第1章函数与极限-3-连续

明，在区间(0，+)内幂函数是连续的．事实上，设
x>0，则
y=x m= a m log a x ，
因此，幂函数xm可看作是由y=au ，u=m logax 复合而成
的，由此，根据定理6，它在(0，+)内连续．如果对
于m取各种不同值加以分别讨论，可以证明幂函数在
它的定义域内是连续的．
结论1：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的． 结论2：一切初等函数在其定义区间内都是连续的． 注：所谓定义区间，就是包含在定义域内的区间．
x
连续的．
4．初等函数的连续性
基本的连续函数： 三角函数： sin x ， cos x ， tan x ， cot x ； 反三角函数：arcsinx ，arccosx ，arctanx ，arccotx ； 幂函数：xm ． 指数函数：a x (a>0，a 1)； 对数函数：log ax (a>0，a 1)； 证明 指数函数ax (a>0，a1)对于一切实数x 都有
3．复合函数的连续性
定理3 设 lim j(x)=a ，而函数y=f(u)在点u=a连续，
xx0
那么，lim f[j(x)]=f(a) ． x x0
注1： 把定理5 中的x x 0换成x ，可得类似的定理．
注2： 在定理5中，因为有
所以有
lim j(x)=a 及lim f[j(x)]=f(a)，
连续函数与连续区间
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 如果函数在开区间(a,b)内连续, 并且在左端点 x = a处右连续, 在右端点x = b处左连续, 则称 函数 f ( x)在闭区间 [a,b]上连续.
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
连续函数举例： 1．如果f(x)是多项式函数，则函数f(x)在区间(-，
三、连续函数的运算与初等函数的连续性 1. 定理1 有限个在某点连续的函数的和是一个在该点 连续的函数．
证明 考虑两个在点x0连续的函数f(x)、g(x)的和： F(x)=f(x)+g(x)．
由函数的连续性定义，有
lim F(x)=lim [f(x)+g(x)]=lim f(x)+lim g(x)
所以点
x=0
称为函数
1 sin
的振荡间断点．
x
1
y = sin 1 x
x
-1
例 3 函数 y= x2 -1 在 x=1 没有定义， x -1
所以点x=1是函数的间断点．
y 2
y = x2 -1 x -1
1
O1
x
实际上，
因为lim
x2 -1 =lim
(x+1)=2，
x1 x - 1 x1
如果补充定义：当x=1时，令y=2，则所给函数在
所以点 是函数 tan x的间断点．
2
因为lim tan x=，所以我们称x =
x
2
2
为函数tan x 的无穷间断点．
处没有定义，
y
y = tan x
-
O
2
2
3 x
2
例 2 函数 y=sin1 在点 x=0 没有定义， x
所以点 x=0 是函数 sin1 的间断点． x
因为当x0时，函数值在-1与+1之间变动无限多次，
第三节
连续函数
§1.3.1 函数的连续性
一、函数连续的概念
变量的增量:
设变量u 从它的一个初值u1变到终值u2，终值
与初值的差u2-u1就叫做变量u 的增量，记作Du ，
即Du =u2-u1．
设函数y=f(x)在点x0的某一个邻 y
域内是有定义的．当自变量x 在这
邻域内从x0变到x0+Dx时，函数y相
果对于任意给定义的正数e ，总存在着正数d ，使得对于适合 不等式|x-x0|<d 的一切x ，对应的函数值f(x)都满足不等式
|f(x)-f(x0)|<e ， 那么就称函数y=f(x)在点x0处连续．
单侧连续
左右连续性：
如果 lim xx0 -0
f(x)=f(x0)，就说函数
y=f(x)在点
x0 处左连续．
1
如果改变函数f(x)在x=1处的 1
2
定义：令f(1)=1，则函数f(x)
在x=1 成为连续．
O
所以x=1也称为该函数的可去间断点．
y=f(x)=1
1
x
x -1, x 0,
例 5 f (x) = 0 , x = 0,
x +1, x 0.
因为 lim f(x)=lim (x-1)=-1，
处连续.
证 lim x sin 1 = 0,
x0
x
又 f (0) = 0, lim f ( x) = f (0), x0
由定义2知
函数 f ( x)在 x = 0处连续.
例2
讨论函数
f
(x) =
x + 2,

x
-
2,
x 0, x 0,
在 x = 0处的
连续性.
解 lim f ( x) = lim( x + 2) = 2= f (0),
Dy = f(x0+Dx)- f(x0) 也趋于零，即
lim
Dx0
[
f(x0+Dx)-
f(x0)]=0，
那么就称函数y=f(x)在点x0处连续．
等价关系：
lim
Dx0
[
f(x0+Dx)-
f(x0)]=0xlimx0
f(x)=f(x0)．
讨论： 如何用e-d语言叙述函数的连续性定义？
用e-d语言叙述的函数的连续性定义： 设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义，如
x
间断点的类型: 通常把间断点分成两类： 如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限f(x0-0)及右极限f(x0+0) 都存在，（但是左右极限不相等，或者相等但不等于f（ x0 ）或 函数在该点无定义）那么x0称为函数f(x)的第一类间断点． 不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点．在第 一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者 称为跳跃间断点．无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断 点．
x=1 成为连续．所以x=1称为该函数的可去间断点．
y
2
f(x)=x+1
1
O1
x
x, x 1,
例4
函数
y=f(x)= 1 2
,
x = 1.
这里lim f(x)= lim x =1，但 f(1)=1 ，
x1
x1
2
所以lim f(x) f(1)．
y
x1
因此x=1是函数f(x)的间断点．
x x0
x x0
lim f[j(x)]=f[lim j(x)]．
x x0
x x0
例 3 求 lim x - 3 ． x3 x 2 - 9
解
y= lim x3
x - 3 可看作由 y= x2 -9
u
与
u=
x-3 x2 -9
复合而成．
因为 lim
x-3
1
=
，而函数 y=
u 在点 u=1
(2)
虽然在在
x=x0
有定义，但lim xx0
f(x)不存在；
(3)
虽然在
x=x0
有定义，且lim xx0
f(x)存在，但lim xx0
f(x)f(x0)；
则函数f(x)在点x0不连续，而点x0称为函数f(x)的不连
续点或间断点．
间断点举例：
例 1 正切函数 y=tan x 在x =
2
例1 函数 x2 、 sin x 和cos x 都在区间(-，+)内连续．
由定理1，x2+sin x、 x2+cos x、sinx +cos x在区间 (-，+)内都是连续的；x2 sin x、 x2 cos x 、sin x cos
x在区间(-，+)内都是连续的；tan x 和cot x 在它们 的定义域内是连续的．
定义，且在区间(-，+)内是单调的和连续的，它的 值域为(0，+)．由定理4，对数函数logax (a>0，a1) 作为指数函数ax的反函数在区间(0，+)内单调且连 续．
幂函数连续性的证明：
幂函数y=x m 的定义域随m 的值而异，但无论m 为
何值，在区间(0，+)内幂函数总是有定义的．可以证
x-0
x-0
lim f(x)=lim (x+1)=1．
y
x+0
x+0
左右极限虽然都存在，但不相等，
1
极限lim f(x)不存在，所以点x=0
x0
是函数f(x)的间断点．
O
因函数f(x)的图形在x=0处产生 y = x -1 -1 跳跃现象， 我们称x=0为函数f(x) 的跳跃间断点．
y = x+1
同样，y=arccos x 在区间[-1，1]上也是单调减少 且连续； y=arctan x 在区间(-，+)内单调增加且连 续；y=arccot x 在区间(-，+)内单调减少且连续．
总之，反三角函数arcsin x、arccos x、arctan x、 arccot x在它们的定义域内都是连续的．
连续， 所以
x3 x 2 - 9 6
6
lim
x3
x-3 x2 -9
=
lim
x3