15三角形三边的垂直平分线
三角形的角平分线与垂直平分线几何形中的特殊性质
三角形的角平分线与垂直平分线几何形中的特殊性质在几何学中，三角形是一个基础而重要的概念。
它具有许多有趣的性质和特殊的几何形。
其中，角平分线和垂直平分线是三角形中的两个重要概念，它们之间存在着一些特殊的关系和性质。
本文将重点探讨三角形的角平分线和垂直平分线在几何形中的特殊性质。
一、角平分线在几何形中的特殊性质角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。
对于一个三角形来说，每个角都有一条角平分线。
下面我们将探讨角平分线在三角形中的几个特殊性质。
1. 角平分线相交于一个点在任意一个三角形中，三条角平分线将会相交于一个点，称为角平分线的交点或是角平分线的垂心。
这个点与三角形的顶点和对边的中点连线构成的垂线所相交的点重合。
垂心是三角形的一个重要的特殊点，具有很多有趣的性质和特点。
2. 角平分线以及垂心的性质垂心到三角形的三个顶点连线所构成的线段分别与三条对边垂直相交，这意味着角平分线与三角形的对边是垂直的。
此外，垂心到三角形的三个顶点连线所构成的线段等长，这意味着垂心到三角形三边的距离相等。
这些性质使得角平分线在几何形中具有重要的作用和特殊的地位。
二、垂直平分线在几何形中的特殊性质垂直平分线是指从一条线段的中点出发，与该线段垂直相交，并将该线段分成两个相等的线段的线段。
对于一个三角形来说，每条边都有一条垂直平分线。
下面我们将探讨垂直平分线在三角形中的几个特殊性质。
1. 垂直平分线相交于一个点在任意一个三角形中，三条垂直平分线将会相交于一个点，称为垂直平分线的交点或是垂心。
这个点与三角形的三个顶点连线构成的角平分线所相交的点重合。
垂心具有角平分线的性质，与角平分线一样，具有重要的地位和特殊的性质。
2. 垂直平分线以及垂心的性质垂心到三角形的三个顶点连线所构成的线段分别与三条对边垂直相交，这意味着垂直平分线与三角形的对边是垂直的。
此外，垂心到三角形的三个顶点连线所构成的线段等长，这意味着垂心到三角形三边的距离相等。
2021年中考数学三角形---垂直平分线与角平分线性质定理解析
2021年中考数学三角形---垂直平分线与角平分线性质
定理解析
垂直平分线
性质定理：
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
如何判定：
到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
拓展：
三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等。
相关方法总结：
出现一点到两点距离相等的题型，一般要用到垂直平分线；
题中看到线段垂直平分线，要想到垂直平分线垂直且平分线段，垂直平分线上点到线段两端点距离相等，相等边所对应角相等；
翻折题型中常用到垂直平分线、勾股定理。
角平分线
性质定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等。
判定定理：
到角两个边距离相等的点在这个角的角平分线上。
拓展：三角形三个角的角平分线的交点到三条边的距离相等。
角平分线通常用于求点到直线距离、三角形面积角度。
拓展三个概念：
重心：
三角形中线的交点，重心分中线上下比为2:1。
内心：
三角形角平分线的交点，内心到三边的距离相等。
外心：
三角形垂直平分线的交点，外心到三个顶点的距离相等。
角平分线常见的四种辅助线做法：
①由角的平分线上的一点向角的一边或两边作垂线，可以用角的平分线性质定理解题；
②以角的平分线为轴，将图形翻折，在角的平分线两侧构造全等三角形，使已知与结论发生关系出现新的条件；
③当题设有角平分线及与角平分线垂直的线段，可延长这条线段与角的另一边相交，构成等腰三角形，利用等腰三角形的“三线合一” 性质证题；
④过角的一边上的点，作另一边的平行线，构成等腰三角形
——“角平分线+平行，必出等腰”。
初中数学 如何计算三角形的垂直平分线
初中数学如何计算三角形的垂直平分线在初中数学中，计算三角形的垂直平分线是解决与三角形相关问题的重要技巧之一。
三角形的垂直平分线是从一个顶点向对边的中垂线，它可以帮助我们计算三角形的面积、判断三角形的形状以及解决几何问题。
本文将详细介绍如何计算三角形的垂直平分线。
计算三角形的垂直平分线有几种常用方法，下面将介绍三种常见的方法：1. 使用中垂线定理计算垂直平分线：中垂线定理是指一个三角形的三条中垂线的交点是三个角的垂心。
利用这个性质，我们可以计算三角形的垂直平分线。
具体步骤如下：（1）已知一个三角形的两个顶点的坐标。
（2）使用中垂线定理，计算出垂心的坐标。
（3）通过垂心的坐标和顶点的坐标，计算出垂直平分线的方程。
例如，已知三角形ABC的顶点A(1, 2)，顶点B(3, 4)，顶点C(5, 6)，我们可以使用中垂线定理计算出三角形ABC的垂直平分线。
解：根据中垂线定理，我们可以找到三角形ABC的垂心H。
中垂线的方程可以表示为：AH ⊥ BC，BH ⊥ AC，CH ⊥ AB首先，我们需要计算出垂心H的坐标。
垂心H的坐标可通过计算任意两条中垂线的交点得到。
假设中垂线AH和BH相交于点D，则D为垂心H的坐标。
然后，我们可以计算出中垂线的方程。
中垂线的方程可以表示为：AH: y - yA = (yH - yA)/(xH - xA) × (x - xA)BH: y - yB = (yH - yB)/(xH - xB) × (x - xB)CH: y - yC = (yH - yC)/(xH - xC) × (x - xC)因此，通过计算垂心的坐标和顶点的坐标，可以得到三角形ABC的垂直平分线的方程。
2. 使用相似三角形的性质计算垂直平分线：如果两个三角形相似，它们的对应边长成比例。
利用这个性质，我们可以通过相似三角形的垂直平分线比例来计算垂直平分线。
具体步骤如下：（1）已知一个相似三角形和它的垂直平分线长度。
三角形的角平分线与垂直平分线
三角形的角平分线与垂直平分线角平分线与垂直平分线是三角形中重要的几何概念。
它们可以帮助我们研究三角形的性质和推导出一些有用的结论。
本文将详细介绍角平分线与垂直平分线的定义、性质和应用。
一、角平分线角平分线定义为从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的角的线段。
以三角形ABC为例，假设角A的角平分线为AD，则角BAD 与角DAC是相等的。
这一定义可以推广到任意三角形中的任意角。
角平分线具有以下性质：1. 一个角的两条平分线相交于该角的顶点，并将该角平分成两个相等的角。
2. 三角形的内角平分线三条相交于一点，称为内心。
这个点到三角形三边的距离相等，可以证明是三角形内接圆的圆心。
3. 三角形的外角平分线三条相交于一点，称为外心。
这个点到三角形的顶点的距离相等，可以证明是三角形外接圆的圆心。
4. 三角形的角平分线分割对边成比例，即根据角平分线定理可得：AB/BC=AD/DC。
角平分线的应用广泛，特别是在证明三角形的性质和推导结论时非常有用。
例如，可以利用角平分线证明角的等分性质、三角形的相似性质、垂心定理等。
二、垂直平分线垂直平分线定义为从一个线段的中点出发，与该线段垂直且将该线段平分为两段相等的线段。
以三角形ABC为例，假设AB的垂直平分线为DE，则AD=BD=BE=CE=CD。
这一定义可以推广到任意线段。
垂直平分线具有以下性质：1. 一个三角形的三条垂直平分线交于一点，称为垂心。
这个点到三角形三顶点的距离相等，可以证明是三角形外接圆的圆心。
2. 一个角的垂直平分线经过角的顶点，并将该角平分成两个相等的角。
3. 垂直平分线等分线段，即对于一个线段AB，若点D是其垂直平分线的交点，则AD=DB。
垂直平分线也有许多应用，特别是在几何证明中常常能发挥关键作用。
例如，可以利用垂直平分线证明角的等分性质、直角三角形的性质、垂心定理等。
总结：角平分线与垂直平分线是三角形中重要的概念，它们有着许多有用的性质和应用。
三角形的中线角平分线与垂直平分线的性质
三角形的中线角平分线与垂直平分线的性质三角形是几何学中最基本的平面图形之一，有许多有趣的性质和定理与之相关。
本文将讨论关于三角形中线角平分线和垂直平分线的性质。
一、中线角平分线的性质中线是连接三角形的一个顶点和对边中点的线段。
而三角形的中线角平分线则是从三角形的一个顶点到对边的中点后继续延伸至对边上某一点的线段，它具有以下性质：1. 中线角平分线将三角形的对边平分成两个相等的线段。
这意味着通过中线角平分线将三角形划分为两个面积相等的小三角形。
2. 三角形三个中线角平分线的交点称为三角形的重心，重心位于三角形的内部，且到三角形的三个顶点距离相等。
3. 三角形的重心到三个顶点的距离之和等于重心到三边的距离之和。
这个性质在解决实际问题中有广泛的应用，例如确定三个城市的最佳集中点。
4. 三角形的重心将中线分成2:1的比例。
也就是说，从顶点到中线交点的距离是从中线交点到对边中点的距离的两倍。
二、垂直平分线的性质垂直平分线是从三角形某一边上的点垂直地到达对边的线段，具有以下性质：1. 垂直平分线将三角形的一条边平分成两个相等的线段。
这表明通过垂直平分线可以将三角形划分为两个面积相等的小三角形。
2. 三角形三个垂直平分线的交点称为三角形的外心，外心即位于三角形的外部，且到三角形的三个顶点距离相等。
3. 三角形的外心到三个顶点的距离相等，且等于外心到三边的距离。
4. 三角形的外心和三个顶点共线，且外心和三个顶点的连线垂直于各边。
总结：三角形的中线角平分线与垂直平分线是三角形内部特殊线段的几何性质，在解决几何问题和推导其他定理时起到重要作用。
中线角平分线将三角形对边平分，三个中线角平分线的交点为三角形的重心，重心有着特殊的位置和性质；而垂直平分线将三角形的一边平分，三个垂直平分线的交点为三角形的外心，外心也有着特殊的位置和性质。
研究三角形的中线角平分线与垂直平分线的性质，有助于加深我们对于三角形几何形状的理解，以及解决与三角形相关的数学问题。
三角形的角平分线和垂直平分线
三角形的角平分线和垂直平分线三角形是几何学中最常见的形状之一，它由三条边和三个角组成。
在研究三角形的性质时，我们经常会遇到角平分线和垂直平分线这两个重要的概念。
本文将详细介绍三角形的角平分线和垂直平分线的定义、性质以及它们在解题中的应用。
一、角平分线1. 定义：三角形的角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分为两个相等的角的线段。
具体而言，设三角形ABC中的∠BAC的角平分线为AD，那么AD将∠BAC分为两个相等的角∠BAD和∠DAC。
2. 性质：（1）角平分线与对边的关系：角平分线将对边分成两个部分，这两个部分的长度之比等于与它们相对的两个角的正弦值之比。
即AB/AC = BD/DC = sin∠BAD/sin∠DAC。
（2）角平分线的交点：三角形的三条角平分线交于一点，称为内心。
内心是三角形内切圆的圆心，三条角平分线相交于该点的原因是，该点到三条边的距离相等，满足等距离定理。
（3）内心到三边的距离：内心到三边的距离相等，且等于内切圆的半径。
设内心到三边的距离分别为r₁、r₂和r₃，那么r₁=r₂=r₃=r。
二、垂直平分线1. 定义：三角形中的垂直平分线是指从一个角的顶点出发，与对边垂直相交，并将对边分成两个相等部分的直线。
以三角形ABC中∠BAC的垂直平分线为例，假设该垂直平分线与BC相交于点D，那么BD=DC。
2. 性质：（1）垂直平分线与对边的关系：垂直平分线平分对边，并且被平分的两部分的长度相等。
即BD=DC。
（2）垂直平分线与角平分线的关系：垂直平分线与角平分线互相垂直。
也就是说，三角形的垂直平分线同时也是它的内角平分线。
三、角平分线和垂直平分线的应用角平分线和垂直平分线在解决三角形相关问题时起着重要的作用，它们能够提供关键的几何信息，帮助我们求解未知量、证明定理。
1. 解题应用：（1）角平分线的应用：在求解三角形相关问题时，可以利用角平分线的性质来求解未知量，比如利用角平分线将角分为两个相等的角，从而应用三角函数关系进行计算。
三角形三条垂直平分线位置关系
三角形三条垂直平分线位置关系三角形三条垂直平分线位置关系垂直平分线的定义垂直平分线是指一条线段将另一条线段垂直平分为两段相等的线段。
三角形的垂直平分线在任意三角形中，都可以找到三条垂直平分线，分别垂直平分三个内角，这三条垂直平分线有特定的位置关系。
垂直平分线的位置关系1.三条垂直平分线的交点是三角形的内心。
内心是三角形内切圆的圆心，与三角形的三条边都相切。
2.三条垂直平分线所在的直线与三角形的外心相交于一点。
外心是三角形外接圆的圆心，外接圆与三角形的三个顶点都相切。
3.三条垂直平分线分别与三角形的三边垂直相交于一点，这三个点分别叫做三角形的垂心。
垂心是三条高线的交点，高线是从三角形的顶点到对边的垂线。
解释说明三角形三条垂直平分线的位置关系可以通过以下方式解释： - 内心是三角形内切圆的圆心，该圆与三角形的三边都相切。
因此，三条垂直平分线的交点必然是内心。
- 外心是三角形外接圆的圆心，该圆与三角形的三个顶点都相切。
三条垂直平分线所在的直线与外心相交于一点。
- 垂心是三条高线的交点，高线是从三角形的顶点到对边的垂线。
因此，三条垂直平分线分别与三角形的三边垂直相交于一点，这三个点就是垂心。
综上所述，三角形三条垂直平分线的位置关系是：三条垂直平分线的交点是三角形的内心，垂直平分线的直线与外心相交于一点，垂直平分线分别与三边垂直相交于一点，这点即为垂心。
对于资深的创作者来说，了解三角形三条垂直平分线的位置关系是非常重要的。
在绘画、设计和建筑等领域中可能会涉及到三角形的构造和分析，而垂直平分线的位置关系则可以帮助我们更好地理解和运用三角形的性质。
掌握了这些知识，我们能够更准确地绘制和构造三角形，以及解决相关的问题。
除了以上的基本性质外，三角形三条垂直平分线还有一些其他的相关性质和应用：1.三角形的垂径定理：三角形垂直平分线所在直线与三角形三边的垂直相交点构成的四边形，其中两条对角线及其交点的连线互相垂直。
中考重点三角形的垂直平分线定理
中考重点三角形的垂直平分线定理中考重点：三角形的垂直平分线定理在中考数学考试中，三角形是一个常见的考点。
其中，三角形的垂直平分线定理是一个重要的概念。
下面，本文将详细介绍三角形的垂直平分线定理及其相关性质。
一、三角形的垂直平分线定理的定义垂直平分线定理是指：如果一条直线同时垂直于一条边且平分这条边，那么它一定与这个三角形的对角线相交于对角线的中点。
二、垂直平分线的性质1. 垂直平分线将边分成相等的两段。
根据垂直平分线定理，垂直平分线将三角形的一条边分成两段，并且这两段长度相等。
这是因为垂直平分线平分了边，同时也垂直于边，所以可以得出这个性质。
2. 垂直平分线的交点是对边的中点。
垂直平分线与三角形的对边相交于对边的中点。
这是由垂直平分线定理的定义得出的。
三、垂直平分线的应用1. 证明角平分线与垂直平分线的关系。
在三角形中，如果某条线段既是角的平分线又是相应边的垂直平分线，那么它必定是这个角的平分线，即它与对边的交点是角的平分线的中点。
2. 判断三角形相似的条件之一。
如果两个三角形有一个顶点相同，并且它们相对于这个顶点的两条边被一条直线所垂直平分，那么这两个三角形是相似的。
这是因为两个三角形的对应边被这条直线垂直平分，并且相等，符合三角形相似的条件之一。
3. 求解直角三角形的边长问题。
在求解直角三角形的边长问题中，垂直平分线的性质可以被充分利用。
根据垂直平分线将直角边分成相等的两段，可以通过已知条件求解未知边长。
四、三角形垂直平分线定理的应用举例例1：如图所示，ABC是一个等边三角形，AD是三角形ABC的一条边AB的垂直平分线，证明AD是边BC的垂直平分线。
解：由于ABC是一个等边三角形，所以AD是边AB的垂直平分线，则AD与弧BC的交点为弧BC的中点。
又因为BC = AC，所以AD也是边BC的垂直平分线。
例2：如图所示，ABCD是一个平行四边形，E是边AD的中点，证明BE是边CD的垂直平分线。
解：由于ABCD是一个平行四边形，所以AE = ED。
三角形的垂直平分线
三角形的垂直平分线在几何学中，三角形是最基本的几何形状之一，而垂直平分线则是与三角形密切相关的重要概念之一。
本文将围绕着三角形的垂直平分线展开讨论，探究其性质和应用。
一、垂直平分线的定义垂直平分线是指一个线段，它既垂直于另一条线段，又将它平分为两个相等的部分。
在三角形中，我们可以通过连接三角形的某一顶点和对边中点的方法来构造垂直平分线。
二、垂直平分线的性质1. 垂直性：垂直平分线与连接顶点和对边中点的线段垂直相交，形成直角。
2. 平分性：垂直平分线将对边平分为两个长度相等的部分。
3. 唯一性：每条边都有且只有一条垂直平分线。
4. 交点性：三条垂直平分线的交点即为三角形的垂心，垂心到各顶点的距离相等。
三、垂直平分线的应用1. 三角形重心：垂直平分线的交点是三角形的重心，重心到各顶点的距离相等，可以作为平衡力的集中点。
2. 三角形外接圆：连接垂心与三角形三个顶点，可以构成三角形的外接圆。
垂直平分线与外接圆的切线垂直相交。
3. 三角形内切圆：垂直平分线与对边的交点是三角形内切圆的切点，可以用来确定内切圆的位置。
4. 三角形相似性：对于等腰三角形来说，垂直平分线与底边是对称的，可以用来证明等腰三角形的性质。
总结起来，垂直平分线在三角形的研究和应用中扮演着不可忽视的角色。
通过研究垂直平分线的性质和应用，我们可以更好地理解和解决三角形相关问题。
无论是在几何学教学中还是在实际应用中，垂直平分线都是一个重要的概念。
在解决具体问题时，我们可以通过观察三角形的特点来确定垂直平分线的位置和性质，从而得出准确的结论。
在实际应用中，垂直平分线可以帮助我们确定物体的平衡点、计算角度和距离等。
尽管在本文中我们没有使用具体的格式，但我们仍然按照论述和解释的方式来呈现垂直平分线的相关内容。
通过合理的分段和逻辑连接，我们保证了文章的整体流畅性和易读性。
总之，三角形的垂直平分线是一个重要的几何概念，它具有独特的性质和应用价值。
通过深入研究垂直平分线，我们可以更好地理解三角形的性质及其在实际问题中的应用。
三角形三条边的垂直平分线
三角形三条边的垂直平分线三角形是几何学中非常基础的一个概念，无论是高中阶段还是大学阶段都有涉及。
在三角形中，边和角都是非常重要的概念，但是在很多情况下，我们需要了解三角形三条边的垂直平分线相关的概念，本文将会介绍这些知识点。
一、概念定义三角形三条边的垂直平分线是指，一个点到三角形三条边的垂直距离相等，并且该点到三角形三个顶点的距离相等的直线。
二、性质1. 三条垂直平分线的交点称为三角形的垂心，该点到三角形三个顶点的连线上的垂足分别在三条边上。
2. 三角形三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离都相等，且等于该点到三条边的距离。
3. 三角形三个内角的平分线交于一点，称为三角形的内心，该点到三角形三条边的距离相等。
4. 三角形三边中点的连线称为中位线，交于一点，称为三角形的重心，该点到三角形三个顶点的距离的值之和最小。
5. 在锐角三角形中，垂心在三角形内部；在直角三角形中，垂心在斜边上；在钝角三角形中，垂心在三角形外部。
6. 在等边三角形中，垂心、内心、重心、外心重合于同一点，且该点是三角形的圆心。
三、定理1. 欧拉线定理：三角形的垂心、重心、内心、外心四点在一条直线上，该直线称为欧拉线，且重心与内心的距离等于垂心与外心的两倍。
2. 垂心定理：三角形的任何一条边的垂线与另外两条边的垂线交于同一点，该点称为垂心。
3. 次定理：三角形的垂心到三角形的三个顶点连线上的垂足所成的三角形，面积之和等于原来的三角形面积。
四、实际应用垂心和平分线在很多情况下都有重要的应用，如地球重力中的作用力就是实现了垂心的平衡，而在设计建筑和桥梁等工程中，平分线在平面的布局和验算中也有很大的应用。
综上所述，三角形三条边的垂直平分线是一个重要的几何概念，它不仅具有一些重要的性质和定理，而且在各种实际应用场景中都有着非常广泛的应用。
初中数学 什么是垂直平分线
初中数学什么是垂直平分线
在初中数学中，垂直平分线是指一个三角形中从一个顶点到对边中点的线段，同时它垂直于对边。
每个三角形都有三条垂直平分线，它们分别从三个顶点到对边中点。
以下是关于垂直平分线的一些重要事实和性质：
1. 垂直平分线将三角形分成面积相等的两个三角形：垂直平分线将三角形分成面积相等的两个三角形。
这意味着，如果你将一个三角形的三条垂直平分线画出来，那么这些垂直平分线将三角形分成两个面积相等的三角形。
2. 垂直平分线垂直于对边：垂直平分线垂直于对边。
也就是说，如果你将一个三角形的某个顶点到对边中点的垂直平分线画出来，那么这条线段将与对边垂直相交。
3. 三角形的三条垂直平分线交于一点：三角形的三条垂直平分线交于一点，这个点被称为三角形的垂心。
垂心是三角形内的一个点，它到三角形的三个顶点的距离之和最小。
垂心对于三角形的性质和应用具有重要的作用。
4. 垂直平分线的性质可以应用于问题的解决：垂直平分线的性质可以应用于解决与三角形相关的问题。
例如，通过利用垂直平分线的性质，我们可以找到缺失的边长，计算三角形的面积，判断两个三角形是否相似，以及证明三角形的性质等等。
总结起来，垂直平分线是指一个三角形中从一个顶点到对边中点的线段，同时它垂直于对边。
每个三角形都有三条垂直平分线，它们分别从三个顶点到对边中点。
垂直平分线可以将三角形分成面积相等的两个三角形。
垂直平分线垂直于对边。
三角形的三条垂直平分线交于一点，这个点被称为三角形的垂心。
垂直平分线的性质可以应用于解决与三角形相关的问题。
中考数学知识整理三角形中的角平分线与垂直平分线
中考数学知识整理三角形中的角平分线与垂直平分线数学知识整理：三角形中的角平分线与垂直平分线在中考数学中，三角形是一个重要的几何图形。
学习和掌握三角形的性质、特点以及相关定理，对于解题和理解某些数学概念都有着重要意义。
本文将着重介绍三角形中的角平分线与垂直平分线，帮助读者更好地理解和应用相关知识。
1. 角平分线角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角平分成两个相等的角的直线段。
对于任意一个三角形ABC，如果从顶点A引出一条角平分线AD，则AD将角BAC平分为两个相等的角BAD和CAD。
（插图1：三角形ABC，AD为角BAC的角平分线）角平分线的性质有以下几点：1.1 角平分线的定理定理1：如果一条直线平分一个角，那么这条直线上的任意一点到这个角的两边的距离相等。
定理2：如果一条线段平分一个角且通过角的顶点，那么这条线段上的任意一点到这个角的两边的距离相等。
这两个定理表明了角平分线在平分角时所具备的重要性质，这些性质经常被应用于解决相关的几何问题。
1.2 角平分线分割线段角平分线不仅将角分为两个相等的部分，还有一个重要的性质是它可以将三角形的对边分割成两个比例相等的线段。
具体地说，如果在线段BC上任取一点D，且AD是∠BAC的角平分线，则有以下结论：结论1：$\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB}{AC}$结论2：$\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB^2}{AC^2}$这两个结论在解决线段的比例问题时经常被使用。
2. 垂直平分线垂直平分线是指从一个线段的中点引出一条与该线段垂直且等长的线段。
对于任意一个三角形ABC，如果线段DE是边AC的垂直平分线，则AD=DC，且线段DE与边AC垂直。
（插图2：三角形ABC，DE为边AC的垂直平分线）垂直平分线有以下性质：2.1 垂直平分线的定理定理1：如果一条直线垂直平分一个线段，那么这条直线上的任意一点到这个线段的两个端点的距离相等。
垂直平分线的判定
垂直平分线的判定
垂直平分线的判定：垂直平分线垂直且平分其所在线段。
垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。
一、判定方法
①利用定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
（即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合）。
二、垂直平分线的性质定理
1、垂直平分线垂直且平分其所在线段。
2、垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
3、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。
4、垂直平分线的判定：必须同时满足（1）直线过线段中点；（2）直线⊥线段。
定义经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又称“中垂线”。
三、怎样画垂直平分线
用圆规，随便拉比所求线段1/2更长的距离，然后以线段两个端点为圆点画弧线，左边画右弧线，右边画左弧线，左右两边弧线相交在线段上下交于两点。
两点相连，画出的就是线段的垂直平分线。
这样做的原理是：菱形对角线垂直平分。
三角形垂直平分线的性质
利用尺规作三角形三条边的垂直平分 线，然后说说你发现了什么?
发现：三角形三边 的垂直平分线交 于一点．
三角形三边的垂直平分线的性质定理 定理：三角形三边的垂直平分线相交 于一点，并且这一点到三个顶 点的距离相等。
A
O B
C
1．分别作出直角三角形、锐角三角形、 钝角三角形三边的垂直平分线，说明交 点分别在什么位置.
锐角三角形三边的垂直平分线交点 在三角形内；直角三角形三边的垂 直平分线交点在斜边上；钝角三角 形三边的垂直平分线交点在三角形 外．
已知底边及底边上的高，求作等腰三角形． a 已知：线段a、h h 求作：△ABC，使AB=AC，BC=a， 高AD=h AM 作法：1．作BC=a； 2．作线段BC的垂直平分线 MN交BC于D点； 3．以D为圆心，h长为半径作 弧交MN于A点； D B 4．连接AB、AC N ∴△ABC就是所求作的三角形
ห้องสมุดไป่ตู้
C
2.如右上图，在锐角三角形ABC中,∠A=50°， AC、BC的垂直平分线交于点O， 则∠1____∠2，∠3____∠4，∠5___∠6， ∠2+∠3=_____度， A ∠1+∠4=_____度， 2 3 ∠5+∠6=_____度， E ∠BOC=_______度. O
1 4 6
B
5
C
F
3.如右上图，在△ABC中，DE、FG分别 是边AB、AC的垂直平分线，则 ∠B__∠1,∠C __ ∠2,若∠BAC=126°， 则∠EAG=__________度.
12.已知如图3，在△ABC中，AB=AC，O是 △ABC内一点，且OB=OC， 求证：AO⊥B C.
三角形三条边的垂直平分线
三角形三条边的垂直平分线1. 简介三角形是几何学中的基本概念之一，它由三条边和三个角组成。
在三角形中，垂直平分线是一个非常有趣的概念。
本文将探讨三角形三条边的垂直平分线的定义、性质以及如何构造它们。
2. 定义垂直平分线是指一个直线，它平分一条线段并且垂直于这条线段。
在三角形中，三条边都可以有垂直平分线。
我们将分别研究三角形的各边的垂直平分线。
3. 三角形三条边的垂直平分线性质在三角形中，三条边的垂直平分线有许多有趣的性质。
3.1 垂直平分线相交于一个点三角形的三条边的垂直平分线都会相交于同一个点，这个点被称为三角形的垂心。
垂心是三角形的一个重要的几何中心之一。
3.2 垂心到三角形顶点的距离相等垂心到三角形三个顶点的距离都相等，即垂心到三个顶点的距离相等。
3.3 垂心到三角形边的距离最小垂心到三角形三条边的距离都是最小的。
换句话说，垂心到三角形边的垂直距离都是最短的。
3.4 垂心到三角形的距离最大垂心到三角形内任意一点的距离都是最大的。
换句话说，如果我们在三角形内选择任意一点，那么这个点到垂心的距离都是最大的。
4. 构造三角形三条边的垂直平分线构造三角形的垂直平分线有几种方法。
我们将分别介绍如何构造三角形的每条边的垂直平分线。
4.1 构造三角形边的垂直平分线给定一条线段AB，我们想要找到它的垂直平分线。
先画一条以A为圆心，AB为半径的圆，并且以B为圆心，AB为半径的圆。
这两个圆会相交于两个点，将这两个点连接起来，就得到了线段AB的垂直平分线。
4.2 构造三角形顶点的垂直平分线给定一个三角形ABC，我们想要找到顶点A的垂直平分线。
先找到边BC的垂直平分线，然后再找到边CA的垂直平分线。
这两条垂直平分线的交点就是顶点A的垂心。
4.3 构造三角形的垂直平分线给定一个三角形ABC，我们希望构造整个三角形的垂直平分线。
我们已经知道了如何构造顶点A的垂直平分线，我们可以使用相同的方法来构造顶点B和顶点C的垂直平分线。
三角形的垂直平分线将边分成两个相等的部分
三角形的垂直平分线将边分成两个相等的部分三角形是几何学中的重要概念之一，它由三个边和三个角组成。
在三角形中，存在着一种特殊的线段，即垂直平分线，它将三角形的边分成两个相等的部分。
本文将重点讨论这个有趣且实用的几何性质，并探索一些相关的性质和定理。
首先，让我们来研究三角形的垂直平分线。
垂直平分线是指从一个三角形顶点到对边的中点所画的线段。
在任意三角形中，每条边都有一条垂直平分线。
这些垂直平分线相交于一个点，我们称之为三角形的垂心。
垂心是三角形中的一个重要点，它与三角形的其他重要点，如重心、外心和内心等有着密切的联系。
接下来，让我们探索垂直平分线对三角形边的分割情况。
当一条垂直平分线与三角形的边相交时，它将边分成相等的两部分。
这是因为垂直平分线同时是边的中点和高的垂直平分线，中点将边分成相等的两部分，而垂直平分线将高分成相等的两部分。
这个性质在很多几何问题中都有广泛的应用，例如在三角形的面积计算、定位定线等方面都能够发挥作用。
除了将边分成相等的两部分，垂直平分线还有一些其他的性质。
首先，垂直平分线与对边呈直角，这是由于垂直平分线是高，而高与对边呈直角。
其次，垂直平分线与三角形的任意一边都相交于一个点，这个点被称为垂足。
垂足是垂直平分线在对边上的投影点，它与垂心和对应的顶点形成一条垂线。
在几何学中，垂直平分线还与其他一些概念和定理密切相关。
例如，出现在直角三角形中的垂直平分线被称为中位线，它与斜边的垂直平分线相重合。
此外，垂直平分线还可以用来证明三角形的一致性和相似性，这是基于垂直平分线将边分成相等部分的性质。
总结起来，三角形的垂直平分线将边分成两个相等的部分，在几何学中扮演着重要的角色。
垂直平分线不仅仅是一个线段，它还有与之相关的垂心、垂足等概念。
垂直平分线的性质和定理可以帮助我们解决各种几何问题，提高我们的几何学能力。
因此，在学习和应用几何学的过程中，我们应该充分理解和掌握三角形的垂直平分线的性质和应用。
三角形的垂直平分线定理
三角形的垂直平分线定理三角形是几何学中最常见的图形之一。
研究三角形的性质和定理对于我们理解几何学的基本原理非常重要。
本文将讨论三角形的垂直平分线定理，该定理是三角形中一条重要的性质。
垂直平分线是指从三角形的一个顶点引出的一条直线，该直线与对应边垂直且平分对应边。
三角形的垂直平分线定理表明，如果垂直平分线和三角形的一条边相交于顶点，并且与对边垂直相交于某一点，那么这个点将平分对边。
设三角形ABC的一条边为AB，该边上的点为D，垂直平分线通过点D并与边AC相交于点E，与边BC相交于点F。
根据垂直平分线定理，我们可以得出以下结论：1. 点E和点F在边AB上分别平分线段AD和DB。
这意味着线段AE等于线段DE，以及线段BF等于线段DF。
垂直平分线定理可以用数学符号表示如下：AE = DEBF = DF2. 点E和点F在边AC和BC上分别产生的垂直平分线垂直于对边。
由于垂直平分线与对边垂直相交，在数学符号上可以表示为：∠DAE = ∠CAE = 90°∠DBF = ∠CBF = 90°通过三角形的垂直平分线定理，我们可以推导出一些有关三角形的其他性质。
例如：1. 线段AE和线段BE相等。
根据垂直平分线定理，我们知道AE = DE，而根据三角形的等腰性质，我们可以得出BE = DE。
因此，AE = BE。
同样地，我们可以证明线段BF和线段AF相等。
2. 线段AF和线段DE互为垂直平分线。
根据垂直平分线定理，我们知道AE = DE，而根据三角形的垂直平分线定理，我们可以得出∠DAE = ∠CAE = 90°。
因此，线段AF和线段DE互为垂直平分线。
3. 三角形ABC的垂直平分线交于一个点G，该点是对边AC和BC上的垂直平分线的交点。
通过连结点E和F，我们可以得出线段EF是三角形ABC的垂直平分线。
因此，线段EF将对边AC和BC上的垂直平分线交于一个点G。
综上所述，三角形的垂直平分线定理是一个非常有用的几何定理，可以帮助我们推导出三角形的其他性质。
人教版初中数学《三角形的垂直平分线》PPT课件
三角形的垂直平分线
M P
A
C
B
N
知识回顾
1、垂直平分线的定义、性质、判定 2、三角形的角平分线的交点有什么性质？ 3、到三角形三边距离相等的点怎么确定？ 4、三角形三条高的交点的位置情况？
A A
F
D
D
O
B
C
E A
EB
C
F D
O
B
C
新知探究
1、分别画出锐角、直角、钝角三角形，再画出它们三条 边的垂直平分线，观察垂直平分线的交点的位置。
练习1、 △ ABC中,BC边的垂直平分线恰好经过三角形 的顶点A,那么这个三角形一定是
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
2、 △ ABC三边垂直平分线的交点在三角形的一条边 上，那么这个三角形是
3、△ABC中，DE、FG分别是AB、AC的垂直平分线，
BC=10cm，求△ADE 的周长
锐角三角形三边的垂直平分线在三角形内交于一点. 直角三角形三边的垂直平分线的交点是斜边的中点 钝角三角形三边的垂直平分线在三角形外交于一点.
2、三角形角平分线的交点到三角形三边的距离相等，那 么三角形三边垂直平分线的交点又有什么性质呢？
3、完成课本66页13题
三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等， 到三角形三边距离相等的点是三边垂直平分线的交点。
作业：
1、66页第9,13题 2、求证：三角形三边的垂直平分线交于一点
垂直平分线
1、垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线 段的直线叫这条线段的垂直平分线，也叫中垂线
2、垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线 段两个端点的距离相等．
三角形的垂直平分线定理解析
三角形的垂直平分线定理解析在几何学中，三角形是最基本的图形之一。
而三角形的垂直平分线定理是关于三角形内部角平分线及垂直平分线的一个重要定理。
本文将对三角形的垂直平分线定理进行解析，帮助读者更好地理解和应用该定理。
一、三角形的垂直平分线定理三角形的垂直平分线定理是指：在任意三角形ABC中，如果有一条边上的垂直平分线AD（点D在边BC上），那么AD将边BC平分为两个相等的部分，并与边BC垂直。
二、证明过程为了证明三角形的垂直平分线定理，我们假设在三角形ABC中，有一条边上的垂直平分线AD。
我们首先证明AD将边BC平分为两个相等的部分。
根据垂直平分线的定义，AD与BC垂直，所以∠DAB = ∠DAC，∠ADB = ∠ADC。
由于三角形内角和为180度，我们知道∠DAB + ∠ADB + ∠BAD =180度，同样地，∠DAC + ∠ADC + ∠CAD = 180度。
将这两个等式相加，得到：∠DAB + ∠ADB + ∠DAC + ∠ADC +∠BAD + ∠CAD = 360度。
由于∠DAB = ∠DAC，∠ADB = ∠ADC，我们可以将上式改写为：2(∠DAB + ∠ADB) + ∠BAD + ∠CAD = 360度。
将等式中的∠DAB + ∠ADB替换为∠BAD + ∠CAD，得到：2(∠BAD + ∠CAD) + ∠BAD + ∠CAD = 360度。
化简上式，得到：4(∠BAD + ∠CAD) = 360度。
进一步化简，我们可以得到：∠BAD + ∠CAD = 90度。
这说明在三角形ABC中，点D所在的垂直平分线AD将边BC平分为两个相等的部分。
接下来，我们证明AD与BC垂直。
由于AD是BC上的垂直平分线，所以∠DAB = ∠DAC，∠ADB = ∠ADC。
我们还知道∠DAB +∠ADB + ∠BAD = 180度，∠DAC + ∠ADC + ∠CAD = 180度。
将这两个等式相加，得到：∠DAB + ∠ADB + ∠DAC + ∠ADC +∠BAD + ∠CAD = 360度。
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课题：三角形三边的垂直平分线
课型：新授课时间：9月25日主备课：姜转枝审核人：姜转枝
学习目标：
1、能够证明三角形三条边的垂直平分线交于一点。
2、已知底边及底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形。
学习内容：
、课本30—31页。
学法指导：自主学习，合作交流。
学习过程：自学课本29——31页，回答下列问题。
1.分别画出锐角三角形，直角三角形，钝角三角形的三边垂直平分线
2.通过画图可知锐角三角形，直角三角形，钝角三角形的三边垂直平分线的交点的位置分别在
3、三角形的三边的垂直平分线相交于，并且这一点到
相等。
4.议一议：已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作出三角形吗?
如果能,能作出几个?所作出的三角形都全等吗?
已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个?
做一做P31已知底边及底边上的高,利用尺规作等腰三角形.
已知:线段a,h(如图).
求作: △ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h..
二、知识运用
一、填空题
1.如左下图，点P为△ABC三边中垂线交点，则PA________PB________PC.
2.如右上图，在锐角三角形ABC中，∠A=50°，AC、BC的垂直平分线交于点O，则∠1_________∠2，∠3________∠4，∠5__________∠6，∠2+∠3=__________度，∠1+∠4=_______度，∠5+∠6=__________度，∠BOC=__________度.
3.如左下图，D为BC边上一点，且BC=BD+AD，则AD________DC，点D在__________的垂直平分线上
4.如右上图，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，则∠B_________∠1，∠C__________∠2；若∠BAC=126°，则∠EAG=_________度.
5、在△ABC中，A B﹦AC，∠A﹦120o，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M、N。
求证：C M﹦2BM
6. 已知：在直角三角形ABC中，∠AC B﹦900，AC﹦BC，D为BC的中点，CE ⊥AD，垂直为点E，B F∥AC交CE的延长线于点F，
（1）求证：AB垂直平分FD；
（2）若A C﹦12，求DF的长。