八年级数学平行四边形矩形菱形
魏县第九中学八年级数学下册 第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.2 菱形第1课
（ 3） 30 m 5mn 24 n （ 4n2 ）
请计算 ： 25 36
类比分数的通分与约分你能联想 分式的通分与约分是怎样的吗 ？
∴菱形的周长=4×5=20（cm）.
课堂小结
菱形的性质：
1.菱形的四条边都相等. 2.菱形的对角都相等. 3.菱形的两条对角线互相垂直平分，并 且每一条对角线平分一组对角. S菱形= 对角线乘积的一半F. 求证： ∠AEF=∠AFE.
证明：如图，连接AC, ∵四边形ABCD为菱形， ∴BC=CD，∠ECA=∠FCA. 又∵BE=DF，∴EC=FC. ∴△AEC≌△AFC， ∴AE=AF，∴∠AEF=∠AFE.
结束
语 八年级数学下册 第十八章 平行四边形18.2 特殊
的平行四边形18.2.2 菱形第1课时 菱形的性质课 件 （新版）新人教版-八年级数学下册第十八章平 行四边形18.2特殊的平行四边形18.2.2菱形第1课 时菱形的性质课件新版新人教版
八年级数学下册 第十八章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形18.2.2 菱形第1 课时 菱形的性质课件 （新版）新人教
版同-学八年们级，数下学课下休册息第十十分八钟章。平现行在四是边休形 18.2息特时殊的间平，行你四们边休形息1一8.2下.2眼菱睛形，第1课
时菱形的性质课件新版新人教版
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来
知识点 2 菱形性质的应用
比较菱形的对角线和平行四边形的对角 线，我们发现，菱形的对角线把菱形分成4个 全等的直角三角形，而平行四边形通常只被 分成两对全等三角形.
由菱形两条对角线的长 ，你能求出它的面积吗？
1 S菱形ABCD=2 AC ·BD
例3 如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m， ∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC和BD．求两条小路的长（结果保留小数点后两 位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）．
2023年八年级数学平行四边形矩形菱形正方形知识点总结
平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结平行四边形：性质：①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相平分；鉴定：①定义：两组对边分别平行旳四边形②措施1：两组对角分别相等旳四边形③措施2：两组对边分别相等旳四边形④措施3：对角线互相平分旳四边形⑤措施4：一组平行且相等旳四边形矩形：性质：①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相平分且相等；鉴定：①有一种角是直角旳平行四边形；②对角线相等旳平行四边形；③四个角都相等菱形：性质：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；④面积：则S菱形=底×高=ah；或者S菱形=12ab（对角线乘积旳二分之一）．鉴定：①有一组邻边相等旳平行四边形；②对角线互相垂直旳平行四边形；③四条边都相等．正方形：性质：①边：四条边都相等；②角：四角相等；③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边旳夹角为450；鉴定：①有一组邻边相等且有一种直角旳平行四边形②有一组邻边相等旳矩形；③对角线互相垂直旳矩形．④有一种角是直角旳菱形⑤对角线相等旳菱形；几种特殊四边形旳常用说理措施与解题思绪分析（1）识别矩形旳常用措施①先阐明四边形ABCD为平行四边形，再阐明平行四边形ABCD旳任意一种角为直角．②先阐明四边形ABCD为平行四边形，再阐明平行四边形ABCD旳对角线相等．③阐明四边形ABCD旳三个角是直角．（2）识别菱形旳常用措施①先阐明四边形ABCD为平行四边形，再阐明平行四边形ABCD旳任一组邻边相等．②先阐明四边形ABCD为平行四边形，再阐明对角线互相垂直．③阐明四边形ABCD旳四条相等．（3）识别正方形旳常用措施①先阐明四边形ABCD为平行四边形，再阐明平行四边形ABCD旳一种角为直角且有一组邻边相等．②先阐明四边形ABCD为平行四边形，再阐明对角线互相垂直且相等．③先阐明四边形ABCD为矩形，再阐明矩形旳一组邻边相等．④先阐明四边形ABCD为菱形，再阐明菱形ABCD旳一种角为直角．。
八年级数学第十八章18.2.2菱形
对称性 矩形是中心对称图形；也是轴对称图
形，它有两条对称轴，分别是对边中点连线所 在的直线.
矩形判定方法1
有一个角是直角的平行四边形是矩形
矩形判定方法2
对角线相等的平行四边形是矩形。
矩形判定方法3
有三个角是直角的四边形是矩形。
活动二：
在平行四边形中，如果内角大小保持不 变仅改变边的长度，能否得到一个特殊 的平行四边形？
平行四边形
邻边相等
菱形
有一组邻边相等的平行四边形
有一组 邻边相等 的平行四边形叫做菱形
A D C
∵四边形ABCD 是平行四边形 AB=BC ∴四边形ABCD 是菱形
B
感受生活
你能举出生活中你看到的菱形吗？
菱形就在我们身边
感受生活
三菱汽车标志欣赏
活动三：折一折 剪一剪
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准 确地剪出一个菱形的纸片？
18.2特殊的平行四边形
18.2.2菱形的性质
活动一：
平行四边形的对边平行； 边 平行四 边形的 性质： 平行四边形的对边相等； 平行四边形的对角线互相平分； 平行四边形的对角相等； 平行四边形的邻角互补；
对角线
角
你还知道矩形的其他性质吗?
边 角
对边平行. 对边相等.
对角相等. 邻角互补.
四个角都是直角. 对角线互相平分 对角线 . 对角线相等 .
D
O C B
∴DB⊥AC， DB平分∠ADC（三线合一）
同理： DB平分∠ABC； AC平分∠DAB和∠DCB
D O
E B
S菱形ABCD AB DE
C
A
S菱形ABCD
1 AC BD 2
中考数学复习⑦ 平行四边形及矩形、菱形、正方形存在性问题探究
中考数学复习⑦ 平行四边形及矩形、菱形、正方形存在性问题探究在平行四边形的存在性问题中，常会遇到两类探究性的问题。
第一类问题是已知三点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找一动点，使这四点构成平行四边形（简称“三定一动”）。
第二类问题是已知两个点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找两个动点，使这四点构成平行四边形（简称“两定两动”）。
平行四边形的这四个点有可能是定序的，也有可能没有定序。
在解决这些问题时，容易出现遗漏或方法不当或错解的情况。
因此，需要分清题型并分类讨论且作图，利用几何特征计算，并灵活运用平移坐标法等解题技巧。
可以把存在性问题的基本思路叫做“三步曲”：一“分”二“作”三“算”。
对于“三定一动”，要找出平行四边形第四个顶点，则符合条件的有3个点。
这三个点的找法是以三个定点为顶点画三角形，过每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生所要求的3个点。
对于“两定两动”，要找出平行四边形第三、四个顶点，将两个定点连成定线段，将此线段按照作为平行四边形的边或对角线两种分类讨论。
如果平行四边形的四个顶点都能用坐标来表示，则可以直接利用坐标系中平行四边形的基本特征：即对边平行且相等或对边水平距离相等和竖直距离相等列方程求解。
如果平行四边形的四个顶点中某些点不能用坐标表示，则可以利用列方程组解图形交点的方法解决。
此外，还可以灵活运用平行四边形的中心对称的性质，或者使用平移坐标法。
平移坐标法的具体步骤是先由题目条件探索三点的坐标（若只有两个定点，可设一个动点的坐标），再画出以三点为顶点的平行四边形，根据坐标平移的性质写出第四个顶点的坐标。
最后根据题目的要求（动点在什么曲线上），判断平行四边形的存在性。
除了平行四边形，矩形、菱形和正方形也有存在性问题。
对于矩形，增加对角线相等和邻边垂直的性质，还可以转化为直角三角形的存在性问题。
对于菱形，增加四边相等和对角线垂直的性质，还可以转化为直角三角形或等腰（等边）三角形的存在性问题。
八年级数学北师大上册平行四边形---菱形矩形正方形
龙文个性化辅导讲义（2011 ~ 2012 学年第1学期）任教科目：数学授课题目：菱形、矩形、正方形年级：八年级任课教师：杜九玲龙文师资培训部编制主任签名：_________日期：__________龙文个性化辅导教案授课教师杜九玲授课对象虞嘉雯授课时间2011-10-29授课题目菱形、矩形、正方形课型综合使用教具教学目标掌握菱形、矩形、正方形的性质。
菱形、矩形、正方形的判别方法。
菱形、矩形、正方形在平行四边形中的特殊性。
教学重点和难点菱形、矩形、正方形的判别方法。
菱形、矩形、正方形在平行四边形中的特殊性。
参考教材平行四边形的性质和判别一、基础知识回顾1．平行四边形的定义：（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2”来表示。
2．平行四边形性质：（1）边：两组对边分别平行且相等；（2）角：对角相等、邻角互补；（3）对角线：对角线互相平分。
二、重点、难点（一）菱形1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形.2、菱形的性质：因为菱形是特殊的平行四边形，所以它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直平分；③菱形的每一条对角线平分一组对角。
3、菱形的判别方法：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四条边都相等的四边形是菱形。
（注意：菱形的判别方法的题设条件是平行四边形还是任意四边形.）4、菱形是轴对称图形，它有两条对称轴，这两条对称轴是菱形的对角线，所以两条对称轴互相垂直.。
【例】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD于F，交AC于E，若EG⊥BC于G，连结FG.求证：四边形AFGE是菱形.分析：要判别四边形AFGE是菱形，要先证它是平行四边形，然后再寻找邻边相等的条件，而要证明它是平行四边形，要找出平行四边形的判定条件。
（二）矩形1、矩形.的定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形.。
数学平行四边形、菱形、矩形、正方形的定理、性质、判定
1. 定义: 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.性质:⑴如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。
（简述为“平行四边形的对边相等”）⑵如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。
（简述为“平行四边形的对角相等”）⑶夹在两条平行线间的平行线段相等。
⑷如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。
（简述为“平行四边形的两条对角线互相平分”）⑸平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
3.判定：（1）如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形。
（简述为“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”）（2）如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。
（简述为“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”）（3）如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。
（简述为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”）（4）如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形。
（简述为“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”（5）如果一个四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形。
（简述为“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”）矩形的性质和判定定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.性质：①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等 .注意：矩形具有平行四边形的一切性质 .判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形 .菱形的性质和判定定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 .注意：菱形也具有平行四边形的一切性质 .判定：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形(4).有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形正方形的性质和判定定义：有一组邻边相等并且有一角是直角的平行四边形叫做正方形.性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等；②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 .判定：因为正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，所以我们判定正方形有三个途径①四条边都相等的平行四边形是正方形②有一组临边相等的矩形是正方形③有一个角是直角的菱形是正方形梯形及特殊梯形的定义梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.（一组对边平行且不相等的四边形叫做梯形.）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形. 直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.等腰梯形的性质1、等腰梯形两腰相等、两底平行；2、等腰梯形在同一底上的两个角相等；3、等腰梯形的对角线相等；4、等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴. 等腰梯形的判定1、两腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3、对角线相等的梯形是等腰梯形.平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等且平行平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角矩形性质定理2 矩形的对角线相等矩形判定定理1 有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角菱形性质定理1 菱形的四条边都相等菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形判定定理3是对称轴图形的平行四边形是菱形。
八年级数学《菱形》知识总结及经典例题
八年级数学《菱形》知识总结及经典例题学习目标1．掌握菱形的概念．2．理解菱形的性质及识别方法．3．能利用菱形的性质及识别方法，解决一些问题．学法指导把平行四边形、矩形、菱形的性质及识别方法对照起来学习，了解它们的相同点和不同点．基础知识讲解1．菱形的定义四条边都相等的平行四边形（或一组邻边相等的平行四边形）叫做菱形．由菱形的定义可知，菱形是一种特殊的平行四边形，菱形的定义包含两个条件，①是平行四边形，②邻边相等，这两个条件缺一不可．2．菱形的性质（1）它具有平行四边形的一切性质（2）它除具有平行四边形的性质外，还具有自己的特殊性质．①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直平分，而且每条对角线平分一组对角．③菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线．④菱形的对角线分菱形为4个全等的直角三角形．3．菱形的识别方法菱形的识别方法，除用定义来识别外，还有其它的识别方法，用定义来识别是最基本的识别方法．其它的识别方法有①四条边都相等的四边形，也为菱形．②对角线互相垂直的平行四边形，也是菱形，运用这个识别方法必须符合两个条件，一是对角线互相垂直，二是平行四边形．4．菱形的面积计算由菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，可得出，菱形的面积=4×S Rt △. 设对角线长分别为a ，b ．则菱形的面积=4×21×（22b a ）=21ab ，即菱形的面积等于对角线乘积的一半．5．菱形的性质及识别方法的作用利用它们可以证明线段相等、垂直、平分、平行等关系．证明角相等，平分等关系，证明一个四边形为菱形和进行有关的计算．重点难点重点：菱形的性质，识别方法及其在生活、生产中的应用．难点：运用菱形的性质及识别方法，灵活地解答一些问题．易错误区分析运用菱形的定义时易忽略，邻边相等的平行四边形中的平行四边形这个条件． 例1．判断下列说法对不对（1）邻边相等的四边形为菱形．（ ）（2）两边相等的平行四边形为菱形．（ ）错误分析：（1）中应为邻边相等的平行四边形．（2）中是指邻边相等而不是两边相等． 错解：（1）（√） （2）（×）正解：（2）（×） （2）（×）运用菱形的识别方法“对角线”互相垂直且平分的平行四边形中有时忽略垂直或者平分，有时忽略平行四边形这些条件．由于本节的性质判别方法较多，利用本节解题时易犯推理不严密的错误．例2．如图在菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点连结AE ，AF.求证：AE ＝AF错误分析：本题证明错在BE ＝DF ，因为并未证明BC ＝CD ，推理不严格错证：∵菱形ABCD ，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D又∵E ，F 分别为BC ，CD 的中点，∴BE ＝DF∴△ABE ≌△ADF ∴AE ＝AF正证：∵菱形ABCD ∵AB ＝AD ，∠B ＝∠D ， ∴21BC=21CD 又∵EF 分别为BC ，CD 的中点 ∴BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF ∴AE ＝AF典型例题例l ．已知，如图所示，菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC 、CD 上的一点，∠D=∠EAF=∠AEF ＝60°.∠BAE ＝18°，求∠CEF 的度数．分析：要求∠CEF 的度数，可先求∠AEB 的度数，而要求∠AEB 的度数则必须求∠B 的度数，这一点则可由菱形是特殊的平行四边形可得到.另外，由∠D ＝60°．如连结AC 得等边△ABC 与△ACD ，从而△ABE ≌△ACF ，有AE ＝AF ，则△AEF 为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求∠CEF解法一：因为菱形是特殊的平行四边形．所∠B ＝∠D ＝60°.因为∠BAE ＝18°，∠AEB+∠B+∠BAE ＝180°所以∠AEB+60°+18°＝180°.即∠AEB=180°-60°-18°＝102°．又∠AEF ＝60°，∠AEB+∠AEF+∠CEF ＝180°所以∠CEF ＝180°-60°-102°＝18°解法二：连结AC ∴四边形ABCD 为菱形，∴∠B ＝∠D ＝60°，AB ＝BC ＝CD ＝AD ．∴△ABC 和△CDA 为等边三角形 ∴AB ＝AC ，∠B ＝∠ACD ＝∠BAC ＝60°∵∠EAF ＝60° ∴△BAE=∠CAF ∴△ABE ≌△ACF ∴AE ＝AF又∵∠EAF ＝60° ∴△EAF 为等边三角形 ∴∠AEF ＝60°∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF∴60°+18°＝60°+∠CEF ∴∠CEF ＝18°解法三：利用辅助线把菱形转化为三角形来解答，这是一种常用的作辅助线的方法．例2．已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 平分∠ABC ，交AD 于点M ，AN 平分∠DAC ，交BC 于点N.求证：四边形AMNE 是菱形．分析：要证AMNE 是菱形，可以根据定义，证得它是平行四边形，并且有一组邻边相等，也可以根据判定定理，证它四边相等；或证两条对角线互相垂直平分，注意到AN 是∠DAC 的平分线，只要证AM ＝AE ，则AN 垂直平分ME ，若证AN ⊥ME ，则再由BE 平分∠ABN 易知BE 也垂直平分AN ，即AN 与ME 互相垂直平分，故有AM ＝MN ＝NE ＝AE ，即AMNE 是菱形，此为证法一．显然，在上述证法中，证得BE 垂直平分AN 后，可得AM ＝MN ，所以∠MNA ＝∠MAN ＝∠NAE ，所以MN AE ，则AMNE 是平行四边形，又AM ＝MN 所以AMNE 是菱形．证法一：因为∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，所以∠BAD ＝∠C因为BE 平分∠ABC ，所以∠ABE ＝∠EBC ．因为∠AME ＝∠BAD+∠ABE ＝∠C+∠EBC ＝∠AEM ，所以AM ＝AE ，又因为AN 平分∠DAC ，所以AM ＝MN ，所以AM ＝MN ＝NE ＝AE ．所以AMNE 是菱形．证法二：同上，若证AN 垂直平分ME ，再证BE 垂直平分AN ，则AM ＝MN ，所以∠MNA=∠MNA=∠NAE.所以MN AE ．所以AMNE 是平行四边形，由AM ＝MN 得AMNE 是菱形．例3．已知：如图菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，且OA ＝DE ，边长AD ＝8，求菱形ABCD 的面积．分析：由菱形的对角线互相垂直知OA 是△ABD 的边BD 上的高，又由DE ⊥AB ，OA ＝DE ，易知△AOD ≌△DEA 从而知△ABD 是等边三角形，从而菱形ABCD 面积可求．解：在菱形ABCD 中，因为AC ⊥BD ，所以△AOD 是直角三角形，因为DE ⊥AB ，所以△AED 是直角三角形．在Rt △AOD 和Rt △AED 中，因为AD ＝AD ，DE ＝OA ，所以Rt △AOD ≌Rt △DEA ．所以∠ADO ＝∠DAE ，因为ABCD 为菱形，所以∠ADO ＝∠ABO ，所以△ABD 是等边三角形．因为AD ＝8，DE ⊥AB ，所以AE ＝21AD ＝4，在Rt △AED 中，DE ＝22AE AD =43.从而S 菱形ABCD ＝AB ·DE ＝8×43=323注意：题中是将菱形的面积按一般的平行四边形面积公式计算的，当然也可以求出对角线AC ，BD 的长，按S 菱形ABCD =21AC ·BD 来计算，但后者较繁复． 例4．已知：如图，□ABCD 中，AD ＝2AB ，将CD 向两边分别延长到E ，F 使CD ＝CE ＝DF. 求证：AE ⊥BF分析：注意□ABCD 中，AD ＝2AB 这一特殊条件，因此□ABCD 能分成两个菱形．从而可以通过菱形的对角线互相垂直来证明．证明：设AE 交BC 于点G ，BF 交AD 于点H ，连结GH.因为AB ∥DF ，所以∠F=∠ABH ， ∠FDH=∠BAH.又因为AB ＝CD ＝DF ，所以△ABH ≌△DFH.所以AH ＝HD=21AD=AB.所以BC AH ，BG=AB ．则四边形ABGH 是菱形，所以AE ⊥BF.例5．如图所示，AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，则四边形AEDF 是菱形吗？请说明理由．分析：由已知判断△AOF 和△DOF 是关于直线EF 成轴对称图形，再由轴对称的特征，得到∠OAF ＝∠ODF ，再结合已知得到∠ODF ＝∠OAE ，从而判断DF ∥AE ，得到AEDF 是平行四边形，进一步推出对角线互相垂直平分，得到AEDF 是菱形。
中考 四边形(矩形 平行四边形 梯形 菱形)专题 数学思想方法 总复习
∽ , ∽ , ∽
第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线
经典例题6.已知：如右上图6，在平行四边形 中， , ,
交 于 ，求
解：连结 交 于点 ,连结
∵四边形 为平行四边形
专题二梯形中的辅助线
常见的梯形辅助线规律口诀为:梯形问题巧转化，变为△和□;要想尽快解决好,添加辅助线最重要;平移两腰作出高,延长两腰也是关键;记着平移对角线,上下底和差就出现;如果出现腰中点,就把中位线细心连;上述方法不奏效,过中点旋转成全等;灵活添加辅助线,帮你度过梯形难关;想要易解梯形题,还得注意特题特解;注意梯形割与补,巧变成为□和△.基本图形如下:
(4)对角线相等且互相平分的四边形．四边形ABCD是矩形.
5.菱形的性质：
因为ABCD是菱形
6.菱形的判定：
四边形四边形ABCD是菱形.
7.正方形的性质：
ABCD是正方形
8.正方形的判定：
四边形ABCD是正方形.
名称
定义
性质
判定
面积
平
行
四
边
形
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
1对边平行；
②对边相等；
∴ ，即 解得 故选A
第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。
经典例题3.已知：如左下图3，四边形 为平行四边形
求证：
证明：过 分别作 于点 ， 的延长线于点F
∴
则
∵四边形 为平行四边形∴ ∥ 且 ,
∴ ∵
∴ ∴
∴
第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。
∴
∴ 是直角三角形,∵ , ,
初中数学：平行四边形、菱形 矩形、长方形的性质和判定定理【归纳】
2、对角线相等的平行四边形是矩形
3、有三个角是直角的四边形是矩形
正方形
1具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质；
2四个角都是直角；四条边都相等；
3对角线相等、相互垂直平分对角线与边的夹角为45°
1一组邻边相等的矩形 是正方形；（定义）
2、有一个角是直角的菱形 是正方形
菱形
1边的性质：对边平行且四边相等
②角的性质：邻角互补，对角相等
3对角线性质：对角线互相垂直平分，且每条对角线平分组对角
1、一组邻边相等的平行四边形是菱形；（定义）
2、对角线互相垂直的平行四边形 是菱形；
3、四边都相等的四边形 是菱形。
矩形
1具有平行四边形的一切性质
②四个角都是直角
③对角线相等→直角三Fra bibliotek形斜边是的中线等于斜边的一半
四边形
性质
判定
平行四边形
1两组对边分别平行
2两组对边分别相等
3两组对角分别相等
4两条对角线互相平分
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（定义）
2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
5、对角线互相平分的四边形是平行四边形。
八年级数学平行四边形矩形菱形正方形
平行四边形、矩形、菱形、正方形一、填空题⒈平行四边形ABCD中；∠A=500；AB=30cm；则∠B=____；DC=____。
⒉平行四边形的周长为68cm；则它两邻边之和为________；若两邻边之比为2∶3时；其各边的长为________；________；________；________。
⒊平行四边形ABCD中；∠A+∠C=1200；则∠B=________。
⒋菱形的两条对角线与边长相等时；则较大的角为________。
⒌矩形的两条对角线相交成钝角为1200；矩形较短边的长为3.6cm；则对角线的长为________cm。
⒍矩形ABCD的对角线相交于O；AC=2AB；则△COD为________三角形。
⒎已知：正方形的边长为5cm；则对角线的交点到一边的距离为________。
⒏已知：正方形的周长是非曲直6cm；则它的面积为________。
二、选择题⒈关于四边形ABCD ①两组对边分别相等；②两组对边分别相等；③有一组对边平行且相等；④对角线AC和BD相等；以上四个条件中可以判定四边形ABCD是平行四边形的有（）。
A1个B2个C3个D4个⒉能够判定一个四边形是菱形的条件是（）。
A对角线相等且互相平分B对角线互相垂直C对角线相等且一条对角线平分一组对角D对角线相等且对角相等⒊正方形具有而菱形不具有的性质是（）。
A内角和为3600B对角线互相垂直平分C对角线相等D对角线平分内角⒋如图：矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O；如果△ABC的周长比△AOB的周长大10cm；则矩形边AD的长是（）。
A 5cmB 10cmC 7.5cmD 不能确定四、计算题⒈已知菱形的周长为16cm；且一个内角为600；求菱形的面积。
⒉在平行四边形ABCD中；已知∠B=1500；AB=10cm；BC=12cm；平行四边形的面积。
五、证明题⒈如图：已知在△ABC中；AB=AC；D为BC上任意一点；DE∥AC交AB于E；DF∥AB交AC于F；求证：DE+DF=AC⒉矩形ABCD中；AE⊥BD于E；BE∶ED=1∶3；求证：AC=2AB3（1）实验：取长方形纸片ABCD；把它的四个角如图对折；其条折痕围成一个四边形EFGH．（2）观察与猜想：折痕围成的四边形EFGH是一个怎样的特殊四边形？（3）理论与思考：试说明你上面的结论．。
浙教版八年级下册第五章特殊平行四边形 第1讲(矩形与菱形)培优讲义(含解析)
特殊平行四边形第1讲（矩形与菱形）命题点一：利用性质解决相关问题例1如图，矩形OBCD的顶点C的坐标为(2,3)，则BD＝13.例2如图，在菱形ABCD中，AB＝8，点E，F分别在AB，AD上，且AE＝AF，过点E作EG∥AD 交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O.当四边形AEOF与四边形CGOH 的周长之差为12时，AE的值为( C )A．6.5 B．6 C．5.5 D．5命题点二：根据相应的判定方法解题例3下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是( C )A．AB∥CD，AB＝CD，AC＝BD B．∠A＝∠B＝∠D＝90°C．AB＝BC，AD＝CD，且∠C＝90° D．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90°例4四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是( B ) A．BA＝BC B．AC，BD互相平分 C．AC＝BD D．AB∥CD例5如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，E是AD的中点，M是边AB上一动点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连结MD，AN.(1)求证：四边形AMDN是平行四边形．(2)填空：①当AM 的值为 1 时，四边形AMDN 是矩形； ②当AM 的值为 2 时，四边形AMDN 是菱形. 解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴ND ∥AM .∴∠NDE ＝∠MAE ，∠DNE ＝∠AME . ∵E 是AD 的中点，∴DE ＝AE .在△NDE 和△MAE 中，∵⎩⎨⎧∠NDE ＝∠MAE ，∠DNE ＝∠AME ，DE ＝AE ，∴△NDE ≌△MAE (AAS )．∴ND ＝M A ． ∴四边形AMDN 是平行四边形．命题点三：利用图形的轴对称性解题例6如图，四边形ABCD 是菱形，△AEF 是正三角形，点E ，F 分别在BC ，CD 边上，且AB ＝AE ，则∠B 的大小为( B )A ．60°B ．80°C ．100°D ．120°例7如图，四边形ABCD 与四边形AECF 都是菱形，点E ，F 在BD 上，已知∠BAD ＝120°，∠EAF ＝30°，则ABAE ＝6＋22. 命题点四：利用图形的中心对称性解题例8如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝110°，E ，F 分别是AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC 的大小为( D )A．35° B．45° C．50° D．55°例9如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C，A运动，其速度为1 cm/s，运动时间为t(s)．当AC＝16 cm，BD＝12 cm，且以D，E，B，F为顶点的四边形是矩形时，t＝ 2或14 .命题点五：用旋转的方法解决问题例10如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A(－6,0)，C(0,23)，将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为(－23，6) .例11如图，在边长为2的菱形ABCD中，BD＝2，E，F分别是AD，CD上的动点(包含端点)，且AE＋CF＝2，则线段EF的长的取值范围是3≤EF≤2 .命题点六：巧用公式解决面积有关的问题例12如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC＝24 cm，则四边形ABCD 的周长为( A )A．52 cm B．40 cm C．39 cm D．26 cm例13如图，在矩形ABCD中，M为边BC上一点，连结AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E，若DE＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为255.命题点七：在矩形、菱形中的拼接问题例14如图，四张大小不一样的正方形纸片分别放置于矩形的四个角落，其中，①和②纸片既不重叠也无空隙，在矩形的周长已知的情况下，知道下列哪个正方形的边长，就可以求得涂色部分的周长( B)A．① B．② C．③ D．④例15如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无空隙，其中两张等腰三角形纸片的面积都为S1，且AE＝AH，CF＝CG，另外两张三角形纸片的面积都为S2，中间一张菱形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为( A )A．4S1 B．4S2 C．4S2＋S3 D．3S1＋4S3课后练习1．如图，矩形ABCD的周长是16，DE＝2，△EFC是等腰直角三角形，∠FEC＝90°，则AE的长是( A )A ．3B ．4C ．5D ．62．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，连结BM ，DN .若四边形MBND 是菱形，则AMMD等于( C )A ．38B ．23C ．35D ．453．如图，在菱形ABCD 中，边BC 的长为5，高DE 的长为3(垂足E 落在BC 边上)，则AC 的长为( A )A ．310B ．4 5C ．8D ．104．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝3，DF ＝1，∠DAB ＝60°，∠EFG ＝15°，FG ⊥BC ，则AE 等于( D )A ．1＋ 2B ． 6C ．23－1D ．1＋ 35．如图，大矩形分割成五个小矩形，④号、⑤号均为正方形，其中⑤号正方形边长为1.若②号矩形的长与宽的差为2，则知道哪个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积( A )A．①或③ B．② C．④ D．以上选项都可以6．如图，在矩形中ABCD中，AD＝2AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连结BH并延长交CD于点F，连结DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH ＝HF；④BC－CF＝2HE；⑤AB＝HF.其中正确的有( C )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个7．如图，在长方形ABCD中，M是AD边的中点，N是DC边的中点，AN与MC交于点P.若∠MCB ＝∠NBC＋33°，则∠MPA的度数为 33°.8．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，P为BC上一点，PF⊥AC，PE⊥BD，则PF＋PE 的值为 4.8 .9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝53，∠C＝30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒 (t>0)，过点D作DF⊥BC于点F，连结EF，当四边形AEFD为菱形时，t的值为103.10．如图，点D，F把线段BH分成三条线段BD，DF，FH，分别以这三条线段为一条对角线作菱形ABCD，菱形DEFG，菱形FMHN，连结CE，EM，MG，GC组成四边形CEMG.若菱形ABCD的边长为7，菱形DEFG的边长为13，菱形FMHN的边长为6，BH＝40，DF＝24，则四边形CEMG的面积为 160 .11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E，F分别在BC，CD上，若AE＝5，∠EAF＝45°，则AF的长为4103.12．将矩形ABCD绕点A按顺时针旋转α(0°<α<360°)，得到矩形AEFG.(1)如图，当点E在BD上时，求证：FD＝C D．(2)当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．13．(2018·江西)在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边三角形APE.点E的位置随着点P位置的变化而变化．(1)如图①，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连结CE，BP与CE的数量关系是BP＝CE，CE与AD的位置关系是CE⊥AD.(2)当点E在菱形ABCD外部时，题(1)中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由 (选择图②，图③中的一种情况予以证明或说理)．(3)如图④，当点P在线段BD的延长线上时，连结BE，若AB＝23，BE＝219.求四边形ADPE的面积．解：(2)仍然成立．选图②，证明如下：连结AC交BD于点O.设CE交AD于点H.在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∵BA＝BC，∴△ABC为等边三角形．∴BA＝C A．∵△APE为等边三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝∠BAC＝60°.∴∠BAP＝∠CAE.∴△BAP≌△CAE(SAS)．∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABP＝30°.∵AC和BD为菱形的对角线，∴∠CAD＝60°.∴∠AHC＝90°，即CE⊥A D．选图③，证明如下：连结AC交BD于点O.设CE交AD于点H.同理可得△BAP≌△CAE(SAS)，BP＝CE，CE⊥A D．(3)连结AC交BD于点O，连结CE交AD于点H.由题(2)可知，BP＝CE，CE⊥A D．在菱形ABCD中，AD∥BC，∴EC⊥B C．∵BC＝AB＝23，BE＝219，∴在Rt△BCE中，CE＝2192－232＝8. ∴BP＝CE＝8.∵AC与BD是菱形的对角线，∴∠ABD＝12∠ABC＝30°，AC⊥BD，BD＝2BO＝2AB·32＝6.∴OA＝12AB＝3，DP＝BP－BD＝2. ∴OP＝5，AP＝AO2＋OP2＝27.S四边形ADPE ＝S△ADP＋S△AEP＝12×2×3＋12×27×27×32＝3＋73＝8 3.14．(自主招生模拟题)如图，AB＝CD，BC＝2AD，∠ABC＝90°，∠BCD＝ 30°.则∠BAD的大小为( B )A．25° B．30° C．35° D．45°15．(自主招生模拟题)如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O(0,0)，点A(5,0)，点B(0,3)．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC得到矩形ADEF，O，B，C的对应点分别为D，E，F.记K为矩形AOBC对角线的交点，则△KDE的最大面积为30＋3344.16．一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形．如图①，在矩形ABCD中，若AB＝2，BC＝6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形．(1)判断与操作如图②，矩形ABCD长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由．(2)探究与计算已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a(a<20)，且它是3阶奇异矩形，请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值．(3)归纳与拓展已知矩形ABCD两邻边的长分别为b，c(b<c)，且它是4阶奇异矩形，求b∶c(直接写出结果)．解：(1)矩形ABCD是3阶奇异矩形，裁剪线的示意图如下．(2)裁剪线的示意图如下．(3)b∶c的值为15，45，27，37，47，57，38，58.。
初中数学知识点精讲精析平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定
初中数学知识点精讲精析平⾏四边形、矩形、菱形、正⽅形的性质和判定1.3 平⾏四边形、矩形、菱形、正⽅形的性质和判定学习⽬标1.在探索平⾏四边形的判别条件中，理解并掌握⽤边、对⾓线来判定平⾏四边形的⽅法．2.会综合运⽤平⾏四边形的判定⽅法和性质来解决问题．3.掌握菱形的性质判定，并能⽤定义判定⼀个四边形是菱形。
4.使学⽣能够灵活运⽤菱形知识解决有关问题，提⾼能⼒。
知识详解1.平⾏四边形两组对边分别平⾏的四边形是平⾏四边形。
性质：①边：对边平⾏且相等②⾓：对⾓相等，邻⾓互补③对⾓线：对⾓线互相平分。
判定：边：①两组对边分别平⾏的四边形是平⾏四边形②两组对边分别相等的四边形是平⾏四边形③⼀组对边平⾏且相等的四边形是平⾏四边形。
⾓：④两组对⾓分别相等的四边形是平⾏四边形。
对⾓线：⑤对⾓线互相平分的四边形是平⾏四边形。
平⾏四边形是任何四边形四边中点的连线都是⼀个平⾏四边形。
2.矩形（1）矩形的性质①矩形具有平⾏四边形的⼀切性质；②矩形对⾓线相等；③矩形的四个⾓都是直⾓；④矩形既是轴对称图形，⼜是中⼼对称图形．对称轴有两条，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中⼼是两对⾓线的交点．注：矩形性质的图形说明如图1—1所⽰，在矩形ABCD中，图1—1从边上看：AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC．从对⾓线上看：AC=BD且OA=OB=OC=OD．从⾓上看：∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°．（2）矩形的判定如图1—1①利⽤定义判别有⼀个内⾓为直⾓矩形平⾏四边形→②利⽤对⾓线判别对⾓线相等的平⾏四边形是矩形；对⾓线平分且相等的四边形是矩形．即：①在平⾏四边形ABCD中，若AC=BD，则平⾏四边形ABCD是矩形；②在四边形ABCD 中，若AC=BD，且OA＝OC、OB=OD，则四边形ABCD是矩形．（3）利⽤⾓判别四个⾓是直⾓的四边形是矩形．即：在四边形ABCD中，若∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，则四边形ABCD是矩形．实际证明中，只要证明出三个⾓为直⾓即可．（4）矩形的应⽤①⽤以证明线段相等或平分或倍数关系；②直⾓三⾓形两锐⾓互余；③直⾓三⾓形斜边上的中线等于斜边的⼀半；④直⾓三⾓形中30°⾓所对的直⾓边等于斜边的⼀半；⑤证明两条直线垂直．3. 菱形：（1）菱形的定义：有⼀组邻边相等的平⾏四边形是菱形。
八年级数学竞赛例题专题讲解19：平行四边形、矩形、菱形
专题19 平行四边形、矩形、菱形阅读与思考平行四边形、矩形、菱形的性质定理与判定定理是从对边、对角、对角线三个方面探讨的，矩形、菱形都是特殊的平行四边形，矩形的特殊性由一个直角所体现，菱形的特殊性是由邻边相等来体现，因此它们除兼有平行四边形的一般性质外，还有特有的性质；反过来，判定一个四边形为矩形或菱形，也就需要更多的条件.连对角线后平行四边形、矩形、菱形就与特殊三角形联系在一起，所以讨论平行四边形、矩形、菱形相关问题时，常用到特殊三角形性质、全等三角形法；另一方面，又要善于在四边形的背景下思考问题，运用平行四边形、矩形、菱形的丰富性质为解题服务，常常是判定定理与性质定理的综合运用.熟悉以下基本图形：S 1S 2S 3S 4例题与求解【例l 】如图，矩形ABCD 的对角线相交于O ，AE 平分∠BAD ，交BC 于E ，∠CAE ＝15°，那么∠BOE ＝________.OD(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路：从发现矩形内含的特殊三角形入手.【例2】下面有四个命题：①一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；③一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；④一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形；其中，正确的命题的个数是（ ） A.1 B. 2 C. 3 D.4 (全国初中数学联赛试题)解题思路：从四边形边、角、对角线三类元素任意选取两类，任意组合就产生许多判定平行四边形的命题，关键在于对假命题能突破正规的、标准位置的图形构例否定.【例3】如图，菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，E ，F 分别是边AD ，CD 上的两个动点且满足AE +CF ＝2.（1）判断△BEF 的形状，并说明理由； （2）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围.E DACBF(烟台中考试题)解题思路：对于（1）由数量关系发现图形特征；对于（2），只需求出BE 的取值范围.【例4】如图，设P 为等腰直角三角形ACB 斜边AB 上任意一点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BC 于点F ，PG ⊥EF 于点G ，延长GP 并在春延长线上取一点D ，使得PD ＝PC . 求证：BC ⊥BD ，BC ＝BD .R G FE CABP(全国初中数学联赛试题)解题思路：只需证明△CPB ≌△DPB ，关键是利用特殊三角形、特殊四边形的性质.【例5】在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 的延长线于点F .图3图2图1DGDFDB BBC EC AEC A E（1）在图1中证明CE ＝CF ； （2）若∠ABC ＝90°，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数； （3）若∠ABC ＝120°，FG ∥CE ，FG ＝CE ，分别连结DB ，DG （如图3），求∠BDG 的度数.(北京市中考试题)解题思路：对于（1），由角平分线加平行线的条件可推出图中有3个等腰三角形； 对于（2），用测量的方法可得∠BDG =45°，进而想到等腰直角三角形，连CG ，BD ，只需证明△BGC ≌△DGF ，这对解决（3），有不同的解题思路. 对于（3）【例6】如图，△ABC 中，∠C ＝90°，点M 在BC 上，且BM ＝AC ，点N 在AC 上，且AN ＝MC ，AM 与BN 相交于点P . 求证：∠BPM ＝45°.PNMBA(浙江省竞赛试题)解题思路：条件给出的是线段的等量关系，求证的却是角度等式，由于条件中有直角和相等的线段，因此，可想到等腰直角三角形，解题的关键是平移AN 或AC ，即作ME ⊥AN ，ME ＝AN ，构造平行四边形.，能力训练A 级1. 如图，□ABCD 中，BE ⊥CD ，BF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，若CE ＝2，DF ＝1，∠EBF ＝60°，则□ABCD 的面积为________.第1题F E ABD2. 如图，□ABCD 的对角线相交于点O ，且AD ≠CD ，过点O 作OM ⊥AC ，交AD 于点M ，若△CDM 周长为a ，那么□ABCD 的周长为 ________.第2题MOBC A(浙江省中考试题)3. 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC ＝78°，过C 作CF ∥AB ，连结AF 与BC 相交于G ，若GF ＝2AC ，则∠BAG 的大小是________.第3题GFCB A(“希望杯”竞赛试题)4. 如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝∠EAF ＝60°，∠BAE ＝20°，则∠CEF 的大小是________.第4题FBDC E(“希望杯”邀请赛试题)5. 四边形的四条边长分别是a ，b ，c ，d ，其中a ，c 为对边，且满足222222a b c d ab cd +++=+，则这个四边形一定是（ ）A.两组角分别相等的四边形B. 平行四边形C. 对角线互相垂直的四边形D. 对角线相等的四边形6.现有以下四个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③有一个角为直角且对角线互相平分的四边形为矩形；④菱形的对角线的平方和等于边长的平方的4倍.其中，正确的命题有（ ）A. ①②B.③④C. ③D. ①②③④7. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD 3AF 平分∠DAB ，过点C 作CE ⊥BD于E ，延长AF ，EC 交于点H ，下列结论中：①AF ＝FH ；②BO ＝BF ；③CA ＝CH ；④BE ＝3ED .正确的是（ ）A. ②③B.③④C. ①②④D. ②③④第7题HEFOD BC (齐齐哈尔中考试题)8. 如图，矩形ABCD 的长为a ，宽为b ，如果12341(S S )2S S ==+，则4S ＝（ ）A.38abB. 34abC. 23abD. 12abS 1S 3S 2S 4第8题AB DE F(“缙云杯”竞赛试题)9. 已知四边形ABCD ，现有条件：①AB ∥DC ；②AB ＝DC ；③AD ∥BC ；④AD ＝BC ；⑤∠A ＝∠C ；⑥∠B ＝∠D .从中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD 是平行四边形的有哪几种情形？请具体写出这些组合.(江苏省竞赛试题)10. 如图，△ABC 为等边三角形，D 、F 分别是BC 、AB 上的点，且CD ＝BF ， 以AD为边作等边△ADE .（1）求证：△ACD ≌△CBF ；（2）当D 在线段BC 上何处时，四边形CDEF 为平行四边形，且∠DEF ＝30°，证明你的结论.E FABCD(江苏省南通市中考试题)11. 如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝90°，点D 为BC 上任一点，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AC 于E ，M 为BC 中点，试判断△MEF 是什么形状的三角形，并证明你的结论.FE ABC(河南省中考试题)12. 如图，△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，△ABD ，△ACE ，△BCF 都是等边三角形，求四边形AEFD 的面积.EA(山东省竞赛试题)B 级1. 如图，已知ABCD 是平行四边形，E 在AC 上，AE ＝2EC ，F 在AB 上，BF ＝2AF ，如果△BEF 的面积为22cm ，则□ABCD 的面积是________.第1题FE BAC(“希望杯”竞赛试题)2. 如图，已知P 为矩形ABCD 内一点，P A ＝3，PD ＝4，PC ＝5，则PB ＝________.第2题BP C(山东省竞赛试题)3. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将矩形折叠，使B 点与D 点重合，则折痕EF 长为________.第3题F EB C(武汉市竞赛试题)4. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，使点D 落在点D '处，CD '交AB 于点F ，则重叠部分△AFC 的面积为 ________.第4题F ABD(山东省竞赛试题)5. 如图，在矩形ABCD 中，已知AD ＝12，AB ＝5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD 于E ，PF ⊥AC 于F ，那么PE +PF 的值为________.第5题EFBCAP(全国初中数学联赛试题)6. 如图，菱形ABCD 的边长为4 cm ，且∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点，P 点在BD上，则PE+PC 的最小值为________.第6题EDABC P(“希望杯”邀请赛试题)7. 如图，△ABC 的周长为24，M 是AB 的中点，MC ＝MA ＝5，则△ABC 的面积是（ ）A. 30B. 24C.16D.12第7题MBCA(全国初中数学联赛试题)8. 如图，□ABCD 中，∠ABC ＝75°，AF ⊥BC 于F ，AF 交BD 于E ，若DE ＝2AB ，则∠AED 的大小是（ ） A. 60° B. 65° C.70° D.75°第8题E FBAC9. 如图，已知∠A ＝∠B ，1AA ，1PP ，1BB 均垂直于11A B ，1AA ＝17，1PP＝16，1BB ＝20，11A B ＝12，则AP+PB 的值为（ ）A. 15B.14C. 13D.12第9题B A 1P 1PA(全国初中数学联赛试题)10. 如图1，△ABC 是直角三角形，∠C ＝90°，现将△ABC 补成矩形，使△ABC 的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可画出两个：矩形ACBD 和矩形AEFB （如图2）.图1图3EDBCAB CCBA解答问题：（1）设图2中矩形ACBD 和矩形AEFB 的面积分别为1S ，2S ，则1S ________2S （填“＞”、“＝”或“＜”）.（2）如图3，△ABC 是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出________个，利用图3画出来.（3）如图4，△ABC 是锐角三角形且三边满足BC ＞AC ＞AB ，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出________个，利用图4画出来.（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？图4ABC(陕西中考试题)11.四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠BAD ＝120°，M 为BC 上一点，N 为CD 上一点.求证：若△AMN 有一个内角等于60°，则△AMN 为等边三角形.12.如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，对边之差BC－EF＝ED－AB＝AF－CD＞0.求证：该六边形的各角相等.FEB(全俄数学奥林匹克试题)。
人教版数学八年级下册 菱形的判定
∴ AB＝DF＝8.
∴
S四边形ADCF＝
1 2
DF ·AC＝ 1
2
×6×8＝24.
F O
C
当堂小结
判
边
菱定
形定
理 对
角
线
菱形的定义 有一组邻 _边__相__等____的平行四边形是菱形
_四__条__边__都__相__等___的四边形是菱形
_对__角__线__互__相__垂__直_的四边形是菱形
当堂练习
1. 判断下列说法是否正确
(1) 对角线互相垂直的四边形是菱形；
╳
(2) 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形； √
(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的
四边形是菱形；
╳
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组 对角的四边形是菱形．
╳
2.一边长为13 cm 的平行四边形的两条对角线的长分别为 24 cm 和10 cm，则平行四边形的面积是 120 cm2 .
E
∴ △AEF≌△DEB (ASA). ∴ AF＝DB. B D C
∴ DC＝AF. 又∵AF∥BC，
∴ 四边形 BCFБайду номын сангаас 是平行四边形
又∵ AF＝AD，
A
∴ 四边形 ADCF 是菱形.
(2) 连接 DF，交 AC 于点 O.
E
由 (1) 可知，AF∥BD，AF＝BD， B D
∴ 四边形 ABDF 是平行四边形.
MD
∴∠DAO = ∠ECO，
∴ △ADO≌△CEO(ASA)．∴ AD = CE.
OE N
∴ 四边形 ADCE 是平行四边形.
又∵∠AOD = 90°， ∴ 四边形 ADCE 是菱形．
题型专项研究：平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质
题型6平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质,备考攻略)1．简单的应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质或判定解答证明题．2．四边形动态问题——旋转变换类、平移变换类、折叠变换类，运动问题类，利用折叠(翻折)、轴对称解答最值问题．3．平行四边形的存在性问题．4．四边形与二次函数的综合题．1．折叠、轴对称及特殊平行四边形的性质应用出错．2．平行四边形的存在性问题中解有遗漏．3．很难解答四边形与二次函数的综合题，无从下手．1．四边形是几何知识中非常重要的一块内容，因其“变化多端”更是成为中考数学考试的一个热门考点．近几年随着新课改的不断深入，中考题更加考查学生思维能力，如出现一些图形折叠、翻转等问题．这类问题的实践性强，要利用图形变化前后线段、角的对应相等关系，构造一些特殊三角形等知识来求解．2．中考还常把四边形与平面直角坐标系结合起来考查，这类题目不仅仅把“数”与“形”联系起来思考，更提高同学们综合运用知识的能力．数形结合题目可以考查学生对“新事物”“新知识”的接受和理解能力，也考查学生运用所学知识来解决“新事物”“新知识”的能力．3．四边形作为特殊的四边形，一直是中考试题中的主角．尤其是在综合了函数知识后动态研究它的存在性问题，对学生分析问题和解决问题的要求较高．此类题目主要考查平行四边形的判定与性质、函数解析式的确定与性质，考查识图作图、运算求解、数学表达等能力，数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想．1．简单的应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质或判定解答证明题：平行四边形具有对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等性质，它们在计算、证明中都有广泛的应用：(1)求角的度数；(2)求线段的长；(3)求周长；(4)求第三边的取值范围．2．四边形动态问题——旋转变换类、平移变换类、折叠变换类，运动问题类，利用折叠(翻折)、轴对称解答最值问题：有关矩形纸片折叠的问题，通过动手操作去发现解决问题的方法．其规律为利用折叠前后线段、角的对应相等关系，构造直角三角形，利用勾股定理来求解．折叠问题数学思想：(1)思考问题的逆向(反方向)，(2)转化与化归思想；(3)归纳与分类的思想；(4)从变寻不变性的思想．3．综合了函数知识后动态研究平行四边形的存在性问题：此类题目主要考查平行四边形的判定与性质、函数解析式的确定与性质，考查识图作图、运算求解、数学表达等能力，数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想．学生在处理问题的时候，往往不能正确分类，导致漏解．此外，在解题时一般需要添设辅助线，利用平行四边形的性质，转化为全等进行计算，学生顺利完成的难度就更大．如何才能让他们有目的的进行分类、简单明了的给出解答，从而减轻学习负担呢？借助平行四边形的对角线性质，来探究平行四边形的存在性问题就是一个很好的途径．4．四边形与二次函数的综合题是压轴题：综合考查了二次函数，一次函数，尺规作图，勾股定理，平面直角坐标系，一元二次方程，轴对称——翻折，最值问题．读懂题目、准确作图、熟悉二次函数及其图象是解题的关键．解决压轴题关键是找准切入点，如添辅助线，构造定理所需的图形或基本图形；紧扣不变量，并善于使用前题所采用的方法或结论；深度挖掘题干，反复认真的审题，在题目中寻找多解的信息，等等．压轴题牵涉到的知识点较多，知识转化的难度较高，除了要熟知各类知识外，平时要多练，提高知识运用和转化的能力．,典题精讲)◆简单的应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质或判定解答证明题【例1】(成都中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为________．【解析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA＝AB＝OB＝3，得出BD＝2OB ＝6，由勾股定理求出AD即可．【答案】3 31．(巴中中考)如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E＝__15__°.2．(2017甘肃中考)如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形； (2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长．解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，O 是BD 的中点， ∴∠A ＝90°，AD ＝BC ＝4，AB ∥DC ，OB ＝OD, ∴∠OBE ＝∠ODF.在△BOE 和△DOF 中，⎩⎨⎧∠OBE ＝∠ODF ，OB ＝OD ，∠BOE ＝∠DOF ，∴△BOE ≌△DOF(ASA ), ∴EO ＝FO,∴四边形BEDF 是平行四边形；(2)当四边形BEDF 是菱形时，BD ⊥EF, 设BE ＝x ，则DE ＝x ，AE ＝6－x. 在Rt △ADE 中，DE 2＝AD 2＋AE 2, ∴x 2＝42＋(6－x)2, 解得：x ＝133.∵BD ＝AD 2＋AB 2＝213， ∴OB ＝12BD ＝13.∵BD ⊥EF,∴EO ＝BE 2－OB 2＝2133，∴EF ＝2EO ＝4133.◆四边形动态问题——旋转变换类、平移变换类、折叠变换类，运动问题类，利用折叠(翻折)、轴对称解答最值问题【例2】(宿迁中考)如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE.若AB 的长为2，则FM 的长为( )A ．2B . 3C . 2D ．1【解析】根据翻折不变性，AB ＝FB ＝2，BM ＝1，在Rt △BFM 中，可利用勾股定理求出FM 的值．【答案】B3．(咸宁中考)已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，OB ＝45，点P 是对角线OB 上的一个动点，D(0，1)，当CP ＋DP 最短时，点P 的坐标为( D )A ．(0，0)B .⎝⎛⎭⎫1，12C .⎝⎛⎭⎫65，35D .⎝⎛⎭⎫107，57(第3题图)(第4题图)4．(苏州中考)矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为(3，4)，D 是OA 的中点，点E 在AB 上，当△CDE 的周长最小时，点E 的坐标为( B )A ．(3，1)B .⎝⎛⎭⎫3，43C .⎝⎛⎭⎫3，53 D ．(3，2)5．(黄冈中考)如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边CD ，BC 上，且DC ＝3DE ＝3a ，将矩形沿直线EF 折叠，使点C 恰好落在AD 边上的点P 处，则FP ＝.6．(2017甘肃中考)如图，E ，F 分别是▱ABCD 的边AD ，BC 上的点，EF ＝6，∠DEF ＝60°，将四边形EFCD 沿EF 翻折，得到EFC′D′，ED ′交BC 于点G ，则△GEF 的周长为( C )A ．6B ．12C ．18D ．247．(2017广东中考)如图①，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F.(1)求证：△BDF 是等腰三角形；(2)如图②，过点D 作DG ∥BE ，交BC 于点G ，连接FG 交BD 于点O. ①判断四边形BFDG 的形状，并说明理由； ②若AB ＝6，AD ＝8，求FG 的长．解：(1)如图①，根据折叠，∠DBC ＝∠DBE, 又AD ∥BC,∴∠DBC ＝∠ADB, ∴∠DBE ＝∠ADB, ∴DF ＝BF,∴△BDF 是等腰三角形；(2)①∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC, ∴FD ∥BG.∴四边形BFDG 是平行四边形． ∵DF ＝BF,∴四边形BFDG 是菱形； ②∵AB ＝6，AD ＝8, ∴BD ＝10， ∴OB ＝12BD ＝5.假设DF ＝BF ＝x ，∴AF ＝AD －DF ＝8－x.∴在Rt △ABF 中，AB 2＋AF 2＝BF 2，即62＋(8－x)2＝x 2,解得x ＝254，即BF ＝254， ∴FO ＝BF 2－OB 2＝⎝⎛⎭⎫2542－52＝154， ∴FG ＝2FO ＝152. ◆解决平面直角坐标系中平行四边形存在性问题【例3】(2017大理中考模拟)如图，A ，B ，C 是平面上不在同一直线上的三个点． (1) 画出以 A ，B ，C 为顶点的平行四边形；(2)若 A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1，5)，(－5，1)，(2，2)，请写出这个平行四边形第四个顶点 D 的坐标．【解析】利用坐标系的知识点解题．【答案】(1)如图所示；(2)第四个顶点D 的坐标为(－2，－2)或(6，6)或(－8，4)．1．(兰州中考)如图所示，菱形ABCD 的周长为20 cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，sin A ＝35，则下列结论正确的个数有( C )①DE ＝3 cm ；②BE ＝1 cm ；③菱形的面积为15 cm 2；④BD ＝210 cm . A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．(济南中考)如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，过对角线交点O 作OE ⊥AC 交AD 于E ，则AE 的长是( D )A ．1.6B ．2.5C ．3D ．3.4(第2题图)3．(珠海中考)如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4 cm，则点P到BC的距离是__4__cm.4．(新疆中考)如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将▱ABCD沿过点A 的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.(1)求证：四边形BCED′是菱形；(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．解：(1)∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，∴∠DAE＝∠D′AE，∠DEA＝∠D′EA，∠D＝∠AD′E.∵DE∥AD′，∴∠DEA＝∠EAD′，∴∠DAE＝∠EAD′＝∠DEA＝∠D′EA，∴∠DAD′＝∠DED′，∴四边形DAD′E是平行四边形，∴DE＝AD′.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥DC，∴CE＝D′B，CE∥D′B，∴四边形BCED′是平行四边形；(2)∵AD＝AD′，∴▱DAD′E是菱形．∴D与D′关于AE对称．连接BD交AE于P，则BD的长即为PD′＋PB的最小值，过D作DG⊥BA于G.∵CD ∥AB ，∴∠DAG ＝∠CDA ＝60°. ∵AD ＝1，∴AG ＝12，DG ＝32，BG ＝52，∴BD ＝DG 2＋BG 2＝7， ∴PD ′＋PB 的最小值为7.5．(资阳中考)如图，在平行四边形ABCD 中，点A ，B ，C 的坐标分别是(1，0)，(3，1)，(3，3)，双曲线y ＝kx(k ≠0，x ＞0)过点D.(1)求双曲线的解析式；(2)作直线AC 交y 轴于点E ，连接DE ，求△CDE 的面积．解：(1)∵▱ABCD 中，点A ，B ，C 的坐标分别是(1，0)，(3，1)，(3，3)， ∴点D 的坐标为(1，2)． ∵点D 在双曲线y ＝kx 上，∴k ＝1×2＝2，∴双曲线的解析式为y ＝2x ；(2)∵直线AC 交y 轴于点E ， ∴点E 的横坐标为0. ∵AD ＝2，∵S △ADC ＝12·(3－1)·AD ＝2，∴S △CDE ＝S △EDA ＋S △ADC ＝1＋2＝3.。
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（平行四边形、矩形、菱形）八年级《特殊四边形》复习学案知识点一：平行四边形的性质与判定：BD,EFBC∥的延长线上,AE、如图1,平行四边形ABCD中, ∠ABC=60°,E、F分别在CD、 .EF的长为⊥BC,DF=2,则、下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（）2
A. 一组对边相等
B. 对角线互相平分
C. 一组对角相等
D. 对角线互相垂直
3、如图所示，在ABCD中，E、F分别AB、CD的中点，连结DE、EF、BF，则图中平行四边形共有（）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
4、下列条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（） AD A．AB平行且等于CD B. ∠A=∠C，∠B=∠D B C BC=CD D. AB=CD，AD=BCC．AB=AD， AD
交于点BD、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、5 E AF=CE，．BH=DGG、F在AC 上，、H在BD上，O，E OH
HE．求证：GF∥ G F B C
6、如图，是平行四边形的对角线上的点，，请你猜想：线段与线A D段有怎样的关系并对你的猜想加以证明。
E
F C B
□，地里有一口井，位置7、有一位农民有一个菜园，如图是一平行四边形，记为ABCD“这块地你们弟兄俩平均分开，但水井不O点，老人在临终前对两个儿子说：在图中的
”老人死后，弟兄俩，两家公用。
能分（不在任何一家的菜地里）却不知道怎么分，你能帮助这弟兄俩按要求分开吗
知识点二：矩形的性质与判定◆知识讲解归纳 .的平行四边形叫做矩形
一、矩形的定义：有一个角是
二、矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它除具有一般平行四边形的性之外，还具有（1）矩形的四个角都是2 . .（）矩形的对角线三、议一议：矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,那么BO是Rt⊿ABC中一条怎样的特殊线段它与AC有怎样的大小关系为什么有这样的大小关系因此，我们得到一个性质定理的推论：
直角三角形斜边上的中线等于．
四、矩形的判定方法：（1）有一个角是的平行四边形叫做矩形. （2）对角线_________的平行四边形是矩形．（3）有三个角是________的四边形是矩形．
◆对应练习：
0, 且这角所对的边长5cm, 1、一矩形两对角线之间的夹角有一个是602cm D. 无法确定 ( ) A. 5 cm B. 10cm C. 5 则对角线长为2、如图在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则以下说
法错误的是( )
1A．AB=AD B．AC=BD 2? D．AO=OC=BO=ODC．90??DAB??ABC?BCDCDA?3、如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是边AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF的值为：_________。
4、矩形一个角的平分线分矩形一边成2cm和3cm，则这个矩形的面积
为。
5、如图,在矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA⊥MD．?若矩形ABCD?的周长为48cm，?求矩形ABCD的面积。
6、如图，在矩形ABCD中，已知AB=8cm，BC=10cm，折叠矩形的一边AD，使点D 落在BC边的中点F处，折痕为AE，求CE的长．
°．1＝15ABCD中，AE平分∠BAD，∠7、如图，在矩形＝BE．求∠2的度数．(2)求证：BO(1)
知识点三：菱形的性质与判定◆知识讲解归纳相等的平行四边形叫做菱形.1.菱形的概念：一组
；菱形的性质：边：2.
；角：。
对角线：。
对称性：。
3.菱形的面积：⑴；⑵
是菱
形．1）．四条边都相等的_____________4.菱形的判定：（是菱形．2）．邻边相
等的_____________（是菱形）．对角线互相垂直的______________（3对应练习：，S、如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积
分别为11的值为（）S，则S＋S212、1917 C、18 D、 A16 B、3 2．2 B．的长度是∠A＝60o，则对角线BD（）A，菱形2、如图，ABCD的周长为16．44 D3 C．3．菱形的边长为5，一条对角线长为8，那么它的另一条对角线长为________
4.已知菱形的两条对角线的长分别为4cm，8cm，那么边长为_________
5.已知菱形的周长为40cm，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长
分别为 32cm，16cm D. 24cm，4cm C. 12cm，8cm B. 3cm，6cm．A）(
_____________,菱形具有的是在下列性质中，平行四边形具有的是
_______________，6．，正方形具有的是是。
矩形具
有的
）对角线互相（4（3）对角线相等；四条边都相等；（2）对角线互相平分；）（1
）对边相等7）每一条对角线平分一组对角；（（ 5）四个角都是直角；（6
垂直；）有两条对称轴；（8且平行；此菱形的面积，，则边长为________．已
知菱形的两条对角线的长分别为10cm与24cm7 。
为_________□间BCAD与，且
BE=5cm，AD=7cm，则两平行线ABCD中，AC=21cm，BE⊥AC于E8．在。
的距离是
________________2222=2ac+2bd+b+d+c、、bc、d，且满足a，则这个四边形为：9．一
个四边形边长依次是a____________。
10．菱形有一个内角为60°，较短的对角线长为6cm，则菱形的边长为________，
另一条对角线的长为___________。
11. 如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容
易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值，菱（第11题图）
形周长的最大值
是．
12.如图，在ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC
分别交于E、F。
求证：四边形AFCE是菱形。
□ABCD中，平分交于点，13.（6分）如图，在ABC?EBEAD DEA于点平分交.?BCADCFDF求证：（1）；CDFABE≌△B C F是什么特殊四边形，请2）若，则判断四边形（EBFDBDEF⊥证明你的结论。
．。