(精品)一元二次方程解法及其配套练习,精心整理,方法全面,例题经典,练习给力!
(完整版)一元二次方程解法及其经典练习题
一元二次方程解法及其经典练习题方法一：直接开平方法（依据平方根的定义）平方根的定义：如果一个数 的平方等于a （ ），那么这个数 叫做a 的平方根即：如果 a x =2 那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式一、 用直接开平方法解下列一元二次方程。
1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4．.25)1(412=+x5．(2x ＋1)2=(x －1)2． 6．(5－2x )2=9(x ＋3)2． 7．.063)4(22=--x方法二：配方法解一元二次方程1. 定义：把一个一元二次方程的左边配成一个 ，右边为一个 ，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
2. 配方法解一元二次方程的步骤：（1） （2）（3） 4) (5)二、用配方法解下列一元二次方程。
1、.0662=--y y2、x x 4232=- 39642=-x x 、4、0542=--x x5、01322=-+x x6、07232=-+x x方法三：公式法1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法2.公式的推导：用配方法解方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）解：二次项系数化为1，得 ，移项 ，得 ，配方, 得 ，方程左边写成平方式 ，∵a ≠0,∴4a 2 0,有以下三种情况：（1）当b 2-4ac>0时，=1x ， =2x（2）当b 2-4ac=0时，==21x x 。
（3）b 2-4ac<0时，方程根的情况为 。
3.由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因（1）式子ac b 42-叫做方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）根的 ，通常用字母 “△” 表示。
当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根；当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根；当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根。
人教版初三上学期数学一元二次方程及解法练习题(附答案)
人教版初三上学期数学一元二次方程及解法练习题（附答案）人教版初三上学期数学一元二次方程及解法练习题（附答案）（1）；（2）；（3）；（4）。
4、一元二次方程根的判别式与其根的关系：综合练习： 1．观察下列方程: ①x2=1 ②3x2=1-x ③x(x-1)= x -1 ④ +2x-5=0 ⑤x2-y-1=0 ⑥x2-(x-3)2=9 其中是一元二次方程的是 . 2.把方程(x-2)(x+3)=5化为一元二次方程一般形式为 .其中二次项系数为 . 一次项系数为 . 常数项为 . 3.关于x的方程（m+2）xn-1-(2m-1)x-3=0,当时,它是一元二次方程,当时,它是一元一次方程. 1、用直接开平方法解方程：⑴x2=9 ⑵3x2=12 ⑶ 1/3 x2-3=0 ⑷ (3x+1)2=1 ⑸(2x-1)2 -9=0 ⑹x2+4x+4=1(7)．x2=16 (8) . 2x2 -6 =0 (9) (x+1)2=4(10) (3x+2)2=4 （11）3(x-1)2=15 （12）x2+6x+9=25能力提升： 1.关于x的方程（n-1）xn2+1-(2n+1)x-3=0,当n= 时,它是一元二次方程 2.解一元二次方程：(1) x2+2x+1=4 （2）x2+2x-3=0一元二次方程及解法（2）配方法步骤：举例说明题组训练： 1、把下列方程化为（x+ m）2=n（m，n是常数，n≥0）的形式（1）x2+2x=48；（2）x2－4x=12；（3）x2－6x+6=0；（4） 2、完成下列填空：x2+4x+4=(__+__)2 x2-8x+___=(__―__)2 4x2+__x+25=(___+__)2 16 x2+__x+1=(__+__)2 x2+10x+___=(__+__)2 x2-5x+___=(__―__)29x2-__x+25=(___+__)2 9 x2-¬__x+1=(__-__)2 3、用配方法解方程（1）x2-10x-11=0 （2）x2－6x+4= 0 （3）x2+4x－16= 0（4）x2－4x=12；（5）x2－6x=7 （6）x2+8x+2=0（7）x2－4x-5=0 （8） x2+5x+2=0 （9）3x2+2x－5=0（10）2y2+y－6=0 （11）3x2+8x-3=0 (12)-2x2=5x-3一元一次方程及解法（3）求根公式推导过程：（和应用求根公式的步骤）根的判别式与根的关系：跟踪训练：先用根的判别式判断根的情况再求解：（1）x -x-1=0；（2）5x +2=3x2；（3）y -6=5y(4)3t -2t-1=0 (5)4x(x-1)=x -1 （6）x2－6x+4= 0(7)3x +1=2 x （8）2y2+y－5= 0 （9）x2－4x=12；（10）3x2+6x=1 （11）2t2-7t－4=0； (12)x2-x-1=0(13)y2-6=5y (14)3t2-2t-1=0 (15)4x(x-1)=x2-1一元一次方程及解法（4）因式分解法解一元二次方程的原理： 1、填空（1）方程x2=x的解是。
专题复习：一元二次方程的五种常用解法(后附答案)【精品】
专题：一元二次方程的5种解法方法1 形如x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解1.用直接开平方法解下列方程:(1)9x2=25; (2)x2-√=0; (3)(2t-1)2=9;(4)(x-3)2-9=0. (5)2(x－1)2－18＝0.用直接开平方法解一元二次方程的三个步骤：(1)看：看是否符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式；(2)化：对于不符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)形式的方程先化为符合的形式；(3)求：应用平方根的意义，将一元二次方程化为两个一元一次方程求解.方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解 2.用配方法解下列方程：(1)x 2-10x+9=0; (2)x 2+2x=2; (3)2x 2-4x+1=0.3. 用配方法解下列方程：(1)3x 2＋6x －5＝0; (2)12x 2－6x －7＝0； (3)2x 2＋7x －4＝0.用配方法解一元二次方程的“五步法”(1)移项：使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项. (2)化1：当方程的二次项系数不为1时，在方程的两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1.(3)配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(x ＋n)2＝p 的形式.(4)开方：若p ≥0，则两边直接开平方得到一元一次方程；若p ＜0，则原方程无解.(5)求解：解所得到的一元一次方程，求出原方程的解.方法3 易化成一般形式（二次项系数不为1）时，用公式法求解4.用公式法解方程:(1)x2+3x+1=0; (2)2x2-5x-7=0;(3)(x+1)(x-1)+2(x+3)=8; (4)y2-2√2y+2=0；(5)(x＋1)(2x－6)＝1； (6)x2＋5x＋18＝3(x＋4)．用公式法解一元二次方程的四个步骤(1)化：若方程不是一般形式，先把一元二次方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0).(2)定：确定a，b，c的值.(3)算：计算b2－4ac的值.(4)求：若b2－4ac≥0，则利用求根公式求出方程的根；若b2－4ac ＜0，则原方程没有实数根.方法4 能化成形如（x+a）（x+b）=0时，用因式分解法求解5．用因式分解法解下列方程：(1)x2－9＝0； (2)x2＋2x＝0；(3)x2－53x＝0； (4)5x2＋20x＋20＝0；(5)(2＋x)2－9＝0； (6)3x(x－2)＝2(x－2)．(7)(3x＋2)2－4x2＝0； (8)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；用因式分解法解一元二次方程的“四步法”（“右化零，左分解，两因式，各求解”）6.有三个方程:①(2x-1)2=5;②x2-x-1=0;③x(x-√3)=√3-x.解这三个方程时适合的解法依次是( )A.因式分解法、公式法、因式分解法B.直接开平方法、配方法、公式法C.直接开平方法、公式法、因式分解法D.公式法、配方法、公式法7.用适当的方法解下列方程:(1)(x-1)2=3; (2)x2+2x-2=0;(3)(x-5)2=2(x-5)-1; (4)x(3x-2)=3x-2.方法5 用换元法解方程8.【阅读材料】解方程：x4－3x2＋2＝0.解：设x2＝m，则原方程变为m2－3m＋2＝0，解得m1＝1，m2＝2.当m＝1时，x2＝1，解得x＝±1.当m＝2时，x2＝2，解得x＝± 2.所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－ 2.以上方法就叫做换元法，通过换元达到了降次的目的，体现了转化的思想．【问题解决】利用上述方法解方程(x2－2x)2－5x2＋10x＋6＝0.参考答案：1.解:(1)方程两边同时除以9得,x 2=259,根据平方根的意义得,x=±53.(2)移项得,x 2=√256=16, 根据平方根的意义得,x=±4. (3)根据平方根的意义得,2t-1=±3, 移项得,2t=4或2t=-2, 系数化为1得,t=2或t=-1. (4)移项得,(x-3)2=9,根据平方根的意义得,x-3=±3, 移项得,x=0或x=6. (5)∵2(x －1)2－18＝0，∴(x －1)2＝9，∴x －1＝±3，∴x 1＝4，x 2＝－2. 2.解:(1)移项,得x 2-10x=-9.配方,得x 2-10x+25=-9+25,(x-5)2=16.开方,得x-5=4,或x-5=-4.∴x 1=9,x 2=1.(2)配方,得x 2+2x+1=2+1,(x+1)2=3.∴x+1=±√3.∴x 1=√3-1,x 2=-√3-1.(3)将方程两边同时除以2,得x 2-2x+12=0,即x 2-2x=-12.配方,得x 2-2x+12=-12+12, (x-1)2=12.∴x=1±√22.即x 1=1+√22,x 2=1-√22.3.(1)原方程变形为3x 2＋6x ＝5，∴x 2＋2x ＝53，∴x 2＋2x ＋1＝83，∴(x ＋1)2＝83，∴x ＋1＝±263，∴x 1＝－1＋263，x 2＝－1－263. (2)原方程变形为12x 2－6x ＝7，∴x 2－12x ＝14，∴x 2－12x ＋36＝50，∴(x －6)2＝50，∴x －6＝±52， ∴x 1＝6＋52，x 2＝6－5 2.（3）(x ＋74)2＝8116，∴x 1＝12，x 2＝－4.4.解:(1)∵a=1,b=3,c=1,∴Δ=b 2-4ac=9-4×1×1=5>0,∴x=-3±√52.∴x 1=-3+√52,x 2=-3-√52.(2)∵a=2,b=-5,c=-7,∴b 2-4ac=81,∴x=5±√814,∴x 1=-1,x 2=72. (3)原方程可化为x 2+2x-3=0. ∵a=1,b=2,c=-3,∴b 2-4ac=16.∴x=-2±√162,∴x 1=1,x 2=-3.(4)∵这里a=1,b=-2√2,c=2,∴b 2-4ac=(-2√2)2-4×1×2=0,∴y=2√2±02,∴y 1=y 2=√.(5)整理得2x 2－4x －7＝0，∵a ＝2，b ＝－4，c ＝－7， ∴Δ＝b 2－4ac ＝(－4)2－4×2×(－7)＝72，∴x ＝4±722×2＝2±322，∴x 1＝2＋322，x 2＝2－322.(6)整理得x 2＋2x ＋6＝0，∵a ＝1，b ＝2，c ＝6，∴Δ＝b 2－4ac ＝22－4×1×6＝－20＜0，∴原方程无实数根． 5.（1）解：(x ＋3)(x －3)＝0，∴x 1＝－3，x 2＝3. （2）解：x(x ＋2)＝0， ∴x 1＝0，x 2＝－2. （3）解：x(x －53)＝0， ∴x 1＝0，x 2＝5 3. （4）解：(x ＋2)2＝0， ∴x 1＝x 2＝－2.（5）解：(x ＋5)(x －1)＝0， ∴x 1＝－5，x 2＝1.（6）解：原方程变形为3x(x －2)－2(x －2)＝0， 即(3x －2)(x －2)＝0， ∴x 1＝23，x 2＝2.（7）解：(3x ＋2＋2x)(3x ＋2－2x)＝0， 解得x 1＝－25，x 2＝－2.（8）解：原方程可化为[2(x －3)]2－[5(x －2)]2＝0， 即(2x －6)2－(5x －10)2＝0.∴(2x －6＋5x －10)(2x －6－5x ＋10)＝0， 即(7x －16)(－3x ＋4)＝0. ∴x 1＝167，x 2＝43.6.C7.解:(1)∵x-1=±√3,∴x 1=√3+1,x 2=-√3+1.(2)∵x2+2x+1=3,∴(x+1)2=3,∴x1=√3-1,x2=-√3-1.(3)∵(x-5)2-2(x-5)+1=0,∴[(x-5)-1]2=0,∴x1=x2=6.(4)∵x(3x-2)-(3x-2)=0,∴(3x-2)(x-1)=0,.∴x-1=0或3x-2=0,∴x1=1,x2=238.解：(x2－2x)2－5x2＋10x＋6＝0，整理，得(x2－2x)2－5(x2－2x)＋6＝0.设x2－2x＝m，则原方程变为m2－5m＋6＝0，解得m1＝3，m2＝2.当m＝3时，x2－2x＝3，解得x＝3或x＝－1；当m＝2时，x2－2x＝2，解得x＝1± 3.所以原方程的解为x1＝3，x2＝－1，x3＝1＋3，x4＝1－ 3.。
一元二次方程解法练习题(四种方法)
一元二次方程解法练习题一、用直接开平方法解下列一元二次方程。
1、0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x二、用配方法解下列一元二次方程。
1、.0662=--y y2、x x 4232=-3、9642=-x x三、用公式解法解下列方程。
1、0822=--x x2、22314y y -= 3、y y 32132=+4、01522=+-x x5、1842-=--x x6、02322=--x x四、 用因式分解法解下列一元二次方程。
1、x x 22=2、 x 2+4x -12=03、0862=+-x x4、03072=--x x五、用适当的方法解下列一元二次方程。
(选用你认为最简单的方法)1、()()513+=-x x x x2、x x 5322=- 3、2260x y -+=4、01072=+-x x5、()()623=+-x x6、()()03342=-+-x x x7、()02152=--x 8、0432=-y y10、()()412=-+y y 11、()()1314-=-x x x 12、()025122=-+x13、22244a b ax x -=- 14、3631352=+x x 15、()()213=-+y y16、)0(0)(2≠=++-a b x b a ax 17、03)19(32=--+a x a x18、012=--x x 19 、02932=+-x x 20、02222=+-+a b ax x21、 22、030222=--x x 23、01752=+-x x24、1852-=-x x 25、3x 2+5(2x+1)=0 26、x x x 22)1)(1(=-+解答题：1、已知一元二次方程0132=-+-m x x .（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围. （2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根2、已知方程2（m+1）x 2+4mx+3m=2，根据下列条件之一求m 的值．（1）方程有两个相等的实数根；（2）方程的一个根为0．3、无论m 为何值时，方程04222=---m mx x 总有两个不相等的实数根吗？给出答案并说明理由。
完整版)一元二次方程解法及其经典练习题
完整版)一元二次方程解法及其经典练习题一元二次方程的解法及经典练题方法一：直接开平方法（基于平方根的定义）平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
即，如果x²=a，那么x=±√a。
注意，x可以是多项式。
一、使用直接开平方法解下列一元二次方程：1.4x²-1=22.(x-3)²=233.81(x-2)²=1644.(x+1)²/4=255.(2x+1)²=(x-1)²6.(5-2x)²=9(x+3)²7.2(x-4)²/3-6=0.方法二：配方法解一元二次方程1.定义：把一个一元二次方程的左边配成一个平方，右边为一个常数，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
2.配方法解一元二次方程的步骤：1）将方程移项，使等式左边为完全平方，右边为常数。
2）将等式左右两边开平方。
3）解出方程的根。
二、使用配方法解下列一元二次方程：1.y²-6y-6=02.3x²-2=4x3.3x²-4x=94.x²-4x-5=05.2x²+3x-1=06.3x²+2x-7=0方法三：公式法1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
2.公式的推导：使用配方法解方程ax²+bx+c=0（a≠0），解得x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)。
3.由上可知，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因为1）当b²-4ac>0时，方程有两个实数根，x₁=[-b+√(b²-4ac)]/(2a)，x₂=[-b-√(b²-4ac)]/(2a)。
2）当b²-4ac=0时，方程有一个实数根，x₁=x₂=-b/(2a)。
(完整版)解一元二次方程练习题(配方法)(最新整理)
(7) 5x 2 －3x+2 =0
(8) 7x 2 －4x－3 =0
(9) -x 2 -x+12 =0
(10) x 2 －6x+9 =0
韦达定理：对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) ，如果方程有两个实数根 x1, x2 ，那么
x1
x2
b a
,
x1x2
c a
说明：（1）定理成立的条件 0
2．已知 x1，x2 是方程 2x2－7x＋4＝0 的两根，则 x1＋x2＝
，x1·x2＝
，
（x1－x2）2＝
1
3．已知方程 2x2－3x+k=0 的两根之差为 2 ，则 k=
;
2
4．若方程 x2+(a2－2)x－3=0 的两根是 1 和－3，则 a=
;
5．若关于 x 的方程 x2+2(m－1)x+4m2=0 有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么 m 的值为
（2）注意公式重
x1
x2
b a
的负号与
b
的符号的区别
根系关系的三大用处
（1）计算对称式的值
例 若 x1, x2 是方程 x2 2x 2007 0 的两个根，试求下列各式的值：
(1) x12 x22 ；
(2) 1 1 ； x1 x2
(3) (x1 5)(x2 5) ；
(4) | x1 x2 | ．
25、 5x2 7x 1 0
26、 5x2 8x 1
27、 x2 2mx 3nx 3m2 mn 2n2 0
28、3x2+5(2x+1)=0
29、 (x 1)(x 1) 2 2x
30、 3x2 4x 1
(完整版)解一元二次方程练习题(配方法、公式法)
解一元二次方程练习题(配方法)配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式1．用适当的数填空：①、x 2+6x+ =（x+ ）2 ②、x 2－5x+ =（x － ）2；③、x 2+ x+ =（x+ ）2 ④、x 2－9x+ =（x － ）22．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________．3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．4．将x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为___ ____，•所以方程的根为_________．5．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是7．把方程x 2+3=4x 配方，得8．用配方法解方程x 2+4x=10的根为9．用配方法解下列方程：（1）3x 2-5x=2． （2）x 2+8x=9（3）x 2+12x-15=0 （4）41 x 2-x-4=010.用配方法求解下列问题（1）求2x 2-7x+2的最小值 ； （2）求-3x 2+5x+1的最大值。
解一元二次方程练习题(公式法)公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c一、填空题1．一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0），当b 2-4ac≥0时，它的根是__ ___ 当b-4ac<0时，方程___ ______．2．方程ax 2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，则有____ ____ ，•若有两个不相等的实数根，则有_____ ____，若方程无解，则有__________．3．用公式法解方程x 2 = -8x-15，其中b 2-4ac= _______，x 1=_____，x 2=________．4．已知一个矩形的长比宽多2cm ，其面积为8cm 2，则此长方形的周长为________．5．用公式法解方程4y 2=12y+3，得到6．不解方程，判断方程：①x 2+3x+7=0；②x 2+4=0；③x 2+x-1=0中，有实数根的方程有 个 7．当x=_____ __时，代数式13x +与2214x x +-的值互为相反数． 8．若方程x-4x+a=0的两根之差为0，则a 的值为________．二、利用公式法解下列方程（1）220x -+= （2） 012632=--x x （3）x=4x 2+2（4）－3x 2＋22x －24＝0 （5）2x （x －3）=x －3 （6） 3x 2+5(2x+1)=0（7）(x+1)(x+8)=-12 （8）2(x －3) 2＝x 2－9 （9）－3x 2＋22x －24＝0解一元二次方程练习题(因式分解法)因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
解一元二次方程练习题(四种解法)
一 直接开方法
类型
I： ax2
=
b
x2
=
b a
b a
0
x
=
b (结果要分母有理化)
a
类型 II： a2 = b2 a = b或a = −b
（1） x2 = 9
（2） 4x2 = 25
（3） ( x +1)2 = 16
（4） 4(2x −1)2 = 81
一元二次方程的解法专题训练
三 公式法
x = −b b2 − 4ac 2a
步骤： 第一步：写成一般式； 第二步：找出 a，b，c；
第三步：计算 = b2 − 4ac ；
第四步：若△≥0，则代入公式；若△≥0，则原方程无实数解；
（1） x2 + 2x −1 = 0
（2） 2x2 + 4x = 1
（7） 300x2 − 40x +1 = 0
（8） ( x − 3)( x + 2) = 6
一元二次方程的解法专题训练
综合练习
（1） x2 − 6x + 8 = 0
（2） x2 − 4x = 1
（3） x2 −12x + 20 = 0
（4） x2 − 40x + 300 = 0
（5） x2 −100x + 2400 = 0
（5） (2x +1)2 = ( x − 3)2
（6） 250( x +1)2 = 360
（7）100(1− x)2 = 81
（8） 440( x +1)2 = 633.6
（9） −2( x − 4)2 + 9 = 5
初三数学一元二次方程解法整理,附全面解析
初三数学一元二次方程解法整理，附全面解析1一元二次方程详细的解法配方法(可解全部一元二次方程)如：解方程：x^2-4x+3=0把常数项移项得：x^2-4x=-3等式两边同时加1(构成完全平方式)得：x^2-4x+4=1因式分解得：(x-2)^2=1解得：x1=3,x2=1小口诀：二次系数化为一;常数要往右边移;一次系数一半方;两边加上最相当。
公式法(可解全部一元二次方程)首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根1.当Δ=b^2-4ac0时 x有两个不相同的实数根当判断完成后,若方程有根可根属于第2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√(b^2-4ac)}/2a来求得方程的根关于高三数学中一个二次方程的解法，我也更新了自己非常有效的学习经验，包括如何调动孩子的学习积极性，自主学习，思维提升等等。
欢迎来我的主页看更多分析！尤其是首页的第一篇文章，我花了很多时间总结整理！希望能帮到你！因式分解法(可解部分一元二次方程)(因式分解法又分“提公因式法”、“公式法(又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种)”和“十字相乘法”。
如：解方程：x^2+2x+1=0利用完全平方公式因式分解得：(x+1﹚^2=0解得：x1=x2=-1代数法(可解全部一元二次方程)ax^2+bx+c=0同时除以a,可变为x^2+bx/a+c/a=0设：x=y-b/2方程就变成：(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0 X错,应为(y^2+b^2/4-by)除以(by-b^2/2)+c=0再变成：y^2+(b^22*3)/4+c=0 X/y^2-b^2/4+c=0 y=±√[(b^2*3)/4+c] X/y=±√[(b^2)/4+c]2初三数学学习方法提高数学思维在复习过程中，系统复习初中数学知识后，以反复练习和测试为主，充分发挥学生的主体作用，使学生掌握各种题型的解题方法和技巧，提高学生的综合解题能力。
完整版)解一元二次方程练习题(配方法)
完整版)解一元二次方程练习题(配方法) 一元二次方程解法练题一、用直接开平方法解下列一元二次方程。
1、4x-1=2、(x-3)^2=2、2、(x-1)^2=5、81(x-2)=16二、用配方法解下列一元二次方程。
1、y^2-6y-6=0、3x^2-4x+2=02、x^2-4x-5=0、2x^2+3x-1=03、x^2-4x=9、3x^2+2x-7=04、x^2-4x-5=0、-4x^2-8x=165、2x^2+3x-1=0、(2-3x)^2=46、-4x^2+12x=0三、用公式解法解下列方程。
1、x^2-2x-8=0、4y^2-2y-1=02、2x^2-5x+1=0、-4x^2-8x=16、2x^2-3x-2=0四、用因式分解法解下列一元二次方程。
1、x^2=2x、(x+1)^2-(2x-3)^2=3、x^2-6x+8=02、4(x-3)^2=25(x-2)、(1+2)x^2-(1-2)x=6、(2-3x)^2+(3x-2)^2=1五、用适当的方法解下列一元二次方程。
1、3x/(x-1)=x/(x+5)、2x-3=5x、x-2y+6=22、x^2-7x+10=0、(x-3)(x+2)=6、4(x-3)+x(x-3)=23、(5x-1)^-2=8、3y^2-4y-9=0、x^2-7x-30=24、(y+2)(y-1)=4、x^2-4ax=b^2-4a^2、x^2+(531/36)x=05、4x(x-1)=3、3x^2-9x+2=0一元二次方程解法练题六、用直接开平方法解下列一元二次方程。
1.4x-1=2解：移项得4x=3，两边平方得16x^2=9，即x=±3/4.2.(x-3)^2=2解：展开得x^2-6x+7=0，两边平方得x-3=±√2，即x=3±√2.3.(x-1)^2=5解：展开得x^2-2x-4=0，两边平方得x-1=±√5，即x=1±√5.4.81(x-2)=162解：移项得(x-2)^2=2，两边开平方得x-2=±√2，即x=2±√2.七、用配方法解下列一元二次方程。
(完整版)解一元二次方程练习题(配方法、公式法)
解一元二次方程练习题(配方法)配方法的理论根据是完全平方公式a22ab b2(a b)2，把公式中的a看做未知数x,并用x代替，则有x22bx b2(x b)2。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1,再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式1 •用适当的数填空：①、X2+6X+ ___ = (x+ —) 2②、x2—5x+ _= (x — _) 2;③、x2+ x+ ___ = (x+ _) 2④、x2—9x+ _= (x — _) 22 .将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为_____________ •3. 已知4x2-ax+1可变为(2x-b) 2的形式，则ab= __________ .4. ____________________________________________________ 将x2-2x-4=0用配方法化成(x+a) 2=b 的形式为 __________________________________________________ ，?所以方程的根为__________ .5. 若x2+6x+m 2是一个完全平方式，则m的值是6. 用配方法将二次三项式______________________ a2-4a+5变形，结果是7. 把方程X2+3=4X配方，得__________________&用配方法解方程X2+4X=10的根为_________9. 用配方法解下列方程：(1) 3x2-5x=2 . ( 2) X2+8X=91(3) X2+12X-15=0 X2_X_4=0(4)-410. 用配方法求解下列问题 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方 法。
一元二次方程ax 2 bx c 0(a 0)的求根公式：2 b vb 4ac 心2 ’ c 、x(b 4ac 0)2a公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为 a ， 次项的系数为b ,常数项的系数为c一、填空题 1. 一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c=0 (0),当b 2- 4ac >0时，它的根是-__ _______________当b-4ac<0时，方程 __________ .2. __________________________________________________________ 方程ax 2+bx+c=0 (0)有两个相等的实数根，则有 ________________________________________________ ， ?若有两个不相等的实 数根，则有 __________ ，若方程无解，则有 ____________ .3. 用公式法解方程 x 2 = -8x-15，其中 b 2-4ac= _ ， x i = ___ ，X 2= _______ .4.已知一个矩形的长比宽多 ___________________________ 2cm,其面积为8cm ，则此长方形的周长为 .5 .用公式法解方程 4y 2=12y+3，得到 __________________6.不解方程，判断方程：①x 2+3x+7=0 :②x 2+4=0;③x 2+x-1=0中，有实数根的方程有个&若方程x-4x+a=0的两根之差为0，则a 的值为 _______________ 二、利用公式法解下列方程(1 )求2x 2-7x+2的最小值(2)求-3X 2+5X +1的最 大值。
一元二次不等式解法专题知识梳理及典型练习题(含答案)
一元二次不等式解法专题一.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b 2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)的解集{x |x ＞x 2或x ＜x 1} ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2}Φ Φ二.穿针引线法例 1 解下列不等式：（1）x x ≥-2414 （2）0822≥+--x x （3）0)3)(2(>-+x x例2 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝_____．例3(穿针引线法） 解不等式：(x-1)2(x+1)(x-2)(x+4)<0例4 不等式xx ->+111的解集为（ ） A ．{x|x ＞0}B ．{x|x≥1}C．{x|x ＞1} D ．{x|x ＞1或x ＝0}解不等式化为＋－＞，通分得＞，即＞，1x 000111122----xx x x x∵x 2＞0，∴x－1＞0，即x ＞1．选C ． 例5 与不等式023≥--xx 同解得不等式是（ ） A ．(x －3)(2－x)≥0B．0＜x －2≤1C ．≥230--xx D ．(x －3)(2－x)≤0 练习1：1．不等式x 2－3x ＋2＜0的解集为( )． A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B ．(－2，－1) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D ．(1,2)答案 D2．(2011·XX)不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 故原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)． 答案 D3．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )．A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠－13B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－13C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－13≤x ≤13D ．R答案 B4．若不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－2＜x ＜14，则ab ＝( )．A ．－28B ．－26C ．28D ．26 答案 C5.函数f (x )＝2x 2＋x －3＋log 3(3＋2x －x 2)的定义域为________．解析 依题意知⎩⎨⎧2x 2＋x －3≥0，3＋2x －x 2＞0，解得⎩⎨⎧x ≤－32或x ≥1，－1＜x ＜3.∴1≤x ＜3.故函数f (x )的定义域为[1,3)．答案 [1,3)6.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，解不等式f (x )＞3.[审题视点] 对x 分x ≥0、x ＜0进行讨论从而把f (x )＞3变成两个不等式组． 解 由题意知⎩⎨⎧x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎨⎧x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得：x ＞1.故原不等式的解集为{x |x ＞1}．例不等式＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a axx -1A aB aC aD a ．＜．＞．＝．＝－12121212分析可以先将不等式整理为＜，转化为 0()a x x -+-111[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，根据其解集为{x|x ＜1或x ＞2}可知－＜，即＜，且－＝，∴＝．a 10a 12a 1112a - 选C ．例解不等式≥．8 237232x x x -+-解 先将原不等式转化为3723202x x x -+--≥即≥，所以≤．由于＋＋＝＋＋＞，---+-+++-2123212314782222x x x x x x x x 002x x 12(x )022∴不等式进一步转化为同解不等式x 2＋2x －3＜0，即(x ＋3)(x －1)＜0，解之得－3＜x ＜1．解集为{x|－3＜x ＜1｝． 说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题． 练习21.(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．2.解下列不等式(1);22123+-≤-x x 127314)2(22<+-+-x x x x3.解下列不等式1x 5x 2)2(;3x 1x 1+>+-≤-）（4.解下列不等式()()12log 6log 1log )2(;08254)1(21212121≥-++≥+⋅-+x x x x5解不等式1)123(log 2122<-+-x x x ．。
一元二次方程的解法及常见练习题示例
一元二次方程的解法及常见练习题示例一元二次方程的解法一元二次方程是一种形式如下的方程：$$ax^2 + bx + c = 0$$其中，$a$、$b$、$c$ 是已知系数，$x$ 是未知数。
解一元二次方程的常用方法有以下两种：配方法和公式法。
配方法和公式法。
配方法对于一元二次方程，可以通过配方法将其转化为一个完全平方的形式，从而易于求解。
步骤如下：1. 确保 $a$ 的系数为 1。
如果 $a \neq 1$，则可以通过除以$a$ 进行化简。
2. 将 $b$ 的系数的一半取出来，记作 $m$。
即 $m =\frac{b}{2}$。
3. 将一元二次方程转化为 $(x+m)^2 - m^2 + c = 0$ 的形式。
4. 将 $(x+m)^2 - m^2 + c = 0$ 分解成 $(x+m)^2 - m^2 = 0$。
5. 化简后得到 $(x+m)^2 = m^2 - c$。
6. 去掉平方，得到 $x+m = \pm\sqrt{m^2 - c}$。
7. 分别移项得到 $x = -m \pm \sqrt{m^2 - c}$。
公式法公式法是解一元二次方程的另一种常用方法，利用以下公式进行求解：$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$其中，$\pm$ 的取值可以分别取 $+$ 和 $-$。
常见练题示例下面是一些常见的一元二次方程的练题示例：1. 解方程 $x^2 + 5x + 6 = 0$。
- 使用配方法：$a=1$，$b=5$，$c=6$。
根据配方法的步骤，我们可以得到 $m = \frac{5}{2}$。
将方程转化为 $(x+\frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2 + 6 = 0$。
化简后得到 $(x+\frac{5}{2})^2 =\frac{1}{4}$。
去掉平方后得到 $x+\frac{5}{2} = \pm\frac{1}{2}$。
21.2.1 一元二次方程的解法及配方法的应用 练习
21.2专题训练 一元二次方程的解法及配方法的应用一、一元二次方程的解法1．用直接开平方法解方程：(1)(4x －1)2＝225；解：x 1＝4，x 2＝－72(2)13(x －2)2＝8；解：x 1＝2＋26，x 2＝2－2 6(3)9x 2－6x ＋1＝9；解：x 1＝43，x 2＝－23(4)3(2x ＋1)2－2＝0.解：x 1＝－12＋66，x 2＝－12－662．用配方法解方程：(1)2t 2－3t ＝－1；解：t 1＝12，t 2＝1(2)2x 2＋5x －1＝0；解：x 1＝－5＋334，x 2＝－5－334(3)(2x －1)(3x －1)＝3－6x ；解：x 1＝12，x 2＝－23(4)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－7.解：x 1＝4，x 2＝23．用公式法解方程：(1)x 2＝6x ＋1;解：x 1＝3＋10，x 2＝3－10(2)0.2x 2－0.1＝0.4x ；解：x 1＝2＋62，x 2＝2－62(3)2x －2＝2x 2.解：原方程无实数根4．用因式分解法解方程：(1)(x －1)2－2(x －1)＝0；解：x 1＝3，x 2＝1(2)5x(x －3)＝(x －3)(x ＋1)；解：x 1＝3，x 2＝14(3)(x ＋2)2－10(x ＋2)＋25＝0.解：x 1＝x 2＝35．用适当的方法解方程：(1)2(x －3)2＝x 2－9；解：x 1＝3，x 2＝9(2)(2x ＋1)(4x －2)＝(2x －1)2＋2；解：x 1＝－1＋62，x 2＝－1－62(3)(x ＋1)(x －1)＋2(x ＋3)＝8.解：x 1＝1，x 2＝－3二、配方法的应用(一)最大(小)值 6．利用配方法证明：无论x 取何实数值，代数式－x 2－x －1的值总是负数，并求出它的最大值．解：－x 2－x －1＝－(x ＋12)2－34，∵－(x ＋12)2≤0，∴－(x ＋12)2－34＜0，故结论成立．当x ＝－12时，－x 2－x －1有最大值－347．对关于x的二次三项式x2＋4x＋9进行配方得x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n.(1)求m，n的值；(2)求x为何值时，x2＋4x＋9有最小值，并求出最小值为多少？解：(1)∵x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n＝x2＋2mx＋m2＋n，∴2m＝4，m2＋n＝9，∴m＝2，n＝5(2)∵m＝2，n＝5，∴x2＋4x＋9＝(x＋2)2＋5，∴当x＝－2时，有最小值是5(二)非负数的和为08．已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，求3a2＋5b2－5的值．解：∵a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，∴(a2＋4a＋4)＋(b2－2b＋1)＝0，即(a＋2)2＋(b－1)2＝0，∴a＝－2，b＝1.∴3a2＋5b2－4＝3×(－2)2＋5×12－5＝129．若a，b，c是△ABC的三边长且满足a2－6a＋b2－8b＋c－5＋25＝0，请根据已知条件判断其形状．解：等式变形为a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋c－5＝0，即(a－3)2＋(b－4)2＋c－5＝0，由非负性得(a－3)2＝0，(b－4)2＝0，c－5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5.∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形。
求解一元二次方程的方法与典型练习题
求解一元二次方程的方法与典型练习题
一元二次方程是数学中常见的一类方程，解决一元二次方程的方法可以帮助我们理解和解决实际问题。
本文将介绍解一元二次方程的三种方法，并提供一些典型练题供练和掌握。
一、解一元二次方程的方法：
1.因式分解法：
对于形如ax^2 + bx + c = 0的一元二次方程，如果方程左边可以因式分解为两个一次因式的乘积，即存在两个数m和n，满足(a1x + m)(a2x + n) = 0，那么方程的解可以通过使得每个一次因式等于零来确定。
2.公式法（求根公式）：
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以使用求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a) 来求得方程的解，其中±表示两个解。
3.方程配方法：
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以通过方程配方法将
方程转化为一个平方的完全平方，然后利用完全平方公式进行求解。
二、典型练题：
1.解方程x^2 + 5x + 6 = 0.
2.解方程2x^2 - 7x - 3 = 0.
3.解方程3x^2 + 4x - 1 = 0.
4.解方程4x^2 - 9 = 0.
5.解方程x^2 - 16 = 0.
以上练题可采用三种方法进行求解，并可以通过代入法验证解
的正确性。
通过研究和练解一元二次方程的方法，我们可以加深对方程的
理解，提高数学问题的解决能力。
不仅仅在数学领域，解方程的思
维和方法也可以应用于其他学科和实际生活中。
希望以上内容对您有所帮助！。
一元二次方程及解法经典习题及解析[优质文档]精品文档6页
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┃知识归纳┃1．一元二次方程的概念只含有个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程．[注意] 一元二次方程判定的条件是：(1)必须是整式方程；(2)二次项系数不为零；(3)未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数．2．一元二次方程的解法一元二次方程有四种解法：法、法、法和法．[注意] 公式法其实质是配方法，只不过省去了配方的过程，但用公式时应注意：(1)将一元二次方程化为一般形式，即先确定a、b、c的值；(2)牢记使用公式的前提是b2－4ac≥0.3．一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac(1)Δ>0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有的实数根；(2)Δ＝0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有的实数根；(3)Δ<0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 实数根．4．一元二次方程根与系数的关系一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1＋x2＝，x1·x2＝.[注意] 它成立的条件：①二次项系数不能为0；②方程根的判别式大于或等于0.四大解法一、开平方法方程的左边是完全平方式,右边是非负数;即形如x2=a(a≥0) 二、配方法“配方法”的基本步骤：一化、二移、三配、四化、五解1.化1:把二次项系数化为1;2.移项:把常数项移到方程的右边;3.配方:方程两边同加一次项系数一半的平方;4.变形:化成5.开平方，求解三、公式法1.必需是一般形式的一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0).2.b2-4ac≥0.四、因式分解法1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零;2.理论依据是:如果两个因式的积等于零，至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤:一移-----方程的右边=0;二分-----方程的左边因式分解;三化-----方程化为两个一元一次方程;四解-----写出方程两个解;解题技巧：先考虑开平方法,再用因式分解法;最后才用公式法和配方法;一元二次方程及解法经典习题及解析一、填空题：1．下列方程中是一元二次方程的序号是 ．2．已知，关于2的方程12)5(2=-+ax x a 是一元二次方程，则a3．当=k 时，方程05)3()4(22=+-+-x k x k 不是关于X 的一元二次方程．4．解一元二次方程的一般方法有 ， ， ， ·5．一元二次方程)0(02=/=++a c bx ax 的求根公式为： ．6．(2019·沈阳市)方程0322=--x x 的根是 ．7．不解方程，判断一元二次方程022632=+--x x x 的根的情况是 ．8．(2019·锦州市)若关于X 的方程052=++k x x 有实数根，则k 的取值范围是 ．9．已知：当m 时，方程0)2()12(22=-+++m x m x 有实数根．10．关于x 的方程0)4(2)1(222=++-+k kx x k 的根的情况是 ．二、选择题：11．(2019·北京市海淀区)若a 的值使得1)2(422-+=++x a x x 成立，则a 的值为( )A ．5 8．4 C ．3 D ．212．把方程x x 332-=-化为02=++c bx ax 后，a 、b 、c 的值分别为( )13．方程02=+x x 的解是( ) x A .=土1 0.=x B 1,0.21-==x x C 1.=x D14．(2019·广安市)关于X 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )1.->k A 1.>k B 0.=/k C 1.->k D 且0=/k15．(2019·广州市)一元二次方程0322=--x x 的两个根分别为( )16．解方程.251212;0)23(3)32(;0179;072222x x x x x x x =+=-+-=--=-④③②① 较简便的方法是( )A ．依次为：开平方法、配方法、公式法、因式分解法B ．依次为：因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法①.C 用直接开平方法，②④用公式法，③用因式分解法①.D 用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法17．(2019·云南省)用配方法解一元二次方程.0782=++x x 则方程可变形为( )18．一元二次方程012)1(2=---x x k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是() 2.>k A 2.<k B 且1=/k 2.<k C 2.>k D 且1=/k19．下列方程中有两个相等的实数根的方程是( )20．(2019·大连市)一元二次方程0422=++x x 的根的情况是( )A ．有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根21．下列命题正确的是( )x x A =22.。
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一元二次方程解法及其配套练习王轩辕（QQ：1572236205）定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．解法一——直接开方法适用范围：可解部分一元二次方程直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)^2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±√n我们已经讲了x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=9，我们也可以用直接开方法来解方程。
例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x 2-2x+4=-1分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．解：(2)由已知，得：（x+3）2=2直接开平方，得：x+3=即所以，方程的两根x1，x2例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2 解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10（1+x）2=14.4（1+x）2=1.44直接开平方，得1+x=±1.2即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%．例3．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s•的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，•P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2BCA Q P解： 设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2则PB=x ，BQ=2x依题意，得：12x ·2x=8 x 2=8根据平方根的意义，得x=±即x 1，x 2可以验证，和都是方程12x ·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值． 所以PBQ 的面积等于8cm 2．例4．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ，•那么二月份的营业额就应该是（1+x ），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x ）2．解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ．那么1+（1+x ）+（1+x ）2=3.31把（1+x ）当成一个数，配方得：（1+x+12）2=2.56，即（x+32）2=2．56 x+32=±1.6，即x+32=1.6，x+32=-1.6 方程的根为x 1=10%，x 2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．归纳小结：共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”． 由应用直接开平方法解形如x 2=p （p ≥0），那么x=转化为应用直接开平方法解形如（mx+n ）2=p （p ≥0），那么mx+n=，达到降次转化之目的．若p ＜0则方程无解 配套练习题一、选择题1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2 2．方程3x2+9=0的根为（）．A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根3．用配方法解方程x2-23x+1=0正确的解法是（）．A．（x-13）2=89，x=13B．（x-13）2=-89，原方程无解C．（x-23）2=59，x1=23+3，x2=23D．（x-23）2=1，x1=53，x2=-13二、填空题1．若8x2-16=0，则x的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．3．如果a、b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．三、综合提高题1．解关于x的方程（x+m）2=n．2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），•另三边用木栏围成，木栏长40m．（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？（2）鸡场的面积能达到210m2吗？3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，•并说明你制作的理由吗？解法二——配方法适用范围：可解全部一元二次方程引例：要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少？列出方程化简后得：x2+6x-16=0x2+6x-16=0移项→x2+6x=16两边加（6/2）2使左边配成x2+2bx+b2的形式→ x2+6x+32=16+9左边写成平方形式→（x+3）2=25 降次→x+3=±5 即x+3=5或x+3=-5解一次方程→x1=2，x2= -8可以验证：x1=2，x2= -8都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m，常为8m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x+p)2=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根．用配方法解一元二次方程小口诀二次系数化为一常数要往右边移 一次系数一半方两边加上最相当例1．用配方法解下列关于x 的方程 （1）x 2-8x+1=0 （2）x 2-2x-12=0 分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．解：略 例2．如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=8m ，CB=6m ，点P 、Q 同时由A ，B•两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，•几秒后△PCQ•的面积为Rt △ACB 面积的一半．B C AQ P分析：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．•根据已知列出等式．解：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半．根据题意，得：12（8-x ）（6-x ）=12×12×8×6 整理，得：x 2-14x+24=0（x-7）2=25即x 1=12，x 2=2x 1=12，x 2=2都是原方程的根，但x 1=12不合题意，舍去．所以2秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半．例3．解下列方程（1）2x 2+1=3x （2）3x 2-6x+4=0 （3）（1+x ）2+2（1+x ）-4=0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x 的完全平方．解：略例4．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数y ，那么（6x+7）2=y 2，其它的3x+4=12（6x+7）+12，x+1=16（6x+7）-16，因此，方程就转化为y•的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法．解：设6x+7=y则3x+4=12y+12，x+1=16y-16依题意，得：y2（12y+12）（16y-16）=6去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72 y2（y2-1）=72，y4-y2=72（y2-12）2=2894y2-12=±172y2=9或y2=-8（舍）∴y=±3当y=3时，6x+7=3 6x=-4 x=-2 3当y=-3时，6x+7=-3 6x=-10 x=-5 3所以，原方程的根为x1=-23，x2=-53例5. 求证:无论y取何值时,代数式-3 y2+8y-6恒小于0. 解：略配套练习题一、选择题1．配方法解方程2x2-43x-2=0应把它先变形为（）．A．（x-13）2=89B．（x-23）2=0C．（x-13）2=89D．（x-13）2=1092．下列方程中，一定有实数解的是（）．A．x2+1=0 B．（2x+1）2=0 C．（2x+1）2+3=0 D．（12x-a）2=a3．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（）．A．1 B．2 C．-1 D．-24．将二次三项式x2-4x+1配方后得（）．A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-35．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（）．A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-116．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m 等于（）．A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或9二、填空题1．方程x2+4x-5=0的解是________．2．代数式2221x xx---的值为0，则x的值为________．3．已知（x+y ）（x+y+2）-8=0，求x+y 的值，若设x+y=z ，则原方程可变为_______，所以求出z 的值即为x+y 的值，所以x+y 的值为______．4．如果x 2+4x-5=0，则x=_______．5．无论x 、y 取任何实数，多项式x 2+y 2-2x-4y+16的值总是_______数．6．如果16（x-y ）2+40（x-y ）+25=0，那么x 与y 的关系是________．三、综合提高题1．用配方法解方程．（1）9y 2-18y-4=0 （2）x 22．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．3．如果x 2-4x+y 2，求（xy ）z 的值．4．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500•元，•市场调研表明：•当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？5．已知：x 2+4x+y 2-6y+13=0，求222x y x y -+的值． 6．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，•为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，•如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．解法三——公式法适用范围：可解全部一元二次方程 首先，要通过Δ=b^2-4ac 的根的判别式来判断一元二次方程有几个根1.当Δ=b^2-4ac<0时 x 无实数根（初中）2.当Δ=b^2-4ac=0时 x 有两个相同的实数根 即x1=x23.当Δ=b^2-4ac>0时 x 有两个不相同的实数根当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac ）}/2a 来求得方程的根求根公式的推导用配方法解方程（1） ax 2－7x+3 =0 (2)a x 2+bx+3=0(3)如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0），试推导它的两个根x 1=2b a-+，x 2这个方程一定有解吗?什么情况下有解？) 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a ）2 即（x+2b a）2=2244b ac a - ∵4a 2>0，4a2＞0, 当b 2-4ac ≥0时2244b ac a-≥0∴（x+2b a）2=(2a )2直接开平方，得：x+2b a=±2a 即x=2b a -±∴x 1=2b a -+x 2=2b a-- 由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子x=2b a-就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。