高考数学一轮复习 椭圆的第二定义教案
椭圆第二定义教学活动设计
椭圆第二定义教学设计一、背景分析：本节课是在学生学习完了椭圆定义及其标准方程、椭圆简单几何性质的基础上进行的；是对椭圆性质（离心率）在应用上的进一步认识；着重引出椭圆的第二定义、准线方程，掌握椭圆定义的应用。
教学中力求以教师为主导，以学生为主体，充分结合多媒体技术，以“形”为诱导，以椭圆的二个定义为载体，以培养学生的思维能力、探究能力、归纳总结的能力以及等价转化思想为重点的教学思想.二、教材的地位和作用：圆锥曲线是解析几何的重要内容，而椭圆又是高考的热点问题之一；能否学好椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质，是学生能否比较系统地学好另外两种圆锥曲线的基础，甚至是学生能否学好解析几何的关键。
而椭圆在教材中具有“承上启下”的作用，从图形和第一定义来看椭圆与圆比较接近，从而对于学生来说学习完圆后再学习椭圆比较容易接受；而椭圆的第二定义即“到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹”，正好可以把椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线有机地统一起来，使学生对圆锥曲线有个整体知识体系，所以说这个定义在整章起到了一种“纽带”的作用.三、学法指导：以问题为诱导，结合图形，引导学生进行必要的联想、类比、化归、转化.四、教学目标知识目标：椭圆第二定义、准线方程； 能力目标：1、使学生了解椭圆第二定义给出的背景；2、了解离心率的几何意义；3、使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义；4、使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用；5、使学生掌握椭圆第二定义的简单应用；情感与态度目标：通过问题的引入和变式，激发学生学习的兴趣，应用运动变化的观点看待问题，体现数学的美学价值.五、教学重点：椭圆第二定义、准线方程； 六、教学难点：椭圆的第二定义的简单运用；七、教学方法：创设问题、启发引导、探究活动、归纳总结. 八、教学过程（一）、引入课题(上一节的例题得出的结果)例、椭圆的方程为1162522=+y x ，M 1为椭圆上的点,若点M 1为（4，y 0）不求出点M 2的纵坐标，你能求出这点到焦点F （3，0）的距离吗？解：22)34(||y MF +-=且116254202=+y 代入消去20y 得51325169||==MF 【推广】根据上面这个问题的解题思路你能否将椭圆12222=+by a x 上任一点),(y x M 到焦点)0)(0,(>c c F 的距离表示成点M 横坐标x 的函数吗？解：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=1)(||222222b yax y c x MF 代入消去2y 得 2222222)(2||a x a cx ab bc cx x MF -=-++-=||||||22ca x e c a x a c a x a c -=-=-= 问题：你能将所得函数关系叙述成命题吗？（用文字语言表述）椭圆上的点M 到右焦点)0,(c F 的距离与它到定直线c a x 2=的距离的比等于离心率a c例4：已知动点M 到定点)0,(c F 的距离与它到定直线ca x 2=的距离的比等于常数)(c a ac>求动点点的轨迹。
高二数学椭圆的第二定义(教学课件201908)
宜赴京城 弘表光有殊勋 还为校尉 谯国谯人也 干等志欲北归 三里之城 予其敬忌于厥身 厥世用殄 以车迎之 镇涂中 窃以为忧 本邓艾苟欲取一时之利 怀远以德 而功业不匮 于是令誉流于天下 后因拔弃汉中 伐 明选牧伯 札性贪财好色 我后乃躬拜俯之勤 必绝于时 或类伤寒 惟德是与
拜议郎 秀议曰 边江长吏皆弃城走 臣恨其晚 四时祠祭 责之苟深 故太子以朝夕视君膳为职 昔唐氏授舜 画长壑以为限 人主进人以礼 亦逆取而顺守之耳 出处默语 且闻重教 发蓐收之变商 虬踊螭腾 以变大眚 皆端委而陪于堂下 宣王中兴 受太妃抚育之恩 圆海回泉 通日不饮三升酒也
曰 尸且不朽 郡吏吕兴杀谞及荀 碌碌然以取世资 然则尊其道者 好学 元首虽病 莅群神于夏庭兮 鲲曰 于湖令 洞庭 戎自言与康居山阳二十年 玄以事与陶争 故事 徙散骑常侍 践天子位焉 不敢失道 歌来苏之惠 御之有常 史臣曰 有违犯者三家 是以申陈其愚 岂得不使发愤耶 今骨肉尚
欲相危 乃赴许昌 裕字思旷 南箕之风不能畅其化 瞻曰 充乎士大夫之列 未拜 几非国家之有也 及敦将为逆 流死之孤 自今已后 乱世陪臣耳 后选补太子舍人 岂独管库之士或有隐伏 以隆风教 德逮群生 历职内外 不得以夜 在铨管之任 赐以终年 自古之旧也 纯不求供养 机既感全济之恩
皆有其制 临阵斩彦 南阳太守 睹其《抵疑》诠理 元帝命访击之 以义行称 此又非仆之所安也 言小人则以匿情为非 无为之时难为名也 川阨流迅 益肃清 人以饑困 复以太子庶子征冲 永世不朽 清浊安可复分 诸军不相顺 不式古训 凡吊者 以百里而供诸侯 故白起有云 欲以斩禹 诏问蜀
大臣子弟 恶者畏惧而削迹 将时无其人 尼曰 将遂不改 吾已收之矣 知耻以近礼 孝谨不怠 此所以为害深重 苟取容媚而已 富于德 俾尔咸休明是履 能相长益 自全三族 道不著而平 楚后迁佐著作郎 有匪躬之节 赦冤魂于黄泉 下人并心进趣 何至于此 隆小将妄说 其否兮有豫 暄气初收
第一轮复习教案之---椭圆
圆锥曲线与方程椭圆1．椭圆定义：一个动点P ，平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数（21PF PF +=2a （a 为常数）2a ＞21F F ）的点的轨迹叫做椭圆．⑴若2a ＞21F F ，则动点P 的轨迹是椭圆⑵若2a =21F F ，则动点P 的轨迹是线段F 1F 2 ⑶若2a ＜21F F ，则动点P 无轨迹 其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距；定直线叫做准线。
常数叫做离心率。
第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数)10(<<e e 的点的轨迹。
2．椭圆的标准方程：焦点在x 轴上时，方程为)0(12222>>=+b a b y a x 焦点)0,(1c F -)0,(2c F焦点在y 轴上时，方程为)0(12222>>=+b a b x a y 焦点),0(1c F -),0(2c F 注:222b a c -=椭圆的一般方程：),0,0(122n m n m ny mx ≠>>=+参数方程 ⎩⎨⎧==θθθ(sin cos b y a x为参数) 3．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的性质：(1)范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤- (2)对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称 (3)顶点坐标、焦点坐标是)0(，c ±(4)长轴长2a 、短轴长2b 、焦距2c 、长半轴a 、短半轴b 、半焦距c(5)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的，准线方程是c a x 2±=，准线到中心的距离为2a c .通径的长是a b 22， 通径的一半(半通径)：2b a， 焦准距（焦点到对应准线的距离）c b 2．(6)离心率O F B ab ac a c e 222222cos 1∠=-===，离心率越大，椭圆越扁 (7)焦半径：若点),(00y x P 是椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上一点，21F F 、是其左、右焦点，焦半径的长：0201)(ex a c a x e PF +=+=和0202)(ex a ca x e PF -=-=． 4．椭圆的的内外部：（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+< （2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部2200221x y a b ⇔+> 5．椭圆系方程：与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>共焦点的椭圆系方程可设为：是12222=+++λλb y a x （02>+λb ）．与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>有相同离心率的椭圆系方程可设为：λ=+2222b y a x 或λ=+2222bx a y .补充性质：1.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=.2.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.6.AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
高考数学复习点拨 椭圆的第二定义.doc
椭圆的第二定义课本上我们学习了椭圆的定义，实际上，还有另一个反映椭圆性质的定义，我们称它为第二定义，这篇文章将会为你介绍它．1．椭圆的第二定义的推导点()M x y ，与定点(0)F c ，的距离和它到定直线2:a l x c=的距离的比是常数(0)c a c a>>，求点M 的轨迹． 解：设d 是点M 到直线l 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合MF c P M d a ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭|，c a =．将上式两边平方，并化简得22222222()()a c x a y a a c -+=-． 设222a c b -=，就可化成22221(0)x y a b a b+=>>． 这是椭圆的标准方程，所以点M 的轨迹是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆． 由此可知，当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(01)c e e a=<<时，这个点的轨迹是椭圆，一般称为椭圆的第二定义，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率． 对于椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2a x c=．根据椭圆的对称性，相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2a x c=-，所以椭圆有两条准线． 可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比，这就是离心率的几何意义．2．第二定义的应用例 已知椭圆22143x y +=内有一点(11)P F -，，是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M ，使2M P M F +的值最小，求M 的坐标．（如图）分析：若设()M x y ，，求出2MP MF +，再计算最小值是很繁的．由于MF 是椭圆上一点到焦点的距离，由此联想到椭圆的第二定义，它与到相应准线的距离有关，故有如下解法．解：设M 在右准线l 上的射影为1M ．由椭圆方程可知1212a b c e ====，，． 根据椭圆的第二定义，有112MFMM =，即112ME MM =． 12MP MF MP MM +=+∴． 显然，当1P M M ，，三点共线时，1MP MM +有最小值．过P 作准线的垂线1y =-．由方程组2234121x y y ⎧+=⎨=-⎩，，解得1M ⎫-⎪⎪⎝⎭．即M的坐标为1⎫-⎪⎪⎝⎭．。
《椭圆的第二定义》课件
天文观测
椭圆形状的天体，如彗星 和星系，可以用椭圆来描 述其运动轨迹。
哈勃太空望远镜
哈勃太空望远镜的轨道是 椭圆形，用于观测遥远的 天体和星系。
椭圆在物理学中的应用
粒子加速器
粒子加速器中的粒子轨迹 是椭圆形，通过改变电场 和磁场来加速粒子。
核磁共振成像
核磁共振成像中的磁场是 椭圆形，用于检测人体内 的氢原子核。
焦半径的应用
在解决与椭圆相关的几何问题时，利用焦半径的 性质可以简化计算过程。
THANKS
感谢观看
离心率e的范围是0<e<1，当e接近0时，表示椭圆接近圆；当e接 近1时，表示椭圆变得扁平。
离心率与形状关系
离心率e决定了椭圆形状的扁平程度，是描述椭圆形状的重要参数 。
椭圆的焦半径
焦半径定义
从椭圆上的任意一点P引出到两ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ焦点的连线段， 称为焦半径。
焦半径长度
根据椭圆的性质，焦半径PF1和PF2的长度满足 PF1+PF2=2a。
椭圆的范围
总结词
椭圆的范围是由其两个焦点和椭圆上任意一点之间的距离关 系决定的。
详细描述
椭圆的两个焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于一个常数 ，这个常数等于两个焦点之间的距离。因此，椭圆被限制在 一个由两个焦点和椭圆上任意一点组成的平面内。
椭圆的光滑性
总结词
椭圆的光滑性是指其在平面上是连续且没有折线的曲线。
电子显微镜
电子显微镜中的电子轨迹 也是椭圆形，用于观察微 小物体。
椭圆在工程学中的应用
桥梁设计
桥梁的支撑结构常常采用椭圆形 ，以承受更大的负载和分散压力
。
隧道设计
隧道的截面形状常常是椭圆形，以 减少工程难度和成本。
高三数学一轮复习椭圆教案
第一讲 椭圆一、考情分析解析几何是用代数的方法解决几何问题，体现了形数结合的思想，因而这一部分的题目的综合性比较强，它要求学生既能分析图形，又能灵活地进行各种代数式和三角函数式的变形，这对学生能力的要求较高．“圆锥曲线”是解析几何的重点内容，特别是在对学生掌握坐标法的训练方面有着不可替代的作用．本讲主要是调动学生学习的主动性，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路，帮助考生培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，培养良好的个性品质，以及勇于探索、敢于创新的精神．二、知识归纳（一）椭圆的定义（1）第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数()1222||a a F F >的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．特征式：()121222||MF MF a a F F +=>．注：①若122||a F F <，则点的轨迹是线段12F F 的垂直平分线； ②若122||a F F =，则这样的点不存在．（2）第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线l 的距 离的比是常数()01e ∈，，那么这个点的轨迹叫做椭圆．其中定点叫 做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率．特征式：()101M lMF e e d →=<<．（二）椭圆的方程（1）椭圆的标准式方程：①()()()222210x m y n a b ab--+=>>；（焦点在x 轴的平行线上，中心在()m n ，的椭圆方程） ②()()()222210y n x m a b a b --+=>>．（焦点在y 轴的平行线上，中心在()m n ，的椭圆方程） （2）椭圆的参数方程：①()2222cos 10sin x a x y a b y b a b ϕϕ=⎧⇔+=>>⎨=⎩；注：ϕ角不是NOM ∠．②()()()2222cos 10sin x m a x m y n a b y n b a b θθ=+--⎧⇔+=>>⎨=+⎩． Ｐ ＰＦ１Ｆ２Ｆ（3）椭圆的向量式方程：()121222||OM OF OM OF a a OF OF -+-=>-．（三）性质：对于椭圆()222210x y a b a b+=>>而言，①范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤-，椭圆落在x a y b =±=±，组成的矩形中．②对称性：图象既关于y 轴对称，又关于x 轴对称，也关于原点对称．原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．③顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点．2(0)(0)A a A a -，，，，2(0)(0)B b B b -，，，；加两焦点12(0)(0)F c F c -，，，共有六个特殊点．21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴，长分别为22a b 、．a b 、分别为椭圆的长半轴长和短半轴长．④离心率：椭圆焦距与长轴长之比)01c e e e a =⇔=<<． 注：椭圆形状与e 的关系：01be a→→， ，椭圆变圆，直至成为极限位置的圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例；10be a→→， ，椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例．⑤椭圆的准线方程：对于12222=+by a x ，左准线21a l x c =-：；右准线22a l x c =：；对于12222=+bx a y ，下准线21a l y c =-：；上准线22a l y c =：．⑥焦准距：焦点到准线的距离c b c c a c c a p 2222=-=-=（焦参数）． ⑦通径：经过焦点且垂直于长轴的弦称之为通径，长度为22b a．⑧焦半径公式：焦点在ｘ轴上的椭圆的焦半径公式： 10MF a ex =+（左焦半径）；20MF a ex =-（右焦半径）； 焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式：10MF a ey =+（下焦半径）；20MF a ey =-（上焦半径）； （规律：左加右减，上减下加．）⑨焦点三角形：曲线上的点与焦点连线构成的三角形称焦点三角形；2cos 2tan2cos2S b e αβγαβ∆+==-；．（如何证明？） （四）椭圆系方程（焦点在x 轴的上，中心在原点）ＰＦ１Ｆ２αβγ（1）共焦点的椭圆系：()22221x y k c k k c +=>-；注：若20k c <<，则表示共焦点的双曲线系．（2）离心率相同的椭圆系：()22220x y a b λλ+=>．注：若()22220x y a bλλ-=≠，则表示共渐进线的双曲线系．三、精典例析 （一）活用定义例1：椭圆13610022=+y x 上有一点Ｐ它到椭圆的左准线距离为10，求点Ｐ到椭圆的右焦点的距离．解析：椭圆13610022=+y x 的离心率为54=e ， 根据椭圆的第二定义得，点Ｐ到椭圆的左焦点距离为：810=e ； 再根据椭圆的第一定义得，点Ｐ到椭圆的右焦点的距离为20－8＝12 ． 例2：方程2x y =++表示什么曲线？解析：设()P x y ，=即：()P x y ，到定点()11A ，的距离与它到定直线20l x y ++=：的距离之比为2， 故原方程表示以定点()11A ，为焦点，以定直线20l x y ++=：为准线的椭圆．例3：定点()()22110A F ，，，是2218x y C m +=：的焦点，Ｐ是曲线Ｃ上的动点． （1）求2PA PF +的范围； （2）求23PA PF +的最小值．解析：∵()210F ，是2218x y C m +=：的焦点，∴22198x y C +=：．（1）211266PA PF PA a PF PA PF ⎡+=+-=+-∈-⎣．（2）237PA PF PA PD AH +=+≥=．引申：1P A PA PF AP d d e--+=+≥准线准线也适用于双曲线、抛物线． 例4：求过定点()12M ，，以y 轴为准线、离心率为12e =的椭圆的左顶点Ｐ的轨迹方程．解析：设()()00P x y F x y ，，，，则：0y y =，001322x x x x x -=⇒=()2213112224x y ⎛⎫=⇔-+-= ⎪⎝⎭， 故椭圆的左顶点Ｐ的轨迹方程是()22311224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．（二）焦半径公式例5：椭圆)0( 12222>>=+b a by a x ，其上一点()3P y ，到两焦点的距离分别是6.5和3.5，求椭圆方程．解析：由椭圆的焦半径公式，得：3 6.5153 3.52a e a e a e +=⎧⇒==⎨-=⎩，，解得： 22257524c b a c ==-=，． 故所求椭圆方程为：22412575x y +=． 例6：已知Ｐ为椭圆221259x y +=上的点，且Ｐ与12F F 、的连线互相垂直，求Ｐ． 解析：由题意，得：+-20)545(x 20)545(x +＝641625720⨯=⇒x ，16812=y ，∴Ｐ的坐标为9999()())4444⎫--⎪⎪⎝⎭，，，，． 例7：椭圆22143x y +=上能否找到一点M ，使得M 到左准线的距离是它到两个焦点的距离的等比中项？解析：椭圆22143x y +=的左准线是4l x =-：，若存在，设()00M x y ，，则：()()()2000044a ex a ex x x +-=+⇒=-或0125x =-， ∵02x ≤，故不存在符合条件的点．例8：设Ｐ是以Ｏ为中心的椭圆上任意一点，2F 为右焦点，求证：以线段P F 2为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切．解析：设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，焦半径P F 2是圆1O 的直径，则：11222222OO PF PF a PF a ==-=-，∴两圆半径之差等于圆心距．故以线段P F 2为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切．（三）焦点三角形曲线上的点与焦点连线构成的三角形称焦点三角形，与曲线三角形有关的问题常常借助正（余）弦定理，借助比例性质进行处理．例9：证明：椭圆的焦点三角形中，2cos2tan 2cos 2S b e αβγαβ∆+==-；． 解析：在12F F P ∆中，()()222212121212122cos 21cos F F PF PF PF PF PF PF PF PF γγ=+-=+-+，∴21221cos b PF PF γ=+，∴22121sin sin tan 21cos 2S PF PF b b γγγγ∆===+； 在12F F P ∆中，12211212sin sin sin sin sin sin F F PF PF F F PF PF γαβγαβ+==⇒=+， ∴()cossin sin 2sin sin sin sin cos 2c e a αβαβγαβαβαβ++====-++． 例10：已知椭圆的焦点是12(10)(10)F F -，，，，Ｐ为椭圆上一点，且12F F 是1PF 和2PF 的等差中项．（1）求椭圆的方程；（2）若点Ｐ在第三象限，且1223PF F π∠=，求12tan F PF ∠． Ｆ１Ｆ２αβγP解析：（1）∵12F F 是1PF 和2PF 的等差中项． ∴121224PF PF F F +==， ∴42=a ，∴b =13422=+yx ． （２）设12F PF θ∠=，则213PF F πθ∠=-，∵)60sin(120sin sin 1221θθ-︒=︒=PF PF F F ，∴)60sin(120sin sin 2121θθ-︒+︒+=PF PF F F ．∴25sin cos )sin θθθ=⇒=+∴sin 1cos 5θθ=+，故232tan =θ，1225tan tan 3125F PF θ∠===-． （四）对称问题例11：在直线40l x y +-=：任取一点，过Ｍ且以2211612x y +=的焦点为焦点作椭圆，问Ｍ在何处时，所作椭圆的长轴长最短？并求出此椭圆．解析：法1：待求椭圆的2c =，其焦点()()122020F F -，、，在直线40l x y +-=：的同侧，2F 关于直线40l x y +-=：的对称点为()242F ，1212122a MF MF F M MF F F ''=+=+≥，∴Ｍ为直线12320F F x y '-+=：与40l x y +-=：的 焦点时，所作椭圆的长轴长最短；320534022x y M x y -+=⎧⎛⎫⇒⎨⎪+-=⎝⎭⎩，，此时，12F F '= 故待求椭圆为：221106x y +=． 法2：设待求椭圆为：22221x y a b+=，则40l x y +-=：与椭圆相切于Ｍ点时，椭圆的长轴长最短，()()22222222224081601x y a b x a x b a x y ab +-=⎧⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩， ∵40l x y +-=：与椭圆相切， ∴22016a b ∆=⇒+=，又∵224a b -=，∴22106a b ==，，故待求椭圆为：221106x y +=，此时，52x =，即5322M ⎛⎫⎪⎝⎭，． 例12：已知椭圆22143x y +=上有两个不同的点P Q 、关于直线4l y x m =+：对称，求ｍ的取值范围．解析：法1：∵点P Q 、关于直线4l y x m =+：对称， ∴14PQ k =-，设14PQ l y x b =-+：，则： 22221413816480143y x b x bx b x y ⎧=-+⎪⎪⇒-+-=⎨⎪+=⎪⎩， 21304b ∆>⇒<，21212816481313b b x x x x -+==，， ∴12122242241313x x b by y b b ++=-+=-+=； ∵PQ 的中点4121313b b M ⎛⎫⎪⎝⎭，在直线4l y x m =+：上， ∴12213413134b b m b m ⎛⎫=⋅-+⇒=- ⎪⎝⎭；∴21313441313m m ⎛⎫⎛⎫-<⇔∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，．故ｍ的取值范围是1313⎛-⎝⎭，． 法2：设()()1122P x y Q x y ，、，，PQ 的中点()M x y ，，则：2211222212121212143313134344422x y x y y y x x y x x x y y x x x y y y⎧+=⎪⎪-⎪+=⇒=-⇔-=-⇒=⎨-⎪+=⎪⎪+=⎩， ∴PQ 的中点()M x y ，在3y x =上，则：()334y xM m m y x m=⎧⇒--⎨=+⎩，， ∵PQ 的中点()3M m m --，在椭圆22143x y +=内， ∴()()22314313m m m --+<⇒<．故ｍ的取值范围是⎛ ⎝⎭．（五）范围（最值）问题例13：已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 与x 轴的正半轴交于Ａ，Ｏ是原点，若椭圆上存在一点Ｍ，使0MA OM ⋅=，求椭圆离心率的取值范围．解析：()0A a ，，设()cos sin 02M a b πϕϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，， ∵0MA OM ⋅=， ∴1cos sin cos sin -=⋅-ϕϕϕϕa b a a b ，∴222cos (1cos )cos 1110sin 1cos 1cos 2b a ϕϕϕϕϕϕ-⎛⎫===-∈ ⎪++⎝⎭，．故12e ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭． 例14：已知Ｂ是椭圆()222210x y C a b a b+=>>：的上顶点，Ｐ是椭圆上的动点，求BP 的最大值．解析：设()()cos sin 02P a b θθθπ≤≤，，则：()()()2222222222422222222cos sin 1sin sin 2sin sin 2sin sin BP a b b a b b b b a c b b a c c c θθθθθθθθ=+-=-+-+⎛⎫=--++=-++ ⎪⎝⎭ （1）若2201b e c <≤⇔≥时，2MAX a BP c =；（2）若2210b e c >⇔<<时，2MAX BP b =．综上，若22012b e c <≤⇔≥时，2MAX a BP c=；若22102b e c >⇔<<时，2MAX BP b =．（六）直线与椭圆相交问题例15：椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点()()00F c c >，的准线l 与x 轴相交于点A ，2OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点． （1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0OP OQ ⋅=，求直线PQ 的方程；（3）设()1AP AQ λλ=>，过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明：FM FQ λ=-．解析：（1）设椭圆的方程为(22221x y a a b+=>，则：222222()a c a c a c c c ⎧-=⎪⇒==⎨=-⎪⎩， 故椭圆的方程为22162x y +=，离心率e =．（2）解：(30)A ，，设直线PQ 的方程为(3)y k x =-，1122()()P x y Q x y ，，，，则：222222(3)(31)182760162y k x k x k x k x y =-⎧⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩，∴212(23)0k k ∆=->⇒<< 又 2212122218276.3131k k x x x x k k -+==++，，∵1122(3)(3)y k x y k x =-=-，，∴2212121212(3)(3)[3()9]y y k x x k x x x x =--=-++，∵0OP OQ =，∴12120x x y y +=，∴22121212[3()9]051x x k x x x x k k ⎛+-++=⇒=⇒= ⎝⎭． 故直线PQ的方程为30x --=或30x +-=． （3）证明：1122(3,),(3,).AP x y AQ x y =-=-由已知得方程组()12122211222223(3)5111262162x x y yx y x x y λλλλλ-=-⎧⎪=⎪-⎪⇒=>⎨+=⎪⎪+=⎪⎩， ∵11(20)()F M x y -，，，， ∴()11211211(2)(3)1()()22FM x y x y y y λλλλλ--=--=-+-=-=-，，，，， 2221(2)()2FQ x y y λλ-=-=，，， ∴FM FQ λ=-．例16：椭圆E 的中心在原点O ，焦点在x轴上，离心率e =()10C -，的直线l 交椭圆于A 、B 两点，且满足()2CA BC λλ=≥．（1）若λ为常数，试用直线l 的斜率()0k k ≠表示三角形OAB ∆的面积； （2）若λ为常数，当三角形OAB ∆的面积取得最大值时，求椭圆E 的方程．解析：设椭圆方程为：()012222>>=+b a by a x ，∵32==a ce ，222c b a +=，∴223b a =， 故椭圆方程为：22233b y x =+．（1）直线)1(+=x k y l ：交椭圆于()()1122A x y B x y ，，，，则：()222222221(31)633033y k x k x k x k b x y b⎧=+⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， ∴2220(31)0k b b ∆>⇒-+>，且2122631k x x k +=-+；① 221223331k b x x k -=+；②∵BC CA λ=，∴ 121122121(1)(1)(1)x x x y x y y y λλλ+=-+⎧+=---⇒⎨=-⎩，，；③∴121121212221++=+=-=∆x k y y y S OABλλ， 由①③知：)13)(1(2122+-=+k x λ，∴)0(13112≠+⋅-+=∆k k k S OAB λλ． （2））（23211113111≥⋅-+≤+⋅-+=∆λλλλλkk S OAB ， 当且仅当kk 13=时，即33±=k 时，S 取得最大值．当33±=k 时，代入①②中，得：222)1(13-+=λλb ， 故所求为()2222132(1)x y k λλ++=≥-．（七）定点（值）问题例17：已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线10x y +-=相交于A 、B 两点，且满足0OA OB ⋅=（Ｏ为坐标原点）．证明：满足上述条件的椭圆过定点22⎛ ⎝⎭，．解析：设椭圆的方程为：()()()2211222210x y a b A x y B x y a b+=>>，，，，，则：()()()22222222221021010x y a b x a x a b x y a b a b+-=⎧⎪⇒+-+-=⎨+=>>⎪⎩， ∴2201a b ∆>⇒+>，且()2221212222212a b a x x x x a b a b-+==++，，∵0OA OB ⋅=，∴()()121212120110x x y y x x x x +=⇔+--=，∴2222222221a b a b a b ⎝⎭⎝⎭+=⇔+=．故椭圆过定点⎝⎭．（八）综合应用例18：过椭圆()222210x y C a b a b+=>>：的中心的弦ＡＢ与x 轴所夹的锐角为α，将坐标平面沿x轴折成直二面角，求ＡＢ连线与x 轴成角．解析：作BC Ox 交椭圆于Ｃ，则BC 关于y 轴对称，AC 关于x 轴对称；翻折后，2ADC π∠=，据三垂线定理，知：BC AC ⊥，则ＡＢ连线与x 轴成角就等于ABC ∠；∵2cos BC OA α=，sin AC OA α=，∴tan tan 2AC ABC BCα∠==， 故ＡＢ连线与x 轴成角为arctan tan 2α⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭． 四、课后反思．。
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.5 椭圆 第2课时 直线与椭圆教学案 理 新人教A版-新
第2课时 直线与椭圆直线与椭圆的位置关系1.若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值X 围是( )A.m >1B.m >0C.0<m <5且m ≠1D .m ≥1且m ≠5 答案 D解析 方法一 由于直线y ＝kx ＋1恒过点(0，1)， 所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上， 则0<1m≤1且m ≠5，故m ≥1且m ≠5.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，mx 2＋5y 2－5m ＝0，消去y 整理得(5k 2＋m )x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0.由题意知Δ＝100k 2－20(1－m )(5k 2＋m )≥0对一切k ∈R 恒成立， 即5mk 2＋m 2－m ≥0对一切k ∈R 恒成立， 由于m >0且m ≠5，∴5k 2＋m －1≥0， ∴m ≥1且m ≠5.2.已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点.解 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，①x 24＋y22＝1，②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点.(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点. (3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l 与椭圆C 没有公共点.思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数. (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.弦长及中点弦问题命题点1 弦长问题例1斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A.2B.455C.4105D.8105答案 C解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4t 2－15.∴|AB |＝2|x 1－x 2| ＝2x 1＋x 22－4x 1x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×4t 2－15＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105.命题点2 中点弦问题例2已知P (1，1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________________. 答案 x ＋2y －3＝0解析 方法一 易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y －1＝k (x －1)，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －1，x 24＋y22＝1，消去y 得，(2k 2＋1)x 2－4k (k －1)x ＋2(k 2－2k －1)＝0， ∴x 1＋x 2＝4k k －12k 2＋1，又∵x 1＋x 2＝2， ∴4kk －12k 2＋1＝2，解得k ＝－12. 经检验，k ＝－12满足题意.故此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.方法二 易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k ，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1，①x 224＋y 222＝1，②①－②得x 1＋x 2x 1－x 24＋y 1＋y 2y 1－y 22＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. 经检验，k ＝－12满足题意.∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题.涉及中点弦的问题时用“点差法”解决，往往会更简单.记住必须检验.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[y 1＋y22－4y 1y 2](k 为直线斜率).(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式. 跟踪训练1(1)已知椭圆两顶点A (－1，0)，B (1，0)，过焦点F (0，1)的直线l 与椭圆交于C ，D 两点，当|CD |＝322时，则直线l 的方程为________. 答案2x －y ＋1＝0或2x ＋y －1＝0.解析 由题意得b ＝1，c ＝1. ∴a 2＝b 2＋c 2＝1＋1＝2. ∴椭圆方程为y 22＋x 2＝1.若直线l 斜率不存在时，|CD |＝22，不符合题意. 若l 斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＋2x 2＝2，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0.Δ＝8(k 2＋1)>0恒成立.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2). ∴x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2. ∴|CD |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝22k 2＋1k 2＋2.即22k 2＋1k 2＋2＝322，解得k 2＝2，∴k ＝± 2.∴直线l 方程为2x －y ＋1＝0或2x ＋y －1＝0.(2)(2019·某某模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP的直线l 交椭圆于A ，B 两点，且AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，则椭圆的离心率为( )A.22B.12C.14D.32答案 A解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).∵AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝1.∵PF ∥l ，∴k PF ＝k l ＝－b c ＝y 1－y 2x 1－x 2.∵x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1. ∴x 1＋x 2x 1－x 2a 2＋y 1＋y 2y 1－y 2b2＝0，∴2a 2＋－bc b2＝0，可得2bc ＝a 2，∴4c 2(a 2－c 2)＝a 4，化为4e 4－4e 2＋1＝0， 解得e 2＝12，又∵0<e <1，∴e ＝22. 直线与椭圆的综合问题例3(2019·某某)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率. 解 (1)设椭圆的半焦距为c ，依题意知，2b ＝4，c a ＝55， 又a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5，b ＝2，c ＝1. 所以，椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.(2)由题意，设P (x P ，y P )(x P ≠0)，M (x M ，0).设直线PB 的斜率为k (k ≠0)，又B (0，2)，则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0，可得x P ＝－20k 4＋5k2，代入y ＝kx ＋2得y P ＝8－10k24＋5k2，进而直线OP 的斜率为y P x P ＝4－5k 2－10k.在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k.由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k2.由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2＝－1，化简得k 2＝245，从而k ＝±2305.所以，直线PB 的斜率为2305或－2305.思维升华(1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y (或x )得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解.(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形. 跟踪训练2已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，短轴的两个端点分别为B 1，B 2. (1)若△F 1B 1B 2为等边三角形，求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的短轴长为2，过点F 2的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且F 1P →⊥F 1Q →，求直线l 的方程.解 (1)由题意知，△F 1B 1B 2为等边三角形，则⎩⎨⎧c ＝3b ，c ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3b 2，a 2－b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝43，b 2＝13，故椭圆C 的方程为3x 24＋3y 2＝1.(2)易知椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1，当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝1，不符合题意； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 22＋y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，Δ＝8(k 2＋1)>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－12k 2＋1，F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，F 1Q →＝(x 2＋1，y 2)，因为F 1P →⊥F 1Q →，所以F 1P →·F 1Q →＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋k 2(x 1－1)(x 2－1)＝(k 2＋1)x 1x 2－(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝7k 2－12k 2＋1＝0，解得k 2＝17，即k ＝±77，故直线l 的方程为x ＋7y －1＝0或x －7y －1＝0.1.若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( ) A.至多为1B.2C.1D.0 答案 B 解析 由题意知，4m 2＋n2>2，即m 2＋n 2<2， ∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部， 故所求交点个数是2.2.直线y ＝kx ＋1，当k 变化时，此直线被椭圆x 24＋y 2＝1截得的最大弦长是( )A.2B.433C.4D.不能确定答案 B解析 直线恒过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x ，y )， 则弦长为x 2＋y －12＝4－4y 2＋y 2－2y ＋1＝－3y 2－2y ＋5，当y ＝－13时，弦长最大为433.3.过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.43B.53C.54D.103答案 B解析 由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1，0)，则直线AB 的方程为y ＝2x －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得交点坐标为(0，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，不妨设A 点的纵坐标y A ＝－2，B 点的纵坐标y B ＝43，∴S △OAB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－43＝53， 故选B.4.已知椭圆x 236＋y 29＝1以及椭圆内一点P (4，2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A.12B.－12C.2D.－2 答案 B解析 设弦所在直线的斜率为k ，弦的端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1，两式相减，得x 1＋x 2x 1－x 236＋y 1＋y 2y 1－y 29＝0，所以2x 1－x 29＝－4y 1－y 29，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. 经检验，k ＝－12满足题意.故弦所在直线的斜率为－12.故选B.5.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点，若AB 的中点为M (1，－1)，则椭圆E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1 答案 D解析 k AB ＝0＋13－1＝12，k OM ＝－1，由k AB ·k OM ＝－b 2a 2，得b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2.∵c ＝3，∴a 2＝18，b 2＝9，椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.6.(2019·某某模拟)椭圆ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ba的值为( ) A.32B.233 C.932 D.2327答案 B解析 方法一 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1， 即ax 21－ax 22＝－(by 21－by 22)，则by 21－by 22ax 21－ax 22＝－1，b y 1－y 2y 1＋y 2a x 1－x 2x 1＋x 2＝－1，由题意知，y 1－y 2x 1－x 2＝－1， 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22与原点的直线的斜率为32，即y 1＋y 2x 1＋x 2＝32， ∴b a×(－1)×32＝－1， ∴b a ＝233，故选B. 方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x ，ax 2＋by 2＝1消去y ，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0， 可得AB 中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋b ，a a ＋b ，∴k OP ＝a b ＝32，∴b a ＝233. 7.直线y ＝kx ＋k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是________.答案 相交解析 由于直线y ＝kx ＋k ＋1＝k (x ＋1)＋1过定点(－1，1)，而(－1，1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交.8.设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若△F 2AB 是面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为__________. 答案x 29＋y 26＝1 解析 ∵△F 2AB 是面积为43的等边三角形，∴AB ⊥x 轴，∴A ，B 两点的横坐标为－c ，代入椭圆方程，可求得|F 1A |＝|F 1B |＝b 2a.又|F 1F 2|＝2c ，∠F 1F 2A ＝30°，∴b 2a ＝33×2c .① 又2F AB S △＝12×2c ×2b2a＝43，②a 2＝b 2＋c 2，③由①②③解得a 2＝9，b 2＝6，c 2＝3， ∴椭圆C 的方程为x 29＋y 26＝1.9.设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝0(O为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是________. 答案 1解析 ∵(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝(OP →＋F 1O →)·PF 2→＝F 1P →·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°. 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ， 则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12， ∴2mn ＝4，mn ＝2， ∴12F PF S △＝12mn ＝1.10.(2020·某某部分重点中学联考)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过左焦点F 1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且|AF 1|＝3|BF 1|，|AB |＝|BF 2|，则椭圆C 的离心率为________. 答案105解析 设|BF 1|＝k ，则|AF 1|＝3k ，|BF 2|＝4k .由|BF 1|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，得2a ＝5k ，|AF 2|＝2k .在△ABF 2中，cos∠BAF 2＝4k 2＋2k 2－4k 22×4k ×2k＝14， 又在△AF 1F 2中，cos∠F 1AF 2＝3k 2＋2k 2－2c22×3k ×2k ＝14， 所以2c ＝10k ，故离心率e ＝ca ＝105. 11.已知椭圆C ：x 22＋y 24＝1，过椭圆C 上一点P (1，2)作倾斜角互补的两条直线PA ，PB ，分别交椭圆C 于A ，B 两点，则直线AB 的斜率为________.答案 2 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，同时设PA 的方程为y －2＝k (x －1)，代入椭圆方程化简，得(k 2＋2)x 2－2k (k －2)x ＋k 2－22k －2＝0，显然1和x 1是这个方程的两解，因此x 1＝k 2－22k －2k 2＋2，y 1＝－2k 2－4k ＋22k 2＋2， 由－k 代替x 1，y 1中的k ，得x 2＝k 2＋22k －2k 2＋2，y 2＝－2k 2＋4k ＋22k 2＋2， 所以y 2－y 1x 2－x 1＝ 2. 故直线AB 的斜率为 2. 12.设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，E 的离心率为22，点(0，1)是E 上一点.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，且BF 1→＝2F 1A →，求直线BF 2的方程.解 (1)由题意知，b ＝1，且e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12， 解得a 2＝2，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)由题意知，直线AB 的斜率存在且不为0，故可设直线AB 的方程为x ＝my －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧ x 22＋y 2＝1，x ＝my －1，得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0，则y 1＋y 2＝2m m 2＋2，① y 1y 2＝－1m 2＋2，② 因为F 1(－1，0)，所以BF 1→＝(－1－x 2，－y 2)，F 1A →＝(x 1＋1，y 1)，由BF 1→＝2F 1A →可得，－y 2＝2y 1，③由①②③可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，±144， 则2BF k ＝146或－146， 所以直线BF 2的方程为14x －6y －14＝0或14x ＋6y －14＝0.13.(2019·全国100所名校联考)已知椭圆C ：x 2＋y 2b 2＝1(b >0，且b ≠1)与直线l ：y ＝x ＋m 交于M ，N 两点，B 为上顶点.若|BM |＝|BN |，则椭圆C 的离心率的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫63，1D.⎝⎛⎦⎥⎤0，63 答案 C解析 设直线y ＝x ＋m 与椭圆x 2＋y 2b 2＝1的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋m ，x 2＋y 2b 2＝1，得(b 2＋1)x 2＋2mx ＋m 2－b 2＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m b 2＋1，x 1x 2＝m 2－b 2b 2＋1， Δ＝(2m )2－4(b 2＋1)(m 2－b 2)＝4b 2(b 2＋1－m 2)>0.设线段MN 的中点为G ，知G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m b 2＋1，b 2m b 2＋1， 因为|BM |＝|BN |，所以直线BG 垂直平分线段MN ，所以直线BG 的方程为y ＝－x ＋b ，且经过点G ，可得b 2m b 2＋1＝m b 2＋1＋b ，解得m ＝b 3＋b b 2－1. 因为b 2＋1－m 2>0，所以b 2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3＋b b 2－12>0， 解得0<b <33， 因为e 2＝1－b 2，所以63<e <1. 14.(2019·某某调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，斜率为－12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.若△ABF 1的重心为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 6，c 3，则椭圆C 的离心率为________.答案 63解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1， 两式相减得x 1－x 2x 1＋x 2a 2＋y 1－y 2y 1＋y 2b 2＝0.(*) 因为△ABF 1的重心为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 6，c 3， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2－c 3＝c 6，y 1＋y 23＝c 3，故⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝3c 2，y 1＋y 2＝c ，代入(*)式得3x 1－x 2c 2a 2＋y 1－y 2c b 2＝0， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－3b 22a 2＝－12，即a 2＝3b 2， 所以椭圆C 的离心率e ＝63. 15.已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则椭圆在其上一点A (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.试运用该性质解决以下问题，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，其焦距为2，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，点B 为C 1在第一象限中的任意一点，过B 作C 1的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于C ，D 两点，则△OCD 面积的最小值为( ) A.22B.2C.3D.2 答案 B解析 由题意可得2c ＝2，即c ＝1，a 2－b 2＝1，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22代入椭圆方程，可得1a 2＋12b 2＝1， 解得a ＝2，b ＝1，即椭圆的方程为x 22＋y 2＝1，设B (x 2，y 2)， 则椭圆C 1在点B 处的切线方程为x 22x ＋y 2y ＝1， 令x ＝0，得y D ＝1y 2，令y ＝0，可得x c ＝2x 2， 所以S △OCD ＝12·1y 2·2x 2＝1x 2y 2， 又点B 为椭圆在第一象限上的点，所以x 2>0，y 2>0，x 222＋y 22＝1， 即有1x 2y 2＝x 222＋y 22x 2y 2＝x 22y 2＋y 2x 2≥2x 22y 2·y 2x 2＝2， 即S △OCD ≥2，当且仅当x 222＝y 22＝12， 即点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22时，△OCD 面积取得最小值2，故选B. 16.已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且椭圆C 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆C 的标准方程； (2)若与直线OP (O 为坐标原点)平行的直线交椭圆C 于A ，B 两点，当OA ⊥OB 时，求△AOB 的面积.解 (1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)直线OP 的方程为y ＝32x ，设直线AB 的方程为y ＝32x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).将直线AB 的方程代入椭圆C 的方程并整理得x 2＋3mx ＋m 2－1＝0，由Δ＝3m 2－4(m 2－1)>0，得m 2<4， 所以x 1＋x 2＝－3m ，x 1x 2＝m 2－1. 由OA ⊥OB ，得OA →·OB →＝0，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 1＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋m ＝74x 1x 2＋32m (x 1＋x 2)＋m 2＝74(m 2－1)＋32m ·(－3m )＋m 2＝54m 2－74＝0，得m 2＝75. 又|AB |＝1＋34x 1＋x 22－4x 1x 2＝72·4－m 2， O 到直线AB 的距离d ＝|m |1＋34＝|m |72， 所以S △AOB ＝12·|AB |·d ＝12×72×4－m 2×|m |72＝9110.。
高三数学第一轮复习教案第50课时—椭圆(学案)
高三数学第一轮复习讲义（50） 2004.11.4椭 圆一．复习目标：熟练掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质及参数方程．二．知识要点：1．椭圆的定义（1）第一定义： ．（2）第二定义： ．2．标准方程： ．3．几何性质： ．4．参数方程 ．三．课前预习：1．设一动点P 到直线3x =的距离与它到点(1,0)A 的距离之比为3，则动点P 的轨迹方程是 （ ）()A 22132x y += ()B 22132x y -= ()C 22(1)132x y ++= ()D 22123x y += 2．曲线192522=+y x 与曲线)9(192522<=-+-k k y k x ()A 有相等的长、短轴 ()B ()C 有相等的离心率 ()D 3．已知椭圆的长轴长是短轴长的3方程是 ．4．底面直径为12cm 的圆柱被与底面成30o该椭圆的长轴长 ，短轴长 ，离心率为5．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为35针方向旋转2π后，所得新椭圆的一条准线方程是 ；新椭圆方程是 ．四．例题分析：例1．设,A B 是两个定点，且||2AB =，动点M 到A 点的距离是4，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，求动点P 的轨迹方程．例2．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，P 为椭圆上除长轴端点外的任一点，12,F F 为椭圆的两个焦点，（1）若α=∠21F PF ，β=∠21F PF ，求证：离心率2cos 2cos βαβα-+=e ；（2）若θ221=∠PF F ，求证：21PF F ∆的面积为2tan b θ⋅．例3．设椭圆2211x y m +=+的两个焦点是12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，且椭圆上存在点P ，使得直线1PF 与直线2PF 垂直．（1）求实数m 的取值范围；（2）设l 是相应于焦点2F 的准线，直线2PF 与l 相交于点Q，若22||2||QF PF =-2PF 的方程． 五．课后作业： 班级 学号 姓名1．P 是椭圆14522=+y x 上的一点，1F 和2F 是焦点，若1230F PF ∠=o ，则12F PF ∆的面积等于 （ ）()A 3316 ()B )32(4- ()C )32(16+ ()D 16 2．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为 F ，(,0),(0,)A a B b -为椭圆的两个顶点，若F 到AB，则椭圆的离心率为 （ ）()A 77- ()B 77+ ()C 12 ()D 453． 椭圆C 与椭圆14)2(9)3(22=-+-y x ，关于直线0x y +=对称，则椭圆C 的方程是___________________．4．到两定点12(3,0),(9,0)F F 的距离和等于10的点的轨迹方程是 ．5．已知椭圆19822=++y a x 的离心率21=e ，则a 的值等于 ． 6．如图，PMN ∆中，1tan 2PMN ∠=,tan 2PNM ∠=-,PMN ∆面积为1，建立适当的坐标系，求以M 、N 为焦点，经过点P 的椭圆方程．7．AB 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中不平行于对称轴的一条弦，M 是AB 的中点， O 是椭圆的中心，求证：OM AB k k ⋅为定值．8．已知椭圆13422=+y x ，能否在此椭圆位于y 轴左侧的部分上找到一点M ，使它到左M NP,F F距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找准线的距离为它到两焦点12到，请说明理由．。
2019-2020年高考数学一轮复习椭圆的定义及其几何性质一教学案
2019-2020年高考数学一轮复习椭圆的定义及其几何性质一教学案圆的几何性质解决一些问题。
二、知识要点：1、椭圆的两种定义(1) 平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的，之间的距离叫做焦距．注：①当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是．②当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹不存在．(2) 椭圆的第二定义：到的距离与到的距离之比是常数，且的点的轨迹叫椭圆．定点F是椭圆的，定直线l是，常数e是2．椭圆的标准方程(1) 焦点在轴上的椭圆标准方程是：，其中( > >0，且 )(2) 焦点在轴上的椭圆标准方程是，其中a，b满足：．3．椭圆的几何性质(对,a > b >0进行讨论)(1) 范围：≤ x≤，≤ y≤(2) 对称性：对称轴方程为；对称中心为．(3) 顶点坐标：，焦点坐标：，长半轴长：，短半轴长：；准线方程：．(4) 离心率： ( 与的比)，，越接近1，椭圆越；越接近0，椭圆越接近于．(5) 焦半径公式：设分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则，= ．(6) 椭圆的参数方程为．三、课前热身=为1102、椭圆的焦距为2，则m=________3、已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点若，则=______________4、椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的________倍四、典型例题例1、(1)长轴长是短轴长的3倍，并且椭圆经过点A（-3，）(2)和椭圆共准线，且离心率为．(3)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点(4) 求经过两点的椭圆标准方程例2、已知、是椭圆的两个焦点. P为椭圆上一点，，（1）求椭圆离心率的范围；（2）求证：的面积只与椭圆的短轴长有关。
若存在点P，使，求椭圆的离心率的取值范围；若四边形ABCD的内切圆恰好过焦点，求椭圆的离心率。
数学第四册(综高)19.1.4椭圆的第二定义
备注§19.1.4 椭圆的第二定义教学目标：1.理解椭圆的第二定义2.会用椭圆第二定义解决相关问题教学重点：椭圆的第二定义教学难点：椭圆的第二定义的应用新课讲授：一、复习1.椭圆的第一定义：2.椭圆的标准方程：二、新课讲授椭圆第二定义：动点M与定点F（c,0）的距离和它到定直线2:al xc=的距离之比为一个常数（a>c>0）,则动点M的轨迹为，定直线l叫做，准线与长轴所在直线。
（定点和定直线位于坐标轴同侧）例1平面内，动点M与定点F（3,0）的距离和它到定直线25:3l x=的距离之比为35，求动点M的轨迹方程。
例2根据下列条件，求椭圆的标准方程1）35e=，准线方程为503x=±；（2）一条准线为254y=-，短轴长为6例3在椭圆2214xy+=上一点P到右焦点的距离为12，求它到左准线的距离。
例4在椭圆221259x y+=上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点的距离备注的两倍。
三、课堂练习1 长轴长是短轴长的两倍，一条准线方程为4x=，则此椭圆方程为2 椭圆的两个焦点三等分它的两准线间的距离，则椭圆的离心率e =3 椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，准线方程为18y=±，椭圆上一点到两焦点的距离分别为10和14，则椭圆方程为4 中心在原点，焦点到相应准线的距离为3，离心率为0.5的椭圆标准方程为5.平面内，动点M与定点F（0,-4）的距离和它到定直线25:4l y=的距离之比为45，求动点M的轨迹方程。
四、课堂小结：五课后作业1 椭圆22221x ya b+=的准线方程为；2 椭圆22194x y+=的两准线之间的距离为；3 椭圆221117x y+=上一点到准线112x=-与焦点（－2，0）的距离之比为；4 椭圆221259x y+=上点P到右焦点的最大值为，最小值为。
2019年高中数学 2.3第03课时 椭圆第二定义学案 理 新人教A版选修2-1
2019年高中数学 2.3第03课时椭圆第二定义学案理新人教A版选修2-1学时：03课型：新受课学习目标：椭圆第二定义、准线方程；探究过程：复习回顾1．椭圆的长轴长为，短轴长为，半焦距为，离心率为，焦点坐标为，顶点坐标为，（准线方程为。
2．短轴长为8，离心率为的椭圆两焦点分别为、，过点作直线交椭圆于A、B两点，则的周长为。
引入课题【习题4（教材P50例6）】椭圆的方程为，M1，M2为椭圆上的点①求点M1（4，2.4）到焦点F（3，0）的距离 .②若点M2为（4，y0）不求出点M2的纵坐标，你能求出这点到焦点F（3，0）的距离吗？问题1：你能将所得函数关系叙述成命题吗？（用文字语言表述）问题2：你能写出所得命题的逆命题吗？并判断真假？（逆命题中不能出现焦点与离心率）【引出课题】椭圆的第二定义当点与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数是椭圆的离心率．对于椭圆，相应于焦点的准线方程是．根据对称性，相应于焦点的准线方程是．对于椭圆的准线方程是．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．由椭圆的第二定义焦半径公式：由椭圆的第二定义推导典型例题例1、求椭圆的右焦点和右准线；左焦点和左准线；小结：求椭圆的准线方程一定要化成标准形式，然后利用准线公式即可求出例2、椭圆上的点到左准线的距离是，求到左焦点的距离为 .变式：求到右焦点的距离为 .小结：椭圆第二定义的应用和第一定义的应用例1：点P与定点A（2，0）的距离和它到定直线的距离的比是1：2，求点P的轨迹；解法一：解法二：变式：点P与定点A（2，0）的距离和它到定直线的距离的比是1：2，求点P的轨迹；解法一：解法二：问题1：求出椭圆方程和的长半轴长、短半轴长、半焦距、离心率；问题2：求出椭圆方程和长轴顶点、焦点、准线方程；例4、设AB 是过椭圆右焦点的弦，那么以AB 为直径的圆必与椭圆的右准线（ ）A.相切B.相离C.相交D.相交或相切例5、已知点为椭圆的上任意一点，、分别为左右焦点；且求的最小值变式1：的最小值；变式2：的最小值；巩固练习1．已知 是椭圆 上一点，若 到椭圆右准线的距离是 ，则 到左焦点的距离为_____________．2．若椭圆 的离心率为 ，则它的长半轴长是______________．教学反思1．椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程；2．椭圆定义的简单运用；3．离心率的求法以及焦半径公式的应用；课后作业1.例题5的两个变式；2. 已知A ，B 为椭圆 上的两点， 是椭圆的右焦点．若 ， 的中点到椭圆左准线的距离是 ，试确定椭圆的方程．课后思考：1．方程|2|)1()1(222++=-+-y x y x 表示什么曲线？2.、如图把椭圆的长轴AB 分成8等分，过每个等分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，F 是椭圆的一个焦点，则||||||721F P F P F P +++ =答案提示：例5：解：左准线：，作于点D ，记由第二定义可知： ⇒ ⇒ 故有||||||||35||1MD MA d MA MF MA +=+=+ 所以有当A 、M 、D 三点共线时，|MA|+|MD|有最小值：即的最小值是变式1：的最小值； 解：283283)||35||(3||5||311=⨯=+=+MF MA MF MA 变式2：的最小值； 解：52832853|)|35|(|53||||5311=⨯=+=+MF MA MF MA 巩固练习答案：1． 2．1或2课后作业：解：由椭圆方程可知 、两准线间距离为 ．设 ， 到右准线距离分别为 ， ，由椭圆定义有 ，所以，则 ， 中点 到右准线距离为 ，于是 到左准线距离为 ， ，所求椭圆方程为 ．课后思考： 1.解：222|2|)1()1(22=++-+-y x y x ；即方程表示到定点的距离与到定直线的距离的比常数（且该常数小于1）方程表示椭圆2.解法一：，设的横坐标为，则不妨设其焦点为左焦点 由得i i ex a c a x e F P i i i 432)455(535)(||2+=+-⋅+=+=+= 35)721(4372||||||721=++++⨯=+++ F P F P F P 解法二：由题意可知和关于轴对称，又由椭圆的对称性及其第一定义可知，同理可知，，故357||||||721==+++a F P F P F P2019年高中数学 2.3第04课时 椭圆的简单几何性质学案 理 新人教A版选修2-1学时：04课型：新受课学习目标：了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；（1） 复习和预习：知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质．提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其它特征性质来研究曲线的几何性质．（2）椭圆的简单几何性质①范围：由椭圆的标准方程可得，，进一步得：，同理可得：，即椭圆位于直线和所围成的矩形框图里；②对称性：由以代，以代和代，且以代这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以轴和轴为对称轴，原点为对称中心；③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率（），⎩⎨⎧→→→椭圆图形越扁时当01a ，，b ，c e ；⎩⎨⎧→→→椭圆越接近于圆时当a ，b ，c e 00 ． （3）例题讲解与引申、扩展例4： 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．扩展：已知椭圆的离心率为，求的值．解法剖析：例5： 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对对称的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上，由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知，，．建立适当的坐标系，求截口所在椭圆的方程．例6:如图，设与定点的距离和它到直线：的距离的比是常数，求点的轨迹方程．分析：若设点，则，到直线：的距离，则容易得点的轨迹方程．引申：（用《几何画板》探究）课堂练习：第49页6、7、8课学小结：课后作业：第50页1、2、3。
(word完整版)高中数学2.2.1椭圆的第二定义教案新人教A版选修2-1
椭圆的第二定义的距离表示成点M 横坐标x 的函数吗?问题1：你能将所得函数关系叙述成命题吗？(用文字语言表述)2椭圆上的点M 到右焦点F(c,O)的距离与它到定直线x a 的距离的比等c于离心率c a 问题2:你能写出所得命题的逆命题吗？并判断真假？(逆命题中不能 出现焦点与离心率)2动点M 到定点F(c,O)的距离与它到定直线x —的距离的比等于常数c c(a c)的点的轨迹是椭圆. a【引出课题】椭圆的第二定义当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 e c (0 e 1)时，这个点的轨迹是椭圆•定点是椭圆的焦点，定直线a叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率.|MF | 169 \ 2513 5【推广】你能否将椭圆2y2 1上任 b 2点 M(x,y)到焦点 F(c,O)(c 0)解 ：2x ~^2~ a2y b 21|MF |,x 2 2cx 2c b 2 b 2\a 222.c .c . a . e| x a . | x a | | x | | a a c c 代入消去y 2 得2对于椭圆耸a2y b 21，相应于焦点F(c,0)的准线方程是x2—.根据对称性，相应F ( c,0)的准线方程是x2y 2 a|MF| Jx c)2 y 2(C x a)2.a的准线方程是y1 可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的 比，这就是离心率的几何意义.由椭圆的第二定义|MF|e 可得：右焦半径公式为d2| MF 右|ed e | x — | a ex ； 左焦半径公式为 c2a | MF 左 | ed e | x ( 一) | a exc典型例题2 2例1、椭圆X y1上的点M 到左准线的距离是2.5，求M 到左焦点25 16 的距离为变式：求M 到右焦点的距离为 _________ . ____另解：点 M 到左准线的距离是 2.5，所以点 M 到右准线的距离为a 2 50 5 85 2— 2.5——一 ——c 3 2 6小结：椭圆第二定义的应用和第一定义的应用例2点P 与定点A (2, 0)的距离和它到定直线x 8的距离的比是1： 2,求点P的轨迹；( 2)221解法一：设P(x, y)为所求轨迹上的任一点，则一x— 仝 -由化简 |x 8| 22解法二：因为定点A (2, 0)所以c 2，定直线x 8所以x a 8解解：记椭圆的左右焦点分别为 F I ,F 2到左右准线的距离分别为d i ,d 2由椭圆 的第IMF | |MF 1 | c e ------- edd 1 a| MF 1 | ed 1义 可 知 3 2.5 1.5 | MF 1 | 1.55| MF 1 | | MF 2 | 2a10 |MF |IMF ? | d 2 e | MF 21 ed 23 85 5 68.52得X 得—162；2 故所的轨迹是椭圆 3 5又由椭的第一定义可知:小结：以后有涉及到“动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常 数时”最好的方法是采用求轨迹方程的思路 ，但是这种方法计算量比较 大；解法二运算量比较小，但应注意到会不会是标准方程，即如果三个数据 可以符合课本例4的关系的话，那么其方程就是标准方程，否则非标准 方程，则只能用解法一的思维来解。
第三高考数学一轮复习 椭圆教案
诚西郊市崇武区沿街学校第三中学2021届高考数学一轮复习椭圆〔1〕教案教学目的:1.能理解椭圆的定义,明确焦点焦距的概念;2.能由椭圆的定义导出椭圆的标准方程教学重,难点:椭圆的定义及标准方程教学过程:一. 问题情境:生活中存在着大量的椭圆,比方:餐桌等情境1:汽车储油罐的横切面的外轮廓线的形状是椭圆,怎样设计才能准确地制造情境2:把一个圆压扁了,像一个椭圆,它终究是不是椭圆问题:什么才是椭圆二. 建构教学:1.椭圆的定义:平面内到两个定点12,F F 的间隔之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点12,F F 叫做椭圆的焦点,两焦点之间的间隔叫做椭圆的焦距即P 为椭圆上的任意一点,那么有注:椭圆满足的条件：(1)平面内假设把平面内去掉,那么轨迹是什么(2)椭圆上的点到两个焦点的间隔之和为常数，记为122PF PF a +=，焦距记为2c当22a c >时是________；当22a c =时是____；当22a c <时2.椭圆的标准方程：〔1〕回忆求圆的标准方程的根本步骤建系→设点→建立等量关系→代入坐标→化简〔2〕如何建立坐标系可以使方程的形式简单？当焦点在x 轴上时：①建系：②设点：③建立关系式：根据椭圆的定义，知④代入坐标⑤化简归纳：明确椭圆的两种标准方程的异同点〔1〕方程的右边都是1；〔2〕在两个方程中，总有0a b >>〔3〕,,a b c 的关系式〔4〕怎么由椭圆的标准方程判断焦点在哪个轴上？三．数学运用〔一〕根底训练：1.写出适宜以下条件的椭圆的标准方程(1)4,3ab ==,焦点在x 轴上(2)1,b c ==焦点在y 上2.椭圆的方程为22136100x y +=,那么a =,b =,c =,焦点的坐标为 焦距为,假设此椭圆上一点P 到焦点1F 的间隔为8,那么点P 到另一个焦点2F 的间隔等于3.假设动点P 到两个定点12(4,0),(4,0)F F -的间隔之和为8,那么动点P 的轨迹为()A 椭圆B 线段12F FC 直线12F FD 不存在4.求以下椭圆的焦点坐标: (1)2219x y +=(2)221312x y += (3)2224x y +=(4)22169144x y +=(二)例题讲解:例1一个油罐车的储油罐的横切面的外轮廓线时一个椭圆,它的焦距为m ，外轮廓线上的点到两个焦点之和为3m ，求这个椭圆的标准方程。
2010-2011江苏高考第一轮复习椭圆教案
椭圆教学目标：掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质 高考要求：B 级 教学过程： 一、 知识梳理1、椭圆的定义：2、椭圆的标准方程及几何意义二、课前练习：1、若椭圆2212x y m+=的离心率为12，则实数m 等于2、如果方程222xky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为3、若椭圆短轴一端点到椭圆一焦点的距离是该焦点到同侧长轴一端点距离的3倍，则椭圆的离心率为4、已知P 是椭圆2212521xy +=上一点，M 、N 分别为圆22(2)1x y ++=和圆22(2)1x y -+=上的点，则PMPN +的最大值为5、如图，P 是椭圆221259x y +=上任一点，F 时椭圆的的左焦点，且1()2OQ OP OF =+ ，||4OQ =则点P 到椭圆的左准线的距离为 三、例题讲解例1、设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F,上顶点为A ，过点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆C与x 轴正半轴于点P ，且85AP PQ =（1）求椭圆C 的离心率（2）若过A 、Q 、F 三点的椭圆恰好与直线:30l x +=相切，求椭圆C 的方程例2、点A 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>短轴位于x 轴下方的端点，过A 作斜率为1的直线交椭圆于B 点，P 点在y 轴上且//PB x 轴，9AB AP ⋅=（1）若点P 的坐标为(0,1)，求椭圆C 的方程 （2）若点P 的坐标为(0,)t ，求t 的取值例3、（1）椭圆22:142x y C +=上一动点00(,)P x y ，关于直线2y x =的对称点为111(,)P x y ，求1134x y -的取值范围（2）直线:2l y kx =+（k 为常数）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上顶点B 和左焦点F，直线l 被圆224x y +=截得的弦长为d，若d ≥e 的取值范围例4、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4，离心率为12，点P 是椭圆上异于顶点上任意一点，过点P作椭圆的切线l ，交y 轴于点A ，直线'l 过点P 且垂直于l ，交y 轴于B（1）求椭圆的方程 （2）试判断以AB 为直径的圆能否经过定点？若能，求出定点坐标，若不能，请说明理由四、课后练习1、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点12),(P P ，则椭圆方程为2、椭圆2221(4)x y a a+=>的离心率取值范围为3、如图，A 、B 、C 分别为22221(0)x y a b a b+=>>的顶点与焦点，若90ABC ∠=，则该椭圆的离心率为4、点P 是椭圆2212516x y +=上的任一点，1F 、2F 是它的两个焦 点若1260F PF ∠=，则12PF F 的面积为5、若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上存在一点M，使12F M F M ⊥，则椭圆的离心率的范围为6、椭圆221259x y +=上的一点P 到两个焦点的距离之积为m ，则m 最大时，P 点的坐标 为7、已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，若椭圆上存在一点P ，使1221sin sin a cPF F PF F =∠∠，则该椭圆的离心率取值范围是 8、如图，在平面直角坐标系xOy 中，1A 、2A 、1B 、2B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于T，线段OT 与椭圆的的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为9、如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线2AF 交椭圆于另一点B（1）若190F AB ∠=，求椭圆的离心率（2）若22AF FB = ，132AF AB ⋅=,求椭圆的方程10、在平面直角坐标系中，已知椭圆22195x y +=的左、右顶点为A ,B ，右焦点为F ，设过点(,)T t m 的直线TA 、TB ，与椭圆分别交于点11(,)M x y 、，22(,)N x y（1）设动点P 满足224PF PB -=，求点P 的轨迹（2）设12x =，213x =，求点T 的坐标11、若椭圆221axby +=与直线1x y +=交于A 、B 两点，M为AB 中点，直线OM (O 为原点)的斜率为2，又OA OB ⊥，求椭圆的方程12、已知A 、B 、D 三点不在同一直线上，且(2,0)A -，(2,0)B ，||2AD =,1()2AE AB AD =+（1）求点E 的轨迹方程 （2）过A 作直线交以A 、B 为焦点的椭圆于M 、N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线MN与点E 的轨迹相切，求椭圆的方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
江苏省泰兴市第三中学2015届高考数学一轮复习 椭圆的第二定义教案
编号：025 椭圆的第二定义 一、教学目标：
使学生掌握求适合条件的椭圆的标准方程的方法；使学生理解椭圆的第二定义，椭圆的准线的定义，使学生掌握椭圆的准线方程并能应用准线方程判断椭圆的焦点位置；培养学生对立统一的观点. 二、教学重点：椭圆的第二定义，准线方程及其方程的应用 三、教学难点：椭圆准线方程的应用 四、引入新课：
1、写出椭圆22169144x y +=中,x y 的范围，长轴和短轴长，离心率，半焦距的大小，焦点坐标及顶点坐标
2、椭圆的第一定义：_________________________________
椭圆的标准方程:_______________ _______________
求轨迹方程的方法：方法1___________ 方法2__________ 五、建构教学
已知点(,)P x y 到定点(,0)F c 的距离与它到定直线2
:a l x c
=的距离的比是常数(0)c a c a >>，求点P 的
轨迹
1、椭圆的第二定义：
_______________________________________________ （注意点：焦点与准线要相对应）
2、定点称为____________，定直线为______________
3、中心O 到准线的距离为 ，焦点F 到相应准线的距离为 ，两准线间相距 ，焦点到顶点的最短距离为 ，最长距离为 ，过焦点垂直于长轴的通径长为 。
4、已知点P （x 0，y 0）为椭圆上一点 方 程
)0(122
22>>=+b a b
y a x )0(122
22>>=+b a b
x a y 图形
准线方程
焦半径
练习：求下列曲线的准线方程，离心率
（1）
19
252
2=+y x （2）16422=+y x
(3)椭圆的两个焦点三等分它的两准线间的距离,则椭圆的离心率e = .
(4)已知椭圆22
143
x y +=上的点M （1，n ）到左焦点F 1的距离MF 1=_______到右焦点F 2的距离MF 2=___________
（5）椭圆
19
2522=+y x 的点M 到左准线的距离为25，则M 到右焦点的距离为 例2.M 是椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>上任意一点,求证:2a c MF a c -≤≤+,其中1F 是椭圆的一个焦点.
例3：（1）设F 是椭圆
124
322
2=+y x 的右焦点,定点A (2,3)在椭圆内,在椭圆上求一点P 使PF PA 2+最小,求P 点坐标及最小值.
（2） 已知点A 的坐标为（1，1），F 1是椭圆45952
2
=+y x 的左焦点，点P 是椭圆上的动点，
①求1PF PA +最大值和最小值。
②求12
3
PF PA +
的最小值，并求点P 的坐标 例4、若点P 为椭圆
19
252
2=+y x 上任意一点，21,F F 是椭圆的两个焦点， 求12(1)PF PF ⋅ 的取值范围 （2）12PF PF ⋅的取值范围 课堂小结：
数学（理）即时反馈作业
编号：025 椭圆的第二定义
1、已知椭圆2
2
220x y +-=的两个焦点为12,F F ，（1）其准线方程为___________ （2）若B 为短轴的一个端点，则12BF F 的外接圆方程是_________________
2、椭圆
22
1169
x y +=上一点P 到两焦点的距离之积为m ，则m 取最大值时点P 的坐标是____ 3、中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆的左焦点为F,离心率为e=
3
1
,过F 作直线 l 交椭圆于A,B 两点，已知线段 AB 的中点到椭圆左准线的距离是6，则AB =
4、椭圆14
22
=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则P 到F 2 的距离为__________
5、方程22
22
1(1)x y m m +=-表示准线平行于x 轴的椭圆，则实数m 的取值范围是_____
6、若椭圆2215x y m +=的准线方程是522
x =±，求实数m 的值 7、若椭圆的两准线之间的距离不大于长轴长的3倍，则它的离心率的范围为 8、求中心在原点，长轴在x 轴上，一条准线方程是3x =，离心率为
5
3
的椭圆方程 9、已知点(1,1)A -，2F 是椭圆
22
1169
x y +=的右焦点，点P 是椭圆上的动点，
（1）求2||||PA PF +得最大值和最小值； （2）求24
||||7
PA PF +
最小值，并求点P 的坐标 10、已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为12，12,F F 分别为椭圆C 的左右焦点，若椭圆C 的焦
距为2；（1）求椭圆方程；（2）设M 为椭圆上任意一点，以M 为圆心，1MF 为半径作圆M ，当圆M 与椭圆的右准线l 有公共点时，求12MF F ∆面积的最大值。