C++求点与直线,直线与直线的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系-公开课课件
讲授新知
D1 A1
C1 B1
1、异面直线定义
D
C
A
B
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫 做异面直线.
定义辨析:在两个平面内的两条直线是否一定是 异面直线?
合作探究
分别在两个平面内的两条直线的位置关系?
b a
M
ab
a与b是异面直线
a与b是相交直线
BACK
NEXT
a
b
a与b是平行直线
2.异面直线的画法
由 b′∥b, ∴ ∠1 = ∠2 (等角定理)
b
b′
a″
a ∠2
a′
O ∠1
BACK
NEXT
求异面直线所成的角
例1、如图正方体ABCD-A1B1C1D1中,试求异面直线AA1
与 BC1所成的角.
D1 A1
B1 C1 解: AA1 // BB1
B1BC1为异面直线 AA1与BC1所成的角
D
C B1BC1 45
A
B
异面直线 AA1与BC1所成的角为45
变式:如图正方体ABCD-A1B1C1D1中,试求异面直线BC1
与AC所成的角. D1
C1
解:连结 A1C1
AA1 //BB1 //CC1
A1
B1
四边形A CC1 A1为平行四边形
D
A1CC1B或 其AAC补1C/角1/BA为为1C异异1 面面直直线线BBCC1与1与AAC所C所成成的的角角
C'
D' C
D
B'
C'
A'
D'
B
C
A
D
B' A'
解析几何中的直线与直线的位置关系
解析几何中的直线与直线的位置关系解析几何中,直线与直线间的位置关系是一个重要的研究课题。
直线的位置关系可以分为三种基本情况:平行、相交和重合。
在本文中,我们将深入探讨这三种情况,并给出相应的例子和证明。
1. 平行的直线在解析几何中,如果两条直线的斜率相等且不相交,我们称它们为平行直线。
平行直线永远不会相交,它们在平面内或空间中始终保持相同的距离。
下面我们举个例子来说明平行直线的情况。
例1:已知直线L1的方程为y = 2x + 3,直线L2的方程为y = 2x + 5,证明L1与L2平行。
解:我们需要比较L1和L2的斜率以判断它们的位置关系。
可以观察到L1和L2的斜率都是2,且不相等。
因此,根据定义,L1与L2是平行的。
2. 相交的直线相交的直线是指两条直线在平面内或空间中有一个公共点。
相交的直线可以进一步分为两种情况:相交于一点和相交于一条直线。
2.1 相交于一点如果两条直线在平面内或空间中有且仅有一个公共点,我们称它们为相交于一点的直线。
下面我们给出一个例子。
例2:已知直线L3的方程为y = 2x + 3,直线L4的方程为y = -x + 5,证明L3与L4相交于一点。
解:为了证明L3与L4相交于一点,我们需要找到它们的交点。
将L3和L4的方程联立解方程组:2x + 3 = -x + 53x = 2x = 2/3将x的值代入L3或L4的方程中,可以求得y的值:y = 2(2/3) + 3y = 8/3因此,L3与L4相交于点(2/3, 8/3)。
2.2 相交于一条直线有时候,两条直线有无数个公共点,我们称它们为相交于一条直线的直线。
这种情况经常出现在平面解析几何中,例如两条直线分别表示平面上的两个边界。
例3:已知直线L5的方程为y = 2x + 3,直线L6的方程为y = 2x - 1,证明L5与L6相交于一条直线。
解:我们可以观察到L5和L6的方程中,它们的斜率相等。
因此,直线L5和L6的斜率相等且不相交,根据定义,它们相交于一条直线。
直线与直线的位置关系
直线与直线的位置关系自主梳理1.两直线的位置关系平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况.(1)两直线平行对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1∥l2⇔________________________.对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A2B2C2≠0),l1∥l2⇔________________________.(2)两直线垂直对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1⊥l2⇔k1·k2=____.对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=____.2.两条直线的交点两条直线l1:A1x+B1y+C1=0l2:A2x+B2y+C2=0,如果两直线相交,则交点的坐标一定是这两个方程组成的方程组的____;反之,如果这个方程组只有一个公共解,那么以这个解为坐标的点必是l1和l2的________,因此,l1、l2是否有交点,就看l1、l2构成的方程组是否有________.3.有关距离(1)两点间的距离平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离|P1P2|=__________________________________.(2)点到直线的距离平面上一点P(x0,y0)到一条直线l:Ax+By+C=0的距离d=________________________.(3)两平行线间的距离已知l1、l2是平行线,求l1、l2间距离的方法:①求一条直线上一点到另一条直线的距离;②设l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,则l1与l2之间的距离d=探究点一两直线的平行与垂直例1已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0.求满足以下条件的a、b的值:(1)l 1⊥l 2且l 1过点(-3,-1);(2)l 1∥l 2,且原点到这两条直线的距离相等.例1 解题导引 运用直线的斜截式y =kx +b 时,要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况.运用直线的一般式Ax +By +C =0时,要特别注意A 、B 为0时的情况,求解两直线平行或垂直有关的问题并与求直线方程相联系,联立方程组求解,对斜率不存在的情况,可考虑用数形结合的方法研究.解 (1)由已知可得l 2的斜率必存在,且k 2=1-a.若k 2=0,则a =1.由l 1⊥l 2,l 1的斜率不存在,∴b =0.又l 1过(-3,-1),∴-3a +b +4=0,∴b =3a -4=-1,矛盾.∴此情况不存在,即k 2≠0.若k 2≠0,即k 1=a b ,k 2=1-a 由l 1⊥l 2,得k 1k 2=a b(1-a)=-1. 由l 1过(-3,-1),得-3a +b +4=0,解之得a =2,b =2.(2)∵l 2的斜率存在,l 1∥l 2,∴l 1的斜率存在,∴k 1=k 2,即a b=1-a.又原点到两直线的距离相等,且l 1∥l 2, ∴l 1、l 2在y 轴上的截距互为相反数,即4b=b. 解之得⎩⎪⎨⎪⎧ a =2,b =-2或⎩⎪⎨⎪⎧a =23,b =2.∴a 、b 的值为2和-2或23和2. 变式迁移1 已知直线l 1:ax +2y +6=0和直线l 2:x +(a -1)y +a 2-1=0,(1)试判断l 1与l 2是否平行;(2)l 1⊥l 2时,求a 的值.变式迁移1 解 (1)方法一 当a =1时,l 1:x +2y +6=0,l 2:x =0,l 1与l 2不平行;当a =0时,l 1:y =-3,l 2:x -y -1=0,l 1与l 2不平行;当a ≠1且a ≠0时,两直线可化为l 1:y =-a 2x -3, l 2:y =11-a x -(a +1), l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ -a 2=11-a ,-3≠-(a +1),解得a =-1, 综上可知,a =-1时,l 1∥l 2,否则l 1与l 2不平行.方法二 由A 1B 2-A 2B 1=0,得a(a -1)-1×2=0.由A 1C 2-A 2C 1≠0,得a(a 2-1)-1×6≠0,∴l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a (a -1)-1×2=0a (a 2-1)-1×6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2-a -2=0,a (a 2-1)≠6. ∴a =-1,故当a =-1时,l 1∥l 2,否则l 1与l 2不平行.(2)方法一 当a =1时,l 1:x +2y +6=0,l 2:x =0,l 1与l 2不垂直;当a =0时,l 1:y =-3,l 2:x -y -1=0,l 1与l 2不垂直;当a ≠1且a ≠0时,l 1:y =-a 2x -3, l 2:y =11-ax -(a +1), 由⎝⎛⎭⎫-a 2·11-a =-1⇒a =23.方法二 由A 1A 2+B 1B 2=0, 得a +2(a -1)=0⇒a =23.探究点二 直线的交点坐标变式迁移2 △ABC 的两条高所在直线的方程分别为2x -3y +1=0和x +y =0,顶点A 的坐标为(1,2),求BC 边所在直线的方程.变式迁移2 解 可以判断A 不在所给的两条高所在的直线上,则可设AB ,AC 边上的高所在直线的方程分别为2x -3y +1=0,x +y =0,则可求得AB ,AC 边所在直线的方程分别为y -2=-32(x -1),y -2=x -1,即3x +2y -7=0,x -y +1=0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x +2y -7=0x +y =0,得B(7,-7),由⎩⎪⎨⎪⎧x -y +1=02x -3y +1=0,得C(-2,-1), 所以BC 边所在直线的方程为2x +3y +7=0. 转化与化归思想的应用 例 (12分)已知直线l :2x -3y +1=0,点A (-1,-2).求:(1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标;(2)直线m :3x -2y -6=0关于直线l 的对称直线m ′的方程;(3)直线l 关于点A (-1,-2)对称的直线l ′的方程解 (1)设A ′(x ,y ),再由已知∴A ′⎝⎛⎭⎫-3313,413.[4分] (2)在直线m 上取一点,如M (2,0),则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上.设对称点M ′(a ,b ),则得M ′⎝⎛⎭⎫613,3013.[6分]设直线m 与直线l 的交点为N ,则由得N (4,3).又∵m ′经过点N (4,3),∴由两点式得直线m ′的方程为9x -46y +102=0.[8分](3)方法一 在l :2x -3y +1=0上任取两点,如M (1,1),N (4,3),则M ,N 关于点A (-1,-2)的对称点M ′,N ′均在直线l ′上, 易得M ′(-3,-5),N ′(-6,-7),[10分]再由两点式可得l ′的方程为2x -3y -9=0.[12分]方法二 ∵l ∥l ′,∴设l ′的方程为2x -3y +C =0 (C ≠1),∵点A (-1,-2)到两直线l ,l ′的距离相等,∴由点到直线的距离公式得 |-2+6+C |22+32=|-2+6+1|22+32,解得C =-9,[10分] ∴l ′的方程为2x -3y -9=0.[12分]方法三 设P (x ,y )为l ′上任意一点,则P (x ,y )关于点A (-1,-2)的对称点为P ′(-2-x ,-4-y ),[10分]∵点P ′在直线l 上,∴2(-2-x )-3(-4-y )+1=0,即2x -3y -9=0.[12分]2.若直线l 1:y =k (x -4)与直线l 2关于点(2,1)对称,则直线l 2恒过定点( B )A .(0,4)B .(0,2)C .(-2,4)D .(4,-2)4.(2009·上海)已知直线l 1:(k -3)x +(4-k )y +1=0与l 2:2(k -3)x -2y +3=0平行,则k 的值是( C )A .1或3B .1或5C .3或5D .1或21.直线3x +2y +4=0与2x -3y +4=0( B )A .平行B .垂直C .重合D .关于直线y =-x 对称 C2.(2011·六安月考)若直线x +ay -a =0与直线ax -(2a -3)y -1=0互相垂直,则a 的值是( C )A .2B .-3或1C .2或0D .1或03.已知直线l 的倾斜角为3π4,直线l 1经过点A (3,2)、B (a ,-1),且l 1与l 垂直,直线l 2:2x +by +1=0与直线l 1平行,则a +b 等于( B )A .-4B .-2C .0D .211.(14分)(2011·杭州调研)过点P (3,0)作一直线,使它夹在两直线l 1:2x -y -2=0与l 2:x +y +3=0之间的线段AB 恰被点P 平分,求此直线的方程.11.解 设点A(x ,y)在l 1上,由题意知⎩⎨⎧x +x B 2=3,y +y B 2=0,∴点B(6-x ,-y),(6分)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x -y -2=0,(6-x )+(-y )+3=0,得⎩⎨⎧ x =113,y =163, ∴k =163-0113-3=8.(12分) ∴所求的直线方程为y =8(x -3),即8x -y -24=0. (14分)。
空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系一、空间两直线的位置关系 1.异面直线(1)异面直线的定义:我们把不同在 的两条直线叫做异面直线. 即若a ,b 是异面直线,则不存在平面α,使a ⊂α且b ⊂α.(2)异面直线的画法:为了表示异面直线不共面的特点,通常用一个或两个平面衬托,如图:2.空间两直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种:相交、平行和异面. (1) ——同一平面内,有且只有一个公共点; (2) ——同一平面内,没有公共点;学!科网 (3) ——不同在任何一个平面内,没有公共点. 3. 空间中两直线位置关系的分类空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式: (1)从有无公共点的角度分类:⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎨两条直线有且仅有一个公共点:相交直线平行直线两条直线无公共点:异面直线直线 (2)从是否共面的角度分类:⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线共面直线直线平行直线不共面直线:异面直线二、公理4与等角定理 1.公理4(1)自然语言:平行于同一条直线的两条直线互相 .(2)符号语言:a ,b ,c 是三条不同的直线, a ∥b ,b ∥c . (3)作用:判断或证明空间中两条直线平行. 公理4表述的性质也通常叫做空间平行线的传递性.用公理4证明空间两条直线,a c 平行的步骤(1)找到直线b ; (2)证明∥a b ,∥b c ; (3)得到∥a c .2.等角定理(1)自然语言:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 . (2)符号语言:如图(1)(2)所示,在∠AOB 与∠A ′O ′B ′中,OA ∥O ′A ′,OB ∥O ′ B ′,则∠AOB =∠A ′O ′B ′或∠AOB +∠A ′O ′B ′=180°.图(1) 图(2)三、异面直线所成的角1.两条异面直线所成的角的定义如图,已知两异面直线a ,b ,经过空间任一点O ,分别作直线a ′∥a ,b ′∥b ,相交直线a ′,b ′所成的 叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).(1)在定义中,空间一点O 是任取的,根据等角定理,可以判定a ′,b ′所成的角的大小与点O 的位置无关.为了简便,点O 常取在两条异面直线中的一条上.(2)研究异面直线所成的角,就是通过平移把异面直线转化为相交直线,即把求空间角问题转化为求平面角问题,这是研究空间图形的一种基本思路.2.异面直线所成的角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角,则这个角α的取值范围为 . 3.两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是 ,那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a ,b ,记作a ⊥b .4.构造异面直线所成角的方法(1)过其中一条直线上的已知点(往往是特殊点)作另一条直线的平行线;(2)当异面直线依附于某几何体,且直接平移异面直线有困难时,可利用该几何体的特殊点,将两条异面直线分别平移相交于该点;(3)构造辅助平面、辅助几何体来平移直线.注意,若求得的角为钝角,则两异面直线所成的角应为其补角.学科*网5.求两条异面直线所成的角的步骤(1)平移:选择适当的点,平移异面直线中的一条或两条,使其成为相交直线; (2)证明:证明作出的角就是要求的角; (3)计算:求角度(常利用三角形的有关知识);(4)结论:若求出的角是锐角或直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角.K 知识参考答案:一、1.(1)任何一个平面内2.(1)相交直线 (2)平行直线 (3)异面直线 二、1.(1)平行 (2)a ∥c 2.(1)相等或互补 三、1.锐角(或直角) 2.090α<≤ 3.直角K—重点掌握公理4及等角定理,异面直线及其所成的角K—难点理解两异面直线所成角的定义,并会求两异面直线所成的角K—易错忽略异面直线所成的角的范围致误1.空间两直线的位置关系的判断空间两直线的位置关系有平行、相交、异面三种情形,因此对于空间两直线位置关系的判断,应由题意认真分析,进而确定它们的位置关系.【例1】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为棱C1D1、C1C的中点,有以下四个结论:①直线AM与CC1是相交直线;②直线AM与BN是平行直线;③直线BN与MB1是异面直线;④直线AM 与DD1是异面直线.其中正确的结论为A.③④B.①②C.①③D.②④【答案】A【解析】∵A、M、C、C1四点不共面,∴直线AM与CC1是异面直线,故①错误;同理,直线AM与BN也是异面直线,故②错误.同理,直线BN与MB1是异面直线,故③正确;同理,直线AM与DD1是异面直线,故④正确.故选A.【方法技巧】判定或证明两直线异面的常用方法:1.定义法:不同在任何一个平面内的两条直线.2.定理法:过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线.3.推论法:一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线.4.反证法:证明立体几何问题的一种重要方法. 证明步骤有三步:第一步是提出与结论相反的假设;第二步是由此假设推出与已知条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果;第三步是推翻假设,从而原命题成立. 2.公理4的应用证明两条直线平行的方法: (1)平行线的定义;(2)利用平面几何的知识,如三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等; (3)利用公理4.【例2】如图,△ABC 的各边对应平行于111△A B C 的各边,点E ,F 分别在边AB ,AC 上,且1,3AE AB AF ==13AC ,试判断EF 与的位置关系,并说明理由.【解析】平行.理由如下: ∵11,33AE AB AF AC ==,∴∥EF BC . 又11∥B C BC ,∴11∥B C EF . 3.等角定理利用等角定理解题的关键是不要漏掉两个角互补的这种情况. 【例3】空间两个角α,β的两边分别对应平行,且α=60°,则β为 A .60° B .120° C .30°D .60°或120°【答案】D【解析】∵空间两个角α,β的两边对应平行,∴这两个角相等或互补,∵α=60°,∴β=60°或120°.故选D . 【名师点睛】根据公理4知道当空间两个角α与β的两边对应平行时,得到这两个角相等或互补,根据所给的角的度数,即可得到β的度数.【例4】如图所示,已知棱长为a 的正方体中,M ,N 分别是棱的中点.(1)求证:四边形是梯形; (2)求证:(2)由(1)知MN ∥A 1C 1,又∵ND ∥A 1D 1,∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补,而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的锐角,∴∠DNM =∠D 1A 1C 1. 4.两异面直线所成的角通过平移直线至相交位置求两条异面直线所成的角,是数学中转化思想的运用,也是立体几何问题的一个难点.【例5】如图,四棱锥P ABCD -中,90ABC BAD ∠=∠=,2BC AD =,PAB △和PAD △都是等边三角形,则异面直线CD 和PB 所成角的大小为A.90B.75C.60D.45【答案】A【方法点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征及空间中异面直线所成角的求解,其中根据空间几,放置在三角形中,利用何体的结构特征,把空间中异面直线CD和PB所成的角转化为平面角AEF解三角形的知识求解是解答本题的关键,着重考查了转化与化归思想和学生的推理、运算能力,试题属于基础题.5.忽略异面直线所成的角的范围致误【例6】如图,已知空间四边形ABCD中,AD=BC,M,N分别为AB,CD的中点,且直线BC与MN所成的角为30°,求BC与AD所成的角.【错因分析】在未判断出∠MEN 是锐角或直角还是钝角之前,不能断定它就是两异面直线所成的角,因为异面直线所成的角α的取值范围是090α<≤,如果∠MEN 为钝角,那么它的补角才是异面直线所成的角. 学#科网【正解】以上同错解,求得∠MEN =120°,即BC 与AD 所成的角为60°.【误区警示】求异面直线所成的角的时候,要注意异面直线所成的角α的取值范围是090α<≤.1.若,a b 为异面直线,直线c a ∥,则c 与b 的位置关系是 A .相交 B .异面 C .平行 D .异面或相交 2.已知∥AB PQ ,∥BC QR ,∠ABC =30°,则∠PQR 等于 A .30° B .30°或150° C .150° D .以上结论都不对 3.已知异面直线,a b 分别在平面,αβ内,且c αβ=,那么直线c 一定A .与a b ,都相交B .只能与a b ,中的一条相交C .至少与a b ,中的一条相交D .与a b ,都平行 4.如图所示,在三棱锥P ABC -的六条棱所在的直线中,异面直线共有A .2对B .3对C .4对D .6对5.如图,四面体ABCD 中,AD BC =,且AD BC ⊥,E F 、分别是AB CD 、的中点,则EF 与BC 所成的角为A .30B .45C .60D .906.如果OA //O A '',OB //O B '',那么AOB ∠和A O B '''∠的关系为 . 7.下列命题中不正确的是________.(填序号)①没有公共点的两条直线是异面直线; ②分别和两条异面直线都相交的两直线异面;③一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条直线不可能平行; ④一条直线和两条异面直线都相交,则它们可以确定两个平面.8.如图所示,两个三角形ABC 和A'B'C'的对应顶点的连线AA',BB',CC'交于同一点O , 且AO BO COOA OB OC =='''.求证:△∽△ABC A B C '''.9.空间四边形ABCD中,AB=CD且AB与CD所成的角为60°,E、F分别是BC、AD的中点,求EF与AB所成角的大小.10.分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是A.相交B.异面C.异面或相交D.平行11.如图是一个正方体的平面展开图,则在正方体中,AB与CD的位置关系为A.相交B.平行C .异面而且垂直D .异面但不垂直12.如图,正四棱锥ABCD P 的所有棱长均相等,E 是PC 的中点,那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于_________.ECDPAB13.如图,若P 是△ABC 所在平面外一点,PA ≠PB ,PN ⊥AB ,N 为垂足,M 为AB 的中点,求证:PN 与MC 为异面直线.14.(2016上海)如图,在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别为BC 、BB 1的中点,则下列直线中与直线EF 相交的是BC D E F A B 11D 1A .直线AA 1B .直线A 1B 1C .直线A 1D 1 D .直线B 1C 115.(2015广东)若直线l 1与l 2是异面直线,l 1在平面α内,l 2在平面β内,l 是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是 A .l 与l 1,l 2都不相交B .l 与l 1,l 2都相交C .l 至多与l 1,l 2中的一条相交D .l 至少与l 1,l 2中的一条相交16.(2015浙江)如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧棱AA 1⊥平面ABC .若AB =AC =AA 1=1,BC =2,则异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为A .30°B .45°C .60°D .90°17.(2014广东)若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ,满足12l l ⊥,23l l ∥,34l l ⊥,则下列结论一定正确的是A .14l l ⊥B .14l l ∥C .1l 与4l 既不垂直也不平行D .1l 与4l 的位置关系不确定1 2 3 4 5 10 11 14 15 16 17 DBCBBCDDDCD1.【答案】D【解析】c a ∥,a b ,为异面直线,所以c 与b 的位置关系是异面或相交.4.【答案】B【解析】根据异面直线的定义观察图形,可知有三对异面直线,分别是PB 与AC 、P A 与BC 、PC 与AB ,故选B. 5.【答案】B【解析】如图,设G 为AC 的中点,连接,EG FG .由中位线可知,∥∥EG BC GF AD ,所以GEF ∠就是EF 与BC 所成的角,且三角形GEF 为等腰直角三角形,所以45GEF ∠=.6.【答案】相等或互补【解析】根据等角定理的概念可知AOB ∠和A O B '''∠的关系为相等或互补. 7.【答案】①②8.【解析】∵AA'与BB'交于点O ,且AO BOOA OB='',∴AB ∥A'B'.同理,AC ∥A'C'.又∠BAC 与∠B'A'C'两边的方向相反,∴∠BAC =∠B'A'C'. 同理,∠ABC =∠A'B'C'. 因此,△∽△ABC A B C '''.9.【解析】如图,取AC 的中点G ,连接EG 、FG ,则EG ∥AB ,GF ∥CD ,且由AB =CD 知EG =FG ,∴∠GEF (或它的补角)为EF 与AB 所成的角,∠EGF (或它的补角)为AB 与CD 所成的角. ∵AB 与CD 所成的角为60°,∴∠EGF =60°或120°. 由EG =FG 知△EFG 为等腰三角形, 当∠EGF =60°时,∠GEF =60°;当∠EGF =120°时,∠GEF =30°.学@科网 故EF 与AB 所成的角为60°或30°.10.【答案】C【解析】(1)若两条直线与两异面直线的交点有4个,如图(1),两条直线异面;(2)若两条直线与两异面直线的交点有3个,如图(2),两条直线相交.故选C.(1) (2)【误区警示】在判断两直线的位置关系时,要全面思考问题,可通过画出相关图形帮助分析,从而防止遗漏.本题中,没有明确指出直线交点的个数,两条直线分别与两异面直线相交,交点可能有4个,此时两条直线异面,也可能有3个,此时两条直线相交.11.【答案】D【解析】将展开图还原为正方体,如图所示.AB与CD所成的角为60°,故选D.13.【解析】假设PN与MC不是异面直线,则存在一个平面α,使得PN⊂α,MC⊂α,于是P∈α,C∈α,N∈α,M∈α.∵PA≠PB,PN⊥AB,N为垂足,M是AB的中点,∴M,N不重合.∵M∈α,N∈α,∴直线MN⊂α.∵A∈MN,B∈MN,∴A∈α,B∈α.即A,B,C,P四点均在平面α内,这与点P在平面ABC外相矛盾.∴假设不成立,则PN与MC是异面直线.16.【答案】C【解析】根据题意,得BC∥B1C1,故异面直线A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角.如图,连接A 1B ,在△A 1BC 中,BC =A 1C =A 1B =2,故∠A 1CB =60°,即异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为60°.故选C.17.【答案】D【解析】如下图所示,在正方体1111ABCD A B C D -中,取1AA 为2l ,1BB 为3l ,取AD 为1l ,BC 为4l ,则14l l ∥;取AD 为1l ,AB 为4l ,则14l l ⊥;取AD 为1l ,11A B 为4l ,则1l 与4l 异面,因此14,l l 的位置关系不确定,故选D.D 1C 1B 1A 1DCBA。
高三数学直线与直线的位置关系
g3.1075 直线与直线的位置关系一、知识要点(一)平面内两条直线的位置关系有三种:重合、平行、相交。
(二)点到直线的距离、直线与直线的距离1、点P(x 0,y 0)到直线Ax+By+C=0的距离为:d=)0(222200≠++++B A B A CBy Ax2、直线l 1∥l 2,且其方程分别为l 1:Ax+By+C 1=0,l 2:Ax+By+C 2=0,则l 1与l 2的距离为:d=)0(222221≠++-B A B A C C(三)两条直线的交角公式若直线l 1的斜率为k 1,l 2的斜率为k 2,则(1)直线l 1到l 2的角满足:tan )1(1212112-≠+-=k k k k k k θ. (2) 直线l 1与直线l 2所成的角(简称夹角)θ满足:tan )1(1212112-≠+-=k k k k k k θ 说明:(1)当l 1和l 2的斜率都不存在时,所成的角为00;(2)当l 1与l 2的斜率有一个存在时,可画图、观察,根据另一条直线的斜率得出所求的角;(3)l 1到l 2的角1θ不同于l 2到l 1的角2θ,它们满足:πθθ=+21.(四)两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数。
二、考试要求掌握两条直线平行与垂直的条件,能够根据直线的方程判定两直线的位置关系;会求两条相交直线的夹角和交点;掌握点到直线的距离公式。
三、基本训练1、点(4,a )到直线4x -3y =1的距离不大于3,则实数a 的取值范围是………………………( )(A )[2,12] (B )[1,12] (C )[0,10] (D )[-1,9]2、两直线的斜率相等是两直线平行的: ( )A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件3设方程f(x, y)=0表示定直线,M(x 0, y 0)是直线L 外的定点,则方程f(x, y)-f(x 0, y 0)=0表示直线:( )A 、过M 与l 相交,但与l 不垂直B 、过M 且与l 垂直C 、过M 与l 平行D 、以上都不对4、已知直线l 和直线m 的方程分别为2x -y+1=0,3x -y=0,则直线m 关于直线l 的对称直线m ′的方程为 。
人教A高二数学必修二第二章点直线平面之间的位置关系212空间中直线与直线之间的位置关系课件共36
2 3 D 2 3
G F C B
在Rt△EFG中,求得∠EGF = 45°,
所以 BC与EG所成的角为45°. (2)因为BF∥AE,
A
所以∠FBG(或其补角)为所求.
在Rt△BFG中,求得∠FBG = 60°,
相交直线 空间两直线的位置关系
平行直线
异面直线
异面直线的定义
异面直线
异面直线的画法 两异面直线所成的角 一作(找)二证三求
边形叫做空间四边形ABCD.
A
相对顶点A与C,B与D的连线AC, BD叫做这个空间四边形的对角线.
B
C
D
【即时训练】
如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,判断下列直线的位置关系:
平行 ; (1)直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是________ 异面 ; (2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是________ 相交 ; (3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________ 异面 . (4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是________
b a′ ? O a b′ a′
θ
O
平 移
若两条异面直线所成的角为90°,则称它们互相垂直. 异面直线a与b垂直也记作a⊥b. 异面直线所成的角θ 的取值范围: 0 o < 90 o
例2
如图,已知正方体ABCD-A′B′C′D′.
(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线?
(2)直线BA′和CC′的夹角是多少? ( 3 )哪些棱所在的直线与直线AA′垂直? 解 : (1)由异面直线的定义可知, 与直线BA′成异面直线的有直线 B′C′,AD,CC′,DD′,DC,D′C′.
高一数学知识点总结_点、直线、平面之间的位置关系
高一数学知识点总结_点、直线、平面之间的位置关系高一数学怎么学?减少听课过程中的困难;有助于提高思维能力,预习后把自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可提高自己思维水平;今天小编在这给大家整理了高一数学知识点总结,接下来随着小编一起来看看吧!高一数学知识点总结(一)空间点、直线、平面之间的位置关系以下知识点需要我们去理解,记忆。
1、数学所说的直线是无限延伸的,没有起点,也没有终点。
2、数学所说的平面是无限延伸的,没有起始线,也没有终点线。
3、公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。
4、过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面。
5、如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一个过该点的公共直线。
6、平行于同一条直线的两条直线平行。
7、直线在平面内,因为直线上有无数多个点,平面上也有无数多个点,因此用子集的符号表示直线在平面内。
8、直线与平面的位置关系,直线与直线的位置关系是本节课的重点和难点。
9、做位置关系的题目,可以借助实物,直观理解。
一、直线与方程考试内容及考试要求考试内容:1.直线的倾斜角和斜率;直线方程的点斜式和两点式;直线方程的一般式;2.两条直线平行与垂直的条件;两条直线的交角;点到直线的距离;考试要求:1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式,掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程。
2.掌握两条直线平行与垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。
高一数学知识点总结(二)直线与方程(1)直线的倾斜角定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°(2)直线的斜率①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即.斜率反映直线与轴的倾斜程度.当时,;当时,;当时,不存在.②过两点的直线的斜率公式:注意下面四点:(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.(3)直线方程①点斜式:直线斜率k,且过点注意:当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1.当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1.②斜截式:,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b③两点式:()直线两点,④截矩式:其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为.⑤一般式:(A,B不全为0)注意:各式的适用范围特殊的方程如:(4)平行于x轴的直线:(b为常数);平行于y轴的直线:(a为常数);(5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线(一)平行直线系平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系:(C为常数)(二)垂直直线系垂直于已知直线(是不全为0的常数)的直线系:(C为常数)(三)过定点的直线系(ⅰ)斜率为k的直线系:,直线过定点;(ⅱ)过两条直线,的交点的直线系方程为(为参数),其中直线不在直线系中。
直线与直线的位置关系
它们在 y 轴上的截距分别为 b1=5-43m,b2=5+8 m.
(1)由 k1≠k2,得-3+4 m≠-5+2 m,
4.点 A(x1,y1)、B(x2,y2)间的距离:
|AB|= x2-x12+y2-y12
5.点 P(x0,y0)到直线 l d=|Ax0+A2B+y0B+2 C|.
Ax+By+C=0 的距离:
6.两平行线间距离:
两平行直线 l1 Ax+By+C1=0 与 l2 间的距离为 d= |CA2-2+CB12| .
有一条或两条直线的斜率均不存在的情况.在两条直线l1、 l2 斜 率 都 存 在 且 不 重 合 的 条 件 下 , 才 有 l1∥l2⇔k1 = k2 与 l1⊥l2⇔k1·k2=-1.在斜率不存在或斜率为零情况下讨论 两直线位置关系宜用数形结合求解.
已知两直线l1 x+ysinθ-1=0和l2 试求θ的值,使得:
2.(2009·安徽文)直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+ 4=0垂直,则l的方程是( )
A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0 C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0 [答案] A
[解析] 本题考查直线方程的点斜式,以及两条的垂直 关系.
∵直线 l 与直线 2x-3y+4=0 垂直, ∴直线 l 的斜率 k=-32, 又∵直线 l 过点(-1,2), ∴其方程为 y-2=-32(x+1), 即 3x+2y-1=0.
Ax+By+C2=0
1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是
两条直线位置关系以及点到直线距离公式
行()1112222220A B CA B CA B CÛ=¹¹。
3) 对于特殊情况(直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论)轴时需要单独讨论) 3.相交:如果两条直线斜率不同那么必然相交与一点。
相交:如果两条直线斜率不同那么必然相交与一点。
1)斜截式:111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+相交12k k Û¹2)一般式:直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=相交1221A B A B Û¹ 3)对于特殊情况(如果一条直线有斜率,而另一条直线没有斜率,那么这两条直线相交)。
例1:已知直线()212:260,:110l ax y l x a y a ++=+-+-=,求适合下列条件的a的取值范围。
的取值范围。
1)1l 与2l 相交;相交; 2)12//l l ; 3)1l 与2l 重合。
重合。
两条直线位置关系以及点到直线距离公式两条直线位置关系以及点到直线距离公式一、两条直线相交、平行、重合条件一、两条直线相交、平行、重合条件1. 重合:如何两条直线重合,那么化简之后的重合:如何两条直线重合,那么化简之后的方程方程是相同的,具体为:是相同的,具体为:1) 斜截式:直线111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+重合1212,k k b b Û==。
2) 一般式:直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=重合()1112222220A B C A B C A B C Û==¹。
3) 对于特殊情况(直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论)。
2.平行:如果两条.平行:如果两条直线斜率直线斜率相同或垂直于x 轴,并且不重合,那么这两条直线就是平行的。
直线与直线的位置关系
类型三 求异面直线所成的角(互动探究) 【例 3】 如图,在空间四边形 ABCD 中,AD=BC=2,E、
F 分别是 AB、CD 的中点,若 EF= 3,求异面直线 AD、 BC 所成角的大小.
60
[思路探究] 探究点一 异面直线所成的角的范围是多少? 提示 (0°,90°]
十、归纳小结
2.1.2 空间中直线与直线之间的位 置关系
问题提出
1.同一平面内的两条直线有哪几种位 置关系?
2.空间中的两条不同直线除了平行和 相交这两种位置关系外,还有什么位 置关系呢?
新课引入
1、仔细观察画面,你能从中找到空间中 的直线有哪几种位置关系吗?
因此,空间两条不重合的直线的位置关系有三种. 一、空间两直线的位置关系:
a∩b=
1.判断题
即时自测
(1)若两条直线无公共点,则这两条直线平行.( × ) (2)若两直线不是异面直线,则必相交或平行.( √ )
(3)过平面外一点与平面内一点的直线,与平面内
的任意一条直线均构成异面直线. (× ) (4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直
线.( × )
小
试 牛
课堂练习
刀
1、已知长方体ABCD-A1B1C1D1, AA1与平行的棱有
①有且只有一个公共点——相交
l1
A
l2
l1
平行
l2
②没有公共点
异面
知识探究(一):异面直线的概念
思考1:如图, 长方体ABCD-A′B′C′D′中,线段 A′B所在直线分别与线段CD′所在直线,线段BC 所在直线,线段CD所在直线的位置关系如何?
D'
C'
A'
空间中直线与直线之间的位置关系
(3)两异面直线所成的角的范围是 ( C ) (A)(0°,90°) (B)[0°,90°) (C)(0°,90°] (D)[0°,90°]
7.判断下列命题的真假,真的打“√”,假的 打“×”. (1)两条直线和第三条直线成等角,则这两条 直线平行. (×) (2)平行移动两条异面直线中的任一条,它们 √ 所成的角不变. ( ) (3)四边相等且四个角也相等的四边形是正方 形. (×)
王新敞
奎屯 新疆
课堂小结:
这节课我们学习了两条直线的位置关系 (平行、相交、异面),平行公理和等角定 理及其推论.异面直线的概念、判断及异 面直线夹角的概念; 证明两直线异面的一般方法是“反证法” 或“判定定理”;求异面直线的夹角的一 般步骤是:“作—证—算—答” .
立体几何
C
D
E
定理的推论:如果两条相交直线和另两条相 交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐 角(或直角)相等.
异面直线所成的角(重点、难点) 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′ 所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角). 异面直线所成的角的范围 00 900 思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置 不同时, 这一角的大小是否改变?
3.两条直线互相垂直,它们一定相交吗? 答:不一定,还可能异面.
4.垂直于同一直线的两条直线,有几种位置关系? 答:三种:相交,平行,异面. 5.画两个相交平面,在这两个平面内各画一条 直线使它们成为(1)平行直线;(2)相交直线; (3)异面直线.
6.选择题 (1)分别在两个平面内的两条直线间的位置关系 是 (D ) (A)异面 (B)平行 (C)相交 (D)以上都有可能 (2)异面直线a,b满足a ,b ,∩=l, 则l与a,b的位置关系一定是( B ) (A)l至多与a,b中的一条相交; (B)l至少与a,b中的一条相交; (C)l与a,b都相交; (D)l至少与a,b中的一条平行.
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
2、空间中直线和直线之间的位置关系【主要知识】(一)空间两条直线的位置关系(1)相交直线——在同一平面内,有且仅有一个公共点; (2)平行直线——在同一平面内,没有公共点;(3)异面直线——不同在任何一个平面内,没有公共点。
若从有无公共点的角度看,可分两类: ①有且仅有一个公共点——相交直线②没有公共点——⎩⎨⎧异面直线平行直线若从是否共面的角度看,也可分两类:①在同一平面内——⎩⎨⎧平行直线相交直线②不在同一平面内——异面直线(三)异面直线1、异面直线的画法:aba bαα2、异面直线所成角(1)异面直线所成角的范围:____________(2)两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步:选点→平移→定角→计算【习题讲解】1、异面直线是( )A 、同在某一个平面内的两条直线B 、某平面内一条直线和这个平面外的一条直线C 、分别位于两个不同平面内的两条直线D 、无交点且不共面的两条直线2、分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( ). A 、异面 B 、平行 C 、相交 D 、以上都有可能3、下列说法中,正确的有( )①空间中,两个角的两边分别平行,则这两个角相等或互补。
②垂直于同一条直线的两条直线平行。
③分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线。
④若a 、b 是异面直线,b 、c 是异面直线,则a 、c 也是异面直线。
A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个4、把两条异面直线称作“一对”,在正方体的十二条棱中,异面直线的对数为( ). A 、12 B 、24 C 、36 D 、48【变式】若把两异面直线看成“一对”,则六棱锥的棱所在12条直线中,异面直线共有( ) A 、12对 B 、24对 C 、36对 D 、48对5、如图,正方体1111D C B A ABCD -,E 、F 分别是AD 、AA 1的中点. (1)求直线AB 1和CC 1所成的角的大小;(2)求直线AB 1和EF 所成的角的大小.【变式】5-1、如图,正方体1111ABCD A B C D -中,直线1AB 与1BC 所成角为______度。
空间中直线与直线之间的位置关系(附答案)
空间中直线与直线之间的位置关系之马矢奏春创作创作时间:二零二一年六月三十日[学习目标] 1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的界说,会求两异面直线所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题.知识点一空间中两条直线的位置关系(1)界说:分歧在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.要点分析:①异面直线的界说标明:异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交,也不服行.②不能误认为分别在分歧平面内的两条直线为异面直线.如图中,虽然有a⊂α,b⊂β,即a,b分别在两个分歧的平面内,可是因为a∩b=O,所以a与b不是异面直线.(2)画法:画异面直线时,为了充沛显示出它们既不服行也不相交,即不共面的特点,经常需要画一个或两个辅助平面作为烘托,以加强直观性、立体感.如图所示,a与b为异面直线.(3)判断方法方法内容界说法依据界说判断两直线不成能在同一平面内(1)按两条直线是否共面分类⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 相交直线:同一平面内有且只有一个公共点平行直线:同一平面内没有公共点异面直线:分歧在任何一个平面内没有公共点(2)按两条直线是否有公共点分类⎩⎪⎨⎪⎧有且仅有一个公共点——相交直线无公共点⎩⎪⎨⎪⎧ 平行直线异面直线 思考 (1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗?(2)两条垂直的直线必相交吗?答 (1)纷歧定.可能相交、平行或异面.(2)纷歧定.可能相交垂直,也可能异面垂直.知识点二 公理4(平行公理)文字语言 平行于同一条直线的两条直线互相平行,这一性质叫做空间平行线的传递性 符号语言 ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b 图形语言知识点三 空间等角定理文字语言 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 符号语言 OA ∥O ′A ′,OB ∥O ′B ′⇒∠AOB =∠A ′O ′B ′或∠AOB +∠A ′O ′B ′=180° 图形语言作用判断或证明两个角相等或互补如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.思考 如果两条直线和第三条直线成等角,那么这两条直线平行吗?答 纷歧定.这两条直线可能相交、平行或异面知识点四 异面直线所成的角1.概念:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O 作直线a′∥a,b′∥b,我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).2.异面直线所成的角θ的取值范围:0°<θ≤90°.3.如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a,b,记作a⊥b.(1)在空间任取一点O,过点O分别作a′∥a,b′∥b,则a′与b′所成的锐角(或直角)为异面直线a与b所成的角,然后通过解三角形等方法求角.(2)在其中一条直线上任取一点(如在b上任取一点)O,过点O作另一条直线的平行线(如过点O作a′∥a),则两条直线相交所成的锐角(或直角)为异面直线所成的角(如b与a′所成的角),然后通过解三角形等方法求角(如图).题型一空间两条直线的位置关系的判定例1 若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系是( )A.平行B.异面C.相交D.平行、相交或异面谜底D解析可借助长方体来判断.如图,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,A′D′所在直线为a,AB 所在直线为b,已知a和b是异面直线,b和c是异面直线,则c可以是长方体ABCD-A′B′C′D′中的B′C′,CC′,DD′.故a和c可以平行、相交或异面.跟踪训练1 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系:(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________;(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________;(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________;(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________.谜底(1)平行(2)异面(2)相交(4)异面解析序号结论理由(1)平行因为A1D1綊BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形,所以A1B∥D1C(2)异面A1B与B1C分歧在任何一个平面内(3)相交D1D∩D1C=D1(4)异面AB与B1C分歧在任何一个平面内题型二公理4、等角定理的应用例2 E,F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1A,C1C的中点,求证:四边形B1EDF是平行四边形.证明设Q是DD1的中点,连接EQ,QC1.因为E是AA1的中点,所以.又因为在矩形A1B1C1D1中,,所以..又因为Q,F分别是矩形DD1C1C两边D1D,C1C的中点,所以.所以四边形DQC1F为平行四边形.所以.又因为,所以.所以四边形B1EDF为平行四边形.跟踪训练2 如图,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.(1)求证:E,F,G,H四点共面;(2)若四边形EFGH是矩形,求证:AC⊥BD.证明(1)在△ABD中,∵E,H分别是AB,AD的中点,∴EH∥BD.同理FG∥BD,则EH∥FG.故E,F,G,H 四点共面.(2)由(1)知EH∥BD,同理AC∥GH.又∵四边形EFGH 是矩形,∴EH⊥GH.故AC⊥BD.题型三 异面直线所成的角例 3 如图所示,在空间四边形ABCD 中,AB =CD,AB⊥CD,E,F 分别为BC,AD 的中点,求EF 和AB所成的角.解 如图,取BD 的中点G,连接EG,FG.因为E,F 分别为BC,AD 的中点,AB =CD,所以EG∥CD,GF∥AB,且EG =12CD,GF =12AB. 所以∠GFE 就是EF 与AB 所成的角或其补角,EG =GF.因为AB⊥CD,所以EG⊥GF.所以∠EGF=90°.所以△EFG 为等腰直角三角形.所以∠GFE=45°,即EF 与AB 所成的角为45°.跟踪训练3 空间四边形ABCD中,AB=CD且AB与CD所成的角为30°,E,F分别为BC,AD的中点,求EF与AB所成角的年夜小.解取AC的中点G,连接EG,FG,则EG 12AB,GF12CD.故直线GE,EF所成的锐角即为AB与EF所成的角,直线GE,GF所成的锐角即为AB与CD所成的角.∵AB与CD所成的角为30°,∴∠EGF=30°或150°.由AB=CD,知EG=FG,∴△EFG为等腰三角形.当∠EGF=30°时,∠GEF=75°;当∠EGF=150°时,∠GEF=15°.故EF与AB所成的角为15°或75°.转化与化归思想例5 在空间四边形ABCD中,AD=BC=2a,E,F分别是AB,CD的中点,EF=3a,求异面直线AD,BC所成的角.分析要求异面直线AD,BC所成的角,可在空间中找一些特殊点,将AD,BC平移至一个三角形中.此题已知E,F分别为AB,CD的中点,故可寻找一边中点,如BD的中点M,则∠EMF(或其补角)为所求角.解如图,取BD的中点M.由题意,知EM为△BAD的中位线,所以EM∥AD 且EM =12AD.同理,MF∥BC 且MF =12BC.所以EM =a,MF =a,且∠EMF(或其补角)为所求角.在等腰△MEF 中,取EF 的中点N,连接MN,则MN⊥EF.又因为EF =3a,所以EN =32a.故有sin∠EMN=EN EM =32.所以∠EMN=60°,所以∠EMF=2∠EMN=120°.因为∠EMF=120°>90°,所以AD,BC 所成的角为∠EMF 的补角,即AD 和BC 所成的角为60°.反证法的合理应用例6 如图,三棱锥P -ABC 中,E 是PC 上异于点P 的点.求证:AE与PB 是异面直线.分析利用界说直接证明,即从分歧在任何一个平面内中的“任何”开始入手,一个平面一个平面地寻找是不成能实现的,因此必需找到一个间接证法来证明,反证法即是一种行之有效的方法.证明假设AE与PB不是异面直线,设AE与PB都在平面α内,因为P∈α,E∈α,所以PE⊂α.又因为C∈PE,所以C∈α.所以点P,A,B,C都在平面α内.这与P,A,B,C不共面(P-ABC是三棱锥)矛盾.于是假设不成立,所以AE与PB是异面直线.1.若空间两条直线a和b没有公共点,则a与b的位置关系是( )2.一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( )3.设P是直线l外一定点,过点P且与l成30°角的异面直线( )4.如图所示,G,H,M,N分别是正三棱柱的极点或所在棱的中点,则暗示直线GH,MN是异面直线的图形有________.(填序号)5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为________.一、选择题1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )2.已知空间两个角α,β,α与β的两边对应平行,且α=60°,则β即是( )A.60°B.120°C.30°D.60°或120°3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线BA1与CC1所成的角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°4.下面四种说法:①若直线a、b异面,b、c异面,则a、c异面;②若直线a、b相交,b、c相交,则a、c相交;③若a∥b,则a、b与c所成的角相等;④若a⊥b,b⊥c,则a∥c.其中正确的个数是( )5.空间四边形的对角线互相垂直且相等,顺次连接这个四边形各边中点,所组成的四边形是( )6.若空间四边形ABCD的两条对角线AC,BD的长分别是8,12,则过AB的中点E且平行于BD,AC的截面四边形的周长为( )7.如图,三棱柱ABCA1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是( )D.AE与B1C1所成的角为60°二、填空题8.在四棱锥P-ABCD中,各棱所在的直线互相异面的有________对.9.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.以上结论中正确的序号为________.10.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线A1B与AD1所成的角为______.三、解答题11.如图所示,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,BC==1,DA若2,DA⊥AC,DA⊥AB,且为BE与求异面直线,DA的中点ECD所成角的余弦值.12.如图,E,F,G,H分别是空间四边形ABCD各边上的点,且有AE∶EB=AH∶HD=m,CF∶FB=CG∶GD=n.(1)证明:E,F,G,H四点共面;(2)m,n满足什么条件时,四边形EFGH是平行四边形?(3)在(2)的条件下,若AC⊥BD,试证明:EG=FH.当堂检测谜底1.谜底D 解析若直线a和b共面,则由题意可知a∥b;若a和b不共面,则由题意可知a与b是异面直线.2.谜底B 解析如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1与BC是异面直线,又AA1∥BB1,AA1∥DD1,显然BB1∩BC=B,DD1与BC是异面直线,故选B.3.谜底A解析我们现在研究的平台是锥空间.如图所示,过点P作直线l′∥l,以l′为轴,与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角.解析①中,∵G,M 是中点,∴AG 綊BM,∴GM 綊AB 綊HN,∴GH∥MN,即G,H,M,N 四点共面;②中,∵H,G,N 三点共面,且都在平面HGN 内,而点M 显然不在平面HGN 内,∴H,G,M,N 四点不共面,即GH 与MN 异面;③中,∵G,M 是中点,∴GM 綊12CD,∴GM 綊12HN,即GMNH 是梯形,则HG,MN 必相交,∴H,G,M,N 四点共面;④中,同②,G,H,M,N 四点不共面,即GH 与MN 异面.5.谜底 13解析 设棱长为1,因为A1B1∥C1D1,所以∠AED1就是异面直线AE 与A1B1所成的角.在△AED1中,cos∠AED1=D1E AE =1232=13. 课时精练谜底一、选择题1.谜底 D解析 可能相交也可能异面,但一定不服行(否则与条件矛盾).解析 由等角定理,知β与α相等或互补,故β=60°或120°.3.谜底 B解析 如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,BB1∥CC1,故∠B1BA1就是异面直线BA1与CC1所成的角,故为45°.4.谜底 D解析 若a 、b 异面,b 、c 异面,则a 、c 相交、平行、异面均有可能,故①分歧毛病.若a 、b 相交,b 、c 相交,则a 、c 相交、平行、异面均有可能,故②分歧毛病.若a⊥b,b⊥c,则a 、c 平行、相交、异面均有可能,故④分歧毛病.③正确.5.谜底 D解析 如图,因为BD⊥AC,且BD =AC,又因为E,F,G,H 分别为对应边的中点,所以FG EH 12BD,HG EF 12AC.所以FG⊥HG,且FG =HG.所以四边形EFGH 为正方形.6.谜底 B解析 设截面四边形为EFGH,E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA 的中=6)+2×(4周长为6,∴=BD 12=HE =4,FG =AC 12=GH =,∴EF 点20.7.谜底 C解析由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E是共面的,所以A毛病;由于C1C在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC 相交于E点,点E不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,B毛病;同理AE与B1C1是异面直线,C正确;而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角,E为BC中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,D毛病.综上所述,故选C.二、填空题8.谜底8解析以底边所在直线为准进行考察,因为四边形ABCD是平面图形,4条边在同一平面内,不成能组成异面直线,而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线,所以共有4×2=8(对)异面直线.9.谜底①③解析把正方体的平面展开图还原成原来的正方体,如图所示,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确.10.谜底60°解析连接BC1,A1C1,∵BC1∥AD1,∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角.在△A1BC1中,A1B=BC1=A1C1,∴∠A1BC1=60°,故异面直线A1B与AD1所成的角为60°.三、解答题11.解 取AC 的中点F,连接EF,BF,在△ACD 中,E,F 分别是AD,AC 的中点,∴EF∥CD,∴∠BEF 即为所求的异面直线BE 与CD 所成的角(或其补角).1,=AC =AC,∴AB =,AB 2=,BC 中Rt△ABC 在 .52=,∴BE 12=AD 12=1,AE =,AB 中Rt△EAB 在 .22=,∴EF 12=,AE 12=AC 12=,AF 中Rt△AEF 在 .52=,∴BF 12=1,AF =,AB 中Rt△ABF 在 ,1010=2452=12EF BE =,cos∠FEB 中EBF 在等腰三角形 .1010所成角的余弦值为CD 与BE 异面直线∴12.(1)证明 因为AE∶EB=AH∶HD,所以EH∥BD.又因为CF∶FB=CG∶GD,所以FG∥DB.所以EH∥FG.所以E,F,G,H 四点共面.(2)解 当且仅当EH∥FG,EH=FG 时,四边形EFGH 为平行四边形.BD.m m +1=EH 所以,m m +1=AE AE +EB =EH BD 因为 n.=m 得FG,=EH 由BD,n n +1=FG 同理故当m =n 时,四边形EFGH 为平行四边形. (3)证明 当m =n 时,AE∶EB=CF∶FB,所以EF∥AC.又因为AC⊥BD,而∠FEH 是AC 与BD 所成的角, 所以∠FEH=90°,从而平行四边形EFGH 为矩形,所以EG =FH.。
点与直线的位置关系与判定方法
点与直线的位置关系与判定方法在几何学中,我们经常需要研究点与直线的位置关系,判定一个点是否在直线上或者直线是否穿过某个点。
本文将介绍一些常见的方法来确定点与直线之间的位置关系。
1. 点在直线上的判定要判定一个点是否在直线上,我们可以利用点斜式或者两点式方程来进行求解。
1.1 点斜式方程一个直线的点斜式方程表达式为y = kx + b,其中k 是直线的斜率,b 是直线的截距。
对于给定的点 (x0, y0),只需要将它的坐标代入方程中,如果方程成立,那么该点就在直线上。
1.2 两点式方程另一种判定方法是使用两点式方程。
如果我们已知直线上的两个点A(x1, y1) 和 B(x2, y2),那么直线的两点式方程为 (y - y1)/(y2 - y1) = (x - x1)/(x2 - x1)。
同样地,将给定的点的坐标代入方程中,如果方程成立,该点就在直线上。
2. 直线与直线的位置关系判定当我们需要判定两条直线的位置关系时,可以利用斜率和截距的性质来进行判断。
2.1 平行直线两条直线平行的条件是它们的斜率相等,但截距不相等。
因此,如果两条直线的斜率相等且截距不相等,那么这两条直线是平行的。
2.2 垂直直线两条直线垂直的条件是它们的斜率乘积为 -1。
也就是说,对于直线y1 = k1x1 + b1 和直线 y2 = k2x2 + b2,如果 k1 × k2 = -1,那么这两条直线垂直。
3. 直线与线段的位置关系判定当我们需要判定一条直线是否穿过一个线段时,可以利用线段的端点坐标与直线方程进行求解。
3.1 线段的端点在直线两侧给定直线的点斜式方程 y = kx + b,和线段的两个端点 A(x1, y1) 和B(x2, y2),我们可以将 A 和 B 的坐标代入直线方程中,得到两个值 yA 和 yB。
如果 yA 和 yB 的符号不同,那么直线必定穿过线段 AB。
3.2 线段的端点在直线同侧如果 A 和 B 的坐标代入直线方程得到的 yA 和 yB 的符号相同,那么线段 AB 和直线没有交点。
高中数学必修二课件:空间点、直线、平面之间的位置关系
5.若点M是两条异面直线a,b外的一点,则过点M且与a,b都平行的平面 有__0_或__1___个.
解析 当点M在过a且与b平行的平面或过b且与a平行的平面内时,没有满足 条件的平面;当点M不在上述两个平面内时,满足题意的平面只有1个.
那么这两个平面的位置关系一定是( C )
A.平行
B.相交
C.平行或相交
D.以上都不对
(2)已知平面α,β ,且α∥β ,直线a⊂α,直线b⊂β,则直线a与直线b具
有怎样的位置关系?画出图形.
【思路】 由α∥β,a⊂α,b⊂β,可知直线a,b无公共点.
【解析】 由题意得直线a,b无公共点,所以直线a,直线b可能平行或异 面.如图所示,在长方体模型中若直线AC就是直线a,B1D1就是直线b,则直线a 与直线b异面;若直线BD就是直线a,B1D1就是直线b,则直线a与直线b平行.
综合①②可知c与b相交或异面.
探究1 判断两直线的位置关系,不能局限于平面内,要把直线置身于空间 考虑,有时可分为平面和空间两种情形讨论.
思考题1 (1)正方体ABCD-A1B1C1D1中和AB平行的棱有_A_1_B_1,__C_D_,_C_1_D_1; 和AB异面的棱有__C_C_1_,_D_D_1_,_A_1_D_1,__B_1C_1___.
平面α与β平行,记作α∥β.
1.如何画异面直线?
答:画异面直线时,为了充分显示出它们既不平行又不相交的特点,即不 共面的特点,常常需要以辅助平面作为衬托,以加强直观性,如下图①②③, 若画成如图④的情形,就区分不开了,因此千万不能画成如图④的图形.
2.如何判断异面直线? 答:①定义法.②两直线既不平行也不相交.
③直线a不平行于平面α,则a不平行于α内任何一条直线.
点和直线知识点总结
点和直线知识点总结一、点的基本概念1. 点的定义:点是几何中的基本要素,不具有大小和形状,只有位置。
点通常用大写字母表示,如A、B、C等。
2. 点的坐标:在直角坐标系中,点的位置可以用坐标来表示。
一般情况下,坐标为(x, y),其中x表示横坐标,y表示纵坐标。
3. 点的性质:点与点之间的距离没有大小,可以用直线段来连接,两点确定一条直线。
4. 点的集合:几何中的点可以组成各种集合,如直线、射线、线段等。
二、直线的基本概念1. 直线的定义:直线是由一系列相互相等且连续无间隔的点构成的集合。
直线是无限长的,没有具体的起点和终点。
2. 直线的方程:直线在平面直角坐标系中可以用一元一次方程表示。
一般情况下,直线的方程为y=ax+b(斜率截距式)、Ax+By+C=0(一般式)等。
3. 直线的性质:直线是平面上最简单的几何图形,具有唯一性和无限性。
直线上的任意两点都可以确定一条直线。
4. 直线的倾斜程度:直线的斜率是描述直线倾斜程度的重要参数,通常表示为k,斜率的绝对值越大,直线的倾斜程度越大。
5. 直线的严重位置关系:直线之间有平行、垂直、相交等多种位置关系,这些位置关系在几何学中有重要的应用价值。
三、点和直线的相关定理1. 点与直线的关系:点在直线上、直线上的两点之间的距离、点到直线的距离等都是几何中常见的问题,需要掌握相应的解题方法和定理。
2. 直线之间的位置关系:包括平行、垂直、相交等多种情况,需要根据题目给出的条件和信息来确定直线之间的位置关系,从而求解问题。
3. 直线的相交角:当两条直线相交时,它们所成的相交角有特定的性质和关系,可以利用这些性质求解问题。
4. 直线的倾斜角:描述直线倾斜程度的角度称为倾斜角,可以根据斜率来确定直线的倾斜角。
四、点和直线的计算方法1. 点的坐标计算:根据题目给出的条件和信息,可以求解点的坐标,包括点的坐标之间的关系、点到坐标轴的距离等。
2. 直线的方程计算:根据直线上已知点的坐标或直线的斜率截距等条件,可以确定直线的方程。
直线与点的位置关系
直线与点的位置关系
简介
本文将讨论直线与点的位置关系。
我们将探讨直线上的点、直线上方的点以及直线下方的点,并提供具体的描述和示例。
直线上的点
直线上的点是指与直线重合的点。
这些点与直线具有相同的坐标,即它们的横坐标和纵坐标都满足直线的方程。
例如,如果直线的方程为 y = 2x + 1,那么直线上的点可以用(x, y)表示,其中x和y满足方程 y = 2x + 1。
直线上方的点
直线上方的点是指位于直线的上方,并且不与直线相交的点。
这些点的纵坐标大于直线上所有点的纵坐标。
例如,对于直线 y = 2x + 1,点 (2, 5) 就位于直线上方,因为它的纵坐标5大于直线上所有点的纵坐标。
直线下方的点
直线下方的点是指位于直线的下方,并且不与直线相交的点。
这些点的纵坐标小于直线上所有点的纵坐标。
例如,对于直线 y = 2x + 1,点 (-1, -1) 就位于直线下方,因为它的纵坐标-1小于直线上所有点的纵坐标。
结论
本文讨论了直线与点的位置关系,包括直线上的点、直线上方的点和直线下方的点。
通过了解这些关系,我们可以更好地理解直线和点之间的空间关系,以及如何描述和表达它们。
参考文献
无。
「直线与点的位置关系」
§2—4 直线与点以及两直线的相对位置一、直线上的点直线上的点有以下特性:(1) 点在直线上,则点的投影必在该直线的同面投影上。
反之,如果点的投影均在直线的同面投影上,则点必在该直线上,否则点不在该直线上。
如图1—19所示,点K 的投影k、k '、k ''均在直线AB 的H 、V、W 投影上,所以点K 在直线AB 上。
如图2—20所示,点C的V面投影c '虽然在b a ''上,但是点C的H 面投影c 不在a b上,所以点C不在直线AB 上。
(2) 直线上的点分割直线之比,在投影后保持不变。
如图2—19所示,点K 在直线AB 上,则AB:ak:k b=b k k a b k k a ''''''''=''='':。
由上述可知,点是束在直线上,在一般情况下根据两面投影即可判定。
但当直线为某一投影面平行线,而已知的两个投影为该直线所不平行的投影面的投影时,则不能直接总协定。
如图2—21a 所示,AB 为侧平线,而图中却只给出其正面投影b a ''及水平投影ab 。
此时,虽然点K 和点S 的正面投影k '、s ''及水平投影k 、s 均落在b a ''和ab 上,但仍不能总判定出点K 和点S是否在AB 上。
其判别方法如下:[方法一] 定比法如图2—21b 所示,自a 任引直线 a 1B =b a '',连a1B ,在a 1B 上量取0ak =k a '',b S B S ''=10,过0k 作1bB 的平行线,发现该线不过k,则点K 不在直线AB 上。
过0S 作1bB 的平行线,发现该线过s,则点A 在直线AB 上。
[方法二] 补投影法即补出已知投影面平行线在所平行的投影面上的投影及已知点的投影。
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CVecter2D(double fx,double fy){x = fx; y = fy;}
public:
double x,y;
//-----------操作符---------------------
public:
CVecter2D operator + (const CVecter2D& vecter);
}
}
CVecter2D vT = v.GetVertical();
double M = c.Dot(vT) / vT.Dot(vT);
}
double CVecter2D::GetAngle(const CVecter2D& vecter) //夹角
{
CVecter2D vec1 = vecter;
CVecter2D vec2(x,y);
if(vec1.GetLength() && vec2.GetLength())
{
vec1.Normalized();
void operator /= (const double& fScalar);
//-----------操作------------------------
public:
voidNormalized(); //归一化
doubleDot(const CVecter2D& vecter); //点积
void CVecter2D::Normalized() //归一化
{
double fLength = GetLength();
x = x/fLength;
y = y/fLength;
}
double CVecter2D::Dot(const CVecter2D& vecter) //点积
{
return (x*vecter.x + y*vecter.y);
}
}
return false;
}
double CVecter2D::GetLength() //长度
{
return sqrt(x*x + y*y);
}
//---------------------------------------
//类名:CPoint2D
//---------------------------------------
{
CVecter2D v = line_pt2 - line_pt1;
CVecter2D c = pt - line_pt1;
double K = c.Dot(v) / v.Dot(v);
CVecter2D Kv = v*K; //v与line平行的分量
int nRet = -1; //cout<<"垂足在line_pt1,line_pt2的反向延长线上"<<endl;
{
return CVecter2D(x-vecter.x, y-vecter.y);
}
//求点到直线的距离,垂足,垂足与线段位置关系
int GetPointToLineMSG(CPoint2D pt,CPoint2D line_pt1,CPoint2D line_pt2,CPoint2D& ptResult,double& fLength)
{
return CPoint2D(x+vecter.x, y+vecter.y);
}
CPoint2D CPoint2D::operator - (const CVecter2D& vecter)
{
return CPoint2D(x-vecter.x, y-vecter.y);
}
CVecter2D CPoint2D::operator - (const CPoint2D& vecter)
bool operator == (const CVecter2D& vecter);
void operator += (const CVecter2D& vecter);
void operator -= (const CVecter2D& vecter);
void operator *= (const double& fScalar);
vec2.Normalized();
return acos(vec1.Dot(vec2));
}
else
{
return 0;
}
}
bool CVecter2D::IsParallel(const CVecter2D&avecter.y - y*vecter.x) == 0)return true;
public:
void operator = (const CPoint2D& pt);
CPoint2D operator + (const CVecter2D& vecter);
CPoint2D operator - (const CVecter2D& vecter);
CVecter2D operator - (const CPoint2D& pt);
voidInverted(); //求反
CVecter2D GetVertical(bool bClockwise = false); //获取正交向量
//-----------属性------------------------
public:
boolIsAffine(); //是否为仿射组合
boolIsConvex(); //是否为凸组合
double fAngle = Kv.Dot(v);
if(fAngle>0)
{
nRet = 1; //cout<<"垂足在line_pt1 line_pt2的延长线上"<<endl;
if(Kv.GetLength() < v.GetLength())
{
nRet = 0; //cout<<"垂足在line上"<<endl;
public:
CPoint2D(){ x = y = 0.0;}
CPoint2D(double fx,double fy){x = fx; y = fy;}
CPoint2D(const CPoint2D& pt){x = pt.x; y=pt.y;}
public:
double x,y;
//-----------操作------------------------
CVecter2D CVecter2D::operator + (const CVecter2D& vecter)
{
return CVecter2D(x+vecter.x, y+vecter.y);
}
CVecter2D CVecter2D::operator - (const CVecter2D& vecter)
doubleGetLength(); //长度
};
//---------------------------------------
//类名:CPoint2D
//功能:2维点
//---------------------------------------
class CPoint2D
{
//---------构造函数----------------------
{
x = -x;
y = -y;
}
CVecter2D CVecter2D::GetVertical(bool bClockwise) //获取正交向量
{
if(bClockwise)
{
return CVecter2D(y,-x);
}
return CVecter2D(-y,x);
}
//-----------属性-----------------------
//-----------操作------------------------
void CPoint2D::operator = (const CPoint2D& pt)
{
x = pt.x;
y = pt.y;
}
CPoint2D CPoint2D::operator + (const CVecter2D& vecter)
{
if(fScalar)
{
return CVecter2D(x/fScalar, y/fScalar);
}
else
{
return CVecter2D(0,0);
}
}
void CVecter2D::operator=(const CVecter2D& vecter)
{
x = vecter.x;
y = vecter.y;
};
#include "iostream.h"
#include "math.h"
#include "TestVecter.h"
//----------------------------------
//类名:Vecter2D
//----------------------------------
//-----------操作---------------------
{
return CVecter2D(x-vecter.x, y-vecter.y);