第3章 刚体力学

1.冲量矩,角动量 2.角动量定、 角动量守恒 (相当动量定理)
§3.1 刚体运动的描述
§3.2 力矩的瞬时效应——刚体的转动定理 §3.3 力矩的时间累积效应——刚体的角动量定理
§3.3.1 质点的角动量及守恒定律 §3.3.2 质点系的角动量及守恒定律
§3.3.3 刚体的角动量及守恒定律
§3.4 力矩的空间累积效应——刚体的机械能守恒定律
j
i
ri O f ij rj

Fi
i
i
将上式两边同时乘以ri
i
y
j
Fi ri sin i f ij ri sin i mi ri 2
j
x
利用矢量矢积的定义有
2 ri Fi ri f ij mi ri
j
2 ri Fi ri f ij mi ri
M o
Mo r F
r
F

力矩的大小:
M Fr sin Fd
d
方向:
r F
力 F对 过O 点的Z轴的力矩 M z
MO M z M r F ( ri rz ) ( F Fz ) ( ri F ) ( rz F ri Fz )
任意形状刚体绕固定轴转动，将刚体看作质点系。设位矢为 ri
的质点mi受到质点j的内力为 f ij ，受到合外力为 Fi
mi : 切向方向
由牛顿第二定律
2、绕固定轴转动的刚体转动定理
(转动平面内)
z
Fi sin i f ij sin i mi ai mi ri
§3.2.2 刚体转动惯量的求解
1. 质量离散分布刚体
I=Δmi ri2 即：刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量乘以它 到转轴距离的平方的总和。
2. 质量连续分布刚体
I r 2dm
式中: r为刚体上的质元dm到转轴的距离。
3. 转动惯量的平行轴定理：
Ic
c
I l rc l
o
I I c ml 2
Ic 通过刚体质心的轴的转动惯量
m 刚体系统的总质量 l 两平行轴(o,c)间的距离
r
证明：首先，绕固定轴转动的刚体模型都可以转化为图示模型， 因为只有垂直于转轴的作用力才对刚体转动状态的变化有影响。 2 因 I r dm ( r r )dm V V 2 ( rc l )(rc l )dm ( rc 2l rc l 2 )dm V V 2 I c ml 2l rc dm =0 V rc rc dm / m 考虑到质心坐标的求解方法
B. 已知刚体转动状态求刚体所受力矩 C. 已知刚体部分转动状态和部分力矩求解未知 力矩和未知转动状态。
例3：质量m1=24kg的匀质圆盘可绕水平光滑轴转动，一轻绳缠 绕于盘上，另一端通过质量为m2=5kg的具有水平光滑轴的圆 盘形定滑轮后挂有m=10kg的物体。
求：物体m由静止开始下落h=0.5m时，物体的速度及绳的张力
I r dm
2 V
离散体
I mi ri
i
2
(r或ri是质点到转轴的垂直距离) B.关于绕定轴转动的转动定律 刚体绕定轴转动定律的地位等同于平动问题中的牛顿第二定律,
适于研究刚体转动的瞬时效应；对于有固定转轴的刚体转动，
转动定理可以写为标量式，此时，外力、位矢应当分解到与转 轴垂直的平面内。适用条件：惯性系
平动的特点
刚体中各质点的运 动情况相同
rA rB AB
d AB 0 dt
A
A
A
B
AB 常矢量
B
B
v A vB
a A aB
结论: 刚体的平动可归结为质点运动
(2) 刚体的转动
如果刚体内的每个质点都绕同一直线(转轴)作圆周运动， 这种运动便称为转动。 转轴固定不动定轴转动。
解：各物体受力情况如图所示 1 m1： T1 R m1 R 2 1 2 1 m2： T2 r T1r m2 r 2 2 2 m： mg T2 ma
1 m1
T1
T1 r m2
2 T2 m
R
a R1 r 2， 2ah
2
解联立方程，代入数据，可得
2m / s，T1 48 N，T2 58 N
(2). 定轴转动的描述





r r 2 an r an a r a r
任一质点圆周运动的线量和角量的关系
加速

z
r

减速



转动平面
dv d (ω r ) dω dr a r ω β r ω v dt dt dt dt
第3章 刚体力学
刚体运动学
瞬时效应
1. 建立物理模型 ——刚体模型 1.保持转动状态 2. 引入角参量对 的原因 刚体运动进行描述 2. 改变转动状态 的原因 3. 刚体转动定律 (相当牛二律)
内容结构
刚体动力学
时间累积
空间累积
1.力矩作功、转 动动能、势能 转动动能定理 转动势能定理 (与平动对应) 2.机械能守恒
则质点对o点的角动量(也称动量矩)为
L r p r ( m )
L
o
角动量 L 的大小
(1). 刚体的平动
质点模型 运用质心运动定理 (2). 刚体的定轴转动
利用刚体的模型(无形变)
化简角动量定理 功能原理 方便的形式
动量守恒 能量守恒 角动量守恒
§3.2 力矩的瞬时效应——刚体的转动定理
§3.2.1 绕固定转轴的刚体转动定理
1. 改变物体转动状态的原因——力矩 力 F 对 O 点的力矩
若角加速度 =c(恒量)，则有
o t
o 2
2 2
1 2 o t t 2
4. 解决刚体动力学问题的一般方法
A. 将刚体看作刚性连接的特殊质点、质点系，以质点、质点 系的运动规律来研究刚体的转动规律。 B. 将一般刚体运动看作平动和转动的组合，而转动又看作绕 固定转轴转动的组合。
i i
上式成为
2 M i mi ri
当微元趋于无限小时
V
2 M r dm
V
绕定轴转动的转动定理 M I
定义转动惯量 I r 2dm
F ma
讨论：A.关于转动惯量
M I
M I
转动惯量的物理意义：保持刚体原有转动状态的原因， 是转动惯性的量度。 转动惯量的求法： 连续体
j
z
考虑整个刚体 2 ri Fi ri f ij mi ri
i i j i
i
ri O f ij rj

Fi
i
i
i
y
j
0 考虑刚体中所有质点、力矩的定义以及内力
x
ri f ij rj f ji
z Fz
Oi h
F
对于转轴z， M z ri F
M z ri F sin Fh
讨论：A. 力矩是使物体转动状态发生改变的 原因(相当于平动问题中的合外力)
ri
r

y
F
rz
O
x
B.对定轴转动, (1)只有在转动平面内的力才会产生力 矩，平行于转轴的力是不会产生力矩的; (2)力矩的方 向沿转轴。
3. 刚体的定轴转动
(1). 定轴转动特征 A. 刚体上各点都在垂直于固定轴的平 面内(转动平面)做圆周运动，其圆心都 在一条固定不动的直线(转轴)上.
z
1
O1


m1

m2
x
2

O2
x
B. 定轴转动刚体上各质点的线量(速度、加 速度)不同； 但各质点的角量(如角位移、角速度和角 加速度)相同。
§3.1 刚体运动的描述
1. 刚体 运动中形状和大小都保持不变的物体。 —— 理想化模型 (a)刚体上各质点之间的距离保持不变。 (b)刚体有确定的形状和大小。 (c)刚体是由许多质点(质元)组成的质点系。
2. 刚体的一般运动 = (平动)+(转动) (1) 刚体的平动 刚体运动时，若在刚体内所作的任 一条直线都始终保持方向不变，则 刚体做平动。
M
R
0
m 2 r g 2 2rdr mgR R 3
转动惯量 于是得
1 I mR 2 2
M 4 g I 3R
o
r
水平桌面
dr
0 t 0，得
0 t 0
o 3 R O t 4 g
4g 3R
2m
C o
若棒绕一端o转动，由平行轴定理， 则转动惯量为
dm x dx
x
o
l 2 1 2 1 2 I o ml m ( ) ml 3 2 12
一些常见物体的转动惯量
§3.2.3
绕定轴转动的转动定理的应用
刚体转动定律的应用与平动问题中牛顿定律的应用完全相似 主要类型：
A. 已知刚体所受力矩求刚体转动状态
V
例题1 (1)轻杆连成的正三角形顶点各有一质点m，此系 统对通过质心C且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为
3 l) 3
I c 3 mr ml , ( r