高三数学第七次仿真模拟试题理

云南省昆明市2017届高三数学第七次仿真模拟试题 理第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|1A x x =>，{}2|,B y y x x R ==∈，则（ ） A ．A B =B ．B A ⊂≠C ．A B ⊂≠D ．A B =∅2.cos 70sin 50cos 200sin 40︒︒-︒︒的值为（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．23.命题p ：2x ∀>，230x->的否定是（ ）A ．02x ∃>，0230x-≤ B ．2x ∀≤，230x->C ．2x ∀>，230x-≤D ．02x ∃>，0230x->4.设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，若(1)P p ξ>=，则(10)P ξ-<<=（ ） A ．12p + B ．1p -C ．12p - D ．12p -5.若双曲线M ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是1F ，2F ，以12F F 为直径的圆与双曲线M 相交于点P ，且1||16PF =，2||12PF =，则双曲线M 的离心率为（ ） A ．54B ．43C ．53D ．56.设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则m β⊥的一个充分条件是（ ） A ．αβ⊥且m α⊂ B ．//m n 且n β⊥ C ．αβ⊥且//m α D ．m n ⊥且//n β7.函数1()cos()2f x x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ<）的部分图象如图所示，则ϕ的值为（ ）A ．3π B ．6π C ．6π-D ．3π-8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．20B ．24C ．201)π+D ．241)π+9.如果执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．4-B ．3-C ．2D ．010.25(2)x xy y ++的展开式中62x y 的系数为（ ） A ．20B ．40C ．60D ．8011.在ABC ∆所在平面上有一点P ，满足PA PB PC BC ++= ，PC xAB yAC =+，则x y +=（ ）A ．13B ．12C ．13-D ．12-12.设函数()(ln )f x x ax =-(a R ∈)在区间(0,2)上有两个极值点，则a 的取值范围是（ ） A ．1(,0)2-B ．ln 21(0,)4+ C ．1(,1)2D ．ln 211(,)42+ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.实数x ，y 满足440,2100,5220,x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩则y x 的最小值为 ．14.已知函数22log (2),02,()2(),20,x x f x f x x --+≤<⎧=⎨---<<⎩则()2f x ≤的解集为 ．15.已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 及其准线分别交于P ，Q 两点，3QF FP =，则直线l 的斜率为 ．16.已知ABC ∆中，AB =6AC =，D 为AB 中点，当CD 取最小值时，ABC ∆面积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.数列{}n a 和{}n b 中，已知1232(*)n bn a a a a n N =∈…，且12a =，323b b -=，若数列{}n a 为等比数列．（Ⅰ）求3a 及数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）令22nn b c n =，是否存在正整数m ，n （m n ≠），使2c ，m c ，n c 成等差数列？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．18.如图，在底面是菱形的四棱锥P ABCD -中，60ABC ∠=︒，1PA PC ==，PB PD ==E 为线段PD 上一点，且2PE ED =．（Ⅰ）若F 为PE 的中点，证明：//BF 平面ACE ； （Ⅱ）求二面角P AC E --的余弦值．19.某市每年中考都要举行实验操作考试和体能测试，初三（1）班共有30名学生，如图表格为该班学生的这两项成绩，表中实验操作考试和体能测试都为优秀的学生人数为6人．由于部分数据丢失，只知道从这班30人中随机抽取一个，实验操作成绩合格，且体能测试成绩合格或合格以上的概率是1．（Ⅰ）试确定a ，b 的值；（Ⅱ）从30人中任意抽取3人，设实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的学生人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望()E X ．20.已知圆A ：222150x y x ++-=和定点(1,0)B ，M 是圆A 上任意一点，线段MB 的垂直平分线交MA 于点N ，设点N 的轨迹为C ． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）若直线(1)y k x =-与曲线C 相交于P ，Q 两点，试问：在x 轴上是否存在定点R ，使当k 变化时，总有ORP ORQ ∠=∠？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由． 21.已知函数()ln x af x x x+=-． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）证明：0x >时，1ln(1)11x x x +<<+； （Ⅲ）比较三个数：100100()99，100101()100，e 的大小（e 为自然对数的底数），请说明理由． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，且两坐标系取相同的长度单位．已知曲线1C 的参数方程为：2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），将曲线1C 上每一点的纵坐标变为原来的12倍（横坐标不变），得到曲线2C ，直线l 的极坐标方程：cos 2sin 0m θρθ++=．（Ⅰ）求曲线2C 的参数方程；（Ⅱ）若曲线2C 上的点到直线l 的最大距离为m 的值． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|||4|f x x a x =---，a R ∈． （Ⅰ）当1a =-时，求不等式()4f x ≥的解集； （Ⅱ）若x R ∀∈，|()|2f x ≤恒成立，求a 的取值范围．昆明第一中学2017届高中新课标高三第七次高考仿真模拟理科数学答案一、选择题1-5:CDACD 6-10:BBDCB 11、12：AD 二、填空题13.12 14.{}21x x -<≤ 15. 三、解答题17.解：（Ⅰ）332232282b b b b a -===， 又由12a =得数列{}n a 的公比满足24q =，解得2q =或2q =-， 因为12320nb n a a a a ⋅⋅⋅=>()n *∈N ，故舍去2q =-，所以2n n a =，则(1)(123)212322n n nn a a a a ++++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==，所以(1)2n n n b +=． （Ⅱ）由(Ⅰ)知111n n c n n+==+， 假设存在正整数m ，()n m n ≠，使2c ，m c ，n c 成等差数列， 则22m n c c c =+，即1312(1)12m n+=++，所以2112m n =+，故24mn m=-， 由 0n >，得04m <<，因为m ，n 为正整数，所以22m n =⎧⎨=⎩（舍）或36m n =⎧⎨=⎩，所以存在正整数3m =，6n =，使2c ，m c ，n c 成等差数列.18.（Ⅰ）证明：连接BD 交AC 于O ，连接OE ，因为四边形ABCD 是菱形，所以O 为BD 的中点．又因为2PE ED =，F 为PE 的中点，所以E 为DF 的中点，所以//OE BF ， 又因为BF ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ，所以//BF 平面ACE ．（Ⅱ）连接PO ，因为PA PC =，所以PO AC ⊥，因为PB PD =，所以PO BD ⊥，而AC BD O = ，所以PO ⊥平面ABCD ．因为在菱形ABCD 中，60ABC ︒∠=，所以ACD ∆是等边三角形．设AB a =，则OD =，222214a PO PC OC =-=-，在Rt POD ∆中，由222PO OD PD +=得2231244a a -+=，解得a分别以直线,,OC OD OP 为x 轴、y 轴、z轴建立如图所示的空间直角标系，由题意得(A，C，P，D ，由2PE ED =，得E 设平面ACE 的一个法向量为1(,,)n x y z =，由0,0,n OC n OE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0,0,y =+= 令1y =，得1(0,1,n =- ，取平面PAC 的一个法向量为2(0,1,0)n =，则121212cos ,n n n n n n ⋅<>===⋅所以二面角P AC E --．19. 解析：（Ⅰ）由表格数据可知，实验操作成绩合格、且体能测试成绩合格或合格以上的学生共有()3a +人，记“实验操作成绩合格、且体能测试成绩合格或合格以上”为事件A ，则31()306a P A +==，解得2a =，所以30244b a =--=． 答：a 的值为2，b 的值为4．（Ⅱ）由于从30位学生中任意抽取3位的结果数为330C ，其中实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的学生人数为15人，从30人中任意抽取3人，其中恰有k 个实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的结果数为31515k kC C -，所以从30人中任意抽取3人，其中恰有k 人实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的的概率为31515330()k kC C P X k C -==，()0,1,2,3k =，X 的可能取值为0,1,2,3，则0315*******(0)116C C P X C ===，12151533045(1)116C C P X C ===，21151533045(2)116C C P X C ===，30151533013(3)116C C P X C ===， 所以X 的分布列为：()13454513174301231161161161161162E X =⨯+⨯+⨯+⨯==.20.解：（Ⅰ）圆22:(1)16A x y ++=，圆心(1A -，0)，由已知得NM NB =，又4NM NB +=所以42NA NB AB +=>=，所以由椭圆的定义知点N 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，设其标准方程:C 22221x y a b +=，则24a =，22c =，所以24a =，23b =，所以曲线:C 22143x y +=． （Ⅱ）设存在点(,0)R t 满足题设，联立直线(1)y k x =-与椭圆方程22143x y +=消y 得 2222(43)8(412)0k x k x k +-+-=，设1(P x ，1)y ， 2(Q x ，2)y ，则由韦达定理得2122843k x x k +=+①，212241243k x x k -=+②，由题设知OR 平分PRQ ∠⇔直线RP 与直RQ的倾斜角互补，即直线RP 与直线RQ 的斜率之和为零，即12120y yx t x t+=--， 即122112()0x y x y t y y +-+=，即12122(1)()20k x x t k x x tk -+++= ③，把①、②代入③并化简得2(4)043t kk -=+，即(4)t k -0= ④，所以当k 变化时④成立，只要4t =即可，所以存在定点(4R ，0)满足题设． 21. 解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞，因为221()()x x a x af x x x x-++'=-=， 当0a ≥时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,+∞上单调递增； 当0a <时，由()0f x '<得0x a <<-，，由()0f x '>得x a >-， 所以函数()f x 在()0,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增．（Ⅱ）①因为0x >，不等式1ln(1)1x x x +<+等价于ln(1)1xx x +>+，令1t x =+，则1x t =-，由0x >得1t >，所以不等式ln(1)1x x x +>+ （0x >）等价于：1ln t t t->，即：1ln 0t t t -->（1t >），由（Ⅰ）得：函数1()ln t g t t t-=-在()1,+∞上单调递增，所以()(1)0g t g >=，即：ln(1)1xx x +>+ ．②因为0x >，不等式ln (1)1x x+<等价于ln(1)x x +<，令()ln(1)h x x x =+-，则1()111xh x x x -'=-=++，所以()0h x '<，所以函数()ln(1)h x x x =+-在()0,+∞上为减函数，所以()(0)0h x h <=，即ln(1)x x +<．由①②得：0x >时，1ln(1)11x x x+<<+ （Ⅲ）由（Ⅱ）得：0x >时， ln(1)1x x +<，所以令1100x =，得1100ln(1)1100⨯+<，即100101ln 1100⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以100101e 100⎛⎫< ⎪⎝⎭；又因为l n (1)11x x x +>+ （0x >），所以1(1)ln(1)1x x ++>，令199x =得：100100ln 199⨯>，所以100100ln 199⎛⎫> ⎪⎝⎭，从而得100100e 99⎛⎫> ⎪⎝⎭．所以， 100100101100e 10099⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．22.解：(Ⅰ) 设曲线1C 上一点()11P x y ，与曲线2C 上一点()Q x y ，，由题知：11==2x x y y ⎧⎪⎨⎪⎩，所以2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．(Ⅱ) 由题知可得：直线l2+=0y m +， 设曲线2C 上一点()2cos sin B θθ，到直线l 的距离为d ，则d = 当>0m时，max d =10m ， 当<0m时，max d ，解得：=10m -， 综上所述：=10m ±．23. 解：(Ⅰ) 由144x x +--≥得：①154x <-⎧⇒∅⎨-≥⎩或 ②14742342x x x x -≤≤⎧⎧⎫⇒≤≤⎨⎨⎬-≥⎩⎭⎩ 或 ③ {}4454x x x >⎧⇒>⎨≥⎩，综上所述()4f x ≥的解集为7,+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭．(Ⅱ) x ∀∈R ，()2f x ≤恒成立，可转化为()max 2f x ≤ 分类讨论①当=4a 时，()02f x =≤显然恒成立． ②当<4a 时，()()()4<()244+4>4a x a f x x a a x a x -⎧⎪=--≤≤⎨⎪-⎩ ③当>4a 时，()()()4<4()2++44+4>a x f x x a x a a x a -⎧⎪=-≤≤⎨⎪-⎩ 由②③知，()max =42f x a -≤，解得26a ≤≤且4a ≠．综上所述：a 的取值范围为[]26，．。