第 14 章 稳恒磁场
14电磁感应2(自感互感、磁场能量)
I
一、自感 1．当一线圈中的电流变化时，它所激发的磁 场通过线圈自身的磁通量也在变化，使线 圈自身产生感应电动势。 这种因线圈中电流变化而在线圈自身所引 起的感应现象叫做自感现象，所产生的电 动势叫做自感电动势。
R
L
S2 S1
S
L
闭合开关， 2比S1先亮 S
断开开关，S闪一下熄灭
电流增大时，dI 0 ， L 0 ，即 L与电流反
向，阻碍电流增大；
dI 电流减小时， 0 ， L 0 ，即 L与电流同 dt dt
向，阻碍电流减小
I
例1 、 试计算长直螺线管的自感。 已知：匝数N,横截面积S,长度l ,磁导率
μ
l
自感的计算步骤：
S
LH dl I B H B H
单位长度导线内磁能为：
R
P
Wm wm dV
V
R
0
I 2 r 2 I 2 2rdr 2 4 8 R 16
§14-5 位移电流 麦克斯韦方程组
一、电磁场的基本规律 静电场：
D dS q
S
E dl 0
l
（对真空或电介质都成立）
稳恒磁场：
例、如图，求同轴传输线之磁能及自感系数 R2 I I 解: H B dV 2rldr R 1 2r 2r 1 W V wdV V H 2 dV 2 R2 1 I 2 ( ) 2rldr R1 2 2r I 2 l R2 ln( ) 4 R1 I 2 l R2 1 2 LI W ln( ) 4 R1 2 l R2 可得同轴电缆 L ln( ) 的自感系数为 2 R1
毕奥—萨伐尔定律
B = ∫ dBx = ∫ dB ⋅ cos θ
θ p yθ r
o x
dx
x
µ 0 Id x =∫ ⋅ cos θ 2π r a y cos θ = 2 2 2 2 r= x +y x +y
第11章 静电场 第14章 稳恒磁场
11-2 库仑定律 14-2 毕奥—萨伐尔定律 14- 11毕奥 萨伐尔定律
11-2 库仑定律 14-2 毕奥—萨伐尔定律 14- 11毕奥 萨伐尔定律
一个圆环之磁矩
r r 2 dm = π r dIen
m = ∫ dm
= ∫ π r ωσ rdr
2 0 R
r R
dr
1 2 = ω qR 4
第11章 静电场 第14章 稳恒磁场
=
=
µ0 I dl sin α
∫ 4π
µ0 I
r Idl
2 2 3 2
r
2
2π R
x
4π r
sin α ∫ 2
0
dl =
µ0 IR
2
第11章 静电场 第14章 稳恒磁场
2( R + z )
11-2 库仑定律 14-2 毕奥—萨伐尔定律 14- 11毕奥 萨伐尔定律
B=
µ0 IR
2
2 2 3 2
2( R + z )
θ2
1
x
C
o
r0
=
(cos θ1 − cos θ 2 )
第11章 静电场 第14章 稳恒磁场
11-2 库仑定律 14-2 毕奥—萨伐尔定律 14- 11毕奥 萨伐尔定律
推论
0
无限长载流长直导线的磁场。 无限长载流长直导线的磁场。
大学物理稳恒磁场解读
2018/9/27
24
r the displacement from
I dl
I
Idl toward P.
dB
the contribution of Idl to the magnetic induction at point P.
r
P
B
the magnetic field of I at point P.
I
S
2018/9/27 5
I
Magnetic field lines surrounding a long and straight wires
2018/9/27
6
I
Magnetic field lines for a tightly wound solenoid of finite length carrying a steady current.
Gauss’ theorem
B dS 0
Ampere’s circulation theorem (Ampere’s Law) L B d l 0 Ii
i
11
2018/9/27
Affect of magnetic field force on currents
right hand rule
26
Superposition Principle of Magnetic Induction
B d B
L
B Bi
u Idl r B d B＝ 4 r
L
0
L
3
2018/9/27
27
DISCUSSION
第十四章 作业答案
第十四章磁场对电流的作用第一节磁场对运动电荷、电流及载流线圈的作用一、选择题1.长直电流I 2与圆形电流I 1共面，并与其一直径相重合如图(但两者间绝缘)，设长直电流不动，则圆形电流将 C(A)绕I 2旋转．(B)向左运动．(C)向右运动．(D)向上运动．(E)不动．1I 分析：左半圆总体受力向右，右半圆总体受力也向右，故环形线圈整体受力向右。
2.有一由N 匝导线绕成的平面正三角形线圈，边长为a ，通有电流I ，置于均匀外磁场B中，当线圈平面的法向与外磁场B 同向时，该线圈所受的磁力矩M 值为 D分析：PI 123a2a e n M P BM I123a2a B sin 0 03.一匀强磁场，其磁感强度方向垂直于纸面(指向如图)，两带电粒子在该磁场中的运动轨迹如图所示，则 B(A)两粒子的电荷必然同号．(B)粒子的电荷可以同号也可以异号．(C)两粒子的动量大小必然不同．(D)两粒子的运动周期必然不同．B 分析：没有给出运动方向，所以B4.一质量为m 、带电量为q 的粒子，以与均匀磁场B 垂直的速度v 运动轨道所包围范围内的磁通量 m 与磁场磁感强度B 大小的关系曲线是(A)～(D)中的哪一条？ BmO()A mO()B mO()C mO()D 分析：轨道半径与磁感成反比，轨道所围面积与半径平方成正比，则与磁感的平方成反比，磁通等于磁感乘以面积，与磁感成反比。
答案：BqVB m V2R ,R mVqB,S R2mVqB2,BS B mVqB 2m2V2q21B5.把通电的直导线放在蹄形磁铁磁极的上方，导线可以自由活动，且不计重力．当导线内通以如图所示的电流时，从上往下看，导线将 C(A)不动．(B)顺时针方向转动，然后下降.(C)逆时针方向转动，然后下降．(D)顺时针方向转动，然后上升.(E)逆时针方向转动，然后上升．分析：N极附近磁感向上，电流向右，导线受力垂直纸面向外；S极附近磁感向下，电流向右，导线受力垂直纸面向里，从上往下看，导线逆时针转动；导线转动之后，电流指向里边，导线所在处的磁场向右，导线受到的安培力向下，导线下降。
《大学物理》稳恒磁场
第四节 安培环路定理
Bdl L
0 (I1 I2 )
（0 I1
I
）
2
I1
I2 I3
I1
L
I1
问（1）B 是否与回路 L 外电流有关？
（2）若
LB d l 0 ,是否回路 L 上各处
B
0
？
是否回路 L 内无电流穿过？
43
第四节 安培环路定理
安培环路定理的应用
例题 无限长载流圆柱体的磁场
33
第三节 磁通量 磁场的高斯定理
例题 如图载流长直导线的电流为 I, 试求通过矩形面积的磁通量.
B
I
l
d1 d2
o
x
解
B 0I
2π x
dΦm
BdS
0I
2πx
ldx
Φm
B dS 0Il
S
2π
d2 dx x d1
Φm
0 Il
2π
ln
d2 d1
34
第三节 磁通量 磁场的高斯定理 磁场的高斯定理
d
I
B1
r1
dl1
B2 dl2
r2
l
B1
0I ，
2 π r1
B2
0 I
2 π r2
B1
dl1
B2
dl2
0 I
2π
d
B1 dl1 B2 dl2 0
l B d l 0
40
第四节 安培环路定理
多电流情况
I1
I2
I3
l
B B1 B2 B3
Bdl
l
0(I2 I3)
推广：
➢ 安培环路定理
第13章
1稳恒磁场
稳恒磁场
电与磁
密切联系
11世纪我国——指南针 电场一样，
运动电荷
电场 磁场
14-1 磁场的描述
一、基本磁现象 天然磁石 同极相斥 异极相吸
SN
S
N
电流的磁效应 1820年 奥斯特
I
SN
通电导线周围有磁场
I
F F I
地磁为生命创造条件，也对生命起保护作 用，生命与地磁是紧紧联系在一起的
最近几个世纪科学家经过观测，发现地磁 场在减弱
十年前，美国科学家测出减弱的速度，
如果按此速度减弱，在公元32 世纪，地 磁为零——颠倒
有关地磁的起源一直是科学家们力图探明 的基本课题
根据安培提出的磁性源于分子电流的假设， 地球核心内部存在一个巨大的环形电流， 但此电流怎样形成的呢？又是什么机制促 使如此巨大的环形电流周期性换向呢？
小磁针静止时与水平面的夹角——磁倾角 地磁赤道上，磁倾角为零，磁南极和磁北 极，磁倾角为90度
磁场强度的水平分量，磁偏角，磁倾角— —地磁三要素
北京，地磁场 B 0.5104T 磁偏角 60
磁倾角 5701'
不同地点三要素不同，根据三要素可画地 磁图
人们发现地磁场的方向在过去的4百万年 中已经循环颠倒9次
通电导线之间有力的作用
电子束
S
+
N
磁场能使电子束偏转
产生 电流（运动电荷）
磁场
力 安培指出：
电荷的运动是一切磁现象的根源。
二 、磁 感 强 度 B 的 定 义
1、 磁感强度 B的方向
SN
该点小磁针静止时， N极指向
2、磁感强度大小 运动电荷在磁场中受力
F
稳恒磁场知识点复习
解： RA mAvA 1 2 1 : 2 TA mA 1mB
(2)
例2: 如图所示,在均匀磁场中,半径为R的薄圆盘以角速
度绕中心轴转动,圆盘电荷面密度为。求它的磁矩、
所受的磁力矩以及磁矩的势能。
解:取半径为r的环状面元,圆盘转动时, 它相当于一个载流圆环,其电流：
计，电流Ｉ均匀分布，与铜片共面到近边距离为b 的一点 P的磁感应强度 B 的大小为________。
解：
dB 0dI 0 Idr 2r 2ar
dI I dr a
Ia dr
bB
rP
B dB 0I ab dr 0I ln a b
2a b r 2a b
(6)
例5: 如图, 一扇形薄片, 半径为R, 张角
5. 均匀磁场中载流线圈受到的力矩: 6. 均匀磁场中载流线圈的磁矩势能:
M
pm
B
Wm pm B
7. 带电粒子在磁场中的运动
回转半径: R mv qB
回转周期: T 2m
qB
例1: A、B为两个电量相同的带电粒子,它们的质量之比 mA:mB=1/4，都垂直于磁场方向射入一均匀磁场而作圆 周运动。A粒子的速率是B粒子速率的两倍。设RA，RB 分别为A粒子与B粒子的轨道半径；TA、TB分别为它们 各自的周期。则RA∶RB＝？ TA∶TB＝？
F dF 0I1I2 dl 2d
例3：一弯曲的载流导线在同一平面内,形状如图(O点
是半径为R1和R2的两个半圆弧的共同圆心,电流自无穷 远来到无穷远去),则O点磁感应强度
的大小是______________。
解： B 0I 0I 0I 4R1 4R2 4R2
I
R1
O
R2
稳恒磁场
A I1 D I2 C
答案与选解：
一、选择题 1． （D）2． （D）3． （D）4． （B）5． （D）6． （E）7． （B）8． （C）9． （B） 二、填空题： 1．－
1 Bπ R2 2
2．0
3．
0 ih 2R
4．T1
5．9.33×10
－19
Am2
相反
6． 2 BIR
沿 Y 轴正方向 7．mg/(2NLB) 8．
e2 B r 9．1：1 30º 4 0 me
10．铁磁质 顺磁质 抗磁质 三、计算题： 1． 解：电流在 O 点产生的磁场相当于 CDA 一段上电流产生的磁场， ∴B
0 I 2 0 I [sin 45 sin(45)] a a
2．P 点的总磁感应强度为 B
0I (1 sin cos ) 4a cos
8．一质量为ｍ、电量为ｑ的粒子，以与均匀磁场 B 垂直的速度ｖ射入磁场内，则粒子运动轨 道所包围范围内的磁通量ф m 与磁场磁感应强度 B 大小的关系曲线是（Ａ）～（Ｅ）中的哪一条？ Φm Φm Φm Φm Φm
B O （A） O （B）
B O （C）
B O （D）
B O （E） ［
B
］
9．如图所示的一细螺绕环，它由表面绝缘的导线在铁环上密绕而 成，每厘米绕 10 匝．当导线中的电流Ｉ为 2.0 Ａ时，测得铁环内的磁 感应强度的大小Ｂ为 1.0 Ｔ，则可求得铁环的相对磁导率μ r 为（真空 磁导率μ r＝４π ×10-7Ｔ·ｍ·Ａ-1） （Ａ）7.96×102 (Β ) 3.98×102 （Ｃ）1.99×102 （Ｄ）63.3 ［ ］ 二、填空题： 1．在匀强磁场 B 中，取一半径为 R 的圓，圆面 的法线 n 与 B 成 60º角，如图所示，则通过以该圆周 为边线的如图所示的任意曲面 S 的磁通量
《稳恒电流的磁场》选择题解答与分析
由毕奥-萨伐尔定律 d B 0 I d l r /(4r 3 ) ，知答案(B)正确。
a d
b I dl
c
选择(A)给出下面的分析：
dq ˆ r 4 0 r 2 0 I d l r 电流元磁场公式： d B 4r 3
点电荷电场公式： d E
比较 d B d B x iˆ d B y ˆ j, d B x
0 I d ly 4r 3
0 I d l
4 ( x y
2 2 3 z2 ) 2
y.
对于所有错误选择，给出下面的资料：
0 I d l r 毕奥-萨伐尔定律： d B ，涉及矢量的叉乘，其基本运算公式： 4r 3 ˆ ˆ ˆa ˆ ˆ ˆ 设： a a1i 2 j a 3 k , b b1i b2 j b3k
对所有错误的选择，进入下一题： 1.1 在阴极射线管的上方放置一根载流直导线，导线平行于射 线管轴线，电流方向如图所示，阴极射线向什么方向偏转？当 电流 I 反向后，结果又将如何？
I
参考解答： 电流产生的磁场在射线管内是指向纸面内的，由 F ev B 知，阴极射线(即电 子束)将向下偏转．当电流反方向时，阴极射线将向上偏转． 进入下一题：
3. 关于磁感应强度方向的定义，以下说法，正确的是 (A) 能把磁场作用于运动电荷的力的方向，定义为磁感应强度的方向. (B) 不能把磁场作用于运动电荷的力的方向，定义为磁感应强度的方向. 答案：(B) 参考解答： 因为磁力的方向还随电荷运动速度方向而不同，因而在磁场中同一点运动电荷受 力的方向是不确定的．
6
B
3. 如图，一条任意形状的载流导线位于均匀磁场中，试证明 导线 a 到 b 之间的一段上所受的安培力等于载同一电流的直 导线 ab 所受的安培力． 参考解答： 证：由安培定律
大学物理稳恒磁场
B2
0
r
r2 R2
I
rR
I
0I rR p r
B20R I2r rR
rp
B 0I rR 2r
B
无限长圆柱导体电流外面的磁场与电流
都集中在轴上的直线电流的磁场相同
.
R
r
无限长通电柱面
B2r 0 rR
0I rR p r I
B0 rR
rp
B 0I rR 2r
B
思考：有人说：“环路不环绕
电流时，环路上磁场必处处为
o
( D ) 20I R
B
( E ) 20I 8R
.
[A]
5.如图所示，电流由长直导线 1 经 a 点流 入电阻均匀分布的正方形线框，再由 b 点 流出，经长直导线 2 返回电源（导线 1、2 的延长线均通过 o 点）。设载流导线 1、2 和正方形线框在框中心o 点产生的磁感应 强度分别用 B1、B2、B3 表示，则 o 点的感 应强度大小
单位长度的电流）到处均匀。大小为 j
解：视为无限多平行
长直电流的场。 B
p
分析场点p的对称性
B
因为电流平面是无限大，故与电流平面等距离的 各点B的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。
.
作一安培回路如图： bc和 da两边被电流平 面等分。ab和cd 与电 流平面平行,则有
L B d lB 2 lojl
(A )BR2B r. (B)BRBr. (C )2BRB r. (D )BR4Br.
.
[B]
4.两半径为R的相同导体细圆环,互相垂直放 置,且两接触点A、B连线为环的直径,现有 电流1沿AB连线方向由A端流入,再由 B端流 出,则环中心处的磁感应强度大小为:
稳恒磁场
安培定律
一、安培力
安培力:电流元在磁场中受到的磁力. 安培力:电流元在磁场中受到的磁力. 一个自由电子受的洛仑兹力为: 一个自由电子受的洛仑兹力为
f 洛 = qv × B = −ev × B
电流元所受磁力: 电流元所受磁力
方向： 方向：×
v
dl
B
I
设截面积为S,单位体积电子数为 设截面积为 单位体积电子数为n 单位体积电子数为
1 2 m = NISn = NI πR n 2
方向:与 B 成600夹角. 夹角. 方向: (2)此时线圈所受力矩的大小为: )此时线圈所受力矩的大小为:
)60
0
B
3 2 πR M = mB sin60 = NIB 4 方向: m× B 方向: ×
0
n
即垂直于 B向上,从上往下俯视，线圈是逆时针转动。 向上,从上往下俯视，线圈是逆时针转动。
1T = 1N ⋅ S ⋅ m−1 ⋅ C−1
磁通量
一、磁力(感)线 磁力( 直线电流的磁力线
磁场的高斯定理
圆电流的磁力线
通电螺线管的磁力线
I
I
I
I
通量(通过一定面积的磁力线数目) 二、磁通量(通过一定面积的磁力线数目)
v v dΦ = B ⋅ dS
v v Φ = ∫s B ⋅ dS
单位
1Wb= 1T ⋅ m
I
该式对任意形状的线圈都适用. 该式对任意形状的线圈都适用.
例1如图，求圆心O点的 B . 如图，求圆心 点的 I O
• × R
B=
µ0 I
4R
I
O• •
R
B=
µ0 I
8R
R
• •O
14稳恒磁场习题思考题
习题1414-1．如图所示的弓形线框中通有电流I ，求圆心O 处的磁感应强度B 。
解：圆弧在O 点的磁感应强度：00146I IB R Rμθμπ==，方向：垂直纸面向外； 直导线在O点的磁感应强度：000020[cos30cos(150)]4cos602II B R Rμππ=-=，方向：⊗；∴总场强：01)23IB Rμπ=-，方向⊗。
14-2．如图所示，两个半径均为R 的线圈平行共轴放置，其圆心O 1、O 2相距为a ，在两线圈中通以电流强度均为I 的同方向电流。
（1）以O 1O 2连线的中点O 为原点，求轴线上坐标为x 的任意点的磁感应强度大小；（2）试证明：当a R =时，O 点处的磁场最为均匀。
解：见书中载流圆线圈轴线上的磁场，有公式：2032222()I R B R z μ=+。
（1）左线圈在x 处P 点产生的磁感应强度：20132222[()]2P I R B a R x μ=++，右线圈在x 处P 点产生的磁感应强度：20232222[()]2P I R B aR x μ=+-，1P B 和2P B 方向一致，均沿轴线水平向左，∴P 点磁感应强度：12P P P B B B =+=2330222222[()][()]222I R a a R x R x μ--⎧⎫++++-⎨⎬⎩⎭；（2）因为P B 随x 变化，变化率为d Bd x，若此变化率在0x =处的变化最缓慢，则O 点处的磁场最为均匀，下面讨论O 点附近磁感应强度随x 变化情况，即对P B 的各阶导数进行讨论。
对B 求一阶导数：d B d x 25502222223()[()]()[()]22222I R a a a a x R x x R x μ--⎧⎫=-++++-+-⎨⎬⎩⎭当0x =时，0d Bd x=，可见在O 点，磁感应强度B 有极值。
对B 求二阶导数：22()d d B d B d x d x d x==222057572222222222225()5()311222[()][()][()][()]2222a a x x I R a a a a R x R x R x R x μ⎧⎫+-⎪⎪⎪⎪--+-⎨⎬⎪⎪+++++-+-⎪⎪⎩⎭当0x =时，202x d B d x==222072223[()]2a R I R a R μ-+， 可见，当a R >时，2020x d Bd x =>，O 点的磁感应强度B 有极小值，当a R <时，2020x d Bd x =<，O 点的磁感应强度B 有极大值，当a R =时，2020x d Bd x ==，说明磁感应强度B 在O 点附近的磁场是相当均匀的，可看成匀强磁场。
14章磁场例题习题
第十四章 稳恒磁场例题例14-1 在真空中，电流由长直导线1沿垂直于底边bc 方向经a 点流入一由电阻均匀的导线构成的正三角形金属线框，再由b 点从三角形框流出，经长直导线2沿cb 延长线方向返回电源(如图)．已知长直导线上的电流强度为I ，三角框的每一边长为l ，求正三角形的中心点O 处的磁感强度B．解：令1B 、2B 、acb B 和ab B分别代表长直导线1、2和三角形框ac 、cb 边和ab 边中的电流在O点产生的磁感强度．则 ab acb B B B B B21 1B ：由于O 点在导线1的延长线上，所以1B= 0．2B ：由毕－萨定律)60sin 90(sin 402 d I B 式中 6/330tan 21l l Oe d)231(34602 lI B )332(40 l I 方向：垂直纸面向里．acb B 和ab B：由于ab 和acb 并联，有 acb acb ab ab R I R I又由于电阻在三角框上均匀分布，有21cb ac ab R R acb ab ∴ acb ab I I 2 由毕奥－萨伐尔定律，有ab acb B B 且方向相反． ∴ )332(402lIB B ，B的方向垂直纸面向里．例14-2 如图所示，一无限长载流平板宽度为a ，线电流密度(即沿x 方向单位长度上的电流)为 ，求与平板共面并且距离平板一边为b 的任意点 P 的磁感强度． 解：利用无限长载流直导线的公式求解． (1) 取离P 点为x 宽度为d x 的无限长载流细条，它的电流 x i d d(2) 这载流长条在P 点产生的磁感应强度 xiB2d d 0 xx2d 0方向垂直纸面向里．(3) 所有载流长条在P 点产生的磁感强度的方向都相同，所以载流平板在P 点产生的磁感强度B B dba bxdx x20b b a x ln 20 方向垂直纸面向里．abIIO1 2 e例14-1图ObxaP例14-2图例14-3 如图所示，半径为R ，线电荷密度为 (>0)的均匀带电的圆线圈，绕过圆心与圆平面垂直的轴以角速度 转动，求轴线上任一点的B的大小及其方向．解： R I 2/32230)(2y R R B B yB的方向与y 轴正向一致．例14-4 平面闭合回路由半径为R 1及R 2 (R 1 > R 2 )的两个同心半圆弧和两个直导线段组成(如图)．已知两个直导线段在两半圆弧中心O 处的磁感强度为零，且闭合载流回路在O 处产生的总的磁感强度B 与半径 为R 2的半圆弧在O 点产生的磁感强度B 2的关系为B = 2 B 2/3，求R 1与R 2的关系．解：由毕奥－萨伐尔定律可得，设半径为R 1的载流半圆弧在O 点产生的磁感强度为B 1，则 1014R IB同理, 2024R IB∵ 21R R ∴ 21B B 故磁感强度 12B B B 204R I104R I206R I∴ 213R R例14-5 在图(a)和(b)中各有一半径相同的圆形回路L 1、L 2，圆周内有电流I 1、I 2，其分布相同，且均在真空中，但在(b)图中L 2回路外有电流I 3，P 1、P 2为两圆形回路上的对应点，则：[ ] (A)1d L l B2d L l B，21P P B B(B)1d L l B 2d L l B ，21P P B B ．(C)1d L l B2d L l B，21P P B B ．(D)1d L l B 2d L l B，21P P B B ．例14-6 在安培环路定理 i LI l B 0d 中， i I 是指 ；B是指 ．例14-3图例14-4图1 2I 3(a) (b)⊙例14-5图例14-7 如图，一条任意形状的载流导线位于均匀磁场中，试证明导线a 到b 之间的一段上所受的安培力等于载同一电流的直导线ab 所受的安培力．证明：由安培定律 B l I f d d ，ab 整曲线所受安培力为 b aB l I f fd d因整条导线中I 是一定的量，磁场又是均匀的，可以把I 和B提到积分号之外，即 b aB l I f d B l I ba)d (B ab I载流相同、起点与终点一样的曲导线和直导线，处在均匀磁场中，所受安培力一样．例14-8 判断下列说法是否正确，并说明理由：（1） 若所取围绕长直载流导线的积分路径是闭合的，但不是圆，安培环路定理也成立．（2） 若围绕长直载流导线的积分路径是闭合的，但不在一个平面内，则安培环路定理不成立．例14-9 如图所示，一半径为R 的均匀带电无限长直圆筒，面电荷密度为 ．该筒以角速度 绕其轴线匀速旋转．试求圆筒内部的磁感强度．解：如图所示，圆筒旋转时相当于圆筒上具有同向的面电流密度i ， R R i )2/(2作矩形有向闭合环路如右图中所示．从电流分布的对称性分析可知，在ab 上各点B 的大小和方向均相同，而且B的方向平行于ab ，在bc 和fa 上各点B 的方向与线元垂直，在de , cd fe ,上各点0 B．应用安培环路定理 I l B 0d可得 ab i ab B 0 R i B 00 圆筒内部为均匀磁场，磁感强度的大小为 R B 0 ，方向平行于轴线朝右． 例14-10 如右图，匀强磁场中有一矩形通电线圈，它的平面与磁场平行，在磁场作用下，线圈发生转动，其方向是 [ ](A) ab 边转入纸内，cd 边转出纸外．(B) ab 边转出纸外，cd 边转入纸内．(C) ad 边转入纸内，bc 边转出纸外．(D) ad 边转出纸外，bc 边转入纸内．例14-11 如图，长载流导线ab 和cd 相互垂直，它们相距l ，ab 固定不动，cd 能绕中点O 转动，并能靠近或离开ab ．当电流方向如图所示时，导线cd 将[ ] (A) 顺时针转动同时离开ab ． (B) 顺时针转动同时靠近ab ．例14-7图例14-9图例14-10图例14-11图(C) 逆时针转动同时离开ab ． (D) 逆时针转动同时靠近ab ．例14-12 两个同心圆线圈，大圆半径为R ，通有电流I 1；小圆半径为r ，通有电流I 2，方向如图．若r << R (大线圈在小线圈处产生的磁场近似为均匀磁场)，当它们处在同一平面内时小线圈所受磁力矩的大小为[ ](A)R r I I 22210 ． (B)Rr I I 22210 ．(C) rR I I 22210 ． (D) 0．例14-13 载流平面线圈在均匀磁场中所受的力矩大小与线圈所围面积 ；在面积一定时，与线圈的形状 ．(填： 有关、无关)习题14-1 边长为l 的正方形线圈，分别用图示两种方式通以电流I (其中ab 、cd 与正方形共面)，在这两种情况下，线圈在其中心产生的磁感强度的大小分别为[ ](A) 01 B ，02 B ．(B) 01 B ，lIB 0222．(C) l I B0122 ，02 B ． (D) l I B 0122 ，lIB 0222 ． 14-2 在真空中，电流I 由长直导线1沿垂直bc 边方向经a 点流入一由电阻均匀的导线构成的正三角形线框，再由b 点沿平行ac 边方向流出，经长直导线2返回电源(如图)．三角形框每边长为l ，则在该正三角框中心O 点处磁感强度的大小为 ；磁感强度的方向为 。
大学物理《稳恒电流的磁场》习题答案
第14章 稳恒电流的磁场 参考答案一、选择题1(B)，2(A)，3(D)，4(C)，5(B)，6(D)，7(B)，8(C)，9(D)，10(A) 二、填空题(1). 最大磁力矩，磁矩 ; (2). πR 2c ； (3). )4/(0a I μ； (4).RIπ40μ ；(5). μ0i ，沿轴线方向朝右. ； (6). )2/(210R rI πμ， 0 ; (7). 4 ; (8).B I R2，沿y 轴正向； (9). ωλB R 3π，在图面中向上； (10). 正，负.三 计算题1. 将通有电流I 的导线在同一平面内弯成如图所示的形状，求D 点的磁感强度B的大小．解：其中3/4圆环在D 处的场 )8/(301a I B μ=AB 段在D 处的磁感强度 )221()]4/([02⋅π=b I B μBC 段在D 处的磁感强度)221()]4/([03⋅π=b I B μ1B、2B 、3B 方向相同，可知D 处总的B 为)223(40baI B +ππ=μ2. 半径为R 的导体球壳表面流有沿同一绕向均匀分布的面电流，通过垂直于电流方向的每单位长度的电流为K ．求球心处的磁感强度大小．解：如图θd d d KR s K I ==2/32220])cos ()sin [(2)sin (d d θθθμR R R I B +=32302d sin R KR θθμ=θθμd sin 2120K =⎰π=020d sin 21θθμK B ⎰π-=00d )2cos 1(41θθμK π=K 041μ3. 如图两共轴线圈，半径分别为R 1、R 2，电流为I 1、I 2．电流的方向相反，求轴线上相距中点O 为x 处的P 点的磁感强度． 解：取x 轴向右，那么有2/322112101])([2x b R I R B ++=μ 沿x 轴正方向 2/322222202])([2x b R I R B -+=μ 沿x 轴负方向21B B B -=[2μ=2/32211210])([x b R I R ++μ]])([2/32222220x b R I R -+-μ若B > 0，则B方向为沿x 轴正方向．若B < 0，则B的方向为沿x 轴负方向．4．一无限长圆柱形铜导体(磁导率μ0)，半径为R ，通有均匀分布的电流I ．今取一矩形平面S (长为1 m ，宽为2 R )，位置如右图中画斜线部分所示，求通过该矩形平面的磁通量．解：在圆柱体内部与导体中心轴线相距为r 处的磁感强度的大小，由安培环路定 律可得： )(220R r rRIB ≤π=μ因而，穿过导体内画斜线部分平面的磁通Φ1为⎰⎰⋅==S B S B d d 1 Φr r RI Rd 2020⎰π=μπ=40Iμ在圆形导体外，与导体中心轴线相距r 处的磁感强度大小为)(20R r rIB >π=μ因而，穿过导体外画斜线部分平面的磁通Φ2为⎰⋅=S Bd 2Φr r I R Rd 220⎰π=μ2ln 20π=I μ穿过整个矩形平面的磁通量 21ΦΦΦ+=π=40I μ2ln 20π+I μ5. 一半径为 4.0 cm 的圆环放在磁场中，磁场的方向对环而言是对称发散的，如图所示．圆环所在处的磁感强度的大小为0.10 T ，磁场的方向与环面法向成60°角．求当圆环中通有电流I =15.8 A 时，圆环所受磁力的大小和方向．1 m解：将电流元I d l 处的B分解为平行线圈平面的B 1和垂直线圈平面的B 2两分量，则 ︒=60sin 1B B ； ︒=60cos 2B B分别讨论线圈在B 1磁场和B 2磁场中所受的合力F 1与F 2．电流元受B 1的作用力l IB lB I F d 60sin 90sin d d 11︒=︒=方向平行圆环轴线．因为线圈上每一电流元受力方向相同，所以合力⎰=11d F F ⎰π︒=Rl IB 20d 60sin R IB π⋅︒=260sin = 0.34 N ，方向垂直环面向上．电流元受B 2的作用力l IB lB I F d 60cos 90sin d d 22︒=︒= 方向指向线圈平面中心． 由于轴对称，d F 2对整个线圈的合力为零，即02=F ． 所以圆环所受合力 34.01==F FN ， 方向垂直环面向上．6. 如图所示线框，铜线横截面积S = 2.0 mm 2，其中OA 和DO ＇两段保持水平不动，ABCD 段是边长为a 的正方形的三边，它可绕OO ＇轴无摩擦转动．整个导线放在匀强磁场B中，B 的方向竖直向上．已知铜的密度ρ = 8.9×103 kg/m 3，当铜线中的电流I =10 A 时，导线处于平衡状态，AB段和CD 段与竖直方向的夹角α =15°．求磁感强度B的大小．解：在平衡的情况下，必须满足线框的重力矩与线框所受的磁力矩平衡(对OO ＇轴而言)． 重力矩 αραρs i n s i n 2121gSa a a gS a M +⋅=αρsin 22g Sa =B 2d l磁力矩ααcos )21sin(222B Ia BIa M =-π=平衡时 21M M = 所以 αρsin 22g Sa αcos 2B Ia = 31035.9/tg 2-⨯≈=I g S B αρT7. 半径为R 的半圆线圈ACD 通有电流I 2，置于电流为I 1的无限长直线电流的磁场中，直线电流I 1恰过半圆的直径，两导线相互绝缘．求半圆线圈受到长直线电流I 1的磁力．解：长直导线在周围空间产生的磁场分布为 )2/(10r I B π=μ取xOy 坐标系如图，则在半圆线圈所在处各点产生的磁感强度大小为：θμsin 210R I B π=， 方向垂直纸面向里，式中θ 为场点至圆心的联线与y 轴的夹角．半圆线圈上d l 段线电流所受的力为：l B I B l I F d d d 22=⨯= θθμd sin 2210R R I I π=θsin d d F F y =． 根据对称性知： F y =0d =⎰y F θcos d d F F x = ，⎰π=0x x dF F ππ=2210I I μ2210I I μ=∴半圆线圈受I 1的磁力的大小为： 2210I I F μ=，方向：垂直I 1向右．I 2I 1A DC8. 如图所示．一块半导体样品的体积为a ×b ×c ．沿c 方向有电流I ，沿厚度a 边方向加有均匀外磁场B (B的方向和样品中电流密度方向垂直)．实验得出的数据为 a ＝0.10 cm 、b ＝0.35 cm 、c ＝1.0 cm 、I ＝1.0 mA 、B ＝3.0×10-1 T ，沿b 边两侧的电势差U ＝6.65 mV ，上表面电势高．(1) 问这半导体是p 型(正电荷导电)还是n 型(负电荷导电)？(2) 求载流子浓度n 0 (即单位体积内参加导电的带电粒子数)．解：(1) 根椐洛伦兹力公式：若为正电荷导电，则正电荷堆积在上表面，霍耳电场的方向由上指向下，故上表面电势高，可知是p 型半导体。
14 稳恒电流的磁场习题详解
习题三一、选择题1．如图3-1所示，两根长直载流导线垂直纸面放置，电流I 1 =1A ，方向垂直纸面向外；电流I 2 =2A ，方向垂直纸面向内，则P 点的磁感应强度B r的方向与x 轴的夹角为[] （A ）30˚； （B ）60˚； （C ）120˚； （D ）210˚。
答案：A解：如图，电流I 1，I 2在P 点产生的磁场大小分别为1212,222I IB B d d ππ==，又由题意知12B B =；再由图中几何关系容易得出，B 与x 轴的夹角为30º。
2．如图3-2所示，一半径为R 的载流圆柱体，电流I 均匀流过截面。
设柱体内（r < R ）的磁感应强度为B 1，柱体外（r > R ）的磁感应强度为B 2，则 [ ]（A ）B 1、B 2都与r 成正比； （B ）B 1、B 2都与r 成反比；（C ）B 1与r 成反比，B 2与r 成正比； （D ）B 1与r 成正比，B 2与r 成反比。
答案：D解：无限长均匀载流圆柱体，其内部磁场与截面半径成正比，而外部场等效于电流集中于其轴线上的直线电流磁场，所以外部磁场与半径成反比。
3．关于稳恒电流磁场的磁场强度H v，下列几种说法中正确的是 [ ]（A ）H v仅与传导电流有关。
（B ）若闭合曲线内没有包围传导电流，则曲线上各点的H v必为零。
（C ）若闭合曲线上各点H v均为零，则该曲线所包围传导电流的代数和为零。
图3-12I 1I（D ）以闭合曲线Ｌ为边缘的任意曲面的H v通量均相等。
答案：C解：若闭合曲线上各点H ϖ均为零，则沿着闭合曲线H ϖ环流也为零，根据安培环路定理，则该曲线所包围传导电流的代数和为零。
4．一无限长直圆筒，半径为R ，表面带有一层均匀电荷，面密度为σ，在外力矩的作用下，这圆筒从t=0时刻开始以匀角加速度α绕轴转动，在t 时刻圆筒内离轴为r 处的磁感应强度B r的大小为 [ ]（A ）0； （B ）0R t μσα； （C ）0R t r μσα； （D ）0rt Rμσα。
北京化工大学普通物理学14磁场中的磁介质省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
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三、磁化强度与束缚电流
SLຫໍສະໝຸດ 只有围绕曲线L旳分子电流才对经
过曲面S旳电流强度I'有贡献。
M
先计算围绕dl旳分子电流
对I旳贡献。
dl
以dl为母线作一斜圆柱体，其两底
与分子电流所在平面平行，底旳半径
等于分子电流旳半径a 。只有中心处
于该斜圆柱体旳分子电流才围绕dl，以n表达 单位体积旳分子数
dI ina2dl cos nmdl cos M dl
HC
c
d
A HC
从此曲线看，B旳变化总
O
f
H 落后于H旳变化，这种现
象叫磁滞效应。
e
B r
磁滞回线
注意： 多种铁磁质都有一临界温度，称居里点（居里 温度），在这温度以上旳铁磁质失去铁磁性变为顺磁22 质。
退磁措施：
1. 升高温度，到达居里温度以上。 2. 加反向磁场：提供矫顽力。 3. 加交变衰减旳磁场
I
28
例14.3 如图示铁环，设环旳长度为l=0.5m，s=4×10-4m2，环旳间
隙宽度为1.0mm，环上绕有线圈N=200匝，线圈中旳电流为0.5A，
铁心旳r=5000，求间隙处旳B数值。
解：忽视漏磁通，铁心各截面旳磁通相等
BΦ S
因为间隙宽度很小，仍可以为磁通集中
在面积S内，
Φ B0 B S
B
I
4
3. 磁介质旳分类
抗磁质 r 1
B B0
减弱原场
弱 磁
如 锌、铜、水银、铅等
性
顺磁质 r 1
B B0
增强原场
物 质
如 锰、铬、铂、氧等
顺磁质和抗磁质旳相对磁导率都非常接近于1。
14章磁场 例题习题
第十四章 稳恒磁场例题1--30、在真空中，电流由长直导线1沿垂直于底边bc 方向经a 点流入一由电阻均匀的导线构成的正三角形金属线框，再由b 点从三角形框流出，经长直导线2沿cb 延长线方向返回电源(如图)．已知长直导线上的电流强度为I ，三角框的每一边长为l ，求正三角形的中心点O 处的磁感强度B．解：令1B 、2B 、acb B 和ab B分别代表长直导线1、2和三角形框ac 、cb边和ab 边中的电流在O 点产生的磁感强度．则 ab acb B B B B B+++=211B ：由于O 点在导线1的延长线上，所以1B= 0． 2B ：由毕－萨定律)60sin 90(sin 402︒-︒π=dI B μ 式中 6/330tan 21l l Oe d =︒⋅==)231(34602-⋅π=lI B μ)332(40-π=lIμ 方向：垂直纸面向里．acb B 和ab B：由于ab 和acb 并联，有 a c b a c b ab ab R I R I ⋅=⋅又由于电阻在三角框上均匀分布，有21=+=cbac ab R R acbab ∴ acb ab I I 2=由毕奥－萨伐尔定律，有ab acb B B =且方向相反． ∴ )332(402-π==lIB B μ，B的方向垂直纸面向里．27、如图所示，一无限长载流平板宽度为a ，线电流密度(即沿x 方向单位长度上的电流)为δ ，求与平板共面并且距离平板一边为b 的任意点P 的磁感强度． 解：利用无限长载流直导线的公式求解．(1) 取离P 点为x 宽度为d x 的无限长载流细条，它的电流 x i d d δ=(2) 这载流长条在P 点产生的磁感应强度 xiB π=2d d 0μxxπ=2d 0δμ方向垂直纸面向里．(3) 所有载流长条在P 点产生的磁感强度的方向都相同，所以载流平板在P 点产生的磁感强度 ==⎰B B d ⎰+πba bxdx x20δμbb a x+π=ln20δμ 方向垂直纸面向里．例题34、如图所示，半径为R ，线电荷密度为λ (>0)的均匀带电的圆线圈，绕过圆心与圆平面垂直的轴以角速度ω 转动，求轴线上任一点的B的大小及其方向．解： λωR I = 2/32230)(2y R R B B y +==λωμB的方向与y 轴正向一致．例题35、平面闭合回路由半径为R 1及R 2 (R 1 > R 2 )的两个同心半圆弧和两个直导线段组成(如图)．已知两个直导线段在两半圆弧中心O 处的磁感强度为零，且闭合载流回路在O 处产生的总的磁感强度B 与半径 为R 2的半圆弧在O 点产生的磁感强度B 2的关系为B = 2 B 2/3，求R 1与R 2的关系．解：由毕奥－萨伐尔定律可得，设半径为R 1的载流半圆弧在O 点产生的磁感强度为B 1，则 1014R I B μ= 同理, 2024R IB μ=∵ 21R R > ∴ 21B B < 故磁感强度 12B B B -= 204R I μ=104R I μ-206R I μ=∴ 213R R =13、在图(a)和(b)中各有一半径相同的圆形回路L 1、L 2，圆周内有电流I 1、I 2，其分布相同，且均在真空中，但在(b)图中L 2回路外有电流I 3，P 1、P 2为两圆形回路上的对应点，则： (A) =⎰⋅1d L l B⎰⋅2d L l B，21P P B B = (B) ≠⎰⋅1d L l B⎰⋅2d L l B，21P P B B =． (C) =⎰⋅1d L l B⎰⋅2d L l B，21P P B B ≠．(D)≠⎰⋅1d L l B⎰⋅2d L l B，21P P B B ≠． [ C ]31、在安培环路定理∑⎰⋅=i LI l B 0d μ 中，∑i I 是指 ；B是指 ．环路L 所包围的所有稳恒电流的代数和 环路L 上的磁感强度例题32、如图，一条任意形状的载流导线位于均匀磁场中，试证明导线a 到b 之间的一段上所受的安培力等于载同一电流的直导线ab 所受的安培力．I abB1 2 I 3 (a)(b)⊙证明：由安培定律 B l I f⨯=d d ，ab 整曲线所受安培力为 ⎰⎰⨯==b aB l I f f d d因整条导线中I 是一定的量，磁场又是均匀的，可以把I 和B提到积分号之外，即 ⎰⨯=b aB l I f d B l I ba⨯=⎰)d (B ab I⨯=载流相同、起点与终点一样的曲导线和直导线，处在均匀磁场中，所受安培力一样．33、判断下列说法是否正确，并说明理由：（1） 若所取围绕长直载流导线的积分路径是闭合的，但不是圆，安培环路定理也成立．（2） 若围绕长直载流导线的积分路径是闭合的，但不在一个平面内，则安培环路定理不成立． 答：第一说法对，第二说法不对．∵ 围绕导线的积分路径只要是闭合的，不管在不在同一平面内，也不管是否是圆，安培环路定理都成立．3、如图所示，一半径为R 的均匀带电无限长直圆筒，面电荷密度为σ．该筒以角速度ω绕其轴线匀速旋转．试求圆筒内部的磁感强度．解：如图所示，圆筒旋转时相当于圆筒上具有同向的面电流密度i ， σωσωR R i =ππ=)2/(2作矩形有向闭合环路如右图中所示．从电流分布的对称性分析可知，在ab 上各点B 的大小和方向均相同，而且B的方向平行于ab ，在bc 和fa 上各点B的方向与线元垂直，在de , cd fe ,上各点0=B ．应用安培环路定理 ∑⎰⋅=I l B 0d μ可得 ab i ab B 0μ= σωμμR i B 00== 圆筒内部为均匀磁场，磁感强度的大小为σωμR B 0=，方向平行于轴线朝右．4、如右图，匀强磁场中有一矩形通电线圈，它的平面与磁场平行，在磁场作用下，线圈发生转动，其方向是(A) ab 边转入纸内，cd 边转出纸外． (B) ab 边转出纸外，cd 边转入纸内． (C) ad 边转入纸内，bc 边转出纸外． (D) ad 边转出纸外，bc 边转入纸内． [ A ]28、如图，长载流导线ab 和cd 相互垂直，它们相距l ，ab 固定不动，cd 能绕中点O 转动，并能靠近或离开ab ．当电流方向如图所示时，导线cd 将(A) 顺时针转动同时离开ab ． (B) 顺时针转动同时靠近ab ．(C) 逆时针转动同时离开ab ． (D) 逆时针转动同时靠近ab ． [ D ]9、两个同心圆线圈，大圆半径为R ，通有电流I 1；小圆半径为r ，通有电流I 2，方向如图．若r << R (大线圈在小线圈处产生的磁场近似为均匀磁场)，当它们处在同一平面内时小线圈所受磁力矩的大小为 (A) RrI I 22210πμ． (B)Rr I I 22210μ．(C)rRI I 22210πμ． (D) 0． [ D ]14、载流平面线圈在均匀磁场中所受的力矩大小与线圈所围面积 ；在面积一定时，与线圈的形状．(填： 有关、无关)有关 无关习题22、边长为l 的正方形线圈，分别用图示两种方式通以电流I (其中ab 、cd 与正方形共面)，在这两种情况下，线圈在其中心产生的磁感强度的大小分别为(A) 01=B ，02=B ． (B) 01=B ，lI B π=0222μ．(C) lI B π=0122μ，02=B ． (D) lI B π=0122μ，lI B π=0222μ． [ C ]10、在真空中，电流I 由长直导线1沿垂直bc 边方向经a 点流入一由电阻均匀的导线构成的正三角形线框，再由b 点沿平行ac 边方向流出，经长直导线2返回电源(如图)．三角形框每边长为l ，则在该正三角框中心O 点处磁感强度的大小为 ；磁感强度的方向为 。
安培环路定理(大学物理)
lI
2π r
哈尔滨工程大学 姜海丽
安培环路定理
第1章 稳恒磁场
练习题 1、如图，流出纸面的电流为2I，流进纸面的电流为I， 则下述各式中哪一个是正确的？ (B) H d l I (A) H d l 2 I 答案：D L L
稳恒磁场安培环路定理16安培环路定理设闭合回路为圆形回路载流长直导线的磁感强度为哈尔滨工程大学稳恒磁场安培环路定理若回路绕向化为逆时针时则对任意形状的回路稳恒磁场安培环路定理稳恒磁场安培环路定理多电流情况以上结果对任意形状的闭合电流伸向无限远的电流均成立
安培环路定理
第1章 稳恒磁场
1.6 安培环路定理 载流长直导线的磁感强度为
c a I c I⊙
．
I1 L
I1 I2
0 ( I 2 2I1 ) 4、如图所示，磁感强度沿闭合曲线L的环流________．
哈尔滨工程大学 姜海丽
安培环路定理
第1章 稳恒磁场
5、半径为R的圆柱体上载有电流I，电流在其横截面上均 匀分布，一回路L通过圆柱内部将圆柱体横截面分为两部 dl 分，其面积大小分别为S1、S2如图所示，则 H _______．
安培环路定理
哈尔滨工程大学 姜海丽
安培环路定理
第1章 稳恒磁场
安培环路定理
n B dl 0 Ii i 1
即在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任 一闭合路径的积分的值，等于 0 乘以该闭合路径 所包围的各电流的代数和.
注意 电流 I 正负的规定 ：I 与 L 成右螺旋时， I 为正；反之为负.
PM
B MN 0 n MN I
B 0 nI
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v S
n q I
由于自由电子与晶格之间的相互作用，使导线在宏观上看 起来受到了磁场的作用力
有限长载流导线所受的安培力
l l
F dF ( Idl B)
l
dF Idl
大学物理学：磁场对载流导线的作用
32
电流的单位 两无限长平行载流直导线间的相互作用
左端点
p
x
1
2
2 0
B B 2 l
1 B 0 nI 2
对应于半无限长螺线管！
大学物理学：毕奥—萨伐尔定律
18
[例14-4] 无限长薄铜片，宽为a，电流I，求 铜片中心线上方之 B 。 解：
0 I a B arctan a 2y y a 0 I B 2a
对应于无限大面电流产生的磁场！
真空磁导率
1 8
7
大学物理学：毕奥—萨伐尔定律
11
0 4 10 T m/A
判断下列各点磁感强度的方向和大小
2
1、5 点 ：dB 0 3、 7点 ： d B
+
7
Idl
R
6 5 4
0 Idl
4π R 2
0
+3
2 、 4、 6、 8 点 ：
dB
0 Idl
4π R
2
sin 45
由于
B
qv B qvBsin F
故
F qv B
洛仑兹力公式
大学物理学：毕奥—萨伐尔定律
9
§ 14.2 毕奥—萨伐尔定律
将导线分割： 电流元
dl dl Idl dB B dB
I
P *
Idl
大学物理学：毕奥—萨伐尔定律
27
注意： 1. 代数和 B dl 0 ( I1 I 2 )
l
I1
B由所有电流共同产生
但安培环路定理表达式中 的电流强度是指穿过闭合 曲线的电流，不包括闭合 曲线以外的电流。
I3
I2
2. 上述讨论不是严格证明，只是说明。
3. B dl 0 磁场为有旋场！
可得
0 4π 10 N A 4π 10 H m
大学物理学：磁场对载流导线的作用
34
[例14-9] 求匀强磁场中载流导线受力。
解： 取一段电流元 Idl
y dF
I
Idl
B
F Fy BIlj
o
P
L
x
结论 任意平面载流 导线在均匀磁场中所受的 力 , 与其始点和终点相同 的载流直导线所受的磁场 力相同。
l
大学物理学：磁高斯定理
安培环路定理
N次链套： B dl N 0 I
l
26
如空间有多个电流，则：
：处在积分回路中的电流
即在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任一
闭合路径的积分的值，等于 包围的各电流的代数和。
0 乘以该闭合路径所
大学物理学：磁高斯定理
安培环路定理
大学物理学：毕奥—萨伐尔定律
12
[例14-1] 直电流的磁场。
解：
z
D
2
dz
I
0 I B (cos 1 cos 2 ) 4 d
r
d
z
1
dB
* P y
x
o
C
大学物理学：毕奥—萨伐尔定律
13
无限长载流长直导线的磁场。
z
D
2
B
B
（cos 1 cos 2 ） 4πd
法国物理学家 阿拉果，安培，拉普拉斯，…
大学物理学：磁感应强度及洛仑兹力公式
5
二、磁场的描述
我们根据运动电荷在磁场中受力情况来描述磁场。 实验结果： 1.
v 0
则
F 0 ，v 0
一般
F 0 ，
磁铁
存在某特定的直线，粒子沿该 直线运动 F 0
规定
Bp// 该直线（零力线）
x1
n 1 r 2 p x l
R x2 x
Bp
0 nI
2
(cos 2 cos 1 )
利用
x = Rcot
大学物理学：毕奥—萨伐尔定律
17
B
0 nI
2
(cos 2 cos 1 )
1 2
l R 1 2 0
B 0nI
相当于无限长螺线管
2
2 2 3 2
en
0 IR
2z
3 2
2( R z )
r R B
定义磁矩：
m NISen
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0m B 3 2 z
I
大学物理学：毕奥—萨伐尔定律
16
[例14-3] 螺线管产生的磁场。
解： 一个薄片相当于一个圆电流
B
0 IR
2
2 2 3 2
2( R z )
33
国际单位制中电流单位安培的定义:
dF1 dF2 0 I1I 2 dl1 dl2 2π d
在真空中两平行长直导线相距 1 m ，通有大小相等、方向相同的电 流，当两导线每单位长度上的吸引 力为 2 107 N m 1 时，规定这时的 电流为 1 A （安培）。
7 2
7 1
B
0 I
I
1 0 2 π
0 I
2πd
o
x
C
1
P y
+
大学物理学：毕奥—萨伐尔定律
14
z
[例14-2] 圆电流轴线上的磁场。 解：
dB z
p
dB
B
0 IR
2
2 2 3 2
dB z r
o
2( R z )
R
Id l
y
x
大学物理学：毕奥—萨伐尔定律
15
B
0 IR
（2）介质对磁场的作用会有影响
一切物质都可称为磁介质 （3）磁现象的电本质：一切磁现象均起源于电荷的运动
大学物理学：磁感应强度及洛仑兹力公式
4
3. 磁场的对外表现
a) 磁场对磁场内的运动电荷，或载流导线会有力的作用 b) 载流导体在磁场内移动时，磁场的作用力会对载流导 体作功 c) 磁场能使处于磁场内磁介质发生磁化 1820年 奥斯特 电流的磁效应
y
dB
r
x
p
y
o x dx
大学物理学：磁高斯定理
安培环路定理
19
§ 14.3 磁高斯定理 安培环路定理
一、磁通量
B
dS
B Φ dΦ B cosdS m m
B dS
s
dm B cosdS B dS
s s
通过小面元磁通量
o
大学物理学：磁高斯定理
安培环路定理
23
三 、安培环路定理
静电场：
E dl 0
l
无旋场
稳恒磁场：
B dl ?
l
？？？ 有旋场
若任选一根磁力线为闭合回路
B dl Bdl 0
l l
大学物理学：磁高斯定理
安培环路定理 l
d
24
用长直电流的磁场来讨论：
I1dl1 B2
I1
I2
I 2dl2 B1 dF1 dF 2
dF2 B1 I 2 dl2
dF1 B2 I1dl1
0 I1 I 2 dl2
2π d
0 I 2 I1dl1
2π d
d
dF2 dF1 0 I1I 2 dl2 dl1 2π d
大学物理学：磁场对载流导线的作用
上海交通大学物理系
大学物理学：稳恒磁场
描 述 稳 恒 电 流 的 磁 场
2
磁感应线
磁通量 磁感应强度 B 激发磁场 的规律 毕奥-萨伐尔定律
B dB
m B dS
S
0 Idl r 4 r 3
运动电荷产生的磁场 qv r B 0 4 r 3
规 律 作 用 规 律
o dI
dI
r
R
o
大学物理学：磁高斯定理
安培环路定理
29
[例14-7] 螺绕环电流的磁场。 解： （环内）
0 N I B 0 nI 2 R
（环外）
R
N
B0
I
大学物理学：磁高斯定理
安培环路定理
[例14-8] 无限大平面电流的磁场。 解：
I
l
30
：电流线密度
ΔI Δl
s
二、磁高斯定理
单位
T m 2 Wb
静电场高斯定理： s E dS q / 0
B dS ?
s
0 Idl r 由毕奥—萨伐尔定律： dB 3 4 r 任意电流系统可分为 Idl , Idl 1 2 各自产生磁场 dB1 , dB2 Idl 通过闭合面之磁通量 d1 , d 2
l
大学物理学：磁高斯定理
安培环路定理
25
电流在回路之外
d
B1
I
r1
B2 dl 2 dl1
0 I 0 I B1 ， B2 2π r1 2π r2
0 I B1 dl1 B2 dl2 d 2π
r2