高考数学(理科)一轮复习抛物线学案附答案
2023年新高考数学一轮复习9-5 抛物线(真题测试)含详解
专题9.5 抛物线（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线24y x =上一点M 到x 轴的距离是2，则点M 到焦点F 的距离为（ ）A B ．2C ．D ．32．（2023·全国·高三专题练习）抛物线21:4E y x =的焦点到其准线的距离为（ ） A ．18B ．14C ．2D ．43．（2022·全国·高考真题（文））设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（ ）A ．2B ．C ．3D ．4．（2021·全国·高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ）A ．1B ．2C ．D ．45．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）．A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP6.（2019·全国·高考真题（文））若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．87．（山东·高考真题（文））已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 ,A B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．1x = B ．1x =- C ．2x =D ．2x =-8.（2017·全国·高考真题（理））已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16B ．14C ．12D ．10二、多选题9．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ） A ．C 的准线为1y =- B ．直线AB 与C 相切 C ．2|OP OQ OA ⋅>D ．2||||||BP BQ BA ⋅>10．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（ ）A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒11．（2022·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，抛物线E 的方程为214y x =，E 的焦点为F ，直线l 与E 交于A ，B 两点，且AB 的中点到x 轴的距离为2，则下列结论正确的是（ ）A ．E 的准线方程为116y =- B ．AB 的最大值为6C ．若2AF FB =，则直线AB 的方程为1y x =+D ．若OA OB ⊥，则AOB 面积的最小值为1612．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线Γ：()220x py p =>，过其准线上的点(),1T t -作的两条切线，切点分别为A ，B ，下列说法正确的是（ ） A ．2p =B ．当1t =时，TA TB ⊥C ．当1t =时，直线AB 的斜率为2D ．TAB △面积的最小值为4三、填空题13．（2018·北京·高考真题（文））已知直线l 过点（1,0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：26y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，线段FA 的长度为半径的圆交C 的准线于M ，N 两点，且A ，F ，M 三点共线，则AF =______．15．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M ，N 两点，且线段MN 的中点是点F ，则该双曲线的离心率等于______.16.（2021·北京·高考真题）已知抛物线24y x =的焦点为F ，点M 在抛物线上，MN 垂直x 轴与于点N .若6MF =，则点M 的横坐标为_______； MNF 的面积为_______．四、解答题17.（2017·北京·高考真题（理））已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点． (1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．18.（2019·全国·高考真题（理））已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．19．（2019·北京·高考真题（理））已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．20．（2022·全国·高考真题（理））设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =． (1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．21.（2020·全国·高考真题（理））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.22.（2021·全国·高考真题（文））已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.专题9.5 抛物线（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线24y x =上一点M 到x 轴的距离是2，则点M 到焦点F 的距离为（ ）A B ．2C ．D ．3【答案】B【分析】有题意可知()1,2M ±,由焦点(1,0)F 则可求出点M 到焦点F 的距离. 【详解】M 到x 轴的距离是2，可得()1,2M ±，焦点(1,0)F 则点M 到焦点的距离为2. 故选:B.2．（2023·全国·高三专题练习）抛物线21:4E y x =的焦点到其准线的距离为（ ） A ．18B ．14C ．2D ．43．（2022·全国·高考真题（文））设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（ ）A ．2B ．C ．3D ．故选：B4．（2021·全国·高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ） A ．1 B ．2 C．D ．45．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）．A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP【详解】如图所示：．故选：B.6.（2019·全国·高考真题（文））若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．87．（山东·高考真题（文））已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 ,A B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．1x = B ．1x =- C ．2x = D ．2x=-8.（2017·全国·高考真题（理））已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16 B ．14C ．12D ．10二、多选题9．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ） A ．C 的准线为1y =- B ．直线AB 与C 相切 C ．2|OP OQ OA ⋅> D ．2||||||BP BQ BA ⋅>所以2212||||(1)||15BP BQ k x x k ⋅=+=+>，而2||5BA =，故D 正确.故选：BCD10．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)Cy px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（ ） A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒33选项；由0OA OB ⋅<，0MA MB ⋅<求得，易得(,0)2p F ，由AF AM =3(4p OA OB ⋅=又(4p MA MB ⋅=-又360AOB AMB OAM OBM ∠+∠+∠+∠=，则180OAM OBM ∠+∠<，D 正确. 故选：ACD.11．（2022·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，抛物线E 的方程为214y x =，E 的焦点为F ，直线l 与E 交于A ，B 两点，且AB 的中点到x 轴的距离为2，则下列结论正确的是（ ）A ．E 的准线方程为116y =- B ．AB 的最大值为6C ．若2AF FB =，则直线AB 的方程为1y x =+D ．若OA OB ⊥，则AOB 面积的最小值为16 ，联立抛物线，由2AF FB =解出A 即可求出面积最小值，即可判断D 选项.【详解】由2AF FB =得直线设直线AB 的方程为4A B x x =-.由于2AF FB =，所以22x =±，所以2124A A y x ==，直线AB 的方程为),y OA ⊥所以AOB 面积的是小值为故选：BCD.12．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线Γ：()220x py p =>，过其准线上的点(),1T t -作的两条切线，切点分别为A ，B ，下列说法正确的是（ ） A ．2p =B ．当1t =时，TA TB ⊥C ．当1t =时，直线AB 的斜率为2D ．TAB △面积的最小值为4220x y ，故AB k C ，切线方程TA ：的方程为1xt y -=-三、填空题13．（2018·北京·高考真题（文））已知直线l过点（1,0）且垂直于x轴，若l被抛物线24y ax=截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：26=的焦点为F，y xA为C上一点且在第一象限，以F为圆心，线段FA的长度为半径的圆交C的准线于M，N两点，且A，F，M三点共线，则AF=______．【答案】6【分析】根据圆的几何性质以及抛物线的定义即可解出．故答案为：6．15．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F与双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M，N两点，且线段MN的中点是点F，则该双曲线的离心率等于______.M在抛物线上，所以M在双曲线上，22cb=-故答案为：16.（2021·北京·高考真题）已知抛物线24y x=的焦点为F，点M在抛物线上，MN垂直x轴与于点N.若6MF=，则点M的横坐标为_______；MNF的面积为_______．FMNS.【FMNS=故答案为：四、解答题17.（2017·北京·高考真题（理））已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点．故A 为线段BM 的中点.18.（2019·全国·高考真题（理））已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |． 利用3AP PB =可得y ()22,B x y 1252x x ∴+= 3AP PB = ∴则419AB =+⋅19．（2019·北京·高考真题（理））已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．D p，过F的直线交C于20．（2022·全国·高考真题（理））设抛物线2=>的焦点为F，点(),0:2(0)C y px pMF=．M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，3(1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．21.（2020·全国·高考真题（理））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.）(),0F c ，的方程为x =21c=+，解得抛物线2C 的方程为24y cx =，联立24x c y cx=⎧⎨=⎩，43CD =即223c ac +01e <<，解得（2）[方法一由椭圆的第二定义知所以12-a22.（2021·全国·高考真题（文））已知抛物线2=>的焦点F到准线的距离为2．C y px p:2(0)（1）求C的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值. ，则(99PQ QF ==-)09,10y ，由P 在抛物线上可得Q 的轨迹方程为的斜率0025OQ y k x ==(1,0),9=PQ QF ，所以29(1)9x y =-=-，所以的斜率为244=y x t 方法四利用参数法，由题可设()24,4(0),(,)>P t t t Q x y ，求得x,y 关于t 的参数表达式，得到直线OQ 的斜率关于t 的表达式，结合使用基本不等式，求得直线OQ 斜率的最大值.。
2023年高考数学一轮复习精讲精练第29练 抛物线(解析版)
第29练 抛物线学校____________ 姓名____________ 班级____________一、单选题1．抛物线22y x =的焦点到其准线的距离是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A 【详解】解：抛物线22y x =的焦点为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为12x =-，所以焦点到准线的距离11122d ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭； 故选：A2．已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，6PF =，则点P 的横坐标为（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．2【答案】C 【详解】解：设点P 的横坐标为0x ，抛物线28y x =的准线方程为2x =-， 点P 在抛物线上，||6PF =，026x ∴+=，04x ∴=．故选：C ．3．过点()1,2-，且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是（ ） A ．24y x = B ．24y x =-C ．212=-x yD ．212x y =【答案】C 【详解】解：依题意设抛物线方程为2x my =，因为抛物线过点()1,2-， 所以()212m =⨯-，解得12m =-，所以抛物线方程为212=-x y ；故选：C4．抛物线24y x =上A 点到焦点F 的距离为1716，则点A 的纵坐标为（ ）A ．1B ．1716C ．116D ．916【答案】A 【详解】解：由题得214x y =，所以抛物线的准线方程为116y =-. 设点A 纵坐标为A y ,则117()1616A y --=，所以1A y =. 故选：A5．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，直线PF 交y 轴于点Q ，若3PF FQ =，则点P 到准线l 的距离为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【详解】解：由抛物线2:4C y x =，可知(1,0)F ，准线l 的方程为1x =-， 过点P 作y 轴的垂线，垂足为N ， 因为OF PN ∥，所以||||1||||4OF FQ PN QP ==， 所以||4||4PN FO ==，所以点P 到准线l 的距离为415+=． 故选：C ．6．已知抛物线E :24x y =的准线交y 轴于点M ，过点M 作直线l 交E 于A ，B 两点，且0BM BA +=，则直线l 的斜率是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【详解】解：抛物线2:4E x y =的准线为1y =-，所以()0,1M -，由题意可知直线l 的斜率存在，故设直线l 为1y kx =-，()11,A x y ，()22,B x y ，则214y kx x y =-⎧⎨=⎩，即2440x kx -+=， 所以124x x k +=，124x x ⋅=，因为0BM BA +=，即()()()2212121212,1,2,12(0,0)x y x x y y x x y y -----=--+-=+， 所以122x x =，所以21x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩21x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩所以124x x k +==故选：B7．已知O 是坐标原点，F 是抛物线C ：()220y px p =>的焦点，()0,4P x 是C 上一点，且4=PF ，则POF 的面积为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】C 【详解】由题可知0042162p x px ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得024x p =⎧⎨=⎩，所以POF 的面积为12442⨯⨯=，故选：C8．已知抛物线2x my =焦点的坐标为(0,1)F ，P 为抛物线上的任意一点，(2,2)B ，则||||PB PF +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．112【答案】A 【详解】因为抛物线2x my =焦点的坐标为()0,1，所以14m=，解得4m =． 记抛物线的准线为l ，作PN l ⊥于N ，作BAl 于A ，则由抛物线的定义得||||||||||3PB PF PB PN BA +=+=，当且仅当P 为BA 与抛物线的交点时，等号成立．故选：A.9．已知抛物线2:8W x y =-，点()11,A x y ，()22,B x y 是曲线W 上两点，若128y y +=-，则AB 的最大值为（ ）A ．10B ．14C ．12D ．16【答案】C 【详解】设抛物线2:8W x y =-的焦点为F ，则(0,2)F -,焦准距4p =,准线方程为2y =， 根据抛物线的定义得，()124AF BF y y +=-+． 又128y y +=-，所以12AF BF +=．因为AF BF AB +≥，当且仅当A ，F ，B 三点共线时等号成立，即12AB ≤， 所以AB 的最大值为12， 故选：C10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为,F P 是C 上位于第一象限内的一点，若C 在点P 处的切线与x 轴交于M 点，与y 轴交于N 点，则与PF 相等的是（ ） A ．MN B ．FN C ．PM D ．ON【答案】B 【详解】解：如图，设2,(0)2a P a a p ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由22x y p =，得x y p '=， 所以C 在点P 处的切线方程为()22a a y x a p p -=-，从而2,0,0,22a a M N p ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据抛物线的定义，得2;22a p PF p =+又(0,)2pF ，222222p a a p FN p p ⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭，所以;PF FN ON =>由2,,,022a a P a M p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20,2a N p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，得M 是PN 的中点，则MF PN ⊥，从而PF PM MN >=． 故选：B ．二、多选题11．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点，则下列结论正确的有（ ）A ．焦点F 到抛物线准线的距离为2B ．若2PF =，则点P 的坐标为()1,2C ．过焦点F 且垂直于x 轴的直线被抛物线所截得的弦长为2D ．若点M 的坐标为()1,4，则PM PF +的最小值为4 【答案】AD 【详解】由抛物线的解析式知2p =，所以抛物线的焦点()1,0F ，准线方程为1x =-，所以焦点F 到抛物线准线的距离为2，故选项A 正确；设抛物线上点(),P x y ，则12PF x =+=，解得1x =，故2y =±，则点P 的坐标有两个，故选项B 错误；过焦点F 且垂直于x 轴的直线被抛物线所截得的弦为通径，长为24p =，故选项C 错误； 由抛物线的图像及点M 的位置可知，当M ，P ，F 三点共线时，PM PF +取得最小值，即4MF ==，故选项D 正确，故选；AD ．12．已知抛物线2y x 的焦点为F ，()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）A ．点F 的坐标为10,4⎛⎫⎪⎝⎭B ．若直线MN 过点F ，则1214x x =-C ．若MF NF λ=，则MN 的最小值为12D ．若32MF NF +=，则线段MN 的中点P 到x 轴的距离为12 【答案】ABD 【详解】对A ：因为抛物线方程为2x y =，其焦点在y 轴上，故其焦点为10,4⎛⎫⎪⎝⎭，A 正确；对B ：显然过点F 的直线斜率存在，故可设经过焦点F 的直线方程为14y kx =+，联立抛物线方程可得：2104x kx --=，可得12x x k +=，1214x x =-，故B 正确；对C ：若MF NF λ=，则M ，N ，F 三点共线，则()12122MN y y p k x x p =++=++，由B 中所得可知：211MN k =+≥，故C 错误；对D ：32MF NF +=，即121+223y y +=，即121y y +=， ∴12122P y y y +==，故D 正确. 故选：ABD . 三、解答题13．已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，直线x n =与抛物线E 交于,A B 两点，当36n =时，(OAB O 为坐标原点）是等边三角形.(1)求抛物线E 的方程.(2)延长AF 交抛物线E 于点C ，试问直线BC 是否恒过点D ？若是，求出点D 的坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1)212y x =(2)是，()3,0D - 【解析】(1)由题意可得A B y y ==则2236p ⨯=，解得6p . 故抛物线E 的方程为212y x =. (2)由（1）可知()3,0F ，设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y . 因为,,A C F 三点共线，所以AF CF k k =，即311333y y x x =--，即312213331212y y y y =--， 整理得()()1313360y y y y -+=. 因为13y y ≠，所以1336y y =-.由题意可知直线BC 的斜率不为0，设直线BC 的方程为x my t =+.联立2,12,x my t y x =+⎧⎨=⎩整理得212120,y my t --=，则223Δ144480,12m t y y t =+>=-.因为,A B 关于x 轴对称，所以21y y =-，则131236y y t ==-，解得3t =-. 故直线BC 的方程为3x my =-，即直线BC 恒过点()3,0D -. 14．已知P (1，2)在抛物线C ：y 2＝2px 上． (1)求抛物线C 的方程；(2)A ，B 是抛物线C 上的两个动点，如果直线P A 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点．【答案】(1)y 2＝4x (2)证明见解析 【解析】(1)P 点坐标代入抛物线方程得4＝2p ， ∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x ． (2)证明：设AB ：x ＝my +t ，将AB 的方程与y 2＝4x 联立得y 2﹣4my ﹣4t ＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4t ，所以Δ＞0⇒16m 2+16t ＞0⇒m 2+t ＞0，1121112241214PA y y k y x y --===-+-，同理：242PBk y =+， 由题意：1244222y y +=++， ∴4(y 1+y 2+4)＝2(y 1y 2+2y 1+2y 2+4)， ∴y 1y 2＝4， ∴﹣4t ＝4， ∴t ＝﹣1，故直线AB 恒过定点(﹣1，0)．15．已知抛物线()2:20C y px p =>上的点M 与焦点F 的距离为52，且点M的纵坐标为(1)求抛物线C 的方程和点M 的坐标；(2)若直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，且MA MB ⊥，证明直线l 过定点. 【解析】(1)设(0M x ，则0052224p x px p⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：021x p =⎧⎨=⎩，∴抛物线2:2C y x =；()2,2M .(2)由题意知：直线l 斜率不为零，可设:l x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由22y xx my n ⎧=⎨=+⎩得：2220y my n，2480m n ∴∆=+>，即220m n +>；122y y m ∴+=，122y y n ；1121112224222MA y y k y x y --===--+，2222222224222MB y y k y x y --===--+，又MA MB ⊥，()()()12121244412224244MA MBk k y y y y y y n m ∴⋅====-+++++-++； 则24n m =+（此时()222248240m n m m m +=++=++>成立）， ∴直线():2424l x my m m y =++=++，当2y =-时，4x =，∴直线l 恒过定点()4,2-.。
高考数学第一轮复习：《抛物线》
高考数学第一轮复习：《抛物线》最新考纲1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想．3.了解抛物线的简单应用.【教材导读】1．若抛物线定义中定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是什么图形？提示：当定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是过点F 且与直线l 垂直的直线． 2．抛物线的标准方程中p 的几何意义是什么？ 提示：p 的几何意义是焦点到准线的距离．1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程及其简单几何性质标准 方程 y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)图形顶点 (0,0)对称轴 x 轴y 轴焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2 离心率 e ＝1准线方程x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p2y ＝p 2【重要结论】抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2 α(α为弦AB 的倾斜角)． (3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p .1．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( ) (A)(－1,0) (B)(1,0) (C)(0，－1)(D)(0,1)B 解析：由准线过已知点可求出p 的值，进而可求出抛物线的焦点坐标．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2且过点(－1,1)，故－p2＝－1，解得p ＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．2．若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为( ) (A)2 (B)12 (C)14(D)18D 解析：本题考查抛物线的定义．抛物线y ＝2x 2上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，所以最小距离是p 2，又2p ＝12，则p 2＝18，即|PF |的最小值为18，故选D.3．已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( ) (A)2 (B)12 (C)32(D)52C 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4， 又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3， 所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32.4．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)，若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．解析：依题意知F 坐标为p2，0， 所以B 的坐标为p4，1代入抛物线方程得 p 22＝1，解得p ＝2，所以抛物线准线方程为x ＝－22，所以点B 到抛物线准线的距离为24＋22＝34 2. 答案：34 25．直线l 过抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是6，AB 的中点到x 轴的距离是1，则此抛物线方程是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2＋p ＝6，∴p ＝4.即抛物线方程为x 2＝8y .答案：x 2＝8y考点一 抛物线的定义及其应用(1)长为2的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝x 上滑动，则线段AB 的中点M到y 轴距离的最小值是________．(2)已知点P 是抛物线y 2＝4x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是(4，a )，则当|a |＞4时，|P A |＋|PM |的最小值是________．(3)已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________．解析：(1)如图，AB＝2，要使AB的中点M到y轴的距离最小，则|BG|＋|AE|的值最小，即|AF|＋|BF|的值最小．在△ABF中，|AF|＋|BF|≥|AB|，当A，B，F三点共线时取等号，即当线段AB过焦点F时，AB的中点M到y轴的距离最小，最小值为|AE|＋|BG|2－14＝1－14＝34.(2)将x＝4代入抛物线的方程y2＝4x，得y＝±4.又|a|＞4，所以点A在抛物线的外部．由题意知F(1,0)，设抛物线上点P到准线l：x＝－1的距离为|PN|，由定义知，|P A|＋|PM|＝|P A|＋|PN|－1＝|P A|＋|PF|－1.画出简图(图略)，易知当A，P，F三点共线时，|P A|＋|PF|取得最小值，此时|P A|＋|PM|也最小，最小值为|AF|－1＝9＋a2－1.(3)由题意知F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2.依据抛物线的定义知，当|AB为通径，即|AB|＝2p＝4时，|AB|的值最小，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.答案：(1)34(2)9＋a2－1(3)2【反思归纳】利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的相互转化．【即时训练】(1)已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值是()(A)522＋2 (B)522＋1 (C)522－2(D)522－1(2)若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( )(A)(0,0) (B)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 (C)(1，2)(D)(2,2)解析：(1)如图，点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，从而P 到y 轴的距离等于点P 到焦点F 的距离减1，过焦点F 作直线x －y ＋4＝0的垂线，此时d 1＋d 2＝|PF |＋d 2－1最小．因为F (0,1)，则|PF |＋d 2＝|1－0＋4|1＋1＝522，则d 1＋d 2的最小值为522－1.(2)过M 点作左准线的垂线，垂足是N ，则|MF |＋|MA |＝|MN |＋|MA |，当A ，M ，N 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值，此时M (2,2)．故选D.答案：(1)D (2)D考点二 抛物线的标准方程及性质(1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 到焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为( )(A)±3 (B)±1 (C)±34(D)±33(2)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为103，则|AB |＝( )(A)133 (B)143 (C)5(D)163(3)过抛物线C ：x 2＝2y 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则|AF |＝( )(A)1 (B)2 (C)3(D)4解析：(1)设M (x 0，y 0)，易知焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由抛物线的定义得|MF |＝x 0＋p 2＝2p ，所以x 0＝32p ，故y 20＝2p ×32p ＝3p 2，解得y 0＝±3p ，故直线MF 的斜率k ＝±3p 32p －p 2＝±3，选A. (2)∵p ＝2，∴|AB |＝2＋103＝163.故选D. (3)∵x 2＝2y ，∴y ＝x 22，∴y ′＝x ，∵抛物线C 在点B 处的切线斜率为1， ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 ∵抛物线x 2＝2y 的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，∴直线l 的方程为y ＝12， ∴|AF |＝|BF |＝1.故选A. 答案：(1)A (2)D (3)A【反思归纳】 (1)抛物线几何性质的确定由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离；从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．(2)求抛物线的标准方程的方法①因为抛物线方程有四种上标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．②因为未知数只有p，所以只需利用待定系数法确定p值即可．提醒：求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx 或x2＝my(m≠0)．【即时训练】(1)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为()(A)y2＝3 2x(B)y2＝3x(C)y2＝9 2x(D)y2＝9x(2)若双曲线C：2x2－y2＝m(m＞0)与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，且|AB|＝43，则m的值是________．答案：(1)B(2)20考点三直线与抛物线的位置关系考查角度1：直线与抛物线的交点问题．如图，已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，焦点为F，过点G(p,0)作直线l交抛物线C 于A ，M 两点，设A (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)．(1)若y 1y 2＝－8，求抛物线C 的方程；(2)若直线AF 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点B ，直线BG 交抛物线C 于另一点N .求证：直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．解：(1)设直线AM 的方程为x ＝my ＋p ，代入y 2＝2px 得y 2－2mpy －2p 2＝0， 则y 1y 2＝－2p 2＝－8，得p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)证明：设B (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)． 由(1)可知y 3y 4＝－2p 2，y 1y 3＝－p 2. 又直线AB 的斜率k AB ＝y 3－y 1x 3－x 1＝2p y 1＋y 3，直线MN 的斜率k MN ＝y 4－y 2x 4－x 2＝2py 2＋y 4，∴k AB k MN ＝y 2＋y 4y 1＋y 3＝－2p 2y 1＋－2p 2y 3y 1＋y 3＝－2p 2y 1y 3(y 1＋y 3)y 1＋y 3＝2.故直线AB 与直线MN 斜率之比为定值． 【反思归纳】 直线与抛物线位置关系的判断直线y ＝kx ＋m (m ≠0)或x ＝my ＋n 与抛物线y 2＝2px (p >0)联立方程组，消去y ，得到k 2x 2＋2(mk －p )x ＋m 2＝0的形式．当k ＝0时，直线和抛物线相交，且与抛物线的对称轴平行，此时与抛物线只有一个交点；当k ≠0时，设其判别式为Δ，(1)相交：Δ>0⇔直线与抛物线有两个交点； (2)相切：Δ＝0⇔直线与抛物线有一个交点； (3)相离：Δ<0⇔直线与抛物线没有交点．提醒：过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点；两条切线和一条平行于对称轴的直线．考查角度2：直线与抛物线的相交弦问题设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l .已知点A 在抛物线C 上，点B 在l 上，△ABF 是边长为4的等边三角形．(1)求p 的值；(2)在x 轴上是否存在一点N ，当过点N 的直线与抛物线C 交于Q 、R 两点时，1|NQ |2＋1|NR |2为定值？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．解析：(1)由题知，|AF |＝|AB |，则AB ⊥l .设准线与x 轴交于点D ，则AB ∥DF .又△ABF 是边长为4的等边三角形，∠ABF ＝60°，所以∠BFD ＝60°，|DF |＝|BF |·cos ∠BFD ＝4×12＝2，即p＝2.(2)设点N (t,0)，由题意知直线的斜率不为零， 设直线的方程为x ＝my ＋t ，点Q (x 1，y 1)，R (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t y 2＝4x 得，y 2－4my －4t ＝0，则Δ＝16m 2＋16t ＞0，y 1＋y 2＝4m ，y 1·y 2＝－4t .又|NQ |2＝(x 1－t )2＋y 21＝(my 1＋t －t )2＋y 21＝(1＋m 2)y 21，同理可得|NR |2＝(1＋m 2)y 22，则有1|NQ |2＋1|NR |2＝1(1＋m 2)y 21＋1(1＋m 2)y 22＝y 21＋y 22(1＋m 2)y 21y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2(1＋m 2)y 21y 22＝16m 2＋8t 16(1＋m 2)t 2＝2m 2＋t (2m 2＋2)t2. 若1|NQ |2＋1|NR |2为定值，则t ＝2，此时点N (2,0)为定点． 又当t ＝2，m ∈R 时，Δ＞0，所以，存在点N (2,0)，当过点N 的直线与抛物线C 交于Q 、R 两点时，1|NQ |2＋1|NR |2为定值14.【反思归纳】 直线与抛物线相交问题处理规律(1)凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用根与系数的关系，避免求交点坐标的复杂运算．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．(2)对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图象结合几何性质做出解答．并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用.抛物线的综合问题已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.审题点拨关键点 所获信息 抛物线y 2＝4x 可求焦点坐标 ∠AMB ＝90°k MA ·k MB ＝－1解题突破：把∠AMB ＝90°转化为斜率之积为－1.解析：由题意知，抛物线的焦点坐标为F (1,0)，设直线方程为y ＝k (x －1)，直线方程与y 2＝4x 联立，消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2. 由M (－1,1)，得AM→＝(－1－x 1,1－y 1)，BM →＝(－1－x 2,1－y 2)．由∠AMB ＝90°，得AM →·BM →＝0，∴ (x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0， ∴ x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0. 又y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)，∴ 1＋2k 2＋4k 2＋1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k 2＋4k 2＋1－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 2－2＋1＝0，整理得4k 2－4k ＋1＝0，解得k ＝2.答案：2命题意图：本题重点考查直线与抛物线的应用，考查考生的运算能力．课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( )(A)12 (B)1 (C)32(D)2B 解析：设P (x p ，y p )，由题可得抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1，又点P 到焦点F 的距离为2，∴由定义知点P 到准线的距离为2，∴x P ＋1＝2，∴x P ＝1，代入抛物线方程得|y P |＝2，∴△OFP 的面积为S ＝12·|OF |·|y P |＝12×1×2＝1.故选B.2．若抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是(0,1)，则a ＝( ) (A)1 (B)14 (C)2(D)12B 解析：因为抛物线方程为x 2＝1a y ，所以其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，则有14a ＝1，a ＝14，故选B.3．已知P 为抛物线y 2＝－6x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －6)2＝14上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到y 轴距离之和的最小值是( )(A)317－72(B)317－42 (C)317－12(D)317＋12B 解析：结合抛物线的定义知，P 到y 轴的距离为P 到焦点的距离减去32，则所求最小值为抛物线的焦点到圆心的距离减去半径及32，即62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－12－32＝317－42，故选B.4．若点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，O是坐标原点，若正三角形OAB的面积为43，则该抛物线方程是()(A)y2＝233x(B)y2＝3x(C)y2＝23x(D)y2＝3 3xA解析：根据对称性，AB⊥x轴，由于正三角形的面积是43，故34AB2＝43，故AB＝4，正三角形的高为23，故可以设点A的坐标为(23，2)，代入抛物线方程得4＝43p，解得p＝33，故所求的抛物线方程为y2＝233x.故选A.5．已知直线l1：4x－3y＋7＝0和直线l2：x＝－2，抛物线y2＝8x上一动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值是()(A) 5 (B)2 5(C)3 (D)3 5C解析：如图所示，过点P作PH1⊥l1，PH2⊥l2，连接PF，H1F，过F作FM⊥l1，交l1于M，由抛物线方程为y2＝8x，得l2为其准线，焦点为F(2,0)，由抛物线的定义可知|PH1|＋|PH2|＝|PH1|＋|PF|≥|FH1|≥|FM|＝|4×2－0＋7|42＋32＝3，故选C.6．已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A ，B 两点，如果OA →·OB→＝－12，那么抛物线C 的方程为( )(A)x 2＝8y (B)x 2＝4y (C)y 2＝8x(D)y 2＝4xC 解析：由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 直线方程为x ＝my ＋p2，联立⎩⎨⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋p2，消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝my 1＋p 2my 2＋p 2＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12⇒p ＝4，即抛物线C 的方程为y 2＝8x .7．过抛物线y ＝14x 2的焦点F 作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，题中的抛物线x 2＝4y 的焦点坐标是F (0,1)，直线AB 的方程为y ＝33x ＋1，即x ＝3(y －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，x ＝3(y －1)，消去x 得3(y －1)2＝4y ，即3y 2－10y ＋3＝0，y 1＋y 2＝103，|AB |＝|AF |＋|BF |＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＝y 1＋y 2＋2＝163.答案：1638．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，AB 为抛物线上的两点，以AB 为直径的圆过点F ，过AB 的中点M 作抛物线的准线的垂线MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为__________．解析：由抛物线定义得|MN ||AB |＝|AF |＋|BF |2|AF |2＋|BF |2≤|AF |2＋|BF |22|AF |2＋|BF |2＝22，即|MN ||AB |的最大值为22.答案： 229．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝5，则|BF |＝________. 解析：由题意，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AF |＝x 1＋1＝5⇒x 1＝4，y 21＝4x 1＝16， 根据对称性，不妨取y 1＝4， 所以直线AB ：y ＝43x －43，代入抛物线方程可得，4x 2－17x ＋4＝0， 所以x 2＝14， 所以|BF |＝x 2＋1＝54. 答案：5410．在平面直角坐标系中，动点M (x ，y )(x ≥0)到点F (1,0)的距离与到y 轴的距离之差为1.(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)若Q (－4,2)，过点N (4,0)作任意一条直线交曲线C 于A ，B 两点，试证明k QA ＋k QB 是一个定值．解析：(1)M 到定点F (1,0)的距离与到定直线x ＝－1的距离相等， ∴M 的轨迹C 是一个开口向右的抛物线，且p ＝2， ∴M 的轨迹方程为y 2＝4x .(2)设过N (4,0)的直线的方程为x ＝my ＋4，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋4整理得y 2－4my －16＝0，设直线l 与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则有y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－16， 又k QA ＋k QB ＝y 1－2x 1＋4＋y 2－2x 2＋4＝y 1－2my 1＋8＋y 2－2my 2＋8＝－8m 2－3216m 2＋64＝－12， 因此k QA ＋k QB 是一个定值为－12.能力提升练(时间：15分钟)11．已知直线l 1：x ＝2，l 2：3x ＋5y －30＝0，点P 为抛物线y 2＝－8x 上的任一点，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为( )(A)2 (B)234 (C)181734(D)161534C 解析：抛物线y 2＝－8x 的焦点为F (－2,0)，准线为l 1：x ＝2. ∴P 到l 1的距离等于|PF |，∴P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为F (－2,0)到直线l 2的距离d ＝|－6＋0－30|9＋25＝181734.故选C.12．已知点A (0,2)，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM ||MN |＝55，则p 的值等于( )(A)18 (B)14 (C)2(D)4C 解析：设M (x M ，y M )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y N ，由|FM ||MN |＝55，知|FM ||FN |＝15＋1，所以y N ＝(5＋1)y M ；由k F A ＝k FN 知，y N －p ＝2－p 2，所以y N ＝4，所以y M ＝45＋1；又|FM ||FN |＝15＋1，所以p 2－x M ＝15＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 2＝p 5＋1，所以x M ＝()5－1p 2(5＋1)，将(x M ，y M )代入y 2＝2px ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋12＝2p ×(5－1)p 2(5＋1)，解得p ＝2.故选C.13．已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，p 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，p 2，射线MO ，NO 分别交抛物线C 于异于点O 的点A ，B ，若A ，B ，F 三点共线，则p 的值为________．解析：直线OM 的方程为y ＝－p8x ，将其代入x 2＝2py ， 解方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－p 24y ＝p 332，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 24，p 332.直线ON 的方程为y ＝p2x ，将其代入x 2＝2py ，解方程可得⎩⎨⎧x ＝p 2y ＝p 32，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p 32.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以k AB ＝3p 8，k BF ＝p 2－12p ，因为A ，B ，F 三点共线，所以k AB ＝k BF ，即3p 8＝p 2－12p ，解得p ＝2.答案：214．顶点在原点，经过圆C ：x 2＋y 2－2x ＋22y ＝0的圆心且准线与x 轴垂直的抛物线方程为________．解析：将圆C 的一般方程化为标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝3，圆心为(1，－2)．由题意，知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，且经过点(1，－2)．设抛物线的标准方程为y 2＝2px ，因为点(1，－2)在抛物线上，所以(－2)2＝2p ，解得p ＝1，所以所求抛物线的方程为y 2＝2x .答案：y 2＝2x15．已知AB 是抛物线x 2＝4y 的一条焦点弦，若该弦的中点纵坐标是3，则弦AB 所在的直线方程是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线AB 的方程为x ＝m (y －1)，由抛物线的定义及题设可得，y 1＋y 2＝6， 直线与抛物线方程联立消去x 可得 m 2y 2－(2m 2＋4)y ＋m 2＝0， 则y 1＋y 2＝2m 2＋4m 2，即6＝2m 2＋4m 2， 可得m ＝1或m ＝－1.故直线方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0. 答案：x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝016．已知抛物线C ：y ＝mx 2(m ＞0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q ，①求抛物线C 的焦点坐标．②若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值．③是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解析：①因为抛物线C ：x 2＝1m y ，所以它的焦点F (0，14m )． ②因为|RF |＝y R ＋14m ，所以2＋14m ＝3，得m ＝14.③存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)＞0恒成立．解得m ＞－12.设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m，x 1·x 2＝－2m .(*)因为P 是线段AB 的中点，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，mx 21＋mx 222， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，y P ，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，1m .得QA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1m ，mx 21－1m ， QB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1m ，mx 22－1m ， 若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形， 则QA →·QB→＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 21－1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 22－1m ＝0， 结合(*)化简得－4m 2－6m ＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0， 所以m ＝2或m ＝－12.而2∈(－12，＋∞)，－12∉(－12，＋∞)．。
抛物线学案-2023届高三数学一轮复习
第7节 抛物线考试要求 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 知识梳理 1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的 .(2)其数学表达式：{M ||MF |＝d }(d 为点M 到准线l 的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y 2＝2px(p >0)y 2＝－2px(p >0)x 2＝2py(p >0)x 2＝－2py(p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离性质顶点对称轴焦点离心率准线方程 y ＝p2 范围 开口方向向左3.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1·x 2＝p 24.(2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角).(4)1|AF |＋1|BF |＝2p 为定值(F 是抛物线的焦点). 自主检测1.顶点在原点，且过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是________________.2. 抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点的个数为________.3.若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( ) A.2 B.3 C.4 D.84.已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，且|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34B.1C.54D.745.已知抛物线方程为y 2＝8x ，若过点Q (－2，0)的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________. 典型例题考点一 抛物线的定义、标准方程及其性质【例1】 (1)已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A.y 2＝±22x B.y 2＝±2x C.y 2＝±4x D.y 2＝±42x(2)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，若直线AF 的斜率为－3，则△P AF 的面积为( ) A.2 3 B.4 3 C.8 D.8 3(3)动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.【训练1】 (1)设抛物线y 2＝2px 的焦点在直线2x ＋3y －8＝0上，则该抛物线的准线方程为( ) A.x ＝－4 B.x ＝－3 C.x ＝－2 D.x ＝－1(2)已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，点P (4，y 0)在抛物线上，K 为l 与y 轴的交点，且|PK |＝2|PF |，则y 0＝________.考点二 与抛物线有关的最值问题 角度1 到焦点与定点距离之和(差)最值问题【例2－1】 点P 为抛物线y 2＝4x 上的动点，点A (2，1)为平面内定点，F 为抛物线焦点，则： (1)|P A |＋|PF |的最小值为________；(2)(多填题)|P A |－|PF |的最小值为________，最大值为________. 角度2 到点与准线的距离之和最值问题【例2－2】 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________.角度3 动弦中点到坐标轴距离最短问题【例2－3】 已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( ) A.34 B.32 C.1 D.2角度4 焦点弦中距离之和最小问题【例2－4】 已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________.角度5 到定直线的距离最小问题【例2－5】 抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________.【训练2】 (1)若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到A (－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫－14，1 B.⎝⎛⎭⎫14，1 C.(－2，－22) D.(－2，22)(2)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆C ：x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值是________. 考点三 直线与抛物线的综合问题【例3】 已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求直线l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.【训练3】 如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1，2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率.当堂检测1.已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，点C (－4，0)，过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是( ) A.y 2＝4x B.y 2＝－4x C.y 2＝8x D.y 2＝－8x2.设抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，点A 为C 上一点，若|F A |＝3，则直线F A 的倾斜角为( ) A.π3 B.π4 C.π3或2π3 D.π4或3π43.设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为________.4.已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________.5.已知P 为抛物线C ：y ＝x 2上一动点，直线l ：y ＝2x －4与x 轴、 y 轴交于M ，N 两点，点A (2，－4)且AP →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ的最小值为________.6.设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.7.已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值.。
2021高三数学(理)一轮复习专练53抛物线含解析
2021高三数学（理）人教版一轮复习专练53抛物线含解析专练53抛物线命题范围：抛物线的定义、标准方程与简单的几何性质[基础强化］一、选择题1．抛物线y＝14x2的焦点到其准线的距离为(）A．1 B．2C。
12D。
错误!2．已知抛物线y2＝2px（p〉0）的准线经过点（－1，1),则该抛物线的焦点坐标为(）A．（－1,0) B．（1,0)C．(0，－1) D．(0，1）3．动点M到点F(2，1)的距离和到直线l：3x＋4y－10＝0的距离相等，则动点M的轨迹为（）A．抛物线B．直线C．线段D．射线4．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线错误!－y2＝1的右焦点重合，则p的值为（）A．－4 B．4C．－2 D．25．若抛物线y2＝2px（p〉0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）A．4 B．8C．16 D．326．［2019·全国卷Ⅱ]若抛物线y2＝2px（p〉0)的焦点是椭圆错误!＋错误!＝1的一个焦点，则p＝（）A．2 B．3C．4 D．87。
如图，过抛物线y2＝2px（p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B,C，若｜BC|＝2|BF|，且|AF｜＝4，则抛物线的方程为()A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝2xD．y2＝x8．设坐标原点为O,抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A,B两点，则错误!·错误!等于()A。
错误!B．－错误!C．3 D．－39．已知抛物线y2＝2px(p〉0）的焦点为F，准线为l,过点F 的直线交抛物线于A，B两点，过点A作准线l的垂线，垂足为E，当A点坐标为(3,y0）时,△AEF为正三角形，则此时△OAB的面积为(）A.错误!B。
错误!C.错误!D.错误!二、填空题10．已知抛物线的顶点是原点,对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为______________．11．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P（x1，y1），Q(x2,y2)两点，若x1＋x2＝6，则|PQ|＝________。
高考总复习一轮数学精品课件 第九章 平面解析几何 第七节 抛物线
方程为
5
x=- =- ,所以点
2 4
A 到抛物线 C 的准线的距离为
5
1+
4
=
9
.
4
增素能 精准突破
考点一京海淀一模)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P在该抛物线上,
且P的横坐标为4,则|PF|=(
A.2
B.3
)
C.4
D.5
(2)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则
F
B.
1
0, 16
.
考点二
抛物线的标准方程与简单几何性质
典例突破
例2.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点M是抛物线C上一点,
过点M作准线l的垂线,交l于点H,若|MH|=2,∠HFM=30°,则抛物线C的标准
方程为
.
答案 y2=6x
解析 因为抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离,
距离相等
,直线l叫做抛物线的
的点的轨
准线 .
设点M是抛物线上的任意一点,它到准线l的距离为d,则抛物线定义的表达
式为|MF|=d
微思考抛物线定义中,若直线l过点F,则点的轨迹会怎么样?
提示 若直线l过点F,则到点F与到直线l距离相等的点的轨迹是过点F且与l
垂直的直线.
2.抛物线的标准方程和简单几何性质
y=x+2,联立
=
+2,
2 = 2,
得x2-2px-p2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=2p,x1x2=-p2,不妨设x1>0,x2<0,
高考数学复习抛物线方程专题练习(附答案)
高考数学复习抛物线方程专题练习（附答案）平面内，到定点与定直线的隔断相等的点的轨迹叫做抛物线。
以下是抛物线方程专题练习，请考生查缺补漏。
(2019泰州中学检测)给定圆P：x2+y2=2x及抛物线S：y2=4x，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自上而下顺次记为A，B，C，D，要是线段AB，BC，CD的长按此顺序组成一个等差数列，求直线l的方程.[解] 圆P的方程为(x-1)2+y2=1，则其直径长|BC|=2，圆心为P(1,0)，设l的方程为ky=x-1，即x=ky+1，代入抛物线方程得：y2=4ky+4，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，有则(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=16(k2+1).故|AD|2=(y1-y2)2+(x1-x2)2=(y1-y2)2+2=(y1-y2)2=16(k2+1)2，因此|AD|=4(k2+1).根据等差数列性质得2|BC|=|AB|+|CD|=|AD|-|BC|，|AD|=3|BC|=6，即4(k2+1)=6，k=，即l方程为x-y-=0或x+y-=0.2.(2019苏州调研)设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，议决点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴.求证：直线AC议决原点O.【常规证法】抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，显然直线AB 的斜率不为0，当AB斜率不存在时，直线AP方程为x=，不妨设A在第一象限，则易知A，B，C，此时kOA==2，kOC==2.kOA=kOC，A，O，C三点共线，即直线AC议决原点O.当AB斜率存在且不为0时，设直线AB方程为y=k代入y2=2px 得k2x2-(k2+2)px+=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2=，(y1y2)2=p4，由题意知y1y20，y1y2=-p2kOC======kOA直线AC过原点O，综上，直线AC议决原点O.【奇妙证法】因为抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，而直线AB的斜率不为零，所以议决点F的直线AB的方程可设为x=my+.代入抛物线方程消去x得y2-2pmy-p2=0.若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2=-p2.因为BCx轴，且点C在准线x=-上，所以点C的坐标为，故直线CO的斜率为k===，即k也是直线OA的斜率，所以直线AC议决原点O.3.(2019南师附中检测)设A(x1，y1)，B(x2，y2)为抛物线y2=2px(p0)上位于x轴两侧的两点.(1)若y1y2=-2p，证明直线AB恒过一个定点;(2)若p=2，AOB(O是坐标原点)为钝角，求直线AB在x轴上的截距的取值范畴.[解] (1)设直线AB在x轴上的截距为t，则可设直线AB的方程为x=my+t.代入y2=2px得y2=2p(my+t)，即y2-2pmy-2pt=0，于是-2p=y1y2=-2pt，所以t=1，即直线AB 恒过定点(1,0).(2)因为AOB为钝角，所以0，即x1x2+y1y20.y=2px1，y=2px2，yy=2px12px2，于是x1x2===t2，故x1x2+y1y2=t2-2pt=t2-4t.解不等式t2-4t0，得00)把点P(-2，-4)代入得(-4)2=-2p(-2).解得p=4，抛物线方程为y2=-8x.当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2=-2py(p0)，把点P(-2，-4)代入得(-2)2=-2p(-4).解得p=.抛物线方程为x2=-y.综上可知抛物线方程为y2=-8x或x2=-y.[答案] y2=-8x或x2=-y4.(2019广东高考)已知抛物线C的极点为原点，其焦点F(0，c)(c0)到直线l：x-y-2=0的隔断为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，此中A，B为切点.(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时，求|AF||BF|的最小值.[解题思路] (1)由点到直线的隔断求c的值，得到F(0，c)后可得抛物线的方程;(2)采取设而不求计谋，先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，连合导数求切线PA，PB的方程，代入点P 的坐标，根据布局，可得直线AB的方程;(3)将|AF||BF|转化为关于x(或y)的函数，再求最值.[解] (1)依题意，设抛物线C的方程为x2=4cy(c0)，由点到直线的隔断公式，得=，解得c=1(负值舍去)，故抛物线C的方程为x2=4y.(2)由x2=4y，得y=x2，其导数为y=x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x=4y1，x=4y2，切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1)，即y=x-+y1，即x1x-2y-2y1=0.同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0.因为切线PA，PB均过点P(x0，y0)，所以x1x0-2y0-2y1=0，x2x0-2y0-2y2=0，所以和为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.(3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，所以|AF||BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.由消去x并整理得到关于y的方程为y2+(2y0-x)y+y=0.由一元二次方程根与系数的干系得y1+y2=x-2y0，y1y2=y.所以|AF||BF|=y1y2+(y1+y2)+1=y+x-2y0+1.又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0-y0-2=0，即x0=y0+2，所以y+x-2y0+1=2y+2y0+5=22+，所以当y0=-时，|AF||BF|取得最小值，且最小值为.抛物线方程专题练习及答案就分享到这里，查字典数学网预祝考生可以考上自己理想的大学。
高考数学一轮复习第八章第五节抛物线讲义含解析
第五节 抛物线突破点一 抛物线的定义及其应用[基本知识]抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)AB 为抛物线y 2＝4x 的过焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝1，y 1y 2＝－4，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋2.( )答案：(1)× (2)√ 二、填空题1．已知动点P 到定点(2,0)的距离和它到直线l ：x ＝－2的距离相等，则点P 的轨迹方程为________．答案：y 2＝8x2．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝________.答案：13．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．答案：54[全析考法]考法一 抛物线的定义及应用[例1] (1)(2019·赣州模拟)若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( )A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2)D ．(2,2)(2)(2019·襄阳测试)已知抛物线y ＝12x 2的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF 与抛物线交于点N ，若|MN |＝2|NF |，则|MF |＝( )A ．2B ．3 C. 2D. 3[解析] (1)过M 点作准线的垂线，垂足是N ，则|MF |＋|MA |＝|MN |＋|MA |，当A ，M ，N 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值，此时M (2,2)．(2)如图，过N 作准线的垂线NH ，垂足为H .根据抛物线的定义可知|NH |＝|NF |，在Rt △NHM 中，|NM |＝2|NH |，则∠NMH ＝45°.在△MFK 中，∠FMK ＝45°，所以|MF |＝2|FK |.而|FK |＝1.所以|MF |＝ 2.故选C.[答案] (1)D (2)C [方法技巧]利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径．考法二 焦点弦问题焦点弦的常用结论以抛物线y 2＝2px (p ＞0)为例，设AB 是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F 是抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，A ，B 在准线上的射影为A 1，B 1，则有以下结论：(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(其中θ为直线AB 的倾斜角)，抛物线的通径长为2p ，通径是最短的焦点弦；(3)1|AF |＋1|BF |＝2p为定值； (4)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切； (5)以AF (或BF )为直径的圆与y 轴相切；(6)以A 1B 1为直径的圆与直线AB 相切，切点为F ，∠A 1FB 1＝90°； (7)A ，O ，B 1三点共线，B ，O ，A 1三点也共线．[例2] (2019·长沙四校联考)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，与抛物线的准线交于点M ，且FM ―→＝3FP ―→，则|FP ―→|＝( )A.32B.23C.43D.34[解析] 如图，不妨设Q 点在第一象限，过P 作PN 垂直于抛物线的准线，垂足为N ， 由抛物线定义可知|PF |＝|PN |， 又因为FM ―→＝3FP ―→， 所以PM ―→＝2FP ―→，所以|PM |＝2|PF |＝2|PN |， 在Rt △PNM 中，cos ∠MPN ＝|PN ||PM |＝12， 由抛物线焦点弦的性质可知|PF ―→|＝p 1＋cos ∠MPN ＝21＋12＝43.故选C.[答案] C [方法技巧]焦点弦问题的求解策略解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用，解题时，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解．[集训冲关]1.[考法一]若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选B 设P (x P ，y P )，由题意可得抛物线的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1，又点P 到焦点F 的距离为2，∴由抛物线的定义知点P 到准线的距离为2，∴x P ＋1＝2，得x P ＝1，代入抛物线方程得|y P |＝2，∴△OFP 的面积为S ＝12·|OF |·|y P |＝12×1×2＝1.故选B.2.[考法二]已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( )A.2B.12C.32D.52解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4， 又p ＝1，∴x 1＋x 2＝3，∴点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32.故选C.3.[考法一]已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是________．解析：依题意，由点M 向抛物线x 2＝4y 的准线l ：y ＝－1引垂线，垂足为M 1(图略)，则有|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MM 1|，结合图形可知|MA |＋|MM 1|的最小值等于圆心C (－1，5)到y ＝－1的距离再减去圆C 的半径，即等于6－1＝5，因此|MA |＋|MF |的最小值是5.答案：5突破点二 抛物线的标准方程及性质[基本知识][基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，准线方程是x ＝－a4.( )(2)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(3)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 二、填空题1．已知抛物线的对称轴为x 轴，顶点在原点，焦点在直线2x －4y ＋11＝0上，则此抛物线的方程是________．答案：y 2＝－22x2．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为________． 答案：－143．已知F 是抛物线x 2＝8y 的焦点，若抛物线上的点A 到x 轴的距离为5，则|AF |＝________.答案：7[全析考法]考法一 求抛物线的标准方程[例1] (1)(2019·河南中原名校联考)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝6x B ．y 2＝8x C ．y 2＝16xD ．y 2＝15x 2(2)(2019·江西协作体联考)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x[解析] (1)设M (x ，y )，因为|OF |＝p2，|MF |＝4|OF |，所以|MF |＝2p ，由抛物线定义知x ＋p 2＝2p ，所以x ＝32p ，所以y ＝±3p ，又△MFO 的面积为43，所以12×p 2×3p ＝43，解得p ＝4(p ＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由已知得抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设点A (0,2)，抛物线上点M (x 0，y 0)，则AF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－2，AM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0－2.由已知得AF ―→·AM ―→＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p ，4.由|MF |＝5得， ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p －p 22＋16＝5，又p ＞0，解得p ＝2或p ＝8，故选C. [答案] (1)B (2)C [方法技巧]求抛物线方程的3个注意点(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种．(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系． (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．考法二 抛物线的几何性质[例2] (1)(2019·兰州双基过关考试)抛物线y 2＝2px (p ＞0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．4B ．8C ．16D ．32(2)(2018·赣州二模)抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上一点，若A 到F 的距离是A 到y 轴距离的两倍，且三角形OAF 的面积为1，O 为坐标原点，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] (1)设抛物线的准线方程为x ＝－p2(p ＞0)，如图，则根据抛物线的性质有|PF |＝p2＋6＝10，解得p ＝8，所以抛物线的焦点到准线的距离为8. (2)不妨设A (x 0，y 0)在第一象限，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＋p2＝2x 0，S △OAF＝12·p2·y 0＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝p2，y 0＝4p ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，4p ，又∵点A 在抛物线y 2＝2px 上，∴16p 2＝2p ×p 2，即p 4＝16，又∵p ＞0，∴p ＝2，故选B. [答案] (1)B (2)B [方法技巧]用抛物线几何性质的技巧涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题．[集训冲关]1.[考法一]顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝－x B ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－y D ．y 2＝－x 或x 2＝－8y解析：选D 设抛物线为y 2＝mx ，代入点P (－4，－2)，解得m ＝－1，则抛物线方程为y 2＝－x ；设抛物线为x 2＝ny ，代入点P (－4，－2)，解得n ＝－8，则抛物线方程为x 2＝－8y .2.[考法二]已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，点A (0，－3)．若线段FA 与抛物线C 相交于点M ，则|MF |＝( )A.43B.53C.23D.33解析：选A 由题意，F (1,0)，|AF |＝2，设|MF |＝d ，则M 到准线的距离为d ，M 的横坐标为d －1，由三角形相似，可得d －11＝2－d2，所以d ＝43，故选A. 3.[考法一、二]已知A 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF |＝4时，∠OFA ＝120°，则抛物线的准线方程是( )A ．x ＝－1B ．y ＝－1C ．x ＝－2D ．y ＝－2解析：选A 过A 向准线作垂线，设垂足为B ，准线与x 轴的交点为D .因为∠OFA ＝120°，所以△ABF 为等边三角形，∠DBF ＝30°，从而p ＝|DF |＝2，因此抛物线的准线方程为x ＝－1.选A.。
专题38 抛物线——备战2023年高考数学一轮复习讲义(解析版)
<备战2023年高考数学一轮复习讲义>专题38 抛物线1．（2021·新高考Ⅱ卷）抛物线 22(0)y px p => 的焦点到直线 1y x =+ 的距离为2 ，则 p = （ ） A ．1 B ．2C ．22D ．4【答案】B【解析】解：抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，则其到直线x -y+1=0的距离为1222pd +==，解得p=2或p=-6(舍去)，故p=2. 故答案为：B2．（2020·新课标Ⅱ·理）设O 为坐标原点，直线x=2与抛物线C ：y 2=2px(p>0)交于D ，E 两点，若ODⅡOE ，则C 的焦点坐标为（ ） A ．（14，0） B ．（12，0） C ．（1，0） D ．（2，0）【答案】B【解析】因为直线 2x = 与抛物线 22(0)y px p => 交于 ,C D 两点，且 OD OE ⊥ ，根据抛物线的对称性可以确定 4DOx COx π∠=∠=，所以 (2,2)C ，代入抛物线方程 44p = ，求得 1p = ，所以其焦点坐标为 1(,0)2， 故答案为：B.1．抛物线的概念把平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程和简单几何性质标准方程y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)图形范围 x ≥0，y ⅡRx ≤0，y ⅡRy ≥0，x ⅡRy ≤0，x ⅡR焦点 ⎝⎛⎭⎫p 2，0⎝⎛⎭⎫－p 2，0 ⎝⎛⎭⎫0，p 2 ⎝⎛⎭⎫0，－p 2准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2对称轴 x 轴y 轴顶点 (0,0) 离心率 e ＝1抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)若A 在第一象限，B 在第四象限，则|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p1＋cos α，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；(3)1|F A |＋1|FB |＝2p； (4)以弦AB 为直径的圆与准线相切； (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上； (7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p .考点一 抛物线的定义和标准方程1．已知点M (20,40)，抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F .若对于抛物线上的一点P ，|PM |＋|PF |的最小值为41，则p 的值等于________． 【答案】42或22【解析】当点M (20,40)位于抛物线内时，如图Ⅱ，过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为D ，Ⅱ Ⅱ则|PF |＝|PD |， |PM |＋|PF |＝|PM |＋|PD |.当点M ，P ，D 三点共线时，|PM |＋|PF |的值最小． 由最小值为41，得20＋p2＝41，解得p ＝42.当点M (20,40)位于抛物线外时，如图Ⅱ，当点P ，M ，F 三点共线时，|PM |＋|PF |的值最小． 由最小值为41，得402＋⎝⎛⎭⎫20－p22＝41， 解得p ＝22或p ＝58.当p ＝58时，y 2＝116x ，点M (20,40)在抛物线内，故舍去． 综上，p ＝42或p ＝22.2．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，点A 是抛物线C 上一点，AD Ⅱl ，交l 于D .若|AF |＝4，ⅡDAF ＝60°，则抛物线C 的方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝4x C ．y 2＝2x D ．y 2＝x【答案】B【解析】根据抛物线的定义可得|AD |＝|AF |＝4， 又ⅡDAF ＝60°，所以|AD |－p ＝|AF |cos 60°＝12|AF |，所以4－p ＝2，解得p ＝2， 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . 考点二 抛物线的几何性质3．(多选)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线l 的斜率为3且经过点F ，与抛物线C 交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线C 的准线交于点D .若|AF |＝8，则以下结论正确的是( ) A ．p ＝4 B.DF →＝F A → C ．|BD |＝2|BF | D ．|BF |＝4 【答案】ABC【解析】如图所示，分别过点A ，B 作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为点E ，M ，连接EF .设抛物线C 的准线交x 轴于点P ，则|PF |＝p .因为直线l 的斜率为3，所以其倾斜角为60°.因为AE Ⅱx 轴，所以ⅡEAF ＝60°， 由抛物线的定义可知，|AE |＝|AF |， 则ⅡAEF 为等边三角形， 所以ⅡEFP ＝ⅡAEF ＝60°， 则ⅡPEF ＝30°，所以|AF |＝|EF |＝2|PF |＝2p ＝8，得p ＝4， 故A 正确；因为|AE |＝|EF |＝2|PF |，且PF ⅡAE ，所以F 为AD 的中点，则DF →＝F A →，故B 正确； 因为ⅡDAE ＝60°，所以ⅡADE ＝30°， 所以|BD |＝2|BM |＝2|BF |，故C 正确； 因为|BD |＝2|BF |，所以|BF |＝13|DF |＝13|AF |＝83，故D 错误．考点三 直线与抛物线【方法总结】(1)求解直线与抛物线问题，一般利用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则可用弦长公式． 4．已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |. 【答案】设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)由题设得F ⎝⎛⎭⎫34，0， 故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32.又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝52.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ， 可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0， 则x 1＋x 2＝－12t －19.从而－12t －19＝52，得t ＝－78. 所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得y 2－2y ＋2t ＝0， 所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2， 故y 2＝－1，y 1＝3.代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13，即A (3,3)，B ⎝⎛⎭⎫13，－1. 故|AB |＝4133.一、单选题1．（2022·浙江模拟）抛物线214y x =的焦点到准线的距离为（ ） A ．18B ．14C ．1D ．2【答案】D 【解析】由214y x =⇒242x y p =⇒=，焦点到准线的距离是2p =， 故答案为：D.2．（2022·四川模拟）如图，抛物线()220E x py p =>：的焦点为F ，准线与y 轴交于点D ，O 为坐标原点，P 是抛物线上一点，且60PFO ∠=︒，则PDDF=（ ）A ．273B ．72C ．73D ．23【答案】C【解析】如图，过P 作PH 垂直y 轴于H ，过P 作PB 垂直准线于B ，设FH t =，则因为60PFO ∠=︒，结合抛物线的基本性质有2FP PB HD t ===，3PH t =，()22327PD t t =+=.所以||77||23PD t DF t t ==+ 故答案为：C3．（2022·淄博模拟）已知抛物线22(0)C y px p =>：的准线被圆224x y +=所截得的弦长为23p =（ ） A ．1 B 3C ．2D ．4【答案】C【解析】由题，圆与抛物线都关于x 轴对称，故所截得的弦AB 与x 轴垂直，圆心为原点，圆半径为2，则有222230A A A A x y y x +==<，，，解得1A x =-，故12p-=-，得2p =， 故答案为：C4．（2022·山东模拟）已知O 为坐标原点，抛物线214x y =的焦点为F ，点M 在抛物线上，且3MF =，则M 点到x 轴的距离为（ ）A ．2B ．4716C ．23D ．22【答案】D【解析】由题意得24y x =，所以准线为1x =-， 又因为||3MF =，设点M 的坐标为()00x y ，， 则有013MF x =+=，解得：02x =将02x =代入解析式24y x =得：022y =±，所以M 点到x 轴的距离为22 故答案为：D ．5．（2022·聊城模拟）抛物线22y x =的准线方程是（ ）A ．12x =-B ．18x =-C ．18y =-D ．12y =-【答案】C【解析】解：因为抛物线方程为22y x =，即212x y =，所以122p =，即14p =，所以抛物线的准线为18y =- 故答案为：C6．（2022·郑州模拟）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点，则4AF BF +的最小值为（ ） A ．6 B ．9C ．12D ．15【答案】B【解析】由题意，()10F ，，设()()1122A x y B x y ，，，， 若直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线的方程为()1y k x =-，联立()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，即()2222240k x k x k -++=，121x x =，又因为11AF x =+，21BF x =+，1200x x >>，， 则()1212222211414145452459AF BF x x x x x x x x +=+++=++=++≥⨯=， 当且仅当1242x x ==时取等号.若直线AB 的斜率不存在，则直线的方程为1x =，则2AF BF ==，此时4109AF BF +=>.综上，4AF BF +的最小值为9。
高考数学理科一轮复习函数的图象学案附答案
高考数学（理科）一轮复习函数的图象学案附答案学案10 函数的图象导学目标： 1.掌握作函数图象的两种基本方法：描点法，图象变换法.2.掌握图象变换的规律，能利用图象研究函数的性质．自主梳理1．应掌握的基本函数的图象有：一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等．2．利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(__________、__________、__________)；④画出函数的图象．3．利用基本函数图象的变换作图：(1)平移变换：函数y＝f(x＋a)的图象可由y＝f(x)的图象向____(a0)或向____(a0)平移____个单位得到；函数y＝f(x)＋a的图象可由函数y＝f(x)的图象向____(a0)或向____(a0)平移____个单位得到．(2)伸缩变换：函数y＝f(ax) (a0)的图象可由y＝f(x)的图象沿x轴伸长(0a1)或缩短(____)到原来的1a倍得到；函数y＝af(x) (a0)的图象可由函数y＝f(x)的图象沿y轴伸长(____)或缩短(________)为原来的____倍得到．(可以结合三角函数中的图象变换加以理解)(3)对称变换：①奇函数的图象关于________对称；偶函数的图象关于____轴对称；②f(x)与f(－x)的图象关于____轴对称；③f(x)与－f(x)的图象关于____轴对称；④f(x)与－f(－x)的图象关于________对称；⑤f(x)与f(2a－x)的图象关于直线________对称；⑥曲线f(x，y)＝0与曲线f(2a－x,2b－y)＝0关于点________对称；⑦|f(x)|的图象先保留f(x)原来在x轴________的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到；⑧f(|x|)的图象先保留f(x)在y轴________的图象，擦去y轴左方的图象，然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到．自我检测1．(2009北京)为了得到函数y＝lgx＋310的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点( )A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度2．(2011烟台模拟)已知图1是函数y＝f(x)的图象，则图2中的图象对应的函数可能是( )A．y＝f(|x|)B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|)D．y＝－f(－|x|)3．函数f(x)＝1x－x的图象关于 ( )A．y轴对称B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称4．使log2(－x)x＋1成立的x的取值范围是( ) A．(－1,0)B．[－1,0)C．(－2,0)D．[－2,0)5．(2011潍坊模拟)已知f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|(a0且a≠1)，若f(4)g(－4)0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一坐标系内的大致图象是( )探究点一作图例1 (1)作函数y＝|x－x2|的图象；(2)作函数y＝x2－|x|的图象；(3)作函数的图象．变式迁移1 作函数y＝1|x|－1的图象．探究点二识图例2 (1)函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象如图，则函数y＝f(x)g(x)的图象可能是 ( )(2)已知y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(1－x)的图象为 ( )变式迁移2 (1)(2010山东)函数y＝2x－x2的图象大致是 ( )(2)函数f(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式是 ( )A．f(x)＝x＋sin xB．f(x)＝cos xxC．f(x)＝xcos xD．f(x)＝x(x－π2)(x－3π2)探究点三图象的应用例3 若关于x的方程|x2－4x＋3|－a＝x至少有三个不相等的实数根，试求实数a的取值范围．变式迁移3 (2010全国Ⅰ)直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．数形结合思想的应用例(5分)(2010北京东城区一模)定义在R上的函数y＝f(x)是减函数，且函数y＝f(x－1)的图象关于(1,0)成中心对称，若s，t满足不等式f(s2－2s)≤－f(2t－t2)．则当1≤s≤4时，ts的取值范围是( ) A.－14，1B.－14，－12，1D.－12，1【答题模板】答案 D解析因函数y＝f(x－1)的图象关于(1,0)成中心对称，所以该函数的图象向左平移一个单位后的解析式为y＝f(x)，即y＝f(x)的图象关于(0,0)对称，所以y＝f(x)是奇函数．又y＝f(x)是R上的减函数，所以s2－2s≥t2－2t，令y＝x2－2x＝(x－1)2－1，图象的对称轴为x＝1，当1≤s≤4时，要使s2－2s≥t2－2t，即s－1≥|t －1|，当t≥1时，有s≥t≥1，所以14≤ts≤1；当t1时，即s－1≥1－t，即s＋t≥2，问题转化成了线性规划问题，画出由1≤s≤4，t1，s＋t≥2组成的不等式组的可行域.ts为可行域内的点到原点连线的斜率，易知－12≤ts1.综上可知选D.【突破思维障碍】当s，t位于对称轴x＝1的两边时，如何由s2－2s≥t2－2t判断s，t之间的关系式，这时s，t与对称轴x＝1的距离的远近决定着不等式s2－2s≥t2－2t成立与否，通过数形结合判断出关系式s－1≥1－t，从而得出s＋t≥2，此时有一个隐含条件为t1，再结合1≤s≤4及要求的式子的取值范围就能联想起线性规划，从而突破了难点．要画出s，t所在区域时，要结合ts的几何意义为点(s，t)和原点连线的斜率，确定s为横轴，t为纵轴．【易错点剖析】当得到不等式s2－2s≥t2－2t后，如果没有函数的思想将无法继续求解，得到二次函数后也容易只考虑s，t都在二次函数y＝x2－2x的增区间[1，＋∞)内，忽略考虑s，t在二次函数对称轴两边的情况，考虑了s，t在对称轴的两边，也容易漏掉隐含条件t1及联想不起来线性规划．1．掌握作函数图象的两种基本方法(描点法，图象变换法)，在画函数图象时，要特别注意到用函数的性质(如单调性、奇偶性等)解决问题．2．合理处理识图题与用图题(1)识图．对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性．(2)用图．函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结合解题的思想方法，常用函数图象研究含参数的方程或不等式解集的情况．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2010重庆)函数f(x)＝4x＋12x的图象( ) A．关于原点对称B．关于直线y＝x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称2．(2010湖南)用min{a，b}表示a，b两数中的最小值．若函数f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的图象关于直线x ＝－12对称，则t的值为( )A．－2B．2C．－1D．13．(2011北京海淀区模拟)在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a的图象，可能正确的是( )4．(2011深圳模拟)若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为( )5．设b0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列之一，则a的值为 ( )A．1B．－1C.－1－52D.－1＋52题号12答案二、填空题(每小题4分，共12分)6．为了得到函数y＝3×(13)x的图象，可以把函数y＝(13)x的图象向________平移________个单位长度．7．(2011黄山月考)函数f(x)＝2x－1x＋1的图象对称中心是________．8．(2011沈阳调研)如下图所示，向高为H的水瓶A、B、C、D同时以等速注水，注满为止．(1)若水量V与水深h函数图象是下图的(a)，则水瓶的形状是________；(2)若水深h与注水时间t的函数图象是下图的(b)，则水瓶的形状是________．(3)若注水时间t与水深h的函数图象是下图的(c)，则水瓶的形状是________；(4)若水深h与注水时间t的函数的图象是图中的(d)，则水瓶的形状是________．三、解答题(共38分)9．(12分)已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.(1)求实数m的值；(2)作出函数f(x)的图象；(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；(4)根据图象写出不等式f(x)0的解集；(5)求当x∈[1,5)时函数的值域．10．(12分)(2011三明模拟)当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2logax恒成立，求a的取值范围．．(14分)已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋e2x (x0)．(1)若g(x)＝m有根，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．答案自主梳理2．③奇偶性单调性周期性 3.(1)左右|a| 上下|a| (2)a1 a1 0a1 a (3)①原点y ②y ③x④原点⑤x＝a ⑥(a，b) ⑦上方⑧右方自我检测1．C [A项y＝lg(x＋3)＋1＝lg[10(x＋3)]，B项y＝lg(x－3)＋1＝lg[10(x－3)]，C项y＝lg(x＋3)－1＝lgx＋310，D项y＝lg(x－3)－1＝lgx－310.]2．C3．C [∵f(－x)＝－1x＋x＝－1x－x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，即f(x)的图象关于原点对称．] 4．A [作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象知满足条件的x∈(－1,0)．]5．B [由f(4)g(－4)0得a2loga40，∴0a1.]课堂活动区例1 解(1)y＝x－x2，0≤x≤1，－x－x2，x1或x0，即y＝－x－122＋14，0≤x≤1，x－122－14， x1或x0，其图象如图所示．(2)y＝x－122－14，x≥0，x＋122－14，x0，其图象如图所示．(3)作出y＝12x的图象，保留y＝12x图象中x≥0的部分，加上y＝12x的图象中x0的部分关于y轴的对称部分，即得y＝12|x|的图象．变式迁移1 解定义域是{x|x∈R且x≠±1}，且函数是偶函数．又当x≥0且x≠1时，y＝1x－1.先作函数y＝1x的图象，并将图象向右平移1个单位，得到函数y＝1x－1 (x≥0且x≠1)的图象(如图(a)所示)．又函数是偶函数，作关于y轴对称图象，得y＝1|x|－1的图象(如图(b)所示)．例2 解题导引对于给定的函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（1）?A?[从f(x)、g(x)的图象可知它们分别为偶函数、奇函数，故f(x)g(x)是奇函数，排除B.又x0时，g(x)为增函数且为正值,f(x)也是增函数，故f(x)g(x)为增函数，且正负取决于f(x)的正负，注意到x→ （从小于0趋向于0），f(x)g(x)→+∞，可排除C、D.］?（2）?A?［因为f(1-x)=f（-(x-1)）,故y=f(1-x)的图象可以由y=f(x)的图象按照如下变换得到：先将y=f(x)的图象关于y轴翻折，得y=f(-x)的图象，然后将y=f(-x)?的图象向右平移一个单位，即得y=f(-x+1)的图象.］变式迁移2 (1)A [考查函数y＝2x与y＝x2的图象可知：当x0时，方程2x－x2＝0仅有一个零点，且→－∞；当x0时，方程2x－x2＝0有两个零点2和4，且→＋∞.](2)C [由图象知f(x)为奇函数，排除D；又0，±π2，±32π为方程f(x)＝0的根，故选C.]例3 解题导引原方程重新整理为|x2－4x＋3|＝x＋a，将两边分别设成一个函数并作出它们的图象，即求两图象至少有三个交点时a的取值范围．方程的根的个数问题转化为函数图象交点个数问题，体现了《考纲》中函数与方程的重要思想方法．解原方程变形为|x2－4x＋3|＝x＋a，于是，设y＝|x2－4x＋3|，y＝x＋a，在同一坐标系下分别作出它们的图象．如图．则当直线y＝x＋a过点(1,0)时a＝－1；当直线y＝x＋a与抛物线y＝－x2＋4x－3相切时，由y＝x＋ay＝－x2＋4x－3，得，x2－3x＋a＋3＝0，由Δ＝9－4(3＋a)＝0，得a＝－由图象知当a∈[－1，－34]时方程至少有三个根．变式迁移3 (1，54)解析y＝x2－|x|＋a＝x－122＋a－14，x≥0，x＋122＋a－14， x0.当其图象如图所示时满足题意．由图知a1，a－141，解得1a后练习区1．D [f(x)＝2x＋2－x，因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．所以f(x)图象关于y轴对称．]2.D [令y＝|x|，y＝|x＋t|，在同一坐标系中作出其图象，如图，所以t＝1.]3．D [选项A、B、C中直线方程中的a的范围与对数函数中的a的范围矛盾．]4．C [函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(x)关于x 轴对称，函数y＝－f(x)的图象向左平移1个单位即得到函数y＝－f(x＋1)的图象．]5．B [∵b0，∴前两个图象不是给出的二次函数图象，又后两个图象的对称轴都在y轴右边，∴－b2a0，∴a0，又∵图象过原点，∴a2－1＝0，∴a＝－1.]6．右 1解析∵y＝3×(13)x＝(13)x－1，∴y＝(13)x向右平移1个单位便得到y＝(13)x －．(－1,2)解析∵f(x)＝2x－1x＋1＝2x＋1－3x＋1＝2－3x＋1，∴函数f(x)图象的对称中心为(－1,2)．8．(1)A (2)D (3)B (4)C9．解(1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4.…………………………………………(2分)(2)f(x)＝x|x－4|＝xx－4＝x－22－4，x≥4，－xx－4＝－x－22＋4，x4.………………………………………………(4分)f(x)的图象如右图所示．(3)由图可知，f(x)的减区间是[2,4]．……………………………………………………(8分)(4)由图象可知f(x)0的解集为{x|0x4或x4}．………………………………………………………………………(10分)(5)∵f(5)＝54，由图象知，函数在[1,5)上的值域为[0,5)．……………………………………………(12分)10.解设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图象在f2(x)＝logax的下方即可．当0a1时，由图象知显然不成立．……………………………………………………(4分) 当a1时，如图，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，……………………………………………………………(10分)∴1a≤2.………………………………………………………………………………(12分)11．解(1)方法一∵x0，∴g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，等号成立的条件是x＝e.故g(x)的值域是[2e，＋∞)，……………………………………………………………(4分)因而只需m≥2e，则g(x)＝m就有根．…………………………………………………(6分) 方法二作出g(x)＝x＋e2x的图象如图：……………………………………………………………………………………………(4分)可知若使g(x)＝m有根，则只需m≥2e.………………………………………………(6分) 方法三解方程由g(x)＝m，得x2－mx＋e2＝0.此方程有大于零的根，故m20Δ＝m2－4e2≥0……………………………………………(4分)等价于m0m≥2e或m≤－2e，故m≥2e.…………………………………………………(6分) (2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)＝f(x)中函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)＝x＋e2x (x0)的图象．∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2.其对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.……………………………………………………………………(10分)故当m－1＋e22e，即m－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．……………………………………………(14分)。
人教A版高考总复习一轮理科数学精品课件 第9章 解析几何 第7节 抛物线
第七节 抛物线
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
1.了解抛物线的实际背景,感
受抛物线在刻画现实世界和
解决实际问题中的应用.
2.了解抛物线的定义、几何
图形和标准方程,以及它的简
单几何性质.
3.通过抛物线的学习,进一步
体会数形结合的思想.
4.了解抛物线的简单应用.
衍生考点
2
因为 sin
1
1
∠MFG=3,所以|DM|=3|MF|,即 x0-2
=
1
3
0 + 2
,
解得x0=p.②
由①②,解得x0=p=-2(舍去)或x0=p=2.故抛物线C的方程为y2=4x.故选C.
(2)连接 FA,因为 F 就是圆 −
2
2
2
+y
=
的圆心,所以
2
4
又|KF|=p,所以∠AKF=30°,那么∠AKB=60°,
方程法,即当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx(m≠0)或
x2=ny(n≠0),这样可以减少讨论情况的个数.
(2)用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
2.确定抛物线几何性质的三个要点
对点训练 2(1)已知抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,点 M(x0,2 2) 0 >
2
是抛物线 C 上的一点,以点 M 为圆心的圆与直线
常用结论
1.设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则
2
(1)x1x2= 4 ,y1y2=-p2;
2022届高考数学统考一轮复习第九章抛物线学案文含解析新人教版
高考数学统考一轮复习：第七节 抛物线【知识重温】一、必记2个知识点1．抛物线定义、标准方程及几何性质 (p ＞0) ________ ________ ________x 轴 ⑤________ y 轴 ⑥________ 设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p . 二、必明2个易误点1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p 易忽视，只有p >0，才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义． 【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离是4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( )二、教材改编2．过点P (－2,3)的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝－92x 或x 2＝43yB ．y 2＝92x 或x 2＝43yC ．y 2＝92x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝－43y3．抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点P 有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．4个三、易错易混4．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( )A ．y 2＝±22xB ．y 2＝±2xC ．y 2＝±4xD ．y 2＝±42x5．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________．四、走进高考 6．[2020·全国卷Ⅰ]已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝( )A ．2B ．3C ．6D ．9考点一 抛物线的定义和标准方程[自主练透型] 1．[2020·北京卷]设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q .则线段FQ 的垂直平分线( )A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP 2．[2021·湖北鄂州调研]过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作斜率为3的直线，与抛物线在第一象限内交于点A ，若|AF |＝4，则p ＝( )A ．2B ．1 C.3 D ．4 3．[2021·成都高三摸底考试]已知顶点在坐标原点的抛物线的焦点坐标为(0，－2)，则此抛物线的标准方程为________．4．[2021·郑州一中高三摸底考试]从抛物线y ＝14x 2上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5.设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为________．悟·技法应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p2.考点二 抛物线的几何性质[互动讲练型] [例1] (1)[2021·合肥市第二次质量检测]已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为( )A ．±3B ．±1C ．±34D ．±33(2)[2021·福州市高三毕业班适应性练习卷]抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，点P 为C 上的动点，点M 为C 的准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其周长为( )A. 2 B ．2 C ．3 2 D ．6 悟·技法1.求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可． (2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．2．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解. [变式练]——(着眼于举一反三) 1．[2021·山西晋城一模]已知P 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上的一点，F 是抛物线C 的焦点，O 为坐标原点．若|PF |＝2，∠PFO ＝π3，则抛物线C 的方程为( )A ．y 2＝6xB ．y 2＝2xC ．y 2＝xD ．y 2＝4x 2．[2021·东北四市模拟]若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为________．考点三 直线与抛物线的位置关系 [互动讲练型][例2] [2019·全国卷Ⅰ]已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程；(2)若AP →＝3PB →，求|AB |.悟·技法解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法1．直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．2．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．3．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.[变式练]——(着眼于举一反三)3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．第七节 抛物线【知识重温】①相等 ②y 2＝－2px (p ＞0) ③x 2＝－2py (p ＞0) ④x 2＝2py (p ＞0) ⑤x 轴 ⑥y 轴⑦F (－p 2，0) ⑧F (0，－p 2) ⑨F (0，p 2)⑩e ＝1 ⑪x ＝－p 2 ⑫y ＝－p 2 ⑬－y 0＋p 2 ⑭y 0＋p2 ⑮y ≤0 ⑯y ≥0【小题热身】1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．解析：设抛物线的标准方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2,3)，解得k ＝－92，m ＝43.∴y 2＝－92x 或x 2＝43y . 答案：A3．解析：抛物线y 2＝8x 的准线方程为x ＝－2，则抛物线顶点到准线的距离为2，因为抛物线到焦点的距离和到准线的距离相等，则根据抛物线的对称性可知抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点有2个．答案：C 4．解析：由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p2＝2，所以p ＝22，所以抛物线方程为y 2＝±42x ，故选D. 答案：D5．解析：Q (－2,0)，当直线l 的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ≤1.答案：[－1,1]6．解析：设焦点为F ，点A 的坐标为(x 0，y 0)，由抛物线定义得|AF |＝x 0＋p2，∵点A 到y 轴距离为9，∴x 0＝9，∴9＋p2＝12，∴p ＝6.故选C. 答案：C 课堂考点突破考点一1．解析：解法一 不妨设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，P (x 0，y 0)(x 0>0)，则Q ⎝⎛⎭⎫－p2，y 0，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，直线FQ 的斜率为－y 0p ，从而线段FQ 的垂直平分线的斜率为py 0，又线段FQ 的中点为⎝⎛⎭⎫0，y 02，所以线段FQ 的垂直平分线的方程为y －y 02＝py 0(x －0)，即2px －2y 0y ＋y 20＝0，将点P 的横坐标代入，得2px 0－2y 0y ＋y 20＝0，又2px 0＝y 20，所以y ＝y 0，所以点P 在线段FQ 的垂直平分线上，故选B.解法二 连接PF ，由题意及抛物线的定义可知|PQ |＝|FP |，则△QPF 为等腰三角形，故线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选B.答案：B2．解析：过点A 作AB 垂直x 轴于点B ，则在Rt △ABF 中，∠AFB ＝π3，|AF |＝4，∴|BF |＝12|AF |＝2，则x A ＝2＋p 2，∴|AF |＝x A ＋p2＝2＋p ＝4，得p ＝2，故选A. 答案：A3．解析：依题意可设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，因为焦点坐标为(0，－2)，所以－p2＝－2，解得p ＝4.故所求抛物线的标准方程为x 2＝－8y . 答案：x 2＝－8y4．解析：由题意，得x 2＝4y ，则抛物线的准线方程为y ＝－1.从抛物线上一点P 引抛物线准线的垂线，设P (x 0，y 0)，则由抛物线的定义知|PM |＝y 0＋1，所以y 0＝4，所以|x 0|＝4，所以S △MPF ＝12×|PM |×|x 0|＝12×5×4＝10.答案：10 考点二例1 解析：(1)设M (x M ，y M )，由抛物线定义可得|MF |＝x M ＋p 2＝2p ，解得x M ＝3p2，代入抛物线方程可得y M ＝±3p ，则直线MF 的斜率为y M x M －p 2＝±3pp ＝±3，选项A 正确．(2)解法一 作出图形如图所示，因为△FPM 为等边三角形，所以PM 垂直C 的准线于M ，易知|PM |＝4|OF |，因为|OF |＝12，所以|PM |＝2，所以△FPM 的周长为3×2＝6，故选D.解法二 因为△FPM 为等边三角形，|PF |＝|PM |，所以PM 垂直C 的准线于M ，设P ⎝⎛⎭⎫m 22，m ，则M ⎝⎛⎭⎫－12，m ，所以|PM |＝12＋m 22，又F ⎝⎛⎭⎫12，0，且|PM |＝|MF |，所以12＋m 22＝⎝⎛⎭⎫12＋122＋m 2，解得m 2＝3，所以|PM |＝2，所以△FPM 的周长为3×2＝6，故选D. 答案：(1)A (2)D 变式练 1．解析：过点P 作PQ 垂直于x 轴，垂足为Q .∵∠PFO ＝π3，|PF |＝2，∴|PQ |＝3，|QF |＝1，不妨令点P 坐标为⎝⎛⎭⎫p 2－1，3，将点P 的坐标代入y 2＝2px ，得3＝2p ⎝⎛⎭⎫p2－1，解得p ＝3(负值舍去)，故抛物线C 的方程为y 2＝6x .故选A.答案：A2．解析：由题意知x 2＝12y ，则F ⎝⎛⎭⎫0，18， 设P (x 0,2x 20)，则|PF |＝x 20＋⎝⎛⎭⎫2x 20－182 ＝4x 40＋12x 20＋164＝2x 20＋18， 所以当x 20＝0时，|PF |min ＝18. 答案：18考点三例2 解析：设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由题设得F ⎝⎛⎭⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32，由题设可得x 1＋x 2＝52. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，则x 1＋x 2＝－12(t －1)9.从而－12(t －1)9＝52，得t ＝－78.所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得y 2－2y ＋2t ＝0.所以y 1＋y 2＝2.从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3.代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13.故|AB |＝4133.变式练3．解析：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2.所以抛物线方程为y 2＝4x . (2)因为点A 的坐标是(4,4)， 由题意得B (0,4)，M (0,2)．又因为F (1,0)，所以k F A ＝43.因为MN ⊥F A ，所以k MN ＝－34.又F A 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，所以点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45.。
北师大版2021版高考数学(理)一轮复习 第九章平面解析几何第6讲抛物线练习(含答案)
北师大版2021版高考数学（理）一轮复习 第九章平面解析几何第6讲抛物线练习[基础题组练]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：选D.由题意，知抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，椭圆的焦点坐标为(±2p ，0)，所以p2＝2p ，解得p ＝8，故选D.2．(2020·河北衡水三模)设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若A ，B ，C 三点坐标分别为(1，2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝10，则x 1＋x 2＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选A.根据抛物线的定义，知|FA →|，|FB →|，|FC →|分别等于点A ，B ，C 到准线x ＝－1的距离，所以由|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝10，可得2＋x 1＋1＋x 2＋1＝10，即x 1＋x 2＝6.故选A.3．(2020·河北邯郸一模)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为5 m ，跨径为12 m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )A.2512m B ．256 mC.95m D ．185m解析：选D.建立如图所示的平面直角坐标系． 设抛物线的解析式为x 2＝－2py ，p ＞0，因为抛物线过点(6，－5)，所以36＝10p ，可得p ＝185，所以桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为185m ．故选D.4．(2020·河南安阳三模)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的交点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作AA ′⊥l ，垂足为A ′.若四边形AA ′PF 的面积为14，且cos ∠FAA ′＝35，则抛物线C 的方程为( )A ．y 2＝x B ．y 2＝2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选C.过点F 作FF ′⊥AA ′，垂足为F ′.设|AF ′|＝3x ，因为cos ∠FAA ′＝35，故|AF |＝5x ，则|FF ′|＝4x ，由抛物线定义可知，|AF |＝|AA ′|＝5x ，则|A ′F ′|＝2x ＝p ，故x ＝p2.四边形AA ′PF 的面积S ＝（|PF |＋|AA ′|）·|FF ′|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋52p ·2p 2＝14，解得p ＝2，故抛物线C 的方程为y 2＝4x .5．已知直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k ＝( )A.13 B ．23C.23D ．223解析：选D.设抛物线C ：y 2＝8x 的准线为l ，易知l ：x ＝－2， 直线y ＝k (x ＋2)恒过定点P (－2，0)，如图，过A ，B 分别作AM ⊥l 于点M ，BN ⊥l 于点N ，由|FA |＝2|FB |，知|AM |＝2|BN |， 所以点B 为线段AP 的中点，连接OB ， 则|OB |＝12|AF |，所以|OB |＝|BF |，所以点B 的横坐标为1， 因为k ＞0，所以点B 的坐标为(1，22)，所以k ＝22－01－（－2）＝223.故选D.6．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为________．解析：由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |， 得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4.答案：47．过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若|MN |＝|AB |，则l 的斜率为________．解析：设抛物线的准线为m ，分别过点A ，N ，B 作AA ′⊥m ，NN ′⊥m ，BB ′⊥m ，垂足分别为A ′，N ′，B ′.因为直线l 过抛物线的焦点，所以|BB ′|＝|BF |，|AA ′|＝|AF |.又N 是线段AB 的中点，|MN |＝|AB |，所以|NN ′|＝12(|BB ′|＋|AA ′|)＝12(|BF |＋|AF |)＝12|AB |＝12|MN |，所以∠MNN ′＝60°，则直线MN 的倾斜角为120°.又MN ⊥l ，所以直线l 的倾斜角为30°，斜率是33. 答案：338．(一题多解)已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________．解析：法一：由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去y 得k 2(x －1)2＝4x ，即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去x 得y 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y ＋1，即y 2－4k y －4＝0，则y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，由∠AMB ＝90°，得MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0，将x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1与y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4代入，得k ＝2.法二：设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，则k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2，取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′，又∠AMB＝90°，点M 在准线x ＝－1上，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．又M ′为AB的中点，所以MM ′平行于x 轴，且y 0＝1，所以y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.答案：29．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值． 解：(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0， 所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x . (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0， 则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)，设C (x 3，y 3)， 则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42) ＝(4λ＋1，42λ－22)．又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.10．(2020·河北衡水二模)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，点M (2，m )(m ＞0)在抛物线上，且|MF |＝2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若点P (x 0，y 0)为抛物线上任意一点，过该点的切线为l 0，证明：过点F 作切线l 0的垂线，垂足必在x 轴上．解：(1)由抛物线的定义可知，|MF |＝m ＋p2＝2，①又M (2，m )在抛物线上，所以2pm ＝4，② 由①②解得p ＝2，m ＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)证明：①当x 0＝0，即点P 为原点时，显然符合； ②x 0≠0，即点P 不在原点时， 由(1)得，x 2＝4y ，则y ′＝12x ，所以抛物线在点P 处的切线的斜率为12x 0，所以抛物线在点P 处的切线l 0的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，又x 20＝4y 0，所以y －y 0＝12x 0(x －x 0)可化为y ＝12x 0x －y 0.又过点F 且与切线l 0垂直的方程为y －1＝－2x 0x .联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －y 0，y －1＝－2x 0x ，消去x ，得y ＝－14(y －1)x 20－y 0.(*)因为x 20＝4y 0，所以(*)可化为y ＝－yy 0，即(y 0＋1)y ＝0， 由y 0＞0，可知y ＝0，即垂足必在x 轴上． 综上，过点F 作切线l 0的垂线，垂足必在x 轴上．[综合题组练]1．(2020·陕西西安一模)已知F 为抛物线C ：y 2＝6x 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，则|AB |＝( )A ．6B ．8C ．10D ．12解析：选B.抛物线y 2＝6x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，准线方程为x ＝－32，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 因为|AF |＝3|BF |， 所以x 1＋32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32，所以x 1＝3x 2＋3，因为|y 1|＝3|y 2|，所以x 1＝9x 2，所以x 1＝92，x 2＝12，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32＝8.故选B.2．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B ． 2 C.322D ．2 2解析：选C.由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，如图所示，|AF |＝x 1＋1＝3， 所以x 1＝2，y 1＝2 2. 设AB 的方程为x －1＝ty ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x －1＝ty 消去x 得y 2－4ty －4＝0.所以y 1y 2＝－4，所以y 2＝－2，x 2＝12，所以S △AOB ＝12×1×|y 1－y 2|＝322，故选C.3．(2020·江西九江二模)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，连接AF 并延长交抛物线C 于点D ，若AB 中点的纵坐标为|AB |－1，则当∠AFB 最大时，|AD |＝( )A ．4B ．8C ．16D ．163解析：选C.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)， 由抛物线定义得y 1＋y 2＋2＝|AF |＋|BF |， 因为y 1＋y 22＝|AB |－1，所以|AF |＋|BF |＝2|AB |，所以cos ∠AFB ＝|AF |2＋|BF |2－|AB |22|AF |·|BF |＝3（|AF |2＋|BF |2）－2|AF |·|BF |8|AF |·|BF |≥6|AF |·|BF |－2|AF |·|BF |8|AF |·|BF |＝12，当且仅当|AF |＝|BF |时取等号．所以当∠AFB 最大时，△AFB 为等边三角形， 联立⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，消去y 得，x 2－43x －4＝0， 所以x 1＋x 3＝43，所以y 1＋y 3＝3(x 1＋x 3)＋2＝14. 所以|AD |＝16. 故选C.4．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则实数a 的取值范围为________．解析：如图，设C (x 0，x 20)(x 20≠a )，A (－a ，a )，B (a ，a )， 则CA →＝(－a －x 0，a －x 20)，CB →＝(a －x 0，a －x 20)． 因为CA ⊥CB ，所以CA →·CB →＝0，即－(a －x 20)＋(a －x 20)2＝0，(a －x 20)(－1＋a －x 20)＝0， 所以x 20＝a －1≥0，所以a ≥1. 答案：[1，＋∞)5．已知抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，其焦点为F ，点O 为坐标原点，过焦点F 作斜率为k (k ≠0)的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M .(1)求OA →·OB →；(2)设直线MF 与抛物线交于C ，D 两点，且四边形ACBD 的面积为323p 2，求直线AB 的斜率k .解：(1)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p 2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋p 2，得x 2－2pkx －p 2＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2pk ，x 1·x 2＝－p 2，所以y 1·y 2＝p 24， 所以OA →·OB →＝x 1·x 2＋y 1·y 2＝－34p 2.(2)由x 2＝2py ，知y ′＝x p，所以抛物线在A ，B 两点处的切线的斜率分别为x 1p ，x 2p ，所以直线AM 的方程为y －y 1＝x 1p(x －x 1)，直线BM 的方程为y －y 2＝x 2p (x －x 2)，则可得M ⎝⎛⎭⎪⎫pk ，－p 2. 所以k MF ＝－1k，所以直线MF 与AB 相互垂直．由弦长公式知，|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·4p 2k 2＋4p 2＝2p (k 2＋1)， 用－1k代替k 得，|CD |＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1，四边形ACBD 的面积S ＝12·|AB |·|CD |＝2p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋k 2＋1k 2＝323p 2，解得k 2＝3或k 2＝13，即k ＝±3或k ＝±33. 6．已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)和定点M (0，1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线的交点为N .(1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；(2)若△ABN 的面积的最小值为4，求抛物线C 的方程． 解：设直线AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线AB 的方程代入抛物线C 的方程得x 2－2pkx －2p ＝0， 则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .①(1)由x 2＝2py 得y ′＝x p ，则A ，B 处的切线斜率的乘积为x 1x 2p 2＝－2p， 因为点N 在以AB 为直径的圆上，所以AN ⊥BN ， 所以－2p＝－1，所以p ＝2.(2)易得直线AN ：y －y 1＝x 1p (x －x 1)，直线BN ：y －y 2＝x 2p(x －x 2)，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y －y 1＝x1p（x －x 1），y －y 2＝x2p （x －x 2），结合①式，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝pk ，y ＝－1，即N (pk ，－1)．|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋k24p 2k 2＋8p ，点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k2， 则△ABN 的面积S △ABN ＝12·|AB |·d ＝p （pk 2＋2）3≥22p ，当k ＝0时，取等号，因为△ABN 的面积的最小值为4，所以22p ＝4，所以p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y .。
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 43 抛物线
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结43 抛物线高考 概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5分或12分，中、高等难度 考纲 研读1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率) 2．理解数形结合的思想3．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用一、基础小题1．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a ) B ．(a,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫116a ，0 答案 C解析 将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝14a y (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a .故选C.2．顶点在坐标原点，准线为y ＝－2的抛物线的方程为( )A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．y 2＝8xD ．y 2＝4x 答案 A解析 顶点在坐标原点，准线为y ＝－2的抛物线的方程为x 2＝8y .故选A. 3．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线准线的距离为( )A ．4B ．6 C.8 D ．12 答案 B解析 因为抛物线y 2＝8x 的准线方程是x ＝－2，所以点P 到该抛物线准线的距离为4＋2＝6.故选B.4．到定点A (2,0)与定直线l ：x ＝－2的距离相等的点的轨迹方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．x 2＝8y D ．x 2＝－8y 答案 A解析 由抛物线的定义可知该轨迹为抛物线且p ＝4，焦点在x 轴正半轴上．故选A.5．若抛物线y 2＝2px (p >0)上的点A (x 0，2)到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案 D解析 由题意，得3x 0＝x 0＋p 2，x 0＝p 4，则p 22＝2，∵p >0，∴p ＝2.故选D. 6．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |等于( )A ．4B ．6 C.8 D ．10 答案 C解析 由抛物线y 2＝4x 得p ＝2，由抛物线定义可得|AB |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2，又因为x 1＋x 2＝6，所以|AB |＝8.故选C.7．若抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点为( ) A ．(1,2) B ．(0,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(1,4)答案 C解析 解法一：根据题意，直线y ＝4x －5必然与抛物线y ＝4x 2相离，抛物线上到直线的距离最短的点就是与直线y ＝4x －5平行的抛物线的切线的切点．由y ′＝8x ＝4得x ＝12，故抛物线的斜率为4的切线的切点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，该点到直线y ＝4x －5的距离最短．故选C.解法二：抛物线上的点(x ，y )到直线y ＝4x －5的距离是d ＝|4x －y －5|17＝|4x －4x 2－5|17＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋417，显然当x ＝12时，d 取得最小值，此时y ＝1.故选C.8．(多选)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，|F A |为半径的圆交l 于B ，D 两点．若∠ABD ＝90°，且△ABF 的面积为93，则下列说法正确的是( )A ．△ABF 是等边三角形B ．|BF |＝3C ．点F 到准线的距离为3D ．抛物线C 的方程为y 2＝6x 答案 ACD解析 ∵以F 为圆心，|F A |为半径的圆交l 于B ，D 两点，∠ABD ＝90°，由抛物线的定义可得|AB |＝|AF |＝|BF |，∴△ABF 是等边三角形，∴∠FBD ＝30°.∵△ABF 的面积为34|BF |2＝93，∴|BF |＝6.又点F 到准线的距离为|BF |·sin30°＝3＝p ，则该抛物线C 的方程为y 2＝6x .故选ACD.9．(多选)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线与抛物线交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则( )A ．C 的准线方程为y ＝1B ．线段PQ 长度的最小值为4C ．M 的坐标可能为(3,2) D.OP →·OQ →＝－3答案 BCD解析 对于A ，因为焦点F 到准线的距离为2，即p ＝2，所以抛物线C 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1，故A 错误；对于B ，C ，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ的方程为x ＝my ＋1，则由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得y 2－4my －4＝0，Δ＝16m 2＋16>0，所以y 1＋y 2＝4m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝4m 2＋2，|PQ |＝x 1＋x 2＋2＝4m 2＋4≥4，当m ＝1时，可得M (3,2)，故B ，C 正确；对于D ，因为y 1y 2＝－4，x 1x 2＝(my 1＋1)(my 2＋1)＝m (y 1＋y 2)＋m 2y 1y 2＋1＝1，所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3，故D 正确．故选BCD.10. 如图，点F 是抛物线C ：x 2＝4y 的焦点，点A ，B 分别在抛物线C 和圆x 2＋(y －1)2＝4的实线部分上运动，且AB 总是平行于y 轴，则△AFB 周长的取值范围是________．答案 (4,6)解析 ∵抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F (0,1)，准线方程为y ＝－1，圆x 2＋(y －1)2＝4的圆心F (0,1)，半径R ＝2，∴|FB |＝2，|AF |＝y A ＋1，|AB |＝y B －y A ，∴△AFB 的周长为|FB |＋|AF |＋|AB |＝2＋y A ＋1＋y B －y A ＝3＋y B ，∵1<y B <3，∴△AFB 周长的取值范围是(4,6)．二、高考小题11．(2022·全国Ⅰ卷)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝( )A ．2B ．3 C.6 D ．9答案 C解析 设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知|AF |＝x A ＋p 2＝12，即9＋p2＝12，解得p ＝6.故选C.12．(2022·全国Ⅲ卷)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 C ．(1,0) D ．(2,0) 答案 B解析 因为直线x ＝2与抛物线y 2＝2px (p ＞0)交于D ，E 两点，且OD ⊥OE ，不妨设点D 在第一象限，根据抛物线的对称性可得∠DOx ＝∠EOx ＝π4，所以D (2,2)，代入y 2＝2px ，得4＝4p ，解得p ＝1，所以其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.故选B.13．(2022·全国Ⅰ卷)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN→＝( ) A ．5 B ．6 C.7 D ．8 答案 D解析 根据题意，过点(－2,0)且斜率为23的直线方程为y ＝23(x ＋2)，与抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23(x ＋2)，y 2＝4x ，消去x 并整理，得y 2－6y ＋8＝0，解得y ＝2或y ＝4，所以⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4，不妨设M (1,2)，N (4,4)，又F (1,0)，所以FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)．从而可以求得FM →·FN→＝0×3＋2×4＝8.故选D. 14．(2022·新高考Ⅰ卷)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为________．答案 x ＝－32解析 解法一：不妨设点P 在第一象限，如图，由已知可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，所以k OP ＝2，又PQ ⊥OP ，所以k PQ ＝－12.所以直线PQ 的方程为y －p ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2.令y ＝0，得x ＝52p .所以|FQ |＝52p －p 2＝2p ＝6，所以p ＝3，所以C 的准线方程为x ＝－p 2＝－32.解法二：由题易得|OF |＝p2，|PF |＝p ，△OPF ∽△PQF ，∴|PF |2＝|OF |·|FQ |，即p 2＝p 2×6，解得p ＝3或p ＝0(舍去)，所以C 的准线方程为x ＝－32.15．(2022·北京高考)已知抛物线C ：y 2＝4x ，焦点为F ，点M 为抛物线C 上的点，且|FM |＝6，则M 的横坐标是________；作MN ⊥x 轴于N ，则S △FMN ＝________.答案 5 45解析 因为抛物线的方程为y 2＝4x ，故p ＝2且F (1,0)．因为|MF |＝6，所以x M ＋p2＝6，解得x M ＝5，故y M ＝±25，所以S △FMN ＝12×(5－1)×25＝4 5.16．(2022·新高考Ⅰ卷)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________.答案 163解析 ∵抛物线的方程为y 2＝4x ，∴抛物线的焦点为F (1,0)，又直线AB 过焦点F 且斜率为3，∴直线AB 的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程消去y 并化简得3x 2－10x ＋3＝0，解法一：解得x 1＝13，x 2＝3，∴|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋3·⎪⎪⎪⎪⎪⎪13－3＝163. 解法二：Δ＝100－36＝64>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝103，过A ，B 分别作准线x ＝－1的垂线，设垂足分别为C ，D ，如图所示，|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AC |＋|BD |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝163.三、模拟小题17．(2022·湖北襄阳五中高三开学考试)过抛物线y ＝14x 2的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若l 的倾斜角为45°，则线段AB 的中点到x 轴的距离是( )A.12 B ．2 C.4 D ．3 答案 D解析 由题意，抛物线为x 2＝4y ，则F (0,1)，即直线l 为y ＝x ＋1，∴将直线方程代入抛物线整理得：x 2－4x －4＝0，令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝4，故线段AB 的中点的横坐标为x 1＋x 22＝2代入直线l ，得y ＝3.∴线段AB 的中点到x 轴的距离是3.故选D.18．(2022·河北正定中学高三开学考试)过点P 作抛物线C ：x 2＝2y 的切线l 1，l 2，切点分别为M ，N ，若△PMN 的重心坐标为(1,1)，且P 在抛物线D ：y 2＝mx 上，则D 的焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫24，0 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0 答案 A解析 设切点坐标为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 212，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 222，由x 2＝2y ，得y ＝x 22，所以y ′＝x ，故直线l 1的方程为y －x 212＝x 1(x －x 1)，即y ＝x 1x －x 212，同理直线l 2的方程为y ＝x 2x －x 222，联立l 1，l 2的方程可得x ＝x 1＋x 22，y ＝x 1x 22，设△PMN 的重心坐标为(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 2＋x 1＋x 223＝1，y 0＝x 212＋x 222＋x 1x 223＝1，即⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝2，x 21＋x 22＋x 1x 2＝6所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2，则P的坐标为(1，－1)，将P 点坐标代入抛物线D ：y 2＝mx ，得到(－1)2＝m ×1，解得m ＝1，故D 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0.故选A.19．(2022·新高考八省联考)已知抛物线y 2＝2px 上三点A (2,2)，B ，C ，直线AB ，AC 是圆(x －2)2＋y 2＝1的两条切线，则直线BC 的方程为( )A ．x ＋2y ＋1＝0B ．3x ＋6y ＋4＝0C ．2x ＋6y ＋3＝0D ．x ＋3y ＋2＝0 答案 B解析 因为点A (2,2)在抛物线y 2＝2px 上，故22＝2p ×2，即p ＝1，所以抛物线的方程为y 2＝2x .易知直线AB ，AC 的斜率都存在，设过点A (2，2)与圆(x －2)2＋y 2＝1相切的直线的方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y ＋2－2k ＝0，则圆心(2,0)到切线的距离d ＝|2k －0＋2－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±3.如图，直线AB ：y －2＝3(x －2)，直线AC ：y －2＝－3(x －2)．联立⎩⎨⎧y －2＝3(x －2)，y 2＝2x ，得3x 2＋(43－14)x ＋16－83＝0，故x A x B ＝16－833，由x A ＝2得x B ＝8－433，故y B＝23－63.联立⎩⎨⎧y －2＝－3(x －2)，y 2＝2x ，得3x 2－(43＋14)x ＋16＋83＝0，故x A x C ＝16＋833，由x A ＝2得x C ＝8＋433，故y C ＝－23－63，故y B ＋y C ＝23－63＋－23－63＝－4，又由B ，C 在抛物线上可知，直线BC 的斜率k BC ＝y B －y C x B －x C ＝y B －y C 12y 2B －12y 2C ＝2y B ＋y C ＝2－4＝－12，故直线BC 的方程为y －23－63＝－12⎝⎛⎭⎪⎫x －8－433，即3x ＋6y ＋4＝0.故选B. 20．(多选)(2022·湖南娄底双峰县第一中学高三上学期入学摸底)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线l 交x 轴于点Q (－2,0)，过焦点的直线m 与抛物线C 交于A ，B 两点，则( )A ．p ＝2B ．|AB |≥8C ．直线AQ 与BQ 的斜率之和为0D ．准线l 上存在点M ，若△MAB 为等边三角形，可得直线AB 的斜率为±22 答案 BCD解析 对A ，由准线l 交x 轴于点Q (－2,0)，所以－p2＝－2，p ＝4，故A 错误，对B ，抛物线过焦点的弦中通径最短，即垂直于x 轴时，令x ＝2，可得y ＝±4，故|AB |≥8，故B 正确；对C ，设直线m 的方程为x ＝ny ＋2，代入抛物线方程可得y 2－8ny －16＝0，设A (x 1，y 2)，B (x 2，y 2)，则有y 1＋y 2＝8n ，y 1y 2＝－16，所以k AQ ＋k BQ ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝x 2y 1＋2y 1＋x 1y 2＋2y 2(x 1＋2)(x 2＋2)＝2ny 1y 2＋4(y 1＋y 2)(x 1＋2)(x 2＋2)＝－32n ＋32n(x 1＋2)(x 2＋2)＝0，故C 正确；对D ，若△MAB为等边三角形，设A ，B 中点为N (a ，b )，则a ＝x 1＋x 22＝n (y 1＋y 2)＋42＝4n 2＋2，b ＝y 1＋y 22＝4n ，设M (－2，t )，所以4n －t4n 2＋4＝－n ，所以t ＝4n 3＋8n ，则M (－2,4n 3＋8n )，则点M (－2,4n 3＋8n )到直线m 的距离d ＝|4n 4＋8n 2＋4|n 2＋1，而|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝n (y 1＋y 2)＋4＋4＝8n2＋8，由d ＝32|AB |可得|4n 4＋8n 2＋4|n 2＋1＝32(8n 2＋8)，解得n 2＋1＝3，所以n ＝±2，此时AB 的斜率为±22，故D 正确．故选BCD.21. (多选)(2022·湖南师大附中高三第二次月考)如图，过点P (2，0)作两条直线x ＝2和l ：x ＝my ＋2(m ＞0)分别交抛物线y 2＝2x 于A ，B 和C ，D (其中A ，C 位于x 轴上方)，直线AC ，BD 交于点Q ，则下列说法正确的是( )A ．C ，D 两点的纵坐标之积为－4B ．点Q 在定直线x ＝－2上C ．点P 与抛物线上各点的连线中，P A 最短D ．无论CD 旋转到什么位置，始终有∠CQP ＝∠BQP 答案 AB解析 设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，将直线l 的方程x ＝my ＋2代入抛物线方程y 2＝2x ，得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4，故A 正确；由题得A (2,2)，B (2，－2)，直线AC的方程为y－2＝2y1＋2(x－2)，直线BD的方程为y＋2＝2y2－2(x－2)，消去y得x＝2(y1y2－y1＋y2)y1－y2＋4，将y1y2＝－4代入上式得x＝－2，故点Q在直线x＝－2上，故B正确；对于抛物线上的点(1，2)，到点P的距离为3＜|P A|，故C错误；因为|P A|＝|PB|，但|QA|≠|QB|，所以D错误．故选AB.22．(2022·昆明模拟)已知点A是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，F为其焦点，以F为圆心，|F A|为半径的圆交准线于B，C两点，△FBC为正三角形，且△ABC的面积是1283，则抛物线的标准方程为________．答案y2＝16x解析如图，设抛物线的准线交x轴于点D，依题意得|DF|＝p，|DF||BF|＝cos30°，因此|BF|＝23p3，|AF|＝|BF|＝23p3.由抛物线的定义知，点A到准线的距离也为23p 3，又△ABC的面积为1283，因此有12×23p3×23p3＝1283，p＝8，所以该抛物线的标准方程为y2＝16x.23．(2022·河北唐山高三上开学摸底)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l：x＝my－1与C交于A，B两点，若AF⊥BF，则m＝________，|AF|＋|BF|＝________.答案±28解析 由题意，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎨⎧x ＝my －1，y 2＝4x ，整理得y 2－4my＋4＝0，可得y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4，因为AF ⊥BF ，可得y 1x 1－1·y 2x 2－1＝－1，即y 1y 2＋x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0，得y 1y 2＋(my 1－1)(my 2－1)－[m (y 1＋y 2)－2]＋1＝0，即(m 2＋1)y 1y 2－2m (y 1＋y 2)＋4＝0，代入可得4(m 2＋1)－2m ×4m ＋4＝0，整理得m 2＝2，解得m ＝±2，又x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝4m 2－2＝6，由抛物线的定义，可得|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋p2＝x 2＋1，所以|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2＝8.一、高考大题1．(2022·全国乙卷)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，且F 与圆M ：x 2＋(y ＋4)2＝1上点的距离的最小值为4.(1)求p ；(2)若点P 在M 上，P A ，PB 是C 的两条切线，A ，B 是切点，求△P AB 面积的最大值．解 (1)因为焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2到圆M ：x 2＋(y ＋4)2＝1上点的距离的最小值为|FM |－1＝p 2＋4－1＝p 2＋3，所以p2＋3＝4，所以p ＝2.(2)解法一：由(1)知抛物线C ：x 2＝4y ，即y ＝x 24.所以y ′＝x2.设切点A (x 1，y 1)，切点B (x 2，y 2)，则l P A ：y ＝x 12x －x 214，l PB ：y ＝x 22x －x 224. 从而可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1x 24.由题意可知直线AB 的斜率存在，设l AB ：y ＝kx ＋b ，与抛物线C ：x 2＝4y 联立， 得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＝4y ，消去y ，得x 2－4kx －4b ＝0， 则Δ＝16k 2＋16b >0，即k 2＋b >0，且x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ，所以P (2k ，－b )．因为|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·16k 2＋16b ，点P 到直线AB 的距离d ＝|2k 2＋2b |k 2＋1，所以S △P AB ＝12|AB |·d ＝1216k 2＋16b ·|2k 2＋2b |＝4(k 2＋b ) 32.(*) 又点P (2k ，－b )在圆M ：x 2＋(y ＋4)2＝1上，所以k 2＝1－(b －4)24.将该式代入(*)式，得 S △P AB ＝4⎝⎛⎭⎪⎫－b 2＋12b －15432. 而y P ＝－b ∈[－5，－3]，所以b ∈[3,5]．所以当b ＝5时，△P AB 的面积最大，最大值为20 5.解法二：由(1)知抛物线C ：x 2＝4y ，即y ＝x 24.所以y ′＝x2.设切点A (x 1，y 1)，切点B (x 2，y 2)，圆M 上任意一点P (x 0，y 0)， 则易得l P A ：y ＝x 12x －y 1，l PB ：y ＝x 22x －y 2， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 12x －y 1，y ＝x 22x －y 2，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1x 24.所以x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24，又线段AB 的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.所以S △P AB ＝12|PQ |·|x 1－x 2| ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1＋y 22－y 0·|x 1－x 2| ＝14⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 21＋x 224－2y 0·|x 1－x 2| ＝116|x 1－x 2|3＝116() |x 1－x 2|23 ＝116() (x 1＋x 2)2－4x 1x 23＝116() 4x 20－16y 03＝12() x 20－4y 03.(*) 又点P (x 0，y 0)在圆M ：x 2＋(y ＋4)2＝1上，所以x 20＝1－(y 0＋4)2，代入(*)式，得S △P AB ＝12(－y 20－12y 0－15) 32.而y 0∈[－5，－3]，所以y 0＝－5时，△P AB 的面积最大，最大值为20 5. 2. (2022·浙江高考)如图，已知F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且|MF |＝2.(1)求抛物线的方程；(2)设过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若斜率为2的直线l 与直线MA ，MB ，AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且满足|RN |2＝|PN |·|QN |，求直线l 在x 轴上截距的取值范围．解 (1)因为M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且|MF |＝2，所以p ＝2.所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)由(1)知，F (1,0)，M (－1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫m ≠12，直线l 的方程为y ＝2x ＋n (n ≠±2)． 由⎩⎨⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，可得y 2－4my －4＝0， 显然Δ>0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，所以y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16m 2＋8.易知直线AM 的方程为y ＝y 1x 1＋1(x ＋1)， 则由⎩⎨⎧y ＝y 1x 1＋1(x ＋1)，y ＝2x ＋n ，可得P ⎝⎛⎭⎪⎫－n (x 1＋1)＋y 12x 1＋2－y 1，(2－n )y 12x 1＋2－y 1. 同理可得Q ⎝⎛⎭⎪⎫－n (x 2＋1)＋y 22x 2＋2－y 2，(2－n )y 22x 2＋2－y 2， 所以|y P y Q |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(n －2)2y 1y 2(2x 1＋2－y 1)(2x 2＋2－y 2) ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪(n －2)2y 1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212＋2－y 1⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222＋2－y 2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4(n －2)2y 1y 24y 1y 2－(2y 1y 2＋8)(y 1＋y 2)＋y 21y 22＋4(y 21＋y 22)＋16 ＝(n －2)24m 2＋3. 由⎩⎨⎧x ＝my ＋1，y ＝2x ＋n ，可得y R ＝n ＋21－2m .因为|RN |2＝|PN |·|QN |，所以y 2R ＝|y P y Q |，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋21－2m 2＝(n －2)24m 2＋3，所以(n －2)2(n ＋2)2＝4m 2＋3(2m －1)2＝4(2m －1)2＋22m －1＋1 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －1＋142＋34≥34，所以n <－2或－2<n ≤14－83或n ≥14＋8 3.因为直线l ：y ＝2x ＋n (n ≠±2)在x 轴上的截距为－n 2，所以－n 2>1或43－7≤－n 2<1或－n2≤－7－43，即直线l 在x 轴上截距的取值范围是(－∞，－7－43]∪[43－7,1)∪(1，＋∞)．3．(2022·全国Ⅱ卷)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |＝43|AB |.(1)求C 1的离心率；(2)设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |＝5，求C 1与C 2的标准方程． 解 (1)∵F (c,0)，AB ⊥x 轴且与椭圆C 1相交于A ，B 两点，∴直线AB 的方程为 x ＝c ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c ，y ＝±b 2a ，则|AB |＝2b 2a .抛物线C 2的方程为y 2＝4cx ，把x ＝c 代入y 2＝4cx ，得y ＝±2c ，∴|CD |＝4c .∵|CD |＝43|AB |，即4c ＝8b 23a ，∴2b 2＝3ac . 又b 2＝a 2－c 2，∴2c 2＋3ac －2a 2＝0， 即2e 2＋3e －2＝0，解得e ＝12或e ＝－2，∵0＜e ＜1，∴e ＝12，∴椭圆C 1的离心率为12. (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ， 椭圆C 1的方程为x 24c 2＋y 23c 2＝1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4cx ，x 24c 2＋y 23c 2＝1，消去y 并整理得3x 2＋16cx －12c 2＝0，解得x ＝23c 或x ＝－6c (舍去)，由抛物线的定义可得|MF |＝23c ＋c ＝5c3＝5， 解得c ＝3.∴曲线C 1的标准方程为x 236＋y 227＝1， 曲线C 2的标准方程为y 2＝12x .4．(2022·浙江高考) 如图，已知椭圆C 1：x 22＋y 2＝1，抛物线C 2：y 2＝2px (p ＞0)，点A 是椭圆C 1与抛物线C 2的交点，过点A 的直线l 交椭圆C 1于点B ，交抛物线C 2于点M (B ，M 不同于A )．(1)若p ＝116，求抛物线C 2的焦点坐标；(2)若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值． 解 (1)当p ＝116时，C 2的方程为y 2＝18x ， 故抛物线C 2的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫132，0.(2)解法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，直线l 的方程为x ＝λy ＋m ， 由⎩⎨⎧x 2＋2y 2＝2，x ＝λy ＋m ，得(2＋λ2)y 2＋2λmy ＋m 2－2＝0，所以y 1＋y 2＝－2λm 2＋λ2，y 0＝－λm 2＋λ2，x 0＝λy 0＋m ＝2m2＋λ2， 因为M 在抛物线上，所以λ2m 2(2＋λ2)2＝4pm2＋λ2⇒m ＝4p (2＋λ2)λ2.由⎩⎨⎧y 2＝2px ，x ＝λy ＋m ，得y 2＝2p (λy ＋m )， 即y 2－2pλy －2pm ＝0，所以y 1＋y 0＝2pλ， 所以x 1＋x 0＝λy 1＋m ＋λy 0＋m ＝2pλ2＋2m ， 所以x 1＝2pλ2＋2m －2m2＋λ2. 由⎩⎪⎨⎪⎧x22＋y 2＝1，y 2＝2px ，得x 2＋4px －2＝0，所以x 1＝－4p ＋16p 2＋82＝－2p ＋4p 2＋2，则－2p ＋4p 2＋2＝2pλ2＋2m ·1＋λ22＋λ2＝2pλ2＋8pλ2＋8p ≥16p ，所以4p 2＋2≥18p ，解得p 2≤1160，p ≤1040， 所以p 的最大值为1040，此时A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2105，55.解法二：设直线l 的方程为x ＝my ＋t (m ≠0，t ≠0)，A (x 0，y 0)． 将x ＝my ＋t 代入x 22＋y 2＝1，得(m 2＋2)y 2＋2mty ＋t 2－2＝0， 所以点M 的纵坐标为y M ＝－mtm 2＋2.将x ＝my ＋t 代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy －2pt ＝0， 所以y 0y M ＝－2pt ，解得y 0＝2p (m 2＋2)m ，因此x 0＝2p (m 2＋2)2m 2，由x 202＋y 20＝1，解得1p 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2m 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2m 4≥160， 所以当m ＝2，t ＝105时，p 取到最大值为1040.5．(2022·浙江高考) 如图，已知点F (1,0)为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点．过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记△AFG ，△CQG 的面积分别为S 1，S 2.(1)求p 的值及抛物线的准线方程； (2)求S 1S 2的最小值及此时点G 的坐标．解 (1)由题意得p2＝1，即p ＝2. 所以抛物线的准线方程为x ＝－1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C (x C ，y C )，重心G (x G ，y G )．令y A ＝2t ，t ≠0，则x A ＝t 2.由于直线AB 过F ，故直线AB 的方程为x ＝t 2－12t y ＋1，代入y 2＝4x ，得y 2－2(t 2－1)ty －4＝0，故2ty B ＝－4，即y B ＝－2t ，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2，－2t .又x G ＝13(x A ＋x B ＋x C )，y G ＝13(y A ＋y B ＋y C )及重心G 在x 轴上，得2t －2t ＋y C ＝0， 得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －t 2，2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －t ，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 4－2t 2＋23t 2，0. 所以直线AC 的方程为y －2t ＝2t (x －t 2)， 得Q (t 2－1,0)．由于Q 在焦点F 的右侧，故t 2>2.从而 S 1S 2＝12|FG |·|y A |12|QG |·|y C |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t 4－2t 2＋23t 2－1·|2t |⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2－1－2t 4－2t 2＋23t 2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t －2t＝2t 4－t 2t 4－1＝2－t 2－2t 4－1. 令m ＝t 2－2，则m >0， S 1S 2＝2－m m 2＋4m ＋3＝2－1m ＋3m ＋4≥2－12m ·3m ＋4＝1＋32.当m ＝3时，S 1S 2取得最小值1＋32，此时G (2,0)．二、模拟大题6．(2022·湖北恩施州高三上第一次教学质量监测)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的顶点为A ，直线y ＝x 与拋物线C 的交点(异于点A )到点A 的距离为42，(1)求抛物线C 的标准方程；(2)过点A 作斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于点M (异于点A )，直线l 关于直线y ＝x 对称的直线l 1与C 交于点N (异于点A )，求证：直线MN 恒过定点．解 (1)联立⎩⎨⎧ y ＝x ，y 2＝2px ，得⎩⎨⎧x ＝2p ，y ＝2p ，即交点坐标为(2p,2p )，所以(2p )2＋(2p )2＝42，p ＝2， 抛物线C 的标准方程为y 2＝4x . (2)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将l ：y ＝kx 代入抛物线方程得k 2x 2－4x ＝0， 所以x 1＝4k 2，y 1＝4k ，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2，4k .设直线l 1：y ＝k 1x ，同理x 2＝4k 21，y 2＝4k 1，因为直线l 与直线l 1关于直线y ＝x 对称，由图形对称性，计算可得k 1k ＝1.所以x 2＝4k 2，y 2＝4k ，即N (4k 2,4k )，又k MN ＝y 2－y 1x 2－x 1＝4k －4k4k 2－4k 2＝k (k 2－1)k 4－1＝k 1＋k 2，所以直线MN 的方程为y －4k ＝k 1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4k 2， 化简得y ＝k1＋k 2(x ＋4)，所以直线MN 恒过定点(－4,0)．7．(2022·山东青岛高三开学考试)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线与圆O ：x 2＋y 2＝5交于M ，N 两点，抛物线C 与圆O 交于M ′，N ′两点，且|MN |＝|M ′N ′|.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)动点G 在抛物线C 的准线上，直线AB 与抛物线C 交于A ，B 两点，直线A ′B ′与抛物线C 交于A ′，B ′两点，AB 与A ′B ′的交点为G ，且|GA |·|GB |＝2|GA ′|·|GB ′|.设直线AB ，A ′B ′的斜率分别为k 1，k 2，证明：1k 21－2k 22为定值．解 (1)因为⎩⎨⎧y 2＝2px ，x 2＋y 2＝5，所以x ＝－p ＋p 2＋5或x ＝－p －p 2＋5(舍去)，又因为|MN |＝|M ′N ′|，所以－p ＋p 2＋5＝p2，所以p ＝2， 所以抛物线C 的标准方程为y 2＝4x .(2)证明：设G (－1，m )，直线AB ：y ＝k 1(x ＋1)＋m ，直线A ′B ′：y ＝k 2(x ＋1)＋m ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，A ′(x 3，y 3)，B ′(x 4，y 4)，联立⎩⎨⎧y ＝k 1(x ＋1)＋m ，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y ＋4m ＋4k 1＝0， 所以y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝4(m ＋k 1)k 1，所以|GA |＝1＋1k 21|y 1－m |，|GB |＝1＋1k 21|y 2－m |，所以|GA |·|GB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 21|y 1y 2－m (y 1＋y 2)＋m 2|，所以|GA |·|GB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 21⎪⎪⎪⎪⎪⎪4(m ＋k 1)k 1－m ·4k 1＋m 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 21(4＋m 2)， 同理可得|GA ′|·|GB ′|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 22(4＋m 2)，因为|GA |·|GB |＝2|GA ′|·|GB ′|， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 21(4＋m 2)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 22(4＋m 2)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 21＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 22，所以1k 21－2k 22＝1，所以1k 21－2k 22为定值1.8. (2022·江苏七市第三次调研)如图，已知圆M ：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝4与抛物线E ：x 2＝my (m >0)相交于点A ，B ，C ，D ，且在四边形ABCD 中，AB ∥CD .(1)若OA →·OD →＝154，求实数m 的值；(2)设AC 与BD 相交于点G ，△GAD 与△GBC 组成的蝶形面积为S ，求点G 的坐标及S 的最大值．解 (1)依据圆与抛物线的对称性，知四边形ABCD 是以y 轴为对称轴的等腰梯形，设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则B (－x 1，y 1)，C (－x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝4，x 2＝my (m >0)，消去x ，得y 2＋(m －5)y ＋94＝0.(*) 因为方程(*)有互异的两个正根，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －5)2－9>0，y 1＋y 2＝5－m >0，y 1y 2＝94，解得0<m <2.由OA →·OD →＝154，得x 1x 2＋y 1y 2＝154， 即m y 1y 2＋y 1y 2＝154，由y 1y 2＝94，得m ＝1.(2)依据对称性，点G 在y 轴上，可设G (0，a )． 由k AG ＝k AC ，得y 1－a x 1＝y 1－y 2x 1＋x 2.所以y 1－a m ·y 1＝y 1－y 2m ( y 1＋y 2)＝y 1－y 2m .所以a ＝y 1y 2＝32，即G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32.解法一：S ＝S梯形ABCD－(S △GAB ＋S △GCD )＝(x 1＋x 2)(y 2－y 1)－[x 1(a －y 1)＋x 2(y 2－a )]＝x 1y 2－x 2y 1＋a (x 2－x 1)＝m ·y 1y 2·(y 2－y 1)＋a m (y 2－y 1)＝m (y 2－y 1)(y 1y 2＋a )＝3m ·y 1＋y 2－2y 1y 2＝3m (2－m )≤3·m ＋(2－m )2＝3.当且仅当m ＝2－m ，即m ＝1时，S 取最大值3. 解法二：S 2＝S △ABD －S △ABG ＝x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2－32＝my 1⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2－32＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 2·y 2－32y 1 ＝32m (y 2－y 1) ＝32m ·y 1＋y 2－2y 1y 2＝32m (5－m －3)＝32－(m －1)2＋1≤32， 所以S ≤3.当且仅当m ＝1时，S 取最大值3.9．(2022·广西南宁高三检测)已知直线x ＝－2上有一动点Q ，过点Q 作直线l 1垂直于y 轴，动点P 在l 1上，且满足OP →·OQ→＝0(O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)已知定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，A 为曲线C 上一点，直线AM 交曲线C 于另一点B ，且点A 在线段MB 上，直线AN 交曲线C 于另一点D ，求△MBD 的内切圆半径r 的取值范围．解 (1)设点P (x ，y )，则Q (－2，y )， ∴OP→＝(x ，y )，OQ →＝(－2，y )．∵OP →·OQ→＝0， ∴OP →·OQ →＝－2x ＋y 2＝0，即y 2＝2x . ∴曲线C 的方程为y 2＝2x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)，直线BD 与x 轴的交点为E ，直线AB 与△MBD 内切圆的切点为T .设直线AM 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，则联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，y 2＝2x ，得k 2x 2＋(k 2－2)x ＋k 24＝0，∴x 1x 2＝14且0<x 1<x 2，∴x 1<12<x 2. ∵直线AN 的方程为y ＝y 1x 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，与方程y 2＝2x 联立得y 21x 2－⎝⎛⎭⎪⎫y 21＋2x 21－2x 1＋12x ＋14y 21＝0， 化简得2x 1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 21＋12x ＋12x 1＝0， 解得x 3＝14x 1或x 3＝x 1(舍去)． ∵x 3＝14x 1＝x 2，∴BD ⊥x 轴， 设△MBD 的内切圆圆心为H ，则点H 在x 轴上且HT ⊥AB .∴S △MBD ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12|2y 2|， 且△MBD 的周长为2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋122＋y 22＋2|y 2|， ∴S △MBD ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋122＋y 22＋2|y 2|·r ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12|2y 2|， ∴r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12|y 2||y 2|＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋122＋y 22 ＝11x 2＋12＋1y 22＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋122 ＝112x 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋122＋1x 2＋12，令t＝x2＋12，则t>1，∴r＝11 2t－1＋1t2＋1t在区间(1，＋∞)上单调递增，则r>12＋1＝2－1，即r的取值范围为(2－1，＋∞).。
高中数学总复习专题53 抛物线-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)(解析版)
专题53抛物线最新考纲1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.基础知识融会贯通1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质【知识拓展】1．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径． 2．y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4. 3．设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．重点难点突破【题型一】抛物线的定义及应用【典型例题】已知动圆P与定圆C：（x﹣2）2+y2＝1相外切，又与定直线l：x＝﹣1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是（）A．y2＝4x B．y2＝﹣4x C．y2＝8x D．y2＝﹣8x【解答】解：令P点坐标为（x，y），A（2，0），动圆得半径为r，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，P A＝1+r，d＝r，P在直线的右侧，故P到定直线的距离是x+1，所以P A﹣d＝1，即（x+1）＝1，化简得：y2＝8x．故选：C．【再练一题】已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点，则|P A|+|PM|的最小值是（）A．5 B．C．4 D．【解答】解：依题意可知焦点F（，0），准线x，延长PM交准线于H点．则|PF|＝|PH|．|PM|＝|PH||PF|，|PM|+|P A|＝|PF|+|P A|，我们只有求出|PF|+|P A|最小值即可．由三角形两边长大于第三边可知，|PF|+|P A|≥|F A|，①设直线F A与抛物线交于P0点，可计算得P0（3，），另一交点（，）舍去．当P重合于P0时，|PF|+|P A|可取得最小值，可得|F A|．则所求为|PM|+|P A|．故选：B．思维升华与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．【题型二】抛物线的标准方程和几何性质命题点1求抛物线的标准方程【典型例题】已知抛物线的焦点坐标是（﹣1，0），则抛物线的标准方程为（）A．x2＝4y B．x2＝﹣4y C．y2＝4x D．y2＝﹣4x【解答】解：∵抛物线的焦点坐标是（﹣1，0），∴抛物线是焦点在x轴负半轴的抛物线，且，得p＝2．∴抛物线的标准方程为y2＝﹣4x．故选：D．【再练一题】已知抛物线y2＝24ax（a＞0）上的点M（3，y0）到焦点的距离是5，则抛物线的方程为（）A．y2＝8x B．y2＝12x C．y2＝16x D．y2＝20x【解答】解：由题意知，3+6a＝5，∴a，∴抛物线方程为y2＝8x．故选：A．命题点2抛物线的几何性质【典型例题】已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A为抛物线C上异于顶点O的一点，点B的坐标为（a，b）（其中a，b 满足b2﹣4a＜0）当|AB|+|AF|最小时，△ABF恰好正三角形，则a＝（）A．1 B．C．D．2【解答】解：点B的坐标为（a，b）（其中a，b满足b2﹣4a＜0），可得B在抛物线的开口之内，设A在准线x＝﹣1上的射影为M，由抛物线的定义可得|AF|＝|AM|，当M，A，B三点共线时，|AB|+|AF|取得最小值，即有A（，b），F（1，0），△ABF恰好正三角形，可得a2，b（a），解得a，故选：C．【再练一题】过焦点为F的抛物线y2＝12x上一点M向其准线作垂线，垂足为N，若|NF|＝10，则|MF|＝（）A．B．C．D．【解答】解：设M（x0，y0），F（3，0）．∵|NF|＝10，∴62102，12x0，解得x0，则MF|3．故选：B．思维升华(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．【题型三】直线与抛物线的综合问题命题点1直线与抛物线的交点问题【典型例题】过抛物线y2＝4x焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若，则|AB|＝（）A．9 B．72 C．D．36【解答】解：如图，点B在第一象限．过B、A分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D、E，过B作EA的垂线，垂足为C，则四边形BDEC为矩形．由抛物线定义可知|BD|＝|BF|，|AE|＝|AF|，又∵，∴|BD|＝|CE|＝2|AE|，即A为CE中点，∴|BA|＝3|AC|，在Rt△BAC中，|BC|＝2|AC|，k AB＝2，F（1，0），AB的方程为：y＝2（x﹣1），代入抛物线方程可得：2x2﹣5x+2＝0，x1+x2，则|AB|＝x1+x2+22．故选：C．【再练一题】已知抛物线x2＝2py（p＞0）的准线方程为y＝﹣1，△ABC的顶点A在抛物线上，B，C两点在直线y＝2x ﹣5上，若||＝2，则△ABC面积的最小值为（）A．5 B．4 C．D．1【解答】解：因为抛物线x2＝2py（p＞0）的准线方程为y＝﹣1，抛物线方程为x2＝4y；又||＝2，所以||＝2，设点A到直线BC的距离为d，故△ABC面积为，因为A在抛物线上，设A（x，），则d，故1．故选：D．命题点2与抛物线弦的中点有关的问题【典型例题】设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），过点P（1，1）的直线l与抛物线C交于A，B两点，若P恰好为线段AB的中点，则|AB|＝（）A．2 B．C．4 D．5【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），可得抛物线方程为：y2＝4x，过点P（1，1）的直线l与抛物线C交于A，B两点，若P恰好为线段AB的中点，可知直线的斜率存在不为0，设为k，直线方程为：y﹣1＝k（x﹣1），直线方程与抛物线方程联立可得：ky2﹣4y﹣4k+4＝0，y1+y22，解得k＝2，则y1y2＝﹣2，则|AB|．故选：B．【再练一题】设F为抛物线C：y2＝8x的焦点，过点P（﹣2，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点，若，则|AB|＝（）A．B．C．D．【解答】解：设直线l的方程为y＝k（x+1），A（x1，y1）、B（x2，y2）、Q（x0，y0）．解方程组，化简得：k2x2+（4k2﹣8）x+4k2＝0，∴x1+x2，x1x2＝4，y1+y2＝k（x1+x2+4），∴x0，y0，由4，∴k＝±．|AB||x2﹣x1|•16．故选：D．思维升华(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．基础知识训练1．【陕西省2019届高三年级第三次联考】已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到准线的距离为（）A．B．C．1 D．3【答案】B【解析】∵是抛物线的焦点，∴，准线方程，设，根据抛物线的定义可得，∴.解得，∴线段的中点横坐标为，∴线段的中点到准线的距离为.故应选B.2．【四川省双流中学2019届高三第一次模拟考试】已知是抛物线上一点，为其焦点，为圆的圆心，则的最小值为( )．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】设抛物线的准线方程为为圆的圆心，所以的坐标为，过的垂线，垂足为,根据抛物线的定义可知,所以问题求的最小值，就转化为求的最小值，由平面几何的知识可知，当在一条直线上时，此时有最小值，最小值为，故本题选B.3．【甘肃省、青海省、宁夏回族自治区2019届高三5月联考】已知抛物线C ：22(0)x py p =>的准线l 与圆M ：22(1)(2)16x y −+−=相切，则p =（ ） A ．6 B ．8 C ．3 D ．4【答案】D 【解析】因为抛物线2:2C x py =的准线为2p y =−， 又准线l 与圆()()22:1216M x y −+−=相切， 所以242p+= ，则4p =. 故选D4．【北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试】设抛物线24y x =的焦点为F ，已知点1,4M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,2N b ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,P c ，()4,Q d 都在抛物线上，则,,,M N P Q 四点中与焦点F 距离最小的点是（ ） A ．M B ．N C ．PD ．Q【答案】A 【解析】抛物线24y x =的焦点为F(1,0)，准线方程为1x =−； 则点1,4M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭到焦点F 的距离为15||(1)44MF =−−=， 点1,2N b ⎛⎫⎪⎝⎭到焦点F 的距离为13||(1)22NF =−−=，点P(1, c)到焦点F 的距离为|P F|=1-(-1)=2 点Q(4, d)到焦点F 的距离为|Q F|=4-(-1)=5；所以点M 与焦点F 的距离最小. 故选：A5．【湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试】已知抛物线2:2C y px =（0p >）的焦点为F ，准线为l ，O 为坐标原点，点M 在C 上，直线MF 与l 交于点N ．若3MFO π∠=，则MF MN = A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】C 【解析】作MQ 垂直l 于Q ，则在RT△MQN 中，2MQN π∠=，6MNQ π∠=，所以12MF MQ MN MN ==．选C ． 6．【江西省新八校2019届高三第二次联考】如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点,A B ，交其准线于点C ，若4BC BF =，且6AF =，则p 为（ ）A ．94B ．92C ．9D ．18【答案】B 【解析】设准线与x 轴交于点P ，作BH 垂直于准线，垂足为H由4BC BF =，得：45BH BC PF CF == 由抛物线定义可知：BF BH =，设直线l 倾斜角为θ由抛物线焦半径公式可得：41cos 5pBF BF PF p p θ+===，解得：1cos 4θ= 46131cos 3144p p p AF p θ∴=====−−，解得：92p = 本题正确选项：B7．【山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷】已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（ ） A．B ．8C．D ．4【答案】C 【解析】F （1，0），故直线AB 的方程为y ＝x ﹣1，联立方程组241y x y x ⎧=⎨=−⎩，可得x 2﹣6x+1＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由根与系数的关系可知x 1+x 2＝6，x 1x 2＝1． 由抛物线的定义可知：|FA|＝x 1+1，|FB|＝x 2+1， ∴||FA|﹣|FB||＝|x 1﹣x 2|==．故选：C ．8．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三压轴】过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作直线，交抛物线于A ，B 两点，M 为准线上的一点，记MBF α∠=，MAF β∠=，且90αβ+=︒，则MFO∠与αβ−的大小关系是（ ）A ．MFO αβ∠=−B ．MFO αβ∠>−C ．MFO αβ∠<−D ．不确定 【答案】A 【解析】如图，设N 为AB 的中点，根据抛物线的定义，点N 到准线的距离为12AB ， 即以AB 为直径的圆与准线相切，∵AM BM ⊥，M 为准线上的点，∴M 为切点，MNx 轴，由抛物线的焦点弦的性质，可得MF AB ⊥，又AM BM ⊥，所以MAF BMF β∠=∠=， 又∵AN MN =，∴AMN MAN β∠=∠=， ∴AMF AMN FMN MFO αβ−=∠−∠=∠=∠， 故选A.9．【广东省2019届高三适应性考试】在直角坐标系xOy 中，抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P为C 上一点，PQ 垂直l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，直线MN 与x 轴交于点R ，若60NFR ∠=︒，则NR =（ ）A ．2 BC ．D ．3【答案】A 【解析】根据题意，如图所示：连接MF ，QF ，抛物线的方程为y 2＝4x ，其焦点为（1，0）， 准线x ＝﹣1， 则FH ＝2，PF ＝PQ ，又由M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，则MN ∥QF ， 又PQ ＝PF ，∠NRF ＝60°， 且∠NRF ＝∠QFH ＝∠FQP ＝60°，则△PQF 为边长为4等边三角形，MF ＝在Rt △FMR 中，FR ＝2，MF ＝ 则MR ＝4， 则NR 12=MR ＝2， 故选：A ．10．【江西省吉安一中、九江一中、新余一中等八所重点中学2019届高三4月联考】已知曲线1C 是以原点O 为中心，12F F 为焦点的椭圆，曲线2C 是以O 为顶点、2F 为焦点的抛物线，A 是曲线1C 与2C 的交点，且21AF F ∠为钝角，若1275,22AF AF ==，则12AF F ∆的面积是（）A BC ．2D ．4【答案】B 【解析】过1F 作抛物线的准线l ，过A 作AB l ⊥于B ， 作2F C AB ⊥于C ， 由抛物线的定义可知，252AB AF ==，由勾股定理得21F C F B ====，12AC ==， 可知122F F BC AB AC ==−=，1212211222AF F S F F F C ∆∴=⨯=⨯= B. 11．【山东省烟台市2019届高三5月适应性练习（二)】已知过抛物线2:4C y x =焦点的直线交抛物线C 于P ,Q 两点,交圆2220x y x +−=于M ,N 两点,其中P , M 位于第一象限,则14||||PM QN +的值不可能为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】A 【解析】作图如下：可以作出下图，由图可得，可设PF m =，QF n =，则1PM m =−，1QN n =−，24y x =，2p ∴=，根据抛物线的常用结论，有1121m n p+==， 1m nmn+∴=，则m n mn +=， 14||||PM QN ∴+1411m n =+−−4545()1m n m n mn m n +−==+−−++又11(4)1(4)()m n m n m n +⋅=+⋅+441m n n m =+++5≥+， 得49m n +≥，454m n ∴+−≥则14||||PM QN +的值不可能为3， 答案选A12．【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷】已知,A B 为抛物线22(0)x py p =>上的两个动点，以AB 为直径的圆C 经过抛物线的焦点F ，且面积为2π，若过圆心C 作该抛物线准线l 的垂线CD ，垂足为D ，则||CD 的最大值为（ ）A ．2 BC ．2D ．12【答案】A 【解析】根据题意，222AB ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴AB =设||||AF a BF b ==，，过点A 作AQ l ⊥于Q ，过点B 作BP l ⊥于P ， 由抛物线定义，得AF AQ BF BP ==，，在梯形ABPQ 中， ∴2CD AQ BP a b =+=+， 由勾股定理得，228a b =+，∵2222282244a b a b ab CD ab ++++⎛⎫==== ⎪⎝⎭2222424ab a b +++=…， 所以2CD ≤（当且仅当a b =时，等号成立）.13．【天津市南开区2019届高三第二学期模拟考试（一)】已知P 为抛物线2:C y =上一点，点M )，若PM =，则△POM（O 为坐标原点）的面积为_____________【答案】【解析】解：∵抛物线C 的方程为y 2＝∴M ，0）为抛物线的焦点 设P （m ，n ）根据抛物线的定义，得|PM |＝m 2p+=，即m =，解得m ＝∵点P 在抛物线C 上，得n 2＝=24∴n ＝±∵|OM |=∴△POF 的面积为S 12=|OM |×|n |＝．故答案为：14．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考】已知抛物线24y x =的焦点为F ，其准线与x 轴交于点A ，过A 作直线l 与抛物线交于M 、N 两点，则22||||FM FN +的取值范围为______________．【答案】()8+∞，. 【解析】由题意可得(1,0)A −，设直线l 方程为1(0)x my m =−≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ，由241y x x my ⎧=⎨=−⎩得24(1)y my =−，整理得2440y my −+=， 所以216160m =−>，解得21m > 又124y y m +=，124y y =，因此21212()242x x m y y m +=+−=−，212121212(1)(1)()11x x my my m y y m y y =−−=−++=，所以2222212121212||||(1)(1)()22()2FM FN x x x x x x x x +=+++=+−+++ ()22212(1)1411x x m =++−=−−，因为21m >，所以()2222||||411918FM FN m +=−−>−=.故答案为()8+∞，15．【重庆市南开中学2019届高三第三次教学质量检测考试】已知F 是抛物线24y x =的焦点，A ，B 在抛物线上，且ABF ∆的重心坐标为11(,)23，则FA FB AB−=__________．【解析】设点A (),A A x y ,B (),B B x y ,焦点F(1,0),ABF ∆的重心坐标为11,23⎛⎫ ⎪⎝⎭, 由重心坐标公式可得1132A B x x ++=,0133A B y y ++=，即1=2A B x x +，=1A B y y + ， 由抛物线的定义可得()22=114A BA B A B y y FA FB x x x x −−+−+=−=, 由点在抛物线上可得22=4=4A A B By x y x ⎧⎨⎩，作差2244A B A B y y x x −=−，化简得4=4+A B AB A B A By y k x x y y −==−，代入弦长公式得--A B A B y y y ，则17FA FB AB−=，16．【四川省雅安市2019届高三第三次诊断考试】已知F 是抛物线C ：28y x =的焦点，点(2,6)M ，点P是C 上任意一点，当点P 在1P 时，PF PM −取得最大值，当点P 在2P 时，PF PM −取得最小值.则12PP =__________．【答案】2【解析】作出抛物线C ：28y x =的图象如下：过点P 作抛物线准线的垂线段PN ，过点M 作抛物线准线的垂线段ME 由抛物线方程可得：()2,0F由三角形知识可得：PF PM MF −≤ 所以MF PF PM MF −≤−≤当且仅当,,P M F 三点共线时，PF PM −取得最小值=-6MF −， 即点P 位于图中的2P 处，可求得：()22,4P − 由抛物线定义可得：PN PF =，由图可得：PF PM −==4PM PN ME −≤，当且仅当,,P M E 三点共线时，PF PM −取得最大值ME ,即点P 位于图中的1P 处，可求得：19,62P ⎛⎫⎪⎝⎭.所以122PP ==.17．【北京市房山区2019年第二次高考模拟检测高三】已知抛物线22(0)x py p =>过点(2,1).（Ⅰ）求抛物线的方程和焦点坐标；（Ⅱ）过点(0,4)A −的直线l 与抛物线交于两点,M N ，点M 关于y 轴的对称点为T ，试判断直线TN 是否过定点，并加以证明.【答案】（Ⅰ）抛物线方程为24x y =，焦点坐标为()0,1（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）因为抛物线22(0)x py p =>过点(2,1)P ，所以24p = 所以抛物线方程为24x y =，焦点坐标为(0,1) （Ⅱ）设直线l 的方程为4y kx =−,由244y kx x y=−⎧⎨=⎩消y 整理得24160x kx −+=， 则216640k ∆=−>，即||2k > 设1122(,),(,)M x y N x y 则T 11(,)x y − 且12124,16x x k x x +==. 直线212221:()y y TN y y x x x x −−=−+ 212221222212212222121222112()1()4()41444 44y y y x x y x x x x y x x x x x x x x x x y x x x x x x y x −∴=−++−∴=−++−−∴=−+−∴=+即2144x x y x −=+ 所以，直线TN 恒过定点(0,4).18．【江苏省南通市2019届高三适应性考试】已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为43的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，B 在x 轴的上方，且点B 的横坐标为4.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）设点P 为抛物线C 上异于A ，B 的点，直线PA 与PB 分别交抛物线C 的准线于E ，G 两点，x 轴与准线的交点为H ，求证：HG HE ⋅为定值，并求出定值. 【答案】（1）24y x =（2）见证明 【解析】（1）由题意得：(,0)2pF ， 因为点B 的横坐标为4，且B 在x 轴的上方，所以B ， 因为AB 的斜率为43，4342=−，整理得：80p +=，即0+=，得2p =， 抛物线C 的方程为：24y x =.（2）由（1）得：(4,4)B ，(1,0)F ，淮线方程1x =−， 直线l 的方程：4(1)3y x =−， 由24(1)34y x y x ⎧=−⎪⎨⎪=⎩解得14x =或4x =，于是得1(,1)4A −.设点2(,)4n P n ，又题意1n ≠±且4n ≠±,所以直线PA ：41114y x n ⎛⎫+=− ⎪−⎝⎭，令1x =−，得41n y n +=−−， 即41n HE n +=−−， 同理可得：444n HG n −=+， 444414n n HG HE n n +−⋅=−⋅=−+. 19．【广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测】已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点．（1）若直线l 过点F 且8AB =，求直线l 的方程；（2）已知点(2,0)E −，若直线l 不与坐标轴垂直，且AEO BEO ∠=∠，证明：直线l 过定点． 【答案】（1）1y x =−或1y x =−+；（2）(2,0). 【解析】解：（1）法一：焦点(1,0)F ，当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，与抛物线的交点坐标分别为(1,2)，(1,2)−， 此时4AB =，不符合题意，故直线的斜率存在．设直线l 方程为(1)=−y k x 与24y x =联立得()2222220k x k x k −+−=，当0k =时，方程只有一根，不符合题意，故0k ≠.()212222k x x k++=，抛物线的准线方程为1x =−，由抛物线的定义得()()12||||||11AB AF BF x x =+=+++()222228k k+=+=，解得1k =±，所以l 方程为1y x =−或1y x =−+.法二：焦点(1,0)F ，显然直线l 不垂直于x 轴，设直线l 方程为1x my =+,与24y x =联立得2440y my −−=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，124y y m +=，124y y =.||AB ==()241m ==+，由8AB =，解得1m =±， 所以l 方程为1y x =−或1y x =−+. （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线l 方程为(0)x my b m =+≠与24y x =联立得：2440y my b −−=，可得124y y m +=，124y y b =−. 由AEO BEO ∠=∠得EA EB k k =，即121222y yx x =−++. 整理得121122220y x y x y y +++=，即121122()2()20y my b y my b y y +++++=， 整理得12122(2)()0my y b y y +++=， 即84(2)0bm b m −++=，即2b =. 故直线l 方程为2x my =+过定点(2,0).20．【山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测（三模)】已知圆22:4O x y +=，抛物线2:2(0)C x py p =>．（1）若抛物线C 的焦点F 在圆O 上，且A 为抛物线C 和圆O 的一个交点，求AF ；（2）若直线l 与抛物线C 和圆O 分别相切于,M N 两点，设()00,M x y ，当[]03,4y ∈时，求MN 的最大值．【答案】（1）2−；（2）5. 【解析】（1）由题意知(0,2)F ，所以4p =. 所以抛物线C 的方程为28x y =.将28x y =与224x y +=联立得点A的纵坐标为2)A y =−，结合抛物线定义得||22A pAF y =+=. （2）由22x py =得：22x y p=，x y p '=，所以直线l 的斜率为0x p ，故直线l 的方程为()000x y y x x p−=−. 即000x x py py −−=.又由||2ON ==得02084y p y =−且2040y −> 所以2222200||||||4MN OM ON x y =−=+−220000020824244y py y y y y =+−=+−− ()2202200022001644164444y y y y y y −+=+−=+−−− 2020641644y y =++−− 令204t y =−，0[3,4]y ∈，则[5,12]t ∈， 令64()16f t t t =++，则264()1f t t'=−； 当[5,8]t ∈时()0f t '≤，()f t 单调递减，当(8,12]t ∈时()0f t '>，()f t 单调递增，又64169(5)16555f =++=，64100169(12)16121235f =++=<， 所以max 169()5f x =，即||MN的最大值为5.21．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】已知O 为坐标原点，过点()1,0M 的直线l 与抛物线C ：22(0)y px p =>交于A ，B 两点，且3OA OB ⋅=−． （1）求抛物线C 的方程；（2）过点M 作直线'l l ⊥交抛物线C 于P ，Q 两点，记OAB ∆，OPQ ∆的面积分别为1S ，2S ，证明：221211S S +为定值. 【答案】（1）24y x =；（2）详见解析. 【解析】（1）设直线l ：1x my =+，与22y px =联立消x 得，2220y pmy p −−=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122y y pm +=，122y y p =−.因为g x （），所以()()1112222111OA OB x x y m y y y y y m ⋅++==++()()2121211m y y m y y =++++()()221221213m p pm p =+−++=−+=−，解得2p =.所以抛物线C 的方程为24y x =.（2）由（1）知()1,0M 是抛物线C 的焦点，所以21212244AB x x p my my p m =++=+++=+.原点到直线l的距离d =，所以()21412OAB S m ∆=+=. 因为直线'l 过点()1,0且'l l ⊥，所以OPQS ∆==所以()()2222212111144141m S S m m +=+=++.即221211S S +为定值14. 22．【陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试】已知点为直线上的动点，，过作直线的垂线的中垂线于点，记点的轨迹为.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）若直线与圆相切于点，与曲线交于两点，且为线段的中点，求直线的方程.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）直线的方程为【解析】解：（Ⅰ）由已知可得，，即点到定点的距离等于它到直线的距离，故点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，∴曲线的方程为.（Ⅱ）设，由，得，∴，∴，即，∵直线与圆相切于点，∴，且，从而，即：，整理可得，即，∴，故直线的方程为.能力提升训练1．【河北省邯郸市2019届高三第一次模拟考试】位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m ，跨径为12m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．2512m B ．256m C ．95mD ．185m 【答案】D 【解析】以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y 轴建立直角坐标系xOy ，结合题意可知，该抛物线()2x 2py p 0=−>经过点()6,5−，则3610p =，解得18p 5=，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为18p 5=. 故选：D2．【甘肃省2019届高三第一次高考诊断考试】抛物线28y x =的焦点到双曲线2214y x −=的渐近线的距离是（ ）A B C D 【答案】C 【解析】依题意，抛物线的焦点为()2,0，双曲线的渐近线为2y x =±，其中一条为20x y −=，由点到直线的距离公式得5d ==.故选C. 3．【北京市海淀区2019届高三4月期中练习（一模)】抛物线2:4W y x =的焦点为F ，点A 在抛物线上，且点A 到直线3x =−的距离是线段AF 长度的2倍，则线段AF 的长度为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】解：依题意，得F （1,0），抛物线的准线为x ＝－1， 线段AF 的长等于点A 到准线x ＝－1的距离，因为点A 到直线3x =−的距离是线段AF 长度的2倍，所以，点A 到直线3x =−的距离是点A 到准线x ＝－1的距离的2倍 设A 点横坐标为0x ，是0x ＋3＝2（0x ＋1），解得：0x ＝1， 所以，｜AF ｜＝1－（－1）＝2 故选：B4．【山东省2019届高三第一次大联考】已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，C 上一点P 在y 轴上的投影为Q ，O 为坐标原点.若OQF ∆的面积为2，则PF =（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．3 【答案】B 【解析】由对称性可知，不妨设()00,P x y 在第一象限，0111222OQF S OF OQ y ∆=⨯=⨯⨯=，即04y =，因为()00,P x y 在抛物线上，即2004y x =，解得04x =，由抛物线定义04152pPF x =+=+=，故选B.5．【河南省焦作市2018-2019学年高三年级第三次模拟考试河南省焦作市2018-2019学年高三年级第三次模拟考试】已知抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的准线为l ，圆C ：（x ﹣2p ）2+y 2＝4，l 与圆C 交于A ，B ，圆C 与E 交于M ，N ．若A ，B ，M ，N 为同一个矩形的四个顶点，则E 的方程为（ ）A ．y 2＝xB ．y 2C ．y 2＝2xD ．y 2＝x【答案】C 【解析】 如图，圆C ：（x ﹣2p ）2+y 2＝4的圆心C （2p，0）是抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点， ∵圆C ：（x ﹣2p ）2+y 2＝4的半径为2， ∴|NC|＝2，根据抛物线定义可得：|NA|＝|NC|＝2． ∵A ，B ，M ，N 为同一个矩形的四个顶点， ∴点A ，N 关于直线x ＝2p 对称，即22N A P x x P +=⨯=，∴32N x p =， ∴|NA|＝322p p ⎛⎫−− ⎪⎝⎭＝2，∴2p ＝2，则E 的方程为y 2＝2x ． 故选：C ．6．【贵州省2019届高三普通高等学校招生适应性考试】过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线A ，B 两点，该抛物线的准线与x 轴交于点M ，若4AF =，则MAB ∆的面积为A ．3B ．3C ．3D ．【答案】A 【解析】解： y 2＝4x 的准线l ：x ＝﹣1．∵|AF |＝3，∴点A 到准线l ：x ＝﹣1的距离为4， ∴1+A x ＝4， ∴A x ＝3，∴A y ＝±不妨设A （3，），∴S △AFM 12=⨯2×=， ∵F （1，0），∴直线AB 的方程为y =x ﹣1），∴)214y x y x⎧=−⎪⎨=⎪⎩，解得B （13，3−），∴S △BFM 12=⨯233⨯=，∴S △AMB ＝S △AFM +S △BFM ＝33=，故选：A ．7．【江苏省扬州中学2019届高三4月考试】已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义:()PF d P FQ=. （1）当8(1)3P −−，时，求()d P ； （2）证明:存在常数a ，使得2()d P PF a =+.（3）123,,P P P 为抛物线准线上三点，且1223PP P P =，判断13()()d Pd P +与22()d P 的关系. 【答案】（1）83；（2）证明见解析；（3）()()()1322d P d P d P +>. 【解析】（1）因为8443(1)233PF k y x ==⇒=−. 联立方程24(1)1344Q y x x y x ⎧=−⎪⇒=⎨⎪=⎩， 则1083()534PF d P QF ⎧=⎪⎪⇒=⎨⎪=⎪⎩. （2）当()1,0P −，易得2()2a d P PF =−=，不妨设()1,P P y −，0P y >，直线:1PF x my =+，则2P my =−，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，2440y my −−=，2Q y m ==+2()||2P P Q y d P PF y m −=−=+2=−+=.（3）设()()()1122331,,1,,1,P y P y P y −−−，则()()()13224d P d P d P +−⎡⎤⎣⎦1322PF P F P F =+−===，因为()221316y y ⎡⎤−++⎣⎦1228y y =−−，又因()()()()2222213131313444480y y y y y y y y ++−+=+−>， 所以()()()1322d P d P d P +>.8．【辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测（三)】已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，()02,M y −是C 上一点，且2MF =．（1）求C 的方程；（2）过点F 的直线与抛物线C 相交于,A B 两点，分别过点,A B 两点作抛物线C 的切线12,l l ，两条切线相交于点P ，点P 关于直线AB 的对称点Q ，判断四边形PAQB 是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）24x y =（2）见解析【解析】（1）解：根据题意知，042py =① 因为2MF =，所以022p y +=② 联立①②解得01,2y p ==．所以抛物线C 的方程为24x y =．（2）四边形PAQB 存在外接圆．设直线AB 方程为1y kx =+，代入24x y =中，得2440x kx −−=，设点()()1122,,,A x y B x y ，则216160k ∆=+>，且4,42121−==+x x k x x所以()212||41AB x k =−=+， 因为2:4C x y =，即24x y =，所以'2x y =． 因此，切线1l 的斜率为112x k =，切线2l 的斜率为222x k =， 由于121214x x k k ==−，所以PA PB ⊥，即PAB △是直角三角形， 所以PAB △的外接圆的圆心为线段AB 的中点，线段AB 是圆的直径，所以点Q 一定在PAB △的外接圆上，即四边形PAQB 存在外接圆． 又因为()241AB k =+，所以当0k =时，线段AB 最短，最短长度为4， 此时圆的面积最小，最小面积为4π．9．【北京市昌平区2019届高三5月综合练习（二模)】已知抛物线()2:20G y px p =>过点()1,2M −，,A B是抛物线G 上异于点M 的不同两点，且以线段AB 为直径的圆恒过点M .（I ）当点A 与坐标原点O 重合时，求直线MB 的方程；（II ）求证：直线AB 恒过定点，并求出这个定点的坐标.【答案】（I ）250x y −−=； （II ）答案见解析.【解析】（I ）因为()1,2M −在抛物线()2:20G y px p =>上，所以()2221p −=⨯， 所以2p =，抛物线2:4G y x =.当点A 与点O 重合时，易知2AM k =−，因为以线段AB 为直径的圆恒过点M ，所以AM MB ⊥.所以12BM k =. 所以()1:212MB y x +=−,即直线MB 的方程为250x y −−=. （II ）显然直线AB 与x 轴不平行，设直线AB 方程为x my n =+ .2,4x my n y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y my n −−=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，因为直线AB 与抛物线交于两点，所以21212=16160,4,4m n y y m y y n ∆+>+==− ①因为以线段AB 为直径的圆恒过点M ，所以AM MB ⊥.因为,A B 是抛物线上异于M 的不同两点,所以12,1x x ≠,1MA MB k k ⋅=−.112111224=1214MA y y k x y y ++==−−−,同理得222222224=1214MB y y k x y y ++==−−−. 所以1244=122y y ⋅−−−,即12(2)(2)160y y −−+=,12122(+)200y y y y −+=. 将 ①代入得， 48200n m −−+=，即=25n m −+ .代入直线方程得25(2)5x my m m y =−+=−+.所以直线AB 恒过定点(5,2) .10．【重庆南开中学2019届高三第四次教学检测考试】过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 且斜率为1的直线交抛物线C 于M ，N 两点，且2MN =．（1）求p 的值；（2）抛物线C 上一点()0,1Q x ，直线:l y kx m =+（其中0k ≠）与抛物线C 交于A ，B 两个不同的点（均与点Q 不重合），设直线QA ，QB 的斜率分别为1k ，2k ，1212k k =−．动点H 在直线l 上，且满足0OH AB ⋅=，其中O 为坐标原点．当线段OH 最长时，求直线l 的方程．【答案】(1) 12p =(2) 310y x =− 【解析】（1）抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线MN 方程为2p x y =+ 联立抛物线方程可得2220y py p −−=故：2M N y y p +=，2·M N y y p =− ∴4222M N M N p p MN x x p y y p p ⎛⎫⎛⎫=++=++++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得12p =． （2）由（1）知抛物线C 方程为2y x =，从而点()1,1Q ，设()11,A x y ，()22,B x y220y kx m ky y m y x=+⎧⇒−+=⎨=⎩ ()140*km ∆=−>∵0k ≠，∴121y y k +=，12m y y k ⋅=． 由1212122212121211111111111112y y y y k k x x y y y y −−−−=⋅=⋅=⋅=−−−−−++ 可得()121230y y y y +++=，即130m k k ++= 从而13m k +=−该式满足()*式∴()31y k x =−−即直线l 恒过定点()3,1T −．设动点(),H x y ，∵·0OH AB =，∴()(),?3,10x y x y −+= ∴动点H 在2230x x y y −++=，故H 与T 重合时线段OH 最长，此时直线():331l y x =−−，即：310y x =−．。
高考数学一轮复习全套课时作业8-8抛物线(一)
作业8.8抛物线（一）一、单项选择题1．(2021·南昌市一模)抛物线y＝2x2的焦点到准线的距离是()A．2B．1 C.12D.1 42．若抛物线y＝ax2(a≠0)的焦点坐标是(0，1)，则a＝()A．1 B.12C．2 D.143．抛物线y＝4x2关于直线x－y＝0对称的抛物线的准线方程是()A．y＝－1B．y＝－116C．x＝－1D．x＝－1164．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A．－43B．－1C．－34D．－125．(2021·云南昆明市高三三诊)已知F为抛物线x2＝2py(p>0)的焦点，点P为抛物线上一点，以线段PF为直径的圆与x轴相切于点M，且满足|MF|＝|PM|，|PF|＝2，则p的值为()A．4B．3C．2D．16．(2021·青海西宁市高三复习检测)已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一个动点，N(1，0)是一个定点，则|PQ|＋|PN|的最小值为()A．3B．4C．5 D.2＋17．(2016·课标全国Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为()A．2B．4C．6D．88．(2021·福建厦门第二次质量检查)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与曲线C交于A，B 两点，|AB|＝6，则AB中点到y轴的距离是()A．1B．2C．3D．49．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足FA→＋FB→＋FC→＝0，则1k AB＋1k BC＋1k CA＝()A．0B．1C．2D．2p10．(2021·南昌市二模)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，P是抛物线上一点，若|PF|＝5，则△PKF的面积为()A．4B．5C．8D．10二、多项选择题11．(2021·沧州七校联考)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程可以是()A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝8x D．y2＝16x12．(2021·山东菏泽一模)已知直线l过抛物线C：y2＝－2px(p>0)的焦点，且与该抛物线交于M，N两点．若线段MN 的长是16，MN 的中点到y 轴的距离是6，O 是坐标原点，则()A ．抛物线C 的方程是y 2＝－8xB ．抛物线C 的准线方程是y ＝2C ．直线l 的方程是x －y ＋2＝0D ．△MON 的面积是82三、填空题与解答题13．已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作PA ⊥l 于点A ，当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时，|PF|＝________．14．(2021·九师联盟)已知F 为抛物线C ：y 2＝x 的焦点，点A ，B 在抛物线上，且分别位于x 轴的上、下两侧，若△BFO 的面积是12(O 为坐标原点)，且OA →·OB →＝12，则直线AB 的斜率是________．15．抛物线y 2＝2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y ＝2x ，斜边长为513，求此抛物线方程．16．(2021·湖北恩施一中开学考)长为2的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝x 上滑动，则线段AB 的中点M 到y 轴距离的最小值是________．17．(2021·南宁市模拟)已知点A(－1，0)，B(1，0)，过点A 的直线与抛物线y 2＝4x 相交于P ，Q 两点．若点P 为AQ 中点，则|PB||QB|＝________．18．(2021·哈尔滨市三中模拟)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)是抛物线C 上的两个动点，若x 1＋x 2＋2＝2|MN|，则∠MFN 的最大值为________．19．(2018·上海春季高考题)利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯(射出的光锥为圆锥)在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O ，A ，B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC ⊥AB 于C ，AB ＝3米，OC ＝4.5米．(1)求抛物线的焦点到准线的距离；(2)在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB ，DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的正弦值(精确到0.001)．作业8.8抛物线（一）参考答案1．答案D解析抛物线标准方程x 2＝2py(p>0)中p 的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又p ＝14，故选D.2．答案D解析因为抛物线的标准方程为x 2＝1a y ，则有14a ＝1，a ＝14，故选D.3．答案D解析抛物线x 2＝14y 的准线方程为y ＝－116，关于x ＝y 对称的准线方程x ＝－116为所求．4．答案C解析由已知得，抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p 2，且过点A(－2，3)，故－p2＝－2，则p ＝4，F(2，0)，则直线AF 的斜率k ＝3－0－2－2＝－34.故选C.5．答案C 解析如图所示，设线段PF 的中点为点N ，由题意可知，圆N 与x 轴相切于点M ，则MN ⊥x 轴，又∵|MF|＝|PM|，N 为PF 的中点，∴MN ⊥PF ，∴PF ∥x 轴，由于|PF|＝2，则点P 的坐标代入抛物线方程得2p·p2＝4，即p 2＝4，∵p>0，解得p ＝2.故选C.6．答案A解析N 恰好为抛物线的焦点，|PN|等于点P 到准线的距离，要想|PQ|＋|PN|最小，过圆心(3，1)作抛物线y 2＝4x 的准线x ＝－1的垂线交抛物线于点P ，交圆于Q ，则|PQ|＋|PN|的最小值等于圆心(3，1)到准线x ＝－1的距离减去半径，即|PQ|＋|PN|的最小值为4－1＝3.7．答案B解析由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px(p>0)，由|AB|＝42，|DE|＝25，可取－p 2，设O 为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4，故选B.8．答案B解析由y 2＝4x ，得F(1，0)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AF|等于点A 到准线x ＝－1的距离x 1＋1；同理，|BF|等于点B 到准线x ＝－1的距离x 2＋1.所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝6，得x 1＋x 2＝4，AB 中点横坐标为x 0＝x 1＋x 22＝2，所以AB 中点到y 轴的距离是|x 0|＝2，故选B.9．答案A解析设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，1－p 2，y 2－p 2，3－p 2，(0，0)，故y 1＋y 2＋y 3＝0.∵1k AB ＝x 2－x 1y 2－y 1＝12p （y 22－y 12）y 2－y 1＝y 2＋y 12p ，同理可知1k BC ＝y 3＋y 22p ，1k CA ＝y 3＋y 12p ，∴1k AB ＋1k BC ＋1k CA ＝2（y 1＋y 2＋y 3）2p＝0.10．答案A解析由抛物线y 2＝4x ，知p2＝1，则焦点F(1，0)．设点|PF|＝55，解得y 0＝±4，所以S △PKF ＝12×p ×|y 0|＝12×2×4＝4，故选A.11．答案BD解析方法一：设点M 的坐标为(x 0，y 0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x 0＋p 2＝5，则x 0＝5－p2.又点F MF 为直径的圆的方程为(x －x 0(y －y 0)y ＝0.将x ＝0，y ＝2代入得px 0＋8－4y 0＝0，即y 022－4y 0＋8＝0，所以y 0＝4.由y 02＝2px 0，得16＝p ＝2或p ＝8.所以C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x.方法二：由已知得抛物线的焦点A(0，2)，抛物线上点M(x 0，y 0)，则AF →AM →＝y 0－由已知，得AF →·AM →＝0，即y 02－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，由抛物线定义可知，|MF|＝8p ＋p2＝5.又p>0，解得p ＝2或p ＝8.所以C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x.12．答案AD解析本题考查直线与抛物线的位置关系．设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，根据抛物线的定义，知|MN|＝－(x 1＋x 2)＋p ＝16.又MN 的中点到y 轴的距离为6，∴－x 1＋x 22＝6，∴x 1＋x 2＝－12，∴p ＝4，∴抛物线C 的方程为y 2＝－8x ，故A 正确；抛物线C 的准线方程是x ＝2，故B 错误；设直线l 的方程是x ＝my －2，联2＝－8x ，＝my －2，消去x 得y 2＋8my －16＝01＋y 2＝－8m ，1·y 2＝－16，∴x 1＋x 2＝－8m 2－4＝－12，解得m ＝±1，故直线l 的方程是x －y ＋2＝0或x ＋y ＋2＝0，故C 错误；抛物线C 的焦点为F(－2，0)，S △MON ＝12·|OF|·|y 1－y 2|＝12×2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝64＋64＝82，故D 正确．故选AD.13．答案43解析设l 与y 轴的交点为B ，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝233.设P(x 0，y 0)，则x 0＝±233，代入x 2＝4y 中，得y 0＝13，从而|PF|＝|PA|＝y 0＋1＝43.14．答案－13解析设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由抛物线y 2＝x 得S △BFO ＝12×14×(－y 2)＝12，得y 2＝－4，则x 2＝16，由OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝16x 1－4y 1＝12，得4x 1－y 1＝3，又y 12＝x 1，结合y 1>0，解得y 1＝1，x 1＝1，所以直线AB 的斜率是－13.15．答案y 2＝4x解析设抛物线y 2＝2px(p>0)的内接直角三角形为Rt △AOB ，直角边OA 所在直线方程为y ＝2x ，则另一直角边所在直线方程为y ＝－12x.＝2x ，2＝2px ，可得点A＝－12x ，2＝2px ，可得点B 的坐标为(8p ，－4p)．∵|OA|2＋|OB|2＝|AB|2，且|AB|＝513，p (64p 2＋16p 2)＝325.∴p ＝2，∴所求的抛物线方程为y 2＝4x.16．答案34解析设抛物线y 2＝x 的焦点为F ，准线为l ，点A ，B ，M 在l 上的射影分别为点C ，D ，N ，连接AC ，BD ，MN ，如图．由梯形的中位线定理，可得|MN|＝12(|AC|＋|BD|)．连接AF ，BF ，根据抛物线的定义得|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|.根据平面几何知识，可得|AF|＋|BF|≥|AB|，当且仅当点F 在AB 上时取等号，∴|AC|＋|BD|≥|AB|＝2，∴|MN|＝12(|AC|＋|BD|)≥12|AB|＝1.设点M 的横坐标为a ，抛物线y 2＝x 的准线方程为x ＝－14，则|MN|＝a ＋14≥1，解得a ≥34.因此，当且仅当线段AB 为经过抛物线焦点的弦时，AB 的中点M 到y 轴的距离最小，最小值为34.17．答案12解析易知抛物线y 2＝4x 的焦点为B ，准线为x ＝－1.分别作点P ，Q 到准线的垂线段，垂足分别为点D ，C.根据抛物线的定义，有|PB|＝|PD|，|QB|＝|QC|，因为PD ∥QC ，且P 为AQ 中点，所以PD 是△AQC 的中位线，|PD|＝12|QC|，即|PB|＝12|QB|.故|PB||QB|＝12.18．答案π3解析抛物线C ：y 2＝4x 的准线方程为：x ＝－1，所以由已知x 1＋x 2＋2＝2|MN|，得|MF|＋|NF|＝2|MN|，因为cos ∠MFN ＝|MF|2＋|NF|2－|MN|22|MF|·|NF|＝34（|MF|2＋|NF|2）－12|MF|·|NF|2|MF|·|NF|≥34×2|MF|·|NF|－12|MF|·|NF|2|MF|·|NF|＝|MF|·|NF|2|MF|·|NF|＝12，因为∠MFN ∈(0，π)，所以∠MFN ，π3，因此∠MFN 的最大值为π3.19．答案(1)14(2)0.167解析(1)如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为y 轴，建系．∴B(1.5，－4.5)．设抛物线方程为x 2＝－2py(p>0)．点B(1.5，－4.5)在抛物线上．∴p ＝14.∴焦点到准线的距离为14.(2)如图，∵C 为DE 中点，OC ∥SD ，∴O 为SE 中点．∵SC ⊥DE ，OC ＝4.5，∴SE ＝2OC ＝9.∵DE ＝AB ＝3，∴CE ＝1.5.∴sin ∠CSE ＝CE SE ＝1.59≈0.167.∴圆锥的母线与轴的夹角的正弦值均为0.167.。
抛物线(高三一轮复习)
可知当A，P，H三点共线时周长最小，为6＋2 2，故选C.
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命题点2 抛物线的标准方程
例2 (1)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其
准线于点C，准线与对称轴交于点M，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程
A．y2＝4x或y2＝16x B．y2＝x或y2＝8x C．y2＝2x或y2＝4x D．y2＝x或y2＝4x
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解析 (1)由抛物线定义，知|BF|等于B到准线的距离，因为|BC|＝2|BF|，所以∠
BCM＝30°，又|AF|＝3，从而A
p2＋32，3
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思维点睛► 求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法； (2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论．
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针对训练
1．(2023·张家界质检)若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点
2
3
，A在抛物线上，代入抛物线方程y2＝
2px，得247＝p2＋3p，解得p＝32. 故抛物线方程为y2＝3x.
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(2)设P为(x0，y0)，则M→P ＝(x0，y0－2)， 又Fp2，0，∴M→F ＝p2，－2. ∵MF⊥PM，∴M→F ·M→P ＝0，
第八章 平面解析几何
第7讲 抛物线
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高考一轮复习 抛物线 知识点+例题+练习
自主梳理1．抛物线的概念平面内到一个定点F 和一条定直线l (F 不在l 上)的距离________的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的________，直线l 叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F (p2，0) F (－p2，0)F (0，p 2)F (0，－p2)离心率 e ＝1准线 方程 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p 2y ＝p 2 范围 x ≥0， y ∈R x ≤0， y ∈R y ≥0， x ∈R y ≤0， x ∈R 开口 方向向右向左向上向下自我检测1．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是________．2．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．3．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是________．4．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝________.5．已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过该抛物线焦点F 且不与x 轴垂直的直线AB 交抛物线于A 、B 两点，过点A 、点B 分别作AM 、BN 垂直于抛物线的准线，分别交准线于M 、N 两点，那么∠MFN ＝________.学生姓名 教师姓名班主任 日期时间段年级课时教学内容 抛物线复习教学目标 1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质. 2.理解数形结合的思想． 重点 同上 难点同上探究点一抛物线的定义及应用例1已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求P A ＋PF的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．变式迁移1已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为________．探究点二求抛物线的标准方程例2已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．变式迁移2 根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点F 是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点； (2)过点P (2，－4)．探究点三 抛物线的几何性质例3 过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线和抛物线相交于A ，B 两点，如图所示．(1)若A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2，求证：y 1y 2＝－p 2；(2)若直线AO 与抛物线的准线相交于点C ，求证：BC ∥x 轴．变式迁移3 已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．求证：(1)x 1x 2＝p 24；(2)1AF ＋1BF为定值．一、填空题1．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB 等于________．2．将两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则n ＝________.3．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是________．4．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．5．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为________．6．设圆C 位于抛物线y 2＝2x 与直线x ＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C 的半径能取到的最大值为________．7．已知A 、B 是抛物线x 2＝4y 上的两点，线段AB 的中点为M (2,2)，则AB ＝________.8．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．二、解答题9．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝2x ＋1所得的弦长为15，求抛物线方程．10．已知抛物线C：x2＝8y.AB是抛物线C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ.轨迹方程自主梳理1．曲线的方程与方程的曲线如果曲线C 上点的坐标(x ，y )都是方程f (x ，y )＝0的解，且以方程f (x ，y )＝0的解(x ，y )为坐标的点都在曲线C 上，那么，方程f (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程．曲线C 叫做方程f (x ，y )＝0的曲线．2．求曲线方程的一般方法(五步法)求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}； (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0； (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．3．求曲线方程的常用方法：(1)直接法；(2)定义法；(3)代入法；(4)参数法．自我检测1．已知动点P 在曲线2x 2－y ＝0上移动，则点A (0，－1)与点P 连线中点的轨迹方程为______________．2．一动圆与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，而与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0内切，那么动圆的圆心P 的轨迹是__________________________________________________________________．3．已知A (0,7)、B (0，－7)、C (12,2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是______________________．4．若M 、N 为两个定点且MN ＝6，动点P 满足PM →·PN →＝0，则P 点的轨迹方程为________．5．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是__________________．探究点一 直接法求轨迹方程例1 动点P 与两定点A (a,0)，B (－a,0)连线的斜率的乘积为k ，试求点P 的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线．变式迁移1 已知两点M (－2,0)、N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →||MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为______________．探究点二 定义法求轨迹方程例2 已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且O 1O 2＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．变式迁移2 在△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ⎝⎛⎭⎫－a 2，0，C ⎝⎛⎭⎫a2，0，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程为____________________________________．探究点三 相关点法(代入法)求轨迹方程例3 如图所示，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N . 求线段QN 的中点P 的轨迹方程．变式迁移3 已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，P是AB 上一点，且AP →＝22PB →.求点P 的轨迹C 的方程．一、填空题1．已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆的一个动点，如果M 是线段F 1P 的中点，则动点M 的轨迹是_________________________________________________________________．2．已知A 、B 是两个定点，且AB ＝3，CB －CA ＝2，则点C 的轨迹方程为______________．3．长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，AC →＝2CB →，则点C 的轨迹方程为____________．4．如图，圆O ：x 2＋y 2＝16，A (－2，0)，B (2,0)为两个定点．直线l 是圆O 的一条切线，若经过A 、B 两点的抛物线以直线l 为准线，则抛物线焦点所在的轨迹是________．5．P 是椭圆x 216＋y 29＝1上的动点，作PD ⊥y 轴，D 为垂足，则PD 中点的轨迹方程为____________．6．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足P A ＝2PB ，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于______．7．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长CD ＝3，则顶点A 的轨迹方程为______________．8．平面上有三点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为__________．二、解答题9．已知抛物线y2＝4px (p>0)，O为顶点，A，B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于点M，求点M的轨迹方程．10．已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C的方程；(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的一点，OPOM＝λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．。
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高考数学（理科）一轮复习抛物线学案附答案学案3抛物线导学目标：1掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质2理解数形结合的思想．自主梳理1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离______的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的__________，直线l叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程2＝2px(p>0)2＝－2px(p>0)x2＝2p(p>0)x2＝－2p(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点(0,0)对称轴＝0x＝0焦点F(p2，0)F(－p2，0)F(0，p2)F(0，－p2)离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2＝－p2＝p2范围x≥0，∈Rx≤0，∈R≥0，x∈R≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下自我检测1．(2010•四川)抛物线2＝8x的焦点到准线的距离是()A．1 B．2 ．4 D．82．若抛物线2＝2px的焦点与椭圆x26＋22＝1的右焦点重合，则p 的值为()A．－2 B．2 ．－4 D．43．(2011•陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()A．2＝－8x B．2＝8x．2＝－4x D．2＝4x4．已知抛物线2＝2px (p>0)的焦点为F，点P1(x1，1)，P2(x2，2)，P3(x3，3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有()A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|D．|FP2|2＝|FP1|•|FP3|．(2011•佛模拟)已知抛物线方程为2＝2px (p>0)，过该抛物线焦点F且不与x轴垂直的直线AB交抛物线于A、B两点，过点A、点B分别作A、BN垂直于抛物线的准线，分别交准线于、N两点，那么∠FN必是()A．锐角B．直角．钝角D．以上皆有可能探究点一抛物线的定义及应用例1 已知抛物线2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．变式迁移1已知点P在抛物线2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A14，－1 B14，1．(1,2) D．(1，－2)探究点二求抛物线的标准方程例2 (2011•芜湖调研)已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上一点(，－3)到焦点的距离为，求的值、抛物线方程和准线方程．变式迁移2根据下列条求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点F是双曲线16x2－92＝144的左顶点；(2)过点P(2，－4)．探究点三抛物线的几何性质例3 过抛物线2＝2px的焦点F的直线和抛物线相交于A，B两点，如图所示．(1)若A，B的纵坐标分别为1，2，求证：12＝－p2；(2)若直线A与抛物线的准线相交于点，求证：B∥x轴．变式迁移3已知AB是抛物线2＝2px (p>0)的焦点弦，F为抛物线的焦点，A(x1，1)，B(x2，2)．求证：(1)x1x2＝p24；(2)1|AF|＋1|BF|为定值．分类讨论思想的应用例(12分)过抛物线2＝2px (p>0)焦点F的直线交抛物线于A、B 两点，过B点作其准线的垂线，垂足为D，设为坐标原点，问：是否存在实数λ，使A→＝λD→？多角度审题这是一道探索存在性问题，应先假设存在，设出A、B 两点坐标，从而得到D点坐标，再设出直线AB的方程，利用方程组和向量条求出λ【答题模板】解假设存在实数λ，使A→＝λD→抛物线方程为2＝2px (p>0)，则Fp2，0，准线l：x＝－p2，(1)当直线AB的斜率不存在，即AB⊥x轴时，交点A、B坐标不妨设为：Ap2，p，Bp2，－p∵BD⊥l，∴D－p2，－p，∴A→＝－p2，－p，D→＝－p2，－p，∴存在λ＝1使A→＝λD→[4分](2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为＝x－p2 (≠0)，设A(x1，1)，B(x2，2)，则D－p2，2，x1＝212p，x2＝222p，由＝x－p22＝2px得2－2p－p2＝0，∴12＝－p2，∴2＝－p21，[8分]A→＝(－x1，－1)＝－212p，－1，D→＝－p2，2＝－p2，－p21，假设存在实数λ，使A→＝λD→，则－212p＝－p2λ－1＝－p21λ，解得λ＝21p2，∴存在实数λ＝21p2，使A→＝λD→综上所述，存在实数λ，使A→＝λD→[12分]【突破思维障碍】由抛物线方程得其焦点坐标和准线方程，按斜率存在和不存在讨论，由直线方程和抛物线方程组成方程组，研究A、D两点坐标关系，求出A→和D→的坐标，判断λ是否存在．【易错点剖析】解答本题易漏掉讨论直线AB的斜率不存在的情况，出现错误的原因是对直线的点斜式方程认识不足．1．关于抛物线的定义要注意点F不在定直线l上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线．2．关于抛物线的标准方程抛物线的标准方程有四种不同的形式，这四种标准方程的联系与区别在于：(1)p的几何意义：参数p是焦点到准线的距离，所以p恒为正数．(2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向．3．关于抛物线的几何性质抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握，但由于抛物线的离心率等于1，所以抛物线的焦点弦具有很多重要性质，而且应用广泛．例如：已知过抛物线2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，设A(x1，1)，B(x2，2)，则有下列性质：|AB|＝x1＋x2＋p或|AB|＝2psin2α(α为AB的倾斜角)，12＝－p2，x1x2＝p24等．(满分：7分)一、选择题(每小题分，共2分)1．(2011•大纲全国)已知抛物线：2＝4x的焦点为F，直线＝2x－4与交于A，B两点，则s∠AFB等于()A4 B3．－3 D．－42．(2011•湖北)将两个顶点在抛物线2＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则()A．n＝0 B．n＝1．n＝2 D．n≥33．已知抛物线2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()A．相离B．相交．相切D．不确定4．(2011•泉州月考)已知点A(－2,1)，2＝－4x的焦点是F，P是2＝－4x上的点，为使|PA|＋|PF|取得最小值，则P点的坐标是() A－14，1 B．(－2,22)－14，－1 D．(－2，－22)．设为坐标原点，F为抛物线2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若A→•AF→＝－4，则点A的坐标为()A．(2，±2) B．(1，±2)．(1,2) D．(2，2)二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011•重庆)设圆位于抛物线2＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆的半径能取到的最大值为________．7．(2011•济宁期末)已知A、B是抛物线x2＝4上的两点，线段AB的中点为(2,2)，则|AB|＝________8．(2010•浙江)设抛物线2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0，2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．三、解答题(共38分)9．(12分)已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线＝2x＋1所得的弦长为1，求抛物线方程．10．(12分)(2011•韶关模拟)已知抛物线：x2＝8AB是抛物线的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ11．(14分)(2011•济南模拟)已知定点F(0,1)和直线l1：＝－1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点(1)求动点的轨迹方程；(2)过点F的直线l2交轨迹于两点P、Q，交直线l1于点R，求RP→•RQ→的最小值．学案3抛物线自主梳理1．相等焦点准线自我检测1．2．B[因为抛物线的准线方程为x＝－2，所以p2＝2，所以p＝4，所以抛物线的方程是2＝8x所以选B]3．B4 B堂活动区例 1 解题导引重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化，是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．解将x＝3代入抛物线方程2＝2x，得＝±6∵6>2，∴A在抛物线内部．设抛物线上点P到准线l：x＝－12的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为72，即|PA|＋|PF|的最小值为72，此时P点纵坐标为2，代入2＝2x，得x＝2，∴点P坐标为(2,2)．变式迁移1A[点P到抛物线焦点的距离等于点P到抛物线准线的距离，如图，|PF|＋|PQ|＝|PS|＋|PQ|，故最小值在S，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是－1，点P的坐标为14，－1]例2 解题导引(1)求抛物线方程时，若由已知条可知所求曲线是抛物线，一般用待定系数法．若由已知条可知所求曲线的动点的轨迹，一般用轨迹法；(2)待定系数法求抛物线方程时既要定位(即确定抛物线开口方向)，又要定量(即确定参数p的值)．解题关键是定位，最好结合图形确定方程适合哪种形式，避免漏解；(3)解决抛物线相关问题时，要善于用定义解题，即把|PF|转化为点P 到准线的距离，这种“化斜为直”的转化方法非常有效，要注意领会和运用．解方法一设抛物线方程为x2＝－2p (p>0)，则焦点为F0，－p2，准线方程为＝p2∵(，－3)在抛物线上，且|F|＝，∴2＝6p，2＋－3＋p22＝，解得p＝4，＝±26∴抛物线方程为x2＝－8，＝±26，准线方程为＝2方法二如图所示，设抛物线方程为x2＝－2p (p>0)，则焦点F0，－p2，准线l：＝p2，作N⊥l，垂足为N则|N|＝|F|＝，而|N|＝3＋p2，∴3＋p2＝，∴p＝4∴抛物线方程为x2＝－8，准线方程为＝2由2＝(－8)×(－3)，得＝±26变式迁移2解(1)双曲线方程化为x29－216＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为2＝－2px (p>0)且－p2＝－3，∴p＝6∴方程为2＝－12x(2)由于P(2，－4)在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为2＝x (>0)或x2＝n (n<0)，代入P点坐标求得＝8，n＝－1，∴所求抛物线方程为2＝8x或x2＝－例 3 解题导引解决焦点弦问题时，抛物线的定义有着广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．焦点弦有以下重要性质(AB为焦点弦，以2＝2px (p>0)为例)：①12＝－p2，x1x2＝p24；②|AB|＝x1＋x2＋p证明(1)方法一由抛物线的方程可得焦点坐标为Fp2，0设过焦点F的直线交抛物线于A，B两点的坐标分别为(x1，1)、(x2，2)．①当斜率存在时，过焦点的直线方程可设为＝x－p2，由＝x－p2，2＝2px，消去x，得2－2p－p2＝0(*)当＝0时，方程(*)只有一解，∴≠0，由韦达定理，得12＝－p2；②当斜率不存在时，得两交点坐标为p2，p，p2，－p，∴12＝－p2综合两种情况，总有12＝－p2方法二由抛物线方程可得焦点Fp2，0，设直线AB的方程为x＝＋p2，并设A(x1，1)，B(x2，2)，则A、B坐标满足x＝＋p2，2＝2px，消去x，可得2＝2p＋p2，整理，得2－2p－p2＝0，∴12＝－p2(2)直线A的方程为＝1x1x，∴点坐标为－p2，－p12x1，＝－p12x1＝－p212px1∵点A(x1，1)在抛物线上，∴21＝2px1又由(1)知，12＝－p2，∴＝12•121＝2，∴B∥x轴．变式迁移3证明(1)∵2＝2px (p>0)的焦点Fp2，0，设直线方程为＝x－p2 (≠0)，由＝x－p22＝2px，消去x，得2－2p－p2＝0∴12＝－p2，x1x2＝1224p2＝p24，当不存在时，直线方程为x＝p2，这时x1x2＝p24因此，x1x2＝p24恒成立．(2)1|AF|＋1|BF|＝1x1＋p2＋1x2＋p2＝x1＋x2＋px1x2＋p2x1＋x2＋p24又∵x1x2＝p24，代入上式得1|AF|＋1|BF|＝2p＝常数，所以1|AF|＋1|BF|为定值．后练习区1．D[方法一由＝2x－4，2＝4x，得x＝1，＝－2或x＝4，＝4 令B(1，－2)，A(4,4)，又F(1,0)，∴由两点间距离公式得|BF|＝2，|AF|＝，|AB|＝3∴s∠AFB＝|BF|2＋|AF|2－|AB|22|BF|•|AF|＝4＋2－42×2×＝－4方法二由方法一得A(4,4)，B(1，－2)，F(1,0)，∴FA→＝(3,4)，FB→＝(0，－2)，∴|FA→|＝32＋42＝，|FB→|＝2∴s∠AFB＝FA→•FB→|FA→|•|FB→|＝3×0＋4×－2×2＝－4]2．[如图所示，A，B两点关于x轴对称，F点坐标为(p2，0)，设A(，2p)(>0)，则由抛物线定义，|AF|＝|AA1|，即＋p2＝|AF|又|AF|＝|AB|＝22p，∴＋p2＝22p，整理，得2－7p＋p24＝0，①∴Δ＝(－7p)2－4×p24＝48p2>0，∴方程①有两相异实根，记为1，2，且1＋2＝7p>0，1•2＝p24>0，∴1>0，2>0，∴n＝2]3．4．A[过P作P⊥l (l为抛物线的准线)于，则|PF|＝|P|，∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋|P|∴当P点的纵坐标与A点的纵坐标相同时，|PA|＋|P|最小，此时P点的纵坐标为1，把＝1代入2＝－4x，得x＝－14，即当P点的坐标为－14，1时，|PA|＋|PF|最小．]．B66－1解析如图所示，若圆的半径取到最大值，需圆与抛物线及直线x＝3同时相切，设圆心的坐标为(a,0)(a<3)，则圆的方程为(x－a)2＋2＝(3－a)2，与抛物线方程2＝2x联立得x2＋(2－2a)x＋6a－9＝0，由判别式Δ＝(2－2a)2－4(6a－9)＝0，得a＝4－6，故此时半径为3－(4－6)＝6－17．42解析由题意可设AB的方程为＝x＋，与抛物线方程联立得x2－4x －4＝0，线段AB中点坐标为(2,2)，x1＋x2＝4＝4，得＝1又∵1＋2＝(x1＋x2)＋2＝4，∴＝0从而直线AB：＝x，|AB|＝2||＝428324解析抛物线的焦点F的坐标为p2，0，线段FA的中点B的坐标为p4，1，代入抛物线方程得1＝2p×p4，解得p＝2，故点B的坐标为24，1，故点B到该抛物线准线的距离为24＋22＝3249．解设直线和抛物线交于点A(x1，1)，B(x2，2)，(1)当抛物线开口向右时，设抛物线方程为2＝2px (p>0)，则2＝2px ＝2x＋1，消去得，4x2－(2p－4)x＋1＝0，∴x1＋x2＝p－22，x1x2＝14，(4分)∴|AB|＝1＋2|x1－x2|＝•x1＋x22－4x1x2＝•p－222－4×14＝1，(7分)则p24－p＝3，p2－4p－12＝0，解得p＝6(p＝－2舍去)，抛物线方程为2＝12x(9分)(2)当抛物线开口向左时，设抛物线方程为2＝－2px (p>0)，仿(1)不难求出p＝2，此时抛物线方程为2＝－4x(11分)综上可得，所求的抛物线方程为2＝－4x或2＝12x(12分)10．证明因为直线AB与x轴不垂直，设直线AB的方程为＝x＋2，A(x1，1)，B(x2，2)．由＝x＋2，＝18x2，可得x2－8x－16＝0，x1＋x2＝8，x1x2＝－16(4分)抛物线方程为＝18x2，求导得′＝14x(7分)所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是1＝14x1，2＝14x2，12＝14x1•14x2＝116x1•x2＝－1(10分)所以AQ⊥BQ(12分)11．解(1)由题设点到点F的距离等于它到l1的距离，所以点的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，∴所求轨迹的方程为x2＝4(分)(2)由题意直线l2的方程为＝x＋1，与抛物线方程联立消去得x2－4x －4＝0记P(x1，1)，Q(x2，2)，则x1＋x2＝4，x1x2＝－4(8分)因为直线PQ的斜率≠0，易得点R的坐标为－2，－1(9分)RP→•RQ→＝x1＋2，1＋1•x2＋2，2＋1＝x1＋2x2＋2＋(x1＋2)(x2＋2)＝(1＋2)x1x2＋2＋2(x1＋x2)＋42＋4＝－4(1＋2)＋42＋2＋42＋4＝42＋12＋8，(11分)∵2＋12≥2，当且仅当2＝1时取到等号．RP→•RQ→≥4×2＋8＝16，即RP→•RQ→的最小值为16 (14分)。