7.2不等式的解集
7.2含参变量不等式的解法及应用
科 目
数学 年级 高三 备课人 高三数学组 第 课时 7.2含参变量不等式的解法及应用
考纲定位 了解参变量的含义；会解含参变量的简单不等式；会探究含参变量的不等式在某范围
内恒成立等简单问题.
【典型例题】
一、解含参变量不等式：
例1、解关于x 的不等式2(1)10,mx m x m R +--<∈.
[变式训练1]：关于x 的不等式22450,(0)x ax a a -->>的解集是（ ）
A.{|5}x a x a <<-
B.{|5}x a x a -<<
C.{|5}x x a x a <>-或
D.{|5}x x a x a ><-或
二、含参变量不等式恒成立问题
例2、若对任意的(,1]x ∈-∞-，不等式12()12x x
m -<恒成立，求实数m 的取值范围.
[变式训练2]：(2011 山东烟台模拟)已知()ln f x x x =，2()3g x x ax =-+-，若对一切
(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围.
三、不等式解法的简单应用
1、函数321()13f x ax ax x =
+++有极值的充要条件是（ ） A.10a a ≥≤或 B.10a a ><或 C.10a a ≥<或 D.01a <<
2、已知函数2(),(0,)x f x x x a R a =+
≠∈，若()f x 在区间[2,)+∞上是增函数，求实数a 的范围.
3、（2011 辽宁）讨论函数2()ln (2),f x x ax a x a R =-+-∈的单调性.
【课后反思】。
7.2 基本不等式及不等式的应用(试题部分)
7.2 基本不等式及不等式的应用探考情 悟真题 【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.基本不等式①了解基本不等式的证明过程②会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 2012北京文,6利用基本不等式解决问题 等比数列的通项公式★★★2.不等式的综合应用①能够灵活运用不等式的性质求定义域、值域 ②能够应用基本不等式求最值③熟练掌握运用不等式解决应用题的方法 ★★★分析解读 1.掌握利用基本不等式求最值的方法,熟悉利用拆添项或配凑因式构造基本不等式形式的技巧,同时注意“一正、二定、三相等”的原则.2.利用基本不等式求函数最值、求参数范围、证明不等式是高考热点.3.不等式的性质与函数、导数、数列等内容相结合,解决与不等式有关的数学问题和实际问题是高考热点.破考点 练考向 【考点集训】考点一 基本不等式1.(2020届北京顺义一中8月月考,11)正实数x,y 满足x+y=2,则1x +2y 的最小值为 .答案 32+√22.已知x,y ★R +,且满足x 3+y4=1,则xy 的最大值为 . 答案 33.(2019北京十二中高一月考,17)设a>1,b>0,若a+b=2,则1a -1+1b 的最小值为 .答案 4考点二 不等式的综合应用4.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x 件,则平均仓储时间为x8天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( )A.60件B.80件C.100件D.120件 答案 B5.(2017山东文,12,5分)若直线x a +yb =1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b 的最小值为 .答案 8炼技法 提能力 【方法集训】方法1 利用基本不等式求最值1.若a>0,b>0,lg a+lg b=lg(a+b),则a+b 的最小值为( ) A.8 B.6 C.4 D.2 答案 C2.若直线mx+ny+2=0(m>0,n>0)被圆(x+3)2+(y+1)2=1截得的弦长为2,则1m +3n 的最小值为( ) A.4 B.12 C.16 D.6 答案 D方法2 不等式与函数、方程、数列的综合问题的解题策略3.(2020届北京十三中开学考试,7)若0<x<π2,则下列命题正确的是( ) A.sin x<2πx B.sin x>2πxC.sin x<3πx D.sin x>3πx答案 B4.(2019北京昌平期末,6)数列{a n }是等差数列,{b n }是各项均为正数的等比数列,公比q>1,且a 5=b 5,则( )A.a 3+a 7>b 4+b 6B.a 3+a 7≥b 4+b 6C.a 3+a 7<b 4+b 6D.a 3+a 7=b 4+b 6 答案 C5.(2018北京西城期末,7)已知A,B 是函数y=2x 的图象上的相异两点.若点A,B 到直线y=12的距离相等,则点A,B 的横坐标之和的取值范围是( )A.(-∞,-1)B.(-∞,-2)C.(-1,+∞)D.(-2,+∞) 答案 B【五年高考】A 组 自主命题·北京卷题组(2012北京文,6,5分)已知{a n }为等比数列.下面结论中正确的是 ( )A.a 1+a 3≥2a 2B.a 12+a 32≥2a 22C.若a 1=a 3,则a 1=a 2D.若a 3>a 1,则a 4>a 2答案 BB 组 统一命题、省(区、市)卷题组考点一 基本不等式1.(2019天津文,13,5分)设x>0,y>0,x+2y=4,则(x+1)(2y+1)xy的最小值为 .答案 922.(2019上海,7,5分)若x,y ★R +,且1x+2y=3,则yx的最大值为 .答案 983.(2019江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线y=x+4x (x>0)上的一个动点,则点P 到直线x+y=0的距离的最小值是 . 答案 44.(2018天津,13,5分)已知a,b ★R,且a-3b+6=0,则2a +18b 的最小值为 .答案 14考点二 不等式的综合应用(2019课标全国Ⅱ,6,5分)若a>b,则( ) A.ln(a-b)>0 B.3a <3b C.a 3-b 3>0 D.|a|>|b| 答案 CC 组 教师专用题组考点一 基本不等式1.(2015湖南文,7,5分)若实数a,b 满足1a +2b =√ab ,则ab 的最小值为( ) A.√2 B.2 C.2√2 D.4 答案 C2.(2014重庆文,9,5分)若log 4(3a+4b)=log 2√ab ,则a+b 的最小值是( )A.6+2√3B.7+2√3C.6+4√3D.7+4√3 答案 D3.(2013福建文,7,5分)若2x +2y =1,则x+y 的取值范围是( ) A.[0,2] B.[-2,0] C.[-2,+∞) D.(-∞,-2] 答案 D4.(2013山东文,12,5分)设正实数x,y,z 满足x 2-3xy+4y 2-z=0.则当zxy 取得最小值时,x+2y-z 的最大值为( )A.0B.98C.2D.94答案 C5.(2013山东,12,5分)设正实数x,y,z 满足x 2-3xy+4y 2-z=0.则当xyz 取得最大值时,2x +1y -2z 的最大值为( )A.0B.1C.94 D.3答案 B6.(2017天津,13,5分)若a,b ★R,ab>0,则a 4+4b 4+1ab的最小值为 .答案 47.(2015重庆,14,5分)设a,b>0,a+b=5,则√a +1+√b +3的最大值为 . 答案 3√28.(2013天津,14,5分)设a+b=2,b>0,则当a= 时,12|a|+|a|b 取得最小值.答案 -2考点二 不等式的综合应用1.(2014浙江,16,4分)已知实数a,b,c 满足a+b+c=0,a 2+b 2+c 2=1,则a 的最大值是 . 答案√632.(2014辽宁,16,5分)对于c>0,当非零实数a,b 满足4a 2-2ab+b 2-c=0且使|2a+b|最大时,1a +2b +4c 的最小值为 . 答案 -13.(2014福建,13,4分)要制作一个容积为4 m 3,高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是 (单位:元). 答案 1604.(2013山东文,16,4分)定义“正对数”:ln +x={0, 0<x <1,lnx, x ≥1.现有四个命题:①若a>0,b>0,则ln +(a b )=bln +a; ②若a>0,b>0,则ln +(ab)=ln +a+ln +b; ③若a>0,b>0,则ln +(ab)≥ln +a-ln +b;④若a>0,b>0,则ln +(a+b)≤ln +a+ln +b+ln 2.其中的真命题有 .(写出所有真命题的编号) 答案 ①③④【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2020届北京通州期中,8)2014年6月22日,在卡塔尔首都多哈召开的第38届世界遗产大会上宣布:中国大运河项目成功入选世界文化遗产名录,成为中国第46个世界遗产项目.随着对大运河的保护与开发,大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片,也成为众多旅游者的游览目的地.今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头,又立即逆水返回奥体公园码头.已知游船在顺水中的速度为v 1,在逆水中的速度为v 2(v 1≠v 2),则游船此次行驶的平均速度v 与v 1+v 22的大小关系是( )A.v>v1+v22B.v=v1+v22C.v<v1+v22D.v≥v1+v22答案C2.(2018北京通州期中,5)某生产厂商更新设备,已知在未来x年内,此设备所花费的各种费用的总和y(单位:万元)与x满足的函数为y=4x2+64,若欲使此设备的年平均花费最低,则此设备的使用年限x为()A.3B.4C.5D.6答案B3.(2019北京朝阳期中,6)已知函数f(x)=|2x-2|.若f(a)=f(b)(a≠b),则a+b的取值范围是()A.(-∞,1)B.(-∞,2)C.(1,+∞)D.(2,+∞)答案B4.(2019北京通州期中文,7)某人从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a<b),其全程的平均速度为v,则()A.v=a+b2B.v=√abC.a<v<√abD.√ab<v<a+b2答案C5.(2019北京十二中高一月考,10)已知x★(0,14),则x(1-4x)取最大值时x的值是()A.14B.15C.18D.110答案C6.(2019北京一零一中学高一第二次统练,7)设m★R且m≠0,“不等式m+4m>4”成立的一个必要不充分条件是()A.m≠2B.m>0且m≠2C.m>2D.m≥2答案A7.(2019北京十二中高一月考,11)《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为后世数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.如图所示,在AB上取一点C,使得AC=a,BC=b,过点C作CD★AB 交圆周于D,连接OD.作CE★OD交OD于E,则下列不等式可以表示CD≥DE的是()A.√ab ≥2ab a+b (a>0,b>0)B.a+b 2≥√ab (a>0,b>0)C.√a 2+b 22≥a+b2(a>0,b>0) D.a 2+b 2≥2ab(a>0,b>0)答案 A二、填空题(每小题5分,共30分)8.(2019北京一零一中学高一第二次统练,13)已知正数a,b 满足4a+b=ab,则a+b 的最小值为 . 答案 99.(2020届北京潞河中学10月月考,11)已知x>0,y>0,且2x+5y=20,则u=lg x+lg y 的最大值为 . 答案 110.(2020届北京陈经纶中学开学考试,12)已知x>0,y>0,且2x+y=1,则1x +2y 的最小值是 . 答案 811.(2020届北京理工大附中月考,13)某学校拟建一块周长为400米的操场,如图所示,操场的两头是半圆形,中间区域是矩形,学生做操一般安排在矩形区域.为了能让学生的做操区域尽可能大,矩形的长应该设计成 米.答案 10012.(2019北京门头沟一模,13)已知x,y ★R +,求z=(x+2y)·(2x +4y )的最值.甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法: 甲:z=(x+2y)(2x +4y )=2+4x y +4yx +8≥18. 乙:z=(x+2y)(2x +4y )≥2√2xy ·2√8xy =16.①你认为甲、乙两人解法正确的是 .②请你写出一个类似的利用基本不等式求最值的问题,使甲、乙的解法都正确 .答案①甲②已知x,y★R+,求z=(1x +1y)(x+y)的最值13.(2018北京朝阳期末,13)伟大的数学家高斯说过:“几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然中的基本问题.”一位同学受到启发,借助以下两个相同的矩形,按以下步骤给出了不等式(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)的一种“图形证明”.证明思路:①左图中白色区域的面积等于右图中白色区域的面积;②左图中阴影区域的面积为ac+bd,右图中,设★BAD=θ,则右图中阴影区域的面积可表示为(用含a,b,c,d,θ的式子表示);③由图中阴影区域的面积相等,即可推出不等式(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).当且仅当a,b,c,d满足条件时,等号成立.答案②√a2+b2·√c2+d2·sinθ③ad=bc。
#7.2一元二次不等式及其解法
2.
aa12 x2.
综上, 当a>1时, 原不等式解集为 {x|xa a 1 2或x2}; 当0<a<1时, 原不等式解集为 {x|2xaa12};
当 a=0时, 原不等式解集为∅ ;
当 a<0时, 原不等式解集为 {x|aa12x2}.
例5. 关于x的不等式 2x29xm≤ 0在区间[ 2, 3]
x
2}.
高三数学第一轮复习
临沂第一中学 李福国
不等式的基本性质 两个实数大小的比较
不
一元二次不等式及 其解法
不等式的实际应用
等
关
系 及
二元一次不等式(组) 与平面区域
简单的线性规划问题
不
等
式
基本不等式
最大(小) 值问题
绝对值不等式
绝对值的解法
1.一元二次不等式的解集
Δ=b2-4ac
二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象
上恒成立,则实数m的取值范围是_m___≤__9_.
解：m≤-2x2+9x在区间［2，3］上恒成立，
记 g (x) 2 x2 9 x ,x [2 ,3 ],
则问题转化为 m≤g(x)min
gm in(x)g(3)9,m≤9.
（1）变量分离法(分离参数)
【评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够 将不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于 不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化 归为解关于参数的不等式的问题．
所以 a ≥ 1，故选 C
由不等式 xy ≤ ax2 2 y2 ，可以得到
a≥
xy 2 y2 x2
7.2不等式的解集
（1） =5、6、8能使不等式 ＞5成立吗？
（2）你还能找出一些使不等式 ＞5成立的 的值吗？
（3）你能把 =6，8，11表示到数轴上吗？
（等候完成），你能用自己的方式将不等式 ＞5的解集和 －5≤－1的解集分别表示在数轴上。
①不等式 ＞5的解集可以用数轴上表示5的点的右边部分来表示，在数轴上表示5的点的位置上画空心圆圈，表示5不在这个解集内。
1、在数轴上表示出下列不等式的解集：
（1）x＞－1
（2）x≥－1
（3）x＜－1
（4）x≤－1
2、求不等式x+3＜6的正整数解。
六、课堂小结：
（1）不等式的解、不等式的解集、解不等式的有关概念；
（2）不等式的解集有两种表示方法：①用表示；②用表示。
（3）用数轴表示解集时：大于，小于；有等号的，无等号的
（4）除了大家刚才举过的数据，小颖家的用水量还可以是其它数据吗？
（5）如果设小颖家这个月的用水量是 ，你能得到什么不等式呢？
解：由于15＞1.5×5,所以用水可以超过5 ，所以得1.5×5+2（ －5）≥15，即2 －2.5≥15。
三、给出定义：
1、能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
2、满足一个不等式的所有解就组成一个集合，这就是不等式的解集。
3、验证，进一步体会不等式的不定性。
4、还有其它数据，因为只要使不等式2 －2.5≥15成立的数都可以，而这样的数有无数个
5、学生先练习，老师板演。
（1）解集当中的一个数就是它的一个解。
（2）所有解组成一个解集。
例如：不等式 －5≤－1的解集为 ≤4。不等式 ＞0的解集是所有非零实数。
学生解释、区别。
初中数学八年级下册
第七章 7.2不等关系与不等式
§7.2一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解集概念方法微思考1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集与其对应的函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象有什么关系？ 提示 ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集就是其对应函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象在x 轴上方的部分所对应的x 的取值范围．2．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件是什么？ 提示 显然a ≠0.ax 2＋bx ＋c >0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0；ax 2＋bx ＋c <0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ )(2)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × )(3)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × )(4)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( √ ) 题组二 教材改编2．已知集合A ＝{x |x 2－x －6>0}，则∁R A 等于( ) A ．{x |－2<x <3} B ．{x |－2≤x ≤3} C ．{x |x <－2或x >3} D ．{x |x ≤－2或x ≥3} 答案 B解析 ∵x 2－x －6>0，∴(x ＋2)(x －3)>0，∴x >3或x <－2，即A ＝{x |x >3或x <－2}．在数轴上表示出集合A ，如图所示．由图可得∁R A ＝{x |－2≤x ≤3}． 故选B.3．y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞ 解析 由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞.题组三 易错自纠4．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示) 答案 (－4,1)解析 由－x 2－3x ＋4>0可知，(x ＋4)(x －1)<0， 得－4<x <1.5．若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，则a ＋b ＝________. 答案 －14解析 ∵x 1＝－12，x 2＝13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，∴⎩⎨⎧a 4－b2＋2＝0，a 9＋b3＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.6．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0，对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (－2,2]解析 当a －2≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ<0，得－2<a <2；当a ＝2时，原式化为－4<0，不等式恒成立， ∴－2<a ≤2.即实数a 的取值范围是(－2,2].一元二次不等式的求解命题点1 不含参的不等式例1 (2019·新乡模拟)已知集合A ＝{x |x 2－4x <5}，则下列选项中正确的是( ) A ．－1.2∈A B ．30.9∉AC ．log 230∈AD ．A ∩N ＝{1,2,3,4}答案 C解析 因为A ＝{x |－1<x <5}，－1.2∉A ，所以选项A 错误；1<30.9<3,30.9∈A ，所以选项B 错误；0<log 230<log 232＝5，log 230∈A ，所以选项C 正确；A ∩N ＝{0,1,2,3,4}，所以选项D 错误．故选C.命题点2 含参不等式例2 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)． 解 原不等式变为(ax －1)(x －1)<0， 因为a >0，所以⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. 所以当a >1时，解得1a <x <1；当a ＝1时，解集为∅； 当0<a <1时，解得1<x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a <x <1. 思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．跟踪训练1 (1)(2019·北京市海淀区期末)不等式x 2＋2x －3<0的解集为( ) A ．{x |x <－3或x >1} B ．{x |x <－1或x >3} C ．{x |－1<x <3} D ．{x |－3<x <1}答案 D解析 由x 2＋2x －3<0得(x ＋3)(x －1)<0，解得－3<x <1.故选D.(2)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________．答案 {x |x ≥3或x ≤2}解析 由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.故不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≥3或x ≤2.(3)解不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )． 解 原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a >0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 4∪⎝⎛⎭⎫a3，＋∞； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪⎝⎛⎭⎫－a4，＋∞. 一元二次不等式恒成立问题命题点1 在R 上的恒成立问题例3 已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈R ，f (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围． 解 当m ＝0时，f (x )＝－1<0恒成立．当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0.综上，－4<m ≤0，故m 的取值范围是(－4,0]． 命题点2 在给定区间上的恒成立问题例4 已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．解 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立， 即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：方法一 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0， 所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 方法二 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1. 因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67.若将“f (x )<5－m 恒成立”改为“f (x )<5－m无解”，如何求m 的取值范围？解 若f (x )<5－m 无解，即f (x )≥5－m 恒成立， 即m ≥6x 2－x ＋1恒成立，又x ∈[1,3]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫6x 2－x ＋1max ＝6，得m ≥6，即m 的取值范围为[6，＋∞)．若将“f (x )<5－m 恒成立”改为“存在x ，使f (x )<5－m 成立”，如何求m 的取值范围？ 解 由题意知f (x )<5－m 有解，即m <6x 2－x ＋1有解，则m <⎝ ⎛⎭⎪⎫6x 2－x ＋1max ，又x ∈[1,3]，得m <6，即m 的取值范围为(－∞，6)． 命题点3 给定参数范围的恒成立问题例5 若mx 2－mx －1<0对于m ∈[1,2]恒成立，求实数x 的取值范围．解 设g (m )＝mx 2－mx －1＝(x 2－x )m －1，其图象是直线，当m ∈[1,2]时，图象为一条线段，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)<0，g (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1<0，2x 2－2x －1<0，解得1－32<x <1＋32，故x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32.思维升华 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数． 跟踪训练2 函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)若当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (3)若当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，求实数x 的取值范围． 解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立， 需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0， 解得－6≤a ≤2，∴实数a 的取值范围是[－6,2]．(2)由题意可转化为x 2＋ax ＋3－a ≥0在x ∈[－2,2]上恒成立， 则(x 2＋ax ＋3－a )min ≥0(x ∈[－2,2])． 令g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，x ∈[－2,2]， 函数图象的对称轴方程为x ＝－a2.当－a 2<－2，即a >4时，g (x )min ＝g (－2)＝7－3a ≥0，解得a ≤73，舍去；当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a 24－a ＋3≥0，解得－6≤a ≤2，∴－4≤a ≤2；当－a2>2，即a <－4时，g (x )min ＝g (2)＝7＋a ≥0，解得a ≥－7，∴－7≤a <－4.综上可得，满足条件的实数a 的取值范围是[－7,2]． (3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h (4)≥0，h (6)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6. ∴实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．设方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，Δ>0)有不相等的两根为x 1，x 2，且x 1<x 2，相应的二次函数为f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，方程的根即为二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)． 表一：(两根与0的大小比较即根的正负情况)表二：(两根与k的大小比较)大致图象(a >0)得出的结论⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，－b2a <k ，f (k )>0⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a >k ，f (k )>0f (k )<0大致图象(a <0)得出的结论⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，－b2a <k ，f (k )<0⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，－b2a >k ，f (k )<0 f (k )>0综合结论(不讨论a ) ⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a <k ，a ·f (k )>0⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a >k ，a ·f (k )>0a ·f (k )<0表三：(根在区间上的分布)分布情况两根都在(m ，n )内 两根有且仅有一根在(m ，n )内(图象有两种情况，只画了一种)一根在(m ，n )内，另一根在(p ，q )内，m <n <p <q根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m，n)外，即在区间两侧x1<m，x2>n，(图形分别如下)需满足的条件是(1)a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0，f (n )<0；(2)a <0时，⎩⎨⎧f (m )>0，f (n )>0.对以上的根的分布表中，两根有且仅有一根在(m ，n )内有以下特殊情况：(ⅰ)若f (m )＝0或f (n )＝0，则此时f (m )·f (n )<0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m ，n )内，从而可以求出参数的值．如方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0在区间(1,3)上有一根，因为f (1)＝0，所以mx 2－(m ＋2)x ＋2＝(x －1)(mx －2)，另一根为2m ，由1<2m <3得23<m <2即为所求；(ⅱ)方程有两个相等的根，且这个根在区间(m ，n )内，即Δ＝0，此时由Δ＝0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数．如方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0有且只有一根在区间(－3,0)内，求m 的取值范围．分析：①由f (－3)·f (0)<0即(14m ＋15)(m ＋3)<0得出－3<m <－1514；②由Δ＝0即16m 2－4(2m ＋6)＝0得出m ＝－1或m ＝32，当m ＝－1时，根x ＝－2∈(－3,0)，即m ＝－1满足题意；当m ＝32时，根x ＝3∉(－3,0)，故m ＝32不满足题意．综上分析，得出－3<m <－1514或m ＝－1.例1 已知二次方程(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)＝0有一正根和一负根，求实数m 的取值范围．解 设f (x )＝(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)， 由(2m ＋1)·f (0)<0 ，即(2m ＋1)(m －1)<0， 解得－12<m <1，即m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，1. 例2 已知方程2x 2－(m ＋1)x ＋m ＝0有两个不等正实根，求实数m 的取值范围． 解 设f (x )＝2x 2－(m ＋1)x ＋m ， 由⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－－(m ＋1)2×2>0，f (0)>0⇒⎩⎨⎧(m ＋1)2－8m >0，m >－1，m >0⇒ ⎩⎨⎧m <3－22或m >3＋22，m >0⇒0<m <3－22或m >3＋22，即m 的取值范围为(0,3－22)∪(3＋22，＋∞)．例3 已知二次函数f (x )＝(m ＋2)x 2－(2m ＋4)x ＋3m ＋3与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围． 解 由(m ＋2)·f (1)<0 ，即(m ＋2)·(2m ＋1)<0⇒－2<m <－12，即m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－12.1．(2019·武汉调研)已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |x 2＋3x <0}，则A ∩B 等于( ) A ．(0,2) B ．(－1,0) C ．(－3,2) D ．(－1,3)答案 B解析 A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |－3<x <0}，∴A ∩B ＝(－1,0)．故选B.2．(2019·廊坊调研)已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集为(－1,3)，那么不等式f (－2x )<0的解集为( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－32，12 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－12，32 答案 A解析 由f (x )＝(ax －1)(x ＋b )>0的解集是(－1,3)，则a <0，故1a ＝－1，－b ＝3，即a ＝－1，b＝－3.∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3， ∴f (－2x )＝－4x 2－4x ＋3，由－4x 2－4x ＋3<0，解得x >12或x <－32，故不等式f (－2x )<0的解集是⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞.故选A.3．(2020·永州模拟)“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的充要条件是( ) A ．m >14B ．m <14C ．m <1D ．m >1答案 A解析 ∵不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立， ∴Δ＝(－1)2－4m <0，解得m >14，又∵m >14，∴Δ＝1－4m <0，∴“m >14”是“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的充要条件．故选A.4．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3] D ．[－1,3] 答案 B解析 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a ,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3，综上可得－4≤a ≤3. 5．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－235 答案 A解析 由Δ＝a 2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为x 1x 2＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图象的示意图如图．所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故选A.6．在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含1个整数，则a 的取值范围是( ) A ．(－3,5) B ．(－2,4) C ．[－1,3] D ．[－2,4]答案 C解析 因为关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0， 当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }， 当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}， 当a ＝1时，不等式的解集为∅，要使得解集中至多包含1个整数，则a ＝1或1<a ≤3或－1≤a <1， 所以实数a 的取值范围是a ∈[－1,3]，故选C.7．(2020·北京市石景山区模拟)已知集合A ＝{－5，－1,2,4,5}，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A 有且只有一个公共元素，这个不等式可以是______________． 答案 (x ＋4)(x －6)>0(答案不唯一)解析 因为不等式(x ＋4)(x －6)>0解集为{x |x >6或x <－4}，解集中只有－5在集合A 中．8．(2019·北京市顺义区模拟)满足关于x 的不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2，则满足条件的一组有序实数对(a ，b )的值可以是________． 答案 (－2，－1)(答案不唯一)解析 不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2，∴方程(ax －b )(x －2)＝0的实数根为12和2，且⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b a ＝12，即a ＝2b <0， 则满足条件的一组有序实数对(a ，b )的值可以是(－2，－1)．9．(2019·江西省宜丰中学月考)在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－12，32 解析 由题意，可知不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 都成立， 又由(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )， 即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 都成立， 所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0，即4a 2－4a －3<0， 解得－12<a <32.10.(2019·北京市丰台区模拟)已知定义域为R 的奇函数f (x )，当x >0时， f (x )＝－(x －1)2＋1. ①当x ∈[－1,0]时， f (x )的取值范围是________；②当函数f (x )的图象在直线y ＝x 的下方时， x 的取值范围是________． 答案 [－1,0] (－1,0)∪(1，＋∞)解析 因为f (x )为奇函数，故可以求函数在[0,1]上的值域，当x >0时， f (x )＝－(x －1)2＋1在[0,1]上的值域为[0,1]，故在x ∈[－1,0]上的值域为x ∈[－1,0]；如图所示，当函数f (x )的图象在直线y ＝x 的下方时，得x 的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．11．(2019·衡水第十三中学质检)已知关于x 的不等式－x 2＋ax ＋b >0.(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a ，b 的值；(2)若b ＝a ＋1，求此不等式的解集．解 (1)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－4＝a ，2×(－4)＝－b ， 解得a ＝－2，b ＝8.(2)当b ＝a ＋1时，－x 2＋ax ＋b >0⇔x 2－ax －(a ＋1)<0，即[x －(a ＋1)](x ＋1)<0.当a ＋1＝－1，即a ＝－2时，原不等式的解集为∅；当a ＋1<－1，即a <－2时，原不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＋1>－1，即a >－2时，原不等式的解集为(－1，a ＋1)．综上，当a <－2时，不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＝－2时，不等式的解集为∅；当a >－2时， 不等式的解集为(－1，a ＋1)．12．甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x 元． (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，则甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．解 (1)根据题意，得200⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ≥3 000，整理得5x －14－3x≥0，即5x 2－14x －3≥0， 又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.故要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3,10]．(2)设利润为y 元，则y ＝900x·100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎝⎛⎭⎫5＋1x －3x 2 ＝9×104⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫1x －162＋6112， 故当x ＝6时，y max ＝457 500.故甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元．13．设a <0，(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，则b －a 的最大值为( )A.12B.13C.14D.22答案 C解析 由题意知a <0，a <b ，则①当b <0时，∀x ∈(a ，b )，2x ＋b <0，所以(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立可转化为∀x ∈(a ，b )，a ≤－4x 2，所以a ≤－4a 2，所以－14≤a <0，所以0<b －a <14； ②当b >0时，(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，当x ＝0时，(4x 2＋a )(2x ＋b )＝ab <0，不符合题意；③当b ＝0时，由题意知x ∈(a ,0)，(4x 2＋a )2x ≥0恒成立，所以4x 2＋a ≤0，所以－14≤a <0，所以0<b －a ≤14. 综上所述，b －a 的最大值为14. 14．已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值范围是________．答案 (1,5]解析 设f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a ，当Δ＝4(a －2)2－4a <0，即1<a <4 时，f (x )>0 对x ∈R 恒成立，符合题意；当a ＝1时，f (－1)＝0，不符合题意；当a ＝4时，f (2)＝0 符合题意；当Δ>0 时，由⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，1<a －2<5，f (1)≥0，f (5)≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a <1或a >4，3<a <7，a ≤5，a ≤5，即4<a ≤5. 综上所述，实数a 的取值范围是(1,5]．15．(2020·上海市金山区模拟)若集合A ＝{x ∈Z |x 2－(a ＋2)x ＋2－a <0}中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎤12，23解析 f (x )＝x 2－(a ＋2)x ＋2－a <0，即x 2－2x ＋1<a (x ＋1)－1，分别令y 1＝x 2－2x ＋1，y 2＝a (x ＋1)－1，易知y 2过定点(－1，－1)，在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图所示，若集合A ＝{x ∈Z |f (x )<0}中有且只有一个元素，结合图象可得，即点(0,1)和点(2,1)在直线上或者在直线上方，点(1,0)在直线下方，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1≤1，2a －1>0，3a －1≤1，解得12<a ≤23. 16．(2019·南京六校联考)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a －1.若对任意的a ∈(0,3)，存在x 0∈[0,4]，使得t ≤|f (x 0)|成立，求实数t 的取值范围．解 ∵f (x )＝x 2－2ax ＋2a －1的对称轴为x ＝a ，且a ∈(0,3)，∴函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a －1在[0，a ]上是减函数，在[a ,4]上是增函数；∴函数f (x)＝x2－2ax＋2a－1在[0,4]上的最小值为f (a)＝－(a－1)2∈(－4,0]，|f (a)|＝(a－1)2，①当2≤a<3时，函数f (x)＝x2－2ax＋2a－1(x∈[0,4])在x＝0时取得最大值，且最大值为2a －1，由于此时2≤a<3，则3≤2a－1<5，易知当2≤a<3时，(a－1)2<2a－1，所以|f (x)|max＝max{|f (a)|，|f (0)|}＝|f (0)|＝2a－1∈[3,5)．∴t≤3.②当0<a<2时，函数f (x)＝x2－2ax＋2a－1(x∈[0,4])在x＝4时取得最大值，且最大值为42－8a＋2a－1＝15－6a，由于此时0<a<2，所以3<15－6a<15，且15－6a>(a－1)2，|f (x)|max＝max{|f (a)|，|f (4)|}＝|f (4)|＝15－6a∈(3,15)，∴t≤3.综上，t的取值范围是(－∞，3]．。
7.2 不等式的解集导学案
7．2 不等式的解集学习目标：1．会判断一个数是否为不等式的解；2．正确地将不等式的解集表示在数轴上.3．在使用数轴表示不等式解集的过程中,感受数形结合思想．4．通过观察、归纳、类比、推断而获得不等式的解集与数轴上的点之间的关系，体验数学活动充满着探索性与创造性.学习重点：不等式解集；学习难点：对不等式解集的含义的理解；学习过程：一、复习提问：1. ⑴什么叫不等式?常用的不等号有哪些? x+2＞5是不等式吗？⑵什么叫方程？什么是方程的解?2. 用不等式表示：(1)x的3倍大于1；(2) y与5的差小于零；(3) x与3的和不大于6；(4) x的不小于2．(5)一个两位数的十位数字是x，个位数字比十位数字小4，这个两位数不小于55。
二、创设情境当x的值分别取－1、0、2、3、3.5、5、6时,不等式x－3＞0和x－4＜0能分别成立吗？叫做不等式的解.三、探索归纳：1、x＋2＞5、x－3＞0和x－4＜0的解各有多少个？2、不等式的解与方程解有什么不同？3、归纳：不等式解是能不等式成立的，它是不确定的，是在一个范围内的任意值（无数个）；方程的解使等式成立的，它是一个具体的值.叫做不等式的解集.4、思考：①不等式x＋2＞5、x－3＞0和x－4＜0的解集分别是什么？②课本P9交流内容5、什么叫做解不等式？叫做解不等式.6、在数轴上表示不等式的解集：课本P10不等式x+2＞5的解集，可以表示成x＞3. x＞3表示x取哪些数？归纳：小于向左画，大于向右画；无等号画空心圆圈，有等号画实心圆点.三、应用举例例1 判断下列说法是否正确:（1）x=－2是不等式x+1＜2的解；（2）不等式x+1＜2的解集是x=-1.例2 比较两个不等式x≥2和x≤2的解集，它们有什么不同?在数轴上表示它们的不同。
例3用不等式表示下列数量关系，再用数轴表示出来：(1)x小于－1； (2) x不小于－1； (3) a是正数； (4) b是非负数．例4 在数轴上表示下列不等式的解集：（1）x＜3；（2）x≤4；（3）x≥0；（4）x>－2；（5）-1≤x＜2.例5 将数轴上x 的范围用不等式表示：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）四、巩固练习：课本P 10-11 练习与习题 五、收获与体会： 六、当堂检测：1. 根据“当x 为任何正数时，都能使不等式x +3＞2成立”，能不能说“不等式x +3＞2的解集是x＞0”？为什么？2. 两个不等式的解集分别是x ＜2和x ≤2,它们有什么不同?在数轴上怎样表示它们的区别？3.两个不等式的解集分别是x ＜1和x ≥1，分别在数轴上将它们表示出来. 4．在数轴上表示下列不等式的解集：（1）x ＞-5； （2） x ≤0； （3） x ≤2； （4）x ＜212 .5．写出下列各图所表示的不等式的解集：（1）； （2）.6、在数轴上表示下列不等式的解集：(1)x ≤-5；(2)x ≥-3； (3)x ＞-1; (4)1≤X ≤4; (5)-2＜X ≤3； (6)-2≤x ＜37.2 不等式的解集1、用“>”或“<”填空：（1）π 3；（2）－22 （－2）2；（3）310.31 2、3、当x = 3时，下列不等式成立的是（ ）A 、x ＋3＞5B 、x ＋3＞6C 、x ＋3＞7D 、x ＋3＞8课后作业4、下列不等式一定成立的是 （ ） A 、2x ＜6 B 、－x ＜0 C 、x 2+1＞0 D 、|x|＞05、下列解集中，不包括－4的是（ ） A 、x ≤－3 B 、x ≥－4 C 、x ≤－5D 、x ≥－66、下列说法中，正确的有（ ）①4是不等式x ＋3＞6的解 ②x ＋3＜6的解是x ＜2③3是不等式x ＋3≤6的解 ④x ＞4是不等式x ＋3≥6的解的一部分 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个7、x 的3倍减去2的差不大于0，列出不等式是 （ ） A 、3x －2≤0 B 、3x －2≥0C 、3x －2＜0D 、3x －2＞0 8、图中表示的是不等式的解集，其中错误的是（ ）A 、x ≥－2 B 、x ＜1C 、x ≠、x ＜0 9、－3x ≤6的解集是（ ）A 、、、 D 、10、恩格尔系数n 是指家庭日常饮食开支占家庭收入的比例，它反映了居民家庭的实际生活水平，各种类型家庭的n 值如下所示：如用含n 的不等式表示，则贫困家庭为 ；小康家庭为 ；最富裕国家为 ； 当某一家庭n = 0.6时，表明该家庭的实际生活水平是 11、关于x 的方程x-m=1的解是负数，则m 与-1的大小关系为 。
高考数学复习第七章不等式推理与证明7.2基本不等式及其应用市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课
x=3 时,等号成立.
所以当 f(x)取得最小值时,x=3,即 a=3.
18/37
-19考点1
考点2
考点3
考向二 求含有等式条件函数最值
例3(1)(河南中原学术联盟仿真)若直线ax+by-1=0(a>0,b>0)过曲线
1 2
+
y=1+sin πx(0<x<2)对称中心,则
最小值为
.
(2)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y最小值为
· =3+2 2,
2
1
2
,即
a=
2-1,b=22时等号成立,此时
+
的最
+
当且仅当 =
小值为 3+2 2.
9-3
.
1+
(2)(方法一)由已知得 x=
9-3
12
∵x>0,y>0,∴y<3,∴x+3y= 1+ +3y=1++(3y+3)-6
≥2
12
·
(3
1+
+ 3)-6=6,
A.(-∞,-1)
B.(-∞,2 2-1)
2
2
x
∵3 +32-1)
≥2 D.(-2
2 当且仅当3
= 3 ,即 =
C.(-1,2
2-1,2 2-1)
log 3 2时,等号成立 ,
关闭
2
∴3x+3 的最小值为 2 2.
7.2不等式的解集
7．2 不等式的解集教学目标1．理解不等式的解与解集和解不等式的概念，会用数轴表示不等式的解集。
2．通过观察、比较、归纳，培养学生分析解决问题的能力和数形结合能力。
3．培养学生认真探究问题的良好习惯。
教学重点、难点重点：不等式的解集的概念和用数轴表示不等式的解集。
难点：理解不等式的解的概念。
教学过程一、复习提问。
1．什么叫方程？什么是方程的解?2．什么叫不等式?二、学习探究。
1．判断-1、0、1/2、2、3、3.5、5时，能使不等式x-3>0和x-4<0分别成立吗?指名学生回答，归纳不等式的解。
能使不等式成立的求知数的值叫做不等式的解(solution of inequality)例如，x=3.5、5都是不等式x-3>0的解；x=-1、0、1/2、2、3、3.5都是不等式x-4<0的解。
2．讨论：不等式与方程的解的区别与联系。
(1)不等式的解各有多少个？(2)不等式的解与方程的解有什么不同？让学生自学、交流。
相同点：使数量关系成立。
不同点：一是关系不同，二是解的数量不一样。
3．归纳总结。
一个含有求知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集solution set。
不等式x-3>0和x-4<0让学生形象地说明或解释不等式的解集。
4．概念：什么叫解不等式?类比什么叫解方程，得出：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
5．我们知道实数可以用数轴上的点来表示，不等式的解集也可以借助数轴直观地表示出来。
那么x>3、x≤3、x<3、x≥3该分别怎样在数轴上表示出来?由教师在黑板上演示第一、二个，其余让学生上黑板练习。
观察讨论x>3、x≤3、x<3、X≥3有什么区别?三、应用举例。
例1 比较两个不等式x≥2和x≤2的解集，它们有什么不同?在数轴上表示它们的不同。
说明：由学生自由讨论，并在练习本上画出来。
例2 你能看出在数轴上所表示的不等式的解集是什么吗?说明：此两题的目的在于培养学生由数到形和由形到数结合的能力，发展学生的逆向思维能力和从多个角度思考问题的习惯。
八下7.2不等式的解集
练一练
2、在数轴上表示不等式x-3＜0的解 在数轴上表示不等式x 集，并写出这个不等式的正整数解． 并写出这个不等式的正整数解．
练一练
3、在数轴上表示不等式x+4≥0的解集， 在数轴上表示不等式x+4≥0的解集 的解集， 并写出这个不等式的非负整数解． 并写出这个不等式的非负整数解．
归纳总结
1、什么是不等式的解集？ 什么是不等式的解集？ 2、如何用数轴来表示不等式 的解集？ 的解集？
3.比较方程x+3=6的解与不等式x+3＞6的解 3.比较方程 +3=6的解与不等式 +3＞ 比较方程x 的解与不等式x 有哪些相同点和不同点？ 有哪些相同点和不同点？ 无论是方程还是不等式， 无论是方程还是不等式，它们的解一定满足 方程（或不等式）， ），都可以通过代入方程 方程（或不等式），都可以通过代入方程 或不等式）来检验．方程x+3=6的解只有一 （或不等式）来检验．方程x+3=6的解只有一 而是x+3＞ 的解有无数个， 个，而是x+3＞6的解有无数个，但这无数个 解有一个共同特征：它们都大于3 解有一个共同特征：它们都大于3．
典型例题
例2、写出图中所表示的不等式的解集： 写出图中所表示的不等式的解集：
：（1 图中所表示的不等式的解集为： 解：（1）图中所表示的不等式的解集为： x≤5； ≤5； 图中所表示的不等式的解集为： （2）图中所表示的不等式的解集为：x≥6．
典型例题
例3、根据“当x为任何正数时，都能 根据“ 为任何正数时， 使不等式x+2＞ 成立” 使不等式x+2＞1成立”，能不能说 不等式x+2＞ 的解集为x 0”？ “不等式x+2＞1的解集为x＞0”？
不等式的解集表示总结
不等式的解集表示总结不等式是数学中的一种重要的关系表达式，它用于描述数的大小关系。
在解不等式时，我们需要找到所有满足不等式条件的数的集合，这个集合就是不等式的解集。
本文将对不等式的解集表示进行总结。
一、不等式的基本概念不等式是包含不等号的数学表达式，用于表示数的大小关系。
常见的不等号有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。
二、不等式的解集表示形式1. 区间表示法区间表示法是表示解集的一种常用形式，它使用区间的形式来表示各种数的范围。
常见的区间表示法有：开区间、闭区间、半开半闭区间等。
- 开区间：使用小于号或大于号表示不包含边界的区间，如（a，b），表示大于a小于b的数的集合。
- 闭区间：使用小于等于号或大于等于号表示包含边界的区间，如[a，b]，表示大于等于a小于等于b的数的集合。
- 半开半闭区间：左边界使用小于等于号或大于等于号，右边界使用小于号或大于号，如[a，b)，表示大于等于a小于b的数的集合。
2. 集合表示法集合表示法是用大括号{}把解集中的元素一一列举出来的形式，常用于表示有限个解的情况。
例如{1，2，3}表示解集中包含1、2、3这三个数。
3. 图形表示法对于一维不等式，我们可以用数轴来表示解集。
在数轴上，我们可以用实心圆点、空心圆点和箭头表示解集的情况。
- 实心圆点：表示解集中包含该点所在的数。
- 空心圆点：表示解集中不包含该点所在的数。
- 箭头：表示解集中包含该箭头所指的数的范围。
三、示例分析1. 解集表示形式为区间的示例：不等式：2x - 5 > 3解集表示：(4/2，+∞)，即大于2的所有实数。
2. 解集表示形式为集合的示例：不等式：x^2 - 4 < 0解集表示：{-2，2}，即解集包含-2和2这两个实数。
3. 解集表示形式为图形的示例：不等式：x ≤ -3 或 x > 5解集表示：在数轴上，用实心圆点表示x ≤ -3的部分，用箭头表示x > 5的部分。
专题7.2二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题(2021年高考数学一轮复习专题)
专题二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题一、考点全归纳1．二元一次不等式(组)表示的平面区域满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．3．线性规划的有关概念1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域；(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实数．(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证． 2．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于Ax ＋By ＋C >0或Ax ＋By ＋C <0，则有 (1)当B (Ax ＋By ＋C )>0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方； (2)当B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方． 3．平移规律当b >0时，直线z ＝ax ＋by 向上平移z 变大，向下平移z 变小；当b <0时，直线z ＝ax ＋by 向上平移z 变小，向下平移z 变大．二、题型全归纳题型 一 二元一次不等式(组)表示的平面区域【题型要点】(1)求平面区域面积的方法①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；①对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和． (2)根据平面区域确定参数的方法在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案．命题角度一 平面区域的面积【例1】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B ．23 C.43D ．34【解析】表示的平面区域如图阴影部分所示，A ⎝⎛⎭⎫0，43，B (1，1)，C (0，4)，则①ABC 的面积为12×1×83＝43.故选C. 【例2】．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，2x －y ≤4，x －y ≥0所围成的平面区域的面积为( )A ．3 2B ．6 2C ．6D ．3不等式组所围成的平面区域为①ABC ，其中A (2,0)，B (4，4)，C (1,1)，所求平面区域的面积为S ①ABO －S ①ACO ＝12×(2×4－2×1)＝3. 角度二 平面区域的形状【例3】若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)． 解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2得A ⎝⎛⎭⎫23，23；解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2得B (1，0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中的a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.【例4】(2020·南昌一模)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，3x －y －5≤0表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx 经过区域M 内的点，则实数k 的取值范围为( )A. ⎥⎦⎤ ⎝⎛221，B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡3421，C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡221，D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡234，【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，3x －y －5≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示，即三角形ABC (含边界)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3＝0，3x －y －5＝0得点A (2,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －y ＋1＝0得点C (1，2)，又直线OA 的斜率为k OA ＝12，直线OC 的斜率为k OC ＝2，而直线y ＝kx 表示过原点O 的直线，因此根据题意可得k OA ≤k ≤k OC ，即12≤k ≤2.题型二 求目标函数的最值命题角度一 求线性目标函数的最值【题型要点】(1)求目标函数的最值形如z ＝ax ＋by (b ≠0)的目标函数，可变形为斜截式y ＝－a b x ＋zb(b ≠0)．①若b >0，当直线过可行域且在y 轴上的截距最大时，z 值最大，在y 轴上截距最小时，z 值最小；①若b <0，当直线过可行域且在y 轴上的截距最大时，z 值最小，在y 轴上的截距最小时，z 值最大． (2)求目标函数最优解的常用方法如果可行域是一个多边形，那么一般在某顶点处使目标函数取得最优解，到底哪个顶点为最优解，可有两种方法判断：①将可行域各顶点的坐标代入目标函数，通过比较各顶点函数值大小即可求得最优解； ①将目标函数的直线平移，最先通过或最后通过的顶点便是最优解．【例1】 (2020·广东佛山一模)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，y ≤x ＋1，y ≥0.则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．7B ．8C ．15D ．16【解析】作出变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，y ≤x ＋1，y ≥0.的可行域如图中阴影部分所示：由图可知，目标函数z ＝2x ＋y 在点A 处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝4得A (3，2)．所以z max ＝2×3＋2＝8.故选B.【例2】．(2019·全国卷Ⅱ)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≥0，x ＋y －3≤0，y －2≤0，则z ＝3x －y 的最大值是________．【解析】 作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)由图易知，当直线y ＝3x －z 过点C 时，－z 最小，即z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3＝0，2x ＋3y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，即C 点坐标为(3,0)，故z max ＝3×3－0＝9. 命题角度二 求非线性目标函数的最值【题型要点】常见两类非线性目标函数的几何意义(1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0，0)间的距离，（x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y )与点(a ，b )间的距离； (2)yx 表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率，y －b x －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． 【例3】(2020·安徽马鞍山一模)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≤x ＋1，y ≥1－x 则x 2＋y 2的最大值与最小值之和为( )A ．5B ．112 C ．6 D ．7【解析】作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≤x ＋1，y ≥1－x 表示的可行域如图中阴影部分所示，x 2＋y 2的几何意义是原点O 到可行域内点的距离的平方，由图可知，O 到直线x ＋y －1＝0的距离最小，为12.可行域内的点B 与坐标原点的距离最大，为22＋12＝ 5.所以x 2＋y 2的最大值与最小值之和为5＋12＝112.故选B.【例4】实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2.(1)若z ＝yx，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围；(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围． 【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1，2)，所以k OB ＝21＝2，即z min ＝2，所以z 的取值范围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．因此x 2＋y 2的最小值为OA 2，最大值为OB 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0，1)，所以OA 2＝(02＋12)2＝1，OB 2＝(12＋22)2＝5，所以z 的取值范围是[1，5]．命题角度三 求参数值或取值范围【题型要点】求解线性规划中含参数问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．【例5】(2020·江西九江一模)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －m ≥0，x －3≤0，若z ＝2x －3y 的最大值为9，则正实数m的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8【解析】作出x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －m ≥0，x －3≤0，表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可知z ＝2x －3y 在点A 处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －m ＝0，x ＝3解得A (3，m －3)，由z max ＝2×3－3(m －3)＝9，解得m ＝2.故选A.【例6】(2020·陕西咸阳模拟检测(一))若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，若z ＝ax －y (a ①R )的最小值是－1，则a 的取值范围是 ．【解析】 画出可行域如图所示(阴影部分)，目标函数对应的直线为y ＝ax －z ，当截距－z 最大时，目标函数z 取得最小值，因为z ＝ax －y (a ①R )的最小值是－1，所以在A (0，1)处取得最小值．由图象可知，直线 y ＝ax －z 的斜率a ≤2，因为当a >2时，目标函数在B 点取得最小值，所以a 的取值范围是(－∞，2]．【例7】(2020·华南师大附中二模)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.12B.13C ．1D ．2【解析】作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分(含边界)．当直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝a (x －3)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，①z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12.题型三 线性规划的实际应用【题型要点】线性规划解决实际问题的一般步骤 (1)能建立线性规划模型的实际问题①给定一定量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收益最大； ①给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源最少． (2)解决线性规划实际问题的一般步骤①转化：设元，写出线性约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题； ①求解：解决这个纯数学的线性规划问题；①作答：根据实际问题，得到实际问题的解，据此作出回答．【例1】(2020·河北“五个一名校联盟”模拟)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的限量如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )B ．17万元C ．18万元D ．19万元【解析】 设该企业每天生产x 吨甲产品，y 吨乙产品，可获得利润为z 万元，则z ＝3x ＋4y ，且x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，可知当直线经过点(2，3)时，z 取得最大值，z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．故选C.【例2】(2020·武汉市部分学校调研)某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料3千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A ，B 原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为( )A ．1 800元B ．2 100元C ．2 400元D ．2 700元【解析】 设生产甲产品x 桶，生产乙产品y 桶，每天的利润为z 元．根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，x ①N *，y ≥0，y ①N *，z ＝300x ＋400y .作出⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0所表示的可行域，如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，当直线经过点A (0，6)时，z 有最大值，z max ＝400×6＝2 400，故选C.三、高效训练突破 一、选择题1．(2020·贵阳期中)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y <－3x ＋12，x <2y 表示的平面区域为( )【解析】选特殊点(0,6)检验，当x ＝0，y ＝6时，y <－3x ＋12成立，x <2y 成立，所以点(0,6)在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y <－3x ＋12，x <2y 表示的平面区域内，另外注意到边界线是虚线，故选B. 2．(2020·揭阳模拟)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y ＋1≥0，x ≥0，则z ＝x2＋y 的最小值为( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2【解析】：作出x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y ＋1≥0，x ≥0的平面区域如图所示(阴影部分)：由图易得，目标函数z ＝x2＋y 在点A 处取最小值，为－1.故选A.3．(2020·福建漳州一模)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3≥0，x －2y ＋2≤0.则x ＋y ( )A ．有最小值无最大值B ．有最大值无最小值C ．既有最小值也有最大值D ．既无最小值也无最大值【解析】：如图中阴影部分所示即为实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3≥0，x －2y ＋2≤0的可行域，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x －2y ＋2＝0得A ⎝⎛⎭⎫85，95.由图易得当x ＝85，y ＝95时，x ＋y 有最小值175，没有最大值．故选 A.4．(2020·琼海摸底)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，y －x ≤1，y ≥0，则z ＝2x ·8y 的最大值是( )A ．4B ．8C ．16D ．32【解析】先根据实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，y －x ≤1，y ≥0画出可行域(如图阴影部分所示)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y －x ＝1，解得A ⎝⎛⎭⎫12，32， 当直线u ＝x ＋3y 过点A 时，u 取得最大值是12＋3×32＝5，则z ＝2x ·8y ＝2x ＋3y 的最大值为25＝32.5．(2020·华中师范大学第一附中模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤2，x ≤－1，则x ＋yy 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，23 B.⎝⎛⎦⎤0，23 C.⎝⎛⎦⎤－1，－13 D.⎣⎡⎦⎤32，2【解析】作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分由图可知k ＝y x 在点A (－1,3)处取得最小值－3，且斜率k 小于直线x ＋y ＝1的斜率－1.故－3≤k <－1.所以－1<xy ≤－13.故0<x ＋y y ≤23.6．(2020·洛阳市统考)点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，则|PQ |的取值范围是( )A ．[5－1，10－1]B ．[5－1，10＋1]C ．[10－1，5]D ．[5－1，5]【解析】：作出点P 满足的线性约束条件表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，因为点Q 所在圆的圆心为M (0，－2)，所以|PM |取得最小值的最优解为(－1，0)，取得最大值的最优解为(0，2)，所以|PM |的最小值为5，最大值为4，又圆M 的半径为1，所以|PQ |的取值范围是[5－1，5]，故选D.7.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为( )A ．(0，3]B ．[－1，1]C ．(－∞，3]D ．[3，＋∞) 【解析】：直线y ＝kx －1过定点M (0，－1)，由图可知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1与直线x ＋y ＝3的交点C (1，2)时，k 最小，此时k CM ＝2－（－1）1－0＝3，因此k ≥3，即k ①[3，＋∞)．故选D.8．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，y ≥x ，x ＋y ≤2(a <1)，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( )A.211 B ．14 C.12D ．34【解析】：在直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示当目标函数z ＝2x ＋y 经过可行域中的点B (1，1)时有最大值3，当目标函数z ＝2x ＋y 经过可行域中的点 A (a ，a )时有最小值3a ，由3＝4×3a ，得a ＝14.9..不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥2，x ＋y ≤4的解集记为D ，则“①(x ，y )①D ，使x －y ≥a 成立”的必要不充分条件是( )A ．a <0B ．a ≤－3C ．a >0D ．a ≤－2【解析】：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥2，x ＋y ≤4表示的区域D ，如图中阴影部分所示其中A (2，2)，B (1，2)，C (1，3)，①(x ，y )①D ，使x －y ≥a 成立，则a ≤(x －y )min ，平移直线x －y ＝0，易知当直线经过点C (1，3)时，x －y 取得最小值，(x －y )min ＝－2，则a ≤－2，故必要不充分条件可以是a <0，故选A.10．(2020·河南洛阳一模)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，x －2y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，则z ＝yx －5的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－23，43B.⎣⎡⎦⎤－43，23C.⎝⎛⎦⎤－∞，－23①⎣⎡⎭⎫34，＋∞D.⎝⎛⎦⎤－∞，－34①⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 【解析】：作出可行域如图所示(阴影部分)，z ＝yx －5表示可行域内的点(x ，y )与定点C (5，0)连线的斜率，易求得A (2，2)，B (2，－4)，所以k AC ＝－23，k BC ＝43，则由图可知－23≤z ≤43.故选A.11．(2020·太原模拟)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋2y －2≥0，4x －y －8≤0，则z ＝|x ＋3y |的最大值为( )A ．15B ．13C ．3D ．2【解析】：法一：画出约束条件所表示的可行域，如图所示(阴影部分)， 设z 1＝x ＋3y ，可化为y ＝－13x ＋z 13，当直线y ＝－13x ＋z 13经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 1取得最大值；当直线y ＝－13x ＋z 13经过点B 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 1取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，4x －y －8＝0解得A (3，4)，此时最大值为3＋3×4＝15; 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，4x －y －8＝0解得B (2，0)，此时最小值为2＋3×0＝2，所以z ＝|x ＋3y |的最大值为15，故选A. 二、填空题1．(2020·福州市质量检测)已知点A (0，2)，动点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎨⎧x ≥0y ≤x，则|P A |的最小值是 ．【答案】：2【解析】：可行域为如图所示的阴影部分，|P A |表示可行域上的点到点A (0，2)的距离，所以|P A |的最小值转化成点A 到直线y ＝x 的距离，所以|P A |min ＝|－2|2＝ 2.2．(2020·安徽五校联盟第二次质检)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1x ＋2y ≤2，x ≤a 目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为2，则a ＝ ．【解析】：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1x ＋2y ≤2x ≤a 表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋3y ＝0，平移直线2x＋3y ＝0，显然过A (a ，1－a )时，z ＝2x ＋3y 取得最小值，则2a ＋3(1－a )＝2，a ＝1.3.(2020·安徽省考试试题)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0则z ＝2x －y 的最小值为 ．【解析】：法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线2x －y ＝0，平移该直线，由图可知当直线经过点A 时，目标函数z ＝2x －y 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －5＝0x ＋y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4，即A (3，4)，所以z min ＝2×3－4＝2.法二：易知目标函数z ＝2x －y 的最小值在可行域的顶点处取得，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －5＝0x ＋y －7＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －5＝0x －3y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7＝0x －3y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝2，所以可行域的顶点坐标分别为(3，4)，(2，1)，(5，2)，代入目标函数得对应的z 的值为2，3，8，所以z 的最小值为2.4．(2020·郑州市第二次质量预测)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋10≤0x ＋2≥0x ＋2y －5≤0，则z ＝y x的取值范围为 ．【解析】：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z ＝yx 表示平面区域内的点与坐标原点O 的连线的斜率．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＝0x －3y ＋10＝0，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝3，即A (－1，3)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2x －3y ＋10＝0，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝83，即B ⎝⎛⎭⎫－2，83. 所以z max ＝k OB ＝83－2＝－43，z min ＝k OA ＝3－1＝－3，所以z ＝yx 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－3，－43. 5．已知点A (2，1)，O 是坐标原点，P (x ，y )的坐标满足：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0x －2y ＋3≥0y ≥0，设z ＝OP →·OA →，则z 的最大值是________．【解析】由题意，作出可行域如图中阴影部分所示．z ＝OP →·OA →＝2x ＋y ，作出直线2x ＋y ＝0并平移，可知当直线过点C 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0x －2y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2，即C (1，2)，则z 的最大值是4. 6．(2019·湖北“四地七校”联考)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝x ＋2y －4的最大值是________．【解析】画出x ，y 满足的可行域，如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，解得点B (7,9)，则目标函数z ＝x ＋2y －4经过点B (7,9)时，z 取得最大值为7＋18－4＝21.7．(2019·河南安阳)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(x ，y )，且变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，x ＋y －3≤0，则z ＝a ·b 的最大值为________．【解析】 a ·b ＝2x ＋3y ，作出题中可行域，如图①OAB 内部(含边界)，作直线l ：2x ＋3y ＝0，向上平移直线l .当直线过点A ⎪⎭⎫⎝⎛2323，时，z ＝2x ＋3y ＝152为最大值．8．(2019·厦门模拟)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －3y ＋5≥0，2x －y －5≤0，则z ＝x 2＋y 2的最大值为________．【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －3y ＋5≥0，2x －y －5≤0所表示的平面区域如图中阴影部分所示z ＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点距离的平方．z ＝x 2＋y 2的最大值对应的点为A .由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋5＝0，2x －y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3，则A (4,3)．所以z ＝x 2＋y 2的最大值为|OA |2＝42＋32＝25，因此z ＝x 2＋y 2的最大值为25.9.已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y －x ＋1≤0，y －2x ＋4≥0.若目标函数z ＝y －ax (a ≠0)取得最大值时的最优解有无数个，则z ＝y －ax (a ≠0)的最小值为________．【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．易得A (1,0)，B (2,0)，C (3,2)，由z ＝y －ax (a ≠0)得y ＝ax ＋z .当a >0时，作直线l 0：y ＝ax ＋z ，平移l 0可知，当y ＝ax ＋z 与x －y －1＝0重合时，z 取得最大值的最优解有无数个，此时a ＝1.当直线过B 点时，z 有最小值z min ＝0－1×2＝－2；当a <0时，数形结合知，z ＝y －ax 取得最大值的最优解不可能无限多．综上可知z min ＝－2.10．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋y －1≥0，x －y －3≤0，y ≤0，则z ＝y －ln x 的取值范围为________．【答案】：[－2，ln 6]【解析】：作出可行域如图(阴影部分)其中A (16，0)，B (3，0)，C (47，－177)． 由图可知，当y ＝ln x ＋z 过点A (16，0)时z 取得最大值， z max ＝0－ln 16＝ln 6.设y ＝ln x ＋z 的图象与直线y ＝x －3 相切于点M (x 0，y 0)，由y ＝ln x ＋z 得y ′＝1x ，令1x 0＝1得x 0＝1①⎪⎭⎫ ⎝⎛374，， 故y ＝ln x ＋z 与y ＝x －3切于点M (1，－2)时，z 取得最小值，z min ＝－2－ln 1＝－2.所以z ＝y －ln x 的取值范围为[－2，ln 6]．11.(2020·浙江杭州模拟)若存在实数x ，y ，m 使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x －3y ＋2≤0，x ＋y －6≤0与不等式x －2y ＋m ≤0都成立，则实数m 的取值范围是________【解析】：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x －3y ＋2≤0，x ＋y －6≤0表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中A (4，2)，B (1，1)，C (3，3)．设z ＝x －2y ，将直线l ：z ＝x －2y 进行平移，当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值，可得z max ＝4－2×2＝0，当l 经过点C 时，目标函数z 达到最小值，可得z min ＝3－2×3＝－3，因此z ＝x －2y 的取值范围为[－3，0]．因为存在实数m ，使不等式x －2y ＋m ≤0成立，即存在实数m ，使x －2y ≤－m 成立，所以－m 大于或等于z 的最小值，即－3≤－m ，解得m ≤3，.12．(2020·安徽合肥一模)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A ，B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时．A ，B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为 千克．【解析】：设生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，利润z 千元，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960，z ＝2x ＋y ，作出⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当直线z ＝2x ＋y 经过直线2x ＋3y ＝480与直线6x ＋y ＝960的交点(150，60)(满足x ①N ，y ①N )时，z 取得最大值，为360.三 解答题1．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＞0x ＋y ＋1＜03x ＋y ＋9＞0，记点(x ，y )对应的平面区域为P .(1)设z ＝y ＋1x ＋3，求z 的取值范围； (2)过点(－5，1)的一束光线，射到x 轴被反射后经过区域P ，当反射光线所在直线l 经过区域P 内的整点(即横纵坐标均是整数的点)时，求直线l 的方程．【解析】：平面区域如图中阴影部分所示，易得A ，B ，C 三点的坐标分别为A (－4，3)，B (－3，0)， C (－1，0)．(1)由z ＝y ＋1x ＋3知z 的值即是定点P (－3，－1)与区域内的点Q (x ，y )连接的直线的斜率，当直线过A (－4，3)时，z ＝－4；当直线过C (－1，0)时，z ＝12.故z 的取值范围是(－∞，－4)①⎝⎛⎭⎫12，＋∞. (2)过点(－5，1)的光线被x 轴反射后的光线所在直线必经过点(－5，－1)，由题设可得区域内坐标为整数点仅有点(－3，1)，故直线l 的方程是y －1（－1）－1＝（x ＋3）（－5）＋3，即x －y ＋4＝0. 2．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示： 原料现有A 种原料200吨，B 种原料1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．【解析】：(1)由已知得，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.设二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3， 这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线.z 3为直线在y 轴上的截距，当z 3取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z 3最大，即z 最大． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20，24)．所以z max ＝2×20＋3×24＝112. 即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．。
7.2__一元二次不等式及其解法
(1)2x2+4x+3<0; (2)-3x2-2x+8≤0; (3)8x-1≥16x2. 思维启迪 首先将二次项系数转化为正数，再看二 次三项式能否因式分解，若能,则可得方程的两根, 大于号取两边,小于号取中间,若不能,则再看“Δ”, 利用求根公式求解方程的根,而后写出解集.
由题意知该直线当-2≤m≤2时线段在x轴下方，
f f
((2)2)00,即2x22x2
2x 2x
3 1
0
0
① ②
9分
解①, 得x 1 7 或x 1 7 ,
2
2
解②, 得 1 3 x 1 3 .
2
2
由①②得 -1 7 x 1 3 .
2
2
x的 取 值 范 围 为{ x | -1 7 x 1 3 }.
A. ( 1 , 1) 32
B. (, 1) (1 ,) 32
C. ( 1 , 1) 23
D. (, 1) (1 ,) 23
（）
解析 不等式 ( 1 x)(x 1) 0,
2
3
同解于( x 1 )(x 1) 0,
23
又∵相应方程 ( x 1 )(x 1) 0 的两根为 23
x1
2
2
11分 12分
探究提高 （1）解决恒成立问题一定要搞清谁是自 变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变 量，求谁的范围，谁就是参数. （2）对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应 的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒 小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全 部在x轴下方.
当a=1时,有x≠1, 此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}. 综上可知:当a<0或a>1时, 原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}; 当0<a<1时,原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}; 当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠0}; 当a=1时,原不等式的解集为{x|x≠1}.
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第七章不等式7.2一元二次不等式及其解法习题理
核按钮（新课标）高考数学一轮复习第七章不等式7.2一元二次不等式及其解法习题理1．解不等式的有关理论(1)若两个不等式的解集相同，则称它们是；(2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的；(3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示．2．一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是．3．一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式．(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________．(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx ＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取，小于号取”求解集．函数、方程与不等式Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx＋c(a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的根有两相异实根x 1,x 2(x 1＜x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a无实根ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集① ②Rax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2} ∅ ③4.分式不等式解法(1)化分式不等式为标准型．方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f （x ）g （x ）的形式．(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f （x ）g （x ）＞0 ⇔ f (x )g (x )＞0； f （x ）g （x ）＜0 ⇔ f (x )g (x )＜0； f （x ）g （x ）≥0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0，g （x ）≠0； f （x ）g （x ）≤0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≤0，g （x ）≠0. 自查自纠1．(1)同解不等式 (2)同解变形 2.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞b a ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜b a a ＝0，b ＜03．(1)一元二次 (2)解集 (3)两边 中间 (4)①{}x |x ＜x 1或x ＞x 2 ②⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－b 2a ③∅(2014·课标Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( )A ．[－2，－1]B ．[－1，2)C ．[－1，1]D ．[1，2)解：∵A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}＝[－2，－1]．故选A .设f (x )＝x 2＋bx ＋1且f (－1)＝f (3)，则f (x )>0的解集为( ) A ．{x |x ∈R } B ．{x |x ≠1，x ∈R } C ．{x |x ≥1}D ．{x |x ≤1}解：f (－1)＝1－b ＋1＝2－b ，f (3)＝9＋3b ＋1＝10＋3b ， 由f (－1)＝f (3)，得2－b ＝10＋3b ，解出b ＝－2，代入原函数，f (x )>0即x 2－2x ＋1>0，x 的取值范围是x ≠1.故选B .已知－12<1x<2，则x 的取值范围是( )A ．(－2，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(2，＋∞) D ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解：当x >0时，x >12；当x <0时，x <－2.所以x 的取值范围是x <－2或x >12，故选D .不等式2x 2－x <4的解集为____________．解：由2x 2－x <4得x 2－x <2，解得－1<x <2，即不等式2x 2－x <4的解集为{x |－1<x <2}．故填{x|－1<x<2}．(2014·武汉调研)若一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为________．解：显然k ≠0.则⎩⎪⎨⎪⎧2k ＜0，Δ＜0， 解得k ∈(－3，0)．故填(－3，0)．类型一 一元一次不等式的解法已知关于x 的不等式(a ＋b )x ＋2a －3b ＜0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13，则关于x 的不等式(a －3b )x ＋b －2a ＞0的解集为________．解：由(a ＋b )x ＜3b －2a 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13， 得a ＋b ＞0，且3b －2a a ＋b ＝－13，从而a ＝2b ，则a ＋b ＝3b ＞0，即b ＞0， 将a ＝2b 代入(a －3b )x ＋b －2a ＞0，得－bx －3b ＞0，x ＜－3，故填{x|x ＜－3}．【点拨】一般地，一元一次不等式都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式．挖掘隐含条件a ＋b ＞0且3b －2a a ＋b ＝－13是解本题的关键．解关于x 的不等式：(m 2－4)x ＜m ＋2.解：(1)当m 2－4＝0即m ＝－2或m ＝2时， ①当m ＝－2时，原不等式的解集为∅， ②当m ＝2时，原不等式的解集为R . (2)当m 2－4＞0，即m ＜－2或m ＞2时，x ＜1m －2. (3)当m 2－4＜0，即－2＜m ＜2时，x ＞1m －2. 类型二 一元二次不等式的解法解下列不等式：(1)x 2－7x ＋12＞0; (2)－x 2－2x ＋3≥0； (3)x 2－2x ＋1＜0; (4)x 2－2x ＋2＞0.解：(1)方程x 2－7x ＋12＝0的解为x 1＝3，x 2＝4.而y ＝x 2－7x ＋12的图象开口向上，可得原不等式x 2－7x ＋12＞0的解集是{x |x ＜3或x ＞4}．(2)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x 2＋2x －3≤0. 方程x 2＋2x －3＝0的解为x 1＝－3，x 2＝1.而y ＝x 2＋2x －3的图象开口向上，可得原不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集是{x |－3≤x ≤1}．(3)方程x 2－2x ＋1＝0有两个相同的解x 1＝x 2＝1.而y ＝x 2－2x ＋1的图象开口向上，可得原不等式x 2－2x ＋1＜0的解集为∅.(4)因为Δ＜0，所以方程x 2－2x ＋2＝0无实数解，而y ＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，可得原不等式x 2－2x ＋2＞0的解集为R .【点拨】解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．(2015·贵州模拟)关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中，恰有3个整数，则实数a 的取值范围是________．解：原不等式可化为(x －1)(x －a )<0，当a >1时，得1<x <a ，此时解集中的整数为2，3，4，则4<a ≤5；当a <1时，得a <x <1，此时解集中的整数为－2，－1，0.则－3≤a <－2，故a ∈[－3，－2)∪(4，5]．故填[－3，－2)∪(4，5]．类型三 二次不等式、二次函数及二次方程的关系(2015·贵州模拟)已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x <－1或x >12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x <12C ．{x |－2<x <1}D ．{x |x <－2或x >1}解：由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根，且a ＜0.由韦达定理得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝－b a ，（－1）×2＝2a⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.∴不等式2x 2＋bx ＋a <0，即2x 2＋x －1<0. 解得－1＜x ＜12.故选B .【点拨】已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，则不等式cx 2－bx ＋a ＞0的解集为________．解：∵不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，∴a ＜0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧－ba＝2＋3，ca ＝2×3，a ＜0.即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5a ，c ＝6a ，a ＜0.代入不等式cx 2－bx ＋a ＞0，得6ax 2＋5ax ＋a >0(a ＜0)．即6x 2＋5x ＋1＜0，解得－12＜x ＜－13.故填⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－12＜x ＜－13.类型四 含有参数的一元二次不等式解关于x 的不等式：mx 2－(m ＋1)x ＋1＜0.解：(1)当m ＝0时，不等式为－(x －1)＜0，得x －1＞0，不等式的解集为{x |x ＞1}；(2)当m ≠0时，不等式为m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m (x －1)＜0.①当m ＜0，不等式为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m (x －1)＞0，∵1m＜1，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1m或x ＞1.②当m ＞0，不等式为⎝⎛⎭⎪⎫x －1m (x －1)＜0.(Ⅰ)若1m＜1，即m ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1m＜x ＜1；(Ⅱ)若1m＞1，即0＜m ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1＜x ＜1m ； (Ⅲ)若1m＝1，即m ＝1时，不等式的解集为∅.【点拨】当x 2的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对m ≠0与m ＝0进行讨论，这是第一层次；第二层次：x 2的系数正负(不等号方向)的不确定性，对m ＜0与m ＞0进行讨论；第三层次：1m与1大小的不确定性，对m＜1、m ＞1与m ＝1进行讨论．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．解：不等式整理为ax 2＋(a －2)x －2≥0， 当a ＝0时，解集为(－∞，－1]．当a ≠0时，ax 2＋(a －2)x －2＝0的两根为－1，2a，所以当a ＞0时，解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a，＋∞；当－2＜a ＜0时，解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a，－1；当a ＝－2时，解集为{x |x ＝－1}；当a ＜－2时，解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2a .类型五 分式不等式的解法(1)不等式x －12x ＋1≤1的解集为________．解：x －12x ＋1≤1 ⇔ x －12x ＋1－1≤0 ⇔ －x －22x ＋1≤0 ⇔ x ＋22x ＋1≥0.解法一：x ＋22x ＋1≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋2）（2x ＋1）≥0，2x ＋1≠0.得{x|x ＞－12或x ≤－2}．解法二：x ＋22x ＋1≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，2x ＋1＞0 或 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤0，2x ＋1＜0.得{x |x ＞－12或x ≤－2}．故填{x|x ＞－12或x≤－2}．(2)不等式x －2x 2＋3x ＋2＞0的解集为 ．解：x －2x 2＋3x ＋2＞0⇔x －2（x ＋2）（x ＋1）＞0⇔(x －2)(x ＋2)(x ＋1)＞0，数轴标根得{x |－2＜x ＜－1或x ＞2}， 故填{x|－2＜x ＜－1或x ＞2}．【点拨】分式不等式可以先转化为简单的高次不等式，再利用数轴标根法写出不等式的解集，如果该不等式有等号，则要注意分式的分母不能为零．※用“数轴标根法”解不等式的步骤：(1)移项：根据不等式的性质对不等式进行移项，使得右端为0，化为不等式的标准形式(注意：一定要保证x 的最高次幂的项的系数为正数)．(2)求根：就是求出不等式所对应的方程的所有根．①若是整式不等式，将其分解因式，求出所有根；②若是分式不等式，用积和商的符号法则，将其转化为整式不等式，再求出所有根．(3)标根：在数轴上按从左到右(由小到大)依次标出各根(不需标出准确位置，只需标出相对位置即可)．(4)画穿根线：从数轴“最右根”的右上方向左下方画线，穿过此根，再往左上方穿过“次右根”，一上一下依次穿过各根．但画线时遇偶重根不穿过(即线画至此根时，不穿过此根，而向左依次穿过其余的根)，遇奇重根要穿过，可用口诀：“奇穿偶不穿”来记忆．(5)写出不等式的解集：若不等号为“＞”，则取数轴上方穿根线以内的范围；若不等号为“＜”，则取数轴下方穿根线以内的范围；若不等式中含有“＝”号，就连根一同取，但若是分式不等式，写解集时要考虑分母不能为零．(1)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x －2x ≤0，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x ＜0} B ．{x |0＜x ≤1} C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}解：易知A ＝{x |－1≤x ≤1}，B 集合就是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x （x －2）≤0，x ≠0 的解集，求出B ＝{}x |0＜x ≤2，所以A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}．故选B .(2)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 解：x －12x ＋1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0得－12<x ≤1.故选A .类型六 和一元二次不等式有关的恒成立问题(1)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12成立，则实数a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3解法一：不等式可化为ax ≥－x 2－1，由于x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，∴a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x .∵f (x )＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是减函数， ∴⎝⎛⎭⎪⎫－x －1x max ＝－52.∴a ≥－52. 解法二：令f (x )＝x 2＋ax ＋1，对称轴为x ＝－a2.①⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≤0，f （0）≥0 ⇒a ≥0.(如图1) ②⎩⎪⎨⎪⎧0＜－a 2＜12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2≥0⇒－1＜a ＜0.(如图2)③⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≥12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥0⇒－52≤a ≤－1.(如图3)图1图2图3综上 ①②③，a ≥－52.故选C .(2)已知对于任意的a ∈[－1，1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( )A ．1＜x ＜3B ．x ＜1或x ＞3C ．1＜x ＜2D ．x ＜1或x ＞2解：记g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，a ∈[－1，1]，依题意，只须⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＞0，g （－1）＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2＞0，x 2－5x ＋6＞0⇒x ＜1或x ＞3，故选B .【点拨】(1)一元二次不等式恒成立问题，对于x 变化的情形，解法一利用参变量分离法，化成a ＞f (x )(a ＜f (x ))型恒成立问题，再利用a ＞f (x )max (a ＜f (x )min )，求出参数范围．解法二化归为二次函数，由于是轴动区间定，结合二次函数对称轴与定义域的位置关系、单调性等相关知识，求出参数范围．(2)对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于x 的二次不等式转换为关于a 的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调性，求出x 的取值范围．(1)(2015·甘肃模拟)若不等式a ·4x －2x＋1>0对一切x ∈R 恒成立，则实数a的取值范围是________．解：不等式可变形为a >2x－14x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ，令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝t ，则t >0.∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＝t －t2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，因此当t ＝12时，y 取最大值14，故实数a 的取值范围是a >14.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞.(2)对于满足|a |≤2的所有实数a ，使不等式x 2＋ax ＋1＞2x ＋a 成立的x 的取值范围为________．解：原不等式转化为(x －1)a ＋x 2－2x ＋1＞0，设f (a )＝(x －1)a ＋x 2－2x ＋1，则f (a )在[－2，2]上恒大于0，故有：⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＞0，f （2）＞0 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＞0，x 2－1＞0 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞3或x ＜1，x ＞1或x ＜－1.∴x ＜－1或x ＞3.故填(－∞，－1)∪(3，＋∞)．类型七 二次方程根的讨论若方程2ax 2－x －1＝0在(0，1)内有且仅有一解，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞) C ．(－1，1)D ．[0，1)解法一：令f (x )＝2ax 2－x －1，则f (0)·f (1)＜0，即－1×(2a －2)＜0，解得a ＞1. 解法二：当a ＝0时，x ＝－1，不合题意，故排除C ，D ；当a ＝－2时，方程可化为4x 2＋x ＋1＝0，而Δ＝1－16＜0，无实根，故a ＝－2不适合，排除A.故选B .【点拨】本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，画出相应函数的图象后“看图说话”，主要从以下四个方面分析：①开口方向；②判别式；③区间端点函数值的正负；④对称轴x ＝－b2a与区间端点的关系．本书2.4节有较详细的讨论，可参看．(2015·贵州模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为________．解：根据题意有f (－2)f (－1)<0，∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0.∴－32<a <－56.又a ∈Z ，∴a ＝－1.检验知合要求．不等式f (x )>1即为－x 2－x ＋1>1，解得－1<x <0. ∴故填{x|－1＜x ＜0}．类型八 一元二次不等式的应用(2013·上海)甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润是100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．解：(1)根据题意，200⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 000⇒5x －14－3x≥0⇒5x 2－14x －3≥0⇒(5x ＋1)(x－3)≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.(2)设利润为y 元，则y ＝900x·100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x2＋1x＋5＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112.故x ＝6时，y max ＝457 500元．【点拨】和一元二次不等式有关的实际应用题是高考考查的重点，这类题目往往与实际生活结合紧密，应予以重视．(2015·河南模拟)某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解： (1)由题意得y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x . ∵售价不能低于成本价，∴100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0.∴y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为[0，2]．(2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.∴x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(a ≠0)的解集的确定，受二次项系数a 的符号及判别式Δ＝b 2－4ac 的符号制约，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集；二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的值恒大于0的条件是a ＞0且Δ＜0；若恒大于或等于0，则a ＞0且Δ≤0.若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时，必须考虑二次项系数为0这一特殊情形．2．解分式不等式要使一边为零；求解非严格分式不等式时，要注意分母不等于0，转化为不等式组．(注：形如f （x ）g （x ）≥0或f （x ）g （x ）≤0的不等式称为非严格分式不等式)3．解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论．对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确．4．解不等式的过程，实质上是不等式等价转化的过程．因此保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则．5．各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解，这体现了转化与化归的数学思想．6．对给定的一元二次不等式，求解的程序框图是：1．不等式x －2x ＋1≤0的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(－1，2] B ．[－1，2]C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞)D ．(－1，2]解：x －2x ＋1≤0⇔()x ＋1()x －2≤0，且x ≠－1，即x ∈(－1，2]，故选D .2．(2015·湖北模拟)不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋1＝1a ，－2×1＝－c a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝－2.则f (x )＝－x 2－x ＋2，∴f (－x )＝－x2＋x ＋2.故选C .3．(2013·安徽)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x)>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >lg2}B ．{x |－1<x <lg2}C ．{x |x >－lg2}D ．{x |x <－lg2}解：可设f (x )＝a (x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(a <0)，由f (10x )>0可得(10x＋1)⎝⎛⎭⎪⎫10x －12<0，从而10x <12，解得x <－lg2，故选D .4．(2013·陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( ) A ．[15，20] B ．[12，25] C ．[10，30]D ．[20，30]解：设矩形的另一边为y m ，依题意得x 40＝40－y40，即y ＝40－x ，所以x (40－x )≥300，解得10≤x ≤30.故选C .5．若关于x 的不等式2x 2－8x －4－a >0在(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－12) B ．(－4，＋∞) C ．(－12，＋∞)D ．(－∞，－4)解：关于x 的不等式2x 2－8x －4－a ＞0在(1，4)内有解，即a ＜2x 2－8x －4在(1，4)内有解，令f (x )＝2x 2－8x －4＝2(x －2)2－12，当x ＝2时，f (x )取最小值f (2)＝－12；当x ＝4时，f (4)＝2(4－2)2－12＝－4，所以在(1，4)上，－12≤f (x )＜－4.要使a ＜f (x )有解，则a ＜－4.故选D .6．若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根大于－2且小于0，另一个根大于1且小于3，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－12，＋∞)C ．(－22，0)D ．(－12，0)解：设f (x )＝3x 2－5x ＋a ，则由题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＞0，f （0）＜0，f （1）＜0，f （3）＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧22＋a ＞0，a ＜0，－2＋a ＜0，12＋a ＞0.解得－12＜a ＜0.故选D .7．(2015·浙江模拟)不等式log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x＋6≤3的解集为________．解：log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x＋6≤3⇔log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x＋6≤log 28⇔0＜x ＋1x ＋6≤8⇔－6＜x ＋1x≤2.当x ＞0时，x ＋1x ≥2，此时x ＝1；当x ＜0时，x ＋1x ≤－2，此时x ＋1x＞－6，解得－3－22＜x＜－3＋2 2.故填(－3－22，－3＋22)∪{1}．8．(2015·昆明模拟)已知a 为正的常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x 2a对一切非负实数x恒成立，则a 的最大值是__________．解：原不等式可化为x 2a ≥1＋x 2－1＋x (*)，令1＋x ＝t ，t ≥1，则x ＝t 2－1，所以(*)即（t 2－1）2a ≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝（t －1）22，对t ≥1恒成立，所以（t ＋1）2a ≥12对t ≥1恒成立，又a 为正的常数，所以a ≤[2(t ＋1)2]min ＝8，故a 的最大值是8.故填8.9．若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，求实数a 的取值范围． 解法一：设f (x )＝x 2－ax －a .则关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔f (x )min ≤－3，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－4a ＋a 24≤－3，解得a ≤－6或a ≥2.解法二：x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔x 2－ax －a ＋3＝0的判别式Δ≥0，解得a ≤－6或a ≥2.10．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)与车速x (km/h)之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2， s 乙＝0.05x ＋0.005x 2.问甲、乙两车有无超速现象？解：由题意知，对于甲车，有0.1x ＋0.01x 2＞12， 即x 2＋10x －1200＞0，解得x ＞30或x ＜－40(舍去)．这表明甲车的车速超过30 km/h ，又由甲车刹车距离略超12 m ，可判断甲车车速不会超过限速40 km/h.对于乙车有0.05x ＋0.005x 2＞10，即x 2＋10x －2000＞0，解得x ＞40或x ＜－50(舍去)． 这表明乙车超过40 km/h ，超过规定限速．11．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞－2x 的解集为(1，3)． (1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式； (2)若f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围． 解：(1)∵f (x )＋2x ＞0的解集为(1，3)， ∴f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a ＜0. 因而f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a .①由方程f (x )＋6a ＝0得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.② 因为方程②有两个相等的实根，所以Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0，即5a 2－4a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－15.由于a ＜0，舍去a ＝1，将a ＝－15代入①得f (x )的解析式f (x )＝－15x 2－65x －35.(2)由f (x )＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋2a a 2－a 2＋4a ＋1a， 及a ＜0，可得f (x )的最大值为－a 2＋4a ＋1a.由⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋4a ＋1a ＞0，a ＜0，解得a ＜－2－3或－2＋3＜a ＜0.故当f (x )的最大值为正数时，实数a 的取值范围是 (－∞，－2－3)∪(－2＋3，0)．解关于x 的不等式：a （x －1）x －2＞1(a ＜1)．解：(x －2)[(a －1)x ＋2－a ]＞0，当a ＜1时有(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1＜0，若a －2a －1＞2，即0＜a ＜1时，解集为{x |2＜x ＜a －2a －1}； 若a －2a －1＝2，即a ＝0时，解集为∅； 若a －2a －1＜2，即a ＜0时，解集为{x |a －2a －1＜x ＜2}．。
不等式的解集怎么求
不等式的解集怎么求
求不等式的解集可以先把各个不等式的解集表示在数轴上，观察公共部分。
然后去括号，移项，合并同类项，系数化为一时要注意到底是除以了一个正数还是负数。
一.步骤
去分母（注意乘以一个正数的公分母，这样就不变号），去括号，移项，合并同类项，系数化为一（这里注意到底是除以了一个正数还是负数）
二.求不等式组的解集的方法：
1、把各个不等式的解集表示在数轴上，观察公共部分。
2、不等式组的解集不外乎以下4种情况：
若a<b，
当x>b时；（同大取大）
当x<a时；（同小取小）
当a<x<b时；（大小小大中间找）
当x<a且x>b时无解，（大大小小无处找）
三.重点：
一元一次不等式组的解法，求公共解集的方法；
四.难点：
1、含有字母系数的不等式组的解集的讨论；
2、一元一次不等式组与二元一次方程组的综合问题。
五.不等式确定解集：
1、比两个值都大，就比大的还大(同大取大）；
2、比两个值都小，就比小的还小(同小取小）；
3、比大的大，比小的小，无解（大大小小取不了）；
4、比小的大，比大的小，有解在中间（小大大小取中间）。
三个或三个以上不等式组成的不等式组，可以类推。
7.2不等式的解集
怀文中学2012—2013学年度第二学期教学设计初二数学7．2不等式的解集主备:顾利荣审校：陈秀珍授课时间： 2013-2-19教学目标：1．会判断一个数是否为不等式的解；2．正确地将不等式的解集表示在数轴上．教学重点：不等式解集教学难点：对不等式解集的含义的理解；通过数轴直观地表现出不等式的解集．教学过程：一．自主学习（导学部分）1．什么叫做不等式？x+2＞5是不等式吗？2．当x的值分别取－1．0．2．3．3．5．5．6时，不等式x－3＞0和x－4＜0能分别成立吗？例如，x＝3．5．5．6都是不等式x－3＞0的解，x＝－1．0．2．3．3．5．5．6都是x－4＜0的解．练习：课本P．10～练习1．探索归纳：1．x＋2＞5．x－3＞0和x－4＜0的解各有多少个？2．不等式的解与方程解有什么不同？小结：不等式解是能不等式成立的，它是不确定的，是在一个范围内的任意值（无数个）；方程的解使等式成立的，它是一个具体的值．一个含有未知数的不等式的解的全体叫做不等式的解集（solution set）．不等式x＋2＞5．x－3＞0和x－4＜0的解集分别是什么？求不等式解集的过程叫做解不等式．二．合作、探究、展示不等式x+2＞5的解集，可以表示成x＞3．x＞3表示x取哪些数？在数轴上表示大于3的数的点应该数3所对应点的左边还是右边？(右边)因此我们可以在数轴上把x＞3直观地表示出来．画图时要注意方向(向右)和端点(不包括数3,在对应点画空心圆圈)．如图所示: 同样，如果某个不等式的解集为x≤-2, 那么它表示x取那些数？此时在作x≤-2的数轴表示时，要包括-2的对应点,因而在该点处应画实心圆点．如图所示: 引导学生总结出在数轴上表示不等式解集的要点：小于向左画，大于向右画；无等号画空心圆圈，有等号画实心圆点．练习：课本P．11～练习2．3三．巩固练习例1判断下列说法是否正确:（1）x=－2是不等式x+1＜2的解；2）不等式x+1＜2的解集是x=-1．[说明]不等式的解和不等式的解集既有联系又有区别，不等式的解是不等式解集中的一个元素；不等式解集中的每一个元素都是这个不等式其中的一个解．例2在数轴上表示下列不等式的解集：（1）x＜3；（2）x≤4；（3）x≥-0；（4）x＜2；（5）-1≤x＜2．四．自主拓展：将数轴上x的范围用不等式表示：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）x应取大于-2且小于1的值或x等于-2．此不等式的解集在数轴上的表示为：五．自主评价1．根据“当x为任何正数时，都能使不等式x+3＞2成立”，能不能说“不等式x+3＞2的解集是x＞0”？为什么？2．两个不等式的解集分别是x＜2和x≤2，它们有什么不同？在数轴上怎样表示它们的区别？．3．用不等式表示下列数量关系，再用数轴表示出来：(1)x小于-1；(2)x不小于-1；(3)a是正数；(4)b是非负数．教学后记：1．我们通过具体例子学习了不等式的解集的概念．要明确不等式的解集是指一个不等式所有解组成的集合．2．本课还学习了在数轴上表示不等式解集的方法．要在认清不等式解集的含义的基础上，在数轴上正确地表示出不等式的解集．。
初二数学不等式的解集知识点总结(优秀4篇)
初二数学不等式的解集知识点总结(优秀4篇)初二数学不等式的解集知识点总结篇一不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
相信上面的知识同学们已经能很好的掌握了，希望同学们在平时认真学习，很好的把每一个知识点掌握。
初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。
平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。
平面直角坐标系的构成在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。
通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。
水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。
通过上面对平面直角坐标系的构成知识的讲解学习，希望同学们对上面的内容都能很好的掌握，同学们认真学习吧。
点的坐标的性质下面是对数学中点的坐标的性质知识学习，同学们认真看看哦。
点的坐标的性质建立了平面直角坐标系后，对于坐标系平面内的任何一点，我们可以确定它的坐标。
反过来，对于任何一个坐标，我们可以在坐标平面内确定它所表示的一个点。
高考数学一轮复习 专题7.2 一元二次不等式及其解法(讲
专题7.2 一元二次不等式及其解法【考纲解读】内容要求备注A B C集合一元二次不等式√对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.线性规划√基本不等式√【直击考点】题组一常识题1．不等式－x2－x＋2≥0的解集是________．2．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台．【解析】根据题意，得3000＋20x－0.1x2≤25x，整理得x2＋50x－30 000≥0，解得x≤－200(舍去)或x≥150.因为x∈N，所以生产者不亏本时的最低产量是150台．3. 若关于x的一元二次方程mx2－(1－m)x＋m＝0没有实数根，则m的取值范围是______________．【解析】易知m≠0，Δ＝[－(1－m)]2－4m2<0，整理得－3m2－2m＋1<0，即3m2＋2m－1>0，解得m<－1或m>13，所以m的取值范围是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎪⎫13，＋∞.4．已知函数f(x)＝(ax－1)·(x＋b)，如果不等式f(x)＞0的解集是(－1，3)，则不等式f(－2x)＜0的解集是 ______________.题组二 常错题5．不等式x (2－x )>0的解集为________．【解析】由不等式x (2－x )＞0，得不等式x (x －2)＜0，则0＜x ＜2. 6．不等式(ax －1)(x －2)＜0(a ≤0)的解集是________．【解析】当a <0时，不等式(ax －1)(x －2)＜0可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)>0，解得x ＜1a或x >2；当a ＝0时，不等式(ax －1)(x －2)＜0可化为x －2＞0，解得x ＞2.7．不等式x －12x ＋1≤0的解集是________．【解析】原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0，解得－12＜x ≤1.题组三 常考题8． 设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝________________．【解析】集合A ＝(1，3)，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，所以A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3.9． 不等式2x 2－x ＜4的解集为________．【解析】因为2x 2－x <4＝22，所以x 2－x <2，解得－1<x <2，故不等式的解集为(－1，2)．10．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于一切实数x ，f (x )＜0恒成立，则m 的取值范围是 ________． 【解析】要使mx 2－mx －1＜0恒成立，若m ＝0，显然－1＜0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇒－4＜m ＜0， 所以m 的取值范围为－4＜m ≤0.【知识清单】考点1 一元二次不等式的解法对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集.24b ac ∆=-0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象20(0)ax bx c a ++=>的根有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅考点2 一元二次不等式恒成立问题由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论(1)不等式20ax bx c>＋＋对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)不等式20axbx c <＋＋对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.当定义域不是全体实数时，可结合二次函数图象考虑或者参变分离或转化为求二次函数最值． 考点3 一元二次不等式的应用构建不等式模型解决实际问题不等式的应用问题常常以函数为背景，多是解决实际生活、生产中的最优化问题等，解题时，要仔细审题，认清题目的条件以及要解决的问题，理清题目中各量之间的关系，建立恰当的不等式模型进行求解．【考点深度剖析】江苏新高考对不等式知识的考查要求较高，整个高中共有8个C 能级知识点，本章就占了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、数列、平面解析几何知识结合考查.一元二次不等式及其解法主要有两种常见的考查方式：一是解一元二次不等式，往往是比较简单的，是一些问题的基础；二是与恒成立问题相结合，这一般都要与一元二次方程和一元二次函数相结合，也就是常说的“三个二次”问题.【重点难点突破】考点1 一元二次不等式的解法【1-1】不等式220ax bx +-≥的解集为1{|2}4x x --≤≤，则______,a b == .【答案】a =－4，b =－9【解析】Q 不等式220ax bx +-≥的解集为1{|2}4x x --≤≤，12,4∴--为方程220ax bx +-=的两根，则根据根与系数关系可得1122(),(2)()44b a a-+-=--⋅-=-，4,9a b ∴=-=-. 【1-2】已知不等式022>++bx ax 的解集为{}21<<-x x ，则不等式022<++a bx x 的解集为 .【答案】 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-211x x解为211<<-x ； 【1-3】已知函数22,1,()45,1,x x f x x x x ≤⎧=⎨-+>⎩若()1f a ≥，则实数a 的取值范围为 .【答案】[)0,+∞【解析】1()121a a f a ≤⎧≥⇒⎨≥⎩或21451a a a >⎧⎨-+≥⎩，∴10a a ≤⎧⎨≥⎩或1a x R >⎧⎨∈⎩，∴01a ≤≤或1a >，∴0a ≥.【1-4】不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(－∞，－4)∪(4，＋∞)【解析】不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16>0，∴a<－4或a>4. 【1-5】解不等式2221x ax a -≤-+【思想方法】1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a 是否为正；若为负，则将其变为正数； 2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数. 【温馨提醒】注意一元二次方程、二次函数、二次不等式的联系，解二次不等式应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；当0∆>时，需要计算相应二次方程的根，其解集是用根表示，对于含参数的二次不等式，需要针对开口方向、判别式的符号、根的大小分类讨论. 考点2 一元二次不等式恒成立问题【2-1】不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 . 【答案】[－1,4]【解析】x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a≤4，解得－1≤a≤4，故选A. 【2-2】若不等式的解集是R ，则m 的范围是 .【答案】【2-3】若不等式对满足的所有都成立，则x 的取值范围是 .【答案】【解析】不等式化为：，令，则时，恒成立所以只需即，所以x 的范围是.【2-4】若不等式2230x x a -+-<成立的一个充分条件是40<<x ，则实数a 的取值范围应为 . 【答案】11a ≥【解析】记2()23f x x x a =-+-，因为(0),(4)f f 不同时为0，所以仅需(0)011(4)0f a f ≤⎧⇒≥⎨≤⎩. 【2-5】在R 上定义运算⊗：(1)x y x y ⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 都成立，则a 的取值范围是 . 【答案】1322a -<< 【解析】根据定义可得不等式()()1x a x a -⊗+<为()[1()]1x a x a --+<即2(1)10x x a a -+-+>，此不等式对任意实数x都成立，所以214[(1)1]04430(21)(23)0a a a a a a ∆=--+<⇒--<⇒+-<，从中解得1322a -<<.【思想方法】(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方． 【温馨提醒】二次函数的恒成立问题实质是相应的图象落在x 轴上方或者下方，借助数形结合思想或者分类讨论思想求解.考点3 一元二次不等式的应用【3-1】有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________． 【答案】(8]403，【3-2】汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h 以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)车速x (km/h)之间有如下关系：20.10.01s x x 甲＝＋，20.050.05s x x 乙＝＋.问：超速行驶应负主要责任的是谁？【答案】A【思想方法】不等式应用问题常以函数、数列的模型出现，在解题中主要涉及不等式的解以及不等式的应用问题，解不等式应用题，重在审题，构造数学模型，这是解题关键．【温馨提醒】仔细分析已知条件，将实际问题转化为数学模型．考点4 不等式性质的应用【易错试题常警惕】1．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形．2．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0 (a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别．3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．。
7.2 一元二次不等式及其解法
7.2 一元二次不等式及其解法一、填空题1.若a<0,则不等式22230x ax a --<的解集是 .解析 ∵22230x ax a --=, ∴123x a x a =,=-. 又a<0,∴不等式的解集为{x|3a<x<-a}.答案 {x|3a<x<-a}2．设集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}，B ＝{x |1≤x ≤4}，则A ∩B ＝ . 解析 由x 2－2x －3<0，得(x －3)(x ＋1)<0，即－1<x <3.∴A ＝{x |－1<x <3}．又∵B ＝{x |1≤x ≤4}，∴A ∩B ＝{x |1≤x <3}．答案 {x |1≤x <3}3.已知不等式ax 2＋bx ＋1≥0的解集为{x|－5≤x≤1}，则a ＋b 等于 .解析 由题意得，a ＜0且－5＋1＝－b a ，－5×1＝1a， ∴a ＝－15，b ＝－45，∴a ＋b ＝－1. 答案 －14．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是________．解析 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a.解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0 即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)．答案 (2,3)5．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为________．解析 根据给出的定义得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝ (x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)＜0，则(x ＋2)(x －1)＜0，故这个不等式的解集是(－2,1)．答案 (－2,1)6．如果关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3,4，那么实数a 的取值范围是________．解析 由5x 2－a ≤0，得－a5≤x ≤ a5，而5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3,4，所以4≤ a5＜5，所以80≤a ＜125.答案 [80,125)7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ x 2，x ≤0，x ＋1，x ＞0，则f (x )＞x 的解集为________．解析 由题意知⎩⎨⎧ x ≤0，x 2＞x 或⎩⎨⎧ x ＞0，x ＋1＞x ，解得x ＜0或x ＞0，即x ≠0.答案 {x |x ≠0}8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ x 2＋2ax ，x ≥22x ＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析 由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2， 则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.答案 (－1,3)9．不等式ax 2＋ax ＋(a －1)＜0的解集是全体实数，则a 的取值集合为________． 解析 不等式ax 2＋ax ＋(a －1)＜0的解集是全体实数，所以a ＝0时满足题意，当a ＜0时，判别式Δ＜0，得a ＜0，故a ∈(－∞，0]．答案 (－∞，0]10．不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集为{x |x ＜1，或x ＞2}，则a ，b 的值依次为________．解析 由题意，1,2是方程x 2＋ax ＋b ＝0两根，所以a ＝－3，b ＝2. 答案 －3,211．函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x ＋1， x ＜0，x －1， x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是________．解析 若x ＜－1，则f (x ＋1)＝－x ，于是由x －x (x ＋1)≤1，得x 2≥－1， 所以x ＜－1.若x ≥－1，则f (x ＋1)＝x ，于是由x ＋x (x ＋1)≤1，得x 2＋2x －1≤0，解得－1－2≤x ≤－1＋2，所以－1≤x ≤2－1.综上得x ≤ 2－1. 答案 (－∞，2－1]12．若集合A ＝{x ||2x －1|＜3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ e 2x ＋13－x ＜1，则A ∩B ＝________. 解析 由|2x －1|＜3，得－3＜2x －1＜3，即－1＜x ＜2，A ＝{x |－1＜x ＜2}．由e2x ＋13－x ＜1，得2x ＋13－x ＜0，即(2x ＋1)(x －3)＞0，所以x ＜－12或x ＞3， B ＝{x |x ＜－12或x ＞3}．故A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－1＜x ＜－12. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－1＜x ＜－12 13．三位同学合作学习，对问题“已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，求a 的取值范围”提出了各自的解题思路．甲说：“可视x 为变量，y 为常量来分析”．乙说：“不等式两边同除以x 2，再作分析”．丙说：“把字母a 单独放在一边，再作分析”．参考上述思路，或自己的其他解法，可求出实数a 的取值范围是________． 解析 采用丙的方法：由xy ≤ax 2＋2y 2，得ax 2≥xy －2y 2，a ≥y x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2.因为x ∈[1,2]，y ∈[2,3]， 所以1≤yx ≤3.所以y x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x －142＋18. 当yx＝1，即x ＝2，y ＝2时取最大值－1，所以a ≥－1. 答案 [－1，＋∞)二、解答题14.已知不等式2364ax x -+>的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a,b;(2)解不等式2()ax ac b x -++bc<0.解析 (1)因为不等式2364ax x -+>的解集为{x|x<1或x>b},所以x=1与x=b 是方程2ax -3x+2=0的两个实数根,且b>1.由根与系数的关系,得3121b a b a ⎧+=,⎪⎨⎪⨯=.⎩解得 12a b =,⎧⎨=.⎩ 所以 12a b =,⎧⎨=.⎩(2)原不等式2()ax ac b x -++bc<0,可化为2(2)x c x -++2c<0,即(x-2)(x-c)<0.①当c>2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|2<x<c};②当c<2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|c<x<2};③当c=2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为∅.综上所述:当c>2时,不等式2()ax ac b x -++bc<0的解集为{x|2<x<c}; 当c<2时,不等式2()ax ac b x -++bc<0的解集为{x|c<x<2};当c=2时,不等式2()ax ac b x -++bc<0的解集为∅.15．已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围；(2)若对于x ∈[1,3]，f (x )＜5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．思路分析 第(2)问将不等式f (x )＜5－m ，x ∈[1,3]恒成立转化为m ＜g (x )， x ∈[1,3]上恒成立，再求g (x )的最小值即可．解析 (1)由题意可得m ＝0或⎩⎨⎧ m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇔m ＝0或－4＜m ＜0 ⇔－4＜m ≤0.故m 的取值范围为(－4,0]．(2)∵f (x )＜－m ＋5⇔m (x 2－x ＋1)＜6，∵x 2－x ＋1＞0，∴m ＜6x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立，记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈[1,3]， 记h (x )＝x 2－x ＋1，h (x )在x ∈[1,3]上为增函数．则g (x )在[1,3]上为减函数，∴[g (x )]min ＝g (3)＝67， ∴m ＜67. 所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67. 【点评】 本题体现了转化与化归思想，解这类问题一般将参数分离出来，转化为求构造函数的最值问题，通过求最值解得参数的取值范围.16．已知集合A ＝{x |x 2－(3a ＋3)x ＋2(3a ＋1)＜0，x ∈R }，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x －a x －a 2＋1＜0，x ∈R . (1)当4∉B 时，求实数a 的取值范围；(2)求使B ⊆A 的实数a 的取值范围．解析 (1)若4∈B ，则4－a 3－a 2＜0⇔a ＜－3或3＜a ＜4. ∴当4∉B 时，实数a 的取值范围为[－3，3]∪[4，＋∞)．(2)∵A ＝{x |(x －2)(x －3a －1)＜0}，B ＝{x |a ＜x ＜a 2＋1}．①当a ＜13时，A ＝(3a ＋1,2)， 要使B ⊆A ，必须⎩⎨⎧ a ≥3a ＋1，a 2＋1≤2，此时－1≤a ≤－12②当a ＝13时，A ＝∅，使B ⊆A 的a 不存在． ③当a ＞13时，A ＝(2,3a ＋1)， 要使B ⊆A ，必须⎩⎨⎧ a ≥2，a 2＋1≤3a ＋1，此时2≤a ≤3.综上可知，使B ⊆A 的实数a 的取值范围是[2,3]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12. 17．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋b .(1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞0的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．解析 (1)由f (1)＞0，得－3＋a (6－a )＋b ＞0，即a 2－6a ＋3－b ＜0.Δ＝(－6)2－4(3－b )＝24＋4b .①当Δ≤0，即b ≤－6时，原不等式解集为∅.②当Δ＞0时，即b ＞－6时，方程有两根x 1＝3－6＋b ，x 2＝3＋6＋b ，所以不等式解集为(3－6＋b ，3＋6＋b )．综上所述：b ≤－6时，原不等式解集为∅； b ＞－6时，原不等式解集为(3－6＋b ，3＋6＋b )．(2)由f (x )＞0，得－3x 2＋a (6－a )x ＋b ＞0，即3x 2－a (6－a )x －b ＜0.因为它的解集为(－1,3)，所以－1与3是方程3x 2－a (6－a )x －b ＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋3＝a 6－a 3，－1×3＝－b 3，解得⎩⎨⎧ a ＝3－3，b ＝9，或⎩⎨⎧ a ＝3＋3，b ＝9.18．函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围．解析 (1)x ∈R 时，有x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，须Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，所以－6≤a ≤2.所以a 的取值范围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分以下三种情况讨论(如图所示)：①如图(1)，当g (x )的图象恒在x 轴上方时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.②如图(2)，g (x )的图象与x 轴有交点，但在x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2<－2，g －2≥0，即错误!⇔错误! 此不等式组无解．③如图(3)，g (x )的图象与x 轴有交点，但在x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2>2，g 2≥0，即错误!⇔⎩⎨⎧ a ≥2或a ≤－6，a <－4，a ≥－7，⇔－7≤a ≤－6.综合①②③得a ∈[－7,2]．。
不等式的解集
不等式的解集不等式的解集教学建议一、知识结构二、重点、难点分析本节教学的重点是不等式的解集的概念及在数轴上表示不等式的解集的方法．难点为不等式的解集的概念．1.不等式的解与方程的解的意义的异同点相同点：定义方式相同（使方程成立的未知数的值，叫做方程的解）；解的表示方法也相同．不同点：解的个数不同，一般地，一个不等式有无数多个解，而一个方程只有一个或几个解，例如，能使不等式成立，那么是不等式的一个解，类似地等也能使不等式成立，它们都是不等式的解，事实上，当取大于的数时，不等式都成立，所以不等式有无数多个解．2.不等式的解与解集的区别与联系不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值，而不等式的解集，是指满足这个不等式的未知数的所有的值，不等式的所有解组成了解集，解集中包括了每一个解．注意：不等式的解集必须满足两个条件：第一，解集中的任何一个数值，都能使不等式成立；第二，解集外的任何一个数值，都不能使不等式成立．3.不等式解集的表示方法（1）用不等式表示一般地，一个含未知数的不等式有无数多个解，其解集是某个范围，这个范围可用一个最简单的不等式表示出来，例如，不等式的解集是．（2）用数轴表示如不等式的解集，可以用数轴上表示4的点的左边部分表示，因为包含，所以在表示4的点上画实心圆．如不等式的解集，可以用数轴上表示4的点的左边部分表示，因为包含，所以在表示4的点上画实心圈.注意：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，所以在数轴上表示不等式的解集时应牢记：大于向右画，小于向左画；有等号的画实心圆点，无等号的画空心圆圈．一、素质教育目标（一）知识教学点1．使学生了解不等式的解集、解不等式的概念，会在数轴上表示出不等式的解集．2．知道不等式的“解集”与方程“解”的不同点．（二）能力训练点通过教学，使学生能够正确地在数轴上表示出不等式的解集，并且能把数轴上的某部分数集用相应的不等式表示．（三）德育渗透点通过讲解不等式的“解集”与方程“解”的关系，向学生渗透对立统一的辩证观点．（四）美育渗透点通过本节课的学习，让学生了解不等式的解集可利用图形来表达，渗透数形结合的数学美．二、学法引导1．教学方法：类比法、引导发现法、实践法．2．学生学法：明确不等式的解与解集的区别和联系，并能熟练地用数轴表示不等式的解集，在数轴上表示不等式的解集时，要特别注意：大于向右画，小于向左画；有等号的画实心圆点，无等号的画空心圆圈．三、重点·难点·疑点及解决办法（一）重点1．不等式解集的概念．2．利用数轴表示不等式的解集．（二）难点正确理解不等式解集的概念．（三）疑点弄不清不等式的解集与方程的解的区别、联系．（四）解决办法弄清楚不等式的解与解集的概念．四、课时安排一课时．五、教具学具准备投影仪或电脑、自制胶片、直尺．六、师生互动活动设计（一）明确目标本节课重点学习不等式的解集，解不等式的概念并会用数轴表示不等式的解集．（二）整体感知通过枚举法来形象直观地推出不等式的解集，再给出不等式解集的概念，从而更准确地让学生掌握该概念．再通过师生的互动学习用数轴表示不等式的解集，从而为今后求不等式组的解集打下良好的基础．（三）教学过程1．创设情境，复习引入（1）根据不等式的基本性质，把下列不等式化成或的形式．① ②（2）当取下列数值时，不等式是否成立？l，0，2，－2.5，－4，3.5，4，4.5，3．学生活动：独立思考并说出答案：（1）① ② ．（2）当取1，0，2，－2.5，－4时，不等式成立；当取3.5，4，4.5，3时，不等式不成立．大家知道，当取1，2，0，－2.5，－4时，不等式成立．同方程类似，我们就说1，2，0，－2.5，－4是不等式的解，而3.5，4，4.5，3这些使不等式不成立的数就不是不等式的解．对于不等式，除了上述解外，还有没有解？解的个数是多少？将它们在数轴上表示出来，观察它们的分布有什么规律？学生活动：思考讨论，尝试得出答案，指名板演如下：【教法说明】启发学生用试验方法，结合数轴直观研究，把已说出的不等式的解2，0，1，－2.5，－4用“实心圆点”表示，把不是的解的数值3.5，4，4.5，3用“空心圆圈”表示，好像是“挖去了”．师生归纳：观察数轴可知，用“实心圆点”表示的数都落在3的左侧，3和3右侧的数都用空心圆圈表示，从而我们推断，小于3的每一个数都是不等式的解，而大于或等于3的任何一个数都不是的解．可以看出，不等式有无限多个解，这无限多个解既包括小于3的正整数、正小数、又包括0、负整数、负小数；把不等式的无限多个解集中起来，就得到的解的集会，简称不等式的解集．2．探索新知，讲授新课（1）不等式的解集一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集．①以方程为例，说出一元一次方程的解的情况．②不等式的解的个数是多少？能一一说出吗？（2）解不等式求不等式的解集的过程，叫做解不等式．解方程求出的是方程的解，而解不等式求出的则是不等式的解集，为什么？学生活动：观察思考，指名回答．教师归纳：正是因为一元一次方程只有惟一解，所以可以直接求出．例如的解就是，而不等式的解有无限多个，无法一一列举出来，因而只能用不等式或揭示这些解的'共同属性，也就是求出不等式的解集．实际上，求某个不等式的解集就是运用不等式的基本性质，把原不等式变形为或的形式，或就是原不式的解集，例如的解集是，同理，的解集是．【教法说明】学生对一元一次方程的解印象较深，而不等式与方程的相同点较多，因而易将“不等式的解集”与“方程的解”混为一谈，这里设置上述问题，目的是使学生弄清“不等式的解集”与“方程的解”的关系．（3）在数轴上表示不等式的解集①表示不等式的解集：（）分析：因为未知数的取值小于3，而数轴上小于3的数都在3的左边，所以就用数轴上表示3的点的左边部分来表示解集．注意未知数的取值不能为3，所以在数轴上表示3的点的位置上画空心圆圈，表示不包括3这一点，表示如下：②表示的解集：（）学生活动：独立思考，指名板演并说出分析过程．分析：因为未知数的取值可以为－2或大于－2的数，而数轴上大于－2的数都在－2右边，所以就用数钢上表示－2的点和它的右边部分来表示．如下图所示：注意问题：在数轴上表示－2的点的位置上，应画实心圆心，表示包括这一点．【教法说明】利用数轴表示不等式解的解集，增强了解集的直观性，使学生形象地看到不等式的解有无限多个，这是数形结合的具体体现．教学时，要特别讲清“实心圆点”与“空心圆圈”的不同用法，还要反复提醒学生弄清到底是“左边部分”还是“右边部分”，这也是学好本节内容的关键．3．尝试反馈，巩固知识（1）不等式的解集与有什么不同？在数轴上表示它们时怎样区别？分别在数轴上把这两个解集表示出来．（2）在数轴上表示下列不等式的解集．① ② ③ ④（3）指出不等式的解集，并在数轴上表示出来．师生活动：首先学生在练习本上完成，然后教师抽查，最后与出示投影的正确答案进行对比．【教法说明】教学时，应强调2．（4）题的正确表示为：我们已经能够在数轴上准确地表示出不等式的解集，反之若给出数轴上的某部分数集，还要会写出与之对应的不等式的解集来．4．变式训练，培养能力（1）用不等式表示图中所示的解集．【教法说明】强调“· ”“ °”在使用、表示上的区别．（2）单项选择：①不等式的解集是（）A．B．C．D．②不等式的正整数解为（）A．1，2 B．1，2，3 C．1 D．2③用不等式表示图中的解集，正确的是（）A．B．C．D．④用数轴表示不等式的解集正确的是（）学生活动：分析思考，说出答案．（教师给予纠正或肯定）【教法说明】此题以抢答形式茁现，更能激发学生探索知识的热情．（四）总结、扩展学生小结，教师完善：1．本节重点：（1）了解不等式的解集的概念．（2）会在数轴上表示不等式的解集．2．注意事项：弄清“ · ”还是“ °”，是“左边部分”还是“右边部分”．七、布置作业必做题：P65 A组 3．（1）（2）（3）（4）八、板书设计6.2 不等式的解集一、1．不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解组成这个不等式的解的集合，简称不等式的解集．2．解不等式：求不等式解的过程二、在数轴上表示不等式的解集1．2．三、注意：（1）“ · ”与“ °”；（2）“左边部分”与“右边部分”．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
7.2 不等式的解集
备课时间:2008-1-18上课时间 主备: 审核:备课组 班级 姓名
教学目标
1．知识目标：了解不等式的意义；不等式的解、不等式的解集、解不等式概念的含义；会在数轴上表示不等式的解集.
2．能力目标：通过求不等式的解集的过程，培养学生的创新意识.
教学重点
不等式中的有关概念，不等式的解集在数轴上的表示
教学难点
不等式的解集在数轴上的表示
【温故知新】
1用不等式表示：
（1） x 与6的差大于2
（2） a 的3倍与b 的和是非负数。
2什么叫做方程的解？什么叫做解方程？
【新知探究1】
在上节课中有这样一个问题“燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后
要在燃放前转移到10 m 以外的安全区域.已知导火线的燃烧速度为以0.02 m/s ，人离开的速度为4 m/s ，那么导火线的长度应为多少厘米？”
分析：人转移到安全区域需要的时间最少为（ ）秒，导火线燃烧的时间为 （ ）秒，要使人转移到安全地带，必须有（ ）
解：设导火线的长度应为x cm ，根据题意，得
10002.0 x ＞4
10 ∴x ＞5.
请大家想一想：
（1）x =5,6,8能使不等式x ＞5成立吗？
（2）你还能找出一些使不等式x ＞5成立的x 的值吗？
【思考】
1．X 大于5的解有几个？x-4小于0呢？
2．不等式的解与方程的解有什么不同？
小结相关概念：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.如6、7、8都是x ＞5的解.所以不
等式的解不唯一，有无数个解.
正因为不等式的解不唯一，因此一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等
式的解集（solution set ）.
求不等式解集的过程叫解不等式.
【新知探究2】
（1）将不等式x＞5的解集和不等式x－5≤－1的解集分别表示在数轴上
不等式x＞5的解集可以用数轴上表示5的点的右边部分来表示,图1.3(1)，在数轴上表示5的点的位置上画空心圆圈，表示5不在这个解集内.
不等式x－5≤－1的解集x≤4可以用数轴上表示4的点及其左边部分来表示,图1.3(2)，在数轴上表示4的点的位置上画实心圆点，表示4在这个解集内.
(2)通过观察上面两个解集的表示方法，举例说明,如何把不等式的解集在数轴上表示出来：
如x＞5, 即为数轴上表示5的点的边部分，在数轴上表示的点的位置上画圆圈，表示不包括这一点.
x＜5，可以用数轴上表示5的点的部分来表示，在这一点上画圆圈.
x≥5，可以用数轴上表示5的点和它的部分来表示，在表示5的点的位置上画圆点，表示包括这一点.
x≤5，可以用数轴上表示5的点和它的部分来表示，在表示5的点的位置上画圆点.
【应用巩固】
（1）在数轴上表示下列不等式的解集：
①x＞3；②x≥0；③x＜－4.
（2）请你来解答
1.根据数轴判断不等式的解集.
(1) 如图1.3 (14)
(2) 如图1.3 (15)
3.下列说法中，正确的是( )
A.x=2是不等式3x＞5的一个解
B.x =2是不等式3x ＞5的唯一解
C.x =2是不等式3x ＞5的解集
D.x =2不是不等式3x ＞5的解
4.不等式－4≤x ＜2的所有整数解的和是( )
A.－4
B.－6
C.－8
D.－9
5.用不等式表示图1.3 (12)中的解集，其中正确的是( )
教学检测
一.请你选一选
1.下列说法错误的是（ ）
A.－3x >9的解集为x <－3
B.不等式2x >－1的整数解有无数多个
C.－2是不等式3x <－4的解
D.不等式x >－5的负整数解有无数多个
2.不等式－3≤x <2的整数解的个数是（ ）
A.4个
B.5个
C.6个
D.无数个
二.请你填一填
1.如果3+2x 是正数，则x 的取值范围是________，如果3+2x 是非负数，则x 的取值范围是________.
2.不等式|x |<3
7的整数解是________. 3.x 的3倍不大于－8，用不等式表示为________，其解集是____ 4.使不等式x >－
47且x <2同时成立的整数x 的值是________ . 5.如图1.3 (13)，表示的不等式的解集是________.
6.不等式x ≤5有多少个解？有多少个正整数解.
【迁移提高】
5.某种商品的进价为150元，出售时标价为225元，由于销售情况不好，商店准备降价出售，但要保证利润不低于10%.那么商店要降多少元出售此商品？请列出不等式.。