1-3 晶体对称性

2
2
1 2 3 4 6 2 2 6 4 6
示
平行 斜插纸 纸面 面
二、宏观对称性的组合关系
1. 如果晶体中有两个或两个以上的镜面相交，则每两 个镜面的交线必定是一个对称轴，而对称轴的转角比 定时镜面夹角的二倍。
镜面夹角 180° 90° 60° 45° 30°
旋转轴转 角
360°
180°
120°
90°
Th
Td
O
Oh
晶类（点群）符号 国际符号（全） 国际符号（缩）
1 I（1）
1 I（1）
m
m
2
2
2/m
2/m
3
3
3
3
3m
3m
32
32
32/m
3m
2mm
mm
222
222
2/m2/m2/m
mmm
23
23
2/m3
m3
43m
43m
432
43
4/m32/m
m3m
全对称要素组合
I m(2)
2 2mI
3 3(3I) 33m 332 3323m(3323mI) 23m
三、平移群、布拉菲点阵 例：四方晶系
C→P
F→I
4
晶系 三斜 单斜
菱形
正交
立方
最低对称要素 无
一根二次旋转轴2 或旋转－反演轴2
一根三次旋转轴3 或旋转－反演轴3
三根相互垂直的旋 转轴32或旋转－反 演轴32
四根三次旋转轴43
熊夫列斯符号
C1 Ci（S2） Cs（C1h）
C2 C2h C3 C3i（S6） C3V D3 D3d C2V D2（V） D2h（Vh） T
旋转轴 1 2
346
旋转角 360 ° 180 ° 120 ° 90 ° 60°
操作数 1
2
346
1
① 2次旋转轴
旋转角 180 ° 操作数 2
a b
c
b
+
c
a
对称面
m
－
+
+
+
对称中心 ＋
② 3次旋转轴
旋转角 120 ° 操作数 3
+
+
+
③ 4次旋转轴
旋转角 90 ° 操作数 4 +
+
+
+
④ 6次旋转轴
－
－＋
⑤ 6 次反演轴
－
－＋
－＋
+
+
六次反演轴等效 于3+m
宏观对称性
对称 操作
对称 要素
符
国际
熊夫 列斯
反映 反映面 m
σ
反演
对称中 心
1
i
1
C1
2
C2
旋转 旋转轴 3
C3
4
C4
6
C6
1
2
旋转－ 反演
反演轴
3
4
6
号 全对 称组 合
m
C
L1 L2 L3 L4 L6 L1 L2 L3 L4 L6
图
操作数 垂直 纸面
60°
二、宏观对称性的组合关系
2. 如果晶体中有一对称面，并在此对称面上有一对称 轴，则在此晶体中必有另一对称面，此面与前一对称 面的交线就是对称轴，两镜面的夹角应是轴转角的一 半。
如果对称面上的对称轴为： 2 则必然是两个镜面相交，交线就是2，镜面夹角为90° 3 则必然是三个镜面相交，交线就是3，镜面夹角为60° 4 则必然是四个镜面相交，交线就是4，镜面夹角为45° 6 则必然是六个镜面相交，交线就是6，镜面夹角为30°
平移对称 — 将物体或晶体或点阵的部分按规定的方向平移 一个距离后又恢复原状的对称性
三、平移群、布拉菲点阵
点阵胞
简单点阵胞 复杂点阵胞
体心阵胞 面心阵胞 底心阵胞
点阵胞类型
符号
基本阵 点数
基本阵点坐标
简单阵胞 初基阵胞 P，R
1
000
底心阵胞 C，B
2
复杂阵胞 体心阵胞 I
2
面心阵胞 F
4
000 ; 1 1 0 ; ( 1 0 1 )
与第二方向垂直的方向
立方晶系 第一主轴(abC轴) 〈111〉
〈110〉
结束
6
旋转角 60 ° 操作数 6
+
+
+
+
+
+
4. 旋转-反演对称
是一种复合操作，晶体的一部分先以轴旋转后， 在进行反演操作晶体可恢复到原来的形状。
对称操作
对称 国际 熊夫 全对称 操作 元素 要素 符号 列斯 组合 数 数量
旋转－反演 反演轴 N
无
LN
N或 2N
5种
反演轴 1 2 3 4 6 旋转角 360 ° 180 °120 °90 °60° 操作数 2 2 6 4 6
反演
对称 中心
1
i
c 21
在讨论宏观对称性时，晶体中最多只有一个对称中心
3. 旋转对称
晶体的一部分绕某一轴（或直线）旋转一定 的角度（2π／n)，晶体恢复原来的形状，根据研 究证明，旋转轴只有五种，
对称 操作
对称 要素
国际 熊夫 全对称 操作 元素数
符号 列斯 组合 数
量
旋转 旋转轴 N
CN
LN
N 5种
c
操作 要素 符号 列斯 组合 数 数量
镜面
b
反映 或反 映面
m
σ
m
2 0～9
a′ a
操作数 物体经过若干次操作后恢复原 来形状时的操作次数
1.镜面对称
m
+
+
m
_+
±1 n
只讨论宏观对称性，晶体中最多有9个对称面，这 些面彼此相交，必然相交于一点，不会出现相互 平行的对称面。
2. 反演对称
－
＋
对称 对称 国际 熊夫 全对称 操作 元素 操作 要素 符号 列斯 组合 数 数量
22
22
000 ; 1 1 1 222
000 ; 1 1 0 ; 1 0 1 ; 0 1 1
22
22
22
注：三方晶系用P，菱形晶系用R。底心阵胞用C，侧心阵胞用B
三、平移群、布拉菲点阵
晶系 三斜 单斜
正交
四方 菱形 六方 立方
点阵参数
简单三斜 简单单斜 侧心单斜 简单正交 底心正交 体心正交 面心正交 简单四方 体心四方 简单菱形 简单六方 简单立方 体心立方 面心立方
ห้องสมุดไป่ตู้
符号(垂直于纸面)
同m
① 2 次反演轴
－
+
m
二次反演轴与对称面 完全等效，
从图中可以看出，对 称中心必须在反演轴 上。而等效的反映面 m通过反演中心与反 演轴垂直。
+
② 3 次反演轴
+ －
+ －
3+1
－
3次反演轴与3+1是完 全等效的是可以相互 对换
+
2
④ 4 次反演轴
－
+
+
四次反演轴不同于四
次轴，四次轴的四个等效 点是在同一平面上，而四 次反演轴的等效点分别处 于二组相互平行的平面 内。因此，四次反演轴是 独立存在的
二、宏观对称性的组合关系
3. 在晶体中有一个N次旋转轴，则可以将其分解为N个相 交在同一直线上的N个对称面，确定其中一个对称面的位 置，其余对称面的位置也就确定了。
4. 如果在晶体中有相交于一点的两个旋转轴，则必然通过 此点还有一个旋转轴，此轴的作用与前两个轴的作用等效。
5. 当无限个旋转轴相交于一点时，则此晶体必然无旋转轴对 称性，而交点称为对称中心
§1－3 晶体对称性
对称性
物体体系中各组成部分或内部结构之间 的相互联系、相互作用的一种性质
物体之间或物体中的一部分与另一部分之 间的一种特殊的几何规律
对称操作 显示物体体系对称性的动作
对称要素 进行对称操作时，所依据物体体系中或体
系之外的某些轴、面和点
§1－3 晶体对称性
晶体对称性
宏观对称性（四种）
二、宏观对称性的组合关系
⑥ 2次轴与3次轴相交，当夹角为35.26°（或 144.74°）时，则在晶体中必然同时有4个3次轴和3个2 次轴。 ⑦ 2次轴与4次轴相交，当夹角为90°或45°时，则在晶 体中必然同时有3个4次轴和6个2次轴。
⑧ 3次轴与4次轴相交，当夹角为54.74°（或145.26°） 时，则在晶体中必然同时有4个3次轴和3个4次轴。
5
五、点群、晶类的符号表示方法
国际符号表示方法：
第一个符号
第二个符号
第三个符号
三斜晶系
主轴
单斜晶系
主轴
正交晶系 四方晶系 菱形晶系 六方晶系
主轴a轴
第一主轴(C轴4) 第一主轴(C轴3) 第一主轴(C轴6)
b轴
a或b轴
a或b轴或ar
+
r b
a或b轴或
ar
+
r b
c轴
ar
+
r b
对角线方向
与第二方向垂直的方向
布拉菲点 阵名称
P P B P C I F P I R P P I F
符号
P P B P C I F P I R P P I F
基本阵 点数
1 1 2 1 2 2 4 1 2 1 1 1 2 4
基本阵点坐标