高考数学(理科)一轮复习抛物线学案附答案
2023年新高考数学一轮复习9-5 抛物线(真题测试)含详解
专题9.5 抛物线（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线24y x =上一点M 到x 轴的距离是2，则点M 到焦点F 的距离为（ ）A B ．2C ．D ．32．（2023·全国·高三专题练习）抛物线21:4E y x =的焦点到其准线的距离为（ ） A ．18B ．14C ．2D ．43．（2022·全国·高考真题（文））设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（ ）A ．2B ．C ．3D ．4．（2021·全国·高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ）A ．1B ．2C ．D ．45．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）．A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP6.（2019·全国·高考真题（文））若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．87．（山东·高考真题（文））已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 ,A B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．1x = B ．1x =- C ．2x =D ．2x =-8.（2017·全国·高考真题（理））已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16B ．14C ．12D ．10二、多选题9．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ） A ．C 的准线为1y =- B ．直线AB 与C 相切 C ．2|OP OQ OA ⋅>D ．2||||||BP BQ BA ⋅>10．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（ ）A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒11．（2022·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，抛物线E 的方程为214y x =，E 的焦点为F ，直线l 与E 交于A ，B 两点，且AB 的中点到x 轴的距离为2，则下列结论正确的是（ ）A ．E 的准线方程为116y =- B ．AB 的最大值为6C ．若2AF FB =，则直线AB 的方程为1y x =+D ．若OA OB ⊥，则AOB 面积的最小值为1612．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线Γ：()220x py p =>，过其准线上的点(),1T t -作的两条切线，切点分别为A ，B ，下列说法正确的是（ ） A ．2p =B ．当1t =时，TA TB ⊥C ．当1t =时，直线AB 的斜率为2D ．TAB △面积的最小值为4三、填空题13．（2018·北京·高考真题（文））已知直线l 过点（1,0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：26y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，线段FA 的长度为半径的圆交C 的准线于M ，N 两点，且A ，F ，M 三点共线，则AF =______．15．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M ，N 两点，且线段MN 的中点是点F ，则该双曲线的离心率等于______.16.（2021·北京·高考真题）已知抛物线24y x =的焦点为F ，点M 在抛物线上，MN 垂直x 轴与于点N .若6MF =，则点M 的横坐标为_______； MNF 的面积为_______．四、解答题17.（2017·北京·高考真题（理））已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点． (1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．18.（2019·全国·高考真题（理））已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．19．（2019·北京·高考真题（理））已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．20．（2022·全国·高考真题（理））设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =． (1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．21.（2020·全国·高考真题（理））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.22.（2021·全国·高考真题（文））已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.专题9.5 抛物线（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线24y x =上一点M 到x 轴的距离是2，则点M 到焦点F 的距离为（ ）A B ．2C ．D ．3【答案】B【分析】有题意可知()1,2M ±,由焦点(1,0)F 则可求出点M 到焦点F 的距离. 【详解】M 到x 轴的距离是2，可得()1,2M ±，焦点(1,0)F 则点M 到焦点的距离为2. 故选:B.2．（2023·全国·高三专题练习）抛物线21:4E y x =的焦点到其准线的距离为（ ） A ．18B ．14C ．2D ．43．（2022·全国·高考真题（文））设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（ ）A ．2B ．C ．3D ．故选：B4．（2021·全国·高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ） A ．1 B ．2 C．D ．45．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）．A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP【详解】如图所示：．故选：B.6.（2019·全国·高考真题（文））若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．87．（山东·高考真题（文））已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 ,A B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．1x = B ．1x =- C ．2x = D ．2x=-8.（2017·全国·高考真题（理））已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16 B ．14C ．12D ．10二、多选题9．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ） A ．C 的准线为1y =- B ．直线AB 与C 相切 C ．2|OP OQ OA ⋅> D ．2||||||BP BQ BA ⋅>所以2212||||(1)||15BP BQ k x x k ⋅=+=+>，而2||5BA =，故D 正确.故选：BCD10．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)Cy px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（ ） A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒33选项；由0OA OB ⋅<，0MA MB ⋅<求得，易得(,0)2p F ，由AF AM =3(4p OA OB ⋅=又(4p MA MB ⋅=-又360AOB AMB OAM OBM ∠+∠+∠+∠=，则180OAM OBM ∠+∠<，D 正确. 故选：ACD.11．（2022·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，抛物线E 的方程为214y x =，E 的焦点为F ，直线l 与E 交于A ，B 两点，且AB 的中点到x 轴的距离为2，则下列结论正确的是（ ）A ．E 的准线方程为116y =- B ．AB 的最大值为6C ．若2AF FB =，则直线AB 的方程为1y x =+D ．若OA OB ⊥，则AOB 面积的最小值为16 ，联立抛物线，由2AF FB =解出A 即可求出面积最小值，即可判断D 选项.【详解】由2AF FB =得直线设直线AB 的方程为4A B x x =-.由于2AF FB =，所以22x =±，所以2124A A y x ==，直线AB 的方程为),y OA ⊥所以AOB 面积的是小值为故选：BCD.12．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线Γ：()220x py p =>，过其准线上的点(),1T t -作的两条切线，切点分别为A ，B ，下列说法正确的是（ ） A ．2p =B ．当1t =时，TA TB ⊥C ．当1t =时，直线AB 的斜率为2D ．TAB △面积的最小值为4220x y ，故AB k C ，切线方程TA ：的方程为1xt y -=-三、填空题13．（2018·北京·高考真题（文））已知直线l过点（1,0）且垂直于x轴，若l被抛物线24y ax=截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：26=的焦点为F，y xA为C上一点且在第一象限，以F为圆心，线段FA的长度为半径的圆交C的准线于M，N两点，且A，F，M三点共线，则AF=______．【答案】6【分析】根据圆的几何性质以及抛物线的定义即可解出．故答案为：6．15．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F与双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M，N两点，且线段MN的中点是点F，则该双曲线的离心率等于______.M在抛物线上，所以M在双曲线上，22cb=-故答案为：16.（2021·北京·高考真题）已知抛物线24y x=的焦点为F，点M在抛物线上，MN垂直x轴与于点N.若6MF=，则点M的横坐标为_______；MNF的面积为_______．FMNS.【FMNS=故答案为：四、解答题17.（2017·北京·高考真题（理））已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点．故A 为线段BM 的中点.18.（2019·全国·高考真题（理））已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |． 利用3AP PB =可得y ()22,B x y 1252x x ∴+= 3AP PB = ∴则419AB =+⋅19．（2019·北京·高考真题（理））已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．D p，过F的直线交C于20．（2022·全国·高考真题（理））设抛物线2=>的焦点为F，点(),0:2(0)C y px pMF=．M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，3(1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．21.（2020·全国·高考真题（理））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.）(),0F c ，的方程为x =21c=+，解得抛物线2C 的方程为24y cx =，联立24x c y cx=⎧⎨=⎩，43CD =即223c ac +01e <<，解得（2）[方法一由椭圆的第二定义知所以12-a22.（2021·全国·高考真题（文））已知抛物线2=>的焦点F到准线的距离为2．C y px p:2(0)（1）求C的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值. ，则(99PQ QF ==-)09,10y ，由P 在抛物线上可得Q 的轨迹方程为的斜率0025OQ y k x ==(1,0),9=PQ QF ，所以29(1)9x y =-=-，所以的斜率为244=y x t 方法四利用参数法，由题可设()24,4(0),(,)>P t t t Q x y ，求得x,y 关于t 的参数表达式，得到直线OQ 的斜率关于t 的表达式，结合使用基本不等式，求得直线OQ 斜率的最大值.。
2023年高考数学一轮复习精讲精练第29练 抛物线(解析版)
第29练 抛物线学校____________ 姓名____________ 班级____________一、单选题1．抛物线22y x =的焦点到其准线的距离是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A 【详解】解：抛物线22y x =的焦点为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为12x =-，所以焦点到准线的距离11122d ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭； 故选：A2．已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，6PF =，则点P 的横坐标为（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．2【答案】C 【详解】解：设点P 的横坐标为0x ，抛物线28y x =的准线方程为2x =-， 点P 在抛物线上，||6PF =，026x ∴+=，04x ∴=．故选：C ．3．过点()1,2-，且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是（ ） A ．24y x = B ．24y x =-C ．212=-x yD ．212x y =【答案】C 【详解】解：依题意设抛物线方程为2x my =，因为抛物线过点()1,2-， 所以()212m =⨯-，解得12m =-，所以抛物线方程为212=-x y ；故选：C4．抛物线24y x =上A 点到焦点F 的距离为1716，则点A 的纵坐标为（ ）A ．1B ．1716C ．116D ．916【答案】A 【详解】解：由题得214x y =，所以抛物线的准线方程为116y =-. 设点A 纵坐标为A y ,则117()1616A y --=，所以1A y =. 故选：A5．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，直线PF 交y 轴于点Q ，若3PF FQ =，则点P 到准线l 的距离为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【详解】解：由抛物线2:4C y x =，可知(1,0)F ，准线l 的方程为1x =-， 过点P 作y 轴的垂线，垂足为N ， 因为OF PN ∥，所以||||1||||4OF FQ PN QP ==， 所以||4||4PN FO ==，所以点P 到准线l 的距离为415+=． 故选：C ．6．已知抛物线E :24x y =的准线交y 轴于点M ，过点M 作直线l 交E 于A ，B 两点，且0BM BA +=，则直线l 的斜率是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【详解】解：抛物线2:4E x y =的准线为1y =-，所以()0,1M -，由题意可知直线l 的斜率存在，故设直线l 为1y kx =-，()11,A x y ，()22,B x y ，则214y kx x y =-⎧⎨=⎩，即2440x kx -+=， 所以124x x k +=，124x x ⋅=，因为0BM BA +=，即()()()2212121212,1,2,12(0,0)x y x x y y x x y y -----=--+-=+， 所以122x x =，所以21x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩21x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩所以124x x k +==故选：B7．已知O 是坐标原点，F 是抛物线C ：()220y px p =>的焦点，()0,4P x 是C 上一点，且4=PF ，则POF 的面积为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】C 【详解】由题可知0042162p x px ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得024x p =⎧⎨=⎩，所以POF 的面积为12442⨯⨯=，故选：C8．已知抛物线2x my =焦点的坐标为(0,1)F ，P 为抛物线上的任意一点，(2,2)B ，则||||PB PF +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．112【答案】A 【详解】因为抛物线2x my =焦点的坐标为()0,1，所以14m=，解得4m =． 记抛物线的准线为l ，作PN l ⊥于N ，作BAl 于A ，则由抛物线的定义得||||||||||3PB PF PB PN BA +=+=，当且仅当P 为BA 与抛物线的交点时，等号成立．故选：A.9．已知抛物线2:8W x y =-，点()11,A x y ，()22,B x y 是曲线W 上两点，若128y y +=-，则AB 的最大值为（ ）A ．10B ．14C ．12D ．16【答案】C 【详解】设抛物线2:8W x y =-的焦点为F ，则(0,2)F -,焦准距4p =,准线方程为2y =， 根据抛物线的定义得，()124AF BF y y +=-+． 又128y y +=-，所以12AF BF +=．因为AF BF AB +≥，当且仅当A ，F ，B 三点共线时等号成立，即12AB ≤， 所以AB 的最大值为12， 故选：C10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为,F P 是C 上位于第一象限内的一点，若C 在点P 处的切线与x 轴交于M 点，与y 轴交于N 点，则与PF 相等的是（ ） A ．MN B ．FN C ．PM D ．ON【答案】B 【详解】解：如图，设2,(0)2a P a a p ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由22x y p =，得x y p '=， 所以C 在点P 处的切线方程为()22a a y x a p p -=-，从而2,0,0,22a a M N p ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据抛物线的定义，得2;22a p PF p =+又(0,)2pF ，222222p a a p FN p p ⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭，所以;PF FN ON =>由2,,,022a a P a M p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20,2a N p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，得M 是PN 的中点，则MF PN ⊥，从而PF PM MN >=． 故选：B ．二、多选题11．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点，则下列结论正确的有（ ）A ．焦点F 到抛物线准线的距离为2B ．若2PF =，则点P 的坐标为()1,2C ．过焦点F 且垂直于x 轴的直线被抛物线所截得的弦长为2D ．若点M 的坐标为()1,4，则PM PF +的最小值为4 【答案】AD 【详解】由抛物线的解析式知2p =，所以抛物线的焦点()1,0F ，准线方程为1x =-，所以焦点F 到抛物线准线的距离为2，故选项A 正确；设抛物线上点(),P x y ，则12PF x =+=，解得1x =，故2y =±，则点P 的坐标有两个，故选项B 错误；过焦点F 且垂直于x 轴的直线被抛物线所截得的弦为通径，长为24p =，故选项C 错误； 由抛物线的图像及点M 的位置可知，当M ，P ，F 三点共线时，PM PF +取得最小值，即4MF ==，故选项D 正确，故选；AD ．12．已知抛物线2y x 的焦点为F ，()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）A ．点F 的坐标为10,4⎛⎫⎪⎝⎭B ．若直线MN 过点F ，则1214x x =-C ．若MF NF λ=，则MN 的最小值为12D ．若32MF NF +=，则线段MN 的中点P 到x 轴的距离为12 【答案】ABD 【详解】对A ：因为抛物线方程为2x y =，其焦点在y 轴上，故其焦点为10,4⎛⎫⎪⎝⎭，A 正确；对B ：显然过点F 的直线斜率存在，故可设经过焦点F 的直线方程为14y kx =+，联立抛物线方程可得：2104x kx --=，可得12x x k +=，1214x x =-，故B 正确；对C ：若MF NF λ=，则M ，N ，F 三点共线，则()12122MN y y p k x x p =++=++，由B 中所得可知：211MN k =+≥，故C 错误；对D ：32MF NF +=，即121+223y y +=，即121y y +=， ∴12122P y y y +==，故D 正确. 故选：ABD . 三、解答题13．已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，直线x n =与抛物线E 交于,A B 两点，当36n =时，(OAB O 为坐标原点）是等边三角形.(1)求抛物线E 的方程.(2)延长AF 交抛物线E 于点C ，试问直线BC 是否恒过点D ？若是，求出点D 的坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1)212y x =(2)是，()3,0D - 【解析】(1)由题意可得A B y y ==则2236p ⨯=，解得6p . 故抛物线E 的方程为212y x =. (2)由（1）可知()3,0F ，设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y . 因为,,A C F 三点共线，所以AF CF k k =，即311333y y x x =--，即312213331212y y y y =--， 整理得()()1313360y y y y -+=. 因为13y y ≠，所以1336y y =-.由题意可知直线BC 的斜率不为0，设直线BC 的方程为x my t =+.联立2,12,x my t y x =+⎧⎨=⎩整理得212120,y my t --=，则223Δ144480,12m t y y t =+>=-.因为,A B 关于x 轴对称，所以21y y =-，则131236y y t ==-，解得3t =-. 故直线BC 的方程为3x my =-，即直线BC 恒过点()3,0D -. 14．已知P (1，2)在抛物线C ：y 2＝2px 上． (1)求抛物线C 的方程；(2)A ，B 是抛物线C 上的两个动点，如果直线P A 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点．【答案】(1)y 2＝4x (2)证明见解析 【解析】(1)P 点坐标代入抛物线方程得4＝2p ， ∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x ． (2)证明：设AB ：x ＝my +t ，将AB 的方程与y 2＝4x 联立得y 2﹣4my ﹣4t ＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4t ，所以Δ＞0⇒16m 2+16t ＞0⇒m 2+t ＞0，1121112241214PA y y k y x y --===-+-，同理：242PBk y =+， 由题意：1244222y y +=++， ∴4(y 1+y 2+4)＝2(y 1y 2+2y 1+2y 2+4)， ∴y 1y 2＝4， ∴﹣4t ＝4， ∴t ＝﹣1，故直线AB 恒过定点(﹣1，0)．15．已知抛物线()2:20C y px p =>上的点M 与焦点F 的距离为52，且点M的纵坐标为(1)求抛物线C 的方程和点M 的坐标；(2)若直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，且MA MB ⊥，证明直线l 过定点. 【解析】(1)设(0M x ，则0052224p x px p⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：021x p =⎧⎨=⎩，∴抛物线2:2C y x =；()2,2M .(2)由题意知：直线l 斜率不为零，可设:l x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由22y xx my n ⎧=⎨=+⎩得：2220y my n，2480m n ∴∆=+>，即220m n +>；122y y m ∴+=，122y y n ；1121112224222MA y y k y x y --===--+，2222222224222MB y y k y x y --===--+，又MA MB ⊥，()()()12121244412224244MA MBk k y y y y y y n m ∴⋅====-+++++-++； 则24n m =+（此时()222248240m n m m m +=++=++>成立）， ∴直线():2424l x my m m y =++=++，当2y =-时，4x =，∴直线l 恒过定点()4,2-.。
高考数学第一轮复习：《抛物线》
高考数学第一轮复习：《抛物线》最新考纲1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想．3.了解抛物线的简单应用.【教材导读】1．若抛物线定义中定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是什么图形？提示：当定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是过点F 且与直线l 垂直的直线． 2．抛物线的标准方程中p 的几何意义是什么？ 提示：p 的几何意义是焦点到准线的距离．1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程及其简单几何性质标准 方程 y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)图形顶点 (0,0)对称轴 x 轴y 轴焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2 离心率 e ＝1准线方程x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p2y ＝p 2【重要结论】抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2 α(α为弦AB 的倾斜角)． (3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p .1．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( ) (A)(－1,0) (B)(1,0) (C)(0，－1)(D)(0,1)B 解析：由准线过已知点可求出p 的值，进而可求出抛物线的焦点坐标．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2且过点(－1,1)，故－p2＝－1，解得p ＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．2．若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为( ) (A)2 (B)12 (C)14(D)18D 解析：本题考查抛物线的定义．抛物线y ＝2x 2上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，所以最小距离是p 2，又2p ＝12，则p 2＝18，即|PF |的最小值为18，故选D.3．已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( ) (A)2 (B)12 (C)32(D)52C 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4， 又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3， 所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32.4．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)，若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．解析：依题意知F 坐标为p2，0， 所以B 的坐标为p4，1代入抛物线方程得 p 22＝1，解得p ＝2，所以抛物线准线方程为x ＝－22，所以点B 到抛物线准线的距离为24＋22＝34 2. 答案：34 25．直线l 过抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是6，AB 的中点到x 轴的距离是1，则此抛物线方程是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2＋p ＝6，∴p ＝4.即抛物线方程为x 2＝8y .答案：x 2＝8y考点一 抛物线的定义及其应用(1)长为2的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝x 上滑动，则线段AB 的中点M到y 轴距离的最小值是________．(2)已知点P 是抛物线y 2＝4x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是(4，a )，则当|a |＞4时，|P A |＋|PM |的最小值是________．(3)已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________．解析：(1)如图，AB＝2，要使AB的中点M到y轴的距离最小，则|BG|＋|AE|的值最小，即|AF|＋|BF|的值最小．在△ABF中，|AF|＋|BF|≥|AB|，当A，B，F三点共线时取等号，即当线段AB过焦点F时，AB的中点M到y轴的距离最小，最小值为|AE|＋|BG|2－14＝1－14＝34.(2)将x＝4代入抛物线的方程y2＝4x，得y＝±4.又|a|＞4，所以点A在抛物线的外部．由题意知F(1,0)，设抛物线上点P到准线l：x＝－1的距离为|PN|，由定义知，|P A|＋|PM|＝|P A|＋|PN|－1＝|P A|＋|PF|－1.画出简图(图略)，易知当A，P，F三点共线时，|P A|＋|PF|取得最小值，此时|P A|＋|PM|也最小，最小值为|AF|－1＝9＋a2－1.(3)由题意知F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2.依据抛物线的定义知，当|AB为通径，即|AB|＝2p＝4时，|AB|的值最小，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.答案：(1)34(2)9＋a2－1(3)2【反思归纳】利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的相互转化．【即时训练】(1)已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值是()(A)522＋2 (B)522＋1 (C)522－2(D)522－1(2)若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( )(A)(0,0) (B)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 (C)(1，2)(D)(2,2)解析：(1)如图，点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，从而P 到y 轴的距离等于点P 到焦点F 的距离减1，过焦点F 作直线x －y ＋4＝0的垂线，此时d 1＋d 2＝|PF |＋d 2－1最小．因为F (0,1)，则|PF |＋d 2＝|1－0＋4|1＋1＝522，则d 1＋d 2的最小值为522－1.(2)过M 点作左准线的垂线，垂足是N ，则|MF |＋|MA |＝|MN |＋|MA |，当A ，M ，N 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值，此时M (2,2)．故选D.答案：(1)D (2)D考点二 抛物线的标准方程及性质(1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 到焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为( )(A)±3 (B)±1 (C)±34(D)±33(2)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为103，则|AB |＝( )(A)133 (B)143 (C)5(D)163(3)过抛物线C ：x 2＝2y 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则|AF |＝( )(A)1 (B)2 (C)3(D)4解析：(1)设M (x 0，y 0)，易知焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由抛物线的定义得|MF |＝x 0＋p 2＝2p ，所以x 0＝32p ，故y 20＝2p ×32p ＝3p 2，解得y 0＝±3p ，故直线MF 的斜率k ＝±3p 32p －p 2＝±3，选A. (2)∵p ＝2，∴|AB |＝2＋103＝163.故选D. (3)∵x 2＝2y ，∴y ＝x 22，∴y ′＝x ，∵抛物线C 在点B 处的切线斜率为1， ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 ∵抛物线x 2＝2y 的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，∴直线l 的方程为y ＝12， ∴|AF |＝|BF |＝1.故选A. 答案：(1)A (2)D (3)A【反思归纳】 (1)抛物线几何性质的确定由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离；从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．(2)求抛物线的标准方程的方法①因为抛物线方程有四种上标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．②因为未知数只有p，所以只需利用待定系数法确定p值即可．提醒：求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx 或x2＝my(m≠0)．【即时训练】(1)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为()(A)y2＝3 2x(B)y2＝3x(C)y2＝9 2x(D)y2＝9x(2)若双曲线C：2x2－y2＝m(m＞0)与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，且|AB|＝43，则m的值是________．答案：(1)B(2)20考点三直线与抛物线的位置关系考查角度1：直线与抛物线的交点问题．如图，已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，焦点为F，过点G(p,0)作直线l交抛物线C 于A ，M 两点，设A (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)．(1)若y 1y 2＝－8，求抛物线C 的方程；(2)若直线AF 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点B ，直线BG 交抛物线C 于另一点N .求证：直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．解：(1)设直线AM 的方程为x ＝my ＋p ，代入y 2＝2px 得y 2－2mpy －2p 2＝0， 则y 1y 2＝－2p 2＝－8，得p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)证明：设B (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)． 由(1)可知y 3y 4＝－2p 2，y 1y 3＝－p 2. 又直线AB 的斜率k AB ＝y 3－y 1x 3－x 1＝2p y 1＋y 3，直线MN 的斜率k MN ＝y 4－y 2x 4－x 2＝2py 2＋y 4，∴k AB k MN ＝y 2＋y 4y 1＋y 3＝－2p 2y 1＋－2p 2y 3y 1＋y 3＝－2p 2y 1y 3(y 1＋y 3)y 1＋y 3＝2.故直线AB 与直线MN 斜率之比为定值． 【反思归纳】 直线与抛物线位置关系的判断直线y ＝kx ＋m (m ≠0)或x ＝my ＋n 与抛物线y 2＝2px (p >0)联立方程组，消去y ，得到k 2x 2＋2(mk －p )x ＋m 2＝0的形式．当k ＝0时，直线和抛物线相交，且与抛物线的对称轴平行，此时与抛物线只有一个交点；当k ≠0时，设其判别式为Δ，(1)相交：Δ>0⇔直线与抛物线有两个交点； (2)相切：Δ＝0⇔直线与抛物线有一个交点； (3)相离：Δ<0⇔直线与抛物线没有交点．提醒：过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点；两条切线和一条平行于对称轴的直线．考查角度2：直线与抛物线的相交弦问题设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l .已知点A 在抛物线C 上，点B 在l 上，△ABF 是边长为4的等边三角形．(1)求p 的值；(2)在x 轴上是否存在一点N ，当过点N 的直线与抛物线C 交于Q 、R 两点时，1|NQ |2＋1|NR |2为定值？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．解析：(1)由题知，|AF |＝|AB |，则AB ⊥l .设准线与x 轴交于点D ，则AB ∥DF .又△ABF 是边长为4的等边三角形，∠ABF ＝60°，所以∠BFD ＝60°，|DF |＝|BF |·cos ∠BFD ＝4×12＝2，即p＝2.(2)设点N (t,0)，由题意知直线的斜率不为零， 设直线的方程为x ＝my ＋t ，点Q (x 1，y 1)，R (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t y 2＝4x 得，y 2－4my －4t ＝0，则Δ＝16m 2＋16t ＞0，y 1＋y 2＝4m ，y 1·y 2＝－4t .又|NQ |2＝(x 1－t )2＋y 21＝(my 1＋t －t )2＋y 21＝(1＋m 2)y 21，同理可得|NR |2＝(1＋m 2)y 22，则有1|NQ |2＋1|NR |2＝1(1＋m 2)y 21＋1(1＋m 2)y 22＝y 21＋y 22(1＋m 2)y 21y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2(1＋m 2)y 21y 22＝16m 2＋8t 16(1＋m 2)t 2＝2m 2＋t (2m 2＋2)t2. 若1|NQ |2＋1|NR |2为定值，则t ＝2，此时点N (2,0)为定点． 又当t ＝2，m ∈R 时，Δ＞0，所以，存在点N (2,0)，当过点N 的直线与抛物线C 交于Q 、R 两点时，1|NQ |2＋1|NR |2为定值14.【反思归纳】 直线与抛物线相交问题处理规律(1)凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用根与系数的关系，避免求交点坐标的复杂运算．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．(2)对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图象结合几何性质做出解答．并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用.抛物线的综合问题已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.审题点拨关键点 所获信息 抛物线y 2＝4x 可求焦点坐标 ∠AMB ＝90°k MA ·k MB ＝－1解题突破：把∠AMB ＝90°转化为斜率之积为－1.解析：由题意知，抛物线的焦点坐标为F (1,0)，设直线方程为y ＝k (x －1)，直线方程与y 2＝4x 联立，消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2. 由M (－1,1)，得AM→＝(－1－x 1,1－y 1)，BM →＝(－1－x 2,1－y 2)．由∠AMB ＝90°，得AM →·BM →＝0，∴ (x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0， ∴ x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0. 又y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)，∴ 1＋2k 2＋4k 2＋1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k 2＋4k 2＋1－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 2－2＋1＝0，整理得4k 2－4k ＋1＝0，解得k ＝2.答案：2命题意图：本题重点考查直线与抛物线的应用，考查考生的运算能力．课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( )(A)12 (B)1 (C)32(D)2B 解析：设P (x p ，y p )，由题可得抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1，又点P 到焦点F 的距离为2，∴由定义知点P 到准线的距离为2，∴x P ＋1＝2，∴x P ＝1，代入抛物线方程得|y P |＝2，∴△OFP 的面积为S ＝12·|OF |·|y P |＝12×1×2＝1.故选B.2．若抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是(0,1)，则a ＝( ) (A)1 (B)14 (C)2(D)12B 解析：因为抛物线方程为x 2＝1a y ，所以其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，则有14a ＝1，a ＝14，故选B.3．已知P 为抛物线y 2＝－6x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －6)2＝14上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到y 轴距离之和的最小值是( )(A)317－72(B)317－42 (C)317－12(D)317＋12B 解析：结合抛物线的定义知，P 到y 轴的距离为P 到焦点的距离减去32，则所求最小值为抛物线的焦点到圆心的距离减去半径及32，即62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－12－32＝317－42，故选B.4．若点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，O是坐标原点，若正三角形OAB的面积为43，则该抛物线方程是()(A)y2＝233x(B)y2＝3x(C)y2＝23x(D)y2＝3 3xA解析：根据对称性，AB⊥x轴，由于正三角形的面积是43，故34AB2＝43，故AB＝4，正三角形的高为23，故可以设点A的坐标为(23，2)，代入抛物线方程得4＝43p，解得p＝33，故所求的抛物线方程为y2＝233x.故选A.5．已知直线l1：4x－3y＋7＝0和直线l2：x＝－2，抛物线y2＝8x上一动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值是()(A) 5 (B)2 5(C)3 (D)3 5C解析：如图所示，过点P作PH1⊥l1，PH2⊥l2，连接PF，H1F，过F作FM⊥l1，交l1于M，由抛物线方程为y2＝8x，得l2为其准线，焦点为F(2,0)，由抛物线的定义可知|PH1|＋|PH2|＝|PH1|＋|PF|≥|FH1|≥|FM|＝|4×2－0＋7|42＋32＝3，故选C.6．已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A ，B 两点，如果OA →·OB→＝－12，那么抛物线C 的方程为( )(A)x 2＝8y (B)x 2＝4y (C)y 2＝8x(D)y 2＝4xC 解析：由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 直线方程为x ＝my ＋p2，联立⎩⎨⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋p2，消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝my 1＋p 2my 2＋p 2＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12⇒p ＝4，即抛物线C 的方程为y 2＝8x .7．过抛物线y ＝14x 2的焦点F 作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，题中的抛物线x 2＝4y 的焦点坐标是F (0,1)，直线AB 的方程为y ＝33x ＋1，即x ＝3(y －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，x ＝3(y －1)，消去x 得3(y －1)2＝4y ，即3y 2－10y ＋3＝0，y 1＋y 2＝103，|AB |＝|AF |＋|BF |＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＝y 1＋y 2＋2＝163.答案：1638．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，AB 为抛物线上的两点，以AB 为直径的圆过点F ，过AB 的中点M 作抛物线的准线的垂线MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为__________．解析：由抛物线定义得|MN ||AB |＝|AF |＋|BF |2|AF |2＋|BF |2≤|AF |2＋|BF |22|AF |2＋|BF |2＝22，即|MN ||AB |的最大值为22.答案： 229．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝5，则|BF |＝________. 解析：由题意，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AF |＝x 1＋1＝5⇒x 1＝4，y 21＝4x 1＝16， 根据对称性，不妨取y 1＝4， 所以直线AB ：y ＝43x －43，代入抛物线方程可得，4x 2－17x ＋4＝0， 所以x 2＝14， 所以|BF |＝x 2＋1＝54. 答案：5410．在平面直角坐标系中，动点M (x ，y )(x ≥0)到点F (1,0)的距离与到y 轴的距离之差为1.(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)若Q (－4,2)，过点N (4,0)作任意一条直线交曲线C 于A ，B 两点，试证明k QA ＋k QB 是一个定值．解析：(1)M 到定点F (1,0)的距离与到定直线x ＝－1的距离相等， ∴M 的轨迹C 是一个开口向右的抛物线，且p ＝2， ∴M 的轨迹方程为y 2＝4x .(2)设过N (4,0)的直线的方程为x ＝my ＋4，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋4整理得y 2－4my －16＝0，设直线l 与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则有y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－16， 又k QA ＋k QB ＝y 1－2x 1＋4＋y 2－2x 2＋4＝y 1－2my 1＋8＋y 2－2my 2＋8＝－8m 2－3216m 2＋64＝－12， 因此k QA ＋k QB 是一个定值为－12.能力提升练(时间：15分钟)11．已知直线l 1：x ＝2，l 2：3x ＋5y －30＝0，点P 为抛物线y 2＝－8x 上的任一点，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为( )(A)2 (B)234 (C)181734(D)161534C 解析：抛物线y 2＝－8x 的焦点为F (－2,0)，准线为l 1：x ＝2. ∴P 到l 1的距离等于|PF |，∴P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为F (－2,0)到直线l 2的距离d ＝|－6＋0－30|9＋25＝181734.故选C.12．已知点A (0,2)，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM ||MN |＝55，则p 的值等于( )(A)18 (B)14 (C)2(D)4C 解析：设M (x M ，y M )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y N ，由|FM ||MN |＝55，知|FM ||FN |＝15＋1，所以y N ＝(5＋1)y M ；由k F A ＝k FN 知，y N －p ＝2－p 2，所以y N ＝4，所以y M ＝45＋1；又|FM ||FN |＝15＋1，所以p 2－x M ＝15＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 2＝p 5＋1，所以x M ＝()5－1p 2(5＋1)，将(x M ，y M )代入y 2＝2px ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋12＝2p ×(5－1)p 2(5＋1)，解得p ＝2.故选C.13．已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，p 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，p 2，射线MO ，NO 分别交抛物线C 于异于点O 的点A ，B ，若A ，B ，F 三点共线，则p 的值为________．解析：直线OM 的方程为y ＝－p8x ，将其代入x 2＝2py ， 解方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－p 24y ＝p 332，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 24，p 332.直线ON 的方程为y ＝p2x ，将其代入x 2＝2py ，解方程可得⎩⎨⎧x ＝p 2y ＝p 32，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p 32.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以k AB ＝3p 8，k BF ＝p 2－12p ，因为A ，B ，F 三点共线，所以k AB ＝k BF ，即3p 8＝p 2－12p ，解得p ＝2.答案：214．顶点在原点，经过圆C ：x 2＋y 2－2x ＋22y ＝0的圆心且准线与x 轴垂直的抛物线方程为________．解析：将圆C 的一般方程化为标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝3，圆心为(1，－2)．由题意，知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，且经过点(1，－2)．设抛物线的标准方程为y 2＝2px ，因为点(1，－2)在抛物线上，所以(－2)2＝2p ，解得p ＝1，所以所求抛物线的方程为y 2＝2x .答案：y 2＝2x15．已知AB 是抛物线x 2＝4y 的一条焦点弦，若该弦的中点纵坐标是3，则弦AB 所在的直线方程是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线AB 的方程为x ＝m (y －1)，由抛物线的定义及题设可得，y 1＋y 2＝6， 直线与抛物线方程联立消去x 可得 m 2y 2－(2m 2＋4)y ＋m 2＝0， 则y 1＋y 2＝2m 2＋4m 2，即6＝2m 2＋4m 2， 可得m ＝1或m ＝－1.故直线方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0. 答案：x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝016．已知抛物线C ：y ＝mx 2(m ＞0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q ，①求抛物线C 的焦点坐标．②若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值．③是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解析：①因为抛物线C ：x 2＝1m y ，所以它的焦点F (0，14m )． ②因为|RF |＝y R ＋14m ，所以2＋14m ＝3，得m ＝14.③存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)＞0恒成立．解得m ＞－12.设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m，x 1·x 2＝－2m .(*)因为P 是线段AB 的中点，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，mx 21＋mx 222， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，y P ，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，1m .得QA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1m ，mx 21－1m ， QB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1m ，mx 22－1m ， 若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形， 则QA →·QB→＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 21－1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 22－1m ＝0， 结合(*)化简得－4m 2－6m ＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0， 所以m ＝2或m ＝－12.而2∈(－12，＋∞)，－12∉(－12，＋∞)．。
抛物线学案-2023届高三数学一轮复习
第7节 抛物线考试要求 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 知识梳理 1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的 .(2)其数学表达式：{M ||MF |＝d }(d 为点M 到准线l 的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y 2＝2px(p >0)y 2＝－2px(p >0)x 2＝2py(p >0)x 2＝－2py(p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离性质顶点对称轴焦点离心率准线方程 y ＝p2 范围 开口方向向左3.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1·x 2＝p 24.(2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角).(4)1|AF |＋1|BF |＝2p 为定值(F 是抛物线的焦点). 自主检测1.顶点在原点，且过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是________________.2. 抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点的个数为________.3.若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( ) A.2 B.3 C.4 D.84.已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，且|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34B.1C.54D.745.已知抛物线方程为y 2＝8x ，若过点Q (－2，0)的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________. 典型例题考点一 抛物线的定义、标准方程及其性质【例1】 (1)已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A.y 2＝±22x B.y 2＝±2x C.y 2＝±4x D.y 2＝±42x(2)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，若直线AF 的斜率为－3，则△P AF 的面积为( ) A.2 3 B.4 3 C.8 D.8 3(3)动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.【训练1】 (1)设抛物线y 2＝2px 的焦点在直线2x ＋3y －8＝0上，则该抛物线的准线方程为( ) A.x ＝－4 B.x ＝－3 C.x ＝－2 D.x ＝－1(2)已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，点P (4，y 0)在抛物线上，K 为l 与y 轴的交点，且|PK |＝2|PF |，则y 0＝________.考点二 与抛物线有关的最值问题 角度1 到焦点与定点距离之和(差)最值问题【例2－1】 点P 为抛物线y 2＝4x 上的动点，点A (2，1)为平面内定点，F 为抛物线焦点，则： (1)|P A |＋|PF |的最小值为________；(2)(多填题)|P A |－|PF |的最小值为________，最大值为________. 角度2 到点与准线的距离之和最值问题【例2－2】 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________.角度3 动弦中点到坐标轴距离最短问题【例2－3】 已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( ) A.34 B.32 C.1 D.2角度4 焦点弦中距离之和最小问题【例2－4】 已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________.角度5 到定直线的距离最小问题【例2－5】 抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________.【训练2】 (1)若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到A (－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫－14，1 B.⎝⎛⎭⎫14，1 C.(－2，－22) D.(－2，22)(2)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆C ：x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值是________. 考点三 直线与抛物线的综合问题【例3】 已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求直线l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.【训练3】 如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1，2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率.当堂检测1.已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，点C (－4，0)，过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是( ) A.y 2＝4x B.y 2＝－4x C.y 2＝8x D.y 2＝－8x2.设抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，点A 为C 上一点，若|F A |＝3，则直线F A 的倾斜角为( ) A.π3 B.π4 C.π3或2π3 D.π4或3π43.设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为________.4.已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________.5.已知P 为抛物线C ：y ＝x 2上一动点，直线l ：y ＝2x －4与x 轴、 y 轴交于M ，N 两点，点A (2，－4)且AP →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ的最小值为________.6.设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.7.已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值.。
2021高三数学(理)一轮复习专练53抛物线含解析
2021高三数学（理）人教版一轮复习专练53抛物线含解析专练53抛物线命题范围：抛物线的定义、标准方程与简单的几何性质[基础强化］一、选择题1．抛物线y＝14x2的焦点到其准线的距离为(）A．1 B．2C。
12D。
错误!2．已知抛物线y2＝2px（p〉0）的准线经过点（－1，1),则该抛物线的焦点坐标为(）A．（－1,0) B．（1,0)C．(0，－1) D．(0，1）3．动点M到点F(2，1)的距离和到直线l：3x＋4y－10＝0的距离相等，则动点M的轨迹为（）A．抛物线B．直线C．线段D．射线4．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线错误!－y2＝1的右焦点重合，则p的值为（）A．－4 B．4C．－2 D．25．若抛物线y2＝2px（p〉0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）A．4 B．8C．16 D．326．［2019·全国卷Ⅱ]若抛物线y2＝2px（p〉0)的焦点是椭圆错误!＋错误!＝1的一个焦点，则p＝（）A．2 B．3C．4 D．87。
如图，过抛物线y2＝2px（p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B,C，若｜BC|＝2|BF|，且|AF｜＝4，则抛物线的方程为()A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝2xD．y2＝x8．设坐标原点为O,抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A,B两点，则错误!·错误!等于()A。
错误!B．－错误!C．3 D．－39．已知抛物线y2＝2px(p〉0）的焦点为F，准线为l,过点F 的直线交抛物线于A，B两点，过点A作准线l的垂线，垂足为E，当A点坐标为(3,y0）时,△AEF为正三角形，则此时△OAB的面积为(）A.错误!B。
错误!C.错误!D.错误!二、填空题10．已知抛物线的顶点是原点,对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为______________．11．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P（x1，y1），Q(x2,y2)两点，若x1＋x2＝6，则|PQ|＝________。
高考总复习一轮数学精品课件 第九章 平面解析几何 第七节 抛物线
方程为
5
x=- =- ,所以点
2 4
A 到抛物线 C 的准线的距离为
5
1+
4
=
9
.
4
增素能 精准突破
考点一京海淀一模)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P在该抛物线上,
且P的横坐标为4,则|PF|=(
A.2
B.3
)
C.4
D.5
(2)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则
F
B.
1
0, 16
.
考点二
抛物线的标准方程与简单几何性质
典例突破
例2.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点M是抛物线C上一点,
过点M作准线l的垂线,交l于点H,若|MH|=2,∠HFM=30°,则抛物线C的标准
方程为
.
答案 y2=6x
解析 因为抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离,
距离相等
,直线l叫做抛物线的
的点的轨
准线 .
设点M是抛物线上的任意一点,它到准线l的距离为d,则抛物线定义的表达
式为|MF|=d
微思考抛物线定义中,若直线l过点F,则点的轨迹会怎么样?
提示 若直线l过点F,则到点F与到直线l距离相等的点的轨迹是过点F且与l
垂直的直线.
2.抛物线的标准方程和简单几何性质
y=x+2,联立
=
+2,
2 = 2,
得x2-2px-p2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=2p,x1x2=-p2,不妨设x1>0,x2<0,
高考数学复习抛物线方程专题练习(附答案)
高考数学复习抛物线方程专题练习（附答案）平面内，到定点与定直线的隔断相等的点的轨迹叫做抛物线。
以下是抛物线方程专题练习，请考生查缺补漏。
(2019泰州中学检测)给定圆P：x2+y2=2x及抛物线S：y2=4x，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自上而下顺次记为A，B，C，D，要是线段AB，BC，CD的长按此顺序组成一个等差数列，求直线l的方程.[解] 圆P的方程为(x-1)2+y2=1，则其直径长|BC|=2，圆心为P(1,0)，设l的方程为ky=x-1，即x=ky+1，代入抛物线方程得：y2=4ky+4，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，有则(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=16(k2+1).故|AD|2=(y1-y2)2+(x1-x2)2=(y1-y2)2+2=(y1-y2)2=16(k2+1)2，因此|AD|=4(k2+1).根据等差数列性质得2|BC|=|AB|+|CD|=|AD|-|BC|，|AD|=3|BC|=6，即4(k2+1)=6，k=，即l方程为x-y-=0或x+y-=0.2.(2019苏州调研)设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，议决点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴.求证：直线AC议决原点O.【常规证法】抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，显然直线AB 的斜率不为0，当AB斜率不存在时，直线AP方程为x=，不妨设A在第一象限，则易知A，B，C，此时kOA==2，kOC==2.kOA=kOC，A，O，C三点共线，即直线AC议决原点O.当AB斜率存在且不为0时，设直线AB方程为y=k代入y2=2px 得k2x2-(k2+2)px+=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2=，(y1y2)2=p4，由题意知y1y20，y1y2=-p2kOC======kOA直线AC过原点O，综上，直线AC议决原点O.【奇妙证法】因为抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，而直线AB的斜率不为零，所以议决点F的直线AB的方程可设为x=my+.代入抛物线方程消去x得y2-2pmy-p2=0.若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2=-p2.因为BCx轴，且点C在准线x=-上，所以点C的坐标为，故直线CO的斜率为k===，即k也是直线OA的斜率，所以直线AC议决原点O.3.(2019南师附中检测)设A(x1，y1)，B(x2，y2)为抛物线y2=2px(p0)上位于x轴两侧的两点.(1)若y1y2=-2p，证明直线AB恒过一个定点;(2)若p=2，AOB(O是坐标原点)为钝角，求直线AB在x轴上的截距的取值范畴.[解] (1)设直线AB在x轴上的截距为t，则可设直线AB的方程为x=my+t.代入y2=2px得y2=2p(my+t)，即y2-2pmy-2pt=0，于是-2p=y1y2=-2pt，所以t=1，即直线AB 恒过定点(1,0).(2)因为AOB为钝角，所以0，即x1x2+y1y20.y=2px1，y=2px2，yy=2px12px2，于是x1x2===t2，故x1x2+y1y2=t2-2pt=t2-4t.解不等式t2-4t0，得00)把点P(-2，-4)代入得(-4)2=-2p(-2).解得p=4，抛物线方程为y2=-8x.当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2=-2py(p0)，把点P(-2，-4)代入得(-2)2=-2p(-4).解得p=.抛物线方程为x2=-y.综上可知抛物线方程为y2=-8x或x2=-y.[答案] y2=-8x或x2=-y4.(2019广东高考)已知抛物线C的极点为原点，其焦点F(0，c)(c0)到直线l：x-y-2=0的隔断为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，此中A，B为切点.(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时，求|AF||BF|的最小值.[解题思路] (1)由点到直线的隔断求c的值，得到F(0，c)后可得抛物线的方程;(2)采取设而不求计谋，先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，连合导数求切线PA，PB的方程，代入点P 的坐标，根据布局，可得直线AB的方程;(3)将|AF||BF|转化为关于x(或y)的函数，再求最值.[解] (1)依题意，设抛物线C的方程为x2=4cy(c0)，由点到直线的隔断公式，得=，解得c=1(负值舍去)，故抛物线C的方程为x2=4y.(2)由x2=4y，得y=x2，其导数为y=x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x=4y1，x=4y2，切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1)，即y=x-+y1，即x1x-2y-2y1=0.同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0.因为切线PA，PB均过点P(x0，y0)，所以x1x0-2y0-2y1=0，x2x0-2y0-2y2=0，所以和为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.(3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，所以|AF||BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.由消去x并整理得到关于y的方程为y2+(2y0-x)y+y=0.由一元二次方程根与系数的干系得y1+y2=x-2y0，y1y2=y.所以|AF||BF|=y1y2+(y1+y2)+1=y+x-2y0+1.又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0-y0-2=0，即x0=y0+2，所以y+x-2y0+1=2y+2y0+5=22+，所以当y0=-时，|AF||BF|取得最小值，且最小值为.抛物线方程专题练习及答案就分享到这里，查字典数学网预祝考生可以考上自己理想的大学。
高考数学一轮复习第八章第五节抛物线讲义含解析
第五节 抛物线突破点一 抛物线的定义及其应用[基本知识]抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)AB 为抛物线y 2＝4x 的过焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝1，y 1y 2＝－4，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋2.( )答案：(1)× (2)√ 二、填空题1．已知动点P 到定点(2,0)的距离和它到直线l ：x ＝－2的距离相等，则点P 的轨迹方程为________．答案：y 2＝8x2．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝________.答案：13．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．答案：54[全析考法]考法一 抛物线的定义及应用[例1] (1)(2019·赣州模拟)若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( )A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2)D ．(2,2)(2)(2019·襄阳测试)已知抛物线y ＝12x 2的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF 与抛物线交于点N ，若|MN |＝2|NF |，则|MF |＝( )A ．2B ．3 C. 2D. 3[解析] (1)过M 点作准线的垂线，垂足是N ，则|MF |＋|MA |＝|MN |＋|MA |，当A ，M ，N 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值，此时M (2,2)．(2)如图，过N 作准线的垂线NH ，垂足为H .根据抛物线的定义可知|NH |＝|NF |，在Rt △NHM 中，|NM |＝2|NH |，则∠NMH ＝45°.在△MFK 中，∠FMK ＝45°，所以|MF |＝2|FK |.而|FK |＝1.所以|MF |＝ 2.故选C.[答案] (1)D (2)C [方法技巧]利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径．考法二 焦点弦问题焦点弦的常用结论以抛物线y 2＝2px (p ＞0)为例，设AB 是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F 是抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，A ，B 在准线上的射影为A 1，B 1，则有以下结论：(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(其中θ为直线AB 的倾斜角)，抛物线的通径长为2p ，通径是最短的焦点弦；(3)1|AF |＋1|BF |＝2p为定值； (4)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切； (5)以AF (或BF )为直径的圆与y 轴相切；(6)以A 1B 1为直径的圆与直线AB 相切，切点为F ，∠A 1FB 1＝90°； (7)A ，O ，B 1三点共线，B ，O ，A 1三点也共线．[例2] (2019·长沙四校联考)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，与抛物线的准线交于点M ，且FM ―→＝3FP ―→，则|FP ―→|＝( )A.32B.23C.43D.34[解析] 如图，不妨设Q 点在第一象限，过P 作PN 垂直于抛物线的准线，垂足为N ， 由抛物线定义可知|PF |＝|PN |， 又因为FM ―→＝3FP ―→， 所以PM ―→＝2FP ―→，所以|PM |＝2|PF |＝2|PN |， 在Rt △PNM 中，cos ∠MPN ＝|PN ||PM |＝12， 由抛物线焦点弦的性质可知|PF ―→|＝p 1＋cos ∠MPN ＝21＋12＝43.故选C.[答案] C [方法技巧]焦点弦问题的求解策略解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用，解题时，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解．[集训冲关]1.[考法一]若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选B 设P (x P ，y P )，由题意可得抛物线的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1，又点P 到焦点F 的距离为2，∴由抛物线的定义知点P 到准线的距离为2，∴x P ＋1＝2，得x P ＝1，代入抛物线方程得|y P |＝2，∴△OFP 的面积为S ＝12·|OF |·|y P |＝12×1×2＝1.故选B.2.[考法二]已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( )A.2B.12C.32D.52解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4， 又p ＝1，∴x 1＋x 2＝3，∴点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32.故选C.3.[考法一]已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是________．解析：依题意，由点M 向抛物线x 2＝4y 的准线l ：y ＝－1引垂线，垂足为M 1(图略)，则有|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MM 1|，结合图形可知|MA |＋|MM 1|的最小值等于圆心C (－1，5)到y ＝－1的距离再减去圆C 的半径，即等于6－1＝5，因此|MA |＋|MF |的最小值是5.答案：5突破点二 抛物线的标准方程及性质[基本知识][基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，准线方程是x ＝－a4.( )(2)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(3)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 二、填空题1．已知抛物线的对称轴为x 轴，顶点在原点，焦点在直线2x －4y ＋11＝0上，则此抛物线的方程是________．答案：y 2＝－22x2．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为________． 答案：－143．已知F 是抛物线x 2＝8y 的焦点，若抛物线上的点A 到x 轴的距离为5，则|AF |＝________.答案：7[全析考法]考法一 求抛物线的标准方程[例1] (1)(2019·河南中原名校联考)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝6x B ．y 2＝8x C ．y 2＝16xD ．y 2＝15x 2(2)(2019·江西协作体联考)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x[解析] (1)设M (x ，y )，因为|OF |＝p2，|MF |＝4|OF |，所以|MF |＝2p ，由抛物线定义知x ＋p 2＝2p ，所以x ＝32p ，所以y ＝±3p ，又△MFO 的面积为43，所以12×p 2×3p ＝43，解得p ＝4(p ＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由已知得抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设点A (0,2)，抛物线上点M (x 0，y 0)，则AF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－2，AM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0－2.由已知得AF ―→·AM ―→＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p ，4.由|MF |＝5得， ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p －p 22＋16＝5，又p ＞0，解得p ＝2或p ＝8，故选C. [答案] (1)B (2)C [方法技巧]求抛物线方程的3个注意点(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种．(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系． (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．考法二 抛物线的几何性质[例2] (1)(2019·兰州双基过关考试)抛物线y 2＝2px (p ＞0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．4B ．8C ．16D ．32(2)(2018·赣州二模)抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上一点，若A 到F 的距离是A 到y 轴距离的两倍，且三角形OAF 的面积为1，O 为坐标原点，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] (1)设抛物线的准线方程为x ＝－p2(p ＞0)，如图，则根据抛物线的性质有|PF |＝p2＋6＝10，解得p ＝8，所以抛物线的焦点到准线的距离为8. (2)不妨设A (x 0，y 0)在第一象限，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＋p2＝2x 0，S △OAF＝12·p2·y 0＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝p2，y 0＝4p ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，4p ，又∵点A 在抛物线y 2＝2px 上，∴16p 2＝2p ×p 2，即p 4＝16，又∵p ＞0，∴p ＝2，故选B. [答案] (1)B (2)B [方法技巧]用抛物线几何性质的技巧涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题．[集训冲关]1.[考法一]顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝－x B ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－y D ．y 2＝－x 或x 2＝－8y解析：选D 设抛物线为y 2＝mx ，代入点P (－4，－2)，解得m ＝－1，则抛物线方程为y 2＝－x ；设抛物线为x 2＝ny ，代入点P (－4，－2)，解得n ＝－8，则抛物线方程为x 2＝－8y .2.[考法二]已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，点A (0，－3)．若线段FA 与抛物线C 相交于点M ，则|MF |＝( )A.43B.53C.23D.33解析：选A 由题意，F (1,0)，|AF |＝2，设|MF |＝d ，则M 到准线的距离为d ，M 的横坐标为d －1，由三角形相似，可得d －11＝2－d2，所以d ＝43，故选A. 3.[考法一、二]已知A 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF |＝4时，∠OFA ＝120°，则抛物线的准线方程是( )A ．x ＝－1B ．y ＝－1C ．x ＝－2D ．y ＝－2解析：选A 过A 向准线作垂线，设垂足为B ，准线与x 轴的交点为D .因为∠OFA ＝120°，所以△ABF 为等边三角形，∠DBF ＝30°，从而p ＝|DF |＝2，因此抛物线的准线方程为x ＝－1.选A.。
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高考数学（理科）一轮复习抛物线学案附答案学案3抛物线导学目标：1掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质2理解数形结合的思想．自主梳理1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离______的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的__________，直线l叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程2＝2px(p>0)2＝－2px(p>0)x2＝2p(p>0)x2＝－2p(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点(0,0)对称轴＝0x＝0焦点F(p2，0)F(－p2，0)F(0，p2)F(0，－p2)离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2＝－p2＝p2范围x≥0，∈Rx≤0，∈R≥0，x∈R≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下自我检测1．(2010•四川)抛物线2＝8x的焦点到准线的距离是()A．1 B．2 ．4 D．82．若抛物线2＝2px的焦点与椭圆x26＋22＝1的右焦点重合，则p 的值为()A．－2 B．2 ．－4 D．43．(2011•陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()A．2＝－8x B．2＝8x．2＝－4x D．2＝4x4．已知抛物线2＝2px (p>0)的焦点为F，点P1(x1，1)，P2(x2，2)，P3(x3，3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有()A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|D．|FP2|2＝|FP1|•|FP3|．(2011•佛模拟)已知抛物线方程为2＝2px (p>0)，过该抛物线焦点F且不与x轴垂直的直线AB交抛物线于A、B两点，过点A、点B分别作A、BN垂直于抛物线的准线，分别交准线于、N两点，那么∠FN必是()A．锐角B．直角．钝角D．以上皆有可能探究点一抛物线的定义及应用例1 已知抛物线2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．变式迁移1已知点P在抛物线2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A14，－1 B14，1．(1,2) D．(1，－2)探究点二求抛物线的标准方程例2 (2011•芜湖调研)已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上一点(，－3)到焦点的距离为，求的值、抛物线方程和准线方程．变式迁移2根据下列条求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点F是双曲线16x2－92＝144的左顶点；(2)过点P(2，－4)．探究点三抛物线的几何性质例3 过抛物线2＝2px的焦点F的直线和抛物线相交于A，B两点，如图所示．(1)若A，B的纵坐标分别为1，2，求证：12＝－p2；(2)若直线A与抛物线的准线相交于点，求证：B∥x轴．变式迁移3已知AB是抛物线2＝2px (p>0)的焦点弦，F为抛物线的焦点，A(x1，1)，B(x2，2)．求证：(1)x1x2＝p24；(2)1|AF|＋1|BF|为定值．分类讨论思想的应用例(12分)过抛物线2＝2px (p>0)焦点F的直线交抛物线于A、B 两点，过B点作其准线的垂线，垂足为D，设为坐标原点，问：是否存在实数λ，使A→＝λD→？多角度审题这是一道探索存在性问题，应先假设存在，设出A、B 两点坐标，从而得到D点坐标，再设出直线AB的方程，利用方程组和向量条求出λ【答题模板】解假设存在实数λ，使A→＝λD→抛物线方程为2＝2px (p>0)，则Fp2，0，准线l：x＝－p2，(1)当直线AB的斜率不存在，即AB⊥x轴时，交点A、B坐标不妨设为：Ap2，p，Bp2，－p∵BD⊥l，∴D－p2，－p，∴A→＝－p2，－p，D→＝－p2，－p，∴存在λ＝1使A→＝λD→[4分](2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为＝x－p2 (≠0)，设A(x1，1)，B(x2，2)，则D－p2，2，x1＝212p，x2＝222p，由＝x－p22＝2px得2－2p－p2＝0，∴12＝－p2，∴2＝－p21，[8分]A→＝(－x1，－1)＝－212p，－1，D→＝－p2，2＝－p2，－p21，假设存在实数λ，使A→＝λD→，则－212p＝－p2λ－1＝－p21λ，解得λ＝21p2，∴存在实数λ＝21p2，使A→＝λD→综上所述，存在实数λ，使A→＝λD→[12分]【突破思维障碍】由抛物线方程得其焦点坐标和准线方程，按斜率存在和不存在讨论，由直线方程和抛物线方程组成方程组，研究A、D两点坐标关系，求出A→和D→的坐标，判断λ是否存在．【易错点剖析】解答本题易漏掉讨论直线AB的斜率不存在的情况，出现错误的原因是对直线的点斜式方程认识不足．1．关于抛物线的定义要注意点F不在定直线l上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线．2．关于抛物线的标准方程抛物线的标准方程有四种不同的形式，这四种标准方程的联系与区别在于：(1)p的几何意义：参数p是焦点到准线的距离，所以p恒为正数．(2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向．3．关于抛物线的几何性质抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握，但由于抛物线的离心率等于1，所以抛物线的焦点弦具有很多重要性质，而且应用广泛．例如：已知过抛物线2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，设A(x1，1)，B(x2，2)，则有下列性质：|AB|＝x1＋x2＋p或|AB|＝2psin2α(α为AB的倾斜角)，12＝－p2，x1x2＝p24等．(满分：7分)一、选择题(每小题分，共2分)1．(2011•大纲全国)已知抛物线：2＝4x的焦点为F，直线＝2x－4与交于A，B两点，则s∠AFB等于()A4 B3．－3 D．－42．(2011•湖北)将两个顶点在抛物线2＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则()A．n＝0 B．n＝1．n＝2 D．n≥33．已知抛物线2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()A．相离B．相交．相切D．不确定4．(2011•泉州月考)已知点A(－2,1)，2＝－4x的焦点是F，P是2＝－4x上的点，为使|PA|＋|PF|取得最小值，则P点的坐标是() A－14，1 B．(－2,22)－14，－1 D．(－2，－22)．设为坐标原点，F为抛物线2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若A→•AF→＝－4，则点A的坐标为()A．(2，±2) B．(1，±2)．(1,2) D．(2，2)二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011•重庆)设圆位于抛物线2＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆的半径能取到的最大值为________．7．(2011•济宁期末)已知A、B是抛物线x2＝4上的两点，线段AB的中点为(2,2)，则|AB|＝________8．(2010•浙江)设抛物线2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0，2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．三、解答题(共38分)9．(12分)已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线＝2x＋1所得的弦长为1，求抛物线方程．10．(12分)(2011•韶关模拟)已知抛物线：x2＝8AB是抛物线的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ11．(14分)(2011•济南模拟)已知定点F(0,1)和直线l1：＝－1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点(1)求动点的轨迹方程；(2)过点F的直线l2交轨迹于两点P、Q，交直线l1于点R，求RP→•RQ→的最小值．学案3抛物线自主梳理1．相等焦点准线自我检测1．2．B[因为抛物线的准线方程为x＝－2，所以p2＝2，所以p＝4，所以抛物线的方程是2＝8x所以选B]3．B4 B堂活动区例 1 解题导引重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化，是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．解将x＝3代入抛物线方程2＝2x，得＝±6∵6>2，∴A在抛物线内部．设抛物线上点P到准线l：x＝－12的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为72，即|PA|＋|PF|的最小值为72，此时P点纵坐标为2，代入2＝2x，得x＝2，∴点P坐标为(2,2)．变式迁移1A[点P到抛物线焦点的距离等于点P到抛物线准线的距离，如图，|PF|＋|PQ|＝|PS|＋|PQ|，故最小值在S，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是－1，点P的坐标为14，－1]例2 解题导引(1)求抛物线方程时，若由已知条可知所求曲线是抛物线，一般用待定系数法．若由已知条可知所求曲线的动点的轨迹，一般用轨迹法；(2)待定系数法求抛物线方程时既要定位(即确定抛物线开口方向)，又要定量(即确定参数p的值)．解题关键是定位，最好结合图形确定方程适合哪种形式，避免漏解；(3)解决抛物线相关问题时，要善于用定义解题，即把|PF|转化为点P 到准线的距离，这种“化斜为直”的转化方法非常有效，要注意领会和运用．解方法一设抛物线方程为x2＝－2p (p>0)，则焦点为F0，－p2，准线方程为＝p2∵(，－3)在抛物线上，且|F|＝，∴2＝6p，2＋－3＋p22＝，解得p＝4，＝±26∴抛物线方程为x2＝－8，＝±26，准线方程为＝2方法二如图所示，设抛物线方程为x2＝－2p (p>0)，则焦点F0，－p2，准线l：＝p2，作N⊥l，垂足为N则|N|＝|F|＝，而|N|＝3＋p2，∴3＋p2＝，∴p＝4∴抛物线方程为x2＝－8，准线方程为＝2由2＝(－8)×(－3)，得＝±26变式迁移2解(1)双曲线方程化为x29－216＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为2＝－2px (p>0)且－p2＝－3，∴p＝6∴方程为2＝－12x(2)由于P(2，－4)在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为2＝x (>0)或x2＝n (n<0)，代入P点坐标求得＝8，n＝－1，∴所求抛物线方程为2＝8x或x2＝－例 3 解题导引解决焦点弦问题时，抛物线的定义有着广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．焦点弦有以下重要性质(AB为焦点弦，以2＝2px (p>0)为例)：①12＝－p2，x1x2＝p24；②|AB|＝x1＋x2＋p证明(1)方法一由抛物线的方程可得焦点坐标为Fp2，0设过焦点F的直线交抛物线于A，B两点的坐标分别为(x1，1)、(x2，2)．①当斜率存在时，过焦点的直线方程可设为＝x－p2，由＝x－p2，2＝2px，消去x，得2－2p－p2＝0(*)当＝0时，方程(*)只有一解，∴≠0，由韦达定理，得12＝－p2；②当斜率不存在时，得两交点坐标为p2，p，p2，－p，∴12＝－p2综合两种情况，总有12＝－p2方法二由抛物线方程可得焦点Fp2，0，设直线AB的方程为x＝＋p2，并设A(x1，1)，B(x2，2)，则A、B坐标满足x＝＋p2，2＝2px，消去x，可得2＝2p＋p2，整理，得2－2p－p2＝0，∴12＝－p2(2)直线A的方程为＝1x1x，∴点坐标为－p2，－p12x1，＝－p12x1＝－p212px1∵点A(x1，1)在抛物线上，∴21＝2px1又由(1)知，12＝－p2，∴＝12•121＝2，∴B∥x轴．变式迁移3证明(1)∵2＝2px (p>0)的焦点Fp2，0，设直线方程为＝x－p2 (≠0)，由＝x－p22＝2px，消去x，得2－2p－p2＝0∴12＝－p2，x1x2＝1224p2＝p24，当不存在时，直线方程为x＝p2，这时x1x2＝p24因此，x1x2＝p24恒成立．(2)1|AF|＋1|BF|＝1x1＋p2＋1x2＋p2＝x1＋x2＋px1x2＋p2x1＋x2＋p24又∵x1x2＝p24，代入上式得1|AF|＋1|BF|＝2p＝常数，所以1|AF|＋1|BF|为定值．后练习区1．D[方法一由＝2x－4，2＝4x，得x＝1，＝－2或x＝4，＝4 令B(1，－2)，A(4,4)，又F(1,0)，∴由两点间距离公式得|BF|＝2，|AF|＝，|AB|＝3∴s∠AFB＝|BF|2＋|AF|2－|AB|22|BF|•|AF|＝4＋2－42×2×＝－4方法二由方法一得A(4,4)，B(1，－2)，F(1,0)，∴FA→＝(3,4)，FB→＝(0，－2)，∴|FA→|＝32＋42＝，|FB→|＝2∴s∠AFB＝FA→•FB→|FA→|•|FB→|＝3×0＋4×－2×2＝－4]2．[如图所示，A，B两点关于x轴对称，F点坐标为(p2，0)，设A(，2p)(>0)，则由抛物线定义，|AF|＝|AA1|，即＋p2＝|AF|又|AF|＝|AB|＝22p，∴＋p2＝22p，整理，得2－7p＋p24＝0，①∴Δ＝(－7p)2－4×p24＝48p2>0，∴方程①有两相异实根，记为1，2，且1＋2＝7p>0，1•2＝p24>0，∴1>0，2>0，∴n＝2]3．4．A[过P作P⊥l (l为抛物线的准线)于，则|PF|＝|P|，∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋|P|∴当P点的纵坐标与A点的纵坐标相同时，|PA|＋|P|最小，此时P点的纵坐标为1，把＝1代入2＝－4x，得x＝－14，即当P点的坐标为－14，1时，|PA|＋|PF|最小．]．B66－1解析如图所示，若圆的半径取到最大值，需圆与抛物线及直线x＝3同时相切，设圆心的坐标为(a,0)(a<3)，则圆的方程为(x－a)2＋2＝(3－a)2，与抛物线方程2＝2x联立得x2＋(2－2a)x＋6a－9＝0，由判别式Δ＝(2－2a)2－4(6a－9)＝0，得a＝4－6，故此时半径为3－(4－6)＝6－17．42解析由题意可设AB的方程为＝x＋，与抛物线方程联立得x2－4x －4＝0，线段AB中点坐标为(2,2)，x1＋x2＝4＝4，得＝1又∵1＋2＝(x1＋x2)＋2＝4，∴＝0从而直线AB：＝x，|AB|＝2||＝428324解析抛物线的焦点F的坐标为p2，0，线段FA的中点B的坐标为p4，1，代入抛物线方程得1＝2p×p4，解得p＝2，故点B的坐标为24，1，故点B到该抛物线准线的距离为24＋22＝3249．解设直线和抛物线交于点A(x1，1)，B(x2，2)，(1)当抛物线开口向右时，设抛物线方程为2＝2px (p>0)，则2＝2px ＝2x＋1，消去得，4x2－(2p－4)x＋1＝0，∴x1＋x2＝p－22，x1x2＝14，(4分)∴|AB|＝1＋2|x1－x2|＝•x1＋x22－4x1x2＝•p－222－4×14＝1，(7分)则p24－p＝3，p2－4p－12＝0，解得p＝6(p＝－2舍去)，抛物线方程为2＝12x(9分)(2)当抛物线开口向左时，设抛物线方程为2＝－2px (p>0)，仿(1)不难求出p＝2，此时抛物线方程为2＝－4x(11分)综上可得，所求的抛物线方程为2＝－4x或2＝12x(12分)10．证明因为直线AB与x轴不垂直，设直线AB的方程为＝x＋2，A(x1，1)，B(x2，2)．由＝x＋2，＝18x2，可得x2－8x－16＝0，x1＋x2＝8，x1x2＝－16(4分)抛物线方程为＝18x2，求导得′＝14x(7分)所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是1＝14x1，2＝14x2，12＝14x1•14x2＝116x1•x2＝－1(10分)所以AQ⊥BQ(12分)11．解(1)由题设点到点F的距离等于它到l1的距离，所以点的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，∴所求轨迹的方程为x2＝4(分)(2)由题意直线l2的方程为＝x＋1，与抛物线方程联立消去得x2－4x －4＝0记P(x1，1)，Q(x2，2)，则x1＋x2＝4，x1x2＝－4(8分)因为直线PQ的斜率≠0，易得点R的坐标为－2，－1(9分)RP→•RQ→＝x1＋2，1＋1•x2＋2，2＋1＝x1＋2x2＋2＋(x1＋2)(x2＋2)＝(1＋2)x1x2＋2＋2(x1＋x2)＋42＋4＝－4(1＋2)＋42＋2＋42＋4＝42＋12＋8，(11分)∵2＋12≥2，当且仅当2＝1时取到等号．RP→•RQ→≥4×2＋8＝16，即RP→•RQ→的最小值为16 (14分)。