法和参数，以实现连续系统的高效、准确离散化处理。