3.1.3空间向量数量积运算
3.1.3空间向量的数量积运算 课件
＝12＋1×1×cos 60° －2×1×1×cos 60° ＋1×1×cos 60° ＋12－2×1×1×cos 60° ＝1. → → → (3)|OA＋OB＋OC|＝ → → → OA＋OB＋OC2
＝ 12＋12＋12＋2×1×1×cos 60° ×3＝ 6.
研一研· 问题探究、课堂更高效
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3.1.3 例 1 已知长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，AB＝AA1＝ 2，AD
＝ 4， E 为侧面 AB1 的中心， F 为 A1D1 的中点．试计算： → → → → → → (1)BC· ED1；(2)BF· AB1； (3)EF· FC1. → → → 解 如图，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，
跟踪训练 2
如图所示，已知平行六面体
ABCD— A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形， 且∠ C1CB＝∠ C1CD＝∠ BCD＝ 60° .求证： CC1⊥ BD. → → → 证明 设CB＝a，CD＝b，CC1＝c，则|a|＝|b|.
→ → → → → ∵BD＝CD－CB＝b－a， ∴BD· CC1＝(b－a)· c＝b· c－a· c ＝|b||c|cos 60° －|a||c|cos 60° ＝0， → → ∴C1C⊥BD，即 C1C⊥BD.
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小结
3.1.3 求向量的模，可以转化为求向量的数量积，求两点
间的距离或某条线段的长度，可以转化为求对应向量的模， 其中的关键是将线段长度用向量的模表示出来．
跟踪训练 3 如图所示，已知线段 AB 在平面 α 内，线段 AC⊥α，线段 BD⊥AB，线段 DD′⊥α 于 D′， 如果∠ DBD′＝30° ，AB ＝ a， AC＝ BD＝b，求 CD 的长． → → 解 易知 AC⊥AB.，<CA，BD>＝60° ， → → → → → → ∵|CD|2＝CD· CD＝(CA＋AB＋BD)2 →2 →2 → 2 → → → → → → ＝|CA| ＋|AB| ＋|BD| ＋2(CA· AB＋CA· BD＋AB· BD)＝
3.1.3空间向量的数量积
由a b a c能得到b c吗？如果不能，请举出 反例？ k k a b k ,能不能写成a (或b ) ?向量有除法吗？ b a
向量的数量积满足结合 律吗？即（ a b) c a (b c)吗？
2 1.已知 a 2 2 , b , a b 2 2 则a , b所夹的角为________ .
例1、已知：PO, PA分别是平面的垂线，斜线， OA是PA 在内的射影，a , 且a OA 求证： a PA
P
三垂线定理
a
O
A
例2：已知m,n是平面内的两条相交直线， 如果l⊥m，l⊥n，求证：l⊥
l
l
g
m
n
g
m
n
例3 如图，已知线段 AB 在平面 内，线段 AC
| AC | 85
A'
B'
D
C
A
B
BD AB ，线段 AC 1.已知线段 AB 、BD在平面 内，
，如果 AB a , BD b , AC c ，求 C 、D 之间的距离.
C
解：∵
| CD |2 (CA AB BD)2
D a b B
c
| CA |2 | AB |2 | BD |2 a 2 b2 c 2
AB MA AB AD AB DN 1 2 1 2 1 2 a a a 0 2 4 4
M
D B N C
MN AB
同理，MN CD
3.已知空间四边形 OABC , OB OC , AOB AOC
OA BC。 ，求证：
O
证明：∵
高中数学A版3.1.3空间向量的数量积运算优秀课件
高考链接
1.（2006年四川卷）如图，已知正六边
形P1P2P3P4P5P6 ，下列向量的数量积中最
大的是___A___. A. P1P2 ·P1P3
B. P1P2·P1P4
C. P1P2·P1P5 D. P1P2·P1P6
方法三:数形结合法，发现形的特殊性.
（2）已知 a 2 2 , b 2 , a b 2
2
则a，b所成的夹角为__1_3_5___.
分析:根据两向量夹角公式
a·b = a b cosa ,b （0 a,b π）
可得到所求结果.
2.选择
设a，b，c是任意的非零空间向量，且
a b = a b cosθ
向量的夹角： 0 θO a
A
B
2.平面向量的数量积的主要性质
设a，b是两个非零向量
（1）a⊥b a×b=0数量积为零是判
定两非零向量垂直的充要条件;
（2）当a与b同向时, a·b=|a|·|b|;当a与b 反向时, a·b=-|a|·|b|;特别地，a a = a 2 或 a = a a 用于计算向量的模;
2
2
AB' = AB + AA' = 2FG
FG / /AB'
由①知 EG∥AC
∴平面EFG//平面AB’C.
习题答案
1. B
2. 解:因为 AC = AB + AD + AA，
所以 | AC |2= ( AB + AD + AA )2
=| AB |2 + | AD |2 + | AA |2 + 2( AB·AD + AB·AA+ AD·AA )
3.1.3 空间向量的数量积运算
数乘向量与向量数量积的结合律
交换律
λ( a · b) (λa)· b＝______
b· a a· b＝____
a· b＋a· c a· (b＋c)＝________
分配律
知识点2：空间向量数量积的性质 a· b＝0 ①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔______ |a|· |b| ；若反向，则a· －|a|· |b| . ②若 a 与 b 同向，则 a · b ＝ b ＝ 两个向量 2 | a | 特别地，a· a＝ 或|a|＝ a· a 数量积的 a· b 性质 |a||b| ③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝_____
(1)空间向量的夹角
→ → ①定义：已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA＝a，OB＝ b，则 ∠AOB 叫做向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉. π ②范围：〈a，b〉∈ [0，π] .特别地：当〈a，b〉＝ 2 时，a⊥b.
知识点1：空间向量数量积的概念 (2)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积， 记作a· b. (3)数量积的运算律
＝12＋22＋12＋2×(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，
→ ∴|EF|＝ 2，∴EF 的长为 2.
1
2
3
4
5
课堂小结
空间向量数量积的性质可以看成定义的引申和拓展，空间向量数量积与向
量的模和夹角有关，更多的是以它为工具，解决立体几何中与夹角和距离
相关的问题：
①求空间两点间的距离或线段的长度的问题可以转化为求相应向量的模的
问题；
②求空间两条直线所成的角的问题可以转化为求两条直线对应向量的夹角
的问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围；
§3.1.3空间向量的数量积运算教学设计
§3.1.3 空间向量的数量积运算一．教学目标1.知识与技能(幻灯片2)(1)通过类比平面向量数量积的运算，掌握空间向量数量积的概念、性质和运算律； (2)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体 几何问题转化为向量问题；(3)通过向量的运算，研究空间中点、线、面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题。
2.过程与方法引导学生注重知识间的联系，不断地与平面向量和立体几何知识进行类比，做到温故而知新，并且经历向量及其运算由平面到空间的推广过程，使学生的思维过程螺旋上升。
3.情感态度与价值观通过本节课的学习，使学生对于以往的知识有一个全新的认识，培养学生积极探索数学的本质，提高学生的数学素养。
二．教学重点空间向量数量积的概念以及实际应用。
三．教学难点建立空间向量与空间图形的内在联系； 四．教学过程 教学环节教学过程设计意图新 课 引入同学们,你们还记得平面向量数量积的定义吗？你能类比平面向量所成夹角说一说什么是空间中两条向量夹角及范围吗?注重了与旧知识的联系，使学生对知识的理解更为透彻。
学生容易对向量夹角和两直线夹角产生混淆，这里要对范围进行明确。
（幻灯片4） 讲 授 新 课零向量与任何向量的数量积为0。
性质1：这个性质是证明两向量垂直的依据；性质2： 这个性质是求向量模的依据。
思考：类比平面向量，你能说出空间向量数量积的几何意义吗？（幻灯片9）空间向量数量积和平面向量数量积相似，在教学中可采用类比的方法，并且还要向学生再次强调数量积的结果为常数，而不是向量。
空间向量数量积的几何意义同平面向量数量积是一样的。
只要让同学们理解空间中任意两个向量都是共面向量，此时就可以把空间向量的数量积转化为平面向量上来了。
（幻灯片5--8）（幻灯片10）=空间向量数量积的概念:已知两个非零向量a,,则a cos a,叫做a,的数量积.记作,即a cos a,.b b b b a b a b b b 22cos ,a a a a a a a a === cos 的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积。
课时作业27：3.1.3 空间向量的数量积运算
3.1.3 空间向量的数量积运算A 组 基础巩固练一、选择题1．正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，向量AB →′与BC →′的夹角是( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°2．若向量m 垂直于向量a 和b ，向量n ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λ，μ≠0)，则( ) A ．m ∥n B ．m ⊥nC ．m 不平行于n ，m 也不垂直于nD ．以上三种情况都有可能3．如图所示，在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，AB ＝1，AD ＝2，AA ′＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为( )A ．13B ．23C ．33D ．434．已知空间四边形ABCD 中，∠ACD ＝∠BDC ＝90°，且AB ＝2，CD ＝1，则AB 与CD 所成的角是( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°5．如图，已知平行四边形ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠D ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝6，则PC ＝( )A ．3B ．7C ．4D ．6二、填空题6．已知|a |＝13，|b |＝19，|a ＋b |＝24，则|a －b |＝________．7．如图，已知正三棱柱ABC A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________．8．如图所示，在一个直二面角αAB β的棱上有A ，B 两点，AC ，BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，且AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，则CD 的长为________．三、解答题9．已知正四面体OABC 的棱长为1．求：(1)OA →·OB →；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)； (3)|OA →＋OB →＋OC →|．10．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P 是DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心．求证：B 1O ⊥平面P AC ．B 组 素养提升练1．已知边长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的上底面A 1B 1C 1D 1的中心为O 1，则AO 1→·AC →的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．22．已知a ，b 是两异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则直线a ，b 所成的角为( ) A ．30° B ．60° C ．90°D ．45°3．如图所示，已知正三棱锥A BCD 的侧棱长和底面边长都是a ，点E ，F 分别是AB ，AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶2，则EF →·BC →＝________．4．已知在正四面体D ABC 中，所有棱长都为1，△ABC 的重心为G ，则DG 的长为________． 5．如图，正四面体V ABC 的高VD 的中点为O ，VC 的中点为M ．(1)求证：AO ，BO ，CO 两两垂直； (2)求〈DM →，AO →〉．参考答案A 组 基础巩固练一、选择题1．【答案】C【解析】BC ′∥AD ′，△AD ′B ′为正三角形， ∴∠D ′AB ′＝60°， ∴〈AB ′→，BC ′→〉＝60°． 2．【答案】B【解析】由题意知，m ·a ＝0，m ·b ＝0，则m ·n ＝m ·(λa ＋μb )＝λm ·a ＋μ m ·b ＝0． 因此m ⊥n ． 3．【答案】B【解析】∵AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→， ∴AC ′→2＝(AB →＋BC →＋CC ′→)2＝AB →2＋BC →2＋CC ′→2＋2(AB →·BC →＋AB →·CC ′→＋BC →·CC ′→) ＝12＋22＋32＋2(0＋1×3cos 60°＋2×3cos 60°) ＝14＋2×92＝23，∴|AC ′→|＝23，即AC ′的长为23． 4．【答案】C【解析】根据已知∠ACD ＝∠BDC ＝90°，得AC →·CD →＝DB →·CD →＝0，∴AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝AC →·CD →＋|CD →|2＋DB →·CD →＝|CD →|2＝1， ∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝12，∴AB 与CD 所成的角为60°．5．【答案】B【解析】|PC →|2＝PC →·PC →＝(P A →＋AD →＋DC →)2＝|P A →|2＋|AD →|2＋|CD →|2＋2P A →·AD →＋2AD →·DC →＋2P A →·DC →＝62＋42＋32＋2|AD →||DC →|cos 120°＝49． 所以|PC →|＝7． 二、填空题 6．【答案】22【解析】∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝132＋2a ·b ＋192＝242，∴2a ·b ＝46，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝132－46＋192＝484，故|a －b |＝22． 7．【答案】90°【解析】不妨设棱长为2，则AB →1＝BB 1→－BA →，BM →＝BC →＋12BB 1→，cos 〈AB 1→，BM →〉＝(BB 1→－BA →)·⎝⎛⎭⎫BC →＋12BB 1→22×5＝0－2＋2－022×5＝0，故填90°．8．【答案】229【解析】∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →＝AB →－AC →＋BD →，∴CD →2＝(AB →－AC →＋BD →)2＝AB →2＋AC →2－2AB →·AC →＋BD →2＋2AB →·BD →－2AC →·BD → ＝16＋36＋64＝116， ∴|CD →|＝229． 三、解答题9．解：(1)OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos ∠AOB ＝1×1×cos 60°＝12．(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →) ＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1． (3)|OA →＋OB →＋OC →| ＝(OA →＋OB →＋OC →)2＝12＋12＋12＋(2×1×1×cos 60°)×3 ＝6．10．证明：取AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，且|a |＝|b |＝|c |＝1． 则有AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， OB 1→＝OB →＋BB 1→＝12DB →＋BB 1→＝12(AB →－AD →)＋BB 1→ ＝12a －12b ＋c ， ∴AC →·OB 1→＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫12a －12b ＋c＝12|a |2＋12a ·b －12a ·b －12|b |2＋a ·c ＋b ·c ＝12－12＝0． ∴AC →⊥OB 1→，即AC ⊥OB 1．∵AP →＝AD →＋12DD 1→＝b ＋12c ，∴OB 1→·AP →＝⎝⎛⎭⎫12a －12b ＋c ·⎝⎛⎭⎫b ＋12c ＝12a ·b －12|b |2＋c ·b ＋14a ·c －14b ·c ＋12|c |2＝－12＋12＝0， ∴OB 1→⊥AP →，即OB 1⊥AP ． 又∵AC ∩AP ＝A ， ∴OB 1⊥平面APC ．B 组 素养提升练1．【答案】C【解析】AO 1→＝AA 1→＋A 1O 1→＝AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝AA 1→＋12(AB →＋AD →)，而AC →＝AB →＋AD →，则AO 1→·AC →＝12(AB →2＋AD →2)＝1，故选C ．2．【答案】B【解析】由于AB →＝AC →＋CD →＋DB →，则AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝CD →2＝1． cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →|·|CD →|＝12，AB →，CD →〉＝60°．3．【答案】16a 2【解析】因为点E ，F 分别是AB ，AD 上的点， 所以EF →＝13BD →，所以EF →·BC →＝13BD →·BC →，结合图形可知〈BD →，BC →〉＝60°，所以EF →·BC →＝13BD →·BC →＝13×a ×a ×cos 60°＝16a 2．4．【答案】63【解析】如图，连接AG 并延长交BC 于点M ，连接DM ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG ＝23AM ，∴AG →＝23AM →，DG →＝DA →＋AG →＝DA →＋23AM →＝DA →＋23(DM →－DA →)＝DA →＋23⎣⎡⎦⎤12(DB →＋DC →)－DA →＝ 13(DA →＋DB →＋DC →)，而(DA →＋DB →＋DC →)2＝DA →2＋DB →2＋DC →2＋2DA →·DB →＋2DB →·DC →＋2DC →·DA →＝ 1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴|DG →|＝63．5．(1)证明：设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，正四面体的棱长为1， 则VD →＝13(a ＋b ＋c )，AO →＝16(b ＋c －5a )，BO →＝16(a ＋c －5b )，CO →＝16(a ＋b －5c )，所以AO →·BO →＝136(b ＋c －5a )·(a ＋c －5b )＝136(18a ·b －9|a |2)＝136(18×1×1×cos 60°－9)＝0，所以AO →⊥BO →，即AO ⊥BO ．同理，AO ⊥CO ，BO ⊥CO ． 所以AO ，BO ，CO 两两垂直．(2)解：DM →＝DV →＋VM →＝－13(a ＋b ＋c )＋12c ＝16(－2a －2b ＋c )，所以|DM →|＝⎣⎡⎦⎤16(－2a －2b ＋c )2＝12． 又|AO →|＝⎣⎡⎦⎤16(b ＋c －5a )2＝22， DM →·AO →＝16(－2a －2b ＋c )·16(b ＋c －5a )＝14，所以cos 〈DM →，AO →〉＝1412×22＝22．又〈DM →，AO →〉∈[0，π]，所以〈DM →，AO →〉＝π4．。
§3.1.3空间向量的数量积运算
§3.1.3空间向量的数量积运算班级：_____姓名：__________ 编号：_____【预习·基础知识】学习目标1、掌握空间向量的数量积概念、有关简单性质以及数量积运算的运算律。
2、能运用向量的数量积，判断向量的共线与垂直，并用于证明两直线平行与垂直。
自主预习（预习课本自主掌握以下概念和原理） 1、空间向量的夹角（1）文字叙述：已知两个非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作==,则______叫做向量,a b 的夹角，记作______ ①范围:______________.,a b 〈〉 =0时,a b与________;,a b 〈〉 =π时,a b与_________.②,,a b b a 〈〉〈〉＝，那么_________.（2 ）如果2,π=〉〈b a ,则称a 与b _______,记作：___________；2、两个向量的数量积(1)定义：已知空间两个非零向量、a b,则______叫做、a b的数量积。
(2)记法：a b ∙. 即__________a b ∙= .3、空间两个向量的数量积性质（1）a e ⋅=____________（2）______a b ⊥⇔（3）2a a a =⋅4、空间向量的数量积满足的运算律思考1.⑵是显然成立的,你能证明(1)和(3)吗？思考2.对于三个均不为0的数,a,b,c,若ab=ac,则b=c.对于向量 a , b , c ,由∙=∙a b a c 能得到=b c 吗？如果不能，请举出反例.思考3.对于三个均不为0的数,a,b,c,若ab=c,则c a =b .(或cb =a )对于向量 a ,b ,若∙= a b k 能否写成= k a b ( 或=k b a )？也就是说向量有除法吗？思考 4.对于三个均不为0的数,a,b,c,若(ab)c=a(bc)对于向量 a , b , c ,()()=a b c a b c成立吗？也就是说，向量的数量积满足结合律吗？⑴()()a b a b λλ⋅=⋅ ⑵a b b a ⋅=⋅(交换律) ⑶()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅(分配律)【突破·核心知识】典型例题（合作.探究.展示） 题型一：空间向量的数量积的基本运算 例1.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，求下列数量积： （1）_________11=∙C B （2）_________1=∙BA （3）_________11=∙B A （4）_________1=∙BC【典例训练】判断真假:1)若0,a b ⋅= 则0,0a b ==( )222222)()()()3)()()4)()a b c a b c p q p q p q p q p q ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅+⋅-=- 题型二：利用向量的数量积证明垂直问题例 2. 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.【典例训练】在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.成立吗？例3．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理．（写出已知求证）题型三：利用数量积求距离（即线段长度）例4、如图，在空间四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，BD =3CD =，30ABD ∠= ，60ABC ∠= ，求AB 与CD 的夹角的余弦值【归纳∙知识方法】【知识梳理】lm nm ng gl【随堂∙自我测评】1、下列式子中，正确的是（）A、2B、222)(∙=∙C、)()(∙∙=∙∙ D2、已知向量,,两两夹角都是060，其模都是1，+-（）A、5B、5C、6D、63、空间四边形OABC中，OB=OC,,3π=∠=∠AOCAOB则=〉〈BCOA,cosA、21B、22C、21- D、04、在正三棱柱111CBAABC-中，若,21BBAB=则BCAB11与所成角的大小为（）A、060 B、090 C、0105 D、0755、已知,1=++，则_________=∙+∙+∙6、在平行六面体1111DCBAABCD-中，,90,5,3,401=∠===BADAAADAB1160=∠=∠DAABAA,求1AC的长。
3.1.3空间向量的数量积运算
在四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC． 中 在四面体 ⊥ ， ⊥ ，求证： ⊥ ．
3.1.3空间向量的数量积运算 空间向量的数量积运算
一、两个向量的夹角
两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角， 两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范 而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是 围是(0° ° 而向量的夹角可以是钝角 其取值范围是[0° ° 围是 °,90°],而向量的夹角可以是钝角 其取值范围是 °,180°]
(1)三垂线定理及其逆定理中都出 三垂线定理及其逆定理中都出 现了四条线AB， ， ， ， 现了四条线 ，AC，BC，l， 定理中所描述的是AC(斜线 、 斜线)、 定理中所描述的是 斜线 BC(射影 、l(面内的直线 之间的 射影)、 面内的直线 面内的直线)之间的 射影 关系． 关系． 在三垂线定理及其逆定理中， 在三垂线定理及其逆定理中， 涉及上面四条线， 涉及上面四条线，三个垂直 关系 垂线AB和平面 垂直； 和平面α ①垂线 和平面α垂直； 射影BC和直线 垂直； 和直线l垂直 ②射影 和直线 垂直； 斜线AC和直线 垂直， 和直线l垂直 ③斜线 和直线 垂直， 所以定理称为“ 所以定理称为“三垂线定 理”． (2)两个定理的区别 两个定理的区别 ①从两个定理的条件和结论上区分，三垂线定理是“线与射影垂直 从两个定理的条件和结论上区分，三垂线定理是“ 线与斜线垂直” 逆定理相反． 推出 线与斜线垂直”，逆定理相反． 从两个定理的作用上区分，三垂线定理解决已知“ ②从两个定理的作用上区分，三垂线定理解决已知“共面直线垂直 异面直线垂直” 逆定理相反． 推出 异面直线垂直”，逆定理相反．
四、空间向量数量积的运算律
与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律： 与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律：
3.1.3 空间向量的数量积运算
AB1 . BC1 (BB1 BA).(BB1 BC)
A
C
2
BB1 BA. BC 1
2
2.COS 60。
B
AB1 C1B
4、如图，在平行六面体ABCD A' B'C' D'中，AB 4,
AD 3, AA' 5,BAD 90，BAA' DAA' 60，
求AC '的 长.
D'
当a b 0 a，b夹角为钝角( )
四.空间向量数量积在立体几何中的应用:
【例1】已知：PO, PA分别是平面的垂线、斜线，
OA是PA在平面内的射影，l , 且l OA.
求证：l PA
证明：取直线l的方向向量a
P
l OA,a OA 0
PO ,且l ,
PO l PO a 0
三、课堂练习
1、已知| a | 2 2 , | b | 2 , a b 2，则a , b所夹的 2
角 为__1_3_5_0___.
2、判断真假：
(1)若a b 0,则a 0,b 0 ( )
(2) (a b) c a (b c)
()
(3)
2
p
2
q
(
p q)2
()
(4) 当a b 0 a，b 夹角为锐角，
2
2)空间向量的数量积
已知两个非零向量a、b，则 | a || b | cos a, b 叫做
向量a, b的数量积, 记作：a b，即 a b | a || b | cos a, b
注: ①两个向量的数量积是数量,可以正,负或0，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积为0.
思考: 类比平面向量，你能说出a b的几何意义吗？
2020_2021学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.3空间向量的数量积运算素养课件新人教A
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4．如果 e1，e2 是两个夹角为 60°的单位向量，则 a＝e1＋e2 与 b＝e1－2e2 的夹角为________．
【答案】120° 【解析】由已知，e1·e2＝21，所以(e1＋e2)·(e1－2e2)＝－32， |e1＋e2|＝ 3，|e1－2e2|＝ 3. 所以 a 与 b 的夹角的余弦值为 cos 〈a，b〉＝|ee11＋＋ee22||ee11－－22ee22|＝－12.所以 a 与 b 的夹角为 120°.
4 ． 已 知 空 间 四 边 形 OABC ， OB ＝ OC ， ∠AOB＝∠AOC＝θ，则OA与BC的位置关系为 ________．
【答案】垂直 【解析】O→A·B→C＝O→A·(O→C－O→B)＝O→A·O→C－O→A·O→B＝|O→A
→ |·|OC|cos
θ－|O→A|·|O→B|cos
【解题探究】求|MN|即为求向量|ND|的模长.
求两点间的距离或线段的长度时，先将此线段用向量表 示，然后用其他已知夹角和模的向量表示该向量，再利用|a|=
，计算出|a|，即得所求距离.
找向量的夹角易出错 【示例】如图，AO⊥平面α，BC⊥OB， BC与平面α所成角为30°，AO＝BO＝BC＝ a，求AC长．
∴cos〈O→A，B→C〉＝|O→O→AA|··|B→B→CC|＝24－8×165
2＝3－52
2 .
∴OA 与 BC 所成角的余弦值为3－52
2 .
对于空间向量 a，b，有 cos〈a, b〉＝|aa|·|bb|，利用这一结论， 可以较方便地求解异面直线所成角的问题．由于向量夹角的取 值范围为[0，π]，而异面直线所成角的取值范围为0，π2，故当 〈a，b〉∈0，π2时，它们相等；而当〈a，b〉∈π2，π时，它 们互补．
《3.1.3空间向量的数量积运算》教学设计
《3.1.3空间向量的数量积运算》教学设计教学目标：知识与技能目标：知识：1.掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题.技能：将立体几何问题转化为向量的计算问题过程与方法目标：1.培养类比等探索性思维，提高学生的创新能力.2.培养学生把空间立体几何问题转化为向量的计算问题的思想.情感与态度目标：1. 获得成功的体验,激发学生学习数学的热情；2. 学习向量在空间立体几何中的应用,感受到数学的无穷魅力.教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用.教学难点：将立体几何问题转化为向量的计算问题.教辅工具：多媒体课件教学程序设计：一、几个概念1）两个非零向量的夹角的定义0,,,a b a b b a π≤〈〉≤〈〉〈〉规定:这样，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且＝ba b a b a ⊥=〉〈互相垂直，并记作：与则称如果,2,π,,,,,a b O OA a OB b a AOB a b b ∠〈〉==如图，已知两个非零向量在空间任取一点，作则角叫做向量与的夹角，记作：bABC思考：正三角形ABC 中，,______AB BC 〈〉=度120aOABab2）两个向量的数量积〉〈=⋅⋅〉〈b a b a b a b a b a b a b a b a ,cos ,,,cos ,即记作：的数量积，叫做向量，则已知空间两个非零向量几何意义： a与b的数量积b a⋅等于a 的长度|a |与b 在a的方向上的投影|b |cos ,a b 〈〉的乘积.A BO 1B cos ,b a b 〈〉A BO 1B cos ,b a b 〈〉A BO 1B cos ,b a b 〈〉大于0等于0小于0类比平面向量，说说的几何意义。
a b ⋅①两个向量的数量积是数量，而不是向量.〉〈=⋅⋅〉〈b a b a b a b a b a b a b a b a ,cos ,,,cos ,即记作：的数量积，叫做向量，则已知空间两个非零向量③非零向量④⑤cos ,a b a b a b⋅〈〉=2）两个向量的数量积a b ⊥0a b ⇔⋅=2a a =几个重要结论：②规定：00a ⋅=3)空间向量的数量积满足的运算律1)()()a b a b λλ⋅=⋅3()(a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅）分配律）2)(a b b a ⋅=⋅交换律）量的数量积定义及几何意义等.对个的结论主让例题与练习分析二、课堂练习.________,2,22,22.1所夹的角为则已知bababa-=⋅==2.10,0,0()2)()()()3)()4)()a b ca b a ba b c a b ca b a c b cka b k ba⋅===⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅=⋅==对于空间中任意向量,和，请判断下列说法的对错：）若则若，则若，则135××××ADFCBEACEFDCEFBDEFBAEFADABFEABCD⋅⋅⋅⋅)4()3()2(11 .3）（计算：的中点。
《3.1.3空间向量的数量积运算》ppt课件
(4)错误.在△ABC中,向量 BA，BC 的夹角为∠B,而向量 AB，BC 的夹角与向量 BA，BC 的夹角互补,故此等式不正确. 答案:(1)× (2)× (3)× (4)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若向量a与b满足|a|=1,|b|=2且a与b的夹角为 ,则
3
a·b=
.
(2)已知|a|=
2 ,|b|=
2 2
,a·b=-
2 2
,则a与b的夹角
为
.
(3)已知a,b是空间两个向量,若|a|=2,|b|=2,|a-b|= 7 ,
则cos<a,b>=
.
【解析】(1)a·b=|a||b|cos〈a，b〉=1×2× 1 =1.
2
答案：1
(2)由a·b=|a||b|cos〈a，b〉= 2 2 ×cos〈a，b〉
【解析】EF
FC1
[1 2
c
a
1 2
b]
(1 2
b
a)
1 (a b c) (1 b a)
2
2
1 a 2 1 b 2 2. 24
【方法技巧】 1.空间向量运算的两种方法 (1)利用定义：利用a·b=|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进 行计算. (2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同 一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．
形△OAB，△BOC求 OE与 BF 的模.
2. PC
2
PC .
【自主解答】(1)设 OA=a，OB =b，
OC =c且|a|＝|b|＝|c|＝1，
易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝ ，
3.1.3 空间向量的数量积运算
=13
������������
+
1 3
������������
+
1 3
������������ .
∴������������·(������������ + ������������ + ������������)=
1 3
������������
+
1 3
������������
+
1 3
������������
思路分析求出每个向量的模及其夹角,然后按照数量积的定义求 解,必要时,对向量进行分解.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
解(1)������������ ·������������=|������������||������������|cos <������������, ������������>
例 2 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求向量������������1与������������的夹角 的大小.
思路分析求两个向量的夹角,可以把其中一个向量平移到与另一
个向量的起点重合,从而转化为求平面角的大小;也可以用两个向
量的数量积定义a·b=|a||b|cos
<a,b>,求出cos
因 所为 以△向D量1A������C������1为与等���������边���的三夹角角形为,所π3.以∠D1AC=π3,即<������������1, ������������>=π3. (方法 2)设正方体的棱长为 1,
则������������1 ·������������=(������������ + ������������1)·(������������ + ������������)
3.1.3 空间向量的数量积运算
栏目 导引
第三章
空间向量与立体几何
想一想 1.〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？〈a，b〉与〈a，－b〉相等 吗？
提示：相等；不相等．
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第三章
空间向量与立体几何
2．空间向量的数量积 (1)定义：
|a||b|cos〈a，b〉 已知两个非零向量a，b，则__________________叫做a，b的 数量积，记作a· b. |a||b|cos〈a，b〉 即a· b＝_________________．
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第三章
空间向量与立体几何
→ → 又∵|BC1 |＝ 2，|AC|＝ 2， → → BC1 · AC 1 1 → → ∴cos〈BC1 ，AC〉＝ ＝ ＝ . → → 2× 2 2 |BC1||AC| → → ∵〈BC1 ，AC〉∈[0° ，180° ]， → → ∴〈BC1 ，AC〉＝60° . → → ∴BC1 与AC夹角的大小为 60° .
答案：1
2．已知|a|＝ 2，|b|＝ __________． 2 2 ，a· b＝－ ，则 a 与 b 的夹角为 2 2
答案：135°
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第三章
空间向量与立体几何
典题例证技法归纳题型探究来自题型一 空间向量数量积的运算 例1 已知长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝AA1＝2， AD＝4，E 为侧面 AA1B1B 的中心，F 为 A1D1 的中点． 求下列向量的数量积． → → (1)BC· 1； ED → → (2)BF· 1 . AB
栏目 导引
第三章
空间向量与立体几何
→ 1 (2)由(1)知MN＝ (q＋r－p)， 2 → 2 1 ∴|MN| ＝ (q＋r－p)2 4 1 ＝ [q2＋r2＋p2＋2(q· r－p· q－r· p)] 4 a2 a2 a2 1 2 ＝ [a ＋a2＋a2＋2 2 － 2 － 2 ] 4 1 a2 ＝ ×2a2＝ . 4 2 2 2 → ∴|MN|＝ a，∴MN 的长为 a. 2 2
3.1.3空间向量的数量积运算(优秀经典公开课比赛教案)
3.1.3空间向量的数量积运算一、教材分析：“3.1空间向量及其运算”包括空间向量的定义、空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、空间向量的数量积运算、空间向量的正交分解及其坐标表示、空间向量运算的坐标表示等内容。
在学生掌握了空间向量加法运算的基础上，学习空间向量的数乘运算应无困难。
教科书在本小节首先类比平面向量的数乘运算引入空间向量的数乘运算以及数乘运算的分配律和结合律。
进而分别给出了空间向量共线和共面的定义，并进一步研究了空间向量共线和共面的问题。
二、教学目标：1、掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2、掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；3、掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题.三、教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用．四、教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：3、教具选择：六、教学方法：七、教学过程1、自主导学：2、合作探究（一）、复习引入1.复习平面向量数量积定义：2. 平面向量中有两个平面向量的数量积，与其类似，空间两个向量也有数量积.（二）、新课讲授1. 两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向量a 与b ，在空间中任取一点O ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作＜a ,b ＞．说明：⑴规定：0≤＜a ，b ＞π≤． 当＜a 、b ＞＝０时，a 与b同向； 当＜a 、b ＞＝π时，a 与b 反向；当＜a 、b ＞＝2π时，称a 与b 垂直，记a ⊥b ． ⑵ 两个向量的夹角唯一确定且＜a ,b ＞＝＜b ,a＞．⑶ 注意：①在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．②＜a ,b ＞≠(a ,b )2. 两个向量的数量积：已知空间两个向量a 与b ，|a ||b |cos ＜a 、b ＞叫做向量a 、b 的数量积，记作a ·b ，即 a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞. 说明：⑴零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝０；⑵符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. 几何意义：已知向量AB ＝a 和轴l ，e 是l 上和l 同方向的单位向量．作点A 在l 上的射影A ′，点B 在l 上的射影B ′，则''A B 叫做向量AB 在轴l 上或在e 方向上的正射影，简称射影．可以证明：''A B ＝｜AB ｜cos ＜a ,e ＞＝a ·e ．说明：一个向量在轴上的投影的概念，就是a ·e 的几何意义．3. 空间数量积的性质：根据定义，空间向量的数量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质：⑴a ·e ＝｜a ｜·cos ＜a ,e ＞； ⑵a ⊥b ⇔a ·b ＝０⑶当a 与b 同向时，a ·b ＝｜a ｜·｜b ｜； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－｜a ｜·｜b ｜.特别地，a ·a ＝｜a ｜2或｜a ｜＝2a a a ⋅=.⑷cos ＜a ,b ＞＝a ba b ⋅⋅; ⑸｜a ·b ｜≤｜a ｜·｜b ｜.4. 空间向量数量积的运算律：与平面向量的数量积一样，空间向量的数量积有如下运算律：⑴(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb ) (数乘结合律)； ⑵ a ·b ＝b ·a (交换律)；⑶a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律)说明：⑴(a ·b )c ≠a （b ·с）；⑵有如下常用性质：a 2＝｜a ｜2，(a ＋b )2＝a 2＋２a ·b ＋b 2例题讲解：课本91页：例2、例33、巩固训练：课本92页：练习4、拓展延伸：5、师生合作总结：（1）空间向量夹角和模的概念及表示方法（2）两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；八、课外作业：课本97页：习题3.1 A组 4九、板书设计：。
(完整版)空间向量的数量积运算
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
4.如图所示，在▱ABCD 中，AD＝4，CD ＝3，∠D＝60°，PA⊥平面 ABCD，PA＝6， 求线段 PC 的长．
解析： ∵P→C ＝P→A ＋A→D ＋D→C . ∴|P→C |2＝(P→A ＋A→D ＋D→C )2 ＝|P→A |2＋|A→D|2＋|D→C|2＋2P→A ·A→D ＋2A→D ·D→C ＋2D→C ·P→A ＝62＋42＋32＋2|A→D ||D→C |cos 120°＝61－12＝49.
答案： A
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
2．空间四边形 OABC 中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝π3，
则 cos〈O→A，B→C 〉的值为( )
1 A.2 C．－12
2 B. 2 D．0
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
解析： 因为 O→A ·B→C＝O→A ·(O→C －O→B ) ＝O→A ·O→C －O→A ·O→B ＝|O→A ||O→C |cos〈O→A，O→C 〉－|O→A ||O→B |cos〈O→A ，O→B〉 又因为〈O→A ，O→C 〉＝〈O→A ，O→B 〉＝π3， |O→B ＝|O→C |，所以 O→A ·B→C ＝0， 所以O→A⊥B→C，所以 cos〈O→A ，B→C 〉＝0.
四面体筋混凝土构件，已知它的质量
为 5 000 kg，在它的顶点处分别受到
大小相同的力 F1、F2、F3，并且每两个力之间的夹角都 是 60°.
问这每个力最小为多少时，才能提起这块混凝土构
件？
工具
第三章 空间向量与立体几何
高中数学选修2-1第三章 3.1 3.1.3 空间向量的数量积运算
＝0，|a|＝|b|＝|c|.
∵ A1O ＝ A1 A＋ AO
＝ A1 A＋12( AB＋ AD)＝c＋12a＋12b，
BD＝ AD－ AB＝b－a，
OG＝OC ＋CG＝12( AB＋ AD)＋12CC1 ＝12a＋12b－12c.
3．1．3 空间向量的数量积运算
预习课本 P90～91，思考并完成以下问题 1．空间向量的数量积的定义是什么？
结束
2．空间向量的数量积满足哪些运算律？
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[新知初探]
结束
1．空间向量的夹角
(1)如图，已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA
＝a，OB＝b，则 ∠AOB 叫做向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉．
又| AC |＝ 2，|BA1 |＝ 1＋2＝ 3，
∴cos〈 BA1
，
AC
〉＝ |
BA1 BA1
·AC || AC
＝－1＝－ |6
66，
则异面直线
BA1 与
AC
所成角的余弦值为
6 6.
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结束
利用空间向量的数量积证明垂直
[典例] 已知空间四边形 ABCD 中，AB⊥CD，AC⊥BD， 求证：AD⊥BC.
[解] 不妨设正方体的棱长为 1， 则 BC1 ·AC ＝(BC ＋CC1 )·( AB＋ BC ) ＝( AD＋ AA1 )·( AB＋ AD) ＝ AD·AB＋ AD2＋ AA1 ·AB＋ AA1 ·AD
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OA,OB OA, OB OA,OB
OA, OB与OA,OB什么关系？
OA, OB OA,OB
思考：
空间两个向量的夹角与平面两个向量的夹角 有什么关系？为什么？
两个向量一定是共面的.
a
A
a
b
o bB
二.空间向量的数量积
已已知知空间空两间个两非个零非向量零a向、b量,则a、b，则 a b cosa,b 叫做 a 、b 的数量积,记作a b .
证明:在 内作任一直线g,
gl
m
在直线 l, m, n, g 上取非零向量 l, m, n, g, 因m与n相交,故向量m ,n不平行,
m
n ng
由共面向量定理,存在唯一实数(x, y) ,使g xm yn
l g xl m yl n , ll回gm归问几题00何,即, l lng0. ,
未知向量用已知向量表示， 转化为已知向量的运算
l g,即l垂直于平面内任一直线.l .
练习 1：已知:如图, PO 、PA 分别是平面 的垂线、
斜线， AO 是 PA在平面 内的射影， l ，
P
OA
且 l OA，求证： l PA
l
练习2：如图，正三棱柱ABC A1B1C1中，若AB 3,
新课引入
天宫二号 与神舟十 一号即将 完成空间 交会对接.
学习目标：
1.掌握空间两个向量的夹角；
2.掌握空间向量的数量积的概念和计算 方法； 3.能运用空间向量的数量积运算解决垂 直，简单的空间角度以及距离问题.
一.两个向量的夹角
a
A
a
b
o bB
已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,
作OA a,OB b,
则AOB叫做向量a,b的夹角，记作<a, b>.
规定：0≤a,b ≤
一.两个向量的夹角
(1)AOB a,b
⑵ a, b ＝ b, a
0, a、b同向
, a、b反向 ,ab
2
一.两个向量的夹角
A
a
B′
O
bB
A′
A
a
O
bB
AOB a, b OA,OB 思考：OA,OB，OA, OB与OA,OB什么关系？
零向即即量a：a与b 任ba意b向acos量bac的,obs数.a量, b积 为 0 .
二.空间向量的数量积
请类比平面向量的数量积运算，回答下面 两个问题.
1.如果空间向量 a,b是两个非零向量， 它们的数量积有哪些性质呢？ 2.空间向量数量积的运算律有哪些？
二.空间向量的数量积
对于空间向量下列命题成立吗?
BB1B2B..11=立未1，体1知,则几向求何量异问用三果那面面题已垂 和 么直直转知线 这 它线线化向定 个 也A为量A理 平 和BB1向表与1： 面 这与量示C在 的 条B1问，BC平 一 斜所1题所面 条 线成；成内斜垂角角的线直的的一的.余A余1条射弦弦直影值值线垂. B直,.1如,C1
转化为已知向量的运这节课你学到了什么知识？
1.两个向量的夹角； 2.空间向量的数量积； 3.空间向量数量积在立体几何问 题中的应用.
作业：
必做题：P92 选做题：P97
练习1、2 A组 1、2、3
欢迎大家提问！
①若 a b a c ,则 b c
②若 a b k ,则 a k
b
③ (a b) c a (b c)(结合律)
D1
C1
A1
B1
a
D
C
A
B
三.空间向量数量积的应用
例如果1:已l ⊥知m直, 线l ⊥mn,,n求是证平立化:面体l为⊥几向何量内问问的题题. 两转. 条相交直线, l