2.3 用公式法求解一元二次方程教学设计演示文稿.3 用公式法求解一元二次方程教学设计演示文稿
用公式法求解一元二次方程 教学设计
课题2.3用公式法求解一元二次方程教学设计第一环节感悟导入活动内容：1．复习一般形式.2．复习配方法：（1）x2-2x-99=0 （2）2x2-9x+8=0配方法解一元二次方程的过程一般比较麻烦，但基本步骤却是有固定程序的，你能据此得出更为简洁的解法吗？自主预习课本41页—42页“议一议”以上的内容，尝试解决以下预习题，并准备上课展示.设计意图：进一步夯实用配方法解方程的一般步骤, 根据上节课作业情况，结合这两个题指出易错的地方，为推导求根公式做铺垫.第二环节自主探究活动内容:1．试着用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）——推导公式2. 仿照例题，用公式法解下列方程：2x2-9x+8=03.总结公式法解一元二次方程的一般步骤：（每步试着用一个字概括！）(1)_______(2)________(3)_________ (4)________ (5)_________设计意图：让学生亲身经历公式的推导过程，只有经历了推导过程，才能发现问题、总结经验，形成自己的感知.效果：运算的符号出现和通分出现错误，没注意到到只有当b2-4ac ≥0时，两边才能开平方，两边开平方，忽略取“±”，个别学生还不等独立完成.第三环节：合作竞学活动内容:1.用公式法解一元二次方程：(1) x2-18=7x (2) 9x2+6x+1=0 (3) x(x-3)+5=02.观察以上方程根的情况，你有什么发现？微课讲解【知识点二】根的判别式设计意图：通过让学生上黑板解方程，展示学生的思维过程，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度，并用微课加深学习的理解记忆.效果：引导学生分析，学生口答、板书，笔答，对比，评价，总结．大部分学生能够正确、熟练的用公式法解方程.第四环节：巩固训练活动内容:1. 不解方程，判断根的情况：（1）4x2+1=4x (2)4y(y-1)+3=0 (3) 4x2+mx-1=0 2.你能为下列方程选择合适的解法吗？（1）3x2-54=0 （2）x2-2x=8 （3）210y+=设计意图：及时巩固根的判别式和解法,激发学习积极性.效果：通过练习学生能掌握知识，并灵活选用方法.第五环节：反思提升活动内容:这节课你有哪些收获？设计意图：让学生畅所欲言，大胆谈自己的收获和感想，鼓励和引导学生发现和挖掘新事物，检查学生这节课的学习情况，是否把握了重难点，对于没有提到的，要给予补充.效果：使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．第六环节：达标测试活动内容:A 组（基础题）1.方程3x2－2x＋1＝0的根的判别式等于______,所以此方程根的情况是_____________．2. 用公式法解下列方程：(1)210x x+-= (2) x(x-3)=4B 组（提高题）1. 解方程 032322=--x x 2. 如果关于x 的方程x 2－2x ＋k ＝0有两个不相等的实数根，求实数k 的取值范围．设计意图：当堂检测也是自我检查学习情况的一个过程，教师也能及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，明确哪些学生需要在课后加强辅导．效果：学生对知识掌握很好，达标率较高，每个学生得到应有的发展．第七环节：布置作业1. A 组： P 43 习题2.5, 第1、2题B 组（选做）：习题2.5 第3、4题2.在下面空白处画出本节课的思维导图（看谁设计的好！）。
2.3 用公式法求解一元二次方程(二)教学设计
第二章一元二次方程２．用公式法求解一元二次方程（二）一、教学目标是:（1）通过一元二次方程的建模过程，体会方程的解必须符合实际意义，增强用数学的意识，巩固解一元二次方程的方法；(2)通过设计方案培养学生创新思维能力，展示自己驾驭数学去解决实际问题的勇气、才能及个性。
二、教学重难点：用公式法求解一元二次方程三、教学过程分析整个教学过程共分七个环节进行。
第一环节：知识回顾；第二环节：情境引入；第三环节：方案设计；第四环节：问题解答；第五环节：学以致用；第六环节：反思归纳；第七环节：布置作业。
第一环节：知识回顾活动内容：你能举例说明什么是一元二次方程吗？它有什么特点？怎样用配方法解一元二次方程？怎样用公式法解一元二次方程？第二环节：情境引入活动内容：师提出问题：现在我遇到这样的问题，看大家能否帮我解决？在一块长为１６m，宽为１２m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。
你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？第三环节：方案设计活动内容：学生先自己设计，画出草图，然后到黑板上展示、交流自己的作品。
活动目的：通过征集设计方案，激发学生的内在动力。
先独立思考，独自设计，再合作交流、互相补充，充分发挥学生的主体作用，使教师真正成为学生学习的组织者、促进者、合作者。
教学效果：学生的设计多种多样，这里只选具有代表性的几种。
(1) (2) (3) (4)(5) (6) (7)在学生自行设计和展现作品时，教师可以提出具有挑战性、开放性的问题，以激发学生的学习热情的问题：（1）怎样知道你的设计是符合要求的？你能说明你的设计是符合要求的吗？（2）以上图形哪些可以直接说明符合上面条件的？剩下的图形怎样通过计算来说明？同时让学生知道设计得对与否，数据是最好的说明，如何来计算数据，通过列一元二次方程来解决，这样顺利引入本课的研究内容。
此外，课堂上没来的及展示的可以留作课后探讨，这样做也体现了“不同的人在数学上得到不同的发展”的课程理念，既没超出教材的要求，又达到了适当拔高、激发学生学习兴趣以及培养能力的目的。
《用公式法解一元二次方程》教案设计
《用公式法解一元二次方程》教案设计教学目标1.知识与技能：o掌握一元二次方程的一般形式 ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)。
o理解一元二次方程的求根公式，并能正确应用公式求解。
2.过程与方法：o通过实例演示和练习，学会用公式法解一元二次方程。
o培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
3.情感、态度与价值观：o激发学生对数学学习的兴趣。
o培养学生的团队合作精神和解决问题的能力。
教学重点与难点●教学重点：掌握求根公式的应用。
●教学难点：正确识别方程系数并代入求根公式。
教学准备●黑板或多媒体教学设备●一元二次方程的例子和练习题教学过程一、导入新课（5分钟）●回顾一元二次方程的定义和一般形式。
●提问学生：我们之前学过哪些解一元二次方程的方法？（如因式分解法）●指出本节课要学习的新方法——公式法。
二、讲授新课（15分钟）1.介绍一元二次方程的求根公式：o x = [-b ±√(b^2 - 4ac)] / (2a)o强调公式中各部分的含义和来源。
2.演示如何使用求根公式：o选择一个典型的一元二次方程（如 x^2 - 5x + 6 = 0）作为例子。
o引导学生识别方程的系数 a, b, c。
o代入求根公式，逐步计算。
o得出方程的解，并验证解的正确性。
3.讲解公式的适用条件：o强调公式适用于所有一元二次方程，但需注意 b^2 - 4ac 的值决定了方程的根的性质（实数根或复数根）。
三、课堂练习（10分钟）●分发练习题，让学生尝试用公式法解一元二次方程。
●巡视指导，及时纠正学生的错误。
●提问学生，让他们分享解题思路和答案。
四、总结提升（5分钟）●总结求根公式的应用要点。
●强调在解题过程中要注意的细节和常见错误。
●提出拓展问题，引导学生思考如何应用公式法解决更复杂的问题。
五、布置作业（5分钟）●布置相关练习题，要求学生课后完成。
●提醒学生注意解题步骤的规范性和准确性。
教学反思●课后反思教学过程，评估学生的掌握情况。
2.3 用公式法求解一元二次方程(第1课时)
2
������
������������ ������������
������ =
������������ ������������
������ - ,
������
������
即(x+ ) =
������������
������������ -������������������ ������������������
一课一案 创新导学
2.3
用公式法求解一元
二次方程
第 1 课 时
一课一案 创新导学
学习目标
1.会用配方法推导求根公式,会利用求根公式解一元二次
方程.
2.知道一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式与根 的关系.
学习重点
会用求根公式解简单数字系数的一元二次方程.
一课一案 创新导学
你能用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)吗?
.
一课一案 创新导学
1.方程 x +x-1=0 的一个根是( A.1- ������ C.-1+ ������
2
2
D
)
B.
������- ������ ������ -������+ ������ ������
D.
2.一元二次方程 y +2y-4=0 的根的情况为 ( C ) A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.不能确定
பைடு நூலகம்
,为什么
是 x=
-������± ������������ -������������������ ������������
公式法解一元二次方程.3 用公式法求解一元二次方程(第一课时)教学设计 (新版)北师大版
用公式法求解一元二次方程（一）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在上一节课的基础上，大部分学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程.学生活动经验基础：学生已经具备利用配方法解一元二次方程的经验；用公式加以归纳总结的数学建模意识，并且已经具备本节课所需要的推理技能和逻辑思维能力.二、教学任务分析公式法实际上是配方法的一般化，利用总结出来的公式可更加便利地求解一元二次方程。
所以首先要夯实上节课的配方法，在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。
其中，引导学生自主的探索，正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一；正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高学生的综合运算能力是本节课的重点和难点。
本节课的教学目标是：①学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。
②能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，培养学生观察和总结的能力.③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。
④通过在探求公式过程中的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力三、教学过程分析本课时分为以下五个教学环节：第一环节：回忆巩固；第二环节：探究新知；第三环节：巩固新知；第四环节：收获与感悟；第五环节：布置作业。
第一环节；回忆巩固活动内容：①用配方法解下列方程：(1)2x2+3=7x (2)3x2+2x+1=0②由学生总结用配方法解方程的一般方法:第一题： 2x2+3=7x 解：将方程化成一般形式: 2x2-7x +3=0 两边都除以一次项系数:2023272=+-x x配方:加上再减去一次项系数一半的平方0231649)47(2722=+-+-x x即:1625)47(2=--x1625)47(2=-x两边开平方取“±” 得：4547±=-x 4547±=x写出方程的根 ∴ x1=3 , x2=21第二题： 3x2+2x+1=0 解：两边都除以一次项系数:3031322=++x x配方:加上再减去一次项系数一半的平方02391)31(3222=+-++x x即:1825)31(2=++x1825)31(2-=+x ∵01825<-∴原方程无解活动目的：（1）进一步夯实用配方法解方程的一般步骤.在这里相对于书上的解题方法作了小小的改动：没有把常数项移到方程右边，而是在方程的左边直接加上再减去一次项系数一半的平方，这样做的目的是为了与以后二次函数一般式化顶点式保持一致。
北师大版初三数学上册2.3 用公式法求解一元二次方程演示文稿.ppt.3 用公式法求解一元二次方程演示文稿
∴ x b b 2 4ac
2a
7 25 7 5
22
4
即x1=3,x2=
1 2
解:
73 x2 x 0
22
x27x(7)24930
2 4 16 2
(x 7)2 250 4 16
(x 7)2 25 4 16
x 7 5 44
x26,x21.0
A0.
四、感悟与收获
通过本节课的学习你学到了哪些知识？认为学的比较 好的内容是什么？不足又是什么？与同学交流一下。
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式是什么？ 2、如何判断一元二次方程根的情况？ 3、用公式法解一元二次方程的一般步骤？ 4、用公式法解方程应注意的问题是什么？
∴原方程无解
三、巩固新知（练一练）
1、判断下列方程根的情况： (1)x2-7x-18=0 (2)4x2+1=4x
我最棒,解题规范正确!
(3)x2-2x+3=0
(4)2x2-4x-1=0 (5)4x(x-1)+3=0 (6)(x-2)(3x-5)=1
2、上述方程如果有解，求出该方程的解。
心动 不如行动
x75 44
x 3 x 1
1
22
比一比谁简洁
（3）3x2+2x+1=0
解:a=3,b=2,c=1
b2-4ac =22-4×2×1 =-4<0
∴ 方程无解
x2 2x10 33
x22x(1)2110 3 3 93
(x 1)2 2 0 39
(x1)2 2 39
∵ 2 0 9
x 7 5 44
2.3.1用公式法解一元二次方程 课件(共20张PPT)
典例精讲
【题型三】公式法的应用
例 4：已知等腰三角形的一腰长为x，周长为 20，则方程x²12x+31=0的根为 6+ 5
.
例 5：若x²+3xy-2y²=0，则
点拨：方程两边同时乘
=
,得
− ±
.
+ × − = ,
设 = ,则 ² + − = ,
(2)确定 a、b、c的值;
(3)计算b²-4ac的值;
(4)当b²-4ac≥0时，把a、b、c的值代入一元二次方程的求根公式，求得方
程的根;当b²-4ac <0时,方程没有实数根.
注意： 虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非
是最简单的，一定要注意方法的选择.
典例精讲
例 1：
【题型一】公式法解一元二次方程的逆用及根的判别式
典例精讲
【题型二】已知方程根的情况求参数的值或取值范围
例 2：若关于x的一元二次方程 − ² + + = 有两个相
等的实数根，则点P(m-3,-m+4)在第 二
象限.
例3：已知关于x的方程 − ²² + + + =
有实数根，则 k的取值
范围是 k≥ .
3 用公式法求解一元二次方程
第1课时 用公式法解一元二次方程
1.通过阅读课本学生可以利用公式法解数字系数的一元二次方程，
并会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，全面提高
学生解方程的能力.
2.通过阅读课本学生可以用配方法推导求根公式，培养学生推理
2.3公式法求解一元二次方程(教案)
今天在教授2.3节“公式法求解一元二次方程”时，我注意到了几个关键点。首先，我发现学生们对于一元二次方程的基本概念掌握得还算不错，但在具体运用求根公式时，部分学生出现了混淆和错误。这让我意识到，在讲解公式运用时，需要更加细致地解释每一步的计算过程，特别是对于判别式的理解和计算。
在讲授过程中，我尝试通过生动的案例和实际问题来引导学生理解一元二次方程的应用，效果似乎不错。学生们在分组讨论时表现得相当积极，能够将理论知识与实际问题联系起来。然而，我也观察到有些小组在讨论时偏离了主题，这可能是因为我对讨论主题的引导不够明确，今后的教学中我需要更加注意这一点。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元二次方程的基本概念、求根公式及其在实际中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一元二次方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调求根公式和判别式这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解如何计算并分析根的情况。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示一元二次方程在实际中的应用和求解过程。
-解决实际问题时，如何将问题转化为标准的一元二次方程，并应用求根公式。
举例解释：
-对于判别式Δ的计算，学生可能会在计算过程中忘记负号，导致错误判断根的情况。
《公式法解一元二次方程》教学设计3
用公式法解一元二次方程教案 一、教学目标(1)会用公式法解一元二次方程;(2)经历求根公式的发现和探究过程,提高学生观察能力、分析能力及逻辑思维能力;(3)渗透化归思想,领悟配方法,感受数学的内在美.二、（1）教学重点知识层面:公式的推导和用公式法解一元二次方程;能力层面:以求根公式的发现和探究为载体,渗透化归的数学思想方法.（2）教学难点:求根公式的推导.三、总体设计思路:以旧知识为起点,问题为主线,以教师指导下学生自主探究为基本方式,突出数学知识的内在联系与探究知识的方法,发展学生的理性思维.四、教学过程（1）整体教学流程:形成表象,提出问题 （2）分析问题,探究本质（3）得出结论,解决问题 （4）拓展应用,升华提高（5） 归纳小结,布置作业.（一）形成表象,提出问题在上一节已学的用配方法解一元二次方程的基础上创设情景.解下列一元二次方程:(学生选两题做)(1)x2+4x+2=0 ; (2)3x2-6x+1=0;(3)4x2-16x+17=0 ; (4)3x2+4x+7=0.然后让学生仔细观察四题的解答过程,由此发现有什么相同之处,有什么不同之处?接着再改变上面每题的其中的一个系数,得到新的四个方程:(学生不做,思考其解题过程)(1)3x2+4x+2=0; (2)3x2-2x+1=0;(3)4x2-16x-3=0 ; (4)3x2+x+7=0.思考:新的四题与原题的解题过程会发生什么变化?设计意图:1.复习巩固旧知识,为本节课的学习打下更好的基础;2.让学生充分感受到用配方法解题既存在着共性,也存在着不同的现象,由此激发学生的求知欲望.（二）分析问题,探究本质由学生的观察讨论得到:用配方法解不同一元二次方程的过程中,相同之处是配方的过程----程序化的操作,不同之处是方程的根的情况及其方程的根.进而提出下面的问题:既然过程是相同的,为什么会出现根的不同?方程的根与什么有关?有怎样的关系?如何进一步探究?让学生讨论得出:从一元二次方程的一般形式去探究根与系数的关系. ax2+bx+c=0(a ≠0)移项，得 ax2+bx=-c二次项系数化为1，得 2.b c x x a a +=- 配方，得222,22b b c b x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即 2224.24b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭注:根据学生学习程度的不同,可以采用学生独立尝试配方, 合作尝试配方或教师引导下进行配方等各种教学形式.然后再议开方过程(让学生结合前面四题方程来加以讨论),使学生充分认识到“b2-4ac ”的重要性.当b2-4ac ≥0时,当b2-4ac<0时,方程无实数根.设计意图:让学生通过经历知识形成的全过程,从而提高自身的观察能力、分析问题和解决问题的能力,发展了理性思维.（三） 得出结论,解决问题由上面的探究过程可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠0)的根由方程的系数a,b,c 确定. 当b2-4ac ≥0时,x=;当b2-4ac<0时,方程无实数根.这个式子对解题有什么帮助?通过讨论加深对式子的理解,同时让学生进一步感受到数学的简洁美、和谐美.进而阐述这个式子叫做一元二次方程的求根公式,利用它解一元二次方程的方法叫做公式法.运用公式法解一元二次方程.(设计两个环节:共同练习和独立完成)[共同练习](1)2x2-x-1=0; (2)4x2-3x+2=0 ;(3)x2+15x=-3x; (4)x2-x+=0.此环节的设计意图:进一步阐述求根公式,归纳总结用公式法解一元二次方程的一般步骤.[独立完成]用公式法解一元二次方程:(1)x2+x-6=0; (2)x2-x-=0; (3)3x2-6x-2=0;(4)4x2-6x=0; (5)x2+4x+8=4x+11; (6)x(2x-4)=5-8x. 此环节的设计意图:能够熟练运用公式法解一元二次方程,让每位学生都有所收获.（四） 拓展运用,升华提高分两个环节:用一用和想一想(此环节基于学生课堂掌握的情况而定,可作为课后思考题).[用一用]解决本章引言中的问题:要设计一座2m高的人体雕像,使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以小)的高度比,等于下部与全部的高度比,雕像的下部应设计为多高?雕像上部的高度AC,下部的高度BC应有如下关系:即BC2=2AC.设雕像下部高xm,于是得方程x2=2(2-x)整理得:x2+2x-4=0.解这个方程,得选择一项。
第1课时 用公式法求解一元二次方程教案精选教案3
2.3 用公式法求解一元二次方程第1课时 用公式法求解一元二次方程教学时间 课题用公式法求解一元二次方程课型 新授教学媒体多媒体教 学 目 标知识 技能1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况.3.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程.过程 方法1.经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解公式的基础.；2.通过对公式的推导，认识到一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程，操作简单.3.提高学生的运算能力，并养成良好的运算习惯. 情感 态度1.感受数学的严谨性和数学结论的确定性.2.提高学生运算能力，使学生获得成功体验，建立学习信心. 教学重点 求根公式的推导，公式的正确使用 教学难点求根公式的推导教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习引入导语：我们学习了用配方法解数字系数的一元二次方程，能否用配方法解一般形式的一元二次方程()002≠=++a c bx ax ？二、探究新知活动1.学生观察下面两个方程思考它们有何异同？○1；6x 2-7x+1=0 ○2()002≠=++a c bx ax 活动2.按配方法一般步骤同时对两个方程求解：1.移项得到6x 2-7x=-1，c bx ax -=+22.二次项系数化为1得到acx a b x x x -=+-=-22,61673.配方得到 x 2-76x+（712）2=-16+（712）2 x 2+b a x+（2b a ）2=-c a+（2b a ）2 教师提出问题，学生思考. 学生观察思考尝试回答学生对比进行配方，通过自主探究，合作交流，展开对求根公式的推导为推导公式作铺垫，激发学生探索欲望 学生回顾配方法的解题思路，从数字系数过渡到字母系数进行配方，推导公式对比探究，结合字母表示数的特点，尝试推导求根公式，培养学生发现问题的能力 通过学生亲自解方程的感受与经验，体会数式通性，为感受数学的严谨性和数学结论的确定性.4.写成（x+m ）2=n 形式得到（x-712）2=25144，（x+2b a）2=2244b ac a -5.直接开平方得到x-712=±512，注意：（x+2b a）2=2244b ac a -是否可以直接开平方？活动3.对（x+2b a ）2=2244b ac a -观察，分析，在0≠a 时对2244b ac a -的值与0的关系进行讨论活动4.归纳出一元二次方程的根的判别式和求根公式，公式法.活动5.初步使用公式解方程6x 2-7x+1=0.活动6.总结使用公式法的一般步骤：○1把方程整理成一般形式，确定a,b,c 的值，注意符号○2求出ac b 42-的值，方程()002≠=++a c bx ax ，当Δ＞0时，有两个不等实根；Δ=0时有两个相等实根；Δ<0时无实根.○3在ac b 42-≥0的前提下把a ，b ，c 的值带入公式x=242b b ac a-±-进行计算，最后写出方程的根.三、课堂训练1.利用一元二次方程的根的判别式判断下列方程的根的情况（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x 2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x 2-3x+1=02.课本例题 四、小结归纳 本节课应掌握：1.用根的判别式判断一个一元二次方程是否有实数根2.用求根公式求一元二次方程的根3. 一元二次方程求根公式适用于任意一个一元二次方程. 五、作业设计 习题2.5补充作业：某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A 千瓦时，•那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A 千瓦时，那么这个月除了交10•元用电费外超过部分还要按每千瓦时100A 元收费．（1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A 千瓦时，则超过部分电费为多少元？（•用A 表示）（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况让学生尝试对2244b ac a -的值进行分析学生尝试归纳，师生总结 学生初步使用公式，教师规范板书。
22.2.3 用公式法解一元二次方程 教学案
第3课时 用公式法解一元二次方程自主学习案● 明确学习内容教材第34至37页● 理清学习目标1.理解一元二次方程求根公式的推导.2.会用求根公式解简单数字系数的一元二次方程.3．理解一元二次方程的根的判别式，并会用它判别一元二次方程根的情况．● 清晰重点难点1. 求根公式的推导和公式法的应用（重点）.2. 一元二次方程求根公式法的推导（难点）.● 自主预习练习1.自学课本第34至37页.2.学习至此：请完成学生用书“自主学习案”部分.● 激情导入十分展示图片并提问:北仑电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A 千瓦时，那么这用户居民这个月只交10元电费，如果超过A 千瓦时，那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时100A 元收费,如果一个用户3月份用电80千瓦时，所交电费为15元，试求A 是多少？（依题意得:()510080=∙-A A ,除配方法外用什么方法解这个方程较为简单？） 请同学们独立完成下面问题:1. 用配方法解下列方程：（1）x ²－4x －7＝0；（2）5x ²－3x ＝x ＋1．2. 用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？同学们，我们还可以运用什么方法解上面两个方程，请大家思考一下.学生思考回答：归纳导入：配方法是我们求解一元二次方程时常用的方法，但有时配方过程较为繁琐，用配方法求解一元二次方程较为麻烦，除了配方法外还有一种求解一元二次方程的通用方法──公式法；什么是公式法？用公式法求解都有哪些步骤？今天我们就这些内容进行探究. 课堂探究案● 聚焦主题合作探究用公式法解一元二次方程活动一：阅读教材34至36页的内容，相互交流用公式法解下列方程：（1）x ²－4x －7＝0；（2）2x ²－22x ＋1＝0；（3）5x ²－3x ＝x ＋1；（4）x ²＋17＝8x ．【展示点评】将一元二次方程写成()002≠=++a c bx ax 的形式，用求根公式a ac b b x 242-±-=求解方程，（1）;112,11221-=+=x x （2）;2221==x x （3）;51,121-==x x （4）无实数根. 【小组讨论1】(1)用公式法解一元二次方程的前提条件是什么？【反思小结】在用公式法解一元二次方程时，首先应该将方程化成一般形式，确定方程中a ，b ，c 的值，然后计算b 2－4ac ，若b 2－4ac ≥0就可继续往下计算．正确地确定各项系数（包括符号）以及准确运算是用公式法解一元二次方程的关键．【针对训练】1．利用求根公式求5x 2＋12＝6x 的根时，a ，b ，c 的值分别是（ ） A ．5，12，6 B ．5，6，12 C ．5，－6，12 D ．5，－6，－122．用公式法解方程 3x 2＋5x －2＝0．一元二次方程根的判别式的应用活动二：阅读教材第36,37页内容并求解教材第42页第4题，相互交流思考下面的问题:（1）一元二次方程根的判别式与根的情况有何关系？(2)如何用根的判别式不解方程判断方程根的情况？【展示点评】将一元二次方程写成()002≠=++a c bx ax 的一般形式，ac b 42-=∆叫做一元二次方程根的判别式，时，0>∆方程有两个不相等的实数根，时，0=∆方程有两个相等的实数根，时，0<∆方程无实根；使用时先将一元二次方程写成()002≠=++a c bx ax 的一般形式，计算∆，比较∆与0便可直接判断方程根的情况.【小组讨论2】(1)一元二次方程根的判别式在使用时应注意什么？【反思小结】一元二次方程的根的情况可以直接根据判别式“∆”与0的大小关系进行判断；另外，一元二次方程根的判别式在应用时，往往忽视二次项的系数不为零这个重要条件，导致解题结果片面或错误．【针对训练】3. 已知一元二次方程 x 2 ＋x －1＝0，下列判断正确的是（ ）A ．该方程有两个相等的实数根B ．该方程有两个不相等的实数根C ．该方程无实数根D ．该方程根的情况不确定4. 若关于x 的一元二次方程x 2＋mx －n ＝0有两个相等的实数根，则符合条件的一组m ，n 的实数值可以是m ＝ ，n ＝ ．● 总结梳理整合提高1.用公式法解一元二次方程的一般步骤是：(1)将方程化为一般形式：()002≠=++a c bx ax ;(2)正确确定a ，b ，c 的值；(3)代入公式242b b ac x a -±-=求解，若b 2－4ac ≥0，则方程有实数根，若b 2－4ac <0，则方程无实数根．随堂检测案● 针对训练规律总结请随机完成学生用书“课堂探究案”中针对训练部分.● 当堂检测反馈矫正1．一元二次方程x (x －2)＝0根的情况是（ A ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根2． 关于x 的一元二次方程x 2＋(m －2)x ＋m ＋1＝0有两个相等的实数根，则m 的值是（ D ）A ．0B ．8C ．4±22D ．0或83．用公式法解方程x 2＝－8x －15，其中b 2－4ac ＝4，x 1＝3-，x 2＝5-．4．（2012年德州）若关于x 的方程ax 2+2（a +2）x +a =0有实数解，那么实数a 的取值范围是 a ≥﹣1 ．5．用公式法解下列方程：（1）x 2－7x －18＝0；（2）2x 2－9x ＋8＝0；（3）9x 2＋6x ＋1＝0；（4）16x 2＋8x ＝3．【答案】(1)129,2;x x ==-(2) 12917917,;4444x x =+=-(3) 121;3x x ==-(4) 1213,;44x x ==- 课后评价案● 课后作业测评1.上交作业 教科书第42页习题22.2第5,题.2.课后作业 见“学生用书”的“课后评价案”部分.● 教学反思在线。
用公式法解一元二次方程教学设计
第二章一元二次方程３．用公式法求解一元二次方程（一）教学目标知识点1．一元二次方程的求根公式的推导。
2．会用求根公式解一元二次方程。
3. 能根据一元二次方程的系数判断根的情况。
能力训练要求1．通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力。
2．会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程。
情感与价值观要求通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯。
教学重点1. 正确推导出一元二次方程的求根公式2.正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高综合运算能力。
教学难点1. 正确推导出一元二次方程的求根公式2.正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高综合运算能力。
教法学法启发引导与自主探索相结合。
教学过程第一环节: 回顾巩固1.用配方法解下列方程：(1)2x2+3=7x (2)3x2+2x+1=02.总结用配方法解方程的一般方法:第二环节:探究新知活动一：自主推导求根公式。
提出问题：解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)学生可互相交流推导过程及碰到的问题，然后由师生共同讨论推导过程。
活动二：归纳总结公式法定义和根的判别式。
在推导过程中碰到开平方时自动导入对b2-4ac的判断（1） b2-4ac≥0时可以开平方，方程有两个不相等的实数根。
（2） b2-4ac=0时可以开平方，方程有两个相等的实数根。
（3） b2-4ac＜0时不可以开平方，方程没有实数根。
第三环节：巩固新知1、判断下列方程是否有解：（学生口答）(1) 2x2+3=7x （2）x2-7x=18 （3）3x2+2x+1=0（4）9x2+6x+1=0 (5)16x2+8x=3 (6)2x2-9x+8=0学生迅速演算或口算出b2-4ac,从而判断出根的情况。
2、上述方程如果有解，求出方程的解请几名同学到黑板上书写过程。
师生共同指正过程并强调书写格式。
3、当堂检测（1）一个直角三角形三边的长为三个连续的偶数，求这个三角形的三条边长。
2.3 第1课时 用公式法求解一元二次方程
2.3 用公式法求解一元二次方程第1课时 用公式法求解一元二次方程学习目标：1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．2．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax 2+bx+c=0（a ≠0）•的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点 ：一元二次方程求根公式法的推导【预习案】学前准备（学生活动）用配方法解下列方程（1）6x 2-7x+1=0 （2）4x 2-3x=52总结用配方法解一元二次方程的步骤是什么？【探究案】探究点1：如何用公式法来解一元二次方程.1 如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．我们来讨论一般形式的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)因为a ≠0，方程两边都除以a ，得x 2＋ x ＋ ＝0移项，得 x 2＋ x ＝－a c 配方，得 x 2＋2·x ·ab 2＋( )2＝( )2－ac 即 (x ＋ ) 2＝2244aac b ∵a ≠0，∴4 a 2＞0，当b 2－4 ac ≥0时，直接开平方，得x ＋ ＝±aac b 242- ∴ x ＝-ab 2±a ac b 242-, 即 x ＝aac b b 242-±-. 由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公式： 即x=242b b ac a-±- 利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.探究点2：公式法中根与判别式之间的关系.一元二次方程根的情况与一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？有什么关系？通过 解下列方程你有什么发现？（1） x 2+x-1=0 （2）x 2-2x+3=0 （3）2x 2-2x+1=0小结（1）当b 2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根.（2）当b 2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根.（3）当b 2－4ac<0时，方程没有实数根.把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的判别式注：（1）当b 2－4ac ≥0时，方程的根的情况如何叙述？（2）上述的叙述：反过来也成立.例1.不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）2x 2+3x －4 = 0； （2）1.6y 2+0.9 = 2.4y ； （3）5（x 2+1）－7x = 0.例2:解下列方程(1) 2 x 2＋x －6＝0 (2)4x 2＋4x ＋10＝1－8x.【训练案】1用适当的方法解下列方程：(1) 4x 2－3x －1＝x －2 (2) 3x (x －3) ＝2(x －1) (x ＋1)2一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________，条件是________．3当x=______时，代数式x 2-8x+12的值是-4．4关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m 2+2m-3=0有一根为0，则m 的值是_____．5方程x 2—5x —1=0( )A ．有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根C ．没有实数根D 。
2.3 第1课时 用公式法求解一元二次方程
例7:不解方程，判断下列方程的根的情况． (3) 7y=5(y2+1).
解：（3）方程化为：5y2－7y+5=0, ∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0. ∴方程有两个相等的实数根．
随堂练习
1.解方程：x2 +7x – 18 = 0. 解：这里 a=1, b= 7, c= -18.
3
3
的值
0
1
4
3
根的 情况
有两个相等 的实数根
没有实数根
有两个不相 等的实数根
要点归纳
根的判别式使用方法 1.化为一般式，确定a,b,c的值. 2.计算 的值，确定 的符号. 3.判别根的情况，得出结论.
例5:已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是( B ) A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定
所以b=-10或b=2.
将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4； 将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（舍去）；
所以△ABC 的三边长为4，4，5， 其周长为4+4+5=13.
课堂小结
公式法
求根 公式
x b b2 4ac 2a
根的判别式b2-4ac
务必将方程化 为一般形式
4
解：（1）2x2+3x-4=0，a=2,b=3,c=-4,
∴b2-4ac=32-4×2×(-4)=41＞0.
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）x2-x+ 1 =0,a=1,b=-1,c= 1 .
4
4
∴b2-4ac=(-1)2-4×1× 1 =0.
2.3 第1课时 用公式法求解一元二次方程1
2．3用公式法求解一元二次方程第1课时用公式法求解一元二次方程1．理解一元二次方程求根公式的推导过程；2．会用公式法解一元二次方程；(重点)3．会用根的判别式b2－4ac判断一元二次方程根的情况及相关应用．(难点)一、情景导入如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用配方法的步骤求出它们的两根？请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，且b2－4ac≥0，试推导它的两个根x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac 2a.二、合作探究探究点一：用公式法解一元二次方程方程3x2－8＝7x化为一般形式是__________，其中a＝________，b＝________，c＝________，方程的根为____________．解析：将方程移项可化为3x2－7x－8＝0.其中a＝3，b＝－7，c＝－8，因为b2－4ac ＝(－7)2－4×3×(－8)＝145＞0，代入求根公式可得x＝7±1456.故答案分别为3x2－7x－8＝0，3，－7，－8，7±1456.方法总结：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由方程的系数a，b，c确定的，只要确定了系数a，b，c的值，代入公式就可求得方程的根．用公式法解下列方程：(1)－3x2－5x＋2＝0; (2)2x2＋3x＋3＝0；(3)x2－2x＋1＝0.解析：先确定a，b，c及b2－4ac的值，再代入公式求解即可．解：(1)－3x2－5x＋2＝0，3x2＋5x－2＝0.∵a＝3，b＝5，c＝－2，∴b2－4ac＝52－4×3×(－2)＝49＞0，∴x＝－5±492×3＝－5±76，∴x1＝13，x2＝－2；(2)∵a＝2，b＝3，c＝3，∴b2－4ac＝32－4×2×3＝9－24＝－15＜0，∴原方程没有实数根；(3)∵a＝1，b＝－2，c＝1，∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，∴x＝2±02×1＝2±02，∴x1＝x2＝1.方法总结：用公式法解一元二次方程时，首先应将其变形为一般形式，然后确定公式中a，b，c的值，再求出b2－4ac的值与“0”比较，最后利用求根公式求出方程的根(或说明其没有实数根)．探究点二：一元二次方程根的判别式【类型一】用根的判别式判断一元二次方程根的情况已知一元二次方程x2＋x＝1，下列判断正确的是()A．该方程有两个相等的实数根B．该方程有两个不相等的实数根C．该方程无实数根D．该方程根的情况不确定解析：原方程变形为x2＋x－1＝0.∵b2－4ac＝12－4×1×(－1)＝5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.方法总结：判断一元二次方程根的情况的方法：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，方程无实数根．【类型二】根据方程根的情况确定字母的取值范围若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0，有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A．k>－1 B．k>－1且k≠0C．k<1 D．k<1且k≠0解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2－4ac>0，同时要求二次项系数不为0，即⎩⎨⎧（－2）2－4·k·（－1）>0，k≠0.解得k>－1且k≠0，故选B.易错提醒：利用b2－4ac判断一元二次方程根的情况时，容易忽略二次项系数不能等于0这一条件，本题中容易误选A.【类型三】根的判别式与三角形的综合应用已知a，b，c分别是△ABC的三边长，当m>0时，关于x的一元二次方程c(x2＋m)＋b(x2－m)－2m ax＝0有两个相等的实数根，请判断△ABC的形状．解析：先将方程转化为一般形式，再根据根的判别式确定a，b，c之间的关系，即可判定△ABC的形状．解：将原方程转化为一般形式，得(b＋c)x2－2m ax＋(c－b)m＝0.∵原方程有两个相等的实数根，∴(－2m a)2－4(b＋c)(c－b)m＝0，即4m(a2＋b2－c2)＝0.又∵m≠0，∴a2＋b2－c2＝0，即a2＋b2＝c2.根据勾股定理的逆定理可知△ABC为直角三角形．方法总结：根据一元二次方程根的情况，利用判别式得到关于一元二次方程系数的等式或不等式，再结合其他条件解题．三、板书设计用公式法解一元二次方程错误!经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解求根公式的基础．通过对求根公式的推导，认识到一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程，操作简单．体会数式通性，感受数学的严谨性和数学结论的确定性．提高学生的运算能力，并养成良好的运算习惯.。
用公式法求解一元二次方程教学设计(1)
2.3 用公式法求解一元二次方程1．能够建立一元二次方程模型解决有关面积的问题；(重点、难点)2．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．(难点)阅读教材P44～46，完成下列问题：一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个正方形，制成高是5㎝，容积是500㎝3的无盖长方体求这块铁皮的长和宽。
如何设未知数？如何找出表达实际问题的相等关系？这个问题中的相等关系是什么？一般情况下，应设要求的未知量为未知数；应从题中寻找未知数所表示的未知量与已知量之间的等量关系；这个问题的等量关系是“长×宽×高=容积”与“长=宽×2”。
活动1 小组讨论探究点：利用一元二次方程解决面积问题如图所示，某幼儿园有一道长为16m 的墙，计划用32m 长的围栏靠墙围成一个面积为120m 2的矩形草坪ABCD ，求该矩形草坪BC 边的长．解析：若设BC 长为x m ，则宽AB 可表示为32－x 2m ，由矩形的面积公式“面积＝长×宽”可列方程求解．解：设矩形草坪BC 边的长为x m ，则宽AB 为32－x 2m. 根据题意，得x ·32－x 2＝120. 解得x 1＝12，x 2＝20.又由题意知BC ≤16，∴x ＝20不符合题意，应该舍去．∴该矩形草坪BC 边的长为12m.方法总结：(1)结合图形分析数量关系是解决面积等几何问题时的关键；(2)注意检验一元二次方程的根是否符合题意．将一条长20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．解析：做成的是两个正方形，且已知两个正方形的面积之和，只需设出正方形的边长或用未知数表示出边长，列方程解答即可．解：设一个正方形的周长为x cm ，则另一个正方形的周长为(20－x )cm.(1)由题意可列方程(x 4)2＋(20－x 4)2＝17.解此方程，得x 1＝16，x 2＝4. 所以两段铁丝的长度分别为16cm 和4cm ；(2)由题意可列方程(x 4)2＋(20－x 4)2＝12， 此方程化为一般形式为x 2－20x ＋104＝0.∵b2－4ac＝(－20)2－4×1×104＝－16<0，∴此方程无解．∴两个正方形的面积之和不可能等于12cm2.方法总结：对于生活中的应用题，首先要全面理解题意，然后根据实际问题的要求，确定用哪些数学知识和方法解决，如本题用方程思想和一元二次方程的根的判定方法来解决．活动3 课堂小结列一元二次方程解应用题的一般步骤可以归结为“审，设，列，解，检，答”六个步骤：(1)审：审题要弄清已知量和未知量，问题中的等量关系；(2)设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；(3)列：列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，列代数式表示相等关系中的各个量，即可得到方程；(4)解：求出所列方程的解；(5)检：检验方程的解是否正确，是否保证实际问题有意义；(6)答：根据题意，选择合理的答案．。
2.3 用公式法求解一元二次方程教学设计
第二章一元二次方程３．用公式法求解一元二次方程〔一〕一、学生知识状况分析学生的知识技能根底：学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在上一节课的根底上，大局部学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一局部认知较慢、运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程.学生活动经验根底：学生已经具备利用配方法解一元二次方程的经验；学生通过《规律的探求》、《勾股定理的探求》、《一次函数的图像》中一次函数增减性的总结等章节的学习，已经逐渐形成对于一些规律性的问题，用公式加以归纳总结的数学建模意识，并且已经具备本节课所需要的推理技能和逻辑思维能力.二、教学任务分析公式法实际上是配方法的一般化和程式化，然后再利用总结出来的公式更加便利地求解一元二次方程。
所以首先要夯实上节课的配方法，在此根底上再进行一般规律性的探求——推导求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。
其中，引导学生自主的探索，正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一；正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高学生的综合运算能力是本节课的另一个重点和难点。
为此，本节课的教学目标是：①在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。
②能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力.③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。
④通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步开展学生合作交流的意识和能力三、教学过程分析本课时分为以下五个教学环节：第一环节：回忆稳固；第二环节：探究新知；第三环节：稳固新知；第四环节：收获与感悟；第五环节：布置作业。
第一环节；回忆稳固活动内容：①用配方法解以下方程：(1)2x 2+3=7x (2)3x 2+2x+1=0全班同学在练习本上运算,可找位同学上黑板演算②由学生总结用配方法解方程的一般方法:第一题： 2x2+3=7x解：将方程化成一般形式: 2x2-7x +3=0两边都除以一次项系数:2 023272=+-x x配方:加上再减去一次项系数一半的平方 0231649)47(2722=+-+-x x即: 01625)47(2=--x1625)47(2=-x两边开平方取“±〞 得：4547±=-x 4547±=x写出方程的根 ∴ x1=3 , x2=21第二题： 3x2+2x+1=0解：两边都除以一次项系数:3031322=++x x 配方:加上再减去一次项系数一半的平方 02391)31(3222=+-++x x即: 01825)31(2=++x1825)31(2-=+x ∵01825<-∴原方程无解活动目的：〔1〕进一步夯实用配方法解方程的一般步骤.在这里相对于书上的解题方法作了小小的改动：没有把常数项移到方程右边，而是在方程的左边直接加上再减去一次项系数一半的平方，这样做的目的是为了与以后二次函数一般式化顶点式保持一致。
2.3 用公式法求解一元二次方程 教学设计
用公式法求解一元二次方程教学目标：1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念.2、会熟练应用公式法解一元二次方程．3、利用判别式来判断根的情况.教学重点：求根公式的推导和公式法的应用．教学难点：一元二次方程求根公式法的推导．教学过程：一、巩固复习用配方法解下列方程6x2-7x+1=0移项，得：6x2-7x=-1二次项系数化为1，得：x2-76x=-16配方，得：x2-76x+（712）2=-16+（712）2（x-712）2=25144x-712=±512x1=512+712=7512+=1x2=-512+712=7512-=16二、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根xx分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2+bx =-c二次项系数化为1，得x 2+b a x =-c a配方，得：x 2+b a x +（2b a ）2=-c a +（2b a ）2 即（x +2b a ）2=2244b ac a- ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0 ∴2244b ac a-≥0直接开平方，得：x +2b a即x =2b a-∴x 1=2b a -+x 2=2b a-- 由上可知，一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定， 因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx +c =0，当b -4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．b 2－4ac 叫做一元二次方程的判别式当b 2－4ac ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根.当b 2－4ac =0时，一元二次方程有两个相等的实数根.当b 2－4ac <0时，一元二次方程无实数根.例1．用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x -1=0 （2）5x +2=3x 2（3）（x -2）（3x -5）=0 （4）4x 2-3x +1=0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．解：（1）a =2，b =-4，c =-1b 2-4ac =（-4）2-4×2×（-1）=24>0x ==∴x 1=22x 2=22- （2）将方程化为一般形式3x 2-5x -2=0a =3，b =-5，c =-2b 2-4ac =（-5）2-4×3×（-2）=49>0x 576±= x 1=2，x 2=-13（3）将方程化为一般形式3x 2-11x +9=0a =3，b =-11，c =9b 2-4ac =（-11）2-4×3×9=13>0∴x =(11)11236--±±=⨯∴x 1=116+，x 2=116 （4）a =4，b =-3，c =1b 2-4ac =（-3）2-4×4×1=-7<0因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根．三、巩固练习随堂练习四、应用拓展例2．某数学兴趣小组对关于x 的方程（m +1）22mx ++（m -2）x -1=0提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程． （2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出．你能解决这个问题吗？分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m 2+1=2，同时还要满足（m +1）≠0．（2）要使它为一元一次方程，必须满足:①211(1)(2)0m m m ⎧+=⎨++-≠⎩或②21020m m ⎧+=⎨-≠⎩或③1020m m +=⎧⎨-≠⎩解：（1）存在．根据题意，得：m 2+1=2m 2=1 m =±1当m =1时，m +1=1+1=2≠0当m =-1时，m +1=-1+1=0（不合题意，舍去）∴当m =1时，方程为2x 2-1-x =0a =2，b =-1，c =-1b 2-4ac =（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9x =(1)13224--±±=⨯x 1=，x 2=-12因此，该方程是一元二次方程时，m =1，两根x 1=1，x 2=-12．（2）存在．根据题意，得：①m 2+1=1，m 2=0，m =0因为当m =0时，（m +1）+（m -2）=2m -1=-1≠0所以m =0满足题意．②当m 2+1=0，m 不存在．③当m +1=0，即m =-1时，m -2=-3≠0所以m =-1也满足题意．当m =0时，一元一次方程是x -2x -1=0，解得：x =-1当m =-1时，一元一次方程是-3x -1=0解得x=-1 3因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-•1时，其一元一次方程的根为x=-13．五、归纳小结本节课应掌握：（1）求根公式的概念及其推导过程；（2）公式法的概念及判别式（3）应用公式法解一元二次方程；（4）初步了解一元二次方程根的情况．六、布置作业习题。
用公式法求解一元二次方程教育教案及到导学案(新北师大版)
用公式法求解一元二次方程导学案（新北师大版）题§2.3用公式法求解一元二次方程学习目标.我要会一元二次方程的求根公式的推导2.我要会用求根公式解一元二次方程学习重点我要掌握用公式法解简单系数的一元二次方程学习难点我要理解求根公式的推导及条件：b新北师大版<wbr>九年级上册数学<wbr>2.3用公式法求解一元二次方程<wbr>导学案-4ac新北师大版<wbr>九年级上册数学<wbr>2.3用公式法求解一元二次方程<wbr>导学案0学习方法自主合作交流探究环节一自主学习一．自主学习（精读课本完成导学案）、一元二次方程的一般形式是___________________.方程2x新北师大版<wbr>九年级上册数学<wbr>2.3用公式法求解一元二次方程<wbr>导学案-3x+1=0中，a=（）,b=（）,c=（）方程新北师大版<wbr>九年级上册数学<wbr>2.3用公式法求解一元二次方程<wbr>导学案=-4中，a=（）,b=（）,c=（）.2、用配方法解方程：x2―7x―18=0环节二交流展示、推导求根公式：ax2+bx+c=0解：方程两边都作以a，得___________________.移项，得：________________________配方，得：______________________即：___________________∵a≠0，所以4a2>0当b2－4ac≥0时，得_________________________________∴x=_______________________精讲点拨：利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.2、一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0当b2－4ac＞0时，它的根是x=_______________________，一元二次方程有两个_____的实数根；当b2－4ac=0时，它的根是x=_____________________，一元二次方程有两个______的实数根；当b2－4ac<0时，一元二次方程.3、利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.利用公式法求根的一般步骤：将方程化为_____________，确定_____________的值（2）把a,b,c的值直接代入公式____________，求得方程的解x1,x2环节三能力提升、k取何值时，关于新北师大版<wbr>九年级上册数学<wbr>2.3用公式法求解一元二次方程<wbr>导学案的一元二次方程新北师大版<wbr>九年级上册数学<wbr>2.3用公式法求解一元二次方程<wbr>导学案，（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？环节四达标检测利用求根公式解方程：（1）6y2+13y+6=0（2）2x2+7x=4。
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用公式法解一元次方程的步骤：
1、先化为一般形式；
2、确定a,b,c的值；
3、计算是否b2-4ac≥0；
①若b2-4ac≥0，则将a,b,c的值代入
求根公式，求出方程的根； ②若b2-4ac＜0，则方程无实数根；
一、判断下列方程是否有解:(学生口答) （1）2x2+5=7x （3）25x2+20x+4=0 （2）5x2+x=7 （4）9x2+6x+1=0
（1）16x2+8x-3=0
解:a=16,b=8,c=-3 b2-4ac=82-4×16×(-3) =256 ∴
（2）3x2+2x+1=0
解:a=3,b=2,c=1 b2-4ac=22-4×3×1 =-8<0 ∴ 方程无解
8 256 x 2 16
1 3 所以，x1 , x2 4 4
（5）4x(x-1)+3=0
（6）(x+1)(4x+1)=0
1、解下列方程 （1） x2+2x=0 （2） 2x2-9x+8=0 （3） t2+ t+
1 =0 8（4）Fra bibliotekx(x-3)+5=0
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
①若b2-4ac＞0，则方程有两个不等实根；
②若b2-4ac=0，则方程有两个相等实根；
第二章 一元二次方程
第三节 公式法
化州市银丝中学 刘积源
一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0) 的解为：
b b 4ac 2-4ac≥0 ) (b x 2a
2
说明： 1、只有满足 b2-4ac≥0 这个条件，才可以使用 求根公式。 2、只有满足 b2-4ac≥0 这个条件，一元二次方 程才有实数根； 3、若b2-4ac<0 ,则方程无实数根。
求K的取值范围。
③若b2-4ac＜0，则方程无实数根。
1、课本43页，习题2.5 ：第2题 2、若关于x的一元二方程x2-2x+m=0没有实数 根，求m的取值范围。
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 求根公式是什么？ 2、用公式法解方程应注意的问题是什么?
1、课本66页：习题2.6 第1题；
2、若关于x的一元二方程kx2-2x+1=0有实数根,